Informe 1 sistemas dinamicos

download Informe 1 sistemas dinamicos

of 14

Transcript of Informe 1 sistemas dinamicos

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    1/14

    Sistemas dinamicos: Tarea N

    1

    Richard Eduardo Duarte [email protected]

    Resumen

    El siguiente documento corresponde al desarrollo de la tarea N 1 del modulo de sistemas dinamicos. Se presentael desarrollo al problema del sistema de un panel con seguidor solar, su modelo din amico y su simulacion en MATLABbajo distintas condiciones.

    I. INTRODUCCI ON

    Un modelo matematico es un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen un sistema, estas ecuaciones puede

    ser obtenidas de dos maneras: fenomenologica y emprica. En la forma fenomenologica obtenemos las ecuaciones

    diferenciales del sistema a traves de un enfoque fsico, donde conocemos las leyes fsicas y ecuaciones que modelan el

    sistema sin la necesidad de tener el sistema real. Por el contrario, en el enfoque emp rico tenemos un sistema tangible,

    material, palpable para el cual obtenemos la ecuacion diferencial que modela el sistema a traves de ensayo y error, esdecir, obtengo una salida aplicando una senal a su entrada sin conocer los elementos que conforman el sistema.

    En esta tarea estudiamos un sistema de un panel solar, que consiste en un motor que es alimentado de forma tal que

    regule la posicion de un panel solar para mantenerlo perpendicular al sol. Los objetivos de esta tarea son:

    Ser capaz de modelar sistemas dinamicos usando el enfoque fenomenologico

    Distinguir entrada, salida, perturbaciones, variables de estado y parametros

    Dibujar el diagrama de bloques del sistema

    Obtener una representacion de estados

    Obtener el punto de operacion del sistema

    Simular el sistema dinamico bajo ciertas condiciones

    Linealizar el modelo

    Comparar los sistemas lineales y no lineales

    interpretar los graficos

    II. ENCONTRAR EL MODELO DINAMICO DEL SISTEMA Y DIBUJAR DETALLADAMENTE SU DIAGRAMA DE

    BLOQUES. IDENTIFICAR LA(S) ENTRADA(S), LA (S) PERTURBACION (ES ), LA (S) SALIDAS, LA (S) VARIABLES DE

    ESTADO Y LOS PAR AMETROS.

    II-A. Ecuaciones del sistema

    Para iniciar el modelado del sistema, tenemos en primera instancia a un panel solar, con 2 paneles de menor area

    que hacen de seguidores, el angulo de giro del panel cel depende del voltaje de entrada Vc, el angulo de inclinacionsolarsol, los angulos de los paneles seguidores 1 y 2 que generan V1 y V2 respectivamente:

    Figura 1. Sistema de panel solar con seguidor a modelar

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    2/14

    Para este caso se desprecian las dinamicas normales de un motor, ya que se tiene la ecuacion que asociacel yVc:

    cel+b cel+k cel = kp Vc

    La salida del sistema que es maximizar el Voltaje entregado por el panel, esta dada por:

    Vout= ks S Sen(sol cel)

    las ecuaciones de los paneles seguidores:

    V1 = Kaux 1

    1 = sol 10

    cel

    V2 = Kaux 2

    2 = sol+ 170 +cel

    DondeKaux esta dado por:

    Kaux = 0, 001/10 => Kaux= 0, 0001

    Donde las variables de estado quedan definidas por:

    x1 = cel

    x2 = cel

    x1 = x2 = cel

    x2 = cel

    Despejando cel de la ecuacion que asocia cel y Vc:

    cel = kp Vc k cel b cel

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    3/14

    Segun los datos que se tienen, el sistema puede verse en 2 partes, la primera es el motor que gira al panel respecto

    a la posicion del sol, su entrada es Vc y su salida es cel, la cual a su vez es entrada al panel que genera un voltajede salida Vout dependiendo de los valores de cel,sol y la irradiancia S.

    Figura 2. Diagrama de Bloques

    Entonces, para este sistema se tiene que:

    Cuadro ITABLA DE COMPONENTES DEL SISTEMA

    Entrada/s VcSalida/s Vout, (v1, v2)

    Perturbacion/es S, solVariables de estado cel,cel,(1, 2)

    Parametros ,b,k,kp,Aaux,Kaux,ks,170,10,10 Vgrado

    .

    Donde v1 y v2 pueden ser salidas dependiendo de que se analice, pueden ser realimentadas al sistema para elseguimiento solar, y pueden ser variables de estado como tambien 1 y2, pero no ambas a las vez, o los voltajes, olos angulos pero no ambos al mismo tiempo, puesto que son linealmente dependientes y finalmente entregan la misma

    informacion.

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    4/14

    III. ESCRIBIR LAS ECUACIONES DINAMICAS DEL SISTEMA DE MODO DE TENER UNA REPRESENTACION DE

    ESTADOS DE LA FORMA x= F(X,U,P), Y = F(X,U,P)

    Las variables de estado son cel y cel. Ahora cambiando variables.

    x1= cel, x2 = cel

    y sus derivadas son:

    x1 = x2 = cel

    x2 = kp Vc k cel b cel

    Obtenemos la representacion de estados de la formax1x2

    =

    x2

    kpVckcelbcel

    x1x2

    =

    0 1k

    b

    x1x2

    +

    0kp

    u

    y la salida es:

    y= Vout= ks S Sen(sol cel)

    IV. DETERMINAR EL VALOR DEL VOLTAJE DE SALIDA MAXIMOVout

    PARA UNA IRRADIANCIA SOLAR

    S0 DE

    70 0 Wm2

    Y UN ANGULO DEsol=45 . DETERMINAR EL VALOR DE LAS VARIABLES DE ESTADO Y EL VOLTAJE DEL

    MOTORVc PARA ESTA CONDICION DE OPERACI ON

    Con los parametros entregados por el planteamiento del problema y la matriz de variables de estado planteada en

    la seccion anterior, podemos obtener el punto de operacion del sistema donde sus derivadas son iguales a 0.

    Los parametros para el problema son los siguientes:

    Cuadro IIPARAMETROS DEL PROBLEMA

    Parametros valor

    10

    b 5

    k 1

    kp 3

    Aaux 10e 3[m2]Kaux 10e 4ks 0.1

    S 700 Wm2

    sol 45

    Para conocer el maximo voltaje generado por el panel, se analiza la ecuacion de Vout:

    Vout= ks S Sen(sol cel)

    Reemplazando los parametros de tiene que:

    Vout= 0,1700Sen(45

    x1o)

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    5/14

    Para que este valor sea maximo, el seno debe ser maximo(1), esto ocurre en S en(90). Por lo tanto se obtiene que:

    sol x1o= 90

    45 90 =x1o= 45

    Se sabe que el seno tambien es maximo en 270, pero fisicamente no es logico que el panel este apuntando hacia

    abajo, esto tambien se puede notar en la eleccion de los ejes de referencia, es por eso que el valor de x1o es 45.

    Siguiendo con la Ecuacion del voltaje de salida.

    Vout= 0,17001 = 70[v]

    Como se debe trabajar en el punto de operacion, se tiene que:x1x2

    =

    x2 = 0kpVckx1o

    = 0

    Reemplazando:

    3Vc (45)

    10 = 0

    Vc =45

    3 = 15[v]

    de la misma forma, los valores de voltaje de los paneles seguidores estan dados por:

    1= 45

    10 (45) = 80

    v1 = 0,000180 = 0, 008[V] = 8[mV]

    2 = 45 + 170 45 = 80

    v2 = 0,000180 = 0, 008[V] = 8[mV]

    Con esto se tiene que el punto de operacion es: x1

    x2

    =

    45

    0

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    6/14

    V. SIMULAR EL SISTEMA PARTIENDO CON LAS CONDICIONES DE( C) Y CONSIDERAR UN CAMBIO A UN 7 0 DE L

    VOLTAJE DEL MOTORVc EN T=5 [S]. GRAFIQUE TODAS LAS VARIABLES DE ESTADO Y LOS VOLTAJES DE CADA UNODE LOS PANELES SOLARES PARA 0 t 60S.

    Con los valores de X1 y X2, Angulo de la celda y velocidad angular obtenidos en la seccion anterior se puedesimular el sistema, para eso se utilizo Simulink.

    Para resolver las ecuaciones se han armado los bloques que corresponden a las ecuaciones, utilizando los parametros

    que multiplican a las variables en bloques de ganancia, estos sumados en los bloques suma, en el caso de la ecuaci on

    que relaciona el voltaje de entrada con el angulo de la celda los bloques integradores desde cel a cel, un bloque parala funcion Seno y finalmente para poder ver en un grafico los resultados se utilizan los Bloques Scope que muestran

    a cel, cel, Vout, V1 y V2.

    Figura 3. Desarrollo, Simulacion es Simulink

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    7/14

    Los graficas obtenidas se presentan a continuacion:

    Figura 4. cel v/s tiempo

    La grafica va de acuerdo al comportamiento esperado, durante los primeros 5 segundos el valor de cel es de -45

    puesto que Vc = -15[v], luego en t=5, el valor de Vc decae al 70 % del valor anterior. A medida que el panel empiezaa girar hasta llegar a su nueva posicion y terminar de acomodarse en ella, su nuevo angulo es de -31.5 lo cual es

    concordante con los valores calculados para ese valor de Vc.

    Figura 5. cel v/s tiempo

    para la velocidad angular se puede observar, que durante los primeros 5[s], su valor es 0, esto al tener un angulo

    fijo cel, el panel se encuentra estable, luego en t=5 al cambiar el valor de Vc y por consiguiente el angulo cel,este empieza a girar a una velocidad cercana a los 1.8 Grados

    seg , una vez comienza a acercarse el panel a la posicion

    perpendicular al sol, comienza a detenerse el motor y a fijar su posicion, una vez llega al reposo su velocidad vuelve

    a 0Gradosseg .

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    8/14

    Figura 6. Vout v/s tiempo

    Figura 7. V1 v/s tiempo

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    9/14

    Figura 8. V2 v/s tiempo

    Todos los voltajes (Vout, V1, V2), depende directamente del valor de cel, paraV1 y V2 tambien dependen del areade cada panel, al cambiar el angulo de -45 a -31,5, fisicamente el panel de V1 le llega menos luz que al panel de V2,es por esto que V1 disminuye su valor y V2 aumenta, esto al ser sol fijo. El fenomeno de Vout, es dificil de explicar,posiblemente no se deba del todo a los angulos, mas bien a la Naturaleza sinusoidal de su ecuacion de modelamiento.

    VI. CALCULAR EL PERFIL DE VOLTAJE PARAVc QUE DEBE APLICARSE AL MOTOR, CONSIDERANDO QUE EL SOLRECORRE1 80 EN 1 2 HORAS CON IRRADIANCIA So. SIMULAR EL SISTEMA CON ESE VOLTAJE Y GRAFICAR TODAS

    LAS VARIABLES DE ESTADO Y LOS VOLTAJES DE LOS PANELES SOLARES PARA 0 t 12H.

    En esta parte se debe calcular como varasol a travez del tiempo, obteniendo una relacion para cel y un solconstante, ya que el movimiento del sol sera constante.

    Se sabe que sol recorre 180 en 12 horas, por lo tanto:

    sol = 180

    12hrs = 15

    grados

    hora

    sol = sol t= 15t

    Despejandocel de la ecuacion de Vout:

    cel = sol arcsen( VoutS ks

    )

    Como el panel debe permanecer perpendicular al sol, se siguen utilizando las condiciones del punto de operacion.

    arcsen( VoutS ks

    ) =arcsen( 70

    7000,1) = 90

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    10/14

    cel = 15t 90

    cel = 15

    cel = 0

    Reemplazando estos valores en la ecuacion de Vc se obtiene que:

    Vc = b cel+k 15t 90

    kp

    Vc= 515 + 115t 903

    Vc = 5t 5[v]

    Aplicando estos nuevos sistemas con sus debidas restricciones, se llego al siguiente sistema en simulink:

    Figura 9. Simulink problema e)

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    11/14

    que dio lugar a las correspondientes graficas:

    Figura 10. Vc v/s tiempo(Horas)

    Figura 11. cel v/s tiempo(Horas)

    Figura 12. cel v/s tiempo(Horas)

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    12/14

    Figura 13. V1

    v/s tiempo(Horas)

    Figura 14. V2 v/s tiempo(Horas)

    Figura 15. Vout v/s tiempo(Horas)

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    13/14

    Al tener un sistema segudior solar, lo que se espera son graficas lineales de las variables de estado. En este caso Vc

    aumenta desde los -5[v] a 55[v] de manera lineal, esto es porque el angulo sol varia de manera continua durante las12 horas, del mismo modo cel pasa de -90 a 90 grados (los mismos 180 grados que sol).

    cel ya habia sido despejado y deba dar exactamente igual que sol a 15 grados

    hora , asi el seguimiento es instantaneomanteniendo siempreVout maximo, entonces siendo siempre el valor deVout maximo, los valores deV1 y V2 debian sersiempre constantes, y en especial los calculados en el punto de operacion los que eran 8[mV] en cada caso. Finalmente

    paraVout su valor tiende al maximo en todo instante de tiempo al mantener sol y cel perpendiculares.

    VII. LINEALIZAR EL MODELO DEL SISTEMA OBTENIDO EN ( B) EN TORNO AL PUNTO DE OPERACION

    ENCONTRADO EN ( C) DE MODO DE OBTENER UNA REPRESENTACION DE ESTADOS DEL TIPO

    x= Ax+bu+Ep, y= cx+du+Fp

    La ecuacion que describe la posicion angular respecto al voltaje de entrada es lineal:

    x1x2=

    0 1k

    b

    x1x2 +

    0kp u

    En este sistema la no- linealidad se encuentra en la salida, puesto que Vout tiene una funcion seno.

    y

    =

    y1y2

    y3

    =

    kaux(p1o 10 x1o)

    kaux(p1o+ 170 +x1o)

    ks p2o Sen(p1o x1o)

    Derivando las ecuaciones de salida respecto a P1 y P2:

    y

    =

    kaux 0

    kaux 0

    ks p2o cos(p1o x1o) ks sen(p1o x1o)

    Al evaluarlo en el punto de operacion calculado en c) se tiene que:

    y

    =

    kaux 0

    kaux 0

    0 ks

    y

    =

    0,0001 0

    0,0001 0

    0 0,1

  • 7/26/2019 Informe 1 sistemas dinamicos

    14/14

    REFERENCIAS

    [1] J. Munoz, Apuntes de clase.

    [2] H. Moore, Matlab para ingenieros. Prentice-Hall.