Analisis de-los-sistemas-dinamicos

ANÁLISIS DE SISTEMAS DINAMICOS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO POR TÉCNICAS DE CONTROL CLÁSICAS Y MODERNAS JOSUE FERNANDO RONCANCIO BERNAL. 01/01/2010

[2]

ANÁLISIS DE SISTEMAS DINAMICOS

Ingeniero:

JOSUE FERNANDO RONCANCIO BERNAL.

OBJETIVO:

Analizar por teoría clásica y moderna los sistemas dinámicos.

CAPITULO I. GENERALIDADES

1. Introducción. 2. Clasificación de los sistemas. 3. Características de los sistemas dinámicos 4. Tipos de entrada típicas para los análisis de los sistemas dinámicos. 5. Matriz de comportamiento o respuesta de los sistemas dinámicos

CAPITULO II. MODELAMIENTO O MODELAJE DE SISTEMAS DINAMICOS

1. Introducción 2. Tipos de modelos matemáticos. 3. Modelamiento de sistemas electro-mecánicos. 4. Analogías electro-hidráulicas. 5. Analogías electro-Neumáticos. 6. Analogías electro-térmicas. 7. Técnica del Circuito equivalente.

CAPITULO III. COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINAMICOS.

1. Introducción 2. Técnicas de análisis de estabilidad. 3. Técnicas de análisis de exactitud. 4. Análisis de respuesta Transitoria Dinámica

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4.1. 1°Orden 4.1. 2° Orden

CAPITULO IV. ANALISIS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS EN EL ESPACIO –ESTADO.

1. Introducción 2. Definición de las variables de estado. 3. Técnicas de la representación de estado. 4. Análisis de: Estabilidad.

Controlabilidad. Observabilidad.

5. Ejemplos.

ANEXO-INTRODUCCION AL SIMULINK.

BIBLIOGRAFIA: 1. Dinámica de Sistemas. Katsuhiko Ogata. Pretince hall. 2. Ingeniería de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Pretince hall. 3. Dinámica y sistemas de control.

CAPITULO I. GENERALIDADES

1.1. Introducción. Sistema: Se define como conjunto o interconexión d elementos que interactúan para cumplir una función previamente determinada, se caracteriza por ser un proceso tangible. Proceso: secuencia de pasos o actividades realizadas o ejecutadas para cumplir un objetivo previamente determinado, se caracteriza por ser un proceso No tangible.

1.2. Clasificación de los sistemas.

1.2.1 De acuerdo al Tipo de sistema:

1.2.1.1. Sistema Lineal: La salida es proporcional a la entrada, de la misma forma cumple con la característica de homogeneidad.

Los sistemas lineales se clasifican en: L.I.T

L.V.T

1.2.1.2. Sistema No lineal:

[4]

1.2.2. De acuerdo a la señal de entrada.

1. 2.2.1. Análogos o Continuos: manipula señales que no varían de acuerdo al tiempo.

1. 2.2.2. Discretos o Digitales: Procesa señales de diferentes valores en el tiempo.

1.2.3. De acuerdo al N° de entradas y salidas.

1. 2.3.1. Monovariables o SISO: Única entrada y única salida.

1.2.3.2. MIMO o Multivariables.

1.2.4. Sistemas de Lazo

1.2.4.1. Sistemas de Lazo Abierto.

1.2.4.2. Sistemas de Lazo Cerrado.

1.2.5. De acuerdo al Tipo de memoria

1.2.5.1. Con memoria.

1.2.5.2. Sin memoria.

1.2.6 De acuerdo a los parámetros:

1.2.6.1. Deterministico: De acuerdo a los parámetros se puede modelar.

1.2.6.2. NO Deterministico.

1.2.7. De acuerdo al tipo de operación.

1.2.7.1. Sistema Manual: El operador interviene en alguna de las acciones o actividades.

1.2.7.2. Sistema Automático: El operador NO interviene.

1.2.8. De acuerdo al sistema de regulación.

1. 2.8.1. Sistema de Regulación: Cuando la variable es constante en el tiempo.

1. 2.8.2. Sistema de Seguimiento: Cuando la variable cambia con el tiempo.

1.3. CARACTERSITICAS DE LOS SISTEMAS:

1.3.1. Estabilidad: La capacidad que tiene un sistema para que alcance el estado de equilibrio, estado estable, estado estacionario o régimen permanente después de que ha ocurrido un cambio en el sistema. Generalmente ocurre debido a una perturbación del sistema.

1.3.2. Exactitud, Precisión o Error: El error en un sistema está determinado por la tolerancia permitida en la respuesta del sistema.

[5]

1.3.3.Respuesta del Sistema:

Para analizar la respuesta es necesario:

Que el sistema cumpla con la propiedad de linealidad, e invariable en el tiempo. Condiciones iníciales iguales a “0”.

La respuesta se analiza en el dominio del tiempo y se divide en:

-Respuesta estacionaria o estable

-Respuesta dinámica o transitoria.

Canal de Exactitud. Depende del error del sistema, por lo general es de 1, 2, 5%, y la estabilidad No depende de la señal de entrada.

Tiempo de Respuesta : Tiempo que tarda la respuesta Dinámica en llegar a su estado estable.

[6]

1.4. TIPOS DE ENTRADA PARA LOS ANALISIS DE SISTEMAS DINAMICOS.

1.4.1. Entrada Impulsiva Unitaria.

La aplicamos cuando el sistema está sometido a cambios bruscos pero NO suficientes.

1.4.2. Entrada posición, Escalón Unitario u Orden Cero.

[7]

1.4.3. Entrada Velocidad, Rampa u Orden Uno

1.4.4. Entrada Cuadrática, Aceleración u Orden Dos

SUPOSICIONES PARA EL ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS.

1. El sistema tiene condiciones iníciales=0. 2. El sistema es L.I.T(Linealmente Invariante en el Tiempo) , por tanto es válido todas

las proporcionales.

CAPITULO II. MODELAMIENTO O MODELAJE DE SISTEMAS DINAMICOS

Para analizar cualquiera sistema es necesario tener un modelo matemático y se define como Modelo Matemático la representación matemática de un proceso.

[8]

2.1. Tipos de Modelo:

2.1.1. Conjunto de Ecuaciones Diferenciales

2.1.2. Funciones de Transferencia.

2.1.3. Representación de Estado

2.1.1. Conjunto de Ecuaciones Diferenciales:

El conjunto de ecuaciones diferenciales son invariables en el tiempo, es decir con coeficientes constantes y se obtiene con Transformada de Laplace.

2.1.2. Funciones de Transferencia.

Características de la función de Transferencia:

• No nos dice como esta interconectado los elementos del sistema. • Es una representación externa del sistema. • Para que el sistema sea físicamente realizable, el orden del denominador debe ser

mayor que el numerador.

En todo polinomio se puede obtener “n” raíces, que se conocen como los ceros del sistema, estos afectan al sistema atreves de la velocidad y en ningún momento interfiere con la exactitud ni con la respuesta del sistema como será analizado más adelante.

B(S) o Denominador de función de transferencia del sistema, se conoce como polinomio característico. Este nos ayuda a determinar la estabilidad, exactitud y respuesta.

m= Raíces o polos del sistema., y se representan por una “X”.

( ) ( )( )

( )( )

( )( )tBtN

tRty

trty

SFCI

==℘℘

==0

nmaaaabbbb

n

n

mssso

nssso ≥++++

++++;

...

...

21

21

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2.1.3. Representación de Estado:

Es una representación interna de los sistemas por tanto es más fácil controlarlo, la representación de estado es válida para cualquier tipo de sistema, se basa en una representación estrado vectorial-matricial, por tanto debe aplicarse una herramienta computacional.

2.2. Modelamiento de sistemas electro-mecánicos.

Para modelar un sistema se requiere una secuencia de pasos que son las siguientes:

1. Identificar el tipo de sistema corresponde. 2. Identificar las Leyes que rigen el comportamiento de cada sistema. 3. Identificar los elementos activos y los elementos pasivos :

Elementos Activos: Suministran energía al sistema (Fuerza, Torque, desplazamiento).

Elementos Pasivos: Convierten, disipan o almacenan energía. (Entre los pasivos tenemos masa, fricción, elasticidad).

Elemento Pasivo Traslacional Rotacional Masa m J Fricción C b Elasticidad K G

OBTENCION DE UN DIAGRAMA ESQUEMATICO DEL SISTEMA A MODELAR.

Ejemplo:

Se tiene la figura 2.1ª y 2.1b. Aunque su posición es distinta la forma de modelarlas es igual.

Figura 2.1a Figura 2.1b

[10]

Procedimiento para Modelar un Sistema:

2.2.1. Obtención Diagrama de fuerzas.

2.2.2. Obtención función de Transferencia.

2.2.3. Obtención Diagrama de bloque.

2.2.1. Diagrama de Fuerzas:

Figura 2.1.c) Diagrama de Fuerzas para el esquema vertical.

Figura 2.1.d) Diagrama de Fuerzas para el esquema Horizontal.

2.2.2. Obtención función de Transferencia.

2. se obtiene la transformada de Laplace en cada ecuación con las condiciones iníciales=0.

() mcssmkmcsmmssF +=++= 22

[11]

2.2.3. Por último se representa nuestra ecuación que representa el sistema en un Diagrama de Bloque. Tal como lo muestra la Figura 2.1.e

DIAGRAMA DE BLOQUE:

Es una representación grafica de la forma que están conectados los componentes de un sistema.

1. Permite obtener la función de transferencia global atreves de manipulaciones graficas, sin necesidad de manipulaciones matemáticas.

2. Permite simular el sistema con software (Uno de estos software es Simulink; una aplicación de Matlab).

Elementos de un Diagrama de Bloque:

Ramas (Representa la variables)

Bloque Representa la función de Transferencia.

Bifurcación: Existe cuando una entrada y una salida van conectada a diferente bloque.

[12]

Punto Suma: es la suma algebraica de varias entradas y única salida.

2.3. ELEMENTOS DE TRANSFORMACIÓN DE ENERGÍA:

Sistemas Traslacionales:

2.3.1. Palanca

Consideraciones para el análisis de la palanca:

• No tiene masa; es decir que se considera como un elemento ideal. • Funciona como un amplificador mecánico

[13]

2.3.2. Tren De Engranajes:

Consideraciones para el análisis del Tren de engranajes:

• Elemento lineal. • N= Relación de engranajes. • La velocidad tangencial en el punto de contacto es la misma para los dos engranes. •

2.3.3. TRANSFORMADOR

2.3.4. Motor De Corriente Continua

El motor de corriente continua es una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica, principalmente mediante el movimiento rotatorio. La principal característica del

[14]

motor de corriente continua es la posibilidad de regular la velocidad desde vacío a plena carga.

[15]

Para modelar los motores de corriente continua existen 2 métodos:

• Motor controlado por Armadura. • Motor Controlado por Campo.

2.3.5. Modelo Circuito De Armadura:

(1)

(2); Donde “Se denomina constante de velocidad”.

2.3.6. Modelo Circuito De Campo:

3 ; Genera el movimiento en el flujo en los 2 campos.

4

[16]

2.3.7. Modelo Del Motor De Corriente Continua Controlado Por Armadura

; Entonces no interviene la ecuación (3).

1. 2. ; donde eb se denomina Fuerza Contra electro-Motriz. 3.

Dominio de “S”

1. 2. 3. ; Donde “Se denomina constante de Torque”.

1°.

1

2°.

3°.

2.3.8. Modelo Del Motor De Corriente Continua Controlado Por Campo

1

[17]

2.3.9. Motor De Movimiento Lineal ( O Solenoide).

Permite obtnener un solo movimiento(como su nombre lo inidca en este caso lineal), presenta un solo devanado que al aplicarle una exitacion genera un campo y un movimiento lineal. Presenta un momento de inercia , una resistencia y entrega una velocidad lineal.

[18]

Transformacion del Circuito.

1

2

3

De la ecuacion (2), tenemos: , por tanto las funciones de transferencia

son:

Y su Diagrama de bloque queda por tanto:

[19]

2.3.10.Generador o Dinamo:

Este disposiotivo se utliza como sensor de velocidad y es un Motor de Corriente continua donde el devanado de campo se reemplaza por un iman permanentre, con resistencia e inductancia de armadura despreciable. Se utiliza como:

• Tensor de velocidad angilar. • Convertidor de Energia mecanica en energia electrica.

2.3.11.MECANISMOS ELECTRICOS:

Amplificador Diferencial:

Caracteristicas del Amplificador Diferencial:

1.) 2 entradas y unica salida, la salida es igual a la Σ algebraica de las entradas, tiene una entrada poitiva y una negativa y una salida afectada por una ganancia.

Funciona como un comparador , en control se utiliza comno detector de error, las ganacias son unitarias y la salida es la diferencia del error.

[20]

2.) Como Inversor

Donde K se considera la Ganancia.

3.) Como sumador

4.) Como Integrador: La salida es la integral de entrada.

5.) Como Derivativo.

[21]

2.3.12.Potenciometro:

Se utilia como sensor o detector de alguna variable. Existen potenciometros:

• Lineales • Angulares

COMO SENSOR DE POSICION

2.4.MODELAMIENTO DE SISTEMAS ELECTRO-MECANICOS.

[22]

1)Circuito Electrico solenoide.

SISTEMA MECANICO:

RELACION DE VELOCIDADES:

[23]

En la Valvula entra un desplazamiento; pero sale una fuerza

Diagrama de Bloque Para Todo el Sistema.

2.5.ANALOGIAS ELECTRO-MECANICAS.

Las analogias nos permiten analñizar sistemas a aperir de ciruitos electricos y nos permite obtener el modelo matematico de sisteas a partior de modelos de circuitos analogos.

Se demuestra que 2 sistemas son analogos a partir de los modelos matematicos.

2 sistemas son analogos si sus modelos matematicos obtenidos en forma individual son identicos.

-Analogia Directa.

-Analogia Dual.

XEntrada=

[24]

Ejemplo: Demostrar que los sistemas son equivalentes:

Para m2

Para m1

Para Elemento 2 tenemos:

1

Para Elemento 1 se tenemos:

2

Circuito Electrico:

[25]

Para Nodo 1 tenemos:

1 1

Para Nodo 2 tenemos:

1 1 1

Ordenando y remplazando:

1 1

1

1 1 3

Para 2 tenemos:

1 1

1

1 1

1 1 4

Comparando 1 con 3 y 2 con 4 tenemos en resumen la tabla de analogia directa.

1/R1 1/R2

1/L1

De manera general se puede obtener la siguiente tabla que relaciona las diferentes analogias electo-mecanicas.

[26]

2.6.ANALOGIA ENTRE SISTEMAS ELECTRTICO-HIDRAULICOS:

Los sistemas hidraulicos incluyen fluidos y se puede parametrizar con Inductancia, resistencia y capacitancias.

Resistencia: Oposicion a un flujo y se defuine como la dieferencia de potencial.

∆

Capacitancia: Todo elelemento en capacidad de almancear energia y se define como la cantidad de energia alamacenada con respecto a la variacion de potencial.

: ; 1

Inertancia: Se define como la oposiciob al cambio de flujo y No se presenta hasta que No haya contacto de los elementos

∆∆

∆t

Q Valores en estado estable, antes de que haya ocurrido un cambio en el sistema.

[27]

Parametrizacion del Sistema:

= ; ∆∆

;

; ∆

[28]

Ejemplo:

;

1)

1 2

Tabla de Equivalencia Electro-Hidrauilica.

Rh R Ch C I q

[29]

2.7.ANALOGIA ENTRE SISTEMAS NEUMATICOS-HIDRAULICOS:

Haciendo la transformacion del Circuito a Impedancias.

Ecuaciones:

Nodo

[30]

1

1 1

Nodo

1

1 1

Su diagrama de bloque queda

Tabla de equivalencia entre Circuito Hidraulico y Neumatico.

H P Q Q Rh Rp

Ch CP

Lh Lp

2.8.TECNICA DEL CIRCUITO EQUIVALENTE:

Nos permite obtener el circuito analogo directo utilizando la tecnica del circuio equivalente.

1.Paso: Diagrama mecanico esquematico equivalente.

2.Paso: Definir las masa como Nodos

3.Paso: Obtencion del circuito mecanico equivalente(por definicion las masas van al nodo de refrencia) y se ubican los elementos o bordes entre nodos.

4.Paso:Obtencion del circuito analogo-directo(Dibujamos la misma topologia del diagrama mecanico equivalente y reemplazamos:

Fuentes de corriente ►(por) Torque .

Fuerzas de voltaje ►(por) Por fuentes de velocidad lineal o angular.

[31]

Masas o momentos de Inercia ►(por) Condensadores o capacidades.

Elementos de elasticidad ►(por) Inductancias.

Elementos de ficcion o amortiguadores ►(por) Resistencias.

5.Paso. Obtencion del modelo del circuito electrico y utilizando las tablas se pasa almodelo mecanico equivalente.

Ejemplo:

[32]

Notese que hemos facilitado el diargrama haciendo uso de las Impedancias Z(s).

Las funciones de Transferencia para los respectivos nodos quedan:

1 1

11

1 2

11

1 1 3

2.9.ALGEBRA DE DIAGRAMA DE BLOQUE

El algebra de diagrama de bloques nos permite obtener funciones de transferncia sin manipulaicones matematicas Si no a partir de funciones graficas.

1.Descomposicion, Intercambio o Fusion de Punto Suma.

[33]

2.Reduccion de Bloques en sere o Cascada.

3.Reduccion o Simplificacion de Bloques en Paralelo.

4. Adelanto o desplazamiento a la derecha de un Punto suma.

[34]

5.Retreaso o desplazamiento hacia la Izquierda de un Punto Suma.

6.Adelanto o desplazamiento a la derecha de una Bifurcación.

7.Atraso o Desplzamiento a la izquierda de una Bifurcación.

[35]

8.Reduccion de bloques retroalimentados.

Ejemplo: Mediante Diagrama de bloques reducir el siguiente diagrama.

1° Reduccion de bloques en Casacda.

[36]

2° Adelantamiento de Bifurcacion.

3° Adelantamiento de Punto Suma.

4° Reduccion de Bloques Retroalimentados.

[37]

2.10.DIAGRAMAS DE FLUJO:

Los diagramas de flujo o reogramas nos permiuet obetneer funciones de Transferencia mediante la aplicación de una foprmula conocida como Formula de Mason. No hay ni manipulaciones ni operaciones algebracias.

Elementos de los diagramas de Flujo:

2.10.1.Rama: Una rama nos representa la Transmitancia o funcion de Transferencia y se representa por

2.10.2.NODO:

Representa la convergencia de varias ramas y tiene como caractersitica uan sola salida.

La salida es igual a la suma de las entradas (En un diagrama de bloque es equivalente a un punto suma).

2.10.3.TRAYECTORIA: Es un camino abierto entre una entrada y una salida y NO toca un nodo mas de una vez.

[38]

La Transmitancia o funcion de Transferencia es igual al producto de las transmitancias de las ramas individuales que forman la trayectoria.

m= N° de Trayectorias entre una entrada y uan salida.

Ciclo: Un ciclo es una Trayectoria cerrada que No toca un nodo mas de una vez, su transmitacna es igual al producto de las transmitacioasn que lo conforman.

L(S)= Ganancia o Transmitancia de cada ciclo.

n= N° de ciclos.

2.10.4.FORMULA DE MASON:

∆∆

Donde ∆ .

Pasos para Obtener la Funcion de Transferencia.

1. Obtener el N° de ciclos y la transmitancia de cada ciclo. 2. Obtener el determinante o polinomio caracterisitico ∆ , de la siguiente manera:

∆ 1 …

∆ Cofactor, cada trayectoria tiene un cofactor y se obtiene eliminando el determinante de la ganacia de los ciclos que tocan la Trayectoria.

[39]

Las Trayectorias de Color, en este caso indican los ciclos del diagrama.

El diagrama de Flujo para el ejemplo anterior queda:

Trayectorias: Para el anterior diagrama de flujo las trayectorias quedan:

Ciclos:

[40]

Formula de Mason:

∆ 1 …

∆ 1 1

Coefactores: ; ∆ 1

; ∆ 1

; ∆ 1

; ∆ 1

∆ ∆ ∆ ∆1

CAPITULO III. COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS DINAMICOS.

[41]

3.1. TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE ESTABILIDAD.

Existen métodos gráficos y métodos numéricos para el análisis de estabilidad. Nosotros nos encargaremos del análisis detallado del método numérico.

Método Grafico: Obteniendo los polos o las raíces del polinomio característico, se puede determinar la estabilidad del sistema.

3.2.1. METODO NUMERICO:

Existe software que lo realiza y se basa en el criterio de Routh-Hotwiz ó “RH” de los sistemas. Nos permite analizar la estabilidad sin la necesidad de obtener los polos, sin o aplicando el criterio de las condiciones necesarias y suficientes. El procedimiento es el siguiente:

Tomamos el polinomio característico y lo igualamos a cero(Es importante igualar a 0; como si fuéramos hallar sus raíces.)

3.2.2. CRITERIO DE ROUTH-HOTWIS

1) Condiciones necesarias:

1. Que existan todas las potencias de “S” 2. Que todos los signos del polinomio o ecuación característica sean iguales.

1. Condiciones suficientes: 1. Que no existan cambios de signo en el primero columna en el arreglo de Routh-

Hotwiz ; si por algún motivo hay cambio de signo el sistema se considera inestable.

2. El N° de cambios de signo es igual al N° de raíces o polos del sistema.

ARREGLO DE DE ROUTH-HOTWIZ:

[42]

Es un arreglo de tipo triangular Las filas se identifican en orden decreciente, de las potencias de “S” Cada dos filas se decremento un elemento. Toda una fila se puede multiplicar por una constante con fin de facilitar las

operaciones. El cálculo de los elementos del arreglo se basa en el cálculo de determinantes 2°

orden. Si el polinomio es par, la primera fila tiene un elemento más que la Segunda. Si el polinomio es impar, la primera fila y la segunda fila tiene igual N° de

elementos.

EJEMPLO:

1) Condiciones Necesarias Existan todas las potencias de “S” Todos los signos del polinomio o ecuación característica sean iguales,

recordemos que el polinomio característico es el denominador de la función, En este caso

()=sb () 11 −−=nnaasb

()2=sb () 11−−=nnm aasb

() 11623++= SSsF

[43]

3.2.3. CASOS ESPECIALES

1. Cuando existe un”0” en la primera columna, en una fila; el cero se reemplaza por un N° Є.

Seguimos calculando los demás coeficientes; en función de Є, evaluamos los coeficientes con (0+ y0-); si hay cambio de signo el sistema nos indica que es “Inestable” y el N° de cambios de signo, es igual al N° de polos en el SPI.

Ejemplo:

1) Condiciones Necesarias

Existan todas las potencias de “S”. Todos los signos del polinomio o ecuación característica son iguales.

Arreglo:

S4 1 2 3

S3 1 2 Hemos dividido por 2

S2 0 3

S1

S0 3

En este caso debemos evaluar (2) valores; cuando 0 y cuando 0 ; para determinar el N° de cambios de signo y así determinar la estabilidad del sistema.

Evaluando para 0

S4 1 2 3


S2 + 3

S1 -

S0 3

Tenemos: 2 cambios de signo, por tanto hay 2 raíces en el SPD y como el sistema era de orden 4(S4; tal como se muestra en el polinomio característico, podemos decir que hay 2 polos en el SPD).

( )34252

5.1234 ++++

+=

SSSSSsF

[44]

Evaluando para 0

S4 1 2 3


S2 + 3

S1 -

S0 3

Tenemos: 2 cambios de signo.

2°Caso. Cuando toda una fila tiene elementos nulos, el sistema NO es estable.

Procedimiento:

Formar un polinomio auxiliar; con la potencias de la fila que precede a la fila nula. Ejemplo: Si tomamos la de S2; derivamos el polinomio auxiliar con respecto a este.

Luego reemplazamos la fila nula con los coeficientes de la derivada del polinomio y seguimos calculando los coeficientes.

Nota: El polinomio auxiliar debe dividir exactamente al polinomio original.

S3 1 2 3


S1 0; Como podemos ver el sistema NO tiene cambio de signo, pero No podemos

S0 2 garantizar que el sistema sea estable; por tanto es marginalmente Estable.

Entonces tomamos la fila que precede a la fila nula; en este caso S2 1 2 y formamos un nuevo polinomio auxiliar 2; lo derivamos y tenemos: 2 . Nuestra nueva fila para S1 es S1 2. Obtenemos los polos del sistema, que en este caso serán:

, √2

5

( )1025

623

2

++++

=SSSsSsF

[45]

3.3. SISTEMAS AJUSTABLES:

Son sistemas ajustables porque su comportamiento se puede ajustar con parámetros conocidos como ganancia.

Debemos analizar todos los posibles valores de K.

Obtención del Polinomio Característico:

El arreglo queda:

( ) ()SSS 372 ++++

() ()( )1573 +++= KSSSsB

[46]

S3 1 21

S2 2 3K Hemos dividido por 5

S1 De esta condición se tiene: 0 14

S0 3K De esta condición se tiene: 0



Siempre cuando 0 y 0; de aquí se deduce que el rango es 014

Para seguir con el procedimiento se debe realizar un análisis detallado.

14

14

0

0

• Para 14 tenemos en el arreglo que se realizo anteriormente:

S3 1 21

S2 2 3K Se ha dividido por 5

S1

S0 +

Conclusión: 2 cambios de signo, entonces polos en el SPD.

• Para 14 tenemos en el arreglo que realizamos al principio:

S3 1 21

S2 2 3K hemos dividido por 5

S1 0

S0 3K

Conclusión: Sistema Marginalmente Estable.

[47]

• Para 0 tenemos en el arreglo:

S3 1 21

S2 2 0 hemos dividido por 5

S1 0

S0 0

• Conclusión: Sistema Marginalmente Estable.

3.4. ANALSIS DE EXACITUD, PRECISION, EEROR EN ESTADO PERMANENTE U ESTACIONARIO.

Esta característica se determina a partir de : essp error de posición u orden cero. essv error de velocidad u orden uno. essa error de aceleración u orden dos. METODOS PARA EL ANALISIS DE EXACTITUD.

3.4.1. Definición de error. 3.4.2. Por formula de error. 3.4.3. Por Tipo de Sistema.

3.4.1. Definición de error.

Con

Para aplicar este procedimiento debemos repasar el Teorema del valor inicial y Teorema valor final.

()=℘n stt μ

[48]

Teorema valor final:

Se puede conocer cualquier valor final de cualquier variable en 2 dominios.

∞ lim | | lim | |

Teorema valor inicial:

0 lim lim | |

El error dependerá de la señal de entrada.

3.4.2. Por formula de error.

11

Ejemplo: Analizar el comportamiento en función de K

1_ Reducimos el Bloque Retroalimentado.

[49]

3.4.3. Por Tipo de Sistema:

Se realiza a partir de la ganancia de lazo directo y el tipo de sistema se determina a partir de los factores de “S” en el denominador de la ganancia de lazo directo, es decir los polos en el origen de dicha ganancia.

11

1

1

1

1

ERROR DE POSICIÓN U ORDEN “0” ESSP

1

Sistema Tipo 0 m=0 essp

[50]

lim lim 1

1 | || | | |

lim lim 1

11

• SISTEMA TIPO I m=1 essp =0 “Nulo”

lim

• SISTEMA TIPO II m=2 essp =0 “Nulo”

lim

• SISTEMA TIPO III m=3 essp =0 “Nulo”

lim

Sistema Tipo 1

[51]

ERROR DE VELOCIDAD U ORDEN “1” ESSV

1

• Sistema Tipo 0 m=0 essV= Infinito

lim lim ∞

• Sistema Tipo I m=1 essV= finito

lim lim lim

Donde , “Constante Estática de Velocidad”

• Sistema Tipo 2 m=2 essV = Nulo

lim

ERROR DE ACELERACIÓN U ORDEN “2” ESSA

1

• Sistema Tipo 0 m=0 essa= Infinito

lim ∞

• Sistema Tipo I m=1 essa= Infinito

∞

• Sistema Tipo II m=2 essa= finito

[52]

lim

lim 1

1

Donde , “Constante Estática de Aceleración”.

• Sistema Tipo III m=3 essa= Nulo

El tipo de error y el tipo de sistema se puede resumir en la siguiente Tabla.

3.5. ANALISIS DE RESPUESTA

Respuesta para Sistema de primer Orden:

1.) Teorema del valor Inicial. 2.) Aplicando desarrolló de facciones parciales para la entrada dada

y hallamos el valor de la Transformada. 3.) Hallamos la respuesta temporal, graficamos la pendiente inicial,

pendiente final.

3.5.1. RESPUESTA IMPULSIVA UNITARIA

Nos da la respuesta natural del Sistema.

1, 0 ; 1

[53]

0, 0

Si el sistema es “estable” es decreciente en el tiempo.

1

Teorema de valor Inicial y Valor final para la entrada dada.

Teorema del Valor final

|0| lim | | lim 1

Teorema del Valor inicial

|∞| lim | | lim 1

| | | | 1

| |1

1 ; 0

Verificación:

[54]

Grafico:

3.5.2. RESPUESTA PARA ENTRADA POSICION, ESCALON u ORDEN CERO.

11

1

0 lim 1 ∞

∞ lim 1 1

Respuesta Temporal:

11

1

| 1

11

1 ; 0

1

[55]

1 1 : 0

0 lim 1 0

∞ lim 1

3.4.3. ANALISIS DE RESPUESTA A ENTRADA VELOCIDAD, RAMPA u ORDEN UNO.

1

1

∞ lim 1 ∞

0 lim 1 ∞

Respuesta Temporal:

1

[56]

| 1

111

11

11

; 0

1 ; 0

1 ; 0

1 1 : 0

0 lim 1 0

∞ lim 1

[57]

3.5.4. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS INVARIABLES EN EL TIEMPO L I T

1. Conociendo la respuesta de una entrada escalón se puede determinar la respuesta a cualquier entrada o analizando la relación de la respuesta a la entrada pedida con la entrada escalón; es decir se puede determinar la derivada y/o integral de la entrada, derivando y/o integrando a la entrada dada.

11 ; 0

1 ; 0

; 0

2 ; 0

3.5.5. ANALISIS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.

2

Donde Es la razon de amortiuguamiento del sistema. Este Nos determina el Tipo de respuesta.

Frecuencia Natural No amortiguada del sistema. R )

Respuesta Senoidal. 0

El sistema No tiene ningún tipo de amortiguamiento.

; 0

,

[58]

Plano S

Forma de la Respuesta.

1 ; 0

0 0

SISTEMA SUBAMORTIGUADO 0 1

2

2

0 0

[59]

y ∞ K Sistema tipo I, para que error sea con K ω ; y ∞ 1 e =0

21 2

2

2

11

.

Graficando su Respuesta:

1. Hallamos su valor inicial con y 0 0 y y ∞ 1; La ventaja en el Dominio de “S”; es que NO necesitamos hallar su transformada Inversa.

Parámetros a factores De Merito y Solo son para Sistemas Subamortiguado.

Factores de Merito Para la respuesta Dinámica o Transitoria.

Tiempo de Crecimiento = Es el tiempo que tarda la respuesta del Sistema en alanzar por primera vez su valor final.

1 .

Tiempo Pico : Tiempo que tarda la repuesta del sistema en alcanzar su máximo sobre impulsó, es decir que tanto puede aumentar en caso de los resortes antes de que el sistema se destruya.

Máximo Sobre impulsó : Es la máxima magnitud del sistema.

%

11

; 0

1%4.6

2%4

[60]

5%3

SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO 1

2

yP tK

S S ω ; haciendo Desarrollo de fracciones Parciales

|

S ω |ω

S ω

S ω

ω ωS ω

ωS ω

ω 1 ω te e ; 0

[61]

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO 1:

2

Ahora hallamos valor Inicial y valor Final. Con

21

; 0

0 0 0

∞ 1 ∞

Transformada Inversa:

2

1 1 1

Para 0, . .

1 1 1; 0

01

0

[62]

CRITERIO DE LOS POLOS DOMINANTES.

Si la magnitud de los polos más cercanos al eje imaginario es mínimo 6 veces menor a la longitud de los polos más lejanos; decimos que los primeros son polos dominantes. Si esta condición NO se cumple No existen polos dominantes.

En caso de existir polos dominantes la respuesta del sistema se puede aproximar al comportamiento determinado por los polos dominantes.

Ejemplo:

212 24 40

N(s)=S+2=0; Sz=-2 (Ceros del Sistema).

12 24 40 2 4 10

10 ; , 1 √3

[63]

Ejemplo:

Analizar el comportamiento del sistema de lazo cerrado en función de “K”.

12 56 5 60

11 30 60 0



Siempre cuando 0 y 0; de aquí se deduce que el rango es 014

S3 1 30

S2 11 60K

S1 De esta condición se tiene: 0

S0 60K De esta condición se tiene: 0 .

Rango Valido

Análisis de Exactitud.

126

0

∞

[64]

1

2 ,

Análisis de Respuesta:

12 56 5 60

|0| 0 1

|∞| 1

Hallamos la Respuesta Tomando los Polos:

Para K=0.1 (recordemos que podemos tomar cualquier valor siempre cuando se encunetre en el rango ) tenemos el polinomio característico:

11 30 6 0

6.57 Comportamiento Equivalente a Sistema 1er orden.

4.21

0.22

Este último es polo Dominante ya que 6*0.22=1.32; que es menor de 4.21 y 6.57.

Función aproximada:

[65]

Para K=2.5 11 30 150 0

, . . Comportamiento Equivalente a Sistema 2°orden Subamortiguado

9.5

Calculando factores de Merito, debido a que es sistema Subamortiguado.

.

.

1 1.

.. 0.35

3.1416. 0.8

% .. 54%

1%4.6 4.6

. 6.13

CAPITULO V. ANALISIS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS EN EL ESPACIO ESTADO.

Es una representación interna de los sistemas que me permite conocer el sistema detalladamente.

Ventajas: es aplicable a cualquier tipo de sistema: variables, monovariables, multivariables.

Permite tener condiciones iníciales 0.

Es una herramienta muy útil en la simulación digital de sistemas.

[66]

4.2. DEFINICIONES:

VARIABLES DE ESTADO:

Se define como variable de estado el mínimo conjunto de variables necesarias para describir el comportamiento de un sistema y se denota por la letra n= N° de variables de estado.

| |, | |, | | … | |

El N° de variables de estado es igual al orden del sistema; es decir el orden del Polinomio característico.

4.2.1. ECUACIÓN DE ESTADO:

Es una ecuación diferencial de primer orden y está en función de la variable de estado y de las entradas.

El # de ecuaciones de estado = al N° de variables de estado.

La ecuación de estado tiene 2 formas de representación:

1. Forma Normal Estándar

2. Forma Compacta Vectorial-Matricial.

;

;

Ecuación de Salida:

[67]

4.2.2.ESPACIO ESTADO:

Es un espacio N dimensionado, es decir, está representado por n ejes, cada uno identificado por una variable de estado y el estado del sistema se visualiza por una Trayectoria.

Obtención de la Representación de Estado:

Hay 4 formas de la obtención de representación de Estado.

1. A partir del sistema o Circuito.

2. A partir de la ecuación o conjunto de ecuaciones diferenciales.

3. A partir de las funciones de Transferencia.

4. A partir del diagrama de bloque.

1. A partir del sistema o Circuito. :

Existen 2 formas –Circuito análogo-directo

--Circuito real.

Se definen como variables de estado las magnitudes almacenadas en forma de energía por los diferentes elementos o componentes del sistema.

2. Ecuaciones diferenciales:

El N° de variables de estado es igual al orden de la ecuación diferencial.

Definición Variable Estado:

Se define la respuesta y sus derivadas hasta la derivada n-e sima, como una variable de estado.

[68]

4.2.3. OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO:

De la definición de sus variables de estado, se obtiene n-1, variables de estado. La n-e sima ecuación de estado; se obtiene a partir de la ecuación original, despejando la derivada de orden más alto con coeficiente unitario y reemplazando las respectivas variables de estado.

1

2

4.2.4.OBTENCION DE LA REPRESENTACION DE ESTADO A PARTIR DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.

1. Llevar a expresar la función de transferencia en potencias negativas. 2. Obtener un diagrama de flujo a partir de función de transferencia. 3. Definición de las variables de estado en la salida de cada rama con Transmitancia

, define una variable de estado.

Obtención de las Ecuaciones de Estado:

En el nodo de entrada de cada rama con función de Transferencia , se obtiene una ecuación de estado.

En la salida de cada rama con Transmitancia , se define una variable de estado.

4.4.ANALISIS ESPACIO DEL ESTADO:

Características:

• Estabilidad. • Controlabilidad. • Observabilidad.

4.4.1. ESTABILIDAD: La estabilidad en el análisis de estado. Se analiza con el determinante| | | |

1. Se hallan los polos. 2. Analizar que los polos estén en el SPI

[69]

4.4.2. CONTROLABILIDAD:

La controlabilidad es la característica del espacio de estado que nos permite conociendo la entrada y el estado de un sistema en un tiempo t=0, determinar o predecir el estado del sistema en un tiempo

5.4.3.OBSERVABILIDAD:

Es la característica que nos permite conociendo el estado y la entrada del sistema en un tiempo establecer el estado del sistema en Tiempo .

Análisis de Controlabilidad:

Mediante la controlabilidad se puede analizar:

1. A partir de la matriz de controlabilidad.

… .

:

Se dice que un Sistema es controlable, si la matriz de controlabilidad es de rango igual=n, donde n representa el N° de variables de estado.

; Para qué sistema sea controlable.

OBSERVABILIDAD:

Se dice que el sistema es observable si la matriz de observabilidad es mínimo rango de n , es decir si existe n filas linealmente independientes.

2. A partir de la función de la matriz de diferencia, decimos que el sistema es completamente observable.

[70]

Ejemplo:

4 54 6 2

0 1 00 0 12 6 4

001

Obsérvese que la última fila de la Matriz corresponde a los coeficientes del denominador cambiando los signos.

5 4 1

Analisis de estabilidad:

| | | |

1 0 00 1 00 0 1

0 1 00 0 12 6 4

0 00 00 0

0 1 00 0 12 6 4

1 00 12 6 4

| | | | 4 6 2.

Mismo polinomio de la funcion de Transferencia; Aplicando Criterio de Routh—Hotwiz, se tiene que el “Sistema Inestable”.

0 1 00 0 12 6 4

; 001

; 5 4 1

Análisis de Controlabilidad.

… . 0 0 10 1 41 4 10

;

3 Por tanto Sistema Controlable; debido .A que La Matriz de Contrabilidad es de rango iguala “n”.

ANALISIS DE OBSERVABILIDAD:

5 4 12 11 00 2 11

; 0;

[71]

ANEXO-INTRODUCCION AL SIMULINK.

Introducción a SIMULINK. Para conocer las posibilidades básicas de Simulink se muestra Siguiente breve tutorial pasando por todos los puntos. 1. Simulink es un programa de simulación tanto continua como discreta que se encuentra en el entorno MATLAB. Por tanto para acceder a él basta con invocarlo desde la ventana de comandos de MATLAB, por supuesto asegurándose antes de encontrarse en el directorio de trabajo.

2. Una vez hecho esto aparece la ventana de SIMULINK que tiene el siguiente aspecto:

3. Lo primero que se debe hacer es abrirse una ventana de trabajo que puede ser nueva o existir previamente. Para el caso de que se desee crear un nuevo trabajo se procede como se indica en la figura.

[72]

4. Con lo que obtendremos una ventana vacía como la siguiente:

5. Lo primero que podemos necesitar es una fuente de señal, luego seleccionamos las

fuentes (Sources) en la ventana de SIMULINK.

6. Con esto aparecerán otra ventana con todas las fuentes de señal disponibles.En este ejemplo se selecciona con el ratón el generador de señales genérico y se arrastra hasta situarlo sobre la ventana de trabajo.

[73]

7.Para poder ver la señal recurriremos a un sumidero de señal (Sinks) que seleccionaremos en la ventana de SIMULINK.

8. Igual que antes aparecerá una ventana con todos los sumideros disponibles, de la que seleccionaremos el visor (Scope) y lo arrastraremos con el ratón hasta la ventana de trabajo.

9. Ya únicamente falta unir la fuente con el sumidero, lo que se hace pulsando con el ratón sobre la pequeña flecha de salida del bloque inicial y arrastrando hasta la fecha de llegada del bloque destino.

[74]

10.Para realizar la simulación es necesario definir unos parámetros mínimos como son el intervalo de tiempo y el error admisible.

11. Además existen otros parámetros como el método de integración a utilizar y los pasos de integración. Parámetros que se pueden definir cómodamente en la ventana correspondiente.

[75]

12. Para ejecutar la simulación desplegar Simulation y Start. Ver el resultado de la simulación en el scope.

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Engineering

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