Texto Capitulo II (Teoría de colas)

TABLA DE CONTENIDO

1 TEORIA DE COLAS O LINEA DE ESPERA........................................................................................................1

1.1 INTRODUCCION .........................................................................................................................................11.2 DEFINICION DE TERMINOS .........................................................................................................................31.3 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE.......................................5

1.3.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE .........................................51.3.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE .......6

1.3.2.1 Ejemplo 1 .................................................................................................................................................... 71.3.2.2 Ejemplo 2 .................................................................................................................................................... 81.3.2.3 Ejemplo 3 .................................................................................................................................................... 9

1.4 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE.................................101.4.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE..................................101.4.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE 11

1.4.2.1 Ejemplo 1 .................................................................................................................................................. 111.4.2.2 Ejemplo 2 .................................................................................................................................................. 131.4.2.3 Ejemplo 3 .................................................................................................................................................. 14

1.5 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION FINITA ................................................................151.5.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION FINITA CANAL SIMPLE ...........................................151.5.2 MODELO MATEMATICO: POBLACION FINITA CANAL MULTIPLE......................................161.5.3 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION FINITA .....................................17

1.5.3.1 Ejemplo 1 .................................................................................................................................................. 171.5.3.2 Ejemplo 2 .................................................................................................................................................. 20

TECNICAS DE SIMULACION

1

1 TEORIA DE COLAS O LINEA DE ESPERA

1.1 INTRODUCCION

De todos los conceptos tratados con las técnicas básicas de investigación operacional, la teoríade colas aparece como la de mayor aplicación potencial y sin embargo es quizás la más difícilde aplicar. Todos los negocios, gobierno, industria, escuelas, hospitales, tienen problemas decolas (sistemas de servicios).

El objetivo principal de analizar estos tipos de sistemas es el de obtener su máximorendimiento.

Sistema de Colas: Es un sistema en el que los elementos (o usuarios) intentan utilizar unrecurso, para lo que llegan a un punto de servicio, esperan a que les corresponda el uso delmismo (en una cola), utilizan dicho recurso y abandonan el sistema.

Se pueden considerar varios tipos de problemas de gestión relacionados con los sistemas decolas, estos son:

Problemas de análisis: Se precisa conocer si, dado un sistema, éste está funcionandocorrectamente.

Problemas de diseño: Se quieren diseñar las características de un sistema que satisfagaun objetivo o meta global.

Un sistema de colas puede ser descrito en función de seis partes:

1. Proceso de llegada: Un proceso estocástico que describe cómo llegan los elementos alsistema desde el medio ambiente.

2. Proceso de servicio: Un proceso estocástico que describe la longitud del tiempo queun servidor dedicará a una tarea.

3. El número de servidores y sus tasas de servicio.

4. La disciplina de la cola: Las reglas mediante las cuales se decide qué trabajo o trabajosserán atendidos. Dependiendo de si el servicio es interrumpible o no, esto se puede daren el momento de finalización de un servicio o durante el propio tiempo de servicio.

5. Capacidad del sitio de espera.

6. Población de posibles usuarios.


2

Existe una forma de representar los diferentes tipos de problemas de colas existentes, llamadaNotación de Kendal A/B/c/n/p, en donde:

A y B representan la distribución de llegadas y servicios respectivamente, c el número deservidores, n la capacidad del sitio de espera y p la población. Si n y p no aparecen sesuponen ambos ∞ (infinito).

Proceso de llegadas: El símbolo A describe la distribución con los tiempos entrellegadas:

o D = tiempos fijos entre llegadas.

o M = tiempos entre llegadas aleatorios con distribución exponencial.

o G = tiempos entre llegadas aleatorios con una distribución general (distinta dela exponencial).

Proceso de servicio: El símbolo B describe la distribución con los tiempos de servicio:

o D = tiempos de servicio fijos.

o M = tiempos de servicio aleatorios con distribución exponencial.

o G = tiempos de servicio aleatorios con una distribución general (distinta de laexponencial).

En la figura 2.1 se muestra los componentes de un sistema de colas.

Figura 1.1 Componentes de un sistema de colas

Los clientes llegan a la cola y esperan hasta que les proporcionen el servicio, o si el sistemaestá vacío, el cliente que llega puede ser atendido inmediatamente. Después de que el servicioes realizado el cliente abandona el sistema.

La tasa a la cual llegan los clientes para ser atendidos se denomina tasa de servicio (lambda). Como su nombre lo indica, esta es una tasa cuyas unidades son clientes por unidadde tiempo (c/hora, c/día, etc.). La tasa a la cual cada unidad de servicio puede atender alcliente se denomina tasa de servicio (mu) y está definida también en clientes por unidad detiempo (c/hora, c/día, etc.).


3

La tasa de servicio representa la máxima capacidad de servicio suponiendo que la unidad deservicio no esta ociosa. Estas tasas son valores promedios que normalmente se representancon la distribución de Poisson.

Normalmente se debe encontrar la tasa de servicio adecuada para la tasa de llegada de losclientes.

En la figura 2.2 se muestran los tipos de colas existentes.

Figura 1.2 Tipos de colas

1.2 DEFINICION DE TERMINOS

Cliente: Unidad que llega requiriendo la realización de algún servicio, pueden serpersonas, maquinas, partes, etc.

Cola (línea de espera): Número de clientes que esperan ser atendidos.

Canal de servicio: Es el proceso o sistema que está efectuando el servicio para elcliente. Este puede ser simple o multicanal. El símbolo k indicará el número de canalesde servicios.


4

Tasa de llegada: Tasa (clientes por periodo de tiempo) a la cual llegan clientes paraser atendidos. El valor medio de esta tasa es.

Tasa de Servicio: Tasa (clientes por unidad de tiempo) a la cual un canal de serviciopuede suministrar el servicio requerido por el cliente. El valor medio de esta tasa es.

Prioridad: Método de decidir cuál será el próximo cliente atendido. La suposiciónmás frecuente es FIFO.

Tamaño de la Población: Tamaño del grupo que proporciona los clientes. Si hayunos pocos clientes potenciales, la población es finita. Si hay un gran número declientes potenciales, por ejemplo entre 30 y 50, o más, generalmente se dice que lapoblación es infinita. Otra regla empírica es, la población es infinita cuando lapoblación es lo suficientemente grande como para significar que la llegada de uncliente no afecta apreciablemente la probabilidad de otra llegada.

Distribución de Tasa de Llegada: Es la distribución de la tasa de llagada de losclientes al sistema de servicio. La suposición más frecuente es la distribución dePoisson y tiempos entre llegadas exponenciales.

Distribución de Tasa de Servicio: Es la distribución de la tasa de servicio de loscanales de servicios. La suposición más frecuente es la distribución de Poisson ytiempos de servicio exponenciales.

Lq, número esperado de clientes en la cola: Número estimado de clientes que esperanser atendidos.

L, número esperado de clientes en el sistema: Número estimado de clientes ya seaesperando en la línea y/o siendo atendidos.

Wq, tiempo esperado en la cola: Tiempo estimado que emplea un cliente esperando enlínea.

W, tiempo esperado en el sistema: Tiempo estimado que emplea un cliente esperandomás el que emplea siendo atendido, Wq + 1/.

Ln, número esperado en la cola no vacía: El número promedio o número estimado declientes que esperan en la línea excluyendo aquellos periodos en los cuales la líneaesta vacía.

Wn, tiempo estimado de espera en una cola no vacía: Tiempo estimado que un clienteespera en una línea en el caso de que decida esperar. Es el valor promedio de lostiempos de espera de todos los clientes que entran a la cola cuando el canal de servicioestá ocupado. Los clientes que llegan cuando el canal está vació tienen un tiempo deespera cero, y estos valores no se promedian en Wn.


5

Usando estos términos podemos definir los siguientes modelos de problemas de colas:

Modelos de Colas

Tamaño de la Población Infinita Finita

Número de Canales Simple Múltiple Simple Múltiple

Realmente el modelo del canal simple es un caso especial del modelo multicanal. Además deesta simple subdivisión la distribución de tiempos de llegada y/o tiempos de servicio puedevariarse para dar lugar a un árbol aún más grande. Aunque es este texto sólo se trata ladistribución de Poisson, otros tipos comunes son la distribución de Erlang y las de períodosfijos o constantes. La inclusión de estas dos distribuciones aumenta el conjunto de cuatromodelos hasta doce.

1.3 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANALSIMPLE

1.3.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION INFINITA CANAL SIMPLE

Según la Notación de Kendal podemos denotar al modelo de la siguiente manera: M/M/1.

Quizás el modelo de colas más fácil de resolver es el de una cola de canal simple que daservicio a una población infinita. Existen algunas ecuaciones básicas que pueden usarse paraanalizar esta clase de problemas.

1. La probabilidad de hallar el sistema ocupado o utilización del sistema:

donde, = utilización del sistema = tasa de llegada, unidades/periodo de tiempo = tasa de servicio, unidades/periodo de tiempo

Las siguientes ecuaciones son válidas sólo cuando / < 1 (condición de estabilidad delsistema).

2. La probabilidad P0 de hallar el sistema vacío u ocioso:

P0 1


6

3. La probabilidad Pn de hallar exactamente n clientes en el sistema:

n

n PP

0 , considere que: 10

nnP

4. El número esperado Lq de clientes en la cola:

Lq

2

( )

5. El número esperado L de clientes en el sistema:

L

6. El tiempo esperado Wq en la cola por los clientes:

Wq

( )

7. El tiempo promedio esperado W en el sistema por los clientes:

W 1

8. El número esperado Ln de clientes en la cola no vacía:

Ln

9. El tiempo esperado Wn en la cola para colas no vacías por los clientes:

Wn 1

1.3.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITACANAL SIMPLE

A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas de colas con población infinitacanal simple.


7

1.3.2.1 Ejemplo 1

Una máquina duplicadora para uso de oficina es utilizada y manejada por el personal de laoficina que necesita obtener copias, principalmente secretarias. Puesto que el trabajo que debeduplicarse varía en magnitud (número de páginas del original) y en el número de copiasrequeridas, la tasa de servicio está aleatoriamente distribuida, pero se aproxima a unadistribución de Poisson, que tiene una tasa media de servicio de 10 trabajos por hora.Generalmente los requerimientos de utilización son aleatorios durante las 8 horas de trabajodiario pero llegan a una tasa de 5 por hora. Algunas personas han observado queocasionalmente se forma una línea de espera y han objetado la política de mantener una solaunidad. Si el tiempo de una secretaria está evaluado en $ 3.50, haga un análisis paradeterminar:

a. Utilización de equipo.

b. Porcentaje de tiempo que una llegada tiene que esperar.

c. Tiempo promedio en el sistema.

d. Costo promedio ocasionado por esperar y hacer funcionar la máquina.

Resolución:

La tasa de llegada es 5 por hora, y la tasa de servicio es 10 por hora.

a. La utilización de equipo es .

50,010

5

Por lo tanto el equipo se utiliza un 50 % del tiempo.

b. El porcentaje de tiempo que una persona que llega tiene que esperar essimplemente el porcentaje de tiempo que el equipo está ocupado, esto es, 50 %.

c. El tiempo promedio W en el sistema es:

chW /20,05

1

510

11

En promedio cada persona que llega gasta 0,20 horas esperando y procesando eltrabajo.


8

d. El costo promedio es:

Costo por día = Número de trabajos procesados por día costo promedio portrabajo

Costo promedio por trabajo = Tiempo promedio por trabajo * $/hora= W($3,50/hora)= 0,20(3,50)

Costo por día = 8(5)(0,20)(3,50) = $28 por día

1.3.2.2 Ejemplo 2

Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en el terminal decarga. Se cargan camiones de la compañía y camiones de distribuidores independientes. Lascompañías independientes se quejan de que algunas veces deben esperar en la línea y perderdinero por mantener esperando al conductor y al camión. Ellos han solicitado a la refineríadisponer de un segundo terminal de carga o descontar un precio equivalente al tiempo deespera. Se han acumulado los siguientes datos.

Tasa promedio de llegada (para todos los camiones) = 2c/horaTasa promedio de servicio = 3c/hora.

El 30% de todos los camiones son independientes. Suponiendo que estas tasas aleatorias tieneuna distribución de Poisson, determinar:

a. La probabilidad que un camión tenga que esperar.

b. El tiempo de espera de un camión.

c. El tiempo estimado que los camiones independientes esperan por día.

Resolución:

a. La probabilidad de que un camión tenga que esperar por servicio es el factor deutilización.

66,03

2

b. El tiempo de espera de un camión es:

chWn /11

1

23

11


9

c. El tiempo total estimado que los camiones independientes esperan por día es:

Camiones por día * % de independientes * nW = (2*8)(0,30)(0,67)(1) = 3,2 h/día.

Este resultado se puede obtener por otro camino:

Tiempo esperado = Camiones/día * % independientes * tiempo estimado deespera/camión

chWq /2,3)23(3

2)3,0(16)3,0(16)3,0)(8*2(

1.3.2.3 Ejemplo 3

Una grúa desplaza objetos de una máquina a otra y se utiliza cada vez que la máquina requierecarga o descarga. La demanda de servicios es aleatoria. Los datos tomados del registro detiempos entre llamadas de servicio siguen una distribución exponencial, con una media de unallamada cada 30 minutos. De manera semejante, el tiempo real de servicio de carga o descargatoma un promedio de 10 minutos. Si el tiempo de máquina está evaluado en $8,50 por hora,¿cuánto vale el tiempo perdido por día?

Resolución:

En primer lugar se deben ordenar los valores de y . Ambos son tasas, esto es, unidades porperíodo de tiempo, mientras que los datos están dados en función de tiempo por unidad. Siuna llamada para solicitar servicio ocurre cada 30 minutos en promedio, esto es una tasa dedos llamadas por hora. Análogamente, si se emplean 10 minutos para atender un cliente comopromedio, la tasa de servicio es de 6 por hora. Por lo tanto = 6 unidades/hora. Tambiénpuede demostrarse que si los tiempos de servicio (o tiempos de llegada) están distribuidosexponencialmente, la situación es equivalente a una distribución de Poisson que tiene comobase la tasa de servicio (o de llegada).

El tiempo perdido por máquina es el tiempo promedio W del sistema.

llamadahorasW /25,04

1

26

11

La demanda diaria de servicio, suponiendo un día de 8 horas, es 8 veces la demanda por hora.

Demanda diaria = 8 = 8(2) = 16 llamadas para solicitar servicio/día.

Puesto que cada llamada requiere un tiempo de paralización promedio de 0,25 horas,

Costo total/día= ($8,50/hora)(0,25 horas/llamada)(16 llamadas/día) = $34/día


10

k

k

kn

Pk

kn

n

n

!

1

!

1

1

1

0

0

1.4 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITA CANALMULTIPLE

1.4.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION INFINITA CANAL MULTIPLE

Según la Notación de Kendal podemos denotar al modelo de la siguiente manera: M/M/k.

Se puede deducir expresiones semejantes para el tiempo en el sistema, etc., para un problemade cola multicanal siempre y cuando se suponga una población infinita. Realmente estasecuaciones son más generales que las dadas en el problema de canal simple ya que ellaspueden reducirse al caso de canal simple haciendo k = 1 y simplificando. Condición deestabilidad: /(k) < 1. Enseguida se presentan las ecuaciones básicas:

1. La probabilidad P0 de hallar vacío el sistema:

Donde k = número de canales de servicio. = tasa de llega de clientes. = tasa de servicio de un canal simple (se supone que todos los son iguales).

2. La probabilidad Pn de hallar exactamente n clientes en el sistema:

n

n n

PP

!0 Para n = 0,1, 2,…, k

0!

1P

kkP

n

knn

Para kn

3. La probabilidad Pk de que una unidad que llega tenga que esperar (probabilidad de quehaya k o más unidades en el sistema):

0!

1P

k

k

kP

k

k

, considere:

kn

n

k

nn

nn PPP

1

00

1 y kkn

n PP


02!1

Pkk

Lk


11


2

0

!1

kk

PL

k

q

6. El tiempo esperado Wq en la cola por los clientes:

2

0

!1

kk

PW

k

q

7. El tiempo esperado W en el sistema por los clientes:

1

!1 20

kk

PW

k

1.4.2 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION INFINITACANAL MULTIPLE

A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas de colas con población infinitacanal múltiple.

1.4.2.1 Ejemplo 1

Se ha objetado la situación presentada en el ejemplo de la máquina duplicadora del epígrafe2.3.2.1 debido al resultado del último análisis. Se está considerando la posibilidad de instalardos máquinas o arrendar una máquina más grande. Enseguida se resumen los datos:

Tasa de servicio ,por hora

Costo diario dearrendamiento

Máquina pequeñaMáquina grande

1015

$5$10

Resolución:

El costo total diario es el costo de arrendamiento más el costo del tiempo perdido. Por lotanto, el costo total de una máquina pequeña se puede determinar a partir de los cálculosanteriores:

CT = (1 pequeña) = $5 (arrendamiento) + $28 (tiempo) = $ 33 diarios.

El costo de una máquina grande es:

mhgrandeW /10.010

1

515

11


12

CT (grande) = $10 (arrendamiento) + (8*5)(0,10)(3,50) = $24 por día.

El costo de dos máquinas pequeñas seria:

Para calcular el tiempo en el sistema de dos máquinas pequeñas, primero se calcula P0 usandola ecuación:

k

k

kn

Pkkn

n

n

!1

!1

1

1

0

0

5)10(2

)10(2

10

5

!2

1

10

5

!

1

1

1

0

0

kn

n

n

n

P

1520

5,021

5,011

5,0!0

11

2100

P

600,0167,05,01

10

P

Po = 0.60

El tiempo esperado W en el sistema es:

1

!1 20

kk

PW

k

Sustituyendo tenemos que: W = 0.107

Por lo tanto, el costo total diario es la suma del costo de arrendamiento más el costo deltiempo perdido:

CT = 2 (5) + (8*5)(0,107)(3,50) = $24,98 por día

Esto indica que sería ligeramente menos costoso utilizar una máquina más grande.

Si la ventaja de colocar las dos máquinas en diferentes lugares disminuye el tiempo parallegar a cada máquina, probablemente sea mejor arrendar dos máquinas pequeñas.


13

1.4.2.2 Ejemplo 2

Repetir el ejemplo de la refinería explicado en el epígrafe 2.3.2.2 usando dos canales de igualtamaño.

Resolución:

a. La probabilidad de que un camión tenga que esperar es igual a la probabilidad Pk

de encontrar ya dos o más camiones en el sistema.

2)3(2)3(2

32

!21

32

!1

1

1

0

0

kn

n

n

n

P

50,0

26

667,0

2

1

3

21

1

20

P

16,050,0

232

32

3

2

!2

12

2

PPk

La probabilidad de que un camión tenga que esperar es 0,16.

b. El tiempo de espera de un camión es:

2

0

!1

kk

PW

k

q

042,0

2)3(21

50,032

3

2

2

qW

Se observa que Wq es el tiempo estimado que un camión tiene que esperar.Esta no es una probabilidad condicional como Wn, por lo tanto debe dividirsepor la probabilidad de que un camión tenga realmente que esperar.

2625,016,0

042,0

k

qn P

WW

c. El tiempo total estimado que los camiones independientes tienen que esperardiariamente es:

Tiempo Total = (2*8)(0,3)(0,16)(0,2625) = 0,202 horas/día

Tiempo Total = 16(0,3 Wq) = 16(0,3)(0,042) = 0.202 horas/día


14

1.4.2.3 Ejemplo 3

Una compañía telefónica está planeando la instalación de casillas telefónicas en un nuevoaeropuerto. Se ha establecido la estrategia de que una persona no tenga que esperar más del 10porciento de las veces que intente usar un teléfono. Se estima que la demanda de uso tiene unadistribución de Poisson con un promedio de 30 por hora. La llamada telefónica promediotiene una distribución exponencial con un tiempo medio de 5 minutos. ¿Cuántas casillastelefónicas se deben instalar?

Resolución:

Pk < 0.10, = 30c/h, = 12c/h

60

51

Cuando k = 2, 2=24, deben instalarse por lo menos tres teléfonos para satisfacer la demandade servicio y la condición de estabilidad del sistema.

Ensayar con k = 5:

30)12(5)12(5

1230

!51

1230

!1

1

515

0

0

n

n

n

n

P

0801,0

30

605,2

!5

1

!4

5,2

!3

5,2

!2

5,25,21

1

5432

13,00801,0

30125

1255,2

!5

1 55

PPk

Esto da una probabilidad de 0,13 de que un cliente tenga que esperar.

Ensayar con k = 6:

Po = 0.08162

Pk = P6 = 0.047 P6 < 0.10

Por tanto si se instalan 6 teléfonos la probabilidad de que un cliente tenga que esperar es0,047. Ya que este valor es menor que 0.10, este es el número mínimo que satisface la políticade la compañía.


15

1.5 ANALISIS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION FINITA

En algunos casos, el número de clientes potenciales es pequeño. Si este valor es tan pequeñoque la llegada de un cliente para ser atendido o la terminación de un simple servicio afecta laprobabilidad de futuras llegadas, entonces la suposición de una población infinita no es válida.Por ejemplo, si un operador atiende tres máquinas y cada una requiere atención a intervalosaleatorios, las maquinas (clientes) provienen de una población finita. Evidentemente laprobabilidad de llegada de un cliente varía con un cambio de una sola llegada (el clientereingresa a la población). Como regla empírica, si la población es menor que 30 deben usarselas ecuaciones correspondientes a una población finita.

Aunque los conceptos son iguales a los usados con una población infinita algunos términos yecuaciones requeridos en el análisis son diferentes. Estos cálculos requieren considerabletiempo, pero si se dispone de un computador esta operación no requiere de un tiempo grande.La probabilidad de una llegada varía según el número de clientes disponibles para entrar alsistema. Si se define M como la población total de clientes y n como el número de clientesque ya están en el sistema de cola, cualquier llegada debe provenir de los M-n que aún noestán en el sistema. Por tanto, conociendo la probabilidad de una llegada individual es posibleexpresar la probabilidad de una llegada. Si 1/ es el tiempo entre requerimientos de serviciode una unidad, esto es, el tiempo medio entre llegada de un cliente dado, entonces es laprobabilidad de que un cliente requiera servicio durante el período de tiempo t. Se observanuevamente que esto supone que la probabilidad es independiente del período de tiempo y porlo tanto que tiene una distribución de Poisson. Si es la probabilidad de que una unidaddeterminada requiera servicio y hay M–n clientes que no están en el sistema de cola, entoncesla probabilidad de que un cliente requiera de servicio es (M – n) . Se observa que estotodavía no es importante. A continuación se presentan las ecuaciones de estos problemas.

1.5.1 MODELO MATEMATICO: POBLACION FINITA CANAL SIMPLE

Según la Notación de Kendal podemos denotar al modelo de la siguiente manera:M/M/1/M/M.


Mn

n

n

nM

MP

0

0

!!

1

Donde M es el número de clientes en la población (tamaño de la población).

2. La probabilidad Pn de hallar n clientes en el sistema:

0!

!P

nM

MP

n

n

, considere que: 10

M

nnP


16


Mn

nn PMnPL

001


01 PMLq

1.5.2 MODELO MATEMATICO: POBLACION FINITA CANAL MULTIPLE

Según la Notación de Kendal podemos denotar al modelo de la siguiente manera:M/M/k/M/M.

En este caso se supone que el número k de canales es mayor que 1, por lo tanto 1 < k M.


2. La probabilidad Pn de hallar n clientes en el sistema:

Donde 0 n k

n

n nnM

MPP

!!

!0

Donde k n M

n

knn kknM

MPP

!!

!0

Observe que n no puede ser mayor que M.

considere que: 10

M

nnP

Mn

kn

n

kn

kn

n

n

kknM

M

nnM

MP

!!!

!!!

11

0

0


17


1

0

1

0

1kn

n

kn

nn

Mn

knnn PkPknnPL


Mn

knnq PknL

La aplicación de estas ecuaciones a problemas de colas es semejante a la del caso depoblación infinita. Algunos problemas requieren una formulación ligeramente diferente yaque el propósito puede ser la determinación del tamaño óptimo de una población, en lugar dela tasa de servicio o del número de canales.

1.5.3 EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE COLAS CON POBLACION FINITA

1.5.3.1 Ejemplo 1

Un mecánico atiende cuatro máquinas, para cada una, el tiempo medio entre requerimientosde servicio es 10 horas y se supone que tiene una distribución exponencial. El tiempo dereparación tiende a seguir la misma distribución y tiene un tiempo medio de 2 horas. Cuandouna máquina queda en reparación, el tiempo perdido tiene un valor de $20 por hora. Elservicio del mecánico cuesta $50 diarios.

a. ¿Cuál es el número esperado de máquinas en operación?

b. ¿Cuál es el costo esperado del tiempo perdido por día?

c. ¿Sería conveniente tener dos mecánicos para que cada uno atendiera sólo dosmáquinas?

Resolución:

a. Para calcular el número esperado de máquinas en operación, primero se determina y.

1.0101

, 5,021


18

Ahora se calcula P0:

4.0

5,01,0

!4!4

14

0

0

n

n

n

n

P

El número esperado de máquinas que no funcionan en el sistema es:

134)4,01(1,0

5,04 L

El número esperado de máquinas que funcionan es: M-L = 4-1 = 3.

b. El costo esperado del tiempo perdido por día se encuentra como se indica acontinuación. Si se supone un día de 8 horas el tiempo total perdido es:

8 x Número esperado de máquinas que no funcionan = 8 (1) = 8 horas/día

Costo = ($20/hora) (8horas/día) = $160/día.

c. Comparar con el caso en el cual dos mecánicos atienden dos máquinas cada uno.

Comparar ahora con M = 2.

Esto supone que cada mecánico y sus máquinas constituyen un sistema separadoindependiente.

Determinar P0:

68,048,1

1

)2,0)(1(2)2,0(21

120

P

El número esperado de máquinas en el sistema (por mecánico) es:

4,068,011,0

5,02 L

El tiempo perdido esperado por mecánico es:

(8)(0,4) = 3,2 horas/día

Tiempo total perdido/día = 2(3,2) = 6,4 horas/día

Costo total = 2($50/hombre) + (6,4 horas/día)($20/día)= 100 + 128 = $228/día

Puesto que 228 > 160 + 50, no se justifica emplear dos hombres de la forma planteada.


19

Como ejercicio puede compararse lo anterior con un sistema similar pero que tenga cuatroclientes (máquinas) y dos canales (mecánicos).

M = 4, k = 2

4

22

12

0

0

5,01,0

2!2)!4(!4

5,01,0

!)!4(!4

1n

n

n

n

n

n

n

nnn

P

Ahora se determina el número esperado L de clientes en el sistema:

1

0

1

0

1kn

n

kn

nn

Mn

knnn PkPknnPL

12

0

4

2

12

0

12)2(n

n

n

n

n

nnnn PPnnP

L = 0P0 + 1P1 + (2 - 2)P2 + (3 – 2)P3 + (4 - 2)P4 + 2(1 - P0 – P1)

Esto significa que deben calcularse P1, P2, P3 y P4.

Se observa que para P1 y P2, n k,

n

n nnM

MPP

!)!(

!0

38,02,0!1!3

!448,0 1

1 P

12,02,0!2!2

!448,0 2

2 P

Para P3 y P4, k n M,

n

knn kknM

MPP

!)!(

!0

02,02,02!2!1

!448,0 3

13 P

48,009,2

1

2,02!2!0

!42,0

2!2!1!4

2,02!2!2!4

2,0!1!3!4

2,0!0!4

!41

4320

10


20

002,02,02!2!0

!448,0 4

24 P

Por tanto:

L = 0(0,48) + 1(0,38) + 0(0,12) + 1(0,02) + 2(0) + 2(1 – 0,48 – 0,38)L = 0 + 0,38 + 0 + 0,02 + 0 + 2,28L = 0,68

El tiempo perdido por día de 8 horas es 8(0,68) = 5,44 horas/día

Costo total = (2 hombres)(50) + ($20/hora)(5,44) = 100 + 108,80 = $208,80/día

Esta variante es la menos costosa de todas. Debe esperarse que sea superior a dos sistemasseparados de dos máquinas por mecánico puesto que los mecánicos se utilizan mejor.

1.5.3.2 Ejemplo 2

Una compañía ha decidido utilizar subestaciones localizadas en la región de mercadeo paraatender sus camiones de reparto. El vicepresidente de mercadeo desea que los requerimientosde servicio y mantenimiento no interfieran al servicio de entrega. Puesto que los camionesoperan 24 horas, pueden llegar a solicitar servicio en cualquier momento pero generalmente lorequieren cada 8 horas. Los procedimientos de mantenimiento requieren una estación concapacidad para atender 10 camiones durante un período de 8 horas. El tiempo entre llegadasse aproxima a una distribución de Poisson. El vicepresidente ha solicitado que sólo la mitadde los camiones que llegan estén obligados a esperar servicio. ¿Por cuántos camiones deberesponder cada estación?

Resolución:

Determinar M tal que P0 0,50.

Sea M = 4

Mn

n

n

nM

MP

0

0

)!(!

1

647,0

10

1

!0

!4

10

1

!1

!4

10

1

!2

!4

10

1

!3

!4

10

1

)!04(

!4

1432100

P


21

Sea M = 5

56,00 P

Sea M = 6

485,00 P

M = 5 da lugar al máximo tamaño de población con P0 0,5.

Texto Capitulo II (Teoría de colas)

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