Sistemas dinamicos

universidad nacional abierta y a distancia (unad)Sistemas dinamicosConsolidado trabajo colaborativo 2Tutor: diego fernando sendoya Integrantes: jorge enrrique robles - eimer vergara hernandez03/05/2015

Consolidado del trabajo colaborativo dos sistemas dinamicos

INTRODUCCIONEl trabajo con sistemas dinamicos implica un analisis riguroso de las variables que afentan los mismos para que las funciones obtenidas guarden concordancia con las intencionalidades del proceso a manejar. Por esta razon al analizar los sistemas dinamicos se tienen diferentes perspectivas de aproximacion al fenomeno. Desde el punto de vista del analisis del dominio del tiempo, recibiendo dos tipos de respuestas; la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La primera se origina desde las caracteristicas dinamicas del sistema y rige el comportamiento del mismo durante la transicion desde un estado inicial hasta un estado final. Por otra pare en la segunda existe una dependencia de la seal de excitacion al sistema lo que puede denotar si el sistemas presenta estabilidad.Tambien se puede centrar el analisis desde el punto de vista de la frecuencia donde el analisis matematico se centra en contrastar las respuestas con respecto a la frecuencia, principalmente desde series de fourie para convertir seales lineales en numeros infinitos o finitos.Este trabajo centra su atencion en el analisis de estado para una situacion especifica, por ser esta el conjunto mas pequeo de variables que pueden representar al sistema dinamico completo en un tiempo cualquiera.

Etapa 2 (fase1)Cada estudiante deber leer e identificar claramente lo que se quiere lograr en la respectiva etapa del problema. Luego el grupo realizar una lluvia de ideas, de tal forma que se planteen algunas hiptesis sobre cmo solucionar las situaciones planteadas en la etapa, basndose en conocimientos previos y el sentido comn.Basados en esta discusin, los integrantes del grupo debern elaborar un listado de conceptos, trminos y/o aspectos que conocen y un listado de aquello que se desconoce de las situaciones planteadas en la etapa.

El problema que nos presentan presenta la implementacin de un sistema para elevar la productividad de la empresa, se desea proteger el sistema y prevenir fallas para que la inversin no sea riesgosa.Debemos saber el modelo matemtico del equipo industrial para poder realizar las operaciones de revisin y prevencin. En la segunda etapa debemos encontrar el modelo matemtico en el dominio de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario y la estabilidad del proceso.

Debemos

Con la ecuacin lineal da la etapa 1 encontrar: el modelo matemtico por medio de la funcin de transferencia

Mediante un diagrama de bloques representar el sistema lineal

Por medio del diagrama de bloques encontrar la funcin de transferencia

Determinar el error estacionario del sistema

Determinar la estabilidad del sistema

Conceptos conocidos

Funcin de transferencia Diagramas de bloques Sensores Diagramas de bloque Sistema lineal Flujo

Conceptos desconocidos

Variables de estado Controlabilidad del sistema

ETAPA 2 (FASE 2)El grupo deber definir la metodologa para la investigacin de acuerdo a lo alcanzado en la fase anterior. Una vez se tenga clara la metodologa, el grupo deber definir y expresar de manera concreta lo que quiere resolver, producir o demostrar en la respectiva etapa del problema. Luego el grupo proceder a localizar, organizar, analizar e interpretar la informacin de diversas fuentes.En este caso nos dedicaremos a consultar sobre como hallar el modelamiento matemtico en el dominio de la frecuencia y analizar el error en estado estacionario del sistema y la estabilidad del proceso.

CONCEPTOS BSICOS Seal Dos definiciones de seal son: La variacin en el tiempo o el espacio de una magnitud fsica. Una funcin que lleva informacin, generalmente acerca del estado o comportamiento de un sistema fsico. Por ejemplo:

En este caso, la magnitud fsica es la temperatura y su variacin, que expresa como cambia la temperatura a lo largo del da, es lo que entendemos por seal.

Principales modelos matemticos de las seales El modelo matemtico de una seal suele venir denominado por el tipo de funcin que la representa. Por ejemplo:

Como podemos observar, varan con el tiempo de forma muy diferente en un caso y en otro. Las funciones correspondientes son:1. y( t) = t 2. y( t) = sin((2ft) Como vemos, ambas seales estn dibujadas frente al tiempo, es decir, indican la variacin de una magnitud con el tiempo. Esto es lo que se denomina representacin en el dominio del tiempo.Es importante tener en cuenta que a la variable que representa nuestra magnitud se la denomina variable dependiente. Por otro lado, en este caso concreto, las seales dependen del tiempo, variable a la cual se la denomina variable independiente.

Tipos de seales A partir de la variable independiente 1. Seales continuas: Se dice que una seal es continua si est definida en todo instante de tiempo. Por ejemplo, la temperatura. En cualquier instante del da la temperatura tiene un valor.

2. Seales discretas: Se dice que una seal es discreta si slo est definida para valores determinados de la variable independiente (en instantes determinados de tiempo).

En este caso, la seal slo est definida en aquellos instantes que hemos marcado con un crculo azul. Entre dos crculos azules no se sabe lo que pasa (la seal no est definida). Por ejemplo, conocemos el valor diario de las acciones de una determinada compaa en bolsa, pero a lo largo de un da determinado el valor de estas acciones puede haber cambiado mucho entre la apertura y el cierre de la sesin. Otro ejemplo sera la medida de la temperatura que se puede ver en los termmetros de las calles. La temperatura se mide cada minuto. Entre dos medidas podra ocurrir que la temperatura hubiera variado, pero no lo sabemos.

A partir de la variable dependiente 1) Se dice que una seal es Analgica si: a) La seal es continua. b) Su amplitud puede tomar cualquier valor. 2) Se dice que una seal es Digital si: a) La seal es discreta b) Su amplitud slo puede tomar valores determinados. Ejemplos del primer caso son todos los vistos hasta el momento. Veamos ahora un ejemplo de seal digital

EstabilidadLa nocin deestabilidades aquella que hace referencia a la permanencia de lascaractersticasde un elemento o de una situacin a travs deltiempo, de su condicin de estable o constante. La estabilidad puede ser aplicada comocaractersticaa determinados fenmenos fsicos as tambin como fenmenos sociales, histricos, polticos, econmicos, culturales o individuales siempre que se mantenga la idea de constancia y permanencia de los elementos que componen a tal fenmeno.Por lo general, la nocin de estabilidad se relaciona con un sinfn de fenmenos de tipo fsico o natural que se dan en elambiente y que tienen por caracterstica principal elmantenimientode sus elementos en determinadas condiciones a travs del tiempo. Esto quiere decir que la estabilidad es as la presencia de componentes que se mantienen como tales independientemente delcambio de otros factores externos. Un caso de estabilidad para lasciencias naturales podra ser la permanencia de las caractersticas de lamateria por ejemplo, la estabilidad delaguade un recipiente. Si sta cambiara suvolumen, sumovimientoo sus componentes esenciales, la estabilidad ya no sera para ella una caracterstica.

Error de Estado EstacionarioEl error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y la salida de un sistema en el lmite cuando el tiempo tiende a infinito (e.d. cuando la respuesta ha alcanzado el estado estacionario). El error de estado estacionario depender del tipo de entrada (escaln, rampa, etc.) y de (tipo del sistema) que el sistema sea del tipo 0, I, II,... .Nota: el anlisis del error de estado estacionario slo es til para sistemas estables. Es responsabilidad suya verificar que el sistema sea estable antes de desarrollar un anlisis del error de estado estacionario. Muchas de las tcnicas que se presentan devolvern una respuesta an cuando el sistema es inestable; obviamente esta respuesta carece de sentido para un sistema inestable.Clculo de errores de estado estacionarioAntes de exponer acerca de las relaciones entre error de estado estacionario y tipo del sistema, se mostrar cmo calcular el error sin importar el tipo del sistema o la entrada empleada. Entonces, derivaremos las frmulas a aplicar en el anlisis de error de estado estacionario. El error de estado estacionario puede calcularse de la funcin de transferencia a lazo cerrado o abierto para sistemas con realimentacin unitaria. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente sistema: el cual es equivalente al siguiente sistema:

Podemos calcular el error de estado estacionario para este sistema ya sea de la funcin de transferencia a lazo cerrado o abierto mediante el teorema del valor final (recuerde que este teorema solo puede aplicarse si el denominador no tiene polos en el semiplano derecho):

Ahora, introduzcamos las transformadas de Laplace de las diferentes entradas para hallar las ecuaciones que nos permitan calcular los errores de estado estacionario a partir de las funciones de transferencia a lazo abierto frente a diferentes entradas: Entrada Escaln (R(s) = 1/s):

Entrada Rampa (R(s) = 1/s^2):

Entrada Parablica (R(s) = 1/s^3):

Cuando se disea un controlador, normalmente se quiere compensar el sistema frente a perturbaciones. Digamos que tenemos el siguiente sistema con una perturbacin :

podemos encontrar el error de estado estacionario para una entrada perturbacin de un escaln con la siguiente ecuacin:

Finalmente, podemos calcular el error de estado estacionario para sistemas con realimentacin no unitaria:Fase 3: Diseo y ejecucin del plan de accin desde el 13 de abril al 26 de abril de 2015.En estas dos semanas el grupo define y ejecuta el plan de accin para dar solucin a la respectiva etapa del problema, a partir de la informacin obtenida en la fase anterior y de los contenidos temticos del curso.

En este caso el problema se resolver mediante la utilizacion de la herramienta matlab. Cuya funcion es la de tomar operaciones matematicas y mostrar la forma como funsionaria en un sistema electronico, y en nuestro caso tomaremos las ecuaciones planteadas en el problema y se agregaran a matlab y tomaremos distintas seales mediante variaciones de impulsos que le agregemos.

Estas serian nuestras ecuciones a simular.

Partiendo de la ecuacin diferencial anterior

Aplicando transformada de laplace, obtenemos:

(s+5)H(s) = Qi(s) Si qi se considera la entrada y h la salida, la funcin de transferencia del sistema es: =

Diagrama bloques en Lazo abierto

Diagrama bloques en lazo cerrado

Funcin de transferencia en lazo cerrado

=

Se presenta en Matlab la funcin de transferencia en lazo abierto y cerrado

Ahora, observamos la estabilidad del sistema.La ecuacin caracterstica de un sistema es el denominador de la funcin de transferencia del sistema igualado a cero.Los polos de un sistema son las races de la ecuacin caracterstica del sistema, esto es, las races del denominador de la funcin de transferencia del sistema.Con base en la grfica de polos y ceros (eje x los reales, eje y los imaginarios) de la funcin de transferencia en lazo cerrado: a) El sistema es estable cuando los polos estn en el semiplano izquierdo b) el sistema es inestable si por lo menos un polo est en el semiplano derechoc) Es crticamente estable cuando los polos estn en el eje imaginario d) Los ceros no intervienen en la estabilidad y por tanto no importa su ubicacin.

En Matlab, hallamos la ubicacin de los polos

Se halla un polo en -6

Como el polo se encuentra en el semiplano izquierdo, el sistema es estable.

El error de estado estacionario o estado estable. es igual a:

= 1 - Gx = funcin de transferencia lazo cerrado= 1 -= 1 -= 0.8333

La grafica ante un escaln unitario es la Siguiente:Nota: no se grafic como indica la gua, debido a que no sabemos como hacerlo, pero se obtuvo la respuesta ante un escaln unitario.)