Capítulo 3

Sistemas Mecánicos II

3.1 Inercia y Rigidez concentradas

de elementos flexibles

3.2 Respuesta natural de sistemas flexibles

con un grado de libertad (DOF)

Inercia

Rigidez

3.3 Sistemas mecánicos con múltiples

grados de libertad

Grados de libertad (DOF)

Respuesta Natural

Respuesta forzada con Simulink

Mecanismo Flexible

Parámetros concentrados de elementos flexibles

Viga en flexión

Inercia y rigidez distribuidas

Barra en torsion

Inercia y rigidez concentradas

Eje

mp

lo:

mie

mb

ro f

ijo-l

ibre

Inercia concentrada de elementos flexibles

Inercia distribuida

l

me

l

me

l/2

l

Je

l

l/2

Je

l

Cantilever (fixed-free beam)

l

Fixed-guided beam

l

Bridge (fixed-fixed beam)

l

Fixed-free bar

l

Fixed-fixed bar

33

140em m

13

35em m

1

3eJ J

Vig

as

Ba

rras

Inercia equivalente

Inercia concentrada de elementos flexibles

Apéndice D

Momento de inercia mecánico de un cilindro de masa m, radio R,

longitud l, y densidad de masa ρ con respecto a su eje de simetría es:

Momento de inercia mecánico de un prisma es:

Ejemplo 3.1 Calcule momento de inercia equivalente en términos de:

• rotación en eje x

• rotación en eje y Placa rígida Miembro flexible

2 2 4 4, 2 2

, ,

12 2

3 12 3 32 12 4

b x

e x p x

abh a hJ l d ldJ J abh a h

Placa Barra en torsión Rotación en el eje x

2 2 2 22 2 2 2

, , ,

13 132 2

2 12 35 4 4 4 3 70e y p y e y

abh b h ah b hb d b b lbdJ J m l

Placa Viga en flexión Rotación en el eje y

Inercia concentrada de elementos flexibles

Rigidez distribuida Rigidez equivalente

l

Fixed-guided beam

l

Bridge (fixed-fixed beam)

l

Fixed-free bar

l

Fixed-fixed bar

l

Cantilever (fixed-free beam)

l

ke

l

l/2

ke

l

ke

l

ke ke

Vig

as

Bara

s

3

3e

EIk

l

3

12e

EIk

l

3

192e

EIk

l

te

GIk

l

2 te

GIk

l

Módulo de Young

Momento

de inercia

de área

Módulo de corte

Momento

de inercia

de torsión

Rigidez concentrada de elementos flexibles

Rigidez concentrada de elementos flexibles

Apéndice D

El momento de inercia de area de un cilindro de

diámetro d es:

Para sección transversal rectangular (w x h):

Ejemplo Calcule rigidez equivalente del resorte serpentina en términos de:

• traslación a lo largo del eje x

Resorte real Resorte serpentina Modelo equivalente

,

1 2 1

e s s lk k k

33 3

312 ; 12

22

y y y

s l

EI EI EIk k

l ll

, , 3

122

5

y

e e p e s

EIk k k

l

ks – rigidez de viga corta

kl – rigidez de viga larga

Vea Ejemplo 3.2

Rigidez concentrada de elementos flexibles

Una

serpentina:

Usando tabla

de

conversiones:

Combinación en paralelo total:

Respuesta Natural de Sistemas Mecánicos flexibles de

un DOF (Degree Of Freedom)

Ejemplo 3.4

Microacelerómetro

MEMS

Rigidez equivalente del dispositivo:

Las vigas son “fija-guiada”, por lo que:

E: Módulo de

Young

I: Momento de

inercia de área

Microacelerómetro

Ejemplo 3.4

masa equivalente:

masa equivalente de las vigas largas

frecuencia natural:

frecuencia natural sin

incluir las contribuciones

de inercia de los resortes:

error al no considerar la

inercia de los resortes:

Sistemas flexibles de un DOF: respuesta natural

Detección de masa en MEMS por cambio de frecuencia

Sistema sin partícula ω en

e

k

m

*ω en

e p

k

m m

Sistema con partícula

Viga real Modelo de parámetros concentrados

Uso de frecuencias naturales de flexión o torsión de vigas o puentes micro/nano para evaluar la cantidad o posición de masa depositada en un punto

2

ω Δω

ep e

n n

km m

*Δω ω ωn n n

Ejemplo

Parámetros concentrados

flexión

,

2ω b

n b

k

m

*

,

2ω b

n b

p

k

m m

,

2ω t

n t

k

J

22 2

,

2*

,

11

2 3

n t

p n t

whl w hb

m

Calcule

• Masa adherida mp

• posición b

*

,

2ω t

n t

p

k

J J

Se conoce:

• frecuencias

• Parámetros y

geometría de

materiales

Parámetros concentrados

torsión

2 2

12

mJ w h

Ver

Ejemplo 3.5

Sistemas flexibles de un DOF: respuesta natural

Detección de masa en MEMS por cambio de frecuencia

Sistemas Mecánicos: grados de libertad (DOF)

Grados de libertad (DOF) Mínimo número de parámetros que definen completamente la

configuración (estado) de un sistema

Ejemplos

Sistema de un-DOF Sistema de dos-DOF

x

y

z

x1, y1, z1

x2, y2, z2

l

Dos partículas en espacio 3-D

2 2 2

1 2 1 2 1 2l x x y y z z

# DOF aparentes = 6

# restricciones = 1

# DOF = 6 – 1 = 5 # DOF = # DOF aparentes – # restricciones

Regla para establecer # DOF

Ejemplo con restricciones

DOF aparentes = φ, θ, y, x1, x2 # DOF aparentes = 5

Restricciones

2

2 1 2

1 1

1

θ

θ

2 θ

x l

x R R

x R

y R

# restricciones = 4

# DOF = 5 – 4 = 1

Ver ejemplo 3.6

Sistemas Mecánicos: grados de libertad (DOF)

𝐴 = 𝜋𝑟2

Sistemas Mecánicos: Método de la Energía

Energía Potencial Gravitacional

𝑈𝑔 = 𝑚𝑔ℎ

Método de la Energía

Energía total constante gE T U U 0e g

dE dT U U

dt dt

Energía cinética

Energía potencial elástica

Energía potencial gravitacional

Modelo Matemático

Sistemas Mecánicos: Método de la Energía

𝐴 = 𝜋𝑟2

Sistemas Mecánicos: Método de la Energía

Ejemplo 3.7

Sistemas Mecánicos: Método de la Energía

Ejemplo 3.7 Energía cinética del sistema:

Teorema del coseno:

También conocemos que:

La energía cinética queda así:

La energía potencial total es:

La derivada de la

energía total:

Esta ecuación sólo puede ser

válida cuando se cumple: Modelo matemático

del sistema

Energía Total del sistema:

Respuesta Natural y el Problema Modal Enfoque Analítico

Ejemplo 3.8 Calcule las frecuencias naturales y determine los modos

Derivada:

Solución no trivial

(Modelo matemático):

Ecuación característica

Frecuencias naturales

1 1 1 1 1 2

2 2 1 1 1 2 2

0

0

J k k

J k k k

1 1

2 2

θ Θ sin ω

θ Θ sin ω

t

t

2

1 1 1 1 2

2

1 1 2 1 2 2

ω Θ Θ 0

Θ ω Θ 0

J k k

k J k k

2

1 1 1

2

1 2 1 2

ω0

ω

J k k

k J k k

21

2

22

2

2 3

2 3

n

n

k

J

k

J

1

2

2

1 2 21 11 11 2

2 21 1 1 1 2

2

2 2 21 12 12 2

2 22 2 1 1 2

3 1

2 3 1

3 1

2 3 1

n

n

n

n

n

n

J kkr

J k k

J kkr

J k k

1 2ω ω

1 1

;3 1 3 1

1 1n n

V V

Modos (eigenvectors)

11 1

21 1

1θ sin ω

3 1

θ sin ω

n

n

t

t

12 2

22 2

1θ sin ω

3 1

θ sin ω

n

n

t

t

Respuesta Natural y el Problema Modal Enfoque Analítico

Ejemplo 3.8 (Continuación)

Movimiento Modal 1 Movimiento Modal 2

Gráfico de los movimientos modales:

Ver MATLAB/Ejemplo 3.8

Ejemplo

Matriz de inercia

θ θ 0M K

1 1 1

2 1 1 2

0;

0

J k kM K

J k k k

Matriz de rigidez

1 2θ θ θt

Vector de coordenadas

(desplazamiento)

θ Θ sin ωt

Modelo matemático

2ω Θ Θ sin ω 0M K t 2ω Θ Θ 0M K 1 2Θ ω ΘM K

λ Θ 0D I

2

1

λ ω

D M K

det λ 0D I

Ecuación característica

1 2ω , ωn n

Matriz dinámica

Valor propio

Vea Ejemplo 3.9

Respuesta Natural y el Problema Modal Enfoque con MATLAB: Matriz dinámica y problema de valores propios

Ver MATLAB/Ejemplo 3.9

Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink

Ejemplo

Segunda ley de Newton

Modelo matemático

Modelo de parámetros concentrados Modelo físico

1 1

2 2

2

2

e e

e e

mx f f f

mx f f

1 1 1 1 2 2 2 2; ;e e ef k x f k x x f k x

11 1 2

1 1 1

22 1 2

2 2

1k k kx x x f

m m m

k kkx x x

m m

1 11 1 12 2

1

2 21 1 22 2

1x a x a x f

m

x a x a x

Diagramas de

cuerpo libre

Modelo matemático

para Simulink

0.0052 tf e N Grafique

desplazamientos Parámetros de materiales y geométricos Conocidos

Ver Ejemplo 3.10

Ejemplo (continuación) Gráficos en MATLAB

Modelo en Simulink

Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink

1 11 1 12 2

1

2 21 1 22 2

1x a x a x f

m

x a x a x

Ver MATLAB/Simulink/Ejemplo 3.10 Resultados: MATLAB/Ejemplo 3.10

Problemas Capítulo 3

Problema 3.2

Problema 3.5

Problema 3.8

Problema 3.12

Problema 3.17

Ver MATLAB/Simulink/Problema 3.17