Trigonometría

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Y SUS

RAZONES TRIGONOMETRICAS

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALEs aquel ángulo cuyo lado inicial coincide con el

semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen

de coordenadas rectangulares y su lado final o terminal puede ubicarse en cualquier lugar del plano cartesiano.

x

Y

Lado inicial del ángulo en posición normal

Lado final del ángulo en posición normal

θ

Medida del ángulo en posición normal Ángulo en el 2do

Cuadrante

o

Origen de Coordenadas

Y

X

Lado inicial

Lado Final

θ

Medida del ángulo en posición normal

Ángulo ubicado en el

3er cuadrante

X

Y

θ

Lado inicial

Lado Final

Ángulo ubicado en el

4to cuadrante

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Sea “θ ” un ángulo trigonométrico en posición normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0) la distancia de dicho punto al origen, entonces las Razones

Trigonométricas de “ θ”, se definen como sigue:

X

Y

θy

x

r

ysenθ

r= x

cosθr

=

0y

tanθx,si x= ≠ 0

xctgθ

y,si y= ≠

0r

secθx, si x= ≠ 0

rcscθ

y, si y= ≠

Del gráfico:

x

y( )12;5−

θ

xy

Como:222 yxr +=

Entonces: ( ) ( ) 222 125 +−=r

13r =∴

Calcula todas las R.T. de θ

Luego:

12

13

ysen

rθ = = 5

13

xcos

r−θ = =

12

5

ytan

xθ = =

−

5

12

xctg

y−θ = =13

5

ysec

xθ = =

−13

12

rcsc

yθ = =

2) Calcula: secθ scθc− en:

-2

-1θ

Resolución.-

Lo primero será calcular el valor del radio vector r

r

( ) ( ) 222 r12 =−+−=

Entonces: 5r;1y;2x =−=−=

secθ scθc−Luego: = y

r

x

r − = 1-

5

2-

5 −

secθ scθc− =2

52

2

5 +− = 2

5

θ

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Como las razones trigonométricas dependen de x (abscisa del punto), de y (ordenada del punto) y de r (distancia al origen), observamos que las razones trigonométricas tienen un signo que se obtiene de la combinación de los signos que poseen estas cantidades. Como r es positiva dependerá entonces del signo de x, y del signo de y. En el primer cuadrante:

( x ; y)+ ; +

θ

senθ es positivo ya que y es positivo

cosθ es positivo ya que x es positivo tanθ es positiva ya que y/x es positivo

ctgθ es positiva ya que x/y es positivo secθ es positiva ya que x es positivo

cscθ es positiva ya que y es positivo

( x ; y) - ; +

θ

senθ es negativo ya que y es negativocosθ es negativo ya que x es negativatanθ es positiva ya que y/x es positivoctgθ es positiva ya que x/y es positivosecθ es negativa ya que x es negativacscθ es negativa ya que y es negativo

θ

( x ; y) - ; -

En el segundo Csenθ es positivo ya que y es positivo

cosθ es negativo ya que x es negativo tanθ es negativa ya que y/x es negativo

ctgθ es negativa ya que x/y es negativo secθ es negativa ya que x es negativo

cscθ es positiva ya que y es positivo

En el tercer C

θ

( x ; y ) + ; - TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE

LAS R.T. POR CUADRANTES

1er CUADRANTE

Todas las Razones Trigonométricas son

Positivas

2do CUADRANTE

El SENO y el CO-SECANTE son Positivas,

las demás Negativas.

3er CUADRANTE

La TANGENTE y La COTANGENTE son Positivas, las demás

Negativas.

4to CUADRANTE

El COSENO y La SECANTE son Positivas,

las demás Negativas.

senθ es negativo ya que y es negativocosθ es positivo ya que x es positivatanθ es negativa ya que y/x es negativoctgθ es negativa ya que x/y es negativosecθ es positiva ya que x es positivacscθ es negativa ya que y es negativo

En el cuarto C

θ

( x ; y ) + ; - TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE

LAS R.T. POR CUADRANTES

1er CUADRANTE

Todas las Razones Trigonométricas son

Positivas

2do CUADRANTE

El SENO y el CO-SECANTE son Positivas,

las demás Negativas.

3er CUADRANTE

La TANGENTE y La COTANGENTE son Positivas, las demás

Negativas.

4to CUADRANTE

El COSENO y La SECANTE son Positivas,

las demás Negativas.

senθ es negativo ya que y es negativocosθ es positivo ya que x es positivatanθ es negativa ya que y/x es negativoctgθ es negativa ya que x/y es negativosecθ es positiva ya que x es positivacscθ es negativa ya que y es negativo

En el cuarto C