Trigonometría sin papel

Iván Corral Merino

Jesús Murillo Ramón

Facultad de Letras y de la Educación

Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas

Matemáticas

2014-2015

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Curso Académico

Trigonometría sin papel

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Trigonometría sin papel, trabajo fin de estudiosde Iván Corral Merino, dirigido por Jesús Murillo Ramón (publicado por la Universidad de

La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

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Iván Corral Merino

Máster de Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Escuelas Oficiales de Idiomas,

especialidad Matemáticas

Curso 2014/2015

Trabajo Fin de Máster

Iván Corral Merino 1

Índice

1. Introducción ................................................................................................................. 2

2. Marco teórico sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje ....................................... 3

a. Desde un punto de vista psicológico .........................................................................................3

b. Desde un punto de vista pedagógico .........................................................................................6

c. El proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas ........................................................9

3. Unidad Didáctica ....................................................................................................... 16

a. Introducción y eje organizador ............................................................................................... 16

b. Objetivos ................................................................................................................................. 17

c. Contribución de la unidad didáctica a las competencias básicas ............................................ 17

d. Contenidos .............................................................................................................................. 18

e. Metodología ............................................................................................................................ 20

f. Actividades ............................................................................................................................. 21

g. Materiales y recursos didácticos ............................................................................................. 23

h. Evaluación .............................................................................................................................. 24

i. Anexos .................................................................................................................................... 27

4. Proyecto de Innovación Docente: “Trigonometría sin papel” ................................... 33

a. Introducción ............................................................................................................................ 33

b. Objetivos ................................................................................................................................. 35

c. Marco teórico .......................................................................................................................... 36

d. Descripción del proyecto ........................................................................................................ 40

e. Criterios y métodos de evaluación .......................................................................................... 48

f. Conclusión .............................................................................................................................. 51

g. Bibliografía y fuentes ............................................................................................................. 52

5. Reflexión final ........................................................................................................... 54

6. Bibliografía y recursos TIC ....................................................................................... 55



Introducción

El Máster de Profesorado surge con la vocación de formar a los futuros docentes de

Educación Secundaria, Bachillerato, Formación Profesional y Escuelas de Idiomas en la

didáctica más general y específica de su especialidad, capacitándoles para enseñar, dotándoles

de habilidades para formar parte de un equipo docente y desarrollando estrategias para la

orientación de sus alumnos. Así, aquellos que superan su plan de estudios, disponen de un

título habilitante para el ejercicio de la profesión docente.

Es por ello que este Trabajo Fin de Máster debe ser el reflejo de todas las capacidades

adquiridas durante el curso tanto en los aspectos más concretos de la especialidad como en

aquellos referentes a la psicopedagogía.

Con este objetivo, el presente trabajo contiene tres grandes partes:

• Un marco teórico sobre los procesos de enseñanza aprendizaje, a modo de

compendio de los conocimientos adquiridos tanto en las asignaturas del módulo

genérico como en el específico.

• Una unidad didáctica completa, desarrollada durante el periodo de prácticas para

un grupo-clase concreto y real, y que intenta reflejar lo recogido en el marco teórico.

• Un proyecto de innovación, diseñado a partir de las carencias y dificultades

observadas durante el periodo de prácticas para la unidad didáctica anterior.

De esta manera, realizaremos un recorrido por todos los conocimientos teóricos y prácticos

que se han trabajados durante este año académico, intentando poner de manifiesto la conexión

entre todos ellos.

Trabajo Fin de Máster Marco teórico


Marco teórico de los procesos de enseñanza-aprendizaje

En el proceso educativo intervienen dos aspectos tan fuertemente relacionado que en la

mayoría de los casos tienden a ser considerados equivalentes. Estos son la enseñanza y el

aprendizaje. Cuando hablamos de aprendizaje hacemos referencia a lo que se aprende y de qué

forma se aprende, mientras que la enseñanza se centra en los procesos utilizados por un agente

externo al alumno para que el aprendizaje se produzca.

Si se trata de establecer un marco de referencia desde una perspectiva teórica para el análisis

de los procesos de enseñanza-aprendizaje, resulta imprescindible contemplarlos desde el

ámbito de las Ciencias de la Educación, a saber la Psicología y la Pedagogía, y desde el de la

propia materia estudiada, las Matemáticas.

1. Desde un punto de vista psicológico

Teorías del aprendizaje

La Psicología del Desarrollo estudia el desarrollo humano, es decir los cambios que se

producen en el individuo y las características que permanecen estables, y dentro de ella

podemos encontrar dos teorías del aprendizaje, el conductismo y el constructivismo.

En cuanto a la primera de ellas, el conductismo, este defiende que los cambios que se

producen en la conducta de un individuo son debidos al aprendizaje y no tiene en cuenta los

procesos cognitivos. El hombre se presenta como un organismo pasivo, que únicamente

reacciona a los estímulos del entorno. Aunque uno de sus representantes más conocidos es

Paulov, con su condicionamiento clásico, es importante destacar el condicionamiento

instrumental u operante de Skinner, quien afirma que la conducta depende de las consecuencias

que esta provoca y está orientada a la consecución de un resultado. Es interesante por la teoría

de reforzadores que implementa (refuerzos/castigos positivos/negativos), y se utiliza en el aula

de una manera más o menos consciente.

Pero a lo que se pretende aproximarse es a la segunda, el constructivismo. En este caso, se

entiende que las modificaciones de las conductas son provocadas por cambios en el

conocimiento y en la capacidad intelectual de la persona. Tienen en cuenta los procesos



cognitivos y consideran al hombre como un organismo activo, protagonista de la construcción

de su conocimiento como resultado de la interacción y elaboración de la información que

recibe del entorno. Podemos destacar algunos autores importantes como Piaget, quien

preconiza que el origen de la inteligencia está en la acción; o Vygotski, con su modelo social

y Zona de Desarrollo Próximo (ZDP) en la que se basan las técnicas de andamiaje y tutoría.

Pero si tengo que poner de relieve solo uno, ese es Ausubel, precursor del aprendizaje

significativo. Defiende el hecho de aprender a aprender, y que el alumno sea autónomo y capaz

de autorregularse con el apoyo de la figura del profesor como mediador, siendo consciente de

sus propios procesos cognitivos (metacognición).

El desarrollo cognitivo y la personalidad del adolescente

No debemos olvidar que los alumnos con los que vamos a trabajar se encuentran en plena

adolescencia, etapa en la que producen cambios en múltiples facetas de su vida: físicos,

sociales, emocionales, cognitivos…

Estos cambios dan lugar a diversos desarrollos que se van produciendo en el adolescente de

manera paralela, como son el desarrollo físico (hormonal), cerebral (mielinización y poda

sináptica), de la personalidad (autoconcepto y autoestima) y socio-emocional. En este caso,

vamos a centrarnos en el desarrollo del pensamiento.

El adolescente experimenta cambios intelectuales y adquiere nuevas habilidades cognitivas

como la memoria, la atención, el lenguaje… y comienza a conformar el pensamiento social,

es decir, todo aquello que tiene que ver con la empatía, la identidad y el juicio moral. Además,

empieza a desarrollar procesos metacognitivos y las denominadas funciones ejecutivas

(actualización, inhibición, flexibilidad, planificación y toma de decisiones). Entre los cambios

fundamentales que se producen encontramos:

• Capacidad de pensar en abstracto y despegarse de la realidad.

• Capacidad de formular hipótesis, utilización del método hipotético-deductivo para

evaluar alternativas.

• Capacidad para concebir lo posible, entendiendo la realidad como una opción más.

• Uso de la combinatoria, organizando todos los elementos.

• Uso de la lógica proposicional y desarrollo del lenguaje complejo.

Así mismo, los rasgos cognitivos que predominan en la personalidad adolescente son el

idealismo, la tendencia a discutir y la indecisión, y el egocentrismo, entendiéndose a ellos

mismos como el centro de atención, seres únicos y a salvo de todo riesgo.



El control y supervisión de todos estos cambios no resulta banal, ya que podrían derivar en

problemáticas más complejas y graves como los trastornos depresivos, suicidio, trastornos

alimenticios o el consumo de sustancias.

Factores intrapersonales e interpersonales del proceso de enseñanza-aprendizaje

Son muchas las variables personales que influyen en el aprendizaje del alumno. Podemos

agruparlas en las siguientes:

• Cognición: donde estarían incluidas sus capacidades y sus conocimientos previos.

• Conación: el uso que hace de sus capacidades, es decir, sus estilos cognitivos y de

aprendizaje.

• Afecto: teniendo en cuenta la motivación, la emoción y la personalidad.

La conjunción de todas estas variables da como resultado unas determinadas estrategias de

aprendizaje que influyen directamente en su rendimiento escolar.

Analicemos ahora el componente de la motivación. Lo consideramos como la palanca que

mueve toda conducta. Es la que inicia, mantiene, orienta y detiene el comportamiento, y

comprende tres componentes personales: expectativa (autoconcepto y autoeficacia), valor

(metas de aprendizaje) y emoción. Y en este sentido, no podemos obviar la importancia de la

inteligencia emocional, entendiéndola como la capacidad de reconocer nuestros propios

sentimientos y los de los demás, de motivarnos y manejar adecuadamente las relaciones con

los demás y con nosotros mismo. Este término es muy amplio y engloba otros ingredientes.

Entre los intrapersonales (relación con nosotros mismos) encontramos la autoconciencia y la

autorregulación; y entre los interpersonales (relación con los demás), la motivación, la empatía

y otras habilidades sociales.

Atención a la diversidad y necesidades educativas especiales

A la hora de enfrentarse al trabajo diario en el aula, el profesor debe ser consciente de la

amplia diversidad que se presenta ante sus ojos. Los alumnos con necesidades educativas

especiales (ACNEE) son aquellos que por un periodo o toda su vida requieren apoyos y

atenciones educativas específicas a causa de una discapacidad o trastorno grave de conducta.

Esto no debe ser motivo de frustración por parte del profesor quien debe actuar bajo los

principios de calidad, equidad, flexibilidad y no discriminación. Para ello, el sistema educativo

ha desarrollado las medidas de atención a la diversidad que son aquellas actuaciones



educativas dirigidas a dar respuesta a distintas situaciones de aprendizaje por necesidades

educativas especiales, siempre desde un punto de vista inclusivo.

Dentro de estas necesidades especiales, encontramos:

• La alta capacidad intelectual: superdotación o talentos.

• El trastorno de déficit de atención con hiperactividad (TDAH), caracterizado por

una cierta impulsividad cognitiva y conductual.

• Los trastornos del espectro autista (TEA), con alteraciones en la interacción social,

la comunicación y el comportamiento.

2. Desde un punto de vista pedagógico

La Didáctica

Las Ciencias de la Educación definen la Didáctica como la disciplina científica, técnica y

tecnológica de la educación en los procesos de enseñanza-aprendizaje que tiene lugar en

contextos diversos y a lo largo de la vida. Su finalidad es garantizar una educación y formación

de calidad para todos los estudiantes. Su misión, alcanzar una formación integral a través del

desarrollo de capacidades (poder) para adquirir competencias (saber hacer) y facultades (ser).

Las capacidades son aquellas aptitudes que posee el individuo con un alto componente

genético, que definen un potencial y dan lugar a una gran diversidad. Mediante la intervención

socio-educativa podemos aplicar procedimientos que, mediante la práctica, transformen esas

capacidades en habilidades o destrezas, En otras palabras, pasamos del “poder” al “saber

hacer”. Si además somos capaces de introducir el componente de la autorregulación, estamos

diseñando estrategias que dan lugar a competencias, lo que significa ser capaz de tomar

decisiones de forma consciente en el momento oportuno para resolver un problema.

No debemos olvidar que la educación empieza en la familia y continúa en el ambiente socio-

cultural, y que la formación que lleva a cabo en la escuela. Sin embargo, todo ellos forman

parte del contexto educativo del alumno.

Las competencias

Entendemos por competencias un conjunto de actuaciones conscientes e intencionales que

garantizan respuestas eficaces a los problemas o situaciones que se pueden plantear en

contextos diversos y relevantes para la vida de la persona. Su puesta en práctica requiere saber



(conocimientos teórico-conceptuales específicos de las materias de aprendizaje), saber hacer

(procedimientos, habilidades, destrezas) y saber convivir (principios, hábitos, normas,

costumbres y valores).

Una persona competente no solo realiza bien su trabajo, sino que también lo hace

demostrando su actitud y sus valores de modo coherente. Los valores, como convicciones

profundas o vitales de las personas, determinan la manera de ser y orientan sus acciones y

comportamientos.

Es por esto, que los currículos oficiales definen ocho competencias básicas:

• Competencia en comunicación lingüística

• Competencia matemática

• Competencia en el conocimiento e interacción con el mundo físico

• Competencia digital

• Competencia social y ciudadana

• Competencia para aprender a aprender

• Autonomía e iniciativa personal

Al contrario de lo que puede parecer, estas ocho competencias básicas pueden y deben

trabajarse, en mayor o menor medida, desde todas las materias del currículo, ya que se

constituyen como elementos transversales dentro del proceso educativo.

Componentes didácticos de los procesos de enseñanza-aprendizaje

Según el modelo 3P de enseñanza-aprendizaje de Biggs, existen tres componentes

principales en este proceso: Pronóstico, Proceso y Producto. Dentro del primero, encontramos

al estudiante (agente central), al profesor (gestor clave) y el contexto (entrada de influencias).



En cuanto al Proceso, este se refiere a aquellas estrategias o actividades llevadas a cabo por y

para los agentes anteriormente mencionados para la consecución de unos resultados.

La interacción entre todos estos componentes didácticos da lugar al proceso de enseñanza-

aprendizaje.

Educación: rasgos personales del profesorado y su actuación docente

Quedémonos con la siguiente definición de “educación”: proceso permanente a través del

cual cada persona puede llegar a dirigir con sentido su propia vida y alcanzar su plena

realización, considerando cuatro pilares de conocimiento: aprender a conocer, a hacer, a

convivir y a ser.

Anteriormente hemos identificado al profesor como el gestor clave del proceso educativo,

por lo que sus rasgos personales más significativos deberían ser:

• Objetividad, en términos de credibilidad, coherencia y justicia.

• Sensibilidad, con empatía y flexibilidad.

• Entusiasmo por la materia y la docencia.

Y en lo referente a su actuación docente:

• Claridad.

• Organización y orden.

• Variedad de métodos.

• Ritmo adaptado a sus alumnos.

• Evaluación para comprobar y no para sancionar.

La Programación Didáctica

¿Y cómo se concreta toda esta teoría pedagógica? Podemos distinguir tres niveles de

concreción:

• 1º Nivel: Diseño Curricular Base (DCB), ley de educación a nivel estatal y de

comunidad autónoma.

• 2º Nivel: Proyecto Educativo del Centro (PEC), diseñado por el Consejo Escolar.

• 3º Nivel: Programación Didáctica del departamento, confeccionada a nivel de

claustro y equipo docente y que cada profesor desarrolla en el aula mediante

Unidades Didácticas.



La Programación Didáctica es el plan estratégico diseñado y utilizado como herramienta

por el profesor para la gestión del proceso de enseñanza-aprendizaje, en el que se definen los

objetivos didácticos (elemento clave y del que se derivan el resto de componentes de la

programación), contenidos a impartir, competencias a adquirir, metodología a aplicar, recursos

a utilizar, actividades a realizar y criterios de evaluación a seguir para la comprobación de la

consecución de los objetivos.

Como consecuencia, las características que debemos exigirle a una buena programación

son:

• Coherencia y secuencia, conformando una unidad fundamental.

• Flexibilidad para introducir mejoras sin romper esa unidad.

• Objetividad y realismo.

• Precisión y claridad.

3. El proceso de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas

El currículo de Matemáticas en la E.S.O.

Desde una perspectiva curricular, las matemáticas contribuyen a la formalización de las

ciencias tanto experimentales como sociales y nos ayudan a entender el mundo que nos rodea,

por lo que forman parte de nuestra cultura.

En cuanto al proceso de enseñanza de esta materia, ésta debe realizarse de forma intuitiva

y buscando paulatinamente el rigor matemático, sirviéndonos del uso racional de la tecnología

de la que disponemos y de la posibilidades que ofrece el trabajo en grupo, con el fin de que el

aprendizaje sea inductivo y fomente el desarrollo autónomo de los alumnos y su interés por las

Matemáticas.

La enseñanza de las Matemáticas se entiende como un proceso cíclico y pretende desarrollar

las competencias a través de cinco bloques de contenidos:

• Números: ampliación de los conjuntos de números, comprensión de operaciones y

estimación y cálculo mental.

• Álgebra: uso de los símbolos y expresiones propios del lenguaje matemático.



• Geometría: cálculo de superficies y volúmenes, clasificar y razonar sobre formas

geométricas.

• Funciones: describir, interpretar, predecir y explicar fenómenos de diversos tipos y

modelizar situaciones reales.

• Estadística: analizar de forma crítica situaciones reales, estudiar fenómenos

aleatorios sencillos y sacar conclusiones.

Todos los bloques de contenidos se han confeccionado con el fin práctico de la resolución

de problemas, lo cual está orientado a facilitar la toma de decisiones en la vida adulta del

alumno, finalidad del proceso de aprendizaje, ya que necesitamos las Matemáticas para tratar

información, establecer y contrastar hipótesis, diseñar estrategias y extrapolar resultados.

Objetivos de la enseñanza de las Matemáticas

La enseñanza de las Matemáticas persigue múltiples y diversos objetivos que podemos

resumir en los siguientes:

• Aplicar adecuadamente herramientas matemáticas en diferentes situaciones de la

vida cotidiana.



• Dotar a los alumnos de capacidades y estrategias para la resolución de cualquier tipo

de problema de índole matemática.

• Integrar las matemáticas dentro de la cultura del alumno, desde un punto de vista

histórico, y apreciando su papel en el desarrollo de la sociedad actual. Así mismo,

dotarle de herramientas para apreciar el uso de las Matemáticas en el arte, la

arquitectura, etc.

• Incorporar las Matemáticas, su modo de expresión y su razonamiento al lenguaje y

modo de argumentación de la persona, para conseguir dotarle de un pensamiento

crítico y reflexivo.

• Dotar al alumno de un cierto manejo de diferentes recursos informáticos en el

ámbito de las Matemáticas, es decir, en el uso de calculadoras y programas

informáticos útiles para la resolución de problemas.

Contribución de las Matemáticas a las competencias básicas

Las Matemáticas como materia a estudiar dentro del recorrido académico del alumno, no

solo contribuyen a la adquisición de la competencia matemática, sino que desde la asignatura

se pueden trabajar las distintas competencias con la adecuada utilización de conocimientos

transversales. Así, las Matemáticas contribuyen al trabajo del resto de competencias básicas

de la siguiente manera:

• El estudio de formas geométricas y modelización, a la competencia del

conocimiento e interacción con el mundo físico.

• Las herramientas tecnológicas, a la competencia digital.

• La expresión del lenguaje matemático y la resolución de problemas, a la

competencia lingüística.

• La geometría como expresión artística, a la competencia cultural y artística.

• La resolución de problemas, a la competencia de aprender a aprender y autonomía

e iniciativa personal.

• El análisis funcional y la estadística, a la competencia social y ciudadana.

La Transposición Didáctica

Podríamos considerar la transposición didáctica como la raíz de la didáctica de las

Matemáticas. Se trata del proceso de transformación del conocimiento científico, también

conocido como “saber sabio”, en otro conocimiento más comprensible y adecuado para

enseñanza, “saber enseñando”, por parte del profesional docente. Este paso es fundamental y



conforma la base del proceso de enseñanza-aprendizaje, sobre todo en una disciplina como las

Matemáticas, en la que ciertos conceptos se antojan tan abstractos que resultarían muy difíciles

de aplicar en ciertos niveles educativos.

Es por ello que la principal competencia del profesor de Matemáticas es la planificación

didáctica, es decir, saber qué enseñar y cómo enseñarlo. En cuanto a qué enseñar, la respuesta

son las llamadas “Matemáticas escolares” que son el resultado de la transposición didáctica

del conocimiento técnico que posee el profesor. Por el contrario, para decidir cómo enseñarlo

el docente debe recurrir a sus competencias didácticas para diseñar la unidad didáctica que

intentará aplicar en el aula. Una herramienta de planificación eficaz en este caso es el análisis

didáctico, un procedimiento cíclico que se estructura en cuatro fases:

• Análisis del conocimiento: definir contenidos, objetivos y competencias.

• Análisis cognitivo: anticipar la respuesta de los alumnos.

• Análisis de instrucción: diseño de la acción didáctica.

• Análisis de la actuación: verificación de lo conseguido. Punto de partida del tema

siguiente.

Atención a la diversidad en Matemáticas

Como ya hemos visto anteriormente de manera más teórica, la atención a la diversidad no

solo se refiere a alumnos con problemas para alcanzar los mínimos exigidos, sino que también

existen estudiantes con necesidades especiales debido a su alto desarrollo intelectual. Así

mismo, en el análisis realizado del currículo de la E.S.O., se indica que todos los contenidos y

demás componentes docentes deben estar orientados a la resolución de problemas, como

resultado final y puesta en práctica de la cultura matemática que los alumnos van adquiriendo

en los diferentes niveles educativos. Los estudiantes deben ser capaces de aplicar modelos

matemáticos para la resolución de problemas de la vida real, seleccionando las estrategias más

adecuadas.

Para ello, y teniendo en cuenta estos dos aspectos, podemos atender a esa diversidad a través

de la propuesta de problemas con diferenciación de contenidos. En otras palabras, se trata de

plantear problemas con distintos niveles de contenido y distintos enfoques que el alumno pueda

ir completando de manera gradual según sus capacidades.

A modo de ejemplo, consideremos un problema de optimización de volúmenes:

• Nivel 1: Plantear el estudio de las formas geométricas que intervienen a través de la

descomposición de los cuerpos en otros más sencillos.



• Nivel 2: Formular y generalizar de manera algebraica las expresiones para el cálculo

de volúmenes y áreas.

• Nivel 3: Obtener el óptimo buscado a través de una tabla de valores obtenidos

mediante fórmulas.

• Nivel 4: Obtener el óptimo buscado utilizando el cálculo diferencial.

O en el caso de un problema probabilístico:

• Nivel 1: Modelizar el problema mediante un experimento real con un dado.

• Nivel 2: Simular resultados aleatorios mediante una aplicación informática.

• Nivel 3: Aplicar la inferencia estadística mediante el análisis de distribuciones de

probabilidad teóricas.

La evaluación matemática

La evaluación de las Matemáticas forma parte de su didáctica. El concepto de evaluación

varía desde ser considerada como una mera valoración de los logros académicos conseguidos

por el alumno, presentados mediante un valor numérico encuadrado dentro de una escala

(métodos cuantitativos), hasta ser considerada una herramienta que además de valorar

académicamente al alumno sirve como medio informativo de los puntos fuertes y débiles del

proceso de enseñanza-aprendizaje en la que apoyarse para poder mejorar el mismo (métodos

cualitativos).

Así durante las primeras etapas, la evaluación únicamente se centraba en la valoración de

los logros de habilidades por parte de los alumnos, olvidándose totalmente del proceso seguido

para conseguir estos logros. En la perspectiva actual, la evaluación deja de centrarse

únicamente en la valoración académica del alumno, y fija cada vez más su atención en las

interacciones que ocurren en el aula, convirtiéndose a su vez en una herramienta de reflexión

sobre el propio proceso de enseñanza-aprendizaje. La evaluación pasa a ser un eje fundamental

en el proceso educativo, que hace de regulador del propio proceso, por lo que es necesario que

tanto docentes como equipo del centro se involucren activamente para adaptar el proceso a las

necesidades que van dictando los resultados de la propia evaluación.

La forma de evaluar también nos muestra la importancia que el profesor da a los diferentes

contenidos del currículo. La elección de las actividades, la metodología utilizada, los

contenidos, etc., estarán determinados por la evaluación que va a llevarse a cabo.

De acuerdo con este nuevo concepto de evaluación, podemos definir las siguientes

funciones de la evaluación matemática:



• Función social: la evaluación puede llegar a realizar una clasificación social, ya que

supone el reconocimiento de haber adquirido una serie de habilidades al final de la

etapa de cada ciclo educativo, y esto es lo que te clasifica socialmente frente a los

demás. Esta posible función clasificadora, no es compatible con la función

orientadora que debe realizar el profesor.

• Función ética y política: que establece es el derecho al error como vía de acceso al

conocimiento.

• Función pedagógica: La evaluación regula y controla el aprendizaje del alumno y

sus interacciones con el procedimiento educativo utilizado y es una herramienta

muy útil para guiar el proceso pedagógico utilizado por el profesor, acoplando la

metodología utilizada a las necesidades reales de sus alumnos.

• Función profesional: Debe servir para identificar habilidades, errores, regular el

proceso, intervenir en la planificación promoviendo mejoras e influyendo en las

decisiones. Su precisión se controla a través de la definición de formatos y

procedimientos determinados y se adecúa mediante diferentes parámetros.

Es por ello que las exigencias realizadas a la evaluación se hacen en términos de

reproductibilidad, significatividad, información y pertinencia.

La Historia de las Matemáticas como recurso didáctico

Si recordamos los objetivos de la enseñanza de las Matemáticas, uno de ello es la

integración de estas dentro de la cultura del alumno, desde un punto de vista histórico,

considerando su papel en el desarrollo de la sociedad actual.

Pero, ¿cómo podemos incorporar la Historia de las Matemáticas en el aula? He aquí algunas

ideas:

• Hacer descubrir a los alumnos la relación de las Matemáticas con la cultura de la

época y cómo ambas han ido evolucionando y nutriéndose una de la otra, dando

respuesta a los problemas y a las necesidades de la sociedad. Dar a conocer la

Historia a los alumnos puede favorecer el desarrollo de su juicio crítico en los

problemas que se plantean en su vida diaria.

• Utilizar los grandes problemas matemáticos para contextualizar la introducción de

ciertos temas. Resulta fundamental hacer ver a los alumnos que las Matemáticas son

una ciencia en constante evolución y que son creadas por y para la sociedad.



• Tratar de “humanizar” las Matemáticas a través de la vida de los principales

matemáticos, con el fin de acercar a las personas y jugar en un plano más afectivo.

Es decir, dar a conocer la época en la que vivieron, las vicisitudes que sufrieron, los

problemas de distinta índole a los que tuvieron que hacer frente para desarrollar su

trabajo…

• Abordar la evolución a lo largo de la historia de los conceptos y símbolos que se

utilizan actualmente y que hoy son objeto de estudio.

Recursos TIC para la enseñanza de las Matemáticas

Actualmente existen múltiples recursos tecnológicos que sirven de apoyo al profesor en el

proceso de enseñanza y favorecen muy notablemente el aprendizaje de los alumnos a todos los

niveles desde una perspectiva constructivista. Entre dichas aplicaciones encontramos las

siguientes:

• Cabri Géomètre II Plus: es un software de geometría dinámica de fácil

manipulación y de rápido aprendizaje, que permite a los estudiantes visualizar,

descubrir, conjeturar y comprobar propiedades que se deseen trabajar.

• Xlogo: es un programa interprete del lenguaje LOGO. Es un buen lenguaje para

comenzar a estudiar programación y enseñar lo básico acerca de temas como bucles,

condicionales, procedimientos, etc. El usuario puede mover un objeto llamado

"tortuga" dentro de la pantalla, usando instrucciones (comandos) simples y

realizando gráficos de distinta complejidad con su movimiento.

• GeoGebra: es un software gratuito y de código abierto de matemáticas dinámicas

para todos los niveles educativos que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo,

gráficos, estadística y cálculo en un solo programa fácil de usar con herramientas

muy potentes y de las que el docente puede sacar un gran partido.

Trabajo Fin de Máster Unidad Didáctica


Unidad Didáctica

Como ya hemos comentado en el marco teórico de los procesos de enseñanza-aprendizaje,

el último nivel de concreción de la teoría psicopedagógica es el desarrollo de una unidad

didáctica por parte del profesor, la cual recoge todos los elementos necesarios para llevar a

cabo el proceso educativo en el día a día del aula.

Para ilustrar de modo práctico el apartado teórico precedente, presento a continuación una

unidad didáctica completamente desarrollada y diseñada durante el periodo de prácticas en el

I.E.S. Ciudad de Haro para un grupo-clase concreto y real, 4º ESO (Opc. B).

Se trata de un grupo de 15 alumnos de entre 15 y 16 años. Dado que en este nivel, esta

opción de Matemáticas es de libre elección, los alumnos provienen de otros grupos-clase

originarios de la opción de ciencias, humanidades y tecnología, por lo que no todos están

encaminados a continuar con el estudio de las Matemáticas en profundidad en estudios técnicos

o científicos. Este grupo es también muy heterogéneo, no solo por lo comentado anteriormente,

sino por los resultados que alcanza: existen alumnos con resultados muy altos y otros que se

encuentran lejos del nivel que se exige.

TRIGONOMETRÍA

Introducción y eje organizador

La presente unidad didáctica desarrolla el tópico matemático de la trigonometría. Esta se

enmarca en la asignatura de matemáticas de cuarto curso de E.S.O, opción B, y los contenidos

que recoge se encuentran dentro del bloque de Geometría, precedido del tema de semejanza y

sucedido por el de geometría analítica según la secuenciación de la programación didáctica del

curso en cuestión.

La trigonometría es una herramienta matemática que permite resolver problemas tanto en

el plano como en el espacio. Aunque en este nivel se presenta la trigonometría principalmente

como herramienta para resolver triángulos y calcular áreas y volúmenes, en cursos posteriores

serán muchas las aplicaciones de la trigonometría.

Es importante destacar que es en este curso cuando se aborda por primera vez el tema de la

trigonometría, por lo que los conceptos que se tratarán en esta unidad serán completamente



nuevo. Es por ello que resultaría conveniente que los alumnos recuerden el concepto de grado

sexagesimal, así como los teoremas de Pitágoras y Tales, tratados anteriormente, así como las

expresiones de las longitudes, áreas y volúmenes de las principales figuras y cuerpos

geométricos vistos a lo largo de todo su recorrido académico.

No debemos perder de vista que la trigonometría es una herramienta de base para los

cálculos en todas las ciencias y algunas disciplinas artísticas, y en concreto en física, química,

astronomía, topografía, arquitectura y artes plásticas.

Objetivos

• Entender las distintas formas de medir ángulos y cómo se transforman de unos sistemas

a otros.

• Comprender las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos

rectángulos

• Expresar estas relaciones mediante las razones trigonométricas de un ángulo

• Resolver triángulos y problemas de geometría mediante el uso de razones

trigonométricas y sus relaciones.

Contribución de la unidad didáctica a las competencias básicas

Competencia lingüística:

Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es

básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, los problemas con enunciado

contextualizado finales desarrollan la comunicación escrita.

Competencia matemática

Esta competencia abarca todas las secciones y actividades del libro, por lo que se trabaja de

manera completa. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las

subcompetencias de resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico

Se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico y

tecnológico, al estudiar la evolución de los instrumentos de medición a través de la

trigonometría.



Competencia cultural y artística

Esta competencia se trabaja mediante lecturas, notas al margen y actividades sobre el

desarrollo histórico de la trigonometría y su aplicación a la arquitectura.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital

La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la

resolución de actividades. Se trabajan la obtención, transformación y comunicación de la

información y de uso de las herramientas tecnológicas asociadas a la geometría. Además, se

incorpora la utilización de aplicaciones informáticas para la explicación de los contenidos

teóricos.

Competencia para aprender a aprender

A partir de las actividades planteadas se pretende que el alumno tome conciencia y control

de sus propias capacidades y conocimiento de su propio proceso de aprendizaje, así como del

manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

Competencia de autonomía e iniciativa personal

A partir de las actividades propuestas a los alumnos fuera del aula, se fomenta el trabajo

autónomo del alumno desde una perspectiva de aprendizaje constructivista y significativo.

Contenidos

Conceptos

• Medida de ángulos: el grado y el radián. Equivalencia entre ambas medidas.

• Razones trigonométricas de los ángulos agudos: seno, coseno y tangente

• Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. Ecuación fundamental de

la trigonometría.

• Uso de las funciones trigonométricas en la calculadora. Razones trigonométricas

inversas. Ecuaciones trigonométricas.

• La circunferencia goniométrica: Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

Reducción de un ángulo al primer cuadrante.



• Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios,

suplementarios y que difieren 180º y negativos.

• Teoremas del seno y del coseno

Procedimientos

• Distinguir las razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente, y

calcularlas a partir de datos dados en distintos contextos.

• Utilizar la calculadora para hallar el seno, coseno o tangente de un ángulo dado.

• Reconocer la utilidad de la circunferencia goniométrica y determinar el signo de las

razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en el que se encuentre.

• Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera mediante la reducción a

un ángulo del primer cuadrante.

• Conocer las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos

complementarios, suplementarios y opuestos.

• Resolver triángulos rectángulos, conocidos dos de sus lados, o bien un lado y un ángulo

agudo.

• Resolver triángulos cualesquiera, mediante la aplicación de los teoremas del seno y del

coseno en distintos contextos y según los datos dados, ángulos o lados.

• Utilizar la trigonometría para resolver problemas geométricos reales.

Actitudes

• Reconocer la utilidad de la trigonometría para resolver problemas reales.

• Interés por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de

trigonometría.



Metodología

Con el objeto de lograr los objetivos didácticos propuestos, desarrollar las competencias

básicas y trabajar los contenidos apostamos por una metodología activa y constructiva que

atienda a la diversidad y promueva el aprendizaje significativo. El trabajo en el aula se basará

en las siguientes estrategias metodológicas:

1. Partir del nivel de desarrollo y los conocimientos previos del alumnado

2. Metodología activa y participativa, dónde los protagonistas del proceso de enseñanza

y aprendizaje deben ser los alumnos.

3. Atención personalizada, teniendo presente la atención a la diversidad.

4. Motivación y atención a las competencias básicas, combinando reflexión teórica y

práctica.

5. Trabajo individual y en equipo.

La primera parte de la unidad está dedicada a adquirir los conceptos necesarios para la

resolución de triángulos rectángulos y su aplicación a diferentes situaciones, lo que incluye el

estudio de las unidades de medida de ángulos, las razones trigonométricas en ángulos agudos

y las relaciones entre ellas.

En la segunda parte, se pretende generalizar

los conceptos de razones trigonométricas a un

ángulo cualquiera mediante el estudio de la

circunferencia goniométrica y las relaciones

entre parejas de ángulos (complementarios,

suplementarios…), así como los teoremas del

seno y del coseno. Todo ello orientado a la

resolución de problemas reales mediante la

utilización de las herramientas trigonométricas

adecuadas.

En todas las sesiones, la exposición teórica

debería ir acompañada de la realización de

ejemplos y de ejercicios. Para mejorar la

comprensión de los conceptos teóricos por parte de los alumnos, se utilizará la aplicación

TRIGONOMETRÍA

Medida de ángulos Grado sexagesimal

Radián

Razones

trigonométricas y

sus relaciones

Seno, coseno y tangente

Relaciones fundamentales

Ecuaciones

trigonométricas

Uso de la calculadora

Razones inversas

Razones en ángulos

cualesquiera

Resolución de

triángulos

Triángulos rectángulos

Teoremas del seno y del

coseno



informática GeoGebra como herramienta didáctica, material que se adjunta en soporte

informático para su utilización, pretendiéndose ilustrar el estudio de los valores de las razones

trigonométricas mediante una circunferencia goniométrica dinámica, así como las relaciones

entre las razones de ángulos especiales (complementarios, suplementarios…)

Así mismo, los ejercicios y problemas propuestos estarán clasificados según el grado de

dificultad, cumpliendo un doble objetivo: regular el avance de la clase y la atención a la

diversidad.

Por supuesto que el contexto de la clase es

también un factor determinante en cuanto al

número de sesiones necesarias para desarrollar

la unidad.

Esta unidad es amplia y reviste cierta

complejidad, en particular en las

demostraciones de igualdades trigonométricas,

el cálculo de las razones de ángulos mayores de

90º, la resolución de ecuaciones

trigonométricas con más de una solución y la

identificación de la mejor estrategia para

resolver un triángulo cualquiera.

Actividades

A continuación se detallan las actividades de desarrollo que se han diseñado para esta

unidad didáctica teniendo en cuenta los objetivos de aprendizaje que se han especificado al

inicio de la misma. Estas actividades presentan distintos niveles de dificultad, las cuales se irán

planteando de manera acorde al progreso de los alumnos. Con el fin de llevar a cabo una

adecuada atención a la diversidad que se pueda presentar en el aula, se han diseñado una serie

de actividades de refuerzo y de ampliación.

Actividades de desarrollo

Las actividades que se muestran a continuación son un ejemplo de las propuestas a plantear

en el aula. La colección completa de actividades de desarrollo se recoge en el anexo I.



Ejercicios de resolución de triángulos rectángulos

• Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

Ejercicios sobre razones trigonométricas y sus relaciones

• Hallar el resto de razones trigonométricas, sabiendo que:

o sen x = -2/3, x es un ángulo del tercer cuadrante.

o tg x = 3/2, x es un ángulo del primer cuadrante.

o cos x = 1/3, π< x < 2π.

Problemas sobre triángulos rectángulos

• Desde el borde de un acantilado de 50 metros de altura, Ángel observa, bajo un

ángulo de 60º, cómo una embarcación realiza las tareas de pesca. ¿A qué distancia

de la costa se encuentra aproximadamente la embarcación?

Ejercicios y problemas de resolución de triángulos cualesquiera

• Resuelve los siguientes triángulos



Actividades de refuerzo

Las actividades de refuerzo de esta unidad se recogen en el anexo II.

Actividades de ampliación

Las actividades de ampliación de esta unidad se recogen en el anexo III.

Materiales y recursos didácticos

Los recursos que utilizaremos para el desarrollo de esta unidad didáctica tienen como

finalidad el correcto aprendizaje por parte de los alumnos del tema de ecuaciones e

inecuaciones. Entre los que se encuentran:

• Libro de texto: Matemáticas – Pitágoras para 4º de ESO Opción B. Editorial SM

• Explicación en pizarra

• Calculadora científica, para calcular las razones trigonométricas y sus inversas.

• GeoGebra: este programa gratuito resulta especialmente útil para hacer construcciones

geométricas de forma sencilla e ilustrar los conceptos de la unidad. Se aportan 5 archivo

en soporte informático pertenecientes a los siguientes aspectos:

o Circunferencia goniométrica

o Ángulos complementarios

o Ángulos suplementarios

o Ángulos que difieren 180º

o Ángulos negativos



Evaluación

De acuerdo con los objetivos didácticos y contenido que se recogen en esta unidad didáctica,

se plantean los siguientes criterios de evaluación:

1. Conocer los sistemas de medida de ángulos y cómo operar con ellos.

2. Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones

trigonométricas y el teorema de Pitágoras.

3. Conocer y utilizar adecuadamente las relaciones entre las razones trigonométricas de

los ángulos de los triángulos rectángulos.

4. Generalizar la definición de las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los

triángulos rectángulos a cualquier ángulo y conocer sus relaciones y aplicaciones.

5. Hallar los lados y ángulos de cualquier tipo de triángulo cuando se conocen un lado y

otros dos elementos del triángulo.

6. Resolución de problemas reales mediante el uso de la trigonometría.

La evaluación de esta unidad didáctica se realizará de manera sumativa. Consiste en la

realización de una prueba escrita propuesta a continuación que consta de 5 ejercicios, cada uno

de ellos con un valor de 2 puntos sobre un total de diez. Dicho examen formará parte de la nota

final de la evaluación, que se obtendrá mediante la media ponderada de la nota de los

exámenes.

De igual manera, se valorarán otros aspectos (no recuperables) como:

• El trabajo del alumno en clase: cuaderno y realización de ejercicios en pizarra

• El trabajo del alumno fuera de clase: realización de ejercicios de manera autónoma

(tarea) y entrega de trabajos puntuales.

• La actitud del alumno en clase: comportamiento, interés, grado de participación,

disposición a ayudar a sus compañeros, a respetar el derecho al error de todos, sus

intervenciones, preguntas, etc.

En cualquier caso, la nota de los exámenes tendrá un valor nunca inferior al 80% de la nota

de evaluación y tendrá un carácter recuperable mediante una prueba escrita similar la prueba

de evaluación propuesta.



EXAMEN: TRIGONOMETRIA (4ºESO – Opc.B)

1. (2 puntos) Calcula las tres razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) en los

siguientes casos:

a. sen α = 1/3; α < 90º

b. cos α = -3/5; 90º < α < 180º

c. tg α = 2; π < α < 3π/2

2. (2 puntos) Expresa las siguientes razones trigonométricas como razones

trigonométricas de ángulos del primer cuadrante:

a. sen 60º

b. cos 2π/3

c. tg -30º

3. (2 puntos) Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

4. (2 puntos) Desde donde me encuentro observo una torre

con un ángulo de elevación de elevación de 32º. Si me

acerco a ella 25m, la observo con un ángulo de 50º. ¿Cuál

es la altura de la torre?

5. (2 puntos) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y

otro B, situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el

globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B,

calcula la distancia entre los pueblos A y B.



Análisis de la propuesta de evaluación según los criterios de evaluación

A continuación, vamos a verificar como cada uno de los criterios de evaluación está

evaluado con alguno de los ejercicios propuestos en el modelo de examen:

• Criterio 1: Ejercicios 1 y 2

• Criterio 2 y 3: Ejercicios 3 y 4


• Criterio 5: Ejercicios 3, 4 y 5


De esta manera queda comprobado que la propuesta de evaluación confeccionada cumple

todos los criterios de evaluación y con ello pretende evaluar la asimilación de los contenidos

y la consecución de los objetivos didácticos.



Anexos

Anexo I: Unidad Didáctica de Trigonometría (4º ESO): Actividades de desarrollo

Ejercicios de resolución de triángulos rectángulos

• Calcula las medidas de los lados señalados en cada caso:

• Calcula la medida de los ángulos indicados. Da la solución aproximados a los

minutos:

• Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

• Calculas las medidas de los lados y los ángulos que falta en los siguientes triángulos

rectángulos, considerando Â=90º:

o b=5cm, c=12cm

o c=43cm, �� 37º

o b=7cm, �� 49º

o a=5cm, � � 65º



Ejercicios sobre razones trigonométricas y sus relaciones

• Sabiendo que sen 25° = 0,42, cos 25° = 0,91 y tg 25° = 0,47, halla las razones

trigonométricas de 155° y de 205°.

• Hallar el resto de razones trigonométricas, sabiendo que:

o sen x = -2/3, x es un ángulo del tercer cuadrante.

o tg x = 3/2, x es un ángulo del primer cuadrante.

o cos x = 1/3, π< x < 2π.

• Calcular x sabiendo que sen x = 1/2 y 90º < x < 270º.

Problemas sobre triángulos rectángulos

• Desde el borde de un acantilado de 50 metros de altura, Ángel observa, bajo un

ángulo de 60º, cómo una embarcación realiza las tareas de pesca. ¿A qué distancia

de la costa se encuentra aproximadamente la embarcación?

• Calcula el ángulo de tiro del futbolista.

• El ángulo de elevación de una cometa sujeta con una cuerda de longitud L1 = 80 m

es a = 30º. El viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ángulo

de elevación es B = 60º. ¿Cuál es la altura de las cometas en ese instante? ¿Y la

longitud L2 de la cuerda que sujeta la segunda cometa?

• Desde el lugar donde me encuentro la visual de una torre forma un ángulo de 32º

con la horizontal. Si me acerco 15 m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la

torre?



• Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un

ángulo de 60°. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?

Ejercicios y problemas de resolución de triángulos cualesquiera

• Resuelve los siguientes triángulos

• Resuelve los siguientes triángulos:

o a=25cm, b=71cm, c=78cm

o a=46cm, b=33cm, �� 39º

o c=40cm, �� 35º, � � 43º

• Una ambulancia está socorriendo a los heridos de un accidente de tráfico. Observa

el mapa y señala cuál de los dos hospitales se encuentra más cerca del lugar del

accidente.



Anexo II: Unidad Didáctica de Trigonometría (4º ESO): Actividades de refuerzo

• Expresa en radianes los siguientes ángulos:

o 316°

o 10°

o 127º

• Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

o 3 rad

o 2π/5rad.

o 3π/10 rad.

• Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α, sabiendo que:

o cos α = 1/4, 270º <α <360°

o tg α = 2, 180º < α <270°

o sen α = 1/3, 0< α < π/2

• Calcula las razones de los siguientes ángulos, mediante la reducción al primer

cuadrante:

o 215°

o 335°

o 2155°

o −790º

• El lado final del ángulo α corta la circunferencia de la figura en el

punto P de coordenadas (–2, –3). Determina el radio de la

circunferencia y los valores del seno, el coseno y la tangente del

ángulo α.

• En la circunferencia de la figura se han representado cuatro

ángulos, uno de cada cuadrante, y se ha marcado el coseno de

cada uno de ellos, siendo estos iguales u opuestos. Si uno de los

ángulos es de 255º, indica la medida de los otros tres y relaciona

el coseno de los cuatro ángulos, indicando cuándo son iguales y cuándo opuestos.



• Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, sabiendo que:

o La hipotenusa a = 8 cm y el ángulo C = 47º 16’ 34’’

o Los catetos b = 9,3 cm y c = 4,1 cm

o La hipotenusa a = 6,4 cm y el cateto c = 3,8 cm

o Un cateto b = 10,5 cm y el ángulo B = 60º

• Una torre de 40 m de alto proyecta una sombra de 55 m de larga. Encontrar el ángulo

de elevación del sol en ese momento.

• Un avión que está volando a 750 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de

depresión de 25°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

• Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y

la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A

y B?



Anexo III: Unidad Didáctica de Trigonometría (4º ESO): Actividades de ampliación

• El seno de un ángulo α del segundo cuadrante es el doble del valor absoluto del

coseno de dicho ángulo. Determina:

o La tangente del ángulo α.

o El seno y el coseno del ángulo α.

o El valor aproximado del ángulo α expresado en radianes y en el sistema

sexagesimal.

• Las medidas de un campo de fútbol son 106 x 70 metros, y la portería mide 7,32

metros de ancha. El punto C es el centro del campo, y el

punto P está en el centro de la línea de banda. ¿Desde cuál

de los dos puntos marcados en la figura se verá la portería

más ancha?

• La Torre Inclinada de Pisa fue cerrada al público para tratar de rectificar su

inclinación, consiguiendo reducir 46 centímetros su desplazamiento respecto de la

vertical. La altura de la torre es de 55,7 metros desde la base, y la inclinación actual

es de aproximadamente 4,5 metros respecto de la vertical.

o El ángulo de inclinación actual de la torre.

o El ángulo de inclinación que tenía antes de repararla.

o El ángulo de inclinación que se consiguió rectificar.

• Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo

superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo

de 40°. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del

cable?

• Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura.

Calcula la altura del árbol y la distancia a la que está Pablo del árbol.

Trabajo Fin de Máster Proyecto de Innovación


Proyecto de Innovación Docente: “Trigonometría sin papel”

Considerando como punto de partida la experiencia vivida en durante el periodo de

prácticas y tomando como referencia la unidad didáctica dedicada a la Trigonometría para el

curso de 4º ESO (Opc. B), presento el siguiente proyecto de innovación educativa como

complemento y cierre posteriores a dichas prácticas y a los conocimientos adquiridos durante

el curso.

1. Introducción

Es indudable que hoy en día las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC)

son parte esencial de nuestra vida cotidiana. La posibilidad de disponer de cualquier tipo de

información en cualquier momento y lugar facilita notablemente el desarrollo de las tareas del

día a día. Consultar el correo electrónico en el teléfono móvil, estar conectado con personas de

nuestro entorno gracias a las redes sociales, acceder a información de forma instantánea…, son

solo algunos ejemplos de lo que el desarrollo de las TIC ha supuesto en nuestra sociedad.

Es por ello que el sistema educativo no puede ni debe quedarse al margen. En otras palabras,

la institución escolar se encuentra afectada, tanto en sus aspectos organizativos como en los

curriculares, de cambios y transformaciones debidos a la evolución de la sociedad de la

información y del conocimiento.

Datos empíricos demuestran que en los últimos años han aumentado las experiencias y

proyectos relacionados con el uso de las TIC en las escuelas de todo el mundo. Del mismo

modo, han aumentado los recursos tecnológicos a disposición de alumnos y profesores, hasta

el punto de decir que el uso de internet se ha convertido casi en imprescindible en las aulas.

Este proyecto de innovación tiene como finalidad principal solventar o mitigar algunos de

los problemas y necesidades que los profesores de matemáticas detectan en las aulas de

secundaria y bachillerato. Los más señalados por el conjunto docente se enumeran a

continuación:

● Falta de motivación. Es el principal problema que destacan todos los agentes de la

actividad educativa. Esto es debido a que los alumnos no aprecian una utilidad

inmediata en los contenidos y conocimientos que tratan en las aulas.



● Desvinculación de las matemáticas con su entorno. Este problema está muy

relacionado con el anterior. De este modo, lo que pretendemos con este proyecto es

acercar las matemáticas a la cotidianidad de los alumnos para conseguir así una

mayor implicación por parte de los mismos con el trabajo aquí desarrollado y

alcanzar finalmente la motivación necesaria para el correcto estudio de las

matemáticas.

● Uso excesivo, por parte de los alumnos, de las TIC en un ámbito no educativo.

Muchos sociólogos han tratado este problema a lo largo de los últimos años,

(Echeburúa y De Corral, 2010).

Con este proyecto, pretendemos utilizar la afición de los adolescentes por las TIC para

mitigar los problemas enumerados anteriormente y alcanzar los objetivos que se exponen más

adelante.

A continuación, procedemos a realizar una revisión sobre el modelo de innovación en el

que se podría encuadrar este proyecto.

En cuanto al ámbito o dimensión desde la que se lleva a cabo, este proyecto se implementa

desde la perspectiva del uso de las tecnologías de la información y de la comunicación, ya que

él mismo se presenta como el uso de las TIC en las aulas. Con ello, propone una nueva

modalidad de enseñanza-aprendizaje, aportando nuevos enfoques y estrategias sobre el

proceso educativo e introduciendo a su vez cambios en las creencias y presupuestos

pedagógicos, dado que desarrolla un modelo metodológico distinto al tradicional.

Si centramos ahora nuestra atención en la intención educativa del proyecto de innovación,

la cual se desprende de los objetivos del propio proyecto, podemos decir que pretende en

primera instancia despertar el interés por el aprendizaje de las matemáticas en los alumnos, así

como tratar de potenciar determinadas habilidades o estrategias, competencia comunicativa,

razonamiento, reflexión creativa, etc. Del mismo modo, pretendemos con este proyecto

enseñar a aprender a los alumnos, haciéndoles ver la importancia que tendrá en su futuro el

uso de las TIC y mostrándoles que no solo poseen una finalidad lúdica.

Por último, y en lo referente al modelo procesual de la innovación, el proyecto se encuadra

en la resolución de problemas. Teniendo en cuenta los objetivos del mismo y las necesidades

expuestos anteriormente afirmamos que el desarrollo de este proyecto mejorará estos

problemas.



2. Objetivos

El objetivo de la aplicación de las TIC en educación, no consiste únicamente en

proporcionar a los alumnos un correo electrónico o conectarlos entre sí, ni siquiera consiste en

lograr que usen Internet para realizar sus deberes, sino que va más allá:

● Integrar el uso de las TIC en la asignatura de matemáticas como recurso habitual

favoreciendo el aprendizaje significativo.

● Potenciar un uso racional de las tecnologías que actualmente tienen a su alcance.

● Generar estrategias de trabajo colaborativo, utilizando las TIC para realizar trabajos

en grupos.

● Utilizar las TIC como plataforma para compartir recursos, trabajos,

conocimientos…

● Mejorar la relación entre profesor y alumno.

● Estimular la atención de los alumnos hacia la asignatura.

● Hacer que el alumno sea más creativo y comunicativo.

● Fomentar la iniciativa por parte de los alumnos y su implicación en la tarea del

aprendizaje, reforzando la individualidad de cada uno y la importancia del trabajo

autónomo.

En definitiva, lo que se pretende es dotar de un nuevo enfoque al proceso de enseñanza-

aprendizaje, en este caso, de las Matemáticas. Se tratará de promover la iniciativa de los

alumnos, fomentando su autonomía y su autorregulación, de modo que sean capaces de

desarrollar estrategias útiles para su vida escolar y personal. Además, el trabajo se abordará

desde la perspectiva del trabajo colaborativo, y siempre que sea posible, sobre tareas reales,

con el fin de desarrollar esa competencia social que en ocasiones se descuida y enriquecer así

el trabajo.

Así mismo, se tratará de reorganizar el currículo y la enseñanza en un escenario de

aprendizaje más abierto, donde se fomente la creatividad y los pensamientos laterales desde

una perspectiva constructivista. Este tipo de enseñanza deberá adaptarse a los ritmos

particulares de los alumnos, considerando trayectos flexibles y alternativos. A su vez, se

requiere que alumnos y profesores estén en contacto constante para poder actualizar

continuamente la información sobre sus progresos, actitudes y dudas. Todas estas cuestiones,

pueden ser resueltas de manera satisfactoria con la correcta utilización de las TIC.

Como consecuencia, la evaluación deberá estar en consonancia con el tipo de enseñanza,

considerando la formación integral del alumno, que abarca el saber, el saber hacer y el ser.



3. Marco teórico

Actualmente, la actuación del docente ha dejado de ser una actividad desarrollada en el

aula, como lugar físico, y limitada a la enseñanza de contenidos curriculares y a las

tradicionales actividades de clase. Hoy, la labor docente está cada vez más inmersa en nuevas

tendencia que buscan integrar el aprendizaje “clásico” en la escuela con el que se genera fuera

de ella.

En este sentido uno de los cambios de mayor impacto en el ámbito educativo es la

aplicación de las TIC, las cuales se han convertido en un factor de desarrollo importante y

profundas repercusiones en diversos sectores (UNESCO 2005), lo que se traduce en

responsabilidades, compromisos, retos y cambios por parte de los docentes.

Podemos encontrar un gran número de definiciones de TIC, pero quedémonos con la

siguiente: tecnologías que facilitan, a través de medios electrónicos, la adquisición,

almacenaje, procesamiento, transmisión y diseminación de información en todas las formas

las cuales incluyen voz, texto, información, gráficos y video (Michaels, y Van Crowder, 2001).

A estas alturas del siglo XXI, la integración de las TIC en el ámbito escolar ha sido

ampliamente estudiada. Existen diversas posturas al respecto y acerca de lo que supone dicha

integración. Sin embargo, podemos encontrar un punto en común: integrar las TIC es hacerlas

parte del currículo, enlazarlas armónicamente con los demás componentes del mismo. Es

utilizarlas como parte integral del currículo y no como un apéndice, no como un recurso

periférico (Sánchez, 2002).

La actividad docente

La tarea del profesor es compleja ya que en ella convergen diferentes ámbitos como el

administrativo, pedagógico, social y político. La sociedad espera que el docente responda a las

necesidades de cada uno de estos ámbitos y que esté preparado para dar respuesta a las

problemáticas que se presentan así como a los cambios que se generan en la sociedad.

Es por ello que el docente ha dejado de lado el rol tradicional centrado en la transmisión

del conocimiento a sus alumnos, es decir, es responsabilidad del profesor comunicar su

conocimiento y es cuestión del estudiante recibir o absorber dicho conocimiento (Kirkwood y

Price, 2006), para dar paso a una función docente más compleja y multidisciplinar. Cabría

añadir un aspecto más en la función docente y es en referencia al uso de las TIC y las

implicaciones educativas que esto acarrea. Los docentes en la actualidad se encuentran



inmersos, ya sea porque así lo impone la política educativa o por interés personal, en una

dinámica de integración de las TIC en su práctica cotidiana.

La importancia de las TIC en la educación

Por supuesto que el uso de las TIC no es la solución a todos los problemas educativos, ya

que depende de la capacidad que los diferentes agentes puedan tener para vincular

orgánicamente estas herramientas con la dinámica social, institucional y personal de las

escuelas (Pérez Maya, 2007). Es aquí donde el docente juega un papel estratégico, ya que él

es una pieza clave para establecer el ambiente adecuado así como propiciar oportunidades de

aprendizaje que faciliten al estudiante el uso de la tecnología para aprender y comunicarse

(UNESCO 2008).

En el estudio realizado por Pérez Maya, se pone de manifiesto que los docentes legitiman

la importancia del uso de las TIC en el contexto educativo al mismo tiempo que reconocen que

el uso de la tecnología les significa un reto importante que comprende acciones transversales

a las ya establecidas por la administración educativa.

El uso que los profesores dan a las TIC varía dependiendo de diversos factores tales como

su nivel de preparación con respecto a la tecnología, sus intereses y hasta su significado en el

proceso de enseñanza-aprendizaje. Para Kirkwood y Price (2006) los docentes relacionan el

uso de la tecnología primordialmente con el contenido curricular o lo ven como un material.

Según una investigación realizada por ellos, los profesores ven las TIC como un medio para

guardar materiales, es decir priorizan la capacidad de la tecnología para almacenar materiales

que pueden usar posteriormente en la clase o consideran a la tecnología como una herramienta

importante para acceder a otras fuentes de información. Por otro lado, algunos profesores

priorizan la facilidad de la tecnología para promover la comunicación y el diálogo.

Roblyer y Edwards (2000) establecen que existen cinco razones por las cuales los docentes

hacen uso de la tecnología en la educación:

● motivación

● habilidades instruccionales distintivas

● alta productividad por parte de los docentes

● habilidades esenciales para la era de la información

● apoyo para la implementación de nuevas técnicas de enseñanza.



Cualquiera que sea la razón para el uso de las TIC, está claro que los docentes en la

actualidad recurren a ellas a pesar de que esto les representa un reto, ya que el uso de la

tecnología en las aulas debe estar subordinado a un diseño pedagógico bien definido, a las

características individuales de los estudiantes, a sus necesidades educativas y a su experiencia

previa con el uso de la tecnología. El profesor no puede ni debe omitir estos detalles y es que

como lo establece Bates (1995) una buena enseñanza puede superar a una mala decisión en el

uso de la tecnología, pero la tecnología nunca puede salvar a una enseñanza pobre;

normalmente la empeora.

Un nuevo modelo de conocimiento docente

Es evidente que el uso de las TIC en la educación, además de los beneficios que aporta,

también representa un elemento de cambio en los docentes, quienes de manera consciente o

inconsciente experimentan una transformación asociada a dichos cambios en cualquiera de las

siguientes dimensiones (Fullan y Stiegelbauer, 1991):

● Creencias, actitudes o ideologías pedagógicas

● Conocimiento de los contenidos curriculares

● Conocimiento pedagógico de las prácticas instruccionales, métodos, enfoques o

estrategias

● Recursos instruccionales novedosos, tecnología o materiales.

Mishra y Koehler (2006) proponen un modelo del conocimiento docente; en él

encontramos tres componentes del conocimiento docente: conocimiento sobre el contenido, la

pedagogía y la tecnología; y analiza las interacciones entre estos elementos.

Figura 1. Gráfico que muestra el modelo del contenido docente de Mishra y Koehler (2006)



La interacción del conocimiento de la pedagogía y el contenido generará un conocimiento

pedagógico del contenido. Este modelo agrega un elemento más: el conocimiento tecnológico.

Lo cual nos lleva al concepto desarrollado por estos autores, Technological Content

Knowledge (TCK). Este tipo de conocimiento contempla la forma en que la tecnología influye

y apoya al contenido, es decir, el docente necesita ser capaz de entender qué tecnologías son

las adecuadas para mejorar y aprovechar dichos contenidos.

En cuanto al conocimiento pedagógico y su interacción con el conocimiento tecnológico,

Technological Pedagogical Knowledge (TPK), determina cómo el proceso de enseñanza-

aprendizaje puede cambiar cuando es utilizada una determinada herramienta tecnológica. Es

así que de la intersección de estos tres conocimientos nace el Technological Pedagogical

Content Knowledge (TPCK).

Para lograr un equilibrado desarrollo y aplicación de cada uno de estos componentes del

modelo, los docentes deben desarrollar un cierto dominio no solo del conocimiento (contenido,

pedagogía y tecnología) sino de la manera en que cada uno de estos tipos de conocimiento se

puede combinar para dar una solución efectiva.

La falta de motivación

Según Vicenç Font (1994), si enseñamos matemáticas con una metodología basada en la

memorización, estamos generando una visión de la materia de tipo mecánico, es decir, el

alumno tienen la percepción de que las matemáticas no son más que la mera aplicación de

procedimientos algorítmicos fomentando una serie de falsas creencias como que la

comprensión de las matemáticas no está al alcance de todos y que solo existe una respuesta y

procedimiento correcto para cada problema. En palabras de Font:

“Si el patrón motivacional del alumno es positivo, este, frente a una dificultad reaccionará

analizándola, buscará una nueva estrategia, preguntará al profesor… Si el alumno presenta

un patrón motivacional negativo, aumentará su ansiedad y hasta se angustiará pensando que

la causa de la dificultad es su incapacidad y, por tanto adoptará una actitud defensiva.”

De ahí la importancia de atajar este problema cuya solución se encuentra, en una medida

importante, en manos del profesor.



4. Descripción del proyecto

Este proyecto, “Trigonometría sin papel”, está diseñado para un grupo de cuarto curso de

E.S.O. de Matemáticas Opción B, aplicado a la unidad didáctica de Trigonometría. Una idea

más global de proyecto podría tener como destinatarios finales a todos los alumnos de la

educación secundaria obligatoria y el bachillerato, y como objeto, cualquier tópico

matemático.

Al trabajar un tema totalmente nuevo para los alumnos, ya que aparece por primera vez en

este curso, hemos planteado un proyecto de innovación con el que pretendemos ser más

ambiciosos y trabajar más competencias que las que se alcanzan desarrollándolo de una forma

más tradicional.

El objetivo principal es conseguir un aprendizaje significativo de los alumnos, y para ello

lo desarrollaremos en dos grandes fases que exponemos a continuación.

Para el correcto desarrollo del proyecto utilizaremos una página web1 diseñada a tal efecto

y con la que controlaremos entre otras cosas el contenido del que disponen los alumnos y los

accesos a las wikis en las que deberán trabajar.

Esta web incluye:

● E-book2 de la unidad. Se trata de un libro electrónico e interactivo que recoge tanto el

contenido teórico como práctico de este tema, cuyo índice es el siguiente:

1http://trigonometria4eso.jimdo.com/ 2 http://ggbtu.be/bs5O1naeg



1. Introducción a la trigonometría 1. Orígenes y aplicaciones 2. Medidas de ángulos 3. Razones trigonométricas de un ángulo agudo 4. Relación fundamental de la trigonometría 5. Uso de la calculadora 6. Ejercicios y problemas de resolución de triángulos rectángulos

2. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera 1. Circunferencia goniométrica

3. Relaciones de ángulos especiales 1. Ángulos complementarios 2. Ángulos suplementarios 3. Ángulos que difieren 180º 4. Ángulos negativos

4. Teoremas del seno y del coseno 1. Teorema del seno 2. Teorema del coseno 3. Ejercicios y problemas de resolución de triángulos cualesquiera

● Las propuestas de trabajo que debe desarrollar cada grupo.

● Los enlaces de acceso a las wikis de trabajo. Una wiki es un sitio web cuyas páginas

pueden ser editadas directamente desde el navegador, donde los usuarios crean,

modifican o eliminan contenidos que comparten.

● Un apartado referente a la evaluación donde estará publicada la rúbrica de evaluación

de los alumnos para que estos lo conozcan, así como una encuesta3 para que los

alumnos evalúen al profesor y la experiencia.

● Datos de contacto del profesor y un formulario para establecer una conexión constante

profesor-alumno.

Este proyecto está diseñado para llevarse a cabo en dos grandes fases, y desarrollándolas

correctamente podremos alcanzar satisfactoriamente todos los objetivos que nos habíamos

marcado al inicio del proyecto.

Primera Fase:

Está dedicada a la adquisición de los conceptos básicos sobre trigonometría (apartados 1

del libro electrónico) y se llevará a cabo bajo la metodología Flipped-Classroom. Es decir, con

los recursos incluidos en el e-book publicado en la web, los alumnos trabajarán en casa los

contenidos teóricos y los ejercicios y problemas propuestos para en clase tratar de resolver

dudas y corregirlos.

3 https://docs.google.com/forms/d/1tH4OkZMr0XqUCwygcH_nVEkSt0JEHuRgbPeRs8OF7IE/viewform?usp=send_form



● 1ª parte: Antes de comenzar debemos dar algunas nociones a los alumnos de cómo

vamos a trabajar, ya que con total seguridad estarán acostumbrados a navegar en

internet pero pueden no estar acostumbrados a utilizar recursos educativos como los

que hemos diseñado y que explicaremos más adelante, como el libro electrónico y las

wikis.

● 2ª parte: Los alumnos deberán trabajar en primera instancia de forma individual, en

casa, pues la primera parte del proyecto ha sido desarrollada para trabajar según la

metodología Flipped-Classroom, fomentando de estaba forma el trabajo autónomo del

alumno. En ella adquirirán los conocimientos teóricos correspondientes a la primera

parte del tema (apartado 1 del e-book) correspondiente a la “Introducción a la

Trigonometría” con los conceptos básicos y necesarios para la fase posterior. Además,

en clase desarrollaremos ejercicios propuestos en el e-book, que los alumnos deberán

resolver en grupos reducidos o que se solucionarán de forma colectiva como grupo-

clase.

Segunda Fase:

Una vez adquiridos los conocimientos necesarios sobre trigonometría, los alumnos

profundizarán en la segunda parte del tema (apartados 2, 3 y 4 del libro electrónico) bajo la

técnica del puzzle a nivel de clase. Cada grupo de trabajo tendrá asignado un subapartado que

deberá trabajar de forma colaborativa en las wikis para posteriormente exponerlo a sus

compañeros en clase (tanto teoría o como cuestiones prácticas).



● 1ª Parte: Separados en los grupos reducidos ya formados en la fase anterior, los

alumnos deberán trabajar de forma colaborativa en una wiki. En ella tendrán que

profundizar en distintos aspectos teóricos de la segunda parte del tema (apartados 2, 3

y 4 del e-book), relativas a la generalización de las razones trigonométricas a cualquier

ángulo y resolución de triángulos cualesquiera, y resolver las propuestas y ejercicios

diseñados a tal efecto y que estarán incluidas en el libro electrónico. Podrán utilizar y/o

incluir en la wiki todo tipo de recursos, tanto aportados en clase como externos, con el

fin de enriquecer el propio trabajo y el aprendizaje. De esta forma, fomentamos el

trabajo colaborativo y proponiendo los ejercicios adecuados conseguiremos acercar las

matemáticas a su vida cotidiana.

● 2ª Parte: Los alumnos, por grupos, deberán exponer ante sus compañeros las

conclusiones de su trabajo centrándose en las cuestiones teóricas y prácticas que han

aprendido y las implicaciones que tienen los resultados obtenidos, aplicando la técnica

del puzzle. De esta forma esperamos que los alumnos desarrollen un aprendizaje

significativo pues al ser ellos mismos quienes expliquen parte de los contenidos lo

harán con un lenguaje y unos ejemplos que sean más comprensibles para el resto de

sus compañeros.

Metodología

A continuación trataremos de explicar claramente en qué consiste el proyecto de innovación

y cuál es el método de trabajo.



La primera fase del desarrollo del proyecto tiene un carácter más individual que la segunda,

dado que está enfocada a promover el trabajo autónomo del alumno, por eso, y para alcanzar

los objetivos propuestos, trabajaremos esta fase utilizando la metodología Flipped-Classroom.

Esta metodología está adquiriendo más y más notoriedad con el paso del tiempo y a grandes

rasgos consiste en que los alumnos, mediante el correcto uso de las TIC aprendan los

contenidos, al menos buena parte de ellos, en casa y podamos dedicar así las horas de trabajo

en clase a resolver dudas, realizar actividades de profundización, etc. Por este motivo, en la

página web creada para el desarrollo del proyecto, hay a disposición de los alumnos un libro

electrónico e interactivo creado con GeoGebra que contiene todos los contenidos teóricos y

prácticos necesarios para el desarrollo completo de la unidad. Todos los ejercicios que se

proponen intentarán presentar una fundamentación real, con el fin de cumplir otro objetivo del

proyecto que es el de acercar las Matemáticas a la cotidianidad de los alumnos.

La innovación docente que pretendemos conseguir busca fomentar también el trabajo

colaborativo, otro de los objetivos propuestos anteriormente. Lo alcanzaremos tras la

realización de la segunda fase expuesta anteriormente. Para ello el profesor tendrá que dividir

a los alumnos en grupos homogéneos, según su criterio, asumiendo que ya conoce a los

estudiantes, pues este proyecto ha sido diseñado para un tema que se desarrolla en una fase

avanzada del curso.

El profesor deberá abrir tantas wikis como grupos haya en su clase y tras asignar una a cada

grupo deberá controlar, pero no corregir por el momento, el trabajo que van realizando los

alumnos. Estos, por su parte, deberán realizar las tareas propuestas, que serán distintas para

cada grupo, y plasmar los resultados obtenidos y las conclusiones de lo estudiado en la wiki,

que finalmente aprovecharán para presentar su trabajo frente a los compañeros de clase. El

porqué de esta distribución de los alumnos es que, de esta manera, podemos aplicar la técnica

del puzzle a nivel del grupo-clase. Esta metodología consiste en que cada grupo en que se ha

dividido la clase trabaje un determinado aspecto, se haga experto en él y se lo explique al resto

de grupos para que todos conozcan todos los contenidos. Así, hacemos que cada alumno tome

consciencia de su responsabilidad en su propio aprendizaje y en el de sus compañeros.

El papel del docente en este proyecto es el de orientador y supervisor, controlando, guiando,

apoyando y reconduciendo cuando lo considere oportuno y siempre a la disposición de sus

alumnos.



Secuenciación

La secuenciación que se propone a continuación es meramente orientativa, cada docente

elegirá en función del tiempo del que disponga y quiera dedicar a este tema, una propia.

Comentamos detalladamente a continuación mi propuesta, en total dedicaremos unas 9 o

10 horas de clase y un trabajo individual por parte del alumno de 3 horas en casa (entre ambas

fases) para la correcta realización del proyecto y la consecución de los objetivos propuestos.

● 1h: para enseñar a los alumnos la forma en que vamos a trabajar y lo que pueden hacer

con cada herramienta. Empezando por la página web, mostrando los recursos, las wikis,

el libro electrónico, etc.

● 1h 30’: los alumnos dedicarán este tiempo de trabajo en casa para trabajar la teoría con

el e-book y comenzarán a realizar los ejercicios propuestos, relativos al apartado 1 del

e-book “Introducción a la trigonometría”.

● 1h: al día siguiente, en clase, nos dedicaremos a resolver las posibles dudas surgidas y

a completar los conocimientos existentes. Además podremos dedicar el resto del

tiempo a realizar actividades de profundización.

● A criterio del profesor, si considera que el aprendizaje alcanzado no es el esperado,

dedicaremos otra hora en clase para repasar algún concepto y realizar más ejercicios o

prácticas.

● 1h: para formar grupos de tres o cuatro alumnos. Estos grupos comenzarán a organizar

el trabajo a desarrollar, correspondiente en esta fase a los apartados 2, 3 y 4 que tratan

los aspectos de la circunferencia goniométrica, relaciones entre ángulos especiales y

los teoremas del seno y el coseno, respectivamente.

● 3h: para que los alumnos trabajen en grupos de forma autónoma y colaborativa. La

tarea propuesta no les debería costar más que eso, sin embargo podrán hacer desde casa

lo que consideren oportuno.

● 1h-2h: por último y para terminar con el proyecto, los alumnos deberán realizar una

exposición de sus resultados que no durará más de veinte minutos. A esta fase del

proyecto le dedicaremos entre una y dos horas, según el número de grupos que

tengamos y la duración de las sesiones.

● 1h: última clase a modo de resumen y recopilación de contenidos dirigida por el

profesor de cara al examen escrito.



Recursos

Detallamos a continuación los recursos necesarios para el desarrollo de este proyecto de

innovación.

Primero, en el aula debe haber un ordenador con conexión a internet y un cañón o proyector.

Además, aunque no es imprescindible, una pizarra digital, pues de este modo podremos

realizar en clase ejercicios interactivos mucho más fácilmente.

La página web de este proyecto ha sido diseñada con Jimdo, una herramienta gratuita, que

nos permite construir y publicar sitios web fácilmente. Los recursos para este tipo de trabajo

son muchos, por eso cada docente podrá elegir aquel que más fácil le resulte.

Los applets o actividades interactivas han sido creadas con GeoGebra, una aplicación

gratuita ampliamente utilizada como recurso didáctico para las Matemáticas, ya que se

presenta como una herramienta muy completa y fácil de usar tanto para alumnos como para

profesores. El libro electrónico o e-book ha sido creado con GeoGebraTube, plataforma para

materiales de GeoGebra donde se pueden subir archivos para compartirlos con docentes y

estudiantes o para conservarlos exclusivamente y acceder desde cualquier punto con conexión

a internet.

Las wikis han sido creadas con Wikispaces, un recurso que permite al docente controlar el

trabajo que cada grupo está realizando en su wiki. Es una herramienta potente y gratuita, que

encaja perfectamente con el propósito de la última fase del proyecto dado que permite la

modificación de la misma por todos los miembros de grupo, guardándose un registro de

actividad con los cambios que cada usuario ha realizado.

El cuestionario para la evaluación del proyecto ha sido creado como un formulario de

Google Drive, ya que es una herramienta gratuita muy útil y sencilla de recogida de datos que

nos permite comprobar el grado de satisfacción de los alumnos con el proyecto.



Por último, sería recomendable, aunque no imprescindible, que todos los alumnos tuvieran

conexión a internet en casa. Si no, habría que dedicar horas de clase al trabajo que según la

metodología Flipped-Classroom habría que realizar en casa; esto únicamente, supondría un

cambio en la secuenciación.

Hay que destacar también que el grueso del trabajo colaborativo en la wiki debe hacerse en

las horas de clase, por eso debemos contar también con una sala de informática del centro o

con ordenadores portátiles que servirá para desarrollar tanto este trabajo como el expuesto

anteriormente si procede.

Contenido

Los contenidos que tratamos en este proyecto se enmarcan dentro del currículo de

Matemáticas de cuarto de la E.S.O., en el tema de Trigonometría, y separados en conceptuales,

procedimentales y actitudinales son los siguientes:

● Conceptos

○ Medida de ángulos: el grado y el radián. Equivalencia entre ambas medidas.

○ Razones trigonométricas de los ángulos agudos: seno, coseno y tangente

○ Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. Ecuación fundamental

de la trigonometría.

○ Uso de las funciones trigonométricas en la calculadora. Razones trigonométricas

inversas. Ecuaciones trigonométricas.

○ La circunferencia goniométrica: Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

Reducción de un ángulo al primer cuadrante.

○ Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios,

suplementarios y que difieren 180º y negativos.

○ Teoremas del seno y del coseno

● Procedimientos

○ Distinguir las razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y

tangente, y calcularlas a partir de datos dados en distintos contextos.

○ Utilizar la calculadora para hallar el seno, coseno o tangente de un ángulo dado.

○ Reconocer la utilidad de la circunferencia goniométrica y determinar el signo de

las razones trigonométricas de un ángulo en función del cuadrante en el que se

encuentre.



○ Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera mediante la

reducción a un ángulo del primer cuadrante.

○ Conocer las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos

complementarios, suplementarios y opuestos.

○ Resolver triángulos rectángulos, conocidos dos de sus lados, o bien un lado y un

ángulo agudo.

○ Resolver triángulos cualesquiera, mediante la aplicación de los teoremas del seno

y del coseno en distintos contextos y según los datos dados, ángulos o lados.

○ Utilizar la trigonometría para resolver problemas geométricos reales.

● Actitudes

○ Reconocer la utilidad de la trigonometría para resolver problemas reales.

○ Interés por la resolución razonada, ordenada y cuidadosa de problemas de

trigonometría.

5. Criterios y métodos de evaluación

Evaluación de los alumnos

Evaluar es una actividad compleja y fundamental para el aprendizaje. Es el instrumento del

que se sirve el profesor para comprobar la consecución de los objetivos marcados al inicio de

una unidad didáctica. Es tarea del profesor crear una herramienta de evaluación eficaz y

objetiva para garantizar que, por un lado se están teniendo en cuenta todos los aspectos a

evaluar, y por otro que este proceso se realice en términos de calidad y equidad para todos los

alumnos respetando su posible diversidad.

Evaluaremos el proyecto mediante el uso de una rúbrica que nos permitirá tanto analizar el

trabajo expuesto en la wiki como el momento de la exposición de las mismas. Esta rúbrica se

encuentra en la página web de tal manera que los alumnos podrán ver qué criterios se van a

evaluar, facilitando así que cumplan con los objetivos pedidos.

Los elementos que se van a tener en consideración a la hora de evaluar son los siguientes:

● Presentación: La wiki debe ser a simple vista un elemento atractivo y que sea fácil de

localizar todos los elementos en ella.

● Organización: Los contenidos están organizados y la construcción está perfectamente

realizada.



● Uso del lenguaje: No existen errores gramaticales y uso de un vocabulario adecuado.

● Puntualidad: La wiki está terminada y lista para ser presentada el día indicado para

ello.

● Trabajo en equipo: Se valorará el trabajo en equipo, todos los alumnos deben aportar

algo al trabajo en la wiki.

● Contenido: Desarrollo en profundidad del tema asignado. Aportes originales.

● Exposición: Debe existir una evidencia de comprensión total sobre el tema. Resuelven

las preguntas propuestas por sus compañeros y por el docente.

La rúbrica propuesta para evaluar es la siguiente:

Categoría Excelente (5) Buena (4) Regular (2) Necesita mejorar (1)

Presentación

La Wiki tiene una apariencia excepcional y una presentación útil y sencilla. Todos los elementos son fáciles de localizar en ella.

La Wiki tiene una apariencia adecuada y una presentación útil. Todos los elementos importantes son fáciles de localizar.

La Wiki tiene una presentación útil, pero puede parecer estar llena de información innecesaria. La mayoría de los elementos son fáciles de localizar.

La Wiki se ve llena de información innecesaria a simple vista o confusa. Es difícil de localizar los elementos importantes.

Organización

La información está muy bien organizada, con buena construcción de títulos, párrafos y elementos gráficos.

La información está organizada con buena construcción de los ejercicios propuestos

La información no está suficiente organizada. No existe diferenciación clara entre ejercicios.

La información está desorganizada. No existe diferenciación entre ejercicios.

Uso de lenguaje

No hay errores gramaticales o de puntuación.

Existen algunos errores gramaticales, ortografía o de puntuación.

Existen bastantes errores gramaticales, ortográficos o de puntuación.

Existen muchos errores gramaticales, ortográficos, o de puntuación.

Puntualidad

La Wiki es entregada antes de la fecha de entrega.

La Wiki es entregada en la fecha de entrega.

La Wiki es entregada durante la exposición de la misma.

La Wiki no está preparada para la presentación de la misma.

Trabajo en equipo

El trabajo en equipo queda reflejado e indica la colaboración, discusión y contribuciones compartidas.

El trabajo en equipo refleja e indica únicamente contribuciones compartidas.

El trabajo en equipo refleja poca colaboración.

No hay evidencia de trabajo en equipo.

Contenido

Desarrollo en profundidad de la propuesta. Aportes originales, ideas claras y concisas.

Desarrollo adecuado de la propuesta. Aportes simplistas.

Desarrollo adecuado de la propuesta asignada. Resolución correcta sin aportes.

Desarrollo incompleto de la propuesta.

Exposición Evidencia de comprensión total sobre el tema. Son capaces de resolver dudas y preguntas formuladas por sus compañeros o profesor

Evidencia de comprensión del tema. Son capaces de resolver las cuestiones de los compañeros existiendo alguna dificultad.

No existe evidencia clara de que dominen el tema propuesto. Responden con dificultad las cuestiones de sus compañeros

No hay evidencia de comprensión del tema. No resuelven las dudas realizadas por sus compañeros y por el profesor.



De esta manera, el profesor obtendrá un máximo de 35 puntos (35%), que formará parte de

la calificación total de esta unidad didáctica.

Por otra parte se propondrá al resto de los grupos que evalúen también el trabajo de sus

compañeros utilizando la misma rúbrica. Para ello cada grupo deberá evaluar las Wikis

realizadas por los alumnos de los otros grupos, evaluación que ha de ser justificada y razonada,

pudiendo el profesor a su vez evaluarla de forma negativa o positiva. Con esto el profesor

obtendrá un máximo de otros 35 puntos, que surgirán de la media aritmética de los resultados

de todos los grupos.

Para evaluar el otro 30% restante, se realizará un examen de conocimientos que demostrará

si efectivamente han quedado claros los conocimientos de estadística.

Los criterios de evaluación que seguiremos para comprobar los conocimientos adquiridos

por los alumnos se enumeran a continuación.

● Conocer los sistemas de medida de ángulos y cómo operar con ellos.

● Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones

trigonométricas y el teorema de Pitágoras.

● Conocer y utilizar adecuadamente las relaciones entre las razones trigonométricas de

los ángulos de los triángulos rectángulos.

● Generalizar la definición de las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los

triángulos rectángulos a cualquier ángulo y conocer sus relaciones y aplicaciones.

● Hallar los lados y ángulos de cualquier tipo de triángulo cuando se conocen un lado y

otros dos elementos del triángulo.

● Resolución de problemas reales mediante el uso de la trigonometría.

Evaluación del profesor

Una vez que el proyecto haya sido llevado a cabo, se tendrán en cuenta los siguientes

indicadores para la evaluación de la actuación del profesor:

● Control sobre el avance del trabajo de los alumnos en las wikis

● Atención adecuada a sus dudas y demandas de ayuda, mediante correo electrónico o

comentarios en la web

● Grado de satisfacción global sobre el papel del profesor mediante una encuesta

anónima a través de la web.



Evaluación del proyecto

Al igual que se ha planteado para el caso del

profesor, planteamos los siguientes indicadores para

la evaluación del proyecto:

● Grado de satisfacción de los alumnos en el

desarrollo de la iniciativa mediante una

encuesta anónima a través de la web.

● Grado de utilización de los recursos en la web

mediante el contador incluido en la misma.

● Grado de participación en el trabajo

colaborativo en las wikis (registro de

actividad de las mismas) y la interacción con

el resto de compañeros y el profesor

(comentarios en la web).

6. Conclusión

Ha quedado probado en la realidad del aula que el conocimiento de los docentes, que en el

pasado bastaba con el dominio de los contenidos y las técnicas de enseñanza, en la actualidad

resulta insuficiente. El docente que domina el contenido, el que conoce los materiales de

estudio y que atiende rigurosamente al cumplimiento de planes y programas de estudio pero

que no se atreve a interactuar con los recursos tecnológicos disponibles ahora resulta ser un

profesor obsoleto.

En la actualidad el conocimiento del docente se ha transformado en un proceso de

actualización constante especialmente en materia de tecnología, es decir, el profesor debe

aprender el uso de la herramienta y las posibilidades de esta para la enseñanza. El conocimiento

de los docentes debe incluir el saber cómo utilizar la tecnología, las redes sociales, los

softwares, los gadgets, etc., con fines pedagógicos.

Nuestros objetivo principal a la hora de realizar este proyecto de innovación es cambiar el

enfoque con el que se venía trabajando en esta asignatura desde hace ya demasiado tiempo, de

tal manera que el profesor ya no sea el actor principal sino que el alumno sea centro del proceso

de enseñanza-aprendizaje.



En cuanto a la enseñanza, buscamos plantear unas clases interactivas, donde el papel del

docente como enseñante desaparezca y adopte el papel de guía de los alumnos en el aprendizaje

de nuevos conceptos. Por otro lado, y en lo que al aprendizaje se refiere, queremos dotar al

alumno de nuevas estrategias de trabajo y darle la oportunidad de que profundice en el tema

de forma autónoma, de tal manera que sea capaz de explicar lo estudiado al resto de la clase,

y desarrollar ese espíritu crítico que le permita evaluar su propio trabajo y el de sus

compañeros.

En definitiva, lo que se pretende con la utilización de las TIC y metodologías como Flipped-

Classroom y otras técnicas, es que el alumno lleve a cabo un aprendizaje significativo, siempre

desde una perspectiva constructivista del mismo, siendo el alumno el protagonista de su propio

aprendizaje.

7. Bibliografía y fuentes Bates, A.W. (1995). Technological open learning and distance education. London. New York

Routledge.

Díaz Barriga, F. (2007). La innovación en la enseñanza soportada en TIC. Una mirada al futuro

desde las condiciones actuales. Universidad Nacional Autónoma de México.

Echeburúa E. y De Corral P. (2010). Adicción a las nuevas tecnologías y a las redes sociales en

jóvenes: un nuevo reto.

Font, V. (1994). Motivación y dificultades de aprendizaje en Matemáticas. Revista SUMA.

Fullan, M. y Stiegelbahuere, S. (1991). The new meaning of educational change. New York. Teacher

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González Pareja, A.; Calderón Montero, S.; Galache Laza, T. y Torrico González, A. Usos de las

wikis para la realización de trabajos colaborativos en el aula. Departamento de Economía

Aplicada (Matemáticas). Universidad de Málaga.

Kirkwood, A. y Price, L. (2006). Adaptation for a changing environment: Developing learning and

teaching with information and communication technologies. International Review of Research

in Open and Distance Learning. 7 (2), pp 1-14

Michaels, S. I. y Van Crowder, L. (2001). Discovering the magic box. Local appropriation of

information and communication technologies. Sustainable development Department, food and

agriculture Organization of the United Nations (FAO)



Mishra, P. y Koehler, M. J. (2006). Technological Pedagogical Content Knowledge: A Framework

for Teacher Knowledge. Michigan State University.

Pérez Maya, C. J. (2007). Reseñas de Investigación en Educación Básica. La educación secundaria

frente al dinamismo de la globalización: uso de las nuevas tecnologías, participación docente

y calidad educativa. México D.F. SEP.

Roblyer, M. D. y Edwards, J. (2000). Integrating Educational Technology Into Teaching.

Sánchez, J. H. (2002). Integración curricular de las TIC: conceptos e ideas. Congreso

iberoamericano de Informática Educativa, RIBIE 2002, Vigo

UNESCO (2005). Relación entre las iniciativas globales en educación. Paris. UNESCO.

UNESCO (2008). ICT Competency Standards for Teachers. Competency Standards Modules.

United Kingdom. UNESCO.



Reflexión final Una vez finalizado este Máster y con el convencimiento y la voluntad de dedicar mi vida

profesional a la labor docente, me planteo la siguiente reflexión.

Está fuera de toda duda que las Matemáticas son una materia imprescindible para cualquier

persona, pues estamos rodeados de ellas y las utilizamos en nuestra vida cotidiana, aunque no

seamos conscientes de ello. Esto entra en contraposición con el hecho de que sea una de las

materias más denostadas por los alumnos y con un mayor índice de fracaso escolar. Si tenemos

en cuenta que saber enseñado no equivale a saber aprendido, quizá los profesores de

Matemáticas deberíamos hacer autocrítica y preguntarnos qué parte de responsabilidad

tenemos en esta realidad.

El profesor, y en gran medida el de Matemáticas, trabaja en tierra hostil: una desmotivación

generalizada frente a la asignatura, una diversidad tanto académica como personal en ocasiones

ingestionable en grupos tan numerosos… Nuestro reto es darle la vuelta a esta situación, o por

lo menos intentarlo. Las Matemáticas son mucho más que la ejecución de algoritmos de

manera sistemática. Transmitamos el entusiasmo que sentimos por esta disciplina (o

deberíamos sentir); mostremos el origen de los conceptos, cómo se ha llegado a los resultados,

qué aplicaciones tienen; enseñemos a pensar y a razonar; demos respuesta a los “por qué” y

“para qué” de nuestro alumnos. Ellos lo agradecerán. Todos tenemos en mente el recuerdo de

aquel mal profesor (generalmente de Matemáticas) que nos obligaba a aprender conceptos de

memoria y a resolver problemas de forma mecánica. No permitamos que los alumnos que

pasen por nuestras manos tengan esa imagen de nosotros.

Durante el periodo de prácticas he podido comprobar que esta profesión es en ocasiones tan

difícil como gratificante en otras. Tal vez esa satisfacción provenga precisamente de la

superación de un reto complejo. Si bien es cierto que la labor del profesor tiene un componente

vocacional importante, esta debe estar fundamentada en una formación sólida. El docente debe

ser capaz de combinar los conocimientos técnicos con los pedagógicos y hacer llegar el

mensaje, sin perder de vista que él no es el protagonista del proceso, sino el alumno.

Me gustaría terminar esta reflexión, y con ella este trabajo que pone fin a un año clave para

mí en muchos sentidos, con una cita de un profesor de los que más he aprendido a lo largo de

todo mi recorrido académico: “Si el alumno no supera al maestro, el proceso no ha servido

para nada”.



Bibliografía

• Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE), por la que se regula la

estructura y organización del sistema educativo en sus niveles no universitarios en el

Estado Español.

• Decreto 5/2011, de 28 de enero, por el que se establece el Currículo de la Educación

Secundaria Obligatoria de la Comunidad Autónoma de La Rioja (BOR de 4 de febrero

de 2011).

• Decreto 54/2008, de 19 de septiembre, por el que se aprueba el Reglamento Orgánico

de los Institutos de Educación Secundaria en la Comunidad Autónoma de La Rioja.

• Programación didáctica del Dpto. de Matemáticas del I.E.S. Ciudad de Haro.

• Apuntes de las asignaturas del Bloque Genérico del Máster de Profesorado:

“Aprendizaje y desarrollo de la personalidad” y “Procesos y contextos educativos”.

• Apuntes de las asignaturas del Bloque Específico del Máster de Profesorado:

“Aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas”, “Complementos para la formación

disciplinar” e “Innovación docente e introducción a la investigación”.

• Matemáticas – Pitágoras para 3º de ESO. Editorial SM.

• Guía didáctica Matemáticas para 3º de ESO. Editorial SM.

• Matemáticas – Pitágoras para 4º de ESO Opción B. Editorial SM.

• Guía didáctica Matemáticas para 4º de ESO Opción B. Editorial SM.

Recursos TIC • Jimdo: http://es.jimdo.com/

• GeoGebraTube: https://tube.geogebra.org/?lang=es

• Wikispaces: https://www.wikispaces.com/

• Google Drive: http://google.es/

Trigonometría sin papel

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