Número aureo.3.12 (5)

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1 Alumnos: Mondragón Cordero Gabriela Abigail Profesor: Luis Miguel Villarreal Materia: Matemáticas III Numero Aureo y Serie de FibonacciGrado y grupo: 3°“B” Fecha: 25/Octubre/2012

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Page 1: Número aureo.3.12 (5)

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Alumnos: Mondragón Cordero Gabriela Abigail

Profesor: Luis Miguel Villarreal

Materia: Matemáticas III

“Numero Aureo y Serie de Fibonacci”

Grado y grupo: 3°“B”

Fecha: 25/Octubre/2012

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Índice

Índice ................................................................................................................................................... 2

Introducción ........................................................................................................................................ 3

Numero Áureo ..................................................................................................................................... 4

Definición ........................................................................................................................................ 4

Relación Con Las Artes y La Naturaleza........................................................................................... 5

Serie de Fibonacci ............................................................................................................................. 10

Definición ...................................................................................................................................... 10

La regla .......................................................................................................................................... 10

Relación Con Las Artes y La Naturaleza......................................................................................... 11

Relación Entre El Número Áureo Y La Serie De Fibonacci ................................................................. 11

Actividad ............................................................................................................................................ 13

Conclusión ......................................................................................................................................... 14

Fuente ............................................................................................................................................... 14

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Introducción

Alguna vez te preguntaste que es el numero áureo, o que tiene que ver con nuestra vida

cotidiana, si es así te sorprenderías al saber que tan seguido y presente se encuentra en

nuestra vida diaria, es cierto se encuentra en las flores, pinturas incluso en nuestra

fisionomía, es realmente increíble en donde podemos encontrarlo si esto te intereso te

invito a que leas este trabajo ya que aparte de hablar del número áureo te hablara de la

serie de Fibonacci y en que están relacionados ambos.

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Numero Áureo

Definición

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:

El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.

El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es una constante que percibimos a diario, aunque apenas nos demos cuenta. Aparece en las proporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objeto que respeta la proporción marcada por el número áureo transmite a quien lo observa una sensación de belleza y armonía. Veamos un poco más en qué consiste.

El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen en matemáticas tres constantes que son definidas con una letra griega:

p=(3,14159…).

Pi, es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

e=(2,71828…)

e, es el límite de la sucesión de término general (1+1/n)^n. e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1.

F= (1,61803…).

Phi, el número de oro. Matemáticamente hablando, podemos definirlo como aquel número al que, tanto si le sumamos uno como si lo elevamos al cuadrado, sale el mismo resultado.

Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales.

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Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. El número áureo era conocido en la antigua Grecia y se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos.

Relación Con Las Artes y La Naturaleza

Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del

matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las

proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre

perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo

adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo

a la mano es el número áureo.

A lo largo de la historia, desde pensadores hasta matemáticos o teólogos han meditado

sobre la misteriosa relación que se establece entre el número áureo y la naturaleza de la

realidad. Esta curiosa relación matemática, conocida popularmente como la

Proporción Divina o Áurea, fue definida por Euclides hace más de dos mil años a raíz de su

papel crucial en la construcción del pentagrama, al cual se le atribuyen propiedades

mágicas.

Desde entonces, ha mostrado una propensión a aparecer en una variedad de lugares de lo

más sorprendentes que veremos a continuación:

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Extremo áureo

Girasol

El número áureo también aparece en la

formación de los flósculos de los girasoles y en

la disposición de los pétalos de algunas plantas

como los cactus o rosas:

También rige las dimensiones y formas

de GALAXIAS que contienen billones de

estrellas y define la dinámica de los

agujeros negros. Pero también

podemos encontrar la belleza de la

espiral de Dudero en HURACANES.

El rectángulo de numerosos objetos nos

resultan especialmente armoniosos hasta

tal punto que las primeras trajetas de

crédito tenían las dimensiones de esos

rectángulos especiales ya que tienen unas

proporciones determinadas y una extraña

propiedad a la que se le atribuye el

número áureo.

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Curiosamente, muchos matemáticos han encontrado esa proporción divina en muchos

instrumentos (tanto en la estructura interior y exterior) como el que os mostramos a

continuación: EL VIOLÍN.

Una de las curiosas

representaciones en las que

volvemos a encontrar a Fi, es en la

formación de los copos de nieve y

su particular forma estrellada.

¿Pura casualidad? ¿O necesitamos

más ejemplos para demostrar que

muchos de los fenómenos naturales

que ocurren se pueden explicar a

base de las matemáticas?

No solo aparece en la

naturaleza, sino que también

esta proporción puede

aparecer en el ser humano, por

eso muchos matemáticos y

científicos han desarrollado

teorías sobre las modelos o la

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gente que nos parece atractiva, es porque en la estructura de su cuerpo aparece la divina

proporción en muchos de las partes de nuestro organismo. En el caso de la fotografía

aparece en las falanges de los dedos de una mano.

En esta imagen vemos representado la famosa

espiral de Dudero (pintor renacentista) que se

forma a partir del rectángulo áureo y que

podemos encontrar en la formación de las

conchas de muchos moluscos

Al igual que en

la imagen

anterior, podemos encontrar la espiral del rectángulo

áureo en los cuernos de muchos animales como los

rumiantes.

Pirámide de Keops

El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de

Keops, que data del 2600 a.C...

Esta pirámide tiene cada una de sus caras

formadas por dos medios triángulos

áureos: la más aparente, aunque no la

única,

relación

armónica

identificable

en el análisis

de las

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proporciones de este monumento funerario

en apariencia simple.

El Partenón

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego

En la figura se puede comprobar que AB/CD=.

Hay más cocientes entre sus medidas que dan

el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y

CD/CA=.

El Templo de Ceres

El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un

sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados,

sobre todo, con el orden dórico.

Para finalizar este apartado, muchos científicos incluso han sugerido que el número áureo

y sus proporciones están conectadas con el comportamiento de los mercados de valores y

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el crecimiento de muchos animales y plantas que mantienen la forma y conservan las

proporciones entre sus partes directamente con el número de oro.

No solo podemos encontrar el número áureo y sus propiedades y proporciones en estos

ejemplos, muchos de los objetos geométricos que hay en nuestro alrededor como los

billetes, los huevos de las gallinas, las estrellas de mar, las billeteras, todas las flores

pentagonales también contienen las características de este número mágico.

Serie de Fibonacci

Definición

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números que, empezando por la unidad, cada uno de sus términos es la suma de los dos anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8,13,...). Resulta sorprendente que una construcción matemática como esa aparezca recurrentemente en la naturaleza. La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los conejos o la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1) Análogamente, el 3 es sólo (1+2), Y el 5 es (2+3), ¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

¡Así de simple!

Aquí tienes una lista más larga:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...

La regla

La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series):

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La regla es xn = xn-1 + xn-2

Donde:

xn es el término en posición "n" xn-1 es el término anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término se calcularía así:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Relación Con Las Artes y La Naturaleza

Si. El largo de tus falanges también respeta la sucesión de Fibonacci.

El número de conejos coincide con cada uno de los términos de la

sucesión de Fibonacci.

Relación Entre El Número Áureo Y La Serie De Fibonacci

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El número áureo también está “emparentado” con la serie de Fibonacci. Si llamamos Fn al

enésimo número de Fibonacci y Fn+1 al siguiente, podemos ver que a medida que n se hace más

grande, la razón entre Fn+1 y Fn oscila, siendo alternativamente menor y mayor que la razón

áurea. Esto lo relaciona de una forma muy especial con la naturaleza, ya que como hemos visto

antes, la serie de Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos. El número

áureo, por ejemplo, relaciona la cantidad de abejas macho y abejas hembras que hay en una

colmena, o la disposición de los pétalos de las flores. De hecho, el papel que juega el número

áureo en la botánica es tan grande que se lo conoce como “Ley de Ludwig”. Quizás uno de los

ejemplos más conocidos sea la relación que existe en la distancia entre las espiras del interior

espiralado de los caracoles como el nautilus. En realidad, casi todas las espirales que aparecen en

la naturaleza, como en el caso del girasol o las piñas de los pinos poseen esta relación áurea, ya

que su número generalmente es un término de la sucesión de Fibonacci.

Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:

Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.

Ejemplo:

Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.

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Actividad

REALOZADO EN GEOGEBRA

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Conclusión

Es sorprendente el ver en que tantos lugares se presenta nuestro famoso numero áureo, pues

nadie se imaginaria el que este se encontrara ya hace cientos de años, haciendo uso de estos

principalmente Leonardo Da Vinci, con sus múltiples pinturas e inventos, además de el uso que

observamos y damos a la serie de Fibonacci y lo más sorprendente que ambas de alguna u otra

forma están relacionadas.

Fuente http://www.monografias.com/trabajos75/numero-aureo/numero-aureo.shtml

http://www.abc.es/20100415/ciencia-tecnologia-matematicas/numero-aureo-belleza-

matematica-201004151848.html

http://www.castor.es/numero_phi.html

http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/12110839/El-numero-de-Oro-en-la-

naturaleza.html

http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html