Trigonometria 5to Sec

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao

Trigonometra Trigonometra 7 8

TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

ANGULO TRIGONOMTRICO

Es aquel que se genera por la rotacin de un rayo (en un mismo plano),

alrededor de un punto fijo llamado vrtice, desde una posicin inicial hasta

una posicin final.

Consideramos un ngulo positivo cuando la rotacin sea contraria al

movimiento de las manecillas del reloj, cuando la rotacin sea en el mismo

sentido de movimiento el ngulo se considera negativo.

Donde: 0: Vrtice de los ngulos

generados.

: ngulo trigonomtrico

positivo.

: ngulo trigonomtrico

negativo.

OBSERVACIN

CUANDO UN NGULO TRIGONOMTRICO SE LE INVIERTE SU SENTIDO SU SIGNO CAMBIA.

PARA SUMAR NGULOS TRIGONOMTRICOS EN UN GRFICO ESTOS DEBEN TENER EL MISMO SENTIDO.

MEDICIN DE UN NGULO

Cuando medimos un ngulo, tratamos de asignarle un nmero que indique

la magnitud de este.

Se debe tener presente para un ngulo positivo, que cuando sea mayor

la rotacin, mayor ser el ngulo.

Angulo de una Vuelta

Es aquel generado, cuando el lado inicial y el lado final coinciden por

primera vez luego de cierta rotacin.

Podramos asignarle a este ngulo el nmero 1 y decir que: ngulo de una

vuelta: 1v.

La forma ms lgica para medir un ngulo es el nmero de vueltas o

llamado tambin nmero de revoluciones, as podemos obtener de manera

natural los ngulos y sus asignaciones numricas, como se muestra en la

figura.

Sin embargo, estos no son los nmeros que la mayora de nosotros

estamos acostumbrados a utilizar, cuando medimos los ngulos.

Medida en Grados Sexagesimales

El sistema ms utilizado en las aplicaciones de ingeniera, topografa,

navegacin, es el sistema sexagesimal.

En este sistema definimos el ngulo de una vuelta como aquel ngulo

cuya medida es 360 (1; grado sexagesimal)



Ejemplo:

Dibujemos un ngulo de 3

2 de una vuelta y calculemos su medida.

La medida en grados de este ngulo

es 2403603

2 ; como se observa

en el grfico.

Debido a esto podemos concluir

. lessexagesimaen grados

un nguloMedida de es revolucionNmero de 360 .

Tenemos tambin:

. 1v=360 . . 1 = 60 . . 1 = 60 .

Donde:

1: Minuto sexagesimal

1: Segundo sexagesimal

Medida en Grados Centesimales

Debido a que este sistema no es muy utilizado y carece de aplicaciones

prcticas, solo nos limitaremos a mencionar algunas equivalencias. En este

sistema definimos el ngulo de una vuelta como aquel cuya medida es 400g

(1g: grado centesimal).

Tambin tenemos:

. 1v=400g . . 1g = 100m . . 1m = 100s .

Donde:

1m: Minuto centesimal

1s: Segundo centesimal

Conforme avancemos en nuestro estudio de la trigonometra veremos

que aunque la medida en grados sexagesimales ofrece algunas ventajas, el

sistema ms utilizado en matemticas superiores es el sistema circular o

radial (internacional) en el cual la medida se expresa en radianes.

Medida en Radianes

Consideremos un ngulo y dibujemos

una circunferencia de radio r y el vrtice del

ngulo en su centro 0; sea adems l la

longitud del arco de la circunferencia que se

genera.

Entonces se define:

. La medida en radianes de un como: rl

.

Ejemplos:

De la definicin:

= 22

4

cmcm

rl

El nmero 2 no tiene unidades, as un ngulo de

2 (radianes) significa un ngulo que subtiende un

arco cuya longitud es dos veces la longitud del

radio (l = 2r).

Ahora si consideramos l = r, entonces segn la definicin tenemos:

= 1rr

rl

Es decir, podemos definir un ngulo de un radin

(1 rad) como el ngulo central que subtiende un

arco cuya longitud es igual a la del radio.



Relacin Importante: Si el ngulo es una vuelta completa se cumple:

360 400g 2rad

Simplificando

...180 200g rad .

Adems si a 180 200g le simplificamos

...9 10g .

Relacin entre los Nmeros que Representan la Medida de un ngulo

Consideremos ahora un ngulo trigonomtrico positivo como se muestra

en la figura.

Siendo:

S: Nmero de grados sexagesimales del

ngulo

C: Nmero de grados centesimales del

ngulo .

R: Nmero de radianes del ngulo .

Se cumple:

.

RCS

200180 .

Tambin:

. 10

C

9

S .

.

RS 180 .

.

R

200C .

OBSERVACIN RELACIN DE MINUTOS:

. 5027

mM .

M: # MINUTOS SEXAGESIMALES m: # MINUTOS CENTESIMALES

RELACIN DE SEGUNDOS:

. 25081

ba .

a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES b: # SEGUNDOS CENTESIMALES

ISAAC NEWTON (1642 1727)

El fsico y matemtico ingls Isaac Newton fue uno de los cientficos

ms importantes de todos los tiempos. Sus teoras revolucionaron el

pensamiento cientfico e influyeron en la astronoma prctica y terica.

Su libro Principia Mathematica (1687) es uno de los trabajos ms importantes en la historia de la ciencia moderna.

Newton descubri la gravedad y las tres leyes de movimiento todava

utilizadas hoy en da. Fue la primera persona en dividir la luz blanca en

los colores del espectro y su investigacin de la luz le condujo a

disear un telescopio reflector. Fue tambin uno de los pioneros de una

nueva rama de las matemticas llamada clculo.



PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Convertir:

108 a centesimales y radianes

1000g a radianes y sexagesimales

45 a centesimales y radianes

150g a sexagesimales y radianes

5

7 rad a sexagesimales y

centesimales

6

rad a sexagesimales y

centesimales

2. Si: rad5

3

(7x + 17). Hallar x

Rpta.

3. Si: rad24

= ab.

Calcular: E = b a

Rpta.

4. Si: 120 radB

A. Hallar

P

BABABA

.

Rpta.

5. Si: 9 27 g0a 0b m.

Calcular: a + b

Rpta.

6. Reducir

s

m

P60

60

"100

'100

Rpta.

7. Reducir

'120

10

200

18M m

g

Rpta.

8. Simplificar:

g

radH

180"60'5926

2,099

Rpta.

9. La diferencia de las medidas de

2 ngulos complementarios es

60g. Hallar el nmero de

radianes de cada uno de ellos

Rpta.

10. Un alumno al querer copiar 30

se equivoca y copia 30g Cul

fue el error cometido en

radianes?

Rpta.

11. Hallar de la figura

Rpta.

12. Si el nmero de grados

sexagesimales y centesimales

de la medida de un ngulo estn

representados por dos nmeros

enteros y consecutivos, indicar

su medida en el sistema radial.

Rpta.

13. Las medidas sexagesimal,

centesimal y radial de un

ngulo verifica:

276

10

3

12

RCS

Calcular la medida radial de

dicho ngulo

Rpta.

14. Si, S, C Y R es lo convencional

para un mismo ngulo, reducir:

SCRSC

E

60

Rpta.

15. Reducir la Expresin

22

22

SCSC

SCSCE

Rpta.



PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Calcular:

radN

g

10216

270360

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 1/3

2. Sumar

gradP 409

7

A) 166 B) 158 C) 176

D) 186 E) 196

3. Hallar P

'120

20

300

78 m

g

P

A) 6 B) 2 C) 16

D) 36 E) 7

4. Convertir 8000m a

sexagesimales.

A) 45 B) 55 C) 68

D) 72 E) 75

5. Simplificar:

SCRSC

E

4023

A) 10 B) 20 C) 30

D) 40 E) 50

6. Calcular

rad

radE

g

g

64064

35025

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

DOMINAR A LOS DEMS ES UNA FCIL ILUSIN.

DOMINARSE A SI MISMO ES UNA DURA

REALIDAD

LOUIS CATTIAUX

7. Hallar x

A)

B)

3

C)

9

D) 4

E)

10

8. La diferencia de la medida de

2 ngulos complementarios es

80g. Hallar la medida del mayor

ngulo en radianes

A) /20 B) 3/20 C) 9/20

D) 22/45 E) /3

9. Siendo rad16

xy'. Hallar

xy

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

10. Un alumno, al querer copiar

60 se equivoca y copia 60g

Cul fue el error cometido en

radianes?

A) rad6

B) rad

3

C) rad30

D) rad

10

E) rad21

TE SORPRENDER TENER LA OPORTUNIDAD DE

AYUDAR A UN SEMEJANTE CON SLO

ESCUCHAR LO QUE TIENE PARA DECIRTE,

AUNQUE NO ESTS DE ACUERDO. SABER

ESCUCHAR ES UNA DE LAS MANERAS MS

GRATIFICANTES DE SER GENEROSO

MNICA BUONFIGLIO



CLAVES

1. C

2. C

3. A

4. D

5. A

6. A

7. A

8. C

9. B

10. C

TEMA: SECTOR CIRCULAR

Es aquella porcin de crculo limitado por dos radios y un arco de

circunferencia

De la figura se obtiene:

A0B Sector Circular

LONGITUD DE ARCO (l)

Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se

calcula mediante el producto del nmero de radianes del ngulo central y el

radio de la circunferencia.

Deduccin. Sea la circunferencia con centro en 0 y radio r comparando

la longitud de arco y el ngulo central como se muestra en la figura

siguiente:

Teniendo en cuenta el significado

geomtrico de 1rad. se tiene:

Longitud de Arco ngulo Central

l rad.

r 1 rad.

De donde se obtiene . l = . r .

Donde:

l : longitud de arco

: nmero de radianes del ngulo central

r : radio de la circunferencia



Ejemplo:

Del grfico mostrado, calcular la longitud de arco

(l), siendo 0: centro.

Solucin:

l = . r

= 30

Convirtiendo =30

en rad

radrad

. 6180

30

l = 6

. 18

l = 3 cm

REA DEL SECTOR CIRCULAR (S)

El rea de un Sector Circular se calcula mediante el producto del

nmero de radianes del ngulo con el radio de la circunferencia elevado al

cuadrado dividido entre dos.

Deduccin.

Comparando (por regla de tres simple)

rea de un Sector

Circular

ngulo Central

r2 2 rad.

S rad.

Resolviendo se obtiene: 2

2rS

tambin:

2

rS

l

2

2lS

Ejemplo:

Del grfico mostrado, calcular el rea del sector

A0B. 0: centro.

Solucin:

= 60 . 180

rad rad

3

2

6.

3

2S

S = 6 cm2

NUMERO DE VUELTAS (nv)

El nmero de vueltas que da una rueda de radio r al desplazarse (sin

resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el

centro de la rueda dividido entre 2r. (permetro de la rueda).

En esta figura el nmero de vueltas que da la rueda de radio (r) al

desplazarse desde A hasta B se calcula:

rn cv

2

l

(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).

(permetro de la rueda).

Ejemplo:

Cuntas vueltas da la rueda de 4cm de dimetro?

Solucin:

r = 2cm

lC = 80 . 100cm nV =

cm

cm

22

10080

nV = 2000 vueltas



PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En un sector circular la

longitud de su arco es 1m. Si su

ngulo central se aumenta en

10% y su radio se disminuye en

10%, se determina un nuevo

sector circular cuya longitud

de arco, en cm, es:

Rpta. 99.

2. Un pndulo oscila describiendo

un ngulo cuya medida es 28 y

un arco de longitud de 66cm.

Encontrar la longitud del

pndulo, en m. (considerar

=22/7)

Rpta. 1,35

3. En un sector circular, el

quntuplo de la longitud de su

radio es igual al cudruplo de

su longitud del arco

respectivo; luego la medida de

su ngulo central es:

Rpta. 1,25rad

4. Se tiene un sector circular de

6cm de radio y 12cm de

longitud de arco. Si el radio

aumenta 2cm sin que el ngulo

vare Cul ser la nueva

longitud de arco?

Rpta. 16 cm

5. En un sector circular se

conoce que su radio mide

(x + 1)cm, su longitud de arco

9(x 1)cm, y la medida de su

ngulo central correspondiente

(x2 1)rad. Hallar el valor de

x

Rpta. 2

6. Determinar la longitud de una

circunferencia, sabiendo que

en ella un ngulo central que

mide 20g determina una

longitud de arco igual a u.

Rpta. 20u

7. Las medidas de dos ngulos en

el centro de una circunferencia

son complementarias y las

longitudes de los arcos que

subtienden suman 4m, luego la

longitud de radio de la

circunferencia es:

Rpta. 8m.

8. Calcular el permetro de la

regin sombreada.

Rpta. R

9. En el grfico mostrado a

continuacin, calcule la

longitud total de la

trayectoria descrita por la

bola ubicada en P, desde la

posicin mostrada hasta llegar

a la pared AB. (BC = 8m)

Rpta. 8m.

10. En la figura, el permetro del

sector circular A0B es igual al

del trapecio circular ABCD.

Encontrar

Rpta. 2/3rad



11. Hallar a partir del grfico

W = 25,0x

Rpta. 5/4

12. Calcular el rea del crculo

sombreado

Rpta. 2m2

13. El rea de un sector circular

de radio R es 4u2. Cul

ser el rea de otro sector

circular cuyo radio es 2R y

cuyo ngulo central es la

mitad del anterior?

Rpta. 8u2

14. El ngulo central de un sector

circular mide 36 y su radio es

R, si se disminuye en 11 el

ngulo central. Cunto hay

que aumentar el radio para

que el rea no vare?

Rpta. R/5

15. Hallar de la figura:

32

321

SS

SSSM

Rpta. 2


1. En un sector circular la

longitud de su arco es 1m. Si su

ngulo central se aumenta en

20% y su radio se disminuye en

30%, se determina un nuevo

sector circular cuya longitud

de arco, en cm, es:

A) 0,2 B) 83 C) 0,16

D) 1,82 E) 84

2. Un pndulo oscila describiendo

un ngulo cuya medida es 36 y

un arco de longitud de 88cm.

Encontrar la longitud del

pndulo, en m. (considerar

=22/7)

A) 0,14 B) 0,4 C) 1,4

D) 1,41 E) 14

3. En un sector circular, el

hptuplo de la longitud de su

radio es igual al doble de su

longitud de arco respectivo;

luego la medida de su ngulo

central es:

A) 3rad B) 3,5rad C) 1,5rad

D) 0,3rad E) 2,5rad

4. Se tiene un sector circular de

7 cm de radio y 21 cm de

longitud de arco. Si el radio

aumenta 3 cm sin que el ngulo

vare, Cul ser la nueva

longitud de arco?

A) 30cm B) 40cm C) 50cm

D) 20cm E) 10cm

5. En el grfico mostrado a

continuacin, calcule la

longitud total de la

trayectoria descrita por la

bola ubicada en P, desde la

posicin mostrada hasta llegar

a la pared AB. (BC = 6m)

A) 7m B) 6m C) 8m

D) 12m E) 10m


Trigonometra Trigonometra

QUIEN CONOCE EL SABOR DE

LA DERROTA, VALORA MEJOR

SUS TRIUNFOS

ANNIMO

25 26

6. Calcular el rea del crculo

sombreado

A) 1m2 B) 2m2 C) 3m2

D) 4m2 E) 5m2

7. El rea de un sector circular de

radio R es 4u2. Cul ser el rea

de otro sector circular cuyo radio

es 2R y cuyo ngulo central es la

mitad del anterior?

A) 23

u

B) 20u2 C) 5u2

D) 10u2 E) 12u2

8. El ngulo central de un sector

circular mide 20g y su radio es

R, si se disminuye en 15g el

ngulo central. Cunto hay

que aumentar el radio para

que el rea no vare?

A) R B) R/5 C) 3R

D) 4R E) R/2

9. Hallar de la figura:

23

321

SS

SSSM

A) 3/4 B) 1/3 C) 1/4

D) 4/3 E) 4

EL MAYOR PELIGRO EN LA VIDA ES NO

ARRIESGAR NADA. Y EL HOMBRE Y LA MUJER

QUE NO ARRIESGAN, NO HACEN NADA, NO

TIENEN NADA Y NO SON NADA

BACH

10. Hallar 1

23

S

SS

A) 1 B) 6 C) 8

D) 9 E) 10

CLAVES

1. E

2. C

3. B

4. A

5. A

6. C

7. B

8. A

9. D

10. C



SABAS QU...

MARSUPIALES

CANGURO

Las cras de canguro pasan unos 10 meses en la bolsa de su madre.

Los marsupiales difieren de otros mamferos en que dan a luz cras

inmaduras que viajan en la bolsa de su madre, donde se amamantan. De esta

forma, se mantienen calientes y protegidos mientras se desarrollan. Algunos

no tienen una bolsa propiamente dicha y las cras se agarran al pelaje de sus

madres. Los marsupiales slo se encuentran en Australia y en Amrica. Los

canguros y los koalas son marsupiales australianos, mientras que las

zarigeyas viven en Amrica. Existen alrededor de 250 especies de

marsupiales en el mundo, que van desde pequeos animales del tamao de las

musaraas hasta carnvoros del tamao de un lobo.

TEMA: RAZONES TRIGONOMTRICAS

DE NGULOS AGUDOS

TRINGULO RECTNGULO

Se llama tringulo rectngulo al tringulo donde uno de sus ngulos es

recto (90), adems recuerde que el lado opuesto al ngulo recto se llama

hipotenusa y los dos lados restantes catetos.

En la figura mostrada:

c : hipotenusa

a b : catetos

: son ngulos agudos

Adems en el tringulo rectngulo se cumple:

Los ngulos agudos suman 90

. + = 90 .

Teorema de Pitgoras

. a2 + b2 = c2 .

La hipotenusa siempre es mayor que los catetos

. c > a b .



RAZN TRIGONOMTRICA

La razn trigonomtrica de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo

se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las

longitudes de dos de los lados del tringulo rectngulo con respecto del

ngulo agudo.

Si el tringulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del

tringulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto

adyacente (a). Podemos definir las razones trigonomtricas de del modo

siguiente:

cb

hipotenusa

gulo esto al ancateto opusen

ca

hipotenusa

ngulo acente al cateto ady cos

ab

ngulo acente al cateto ady

gulo esto al ncateto oputg

ba

gulo esto al ncateto opu

ngulo cente al catetoadyactg

ac

ngulo acene al cateto ady

hipotenusa sec

bc

gulo esto al ncateto opu

hipotenusa csc

Ejemplo:

Calcule los valores de las seis razones trigonomtricas del menor ngulo

agudo en un tringulo rectngulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.

Resolucin

Aplicando el teorema de Pitgoras, tenemos:

(8)2 + (15)2 = x2

289 = x2

x = 17

Luego

17

8sen

8

15ctg

17

15cos

15

17sec

15

8tg

8

17csc

Razones Trigonomtricas de los ngulos Agudos: 30, 60, 45, 37 Y

53

Las razones trigonomtricas de estos ngulos se obtienen a partir de los

siguientes tringulos rectngulos.



De los tringulos anteriores se obtiene:

ngulo

R.T. 30 37 45 53 60

sen 2

1

5

3

2

2

5

4

2

3

cos 2

3

5

4

2

2

5

3

2

1

tg 3

3

4

3 1

3

4 3

ctg 3 3

4 1

4

3

3

3

sec 3

32

4

5 2

3

5 2

csc 2 3

5 2

4

5

3

32

OBSERVACIN:

LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMTRICAS DEPENDEN

NICAMENTE DE LA MEDIDA DEL NGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS

LADOS DEL TRINGULO RECTNGULO.

Lo anterior lo podemos describir a continuacin, en la siguiente figura.

Del Tringulo Rectngulo ACB tenemos que: ABBC

sen

Por otra pare, del tringulo rectngulo ACB tenemos que: '

''

ABCB

sen

Luego:

'

''

ABCB

ABBC

As encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el

tringulo rectngulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podra

servir para las otras razones trigonomtricas.

RAZONES TRIGONOMTRICAS RECPROCAS

Siendo un ngulo agudo se cumple:

1csc.1

csc

sensen

1sec.coscos

1sec

1.1

ctgtgtg

ctg

Ejemplo:

Si 3

4csc

4

3sen 5sec

5

1cos

5

3

3

5 tgctg

3

2

2

3csc sen



RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ngulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ngulo

recto.

En la figura se muestra:

y : Son ngulos complementarios ( + = 90)

Hemos nombrado el ngulo opuesto al cateto b como y al ngulo opuesto al

cateto a como en consecuencia:

coscb

sen ; sencacos

ctgab

tg ; tgba

ctg

cscsec ac

; seccsc bc

Debido a estas relaciones las razones:

seno y coseno

tangente y cotangente

secante y cosecante

Se llaman corazones trigonomtricas una de la otra

Ejemplos:

sen40 = cos50 sec20 = csc70

tg80 = ctg10 ctg3 = tg87

cos62 = sen28 csc24 = sec66

Ejercicio:

si: sen(40 + ) = cos(10 + ); 12 < < 24, halle

Resolucin

Por lo anterior se tiene:

(40 + ) + (10 + ) = 90

2 = 40

= 20

OBSERVACIN: RECORDEMOS QUE EN LOS VRTICES DE LOS TRINGULOS SIEMPRE SE COLOCAN LETRAS MAYSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE

COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINSCULAS POR DECIR: SI EN UNO DE LOS VRTICES DEL TRINGULO COLOCAMOS LA LETRA A, EN SU LADO

OPUESTO COLOCAREMOS SU MINSCULA A.



PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Del grfico hallar tg . tg

Rpta. 2

1

2. En un tringulo rectngulo el

coseno de uno de sus ngulos

agudos es 13

12, si el menor de

sus lados es 20m. determine el

mayor de los lados

Rpta. 52m

3. Del grfico calcular tg si:

FE7BF5

Rpta. 12

7

4. Del grfico calcular: ctg2

Rpta. 4

ALCANZARS BUENA REPUTACIN

ESFORZNDOTE POR SER LO QUE DESEAS

SCRATES

5. Del grfico calcular tg

Rpta. 3

2

6. En un tringulo rectngulo

ABC, recto en B, si acb 22 .

Calcular: tgCtgAE

Rpta. 8

7. Si ABCD es un cuadrado.

Calcular:

ctgctgE 6

Rpta. 5

8. En un tringulo rectngulo el

coseno de uno de sus ngulos

agudos es 0,96. Si su

hipotenusa mide 50m. Hallar

el permetro de dicho

tringulo

Rpta. 112m


ABC recto en C, se cumple:

tgA + tgB = 3

Rpta. 3

15

10. Calcular:

E=sen25.sec65+tg40.tg50

Rpta. 2

11. Calcular x:

Si: tg(3x 10) . tg70 = 1

Rpta. 10



12. Calcular:

80cos........20cos10cos

80........2010

sensensenE

Rpta. 1

13. Calcular x si:

Tg(3x15)=tg10.tg20.tg30

......tg70.tg80

Rpta. 20

14. Calcular x

E = (2sen20 + 3cos70) .

(5csc20 . 3sec70)

Rpta. 10

15. Calcular x e y si:

tg(x + 10) . ctg(30 + y) = 1

sen(x + 5) = cos(y + 5)

Rpta. 50 y 30

16. Calcular E x380cos

10x3senE

Rpta. 10

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. De la figura, calcular:

4

1 sen + cos

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2. De la figura, calcular: tg

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

3. Si es un ngulo agudo y

sec = 13/12. calcular:

P = csc ctg

A) 1/5 B) 1/4 C) 1/3

D) 1/2 E) 2/3


ABC (recto en B), AB = 3 y

BC = 7. Si se prolonga BC

hasta el punto D y tgD = 1/4,

calcular la longitud de CD .

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7


ABC (recto en C)si:

secA + ctgB = 7; hallar

E = cscB - tgA

A) 1/7 B) 7 C) 7/7

D) 7/7 E) 73



MEJOR QUE APRENDER

MUCHO, ES APRENDER BUENAS

COSAS

JOS FERNNDEZ

39 40


ABC. TgA = 2,4, determine el

permetro del tringulo si

adems el lado mayor mide 39

cm.

A) 30cm B) 60cm C) 90cm

D) 120cm E) 150cm

7. Calcular de la figura:

Q = sec tg

A) 1/10 B) 1/20 C) 1/30

D) 1/40 E) 1/50

8. De la figura, calcular el valor

de: csc + 2csc

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

9. Indicar la diferencia de

las races de la ecuacin

xsec60 = x.sen30 + 3

A) 2,5 B) 3,5 C) 4

D) 4,5 E) 3

10. De la figura, hallar tg

A) 1/4 B) 8/3 C) 4/2

D) 4/3 E) 1/8


ABC, recto en C, se sabe que:

baC .3

Calcular: E = tgA + tgB

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 9

CLAVES

1. A

2. B

3. A

4. C

5. A

6. C

7. A

8. C

9. B

10. B

11. D

12. E



SABAS QU...

MAMFEROS ACUTICOS

GRANDES NADADORES

Los delfines y las ballenas nadan moviendo la cola arriba y abajo y no hacia los lados como lo hacen los peces.

Los delfines, las ballenas, las focas y las morsas son mamferos, pero se

han adaptado a la vida acutica. Su cuerpo tiene forma hidrodinmica, las

extremidades anteriores presentan forma de aleta y la cola es plana. Las

ballenas y las focas poseen una capa de grasa bajo la piel para protegerse

del fro. Los delfines y las ballenas nunca salen del agua, incluso se aparean

y dan a luz en ella. Cuando nacen las cras, sus padres las empujan hasta la

superficie para que respiren por primera vez. Las focas y las morsas se

aparean y dan a luz en tierra.

TEMA: RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

Las aplicaciones de la trigonometra en campos como topografa y

navegacin requieren resolver tringulos rectngulos. La expresin

Resolver un tringulo significa encontrar la longitud de cada lado y la

medida de cada ngulo del tringulo.

En esta seccin veremos que podemos resolver cualquier tringulo

rectngulo si se nos da:

I. Las longitudes de dos lados.

II. La longitud de un lado y la medida de un ngulo agudo.

1. Conociendo las longitudes de los lados:

Ejemplo:

Resolver un tringulo rectngulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2

respectivamente.

Resolucin

Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitgoras:

(1)2 + (2)2 = x2 x2 = 5

x = 5

Para determinar la medida del ngulo , calculemos una razn

trigonomtrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

Por decir: tg = 2

1 = 2630 (aproximadamente)

como: + = 90 = 6330

Con la cual el tringulo rectngulo queda resuelto.



2.

A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ngulo agudo

incgnitas x, y

Clculo de x:

ax

= cos x = a cos

Clculo de y:

a

y = sen y = a sen

En el tringulo rectngulo la medida del

otro ngulo agudo es: 90 .

Conclusin:

B. Conociendo un ngulo agudo y la longitud del cateto opuesto a

dicho ngulo

incgnitas x, y

Clculo de x:

ax

= ctg x = a ctg

Clculo de y:

a

y = csc y = a csc

En el tringulo rectngulo la medida del

otro ngulo agudo es: 90 .

CONCLUSIN:

C. Conociendo un ngulo agudo y la longitud del cateto adyacente a

dicho ngulo

Anlogamente a los tringulos rectngulos anteriores

Ejemplos:



Aplicaciones

1. Un topgrafo puede medir el ancho de un ro emplazando su trnsito en

un punto C en un borde del ro y visualizando un punto A situado en el

otro borde. Despus de girar un ngulo de 90 en C, se desplaza 200 m

hacia el punto B, aqu mide el ngulo y encuentra que es de 20. Cul

es el ancho del ro?

Resolucin

Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que usamos la

relacin tg = ab

Reemplazando: 200

20b

tg

b = 200tg20

el ancho del ro es (200 tg20) m

2. Una cometa se queda atascada en la rama ms alta de un rbol, si la

cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ngulo de 22 con el suelo,

estime la altura del rbol encontrando la distancia que hay entre la

cometa y el suelo (sen22 = 0,374)

Resolucin

Graficando, tenemos por condicin al problema

Sea h la altura a la cual se

encuentra la cometa, a partir de la

figura vemos que:

12

h = sen22

h = 12 sen 22

h = 12(0,374) = 4,488

h = 4,488 m

REA DE LA REGIN TRIANGULAR (S)

El rea de cualquier regin triangular est dado por el semi producto de

dos de sus lados multiplicado por el seno del ngulo que forman dichos lados.

As tenemos:

Del grfico:

senbaS2

1

Demostracin:

Por geometra S, se calcula as

2

. hbS (h: altura relativa del lado b

En el tringulo rectngulo sombreado se

tiene por resolucin de tringulo que:

h = a sen



Luego:

2

. asenbS ; (ba = ab)

2

1S ab sen

Ejemplo:

Calcular el rea de la regin triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm; Ac = 6

cm y el ngulo comprendido entre dichos lados es igual a 37

Resolucin

Graficando tenemos

Nos piden: S

De la figura: 2

1S (5cm) (6cm) sen 37

2

1S (5cm) (6cm)

5

3

S = 9 cm2

OBSERVACIN:

a) EN TRIGONOMETRA, LOS OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO POR

S SOLO, NI TAMPOCO PUEDE REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS

CON ELLAS, DE MANERA QUE, ES ABSURDO, CONSIDERAR LAS

OPERACIONES

sensen

(ABSURDO) ; Absurdo

sensensen

b) SE HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS SON NMEROS, LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR AS: I) 5 SEC 2 SEC + 2 SEC = 4 SEC

II)

sen

sensen

sen

12.

cos3

= 3 COS + 2 c) TENGA CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SENNX = (SENX)N; LA PRIMERA

SE UTILIZA CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO; PORQUE CORRE EL RIESGO DE CONCLUIR QUE:

(SENX)N = SENNXN Y ESTO ES INCORRECTO

EN LA ANTENA SE PUEDE OBSERVAR LA APLICACIN DE

NGULOS VERTICALES




1. Calcular x en:

Rpta.

2. Calcular tg en:

Rpta.

3. Calcular x en:

Rpta.

4. Calcular ctg :

Rpta.

5. Calcular ctg

Rpta.

6. Hallar x

Rpta.

7. Calcular: sensec

Rpta.

8. Hallar: tg

Rpta.

9. Hallar x en trminos de m, y

Rpta.

10. Hallar x en trminos de H,

y

Rpta.

11. Hallar AB en trminos de

R y

Rpta.



12. De la figura, hallar: tg

Rpta.

13. Calcular: cos

Rpta.

14. Hallar el permetro del tringulo

rectngulo sabiendo que uno de

sus ngulos agudos mide y su

cateto opuesto mide a

Rpta.

15. Calcular: reas:SySSS

212

1

Rpta.

16. Calcular: tg si ABCD es un

cuadrado

Rpta.

17. Hallar el rea de la regin

sombreada

Rpta.

18. Hallar h, si: sen = 5

1

Rpta.




1. Calcular x en:

A) 8 B) 9 C) 10

D) 14 E) 20

2. Calcular tg en la figura si

ABCD es un cuadrado.

A) 2 B) 1/2 C) 3/4

D) 5/3 E) 1/4

3. Calcular x en:

A) 31 B) 29 C) 25

D) 41 E) 33

4. Calcular tg

A) 2 B) 1/2 C) 1/3

D) 1/5 E) 2/3

5. Calcular tg del grfico

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4

D) 4/5 E) 5/6

6. De la figura calcular x en

trminos de , y d

A) d(ctg +ctg) B) d ctg.ctg

C) ctg.ctg

d D)

ctgctg

d

E) (ctg ctg) . d

7. Hallar x en trminos de d y

siendo dAC y xED

A) d sen . cos

B) d sen2 . cos2

C) 2d sen2 . cos

D) d sen . cos2

E) 2d cos2 . sen

8. Del grfico mostrado. Hallar

BD en trminos de , y

d

A) d sen sen

B) d cos cos

C) d tg tg

D) d sen cos

E) d cos sen



9. Hallar AC si la regin

sombrada es un cuadrado de

lado n

A) n (1 + sec + cos)

B) n (1 + sec + csc)

C) n (1 + tg + ctg)

D) n (1 + tg + sec)

E) n (1 + ctg + csc)

10. De la figura, hallar x en

trminos de m y

A) m sen + tg

B) m sen cos

C) 2m sen

D) 2m cos

E) m tg

CLAVES

1. C

2. E

3. A

4. B

5. B

6. E

7. D

8. A

9. C

10. D

TEMA: NGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES

INTRODUCCIN

Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posicin de los

objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisin para

ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador

y al objeto en observacin. As como tambin ngulos que nos permitan

visualizar determinado punto del objeto en consideracin.

A continuacin enunciaremos algunos puntos que consideramos

importantes para el desarrollo del tema:

Lnea Vertical: Vertical de un lugar es la lnea que coincide con la direccin

que marca la plomada.

Lnea Horizontal: Se denomina as a toda aquella lnea perpendicular a la

vertical.

Plano Vertical: es el que contiene a toda la lnea vertical.

Lnea Visual: Llamada tambin lnea de mira, es aquella lnea recta

imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

NGULOS VERTICALES

Son aquellos ngulos contenidos en un plano vertical formados por la

lnea de mira (o visual) y la lnea horizontal. Que parten de la vista del

observador.

Los ngulos verticales pueden ser:

ngulos de Elevacin

Es el ngulo formado por la lnea horizontal y la lnea de mira cuando el

objeto se encuentra por encima de la lnea horizontal.



: ngulo de observacin

ngulos de Depresin

Es aquel ngulo formado por la lnea horizontal y la lnea de mira cuando

el objeto se encuentra por debajo de la lnea horizontal.

: ngulo de depresin

OBSERVACIN: AL NGULO FORMADO POR DOS LNEAS DE MIRA SE DENOMINA NGULO DE OBSERVACIN O DE VISIBILIDAD.

: NGULO DE OBSERVACIN

NGULOS HORIZONTALES

Son aquellos ngulos que se encuentran sobre un mismo plano (plano

horizontal). Normalmente estos ngulos se ven en la navegacin y la aviacin.

stos ngulos los constituyen los llamados puntos cardinales (este, oste,

norte y sur).

Direccin

La direccin es la inclinacin o ngulo que forma una lnea con respecto

a otra tomada como referencia. As:

Respecto a M

P se encuentra en la direccin ES

Q se encuentra en la direccin ON

Debemos tener en cuenta que cuando se toma como referencia la lnea

norte siguiendo en sentido horario, a esa direccin se le denomina rumbo.



La Rosa Marina o Rosa Nutica

Es un indicador de las direcciones, funciona a base del campo magntico

de la tierra, ste instrumento lo utilizan los navegantes y aviadores, y est

constituido por 32 direcciones

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Un observador se encuentra a

40m. de la base de un edificio,

se acerca hacia el edificio en

lnea recta hasta un punto que

se encuentra a 10m. del mismo.

Si en su posicin inicial

observ a un punto del edificio

con un ngulo de elevacin de

37 y en la segunda

observacin lo hizo al mismo

punto con Cunto vale

2ctg

?

Rpta.

2. Desde un acantilado se

observan dos bolicheras en

lnea recta con ngulos de

depresiones y ( < )

respectivamente, si ese

instante la separacin de las

bolicheras es 120m Qu

altura a nivel del mar tiene el

observador?

2,0;

7

1 tgtg

Rpta.

3. La antena de una radio

emisora se encuentra sobre un

morro, si su base es vista

desde un punto sobre el plano

horizontal con un ngulo de

elevacin de 37. Si la altura

de la antena es la tercera

parte la del morro. Cunto

medir el ngulo de

observacin correspondiente a

la antena desde el mismo

punto de observacin?

Rpta.

4. Dos edificios de diferentes

alturas se encuentran uno al

frente del otro. Desde la

parte superior e inferior del

edificio de menor altura se

observan con ngulos de

elevaciones y un punto del

extremo superior del otro

edificio respectivamente En

qu relacin se encuentran sus

alturas (menor/mayor)?

Rpta.



5. Un barco navega a 20km/h

hacia el Este, en un instante

desde el barco es visto un

faro en el rumo N53E, al

cabo de dos horas, es visto

el faro desde el barco en la

direccin O37N Cul es la

distancia del faro a la 1ra y

2da observacin?

Rpta.

6. Un navo parte de un puerto

en la direccin NE. Luego de

una hora de camino desva y,

se dirige en la direccin

S15E. En qu direccin

respecto al puerto se

encontrar el navo, de tal

manera que desde ste

equidiste al puerto y al

punto de desvo?

Rpta.

7. Una persona sube una

cuesta y cuando llega al

punto mximo, ve que la

altura de sta es la mitad,

del camino recorrido, hallar

el ngulo que hace la

horizontal con la cuesta

Rpta.

8. Desde la base de un edificio

Juan ve un halcn con un

ngulo de elevacin de 37 a

una distancia de 12 pies y

desde la parte superior del

mismo edificio se ve la

misma ave con un ngulo de

depresin de 53. Calcular

la altura del edificio.

Rpta.

9. Calcular la altura de un

rbol si el ngulo de

elevacin de su extremo

superior aumenta desde 30

hasta 60 cuando el

observador avanza 80m.

hacia el rbol

Rpta.

10. De un edificio de 24m. de

altura se divisa una torre con

un ngulo de elevacin de 30 y

la base de la torre con un

ngulo de depresin de 60.

Encontrar la altura de la torre.

Rpta.

11. En un ngulo de elevacin de un

edificio de 2230, nos

acercamos a una distancia m

y el nuevo ngulo es 45. Hallar

m si la altura del edificio es

10m.

Rpta.

12. Cierto da Luis ve a Luisa en la

parte ms alta de un edificio

de 16m. de altura con un ngulo

de elevacin de 53. Si l se

acerca al edificio y ella baja

10m. para luego ver Luis con un

ngulo de elevacin de 37 a

Luisa. Calcular la relacin de

velocidades de Luis y Luisa, si

todo es al mismo tiempo.

Rpta.

13. Emilio desde el suelo

apunta hacia una paloma

con un ngulo de elevacin

de 45 separados por una

distancia de 14,142m. si

mientras Emilio se pone de

pie, la paloma se aleja 14m.

por la horizontal. Calcular

la altura de Emilio, si el

nuevo ngulo con que ve a la

paloma es de 16.

Rpta.

14. Un marciano se encuentra

colocado sobre el edificio

de 9u de altura. Una

persona impresionada

observa con un ngulo de

elevacin de 53 a la parte

superior del marciano;

luego se aleja 2u, luego

observa con un ngulo de

elevacin de 37 a lo alto

del edificio. Calcular la

altura del marciano.

Rpta.



EL QUE NO PIERDE TIEMPO,

TIENE MUCHO TIEMPO

FONTENELLE

63 64

15. Un avin se encuentra a una

altura de 150m de un objetivo

y se encuentra descendiendo

con un ngulo de depresin .

Luego de recorrer 150m es

observado desde el objetivo

con un ngulo de elevacin de

2630, calcular a que la altura

se encuentra el avin en dicha

observacin.

Rpta.

MEDICINA VETERINARIA

Facultad de Medicina Veterinaria

Descripcin Ocupacional:

El mdico veterinario estudia y aplica procedimientos cientficos y tecnolgicos

para la preservacin y proyeccin de la salud animal, la crianza, produccin,

reproduccin y mejoramiento gentico de los animales. Examina, diagnostica y

prescribe tratamiento mdico y/o quirrgico. Maneja los componentes en los

sistemas de produccin animal protegiendo el medio ambiente. Preserva la salud

pblica protegiendo la salud ambiental, mediante el control de las zoonosis, el

saneamiento ambiental y la evaluacin de la calidad de los alimentos y otros

productos y subproductos de origen animal. Administra programas de salud

animal y desarrollo pecuario.


1. Desde lo alto de un faro de

45m. de alto los ngulos de

depresin de 2 delfines que

se hallan en el mar y en una

misma direccin del

observador miden 45 y

37. Hallar la distancia

entre los delfines

A) 13 B) 15 C) 17

D) 19 E) 20

2. Una persona observa un

objeto que est en cada

con un ngulo de elevacin

de 60 luego de un momento

lo vuelve a observar con un

ngulo de elevacin de 30,

si en la primera observacin

se encontraba a 60m de

altura. En la segunda

observacin estar a la

altura de:

A) 10m B) 20m C) 30m

D) 40m E) 50m

3. Un nio escala una montaa

que tiene un ngulo de

elevacin de 37, cuando

llega a la cumbre a

escalado 150m. hallar la

altura de la montaa.

A) 100m B) 90m C) 80m

D) 70m E) 60m

4. Desde la parte ms alta de

un edificio se observa con

un ngulo de depresin de

64 la parte ms alta de un

poste de 5m de altura.

Calcular a que distancia se

encuentra el poste del

edificio (altura del edificio

45 m)

Nota: considerar: sen64 =

80/89

A) 19,5m B) 20m C) 25m

D) 30m E) 39m



5. Desde la cspide de un

monumento de 30m. de

altura los ngulos de

depresin de dos piedras,

que estn sobre el terreno

en la misma direccin

respecto del monumento,

son de 45 y 37 Qu

distancia los separa?

A) 30 B) 20 C) 50

D) 10 E) 40

6. Desde lo alto de un edificio

de 24m. de altura se divisa

una torre con un ngulo de

elevacin de 30 y la base

de la torre con un ngulo de

depresin de 60. Encontrar

la altura de la torre.

A) 32m B) 18m C) 40m

D) 16m E) 12m

7. Un barco navega

directamente hacia el

Norte, en un momento

observa dos botes anclados

y alineaos en la direccin

Este, luego de recorrer

36 3 m observa los mismos

botes en las direcciones,

60 al Sur del Este y 60 al

Este del Sur. Hallar la

distancia que separa a los

botes.

A) 40 B) 50 C) 72

D) 37 E) 28

8. Dos barcos A y B parten

simultneamente en las

direcciones E10S y E20N

respectivamente, si antes

de partir A es visto desde

B en la distancia O70N.

Determinar la distancia que

recorre el barco A para

encontrarse con B. si

inicialmente estaban

separados 10 millas.

A) 20 B) 10 C) 30

D) 40 E) 50

9. Una persona observa un poste

con un ngulo de elevacin ;

cuando la distancia que los

separa se ha reducido a la

tercer parte la medida del

ngulo se ha duplicado. Hallar

.

A) 15 B) 30 C) 45

D) 53 E) 60

10. Desde un punto de tierra se

divisa lo alto de una torre de

24m de altura con un ngulo

de elevacin de 37. Qu

distancia habra que acercase

para que el ngulo de elevacin

tenga como tangente 2?

A) 10m B) 12m C) 20m

D) 18m E) 16m

CLAVES

1. B

2. B

3. B

4. E

5. D

6. B

7. C

8. A

9. B

10. C



TEMA: RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE

CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.)

ANGULO EN POSICIN NORMAL

Un ngulo trigonomtrico est en POSICIN NORMAL, si su vrtice

est en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado

positivo del eje X.

Si el lado final est en el segundo cuadrante, el ngulo se denomina

NGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE y anlogamente para los otros

cuadrantes.

Si el lado final coincide con un eje se dice que el NGULO NO

PERTENECE A NINGN CUADRANTE.

Ejemplos:

I

II

III

90 a ningn cuadrante

no est en posicin normal

NGULO CUADRANTAL

Un ngulo en posicin normal se llamar CUADRANTAL cuando su lado

final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningn cuadrante.

Los principales ngulos cuadrantes son: 0, 90, 270 y 360, que por

comodidad grfica se escribirn en los extremos de los ejes.

1. Propiedad

Si es un ngulo en posicin normal positivo y menor que una vuelta

entonces se cumple:

Si I 0 < < 90

Si II 90 < < 180

Si III 180 < < 270

Si IV 270 < < 360

Ejemplos:

1. Si III En qu cuadrante est 2/3?

Resolucin

Si III 180 < < 270

60 < 3

< 90

120 < 3

2

< 270

Como .2/3. est entre 120 y 180, entonces pertenece al:

.II Cuadrante.



2. Si II A qu cuadrante pertenece 702

?

Resolucin

Si II 90 < < 180

45 < 2

< 90

115 < 703

< 160

Como /2 + 70 est entre 115 y 160, entonces pertenece al:

.II Cuadrante.

NGULO COTERMINALES

Dos ngulos en posicin normal se llamarn COTERMINALES o

COFINALES si tienen el mismo lado final y el mismo lado inicial (as sea en

sentido contrario).

Ejemplos:

SON COTERMINALES

NO SON COTERMINALES

410 y 50 SON COTERMINALES

240 30 NO SON

COTERMINALES

1. Propiedad

La diferencia de las medidas de dos ngulos coterminales siempre nos

dar como resultado un nmero positivo entero de vueltas.

Si son coterminales tal que > entonces se cumple:

. = k(360). K Z+

Ejemplos:

1. 750 y 30 coterminales porque 750 30 = 720 (2 vueltas)

2. 330 y 30 coterminales porque 330 (30) = 360 (1 vueltas)

3. 7 y 3 coterminales porque 7 3 = 4 (2 vueltas)

4. 450 y 90 coterminales porque 450 (90) = 540 (no tiene

vueltas exactas)

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS EN POSICIN

NORMAL

Si es un ngulo cualquiera en posicin normal, sus razones

trigonomtricas se definen como sigue:

22 yxr

radior

ordenadaY

Abcsisax



VECTORRADIOORDENADA

ry

sen ORDENADA

VECTORRADIO

yrcsc

VECTORRADIOABCSISA

rx

cos ABSCISA

VECTORRADIO

xr

sec

ABSCISAORDENADA

xy

tg ORDENADAABSCISA

yx

ctg

OBSERVACIONES:

1. EN VERDAD r ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP. POR CUESTIONES PRCTICAS VAMOS A DENOMINAR A r COMO VECTOR.

2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO:

CATETO OPUESTO = ORDENADA CATETO ADYACENTE = ABSCISA RADIO VECTOR = HIPOTENUSA

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS EN CADA

CUADRANTE

1. Primer Cuadrante

En el primer cuadrante TODAS las razones trigonomtricas son

POSITIVAS porque la ABSCISA (x) la ordenada (y) y el radio vector (r)

son positivas.

2. Segundo Cuadrante

En el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS

porque la ORDENADA (y) y el RADIO vector (r) son positivas.

Las dems razones trigonomtricas son negativas.

3. Tercer Cuadrante

En el tercer cuadrante la TANGENTE y la COTANGENTE son

POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y la ordenada (y) son negativas.


4. Cuarto Cuadrante

En el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS

porque la ABSCISA (x) y el radio vector (r) son positivos.


5. Regla Prctica

Son Positivos

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS CUADRANTALES

Como ejemplo modelo vamos a calcular las razones trigonomtricas de

90, anlogamente se van a calcular las otras razones trigonomtricas de 0,

180, 270 y 360.

Del grfico observamos que x = 0

r = y, por tanto:



sen 90 = r

y =

y

y = . 1 .

cos 90 = r

x =

r

0 = . 0 .

tg 90 = x

y =

0

y = . No defnido (N.D.) .

ctg 90 = y

x =

y

0 = . 0 .

sec 90 = x

r =

0

y = . No defnido (N.D.) .

csc 90 = y

x =

y

y = . 1 .

Aplicando las razones trigonomtricas de ngulos en posicin normal,

tenemos:

R.T. 0 90 180 270 360

Sen 0 1 0 1 0

Cos 1 0 1 0 1

Tg 0 ND 0 ND 0

Ctg ND 0 ND 0 ND

Sec 1 ND 1 ND 1

Csc ND 1 ND 1 ND


1. Si el punto (6; 8) pertenece al

lado final del ngulo en

posicin normal, calcular: 5cos

+ 6tg

Rpta.

2. Calcular: csc + cos

Rpta.

3. Si sen>0 cos



9. Del la figura hallar:

tg

tg

sensen

cos

cos

Rpta.

10. De la figura,

Hallar sen, sabiendo que

tg + tg = 6

Rpta.

11. Del grfico, calcular:

2tg + 3tg

Rpta.

12. De la figura hallar: a 8ctg

Rpta.

13. Si:

tg>0 sen = tg230 tg245

Calcular: cos

Rpta.

14. Si: 8tg+1 = 4, adems: cos>0,

calcular sen

Rpta.

15. Si:

25

14

14

12

tg ,

calcular: csc5 , sabiendo

que IIIC

Rpta.

16. Si: sen(5+10)=cos(2 + 10),

Calcular:

cos . cos2......,cos10.

Rpta.

17. Reducir:

180cos90

180cos4902

basenabsenba

Rpta.

18. Si: 2tg+2 = 3ctg+3

Adems: IIQ IVQ

Calcular: 2 . cos . cos

Rpta.

19. Si ABCD es un cuadrado,

hallar tg

Rpta.

20. Si tg = 1 + ......27

8

9

4

3

2 .

Adems IIIC, calcular:

tgcos10

Rpta.

EL SILENCIO ES ELEMENTO EN EL CUAL SE

FORMAN LAS MS GRANDES COSAS Y DEBE SER EL

PRINCIPIO Y EL FIN DE TODA REALIZACIN

JORGE ADOUM



PROBLEMAS PARA LA CASA 1. En el esquema mostrado,

calcular sec

A) 5 B)

2

5 C)

3

5

D) 2

3 E)

2

6

2. El punto (3; 4) pertenece

al lado final del ngulo en

posicin normal; calcule:

M = 5 cos + 6 tg

A) 3 B) 4 C) 5

D) 10 E) 11

3. Del grfico mostrado,

calcule el valor de:

E = 4tg + 3

A) 3 B) 1 C) 5

D) 9 E) 6

4. Siendo un ngulo en

posicin normal del segundo

cuadrante, donde tg = 3/2;

calcule el valor del

cos133 senE

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

5. Si se tiene que cos > 0 y

adems: 8tg+1 = 4; calcule el

valor de sen

A) 10

1 B)

10

3 C)

10

2

D) 10

1 E)

10

3

6. Siendo un ngulo en

posicin estndar del tercer

cuadrante, para lo cual se tiene

que ctg = 2,4, calcule el valor

de:

E = tg sec

A) 0 B) 1 C) 1,5

D) 2,5 E) 1,25

7. Del grfico mostrado calcule el

valor de:

M = csc + cos

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

8. A partir del grfico, hallar:

cos cos

A) 1 B) 0 C) 1

D) 2 E)

9. Indicar el signo de la

expresin:

240sec120cos45sec

275tg370cos220sen

..

..

A) + B) C) +

D) y + E) F.D.

10. Si el punto (1; 3) pertenece al

lado final de un ngulo en

posicin cannica , calcular:

R = sen . ctg

A) 10/1 B) 10/2

C) 10/3 D) 10/4

E) 10



CLAVES

1. B

2. C

3. E

4. D

5. A

6. C

7. B

8. B

9. A

10. A

NDICE

PG.

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR..................................................................................... 7

SECTOR CIRCULAR ............................................................................................................ 18

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS AGUDOS ............................................... 28

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS ............................................................. 42

NGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES .................................................................... 56

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS DE

CUALQUIER MAGNITUD (R.T.C.M.) ........................................................................... 67

Trigonometria 5to Sec

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