UNIDAD I

UNIDAD I.- INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DINAMICOS1.1.- CONCEPTO DE SISTEMA Y MODELO MATEMATICO.1.1.- Sistema.Un sistema es una combinacin de componentes que actan en conjunto para alcanzar un objetivo especfico.

Componente.- Es una unidad particular en su funcin en un sistema.

Dinmica de sistemas.- Trata del modelado matemtico y el anlisis de la respuesta de los sistemas dinmicos.Modelo matemtico.

Es la descripcin matemtica de las caractersticas dinmicas de un sistema.

Como los sistemas considerados son de naturaleza dinmica, las ecuaciones descriptivas son generalmente ecuaciones diferenciales o ecuaciones integro-diferenciales.

Para los sistemas fsicos, la mayora de los modelos matemticos que resultan de utilidad se describen en trminos de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.Una ecuacin diferencial lineal invariante en el tiempo es aquella en la cual la variable dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales. A este tipo de ecuaciones tambin se les conoce como ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Por ejemplo:

------------------ (Ecuacin diferencial lineal)

---------- (Ecuacin diferencial no lineal)1.2.- Clasificacin de los sistemas y modelos.

Los sistemas y modelos se pueden clasificar de acuerdo con las caractersticas de los componentes que lo forman en:

a).- Estticos y dinmicos.

b).- Lineales y no lineales.

c).- Continuos y discretos

d).- Parmetros concentrados y distribuidos

e).- Variantes e invariantes en el tiempo

1.2.1.- Sistemas estticos y dinmicos.

Sistema esttico.

Un sistema se llama esttico si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso. La salida de un sistema esttico permanece constante si la entrada no cambia y cambia solo cuando la entrada cambia.

Sistema dinmicoUn sistema se llama dinmico si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado. La salida en un sistema dinmico cambia con el tiempo cuando no est en su estado de equilibrio.

Ejemplos de sistemas dinmicos:

Sistema de amortiguacin de un automvil-

Recipientes. .

Circuito reductor de tensin.

Motor de cc con eje flexible..

Sistema de generacin hidroelctrica.

Sistema de generacin solar.

1.2.2.- Sistemas lineales y no lineales.Para sistemas lineales, las ecuaciones que constituyen el modelo son lineales. En caso contrario, los sistemas son no lineales.

La propiedad ms importante de un sistema lineal consiste en que se les puede aplicar el principio de superposicin. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicacin simultnea de dos funciones de excitaciones diferentes o entradas, es la suma de dos respuestas individuales; esto es si y son las respuestas del sistema a las entradas y , respectivamente, entonces el sistema ser lineal si y solo si se cumplen las siguientes igualdades

y

donde , y es un nmero real.

En los sistemas no lineales el principio de superposicin no es aplicable.

1.2.3.- Sistemas continuos y discretos.En este curso los trminos continuos y discretos se utilizarn para referirse a la calidad de la variable independiente en el tiempo. De esta manera, en un sistema de evolucin continua las variables de inters asumen algn valor en cada instante, mientras que en sistemas discretos los valores de las variables cambian tan solo en ciertos instantes.1.2.4.- Parmetros concentrados y distribuidos.

Un modelo de parmetros concentrados considera que las propiedades en un proceso asumen valores que son independientes de su ubicacin espacial, ya sea porque se considera homognea o porque se define una caracterstica representativa de ella. Por el contrario, un modelo distribuido pone en evidencia explcita la dependencia espacial de estas propiedades. Los primeros se rigen, ya sea por ecuaciones algebraicas o ecuaciones diferenciales ordinarias; los segundos por ecuaciones diferenciales parciales.La solucin de modelos de parmetros concentrados es bastante ms simple que aquellas usadas en la solucin de modelos de parmetros distribuidos. En algunos casos, la solucin de stros se logra luego de resolver un conjunto de aproximaciones a modelos de parmetros concentrados.

Ejemplo.- Considere un intercambiador de calor como se muestra en la figura siguiente:

La ecuacin que describe el comportamiento del sistema en funcin de la longitud del intercambiador esta dada por la ecuacin diferencial en derivadas parciales

en donde: = velocidad media del fluido

= densidad

= temperatura del vapor saturado

= coeficiente de transferencia entre el vapor y el tubo

= dimetro interno del intercambiador = rea transversal del inercambiador

= calor especfico del lquido

En caso de parmetros concentrados, la ecuacin que resulta es

1.2.5.- Sistemas variantes e invariantes en el tiempo.Todo proceso real, con mayor o menor rapidez, sufre modificaciones en sus caractersticas, en particular en sus parmetros. Sin embargo, si estos cambios son lo suficientemente lentos respecto a las caractersticas que se desean estudiar mediante el anlisis, los procesos pueden ser considerados constantes con el fin de obtener un modelo de este proceso. Estos modelos, cuyos parmetros no son dependientes del tiempo son llamados invariantes en el tiempo. Si por el contrario, el modelo desarrollado considera en forma explcita la dependencia temporal de los elementos, se les llama variantes en el tiempo.

1.3.- Procedimiento para modelar sistemas dinmicos.El procedimiento para la obtencin de un modelo matemtico se resume como sigue:

1. Dibujar un diagrama esquemtico del sistema y definir las variables.2. Utilizando leyes fsicas, escribir ecuaciones para cada componente, combinndolos de acuerdo con el diagrama del sistema y obtener un modelo matemtico.

3. Para verificar la validez del modelo, la prediccin acerca del funcionamiento obtenida al resolver las ecuaciones del modelo, se compara con resultados experimentales. Si los resultados experimentales se alejan de la prediccin en forma considerable, deber modificarse el modelo. Este proceso se repite hasta obtener una concordancia satisfactoria entre la prediccin y los resultados experimentales.1.4.- Representaciones grficas de sistemas dinmicosUn sistema puede estar formado por varios componentes. Con el objeto de mostrar las funciones realizadas por cada componente, se utilizan con frecuencia unos diagramas en el anlisis y diseo de los sistemas, llamados diagramas de bloques y diagramas de flujos de seal. Diagramas de bloques.Un diagrama de bloques de un sistema es una representacin grfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de seales. Tal diagrama describe las interrelaciones que existen entre los diferentes componentes. A diferencia de una representacin matemtica puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar de manera ms realista, los flujos de la seal del sistema real.En un diagrama de bloques todas las variables del sistema estn concatenadas unas con otras a travs de bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un smbolo de la operacin matemtica sobre la seal de entrada en el bloque que produce la salida. . La siguiente figura muestra un elemento de un diagrama de bloques. La cabeza de la flecha que apunta hacia el bloque indica la entrada, y la cabeza de la flecha que sale del bloque representa la salida.

Elemento de un diagrama de bloquesPunto suma. En relacin con la figura que se muestra a continuacin, el smbolo que indica una operacin de suma es un crculo con una cruz. El signo ms o menos en cada punta de flecha indican si la seal va a ser sumada o restada.

Diagrama de bloques de un sistema de malla cerrada (sistemas retroalimentados).- La siguiente figura es un ejemplo de un diagrama de bloques de un sistema de malla cerrada.

La salida se realimenta al punto suma, en donde se le compara con la entrada . La salida del bloque se obtiene en este caso multiplicando la funcin de transferencia por la entrada del bloque ; esto es

Cuando la salida se realimenta por un punto suma para compararla con la entrada, es necesario convertir la forma de la seal de salida a la forma de la seal de entrada. Esta conversin se logra mediante el elemento de realimentacin cuya funcin de transferencia es . Uno de los papeles del elemento de realimentacin es el de modificar la salida antes de que se le compare con la entrada.

De acuerdo con la figura, la seal de realimentacin que se alimenta por el punto suma para compararla con la entrada es,

Funcin de transferencia de malla abierta y funcin de transferencia realimentada.- La relacin de la seal realimentada con respecto a la seal de error se llama funcin de transferencia de malla abierta. De acuerdo con la figura anterior se tiene que:

Demostracin:

De acuerdo con la figura se tiene que:

-------- (a)

--------- (b)

Sustituyendo (a) en (b) se obtiene:

EMBED Equation.DSMT4

La relacin de salida con respecto a la seal de error actuante se llama funcin de transferencia prealimentada, y se determina por:

Si la funcin de transferencia de la realimentacin es unitaria, entonces la funcin de transferencia de malla abierta y la funcin de transferencia prealimentada son una misma.

Funcin de transferencia de malla cerrada.- De la figura anterior se obtienen las relaciones siguientes:

--------- (a)

--------- (b)

----- (c)

Sustituyendo de (c) y de (b) en (a) se obtiene:

Los sistemas retroalimentados o realimentados tienen gran aplicacin en la teora de control, ya que permite controlar una salida deseada y mejorar la precisin. Por ejemplo el sistema de direccin del automvil que se describe a continuacin:

El diagrama de bloques es:

El diagrama anterior es equivalente al diagrama siguiente:

En la siguiente figura se muestra un sistema de control manual para regular el nivel de lquido en un depsito mediante el ajuste de la vlvula de salida. El operador observa el nivel del lquido a travs de una mirilla lateral del depsito.

Transformaciones de diagramas de bloques.

TransformacinDiagrama originalDiagrama equivalente

1.- Combinacin de bloques

en cascada

2.- Movimiento de un punto

de suma anterior a un

bloque

3.- Movimiento de un punto

de separacin posterior a

un bloque

4.- Movimiento de un punto

de separacin anterior a

un bloque

5.- Movimiento de un punto

de suma posterior a un

bloque

6.- Eliminacin de un lazo de

realimentacin.

7.- Movimiento de suma.

Diagramas de bloques con entradas mltiples.

Para encontrar la respuesta en funcin de las entradas, deber llevarse a cabo el siguiente procedimiento:

1.- Igualar todas las entradas con cero excepto una.

2.- Transformar el diagrama de bloques de acuerdo con las reglas preestablecidas.

3.- Calcular la respuesta de acuerdo con la entrada seleccionada.

4.- Repetir los pasos 1,2 y 3 para cada una de las entradas restantes.

5.- La salida total del sistema es la suma de todas las respuestas (salidas) determinadas en los

pasos anteriores.

Ejemplo.- Determinar la salida del sistema que se muestra en el siguiente diagrama:

1.-

2.- De acuerdo con la seal cancelada, el diagrama se transforma en:

3.- La respuesta en funcin de la entrada seleccionada es:

4.-

El diagrama transformado es como sigue:

La respuesta en este caso es:

La respuesta total es

1.4.2.- Grafos de flujos de seales.

Los diagramas de bloques son adecuados para la representacin de las interrelaciones entre las variables controladas y las variables de entrada. Sin embargo, para un sistema de interrelaciones razonablemente complejas el proceso de reduccin en el diagrama de bloques es engorroso y con frecuencia difcil de completar.

Mason ha desarrollado un mtodo alternativo para determinar la relacin entre variables del sistema que se basa en la representacin del sistema por segmentos de recta. Este mtodo se conoce como Diagramas de flujos de seales.

Un diagrama de flujo de seal es un diagrama formado por nodos que se conectan mediante algunas ramas dirigidas y es una representacin grfica de un conjunto de relaciones lineales. El elemento bsico de un diagrama de flujo de seal es un segmento de trayectoria unidireccional denominado rama que relaciona la dependencia de una variable de entrada con una variable de salida de forma equivalente a un bloque de un diagrama de bloques.

Diagrama de bloques. Diagrama de flujo de seal

Trminos utilizados:Nudo.

Es un punto que representa una variable o seal.

Transmitancia.

Es una ganancia entre dos nudos.

Rama.

Es un segmento de lnea con direccin y sentido que une dos nudos. La ganancia de una rama es una transmitancia.

Nudo de entrada o fuente.

Es un nudo que solo tiene ramas que salen. Corresponde a una variable independiente.

Nudo de salida o sumidero.

Es un nudo que solo tiene ramas de entrada. Corresponde a una variable dependiente.

Nudo mixto.

Es un nudo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas que salen.

Camino o trayecto.

Es un recorrido de ramas conectadas en el sentido de las flechas de las ramas.

Lazo.

Es un camino o trayectoria cerrada en la cual no se encuentra un nodo ms de una vez por recorrido.

Ganancia de lazo.

Es el producto de las transmitancias de las ramas de un lazo.

Lazos disjuntos.

Son lazos que no poseen ningn nudo comn.

Trayecto directo.

Es el trayecto de un nudo de entrada (fuente) a un nudo de salida (sumidero) que no cruza ningn nudo ms de una vez.

Ganancia de trayecto directo.

Es el producto de las transmitancias de las ramas de un trayecto directo.

Los conceptos anteriores se pueden observar en el siguiente diagrama de flujo de seal:

En general, la dependencia lineal entre la variable independiente (variable de entrada) y una variable est dada por la frmula de la ganancia el flujo de seal de Mason

donde

La ganancia de la trayectoria o transmitancia se define como la sucesin continua de ramas que se recorren en la direccin de las flechas y que no encuentran ningn nodo ms de una vez.

es el determinante de la grfica del flujo de seal, y se determina por

donde: = transmitancia del -simo lazo

= Suma de todas las diferentes ganancias de los lazos

= Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de 2

lazos que no se tocan

= Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones de 3 lazos que no se tocan

Cofactor de una trayectoria.- Es el determinante de la grfica del flujo de seal formado por la supresin de todos los ciclos que tocan la trayectoria.

Ejemplo.- Determinar la funcin de transferencia en lazo cerrado para el sistema mostrado en la figura siguiente:

Solucin:

Trayectorias que conectan la entrada y la salida:

Lazos propios:

Grficos de flujo de seal y simplificaciones

a).-

b),.

c).-

d).-

e).-

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