1

B

Trigonometría básica

José Jesús MENA DELGADILLO

La trigonometría corresponde al estudio de los triángulos que a su vez es un

polígono limitado por tres lados, que forman entre sí tres ángulos internos.

El presente trabajo se remite a estudiar las propiedades de triángulos rectilíneos.

Los puntos A, B, C, se llaman vértices, los segmentos ,,, ACCBBA se llaman

lados; y los ángulos interiores CBA

,, .

A continuación en la figura 1 se presenta la disposición grafica de un triangulo

rectilíneo.

Figura 1. Muestra un triangulo rectilíneo, en donde, los puntos A, B, C, se llaman vértices,

los segmentos ,,, ACCBBA se llaman lados; y los ángulos interiores

La clasificación de los triángulos por la magnitud de sus lados.

a) Triangulo equilátero. Los tres lados del triangulo son iguales, es decir, los

segmentos

b) Triangulo isósceles. Dos de sus lados son iguales, y otro desigual.

c) Triangulo escaleno. Los tres lados del triangulo son diferentes en magnitud, es

decir, los segmentos .ACCBBA

Clasificación de los ángulos.

A C

A

B

c

2

La definición de un ángulo plano, corresponde a la parte de un plano determinado

por dos líneas llamadas lados que tiene el mismo punto de origen llamado vértice

del ángulo y cuya abertura puede medirse generalmente en grados o radianes.

Las diferentes clases de ángulos según su abertura, se clasifican de la forma:

ángulo recto: α = 900

ángulo agudo: α < 900

ángulo obtuso: α > 900

ángulo llano (Colineal): α = 1800

ángulo poligonal α = 3600

1. Ángulos opuestos por el vértice.

Dos ángulos que tienen un mismo vértice, y cuyos lados son los de uno la

prolongación del otro, reciben el nombre de ángulos opuestos por el vértice,

observe la figura 2.

Figura 2. Muestra la disposición geométrica de los ángulos ( ) yy ; opuestos por

el vértice.

En donde, se satisface:

== , (1)

2. Ángulos internos, alternos externos, correspondientes y adyacentes

suplementarios.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal o secante, se forman

distintos pares de ángulos con características particulares.

α

β

ϒ

Ϭ

3

Para ilustrar dichas propiedades, considere la figura 3.

Figura 3. Muestra la disposición geométrica de los ángulos internos, alternos externos,

correspondientes y adyacentes suplementarios.

En donde, se satisface:

== , Por ser ángulos alternos internos. (2)

== , Por ser ángulos alternos externos. (3)

==== ,,, Por ser ángulos correspondientes. (4)

.180,180

,180,180,180,180,180,180

00

000000

=+=+

=+=+=+=+=+=+

Por ser ángulos adyacentes suplementarios. (5)

Ejemplos.

a) Considere que los ángulos x y y son adyacentes, su suma es de 650 y su

diferencia de 180. ¿Calcular el valor de x y y ?

Solución.

065=+ yx (i)

018=− yx (ii)

α β

ϒ ϭ

ϵ φ

τ ψ

4

De la relación (i):

yx −= 065 (iii)

Sustituyendo la expresión (iii) en (ii):

00 18)65( =−− yy

Desarrollando la expresión anterior:

000 4765182 −=−=− y

Es decir:

03232

47 00

==y (iv)

Sustituyendo (iv) en (i), resulta:

00 650323 =+x

03410 =x

(v)

b) Considere que los ángulos x y y son suplementarios, uno de ellos es igual al

triple más 80. ¿Calcular el valor de x y y ?

Solución.

0180=+ yx (11)

083 += yx (21)

De la relación (11):

yx

−= 0180 (31)

Sustituyendo (31) en (21), resulta:

00 83180 +=− yy

Desarrollando la expresión anterior:

000 17281804 −=+−=− y

Es decir:

5

0

0

0

434

172=

−

−=y (41)

Sustituyendo (41) en (11), resulta:

00 18043 =+x

000 13743180 =−=x (51)

Teorema: “En cualquier triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a

1800 “.

Demostración.

Considere la siguiente figura geométrica:

a) ,1800=++ forman un ángulo llano.

b) , = por ser ángulos alternos internos.

c) , = por ser ángulos alternos internos.

Sustituyendo b) y c) en a), resulta:

0180=++ (6)

Ejemplo.

A

B

C

α

β

ϒ

φ ψ

6

A partir de la siguiente figura. ¿Calcule el valor de los ángulos β y x?

Solución:

Por ángulos suplementarios: β = 980

Por el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo:

3 x + 120 + 280 + 980 = 1800

Desarrollando:

3 x + 1380 = 1800

3 x = 1800 – 1380 = 420

00

143

42==x

Relación entre grados sexagesimales y radianes.

Sabemos que la longitud de una circunferencia es 2 veces el radio, es decir,

subtiende un ángulo de 2 radianes.

Es decir:

01802 =radianes (7)

Ejemplos.

280 β 820

3 x + 12

7

Considerando la siguiente equivalencia: 180

10 = radianes.

Convertir:

a) 300 en radianes.

( ) radianesradianeso 6180

300 =

b) 600 en radianes.

( ) radianesradianeso 3180

600 =

c) 1350 en radianes.

( ) radianesradianeso 4

3

1801350

=

d) 5

radianes en grados sexagesimales.

000

365

180180

55==

=

radianes

e) 5

3 radianes en grados sexagesimales.

( ) 0000

1085

540

5

1803180

5

3

5

3===

=

radianes

f) 9

radianes en grados sexagesimales.

000

209

180180

99==

=

radianes

Propiedades de los triángulos por la magnitud de sus ángulos.

I) Triangulo rectángulo.

8

Se dice que un triangulo es rectángulo, si uno de sus ángulos internos es recto. En

todos los triángulos rectángulos se les llaman se les denominan catetos a los

lados que forman el ángulo recto y el otro se llama hipotenusa. Una propiedad

geométrica importante que satisface este tipo de triangulo, es el teorema de

Pitágoras. (Observe figura 4).

Figura 4. Muestra la forma de un triangulo rectángulo.

II) Triangulo acutángulo.

Se dice que un triangulo es acutángulo, si tiene sus tres ángulos internos agudos.

(Observe figura 5).

Figura 5. Muestra la forma de un triangulo acutángulo.

III) Triangulo obtusángulo.

Se dice que un triangulo es obtusángulo, si tiene un ángulo interno obtuso.

(Observe figura 6).

A

B

C

A C

B

9

Figura 6. Muestra la forma de un triangulo obtusángulo.

IV) Triangulo oblicuángulo.

Se dice que un triangulo es oblicuángulo, si ningún ángulo interno es recto. Que

corresponde a los casos de los triángulos obtusángulo y acutángulo.

Triángulos congruentes.

Un triangulo es congruente con otro, o igual a otro, si tiene todos sus lados y

ángulos respectivos iguales a los lados y los ángulos del otro. El conjunto de

elementos que deben ser iguales da origen, a los siguientes criterios de igualdad

de triángulos.

El primer criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen dos lados y

el ángulo comprendido respectivamente igual, son iguales.

Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 7.

A C

B

A

B

C D

E

F B

A

10

Figura 7. Muestra dos triángulos FEDyCBA que tienen los lados

FDCAyEDBA == y los ángulos BA

= .

El segundo criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen un lado y

dos ángulos igualmente dispuestos, entonces, los triángulos son iguales.

Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 8.

Figura 8. Muestra dos triángulos FEDyCBA que tienen el lado EDBA = y los

ángulos

== DCyBA

.

El tercer criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen los tres lados

respectivamente iguales, los triángulos son iguales.

Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 9.

A

B

C D

E

F B

A

C

D

A

B

C D

E

F

11

Figura 9. Muestra dos triángulos FEDyCBA que tienen los lados EDBA = ,

FDCAyFECB ==

Triángulos semejantes.

Los triángulos semejantes tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados

proporcionales.

Tipos de triángulos semejantes.

Primer tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen dos

ángulos respectivamente iguales.

Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 10.

Figura 10. Muestra dos triángulos FEDyCBA , son semejantes si tienen los

ángulos BA

= y DC

= .

Segundo tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen

un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.

Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 11.

A

B

C D

E

F B

A

C

D

A

B

D

E

F B

A

12

Figura 11. Muestra dos triángulos FEDyCBA , son semejantes si tienen un ángulo

BA

= y ED

BA

FD

CA= .

Tercer tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen sus

tres lados proporcionales.

Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 12.

Figura 12. Muestra dos triángulos FEDyCBA , son semejantes si satisface:

FE

CB

ED

BA

FD

CA==

Teorema de Tales.

“Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o

prolongaciones otro triángulo que es semejante al triángulo dado”

Es decir:

C

A

B

C D

E

F

A

B

C

D

E

F

13

Demostración geométrica.

A partir de la siguiente construcción.

Dado que por construcción de la figura anterior: CDEáreaCBEárea =

entonces, se satisface.

( ) ( )2

2

2

1 hEDhBC=

(a)

En forma análoga: BDEáreaCBDárea = entonces, se satisface.

( ) ( )2

2

2

1 hEDhBC=

(b)

Y finalmente. EBAáreaCADárea = , entonces, se satisface.

( ) ( )2

1

2

2 hABhAD=

(c)

Dividiendo las relaciones (c) en (b), resulta:

BC

AB

ED

AD= (8)

Utilizando las propiedades del teorema de Tales de Mileto, se pueden obtener los

siguientes resultados geométricos particulares.

A

B

C

D

E h1

h2

14

Caso 1.

Considere los siguientes triángulos inscritos BADyCAE como se muestra en

la figura 13. .

Figura 13. Muestra dos triángulos inscritos BAEyCAE

Dado que los segmentos .CEIIBD

Entonces:

EA

AD

CA

AB=

(9)

Caso 2.

Considere los siguientes triángulos inscritos BADyCAE como se muestra en

la figura 14.

C

B

A

D

E

C

B

A

D E

15

Figura 14. Muestra dos triángulos inscritos CBDyCAE

Dado que los segmentos .AEIIBD

Entonces:

EA

BD

CE

CD=

(10)

Ejemplos.

I. Un palo de 2 m de alto, colocado verticalmente, proyecta una sombra de 5 m.

Simultáneamente, una torre proyecta una sombra de 45 m. ¿Qué altura tiene la

torre?

Solución.

Consideremos los lados como se ilustra en la siguiente figura.

De la relación (10), resulta:

H

m

m

m 2

45

5=

Por lo tanto:

H = 18 m

5 m

2 m

40 m

H = x

16

2. ¿Considerando la siguiente figura calcular el segmento BA y con segmentos

.DEIIBA ?

Solución.

Considere:

xBA = .

mCA 25= .

mDC 6= .

mED 5= .

Por semejanza de triángulos se establece:

DC

ED

CB

X=

Resolviendo:

( ) ( ) ( ) ( )m

m

m

m

mm

DC

CBEDX 8.20

6

125

6

255 2

====

Teorema de Pitágoras.

A

B C D

E

x

25 m

6 m

5 m

17

El teorema de Pitágoras indica: “Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de sus catetos”.

Demostración:

Considere el triángulo ABC como se muestra en la siguiente figura:

El triángulo ABC con lados DCBA ⊥ .

b

c

c

e= Proporcionalidad entre los lados del triángulo ABC . (i)

2cbe = A partir de la propiedad (i). (ii)

d

a

a

e= Proporcionalidad entre los lados del triángulo ABC . (iii)

2ade = A partir de la propiedad (iii). (iv)

22 acdebe +=+ Sumando las propiedades (ii) y (iv) (v)

( ) 22 acdbe +=+ Factorizando (v) (vi)

dbe += A partir de la figura. (vii)

222 ace += Sustituyendo (vii) en (vi) (viii)

Es decir:

A B

C

a

b

c

d

e

D

18

222 ace += (11)

Ejemplos.

1. Considere la siguiente figura:

¿Calcular h?

Solución.

20

8 h

h=

Resolviendo:

( ) ( ) 1608202 ==h

( ) ( ) 10410161016160 ====h

2. Considere la siguiente figura:

h

8 20

β/2

α

β

600

600

19

¿Calcular el valor de α y β?

Solución.

00 18006 =++ (a)

00 180902

=++

(b)

De (a), resulta:

−=−−= 000 12060180 (c)

Sustituyendo (c) en (b), resulta:

000

180902

120=++

−

000 180902

60 =++

000 301501802

=−=

060= (d)

Sustituyendo (d) en (c), resulta:

000 6060120 =−= (e)

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

Considere el sistema cartesiano en un plano como se muestra en la figura 15:

β

α 600

600

20

Figura 15. Muestra gráficamente la distancia entre los puntos P = (x1,y1) y Q = (x2,y2) en el

plano cartesiano X-Y.

Se define la distancia entre los puntos P y Q que representa la línea “gruesa” que

se observa en el grafico anterior y se denota por: d (P, Q) y/o II P Q II.

Utilizando el teorema de Pitágoras:

( ) ( ) ( )222 , YXQPd +=

Desarrollando:

( ) ( ) ( )22, YXQPd +=

( ) ( ) ( )212

2

12, yyxxQPd −+−= (12)

Y

X

X1 O X2

Y1

Y2

P = ( x1 , y1 )

Q = ( x2 , y2 )

Δ X = x2 – x1

Δ Y = y2 – y1

21

La relación (12), es conocida como la fórmula utilizada para determinar la distancia

entre dos puntos en el plano cartesiano.

Ejemplos.

I) Si el punto P = (1, a) y su distancia al punto Q = (6, 7) es 13. ¿Determine el valor

de a?

Solución:

( ) ( ) ( )212

2

12, yyxxQPd −+−=

Sustituyendo:

( ) ( )2271613 a−+−=

( ) ( )227513 a−+=

( ) ( )214492513 aa +−+=

2147413 aa +−=

21474169 aa +−=

01495 2 =+−− aa

Resolviendo la anterior ecuación cuadrática, resulta:

191 =a

52 −=a

Por lo tanto:

P1 = (1,19)

P2 = (1, -5)

II) Si el punto P = (-1, y) y su distancia al origen es la mitad de su distancia al

punto Q = (1, 3). ¿Determine el valor de y?

Solución:

22

( )( )2

,0,

QPdPd =

Sustituyendo:

( ) ( ) ( ) 22210010, yyPd +=−+−−=

( ) ( ) ( )22311, −+−−= yQPd

( ) yyyyQPd 613964, 22 −+=+−+=

Sustituyendo valores en la primera expresión, resulta:

2

6131

2

2yy

y−+

=+

Desarrollando:

0963 2 =−+ yy

Resolviendo la anterior ecuación cuadrática, resulta:

11 =y

32 −=y

Por lo tanto:

P1 = (-1,1)

P2 = (-1, -3)

Funciones trigonométricas.

Las razones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo cambian

de acuerdo al ángulo de que se trate y dichas razones son funciones del ángulo α.

Estas razones se les llaman funciones trigonométricas.

Sea el triángulo rectángulo ABC , con ángulos agudos

y . Como se observa

en la figura 16.

23

Figura 16. Muestra gráficamente el triángulo rectángulo ABC , con ángulos agudos

y .

En el triángulo rectángulo ABC .Se denota, el lado b, como el cateto opuesto al

ángulo y adyacente al ángulo

, el lado a, se denota como el cateto opuesto al

ángulo

y adyacente al ángulo

. El lado c corresponde a la hipotenusa.

Las proporciones que resultan de comparar los lados del triangulo rectángulo

están definidos para el ángulo , de la forma:

c

b

hipotenusa

opuestocatetosen == (i)

c

a

hipotenusa

adyacentecateto==cos (ii)

a

b

adyacentecateto

opuestocateto==tan (iii)

a

b

c

α

β

24

b

a

opuestocateto

adyacentecateto==cot (iv)

a

c

adyacentecateto

hipotenusa==sec (v)

b

c

opuestocateto

hipotenusa==csc (vi)

Ejercicios:

A partir de las definiciones muestre las siguientes identidades trigonométricas.

a) 1cos = sen

Solución:

1csc =

=

b

c

c

bsen

b)

costan

sen=

Solución:

costan

sen

c

a

c

b

ca

cb

a

b=

===

c) 1cos22 =+ sen

Solución:

1cos2

2

2

22

2

2

2

222

22 ==+

=+=

+

=+

c

c

c

ab

c

a

c

b

c

a

c

bsen

d) 22 csccot1 =+

Solución:

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2 csc1

111cot1 =

==

+=+=+=

+=+

b

c

b

c

b

ab

b

a

b

a

b

a

25

La función seno de x, se denota por ( ) xsenxf = , y se dice que es una función

impar dado que satisface la siguiente propiedad:

( ) ( )xsenxsen −=− (13)

La función coseno de x, se denota por ( ) xxf cos= , y se dice que es una función

impar dado que satisface la siguiente propiedad:

( ) ( )xx coscos =−

(14)

Las funciones ( ) xsenxf = y ( ) xxf cos= son periódicas ya que satisfacen:

( ) ,....2,1,02 == nnxsenxsen

(15)

( ) ,....2,1,02coscos == nnxx

(16)

Las cuatro funciones trigonométricas restantes se pueden expresar en términos de

las funciones ( )xsen y ( )xcos , de la forma:

( )x

xsenx

costan =

(17)

( )xsen

xx

coscot =

(18)

( )x

xcos

1sec =

(19)

( )xsen

x1

csc =

(20)

Funciones hiperbólicas.

Corresponden a la combinación de funciones exponenciales. Estas combinaciones

se definen:

2

xx eexhsen

−−=

(21)

2cos

xx eexh

−+=

(22)

26

xx

xx

ee

ee

xh

xhsenxh

−

−

+

−==

costan

(23)

xx

xx

ee

ee

xhxh

−

−

−

+==

tan

1cot

(24)

xx eexhxh

−+==

2

cos

1sec (25)

xx eexhsenxh

−−==

21csc (26)

Construcción geométrica para algunos valores de los lados y ángulo de una

función trigonométrica particular.

Considere el triangulo equilátero de lado de 2 unidades como se muestra en la

figura 17.

Figura 17. Muestra un triángulo equilátero con lado de 2 unidades.

En el caso particular del triangulo de la figura 17, resulta:

2

360 ==

hipotenusa

opuestocatetosen o

2

160cos 0 ==

hipotenusa

adyacentecateto

30o

60o 60o

2

1

√3

27

360tan ==adyacentecateto

opuestocatetoo

3

160cot ==

opuestocateto

adyacentecatetoo

260sec 0 ==adyacentecateto

hipotenusa

3

260csc ==

opuestocateto

hipotenusao

En forma análoga:

2

130 ==

hipotenusa

opuestocatetosen o

2

330cos 0 ==

hipotenusa

adyacentecateto

3

130tan ==

adyacentecateto

opuestocatetoo

330cot ==opuestocateto

adyacentecatetoo

3

230sec 0 ==

adyacentecateto

hipotenusa

230csc ==opuestocateto

hipotenusao

A continuación considere un triangulo rectángulo isósceles de los catetos igual a 1

unidad, como se observa en l figura 18.

1

1

√2

45o

45o

28

Figura 18. Muestra un triángulo rectángulo isósceles con catetos de 1 unidad.

En el caso particular del triangulo de la figura 18, resulta:

2

145 ==

hipotenusa

opuestocatetosen o

2

145cos 0 ==

hipotenusa

adyacentecateto

145tan ==adyacentecateto

opuestocatetoo

145cot ==opuestocateto

adyacentecatetoo

245sec 0 ==adyacentecateto

hipotenusa

260csc ==opuestocateto

hipotenusao

Considerando las relaciones de la mitad del ángulo dadas por:

2

cos1

2

−=

sen

(27)

2

cos1

2cos

+=

(28)

Las ecuaciones de suma de ángulos:

( ) coscos /// sensensen +=+

(29)

( ) sensen /// coscoscos −=+ (30)

En el caso / = :

( ) cos22 sensen =

(31)

( ) 22cos2cos sen−=

(32)

29

Ejemplos

a) ¿Calcular sen 15o?

Solución.

Dado que:2

330cos =o y la ecuación (27), resulta:

2588.04

32

2

2

32

2

2

31

15 −

=

−

=

−

=osen

b) ¿Calcular cos 15o?

Dado que:2

130 =osen y la ecuación (28), resulta:

9659.04

32

2

2

32

2

2

31

15cos +

=

+

=

+

=o

c) ¿Calcular cos 45o?

Solución.

A partir de la ecuación (30), resulta:

( ) ooooooo sensen 301515cos30cos1530cos45cos −=+=

7071.02

1

4

32

4

32

2

345cos

−−

+

=o

d) ¿Calcular sen 45o?

A partir de la ecuación (29), resulta:

( ) ooooooo sensensensen 30cos1515cos30153045 +=+=

7071.02

3

4

32

4

32

2

145

−+

+

=osen

30

e) ¿Calcular sen 75o?

Solución.

A partir de la ecuación (29), resulta:

( ) ooooooo sensensensen 60cos1515cos60156075 +=+=

Sustituyendo valores:

9659.02

1

4

32

4

32

2

375

−+

+

=osen

f) ¿Calcular cos 120o?

Solución.

A partir de la ecuación (32), resulta:

( ) ( )ooo sen 6060cos120cos 22 −=

2

1

4

2

4

3

4

1

2

3

2

1120cos

22

−=−

=−=

−

=o

g) ¿Calcular sen 120o?

Solución.

A partir de la ecuación (31), resulta:

( ) ( )ooo sensen 60cos602120 =

8660.02

3

2

1

2

32120 =

=osen

h) ¿Calcular tan 120o?

Solución.

A partir de la ecuación (17), resulta:

o

oo sen

120cos

120120tan =

i) ¿Calcular sec 45o?

31

Solución.

A partir de la ecuación (19), resulta:

o

o

45cos

145sec =

4142.1

2

1

4

32

4

32

2

3

145sec

−−

+

=o

Bibliografía.

- Ress P., Sparks F.; Trigonometría, Reverte, 2005.

- Fuentelabrada S., Fuentelabrada I.; Geometría y trigonometría, Mc. Graw-Hill,

2013.