INTRODUCCION

El trabajo que a continuacion desarrollamos trata sobre la

teoría de colas y las decisiones administrativas; Arboles de decisión

y las probabilidades y las técnicas gráficas con herramientas de

decisión.

La teoría de colas, hoy en día, es una herramienta de valor de

negocios debido a que núcleos de problemas pueden

caracterizase, como problemas de congestión llegada - partida.

Las técnicas del análisis de decisión cuando se debe tomar

una decisión cuando se debe tomar una decisión terminal sencilla

con base del estado actual de información del temador de

decisiones, esto es las decisiones secuenciales y las oportunidades

de adquirir información adicional no se consideran antes de decidir.

Un árbol de decisión muestra cronológicamente la secuencia

de acciones uy resultados de medida que se desenvuelven

resultados esperando que el trabajo sirva de ayuda a los

administradores y a todo aquella persona que se intarxe en el tema.

INDICE

Introducción

CAPITULO I: TEORIAS DE COLAS

1.1 Elementos Básicos del Modelo de Colas. ...................... 3

1.2 Funciones de las distribuciones de poisson y

Exponencial ................................................................... 8

1.3 Otras teorías de Colas ................................................... 10

a. Modelo de Nacimiento puro

1.4 Modelo de Muerte Pura ................................................. 11

1.5 Modelo Generalizado de Poisson ................................. 11

CAPITULO II: TECNICAS DE GRAFICAS COMO

HERRAMIENTAS DE DECISION

Modelo de dos variables y su soluciones gráfica ................... 16

Construcción del Modelo Matemático para el análisis

De gráficos .............................................................................. 18

Solución gráfica de modelos de PL ........................................ 19

Análisis de Sensibilidad: Presentación elemental en el

Análisis de gráficos .................................................................. 21

Problema de sensibilidad ¿Qué tanta variación se permite

Los coeficientes de la función objetivo? .............................. 22

Formulaciones en PL en análisis de gráficos ...................... 24

Representación Matemática ............................................... 25

CAPITULO III : DIAGRAMAS DE ARBOL O ARBOLES DE

DECISION

Arboles de decisión bajo incertidumbre .............................. 28

Criterio de Laplacen ........................................................... 28

Criterio de deploración minimax de savagen ...................... 29

Conclusiones ...................................................................... 31

Bibliografía ............................................................................. 33

CAPITULO I

TEORIA DE COLAS

1.1 ELEMENTOS BASICOS DEL MODELO DE COLAS

Desde el punto de vista de un modelo de espera, una situación de

línea de espera se genera de la manera siguiente: Cuando el cliente

llega a la instalación se forma en una línea de espera (cola o fila). El

servidor elige a un cliente de la línea de espera para comenzar a

prestar el servicio. Al culminarse se repite el proceso de elegir a un

nuevo cliente (en espera). Se supone que no se pierde tiempo entre

el momento en que un cliente ya atendido sale de la instalación y la

admisión de un nuevo cliente de la línea de espera.

Los protagonista principales en una situación de espera son el cliente

ny el servidor. En los modelos de espera, la interacción entre el cliente

y el servidor solo es de interés en tanto que se relacione con el

periodo que necesita el cliente para completar su servicio. Por lo

tanto, desde el punto de vista de las llegadas de clientes, nos

interesan los intervalos de tiempo que separan llegadas sucesivas.

Asimismo, en el caso del servicio, es el tiempo de servicio por cliente

el que cuenta en el análisis.

En los modelos de espera, las llegadas y los tiempos de servicio de

clientes se resumen en términos de distribuciones de probabilidad que

normalmente se conocen como distribuciones de llegada y de tiempo

de servicios. Estas distribuciones pueden representar situaciones

donde llegan clientes y son atendidos individualmente (por ejemplo en

bancos o supermercados). En otros casos, los clientes pueden llegar

y/o ser atendidos en grupos (por ejemplo, en restaurantes). Este último

caso se conoce normalmente como líneas de espera masivas.

Aunque los patrones de llegadas y salidas son los factores

principales en el análisis de las líneas de espera, también pueden

figurar otros factores en forma importante en la elaboración de los

modelos. El primer factor es la forma como se elige a los clientes

de la línea de espera para dar inicio al servicio. Esta se conoce como

la disciplina de servicio. La disciplina más común y en apariencia

justa, es la regla FCFS (el primero en llegar es el primero en ser

atendido). Las reglas LCFS (el último en llegar es el primero en ser

atendido) y SIRO (servicio en orden aleatorio) pueden surgir también

en situaciones prácticas. También debemos agregar que en tanto

que la disciplina de servicio regula la elección de clientes de una

línea de espera, también es posible que los clientes que lleguen a

una instalación sean colocadas en líneas de espera con prioridad para

que aquellas personas con mayor prioridad para que aquellas

personas con mayor prioridad reciban preferencia de ser atendidos

en primer término. No obstante, la selección específica de clientes de

cada línea de espera con prioridad puede apegarse a cualquier

disciplina de servicio.

El segundo factor que tiene que ver con el diseño de la instalación y la

ejecución del servicio. La instalación puede incluir más de un servidor

con lo cual es posible atender a tantos clientes en forma simultanea

como número de servidores haya (por ejemplo, en cajeros bancarios).

En este caso, todos los servidores ofrecen el mismo servicio y se

dice que la instalación tiene servidores paralelos. Por otra parte, la

instalación puede comprender un número de estaciones en serie por

las que puede pasar el cliente antes de que se complete el servicio

(por ejemplo, el procesamiento de un producto en una serie de

maquinas). Las situaciones resultantes se conocen normalmente

como líneas en espera o líneas de espera sucesivas. El diseño mas

general de una instalación de servicio incluye estaciones de

procesamiento en serie y en paralelo. Esto da origen a lo que

llamamos líneas de espera en red.

El tercer factor tiene que ver con el tamaño de la línea de espera en

red, ciertos casos, sólo se puede admitir a un número limitado de

clientes, posiblemente en virtud de la limitación del espacio (por

ejemplo, los espacios de estacionamiento que se permitan en un

autobanco). Cuando la línea de espera se llena a toda su capacidad,

los clientes que llegan no se pueden formar en la línea de espera.

El cuarto factor, se relaciona con la naturaleza de la fuente que

genera llamadas solicitando servir (llegadas de clientes). La fuente

de llamadas puede ser capaz de generar un número finito de clientes

o (en teoría) infinitamente muchos clientes. Existe una fuente finita

cuando una llegada afecta la tasa de llegada de nuevos clientes. En

una oficina con M máquinas, la fuente de llamadas antes de que se

descomponga cualquier máquina consta de M clientes en potencia.

Cuando se descompone una máquina. se convierte en un cuente y, por

lo tanto, no puede generar nuevas llamadas hasta que sea reparada. Se

puede hacer una distinción entre la situación de la oficina y otros donde

la "causa" para generar llamadas está limitada no obstante que puede

generar un número infinito de llegadas. Por ejemplo, en una oficina de

mecanografía, el número de usuarios es finito, no obstante que cada

usuario pudiera generar un numero ilimitado de llegadas. ya que en

términos generales un usuario no necesita esperar a que se termine el

material entregado con anterioridad antes de generar otro nuevo.

Los modelos de espera que representan situaciones en las que los seres

humanos son clientes o servidores, deben estar diseñados para tomar

en cuenta el efecto de la conducta del ser humano. Un servidor

"humano" puede cambiarse de una línea de espera a otra, con la

esperanza de reducir su tiempo de espera (la próxima vez que el lector

esté en un banco o en un supermercado pueden "matar" el tiempo de

espera observando estos cambios). Algunos clientes "humanos" pueden

también eludir formarse en una línea de espera en virtud de que

anticipen una demora apreciable, o bien, pueden renunciar después de

estar,, un momento en la fila debido a que su espera haya sido

demasiado larga. (Nótese que en término de la conducta del ser

humano, quizá una espera que es muy larga para una persona no sea

tau larga para otra).

Sin duda alguna, existen otras cualidades o características presentes en

las situaciones de espera de todos los días. No obstante, desde el punto

de vista del modelo de espera, estas cualidades y/o características

pueden tomarse en cuenta sólo si se pueden cuantificar de manera que

haga posible su inclusión matemática en el modelo. Asimismo, los

modelos de espera no pueden tomar en cuenta el comportamiento

individual de les clientes. en el sentido de que se espera que todos los

clientes formados en una línea de espera se "comporten" en la misma

forma mientras permanecen en la instalación. Por lo tanto, un cliente

'parlanchín" se considera. un caso raro y su conducta es ignorada en el

diseño del sistema. Por otra parte, si sucede que la mayoría de los

clientes son excesivamente parlanchines, un diseño realista de Ja

instalación de servicio deberá estar basado en el hecho de que este

hábito, por pródigo que pueda ser, es una parte integral de la operación.

Una manera lógica de incluir el efecto de este hábito consiste en

aumentar el tiempo de servicio por cliente,

Ahora vemos que los elementos básicos de un modelo de espera

dependen de los siguientes factores:

1. Distribución de llegadas ('legadas individuales o masivas en grupo).

2. Distribución del tiempo de servicio (servicio individual o masivo).

3. Diseño de la instalación de servicio (estaciones en serie, en paralelo o

en red).

4. Disciplina de servicio (CFS, LCFS, SIRO) y prioridad de servicio.

5. Tamaño de la línea de espera (finito o infinito),

6. Fuente de llamadas finita o infinita).

7. Conducta humana (cambios, elusión y renunda),

Existen tantos modelos de espera como variaciones de los factores

citados. En este capítulo consideramos varios modelos que parecen ser

útiles en aplicaciones prácticas. En la sección que sigue se indica que

las distribuciones de Poisson y exponencial. desempeñan una función

importante en la representación de las llegadas y tiempos de servicio

en muchas situaciones de espera. En las secciones posteriores se

presentan los modelos de espera relacionados y sus soluciones.

1.2 FUNCIONES DE LAS DISTRIBUCIONES DE POISSON Y

EXPONENCIAL

Considérese la situación de espera en la cual el número de llegadas

y salida (a las que se da servicio) durante un intervalo de tiempo es

controlado por las siguientes condiciones:

Condición 1: la probabilidad de que un evento (llegada o salida)

ocurre entre los tiempos t y t + h depende únicamente de la longitud

de h, lo que significa que la probabilidad no depende ni del número

de eventos que ocurre hasta el tiempo t ni del valor especifico del

periodo (0, f) (Matemáticamente, decimos que la función de

probabilidad tiene incrementos independientes y estacionarios).

Suponga que T es el intervalo de tiempo desde la ocurrencia del

último evento; entonces es valido el siguiente anunciado

probabilístico.

P = el tiempo entre eventos = p no ocurren eventos excede a T durante T

En términos matemáticos esto se expresa como:

f(t) dt = Po (T)t

Sustituyendo el valor de Po (t) deducido antes, obtenemos:

f(t) dt = e -aT, T 0t

o bien:

T f(t) dt = 1- e -aT, T 0o

Derivando ambos miembros de la ecuación respecto a T, obtenemos:

F(t) = e -at , t 0 (exponencial)

que es una distribución exponencial con media E (t) = 1/ unidades

de tiempo.

1.3 OTRAS TEORIAS DE COLAS

A. MODELO DE NACIMIENTO PURO

Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebés

recién nacidos. Estas actas se guardan normalmente en una

oficina de Registro Civil. Hay razones para creer que el

nacimiento de bebés y por ello, la emisión de las actas

correspondientes en un proceso completamente aleatorio que se

puede descubrir por medio de una distribución de Poisson.

Usando la información de la sección 15.2 y suponiendo que

es la tasa con que se emiten las actas de nacimiento, el

proceso de nacimiento puro es tener n arribos o llegadas

(actas de nacimientos) durante el proceso de tiempo t se puede

describir con la siguiente distribución de Poisson.

Dn (t) = ( t) n e - t , n = 0, 1, 2, .... (nacimiento puro) n!

Donde es la tasa de llegada por unidad de tiempo, con el número

esperado de llegadas durante t igual a t.

1.4 MODELO DE MUERTE PURA

Considere la situación de almacenar N unidades de un artículo al

inicio de la semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante

la semana. Si suponemos que la demanda se presenta a una tasa de

unidades por día y que el proceso de demanda es completamente

aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en almacén

después de un tiempo t, la de la siguiente distribución truncada de

Poisson.

Pn (t) = ( t) N-n e - t , n = 1, 2, ..., N (N - n)!

NPo (t) = 1 - p = (t) (muerte pura)

n=1

1.5 MODELO GENERALIZADO DE POISSON

El modelo generalizado que se desarrolló en esta sección se aplica a

colas de Poisson con tasas de llegadas y salidas dependientes de

estado. En la sección 15.5 especializamos los resultados del modelo

desarrollado, a situaciones especificas de colas de Poisson.

Antes de proporcionar los detalles del modelo generalizado

explicaremos que significa tasas de llegada y servicio dependientes del

estado. Considere un taller de maquinaria con un total de N

maquinas. Los ejemplos anteriores demuestran cómo en el modelo

generalizado de líneas de espera, las tasas de llegada y salidas

pueden ser funciones del estado del sistema representado por el

número de clientes n. Por esto usamos la notación y para definir

las tasas de llegadas y salidas como una función de n.

La deducción de una expresión para pn se logra utilizando el así

llamado diagrama de tasas de transición. De la definición dada en la

sección anterior del proceso de Poisson, dado que hay n clientes en el

sistema en cualquier tiempo t, el número de clientes en el sistema al

final de un intervalo de tiempo h suficientemente pequeño, será n-1

o n+1 dependiendo de si una salida o llegada tiene lugar durante el

intervalo h. Decimos entonces que en un proceso de Poisson el

estado n solo se puede comunicar en los estados n-1 y n+1. Los

valores asociados en cada flecha representan las tasas de transacción

entre los estados. Por ejemplo tasa de transición entre los estados. Por

ejemplo, tasa de transición del estado n-1 al estado n es la tasa de

llegadas n-1, donde n-1 es una función del estado origen n-1.

Bajo condiciones de estado estable, las tasas esperadas de flujo

entrante y saliente del estado n, deben ser iguales. Como el estado n

se comunica solo con los estados n-1 y n+1 las tasas de transición

desde todos los otros estados (0,1, 2, ... n -2, n+2, n+3), deben ser

cero. Tenemos entonces:

(tasa esperada de flujo desde el estado n)

= 0(po + .... pn -2) + n-1 Pn-1 + n+1Pn+1 + 0(pn+2+

= n-1 Pn-1 + n+1 Pn+1

Similarmente:

(Tasa esperada de flujo = ( n + n)Pn

desde el estado n)

Igualando las dos tasas, obtenemos la ecuación de equilibrio:

n-1 Pn-1 + n+1Pn+1 = (n + n) Pn ; n = 1, 2,...

Esta ecuación es válida sólo para n0. Para determinar la ecuación

de equilibrio para n=0, consideremos el diagrama de tasas de

transición en la figura 15-4. En este caso, el estado 0 se comunica sólo

con el estado 1.

Las ecuaciones de equilibrio se resuelven en forma recursiva

comenzando con p1 y procediendo por inducción para determinar pn.

De la ecuación de equilibrio para n=0, obtenemos:

P1 = o po

1

A continuación para n= 1 tenemos:

opo + 2p2 = (1 + 1)p1

sustituyendo p1 = (o/1) Po y simplificando, obtenemos (verifíquelo):

P2 = 1o po

21

En general podemos demostrar por inducción que:

Pn = n-1 n-x .... o Po n = 1, 2nn-1 .... 1

El valor de po se determina con la siguiente ecuación:

pn = 1n=0

CAPITULO II

TECNICAS GRAFICAS COMO HERRAMIENTAS DE DECISION

El éxito de una técnica de investigación de operaciones (IO) se mide

por la difusión de su uso como una herramienta de la toma de decisiones.

Desde su aparición a finales de la década de 1940, la programación lineal

(PL) ha demostrado que es una de las herramientas mas efectivas de la

investigación de operaciones. Su éxito se debe a su flexibilidad para describir

un gran número de situaciones reales en las siguientes áreas: militar,

industrial, agrícola de transporte, de la economía, de sistemas de salud, e

incluso en las ciencias sociales y de la conducta. Un factor importante en el

amplio uso de esta técnica es la disponibilidad de programas de

computadora muy eficiente para resolver problemas extensos de PL.

La utilidad de la PL va más allá de sus aplicaciones inmediatas. De

hecho la PL debería considérese como una base importante del desarrollo

de otras técnicas de la IO, incluidas la programación entera, la escolástica,

la de flujo de redes y la cuadrática. Desde este punto de vista, el

conocimiento de la PL es fundamental para implementar estas técnicas

adicionales.

El material de este capítulo contiene lo esencial de la programación

considerada como herramienta de la toma de decisiones, tanto desde el

punto de vista de su formulación como de su solución. Además ya que las

computadoras son necesarias para resolver los problemas de cualquier

tamaño práctico deben observarse ciertas convenciones al formular los

problemas de PL, con el fin de reducir los efectos adversos de los errores de

redondeo en la computadora. Estas convenciones se presentan en este

capitulo.

La programación lineal es una herramienta determinística, es decir,

todos los parámetros del modelo se suponen conocidos con certeza. Sin

embargo en la vida real, es raro encontrar un problema donde prevalezca

verdadera certeza respecto a los datos. La técnica de la PL, compensa esta

"deficiencia" proporcionando análisis sistemáticos posóptimos y paramétricos

que permiten al tomador de decisiones probar la sensibilidad de la solución

óptima "estática", respecto a cambios discretos o continuos de los

parámetros del modelo. Básicamente estas técnicas adicionales agregan

una dimensión dinámica a la propiedad de solución óptima de la PL. En

este capítulo se presentan los fundamentos del análisis de sensibilidad y se

muestra su aplicación por medio de ejemplos prácticos.

MODELO DE DOS VARIABLES Y SU SOLUCION GRAFICA

En esta sección se presenta un modelo sencillo de PL con dos

variables de decisión y se muestra como se puede resolver gráficamente. Si

bien es cierto que una solución gráfica bidimensional casi no tiene utilidad

en situaciones reales (las cuales normalmente comprenden cientos o miles

de variables y restricciones), el procedimiento ofrece una excelente

oportunidad para entender como funciona el proceso de optimización en la

PL. También permite presentar el concepto de análisis de sensibilidad de

manera lógica y comprensible. De hecho, el siguiente ejemplo se usa en el

capitulo 3 para explicar el método algebraico simples para resolver

programas lineales en general.

Ejemplo:

Reddy Mikks Company posee una pequeña fábrica de pinturas para

interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan

dos materiales básicos A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad

diaria de materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores

se resumen en la tabla que sigue:

Toneladas de materia prima por

tonelada de pintura

Exterior Interior

Disponibilidad

máxima

(toneladas)

Materia Prima A

Materia Prima A

1

2

2

1

6

8

Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura

para interiores no puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más

de una tonelada. Así mismo el estudio señala que la demanda máxima de

pintura para interiores esta limitada a dos toneladas diarias.

El precio al mayoreo por tonelada es $ 3 000 para la pintura de exteriores y

$ 2 000 para la pintura de interiores.

¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía

todos los días para maximizar el ingreso bruto?

CONSTRUCCION DEL MODELO MATEMÁTICO PARA EL ANALISIS DE

GRAFICOS

La construcción de un modelo matemático se puede iniciar respondiendo a

las tres preguntas siguientes:

1. ¿Qué busca determinar el modelo? Dicho de otra manera, ¿cuáles

son las variables (incógnitas) del problema?

2. ¿Qué restricciones deben imponerse a las variables a fin de satisfacer

las limitaciones del sistema representado por el modelo?

3. ¿Cuál es el objetivo (meta que necesita alcanzarse para determinar la

solución óptima (mejor) de entre todos los valores factibles de las

variables?

Una manera efectiva de responder a estas preguntas consiste en

hacer un resumen verbal del problema. En términos de ejemplo de

Reddy Mikks la situación se describe en la forma siguiente:

La compañía busca determinar las cantidades (en toneladas) de

pintura para exteriores e interiores que se producirán para maximizar

(incrementa hasta donde sea factible) el ingreso bruto total (en miles

de unidades monetarias) a la vez que se satisfacen las estriciones de

la demanda y el uso de materias primas.

SOLUCION GRAFICA DE MODELOS DE PL

En esta sección consideramos la solución del modelo de

programación lineal (PL) de Reddy Mikks. El modelo se pude resolver en

forma gráfica porque solo tiene dos variables. Para modelos con tres o mas

variables, el método gráfico e es impráctico o imposible. No obstante

podremos deducir conclusiones generales de método gráfico que servirán

como la base para el desarrollo del método de solución general en el capitulo

3.

El primer paso del método gráfico consiste en graficar las soluciones

factibles o el espacio de soluciones (factible) que satisfaga todas las

restricciones en forma simultanea. La figura 2-1 representa el espacio de

soluciones que se requiere. Las restricciones de no negatividad X 0 y x1

0 confinan todos los valores factibles al primer cuadrante (que esta

definido por el espacio arriba de 0 sobre el eje X y a la derecha de o sobre

el eje x1. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determina

sustituyendo en primer término () por (=) para cada restricción con lo cual

se produce la ecuación de una línea recta.

Una manera fácil de determinar la dirección de la flecha es usar el origen

(0,0) como punto de referencia. Aplicando este procedimiento a nuestro

ejemplo, especificamos el espacio de soluciones ABCDEF mostrado en la

figura 2-1

Para obtener la solución optima (máxima) desplazamos la recta del ingreso

"cuesta arriba" hasta el punto donde cualquier incremento adicional en el

ingreso produciría una solución infactible.

x + 2x1

2x + x1

-x + x1

x1

x

x1

Figura 2-1

x + 2x1 = 6

2x + x1 = 8

Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones

ABCDEF satisface todas las restricciones y por consiguiente representa un

punto factible.

Función objetivo:

Maximizar x = 3x + 2x1

X=6 z =9 z = 12 2/3

Solución óptima

Xg = 31/3 tan

X1 = 11/3 ton

X = 12 2/3 miles de g

Figura 2-2

ANALISIS DE SENSIBILIDAD: PRESENTACION ELEMENTAL EN EL

ANALISIS DE GRAFICOS

El análisis de sensibilidad se ha diseñado para estudiar el efecto de los

cambios en los parámetros del modelo de PL en la solución óptima. Tal análisis

se considera como parte integral de la solución (extendida) de cualquier

problema de PL. Este da al modelo una característica dinámica que permite al

analista estudiar el comportamiento de la solución óptima, al efectuar cambios

en los parámetros del modelo. El objetivo final del análisis es tener información

acerca de posibles soluciones óptimas nuevas (correspondientes a cambios en

los parámetros), con un mínimo de cálculos adicionales.

El análisis de sensibilidad es muy adecuado para estudiar el efecto en la

solución óptima de cambios en los coeficientes de costo/ganancia y, en las

cantidades de recursos disponibles. Aunque los cálculos del análisis de

sensibilidad se han automatizado en la mayoría del software de 10 (incluido

TORA), es importante tener un conocimiento fundamental de cómo trabaja el

método, para poder implementar con éxito 105 resultados. En esta sección

utilizarnos un procedimiento gráfico para explicar los elementos básicos del

análisis. Posteriormente, en los capítulos 3 y 5 presentaremos un tratamiento

más riguroso de esta técnica.

Problema de sensibilidad 1. ¿Qué tanta variación se permite en los

coeficientes de la función objetivo?

Una variación en los coeficientes de la función objetivo. sólo puede afectar la

pendiente de la línea recta que la representa. En la sección 2.1.1 [ejercicio 2.1-

2 (b)) demostramos que la determinación del punto de esquina, o punto

extremo óptimo de un espacio de soluciones, depende totalmente de la

pendiente de la función objetivo. Nuestra meta. desde el punto de lista del

análisis de sensibilidad. es determinar el intervalo de variación de cada uno de

los coeficientes de la función objetivo que mantenga invariante aun punto

extremo óptimo. Los detalles del procedimiento se mostrarán por medio del

modelo Reddy Milkks.

Sean ce y c1 las ganancias por tonelada de las pinturas para exterior e

interior. respectivamente. La función objetivo puede escribirse entonces:

Z = Ce Xe + C1 X1

La figura 2-4 muestra que el efecto de aumentar o disminuir c1 es una

rotación, en el sentido de las manecillas del reloj, de la línea que representa a z

alrededor del punto optimo C. Por otra parte. una disminución de Ce O un

aumento de c1. hará que la recta gire en sentido contrario. Se trata de

determinar los intervalos de variación de ce y tales que C siga siendo un punzo

óptimo. Si se observa la figura 24 es claro que en tanto la pendiente de

permanezca dentro de las pendientes de las líneas CB y CD, el punto C

seguirá siendo óptimo. (Cuando la pendiente coincida con la CE o la de CD, se

tendrá una opción óptima.) Podemos expresar esta condición algebraicamente:

1 Ce 2---- ---- ---- 2 C1 1

La relación anterior es correcta sólo si G1 0 o sea que el intervalo de

pendientes admisible excluye que la función objetivo represente con una línea

vertical. Si c1 0 es posible, podemos usar la razón C1 / Ce nuevamente

sólo si ce 0. Si tanto c1 = 0 como Ce = 0 son posibles, el intervalo debe

segmentarse en dos partes (traslapadas).

Las fracciones límites son directamente iguales a las razones (algebraicas)

respectiva de los coeficientes de Xe y Xi paras las líneas CB y CD. La

dirección de la desigualdad queda automáticamente determinada por los

valores relativos de las fracciones límite 1/2 y 2/1.

FORMULACIONES DE PL EN ANALISIS DE GRAFICOS

En la sección 2.2 presentarnos dos formulaciones de programación lineal (PL)

en las cuales las definiciones de las variables de decisión y también la

construcción de las funciones objetivo Y de restricciones son casi directas. En

esta sección presentamos otras tres formulaciones que se caracterizan por

tener cieno grado de sutileza en la forma en que se definen y utilizan las

variables en el modo. El Objetivo. desde luego, es de exponer al lector nuevas

ideas concenientes a la elaboración de modelos.

Ejemplo 2.3-4 (Problema de programación de los autobuses)

Progress City estudia la factibilidad de introducir un sistema de autobuses de

tránsito masivo que aliviará el problema del esmog. reduciendo el tránsito en la

ciudad. El estudio inicial busca determinar el número mínimo de autobuses que

pueden manejar las necesidades de transpone. Después de recolectar

información necesaria, el ingeniero municipal advierte que el número mínimo

de autobuses que se necesita para cubrir la demanda fluctúa con la hora del

día. Estudiando los datos más a fondo, descubrió que el número necesario de

autobuses se puede suponer constante en intervalos sucesivos de 4 horas

cada uno. La figura 2-II presenta un resumen de los hallazgos del ingeniero. se

decidió que para facilitar la transportación, cada autobús podía operar sólo S

horas sucesivas al día.

Representación matemática

Se debe determinar el número de autobuses que operarán durante diversos

turnos (variables) que cubrirán la demanda mínima (restricciones) al mismo

tiempo que se minimiza el número diario total de autobuses en operación

12

8

4

4

810

7

12Núm

ero

de a

utob

uses

12:00A.M.

4:00 8:00 12:00 4:00 8:00 12:00

Hora del día

(objetivo).

Quizá el lector ya haya notado que la definición de las variables es ambigua.

Sabemos que cada autobús operará en turnos de 8 horas, pero no sabemos

cuándo debe empezar un turno. Si seguimos un programa normal de tres

turnos (8:01 A.M. - 4:00 P.M., 4:01 PM - 12:00 de medianoche y 12:01 A.M.-

8:00 A.M.) y suponemos que X1 2 Y x3 son el número de autobuses que

empiezan a operar en el primero, segundo y tercer turnos. podernos advertir en

la figura 2-11 que Xt > 10, X2 > 12y x3 > a, donde el número mínimo

correspondiente es igual a x + x + x3 = 10 + 12 + 8 = 30 autobuses diarios.

Esta solución es aceptable sólo silos turnos deben coincidir con el programa

normal de tres turnos. Sin embargo, quizá sea ventajoso permitir al proceso de

optimización elegir la mejor hora de inicio de un turno. Una manera razonable

de lograr esto es hacer que un turno dé comienzo cada 4 horas. La figura 2-12

ilustra este concepto donde los turnos (superpuestos) pueden dar inicio a las

12:01 A.M., 4:01 A.M.. 8:01 A.M.. 12;01 P.M., 4:01 P.M. y 8:01 P.M., donde

cada turno dura 8 horas consecutivas. Ahora estamos listos para definir las

variables;

X1 = número de autobuses que empiezan a operar a las 12:01 A.M.

X2 = número de autobuses que empiezan a operar a las 4:01 A.M.

X3 = número de autobuses que empiezan a operar a las 8:01 A.M.

X4 = número de autobuses que empiezan a operar a las 12:01 P.M.

X5 = número de autobuses que empiezan a operar a las 4:01 P.M.

X6 = número de autobuses que empiezan a operar a las 8:01 F.M

CAPITULO III

DIAGRAMAS DEL ARBOL O ARBOLES DE DECISION

En la sección presentamos criterios de decisión para evaluar lo que se

pueden denominar alternativas "de una sola etapa" en el sentido de que

ninguna decisión a futuro dependerá de la que se tome ahora. En esta

sección consideramos un proceso de decisión "de múltiples etapas" en el

cual se toman decisiones dependientes una tras otra. Se puede hacer una

representación gráfica del problema de decisión mediante el uso de un árbol

de decisión.

Una compañía tiene ahora las opciones de construir una planta de tamaño

completo o una pequeña que se pueda ampliar después. La decisión

depende principalmente de las demandas futuras del producto que producirá

la planta. La construcción de una planta de tamaño completo puede

justificarse en términos económicos si el nivel de demanda es alto. En caso

contrario, quizá sea recomendable construir una planta pequeña ahora y

después decidir en dos años si ésta se debe ampliar.

En la figura 12-1 se presenta un resumen del problema como un árbol de

decisión. Se supone que la demanda puede ser alta o baja. El árbol de

decisión tiene dos tipos de nodos: un cuadro (D) representa un punto de

decisión y un círculo © denota un evento probabilístico. Por lo tanto,

comenzando con el modo 1 (un punto de decisión, debemos tomar una

decisión al tamaño de la planta. El nodo 2

ARBOLES DE DECISION BAJO INCERTIDUMBRE

Esta parte nos muestra un número de criterios para tomar decisiones con

incertidumbre según la hipótesis de que no se tiene disponible ninguna

distribución de probabilidad.

La diferencia principal entre estos criterios la refleja cuán conservador es el

decisor al tratar con las condiciones de incertidumbre prevalecientes. Por

ejemplo, se mostrará que el criterio de Laplace está basado en condiciones

más optimistas que el criterio de Hurrwicz puede ajustarse para reflejar

actitudes que varían desde la más optimista hasta la más pesimista.

CRITERIO DE LAPLACEN

Este criterio está basado en lo que se conoce como principio de razón

insuficiente Ya que las probabilidades asociadas a la ocurrencia d 1,

2,.... y n se desconocen, no existe información suficiente para concluir

que estas probabilidades serán diferentes.

Esto es seleccionar la acción a *1 correspondiente a:

1 n

Máx ----- v(a1, 1)

N i=1

Donde 1/n es la probabilidad de que ocurra j U = 1, 2, .... n)

CRITERIO DE DEPLORACION MINIMAX DE SAVAGEN

El criterio mínima de la sección 12.3.2 es extremadamente conservador, a

un grado de tensión que puede algunas veces llevar a conclusiones

ilógicas. Considere la matriz de perdidas siguientes, la cual generalmente

se cita como un ejemplo clásico para justificar la necesidad del criterio

"menos conservador" de Savage.

CRITERIO DE HURWICZN

Este criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimista

hasta la más pesimista. En las condiciones mas optimistas se elegirá la

acción que proporcione el maxi máx j v (ai, j), representa ganancia o

beneficio. De igual manera en las condiciones mas pesimistas la acción

elegida corresponde a maxi máx j v (aj, j). El criterio de Hurwicz da un

equilibrio entre el optimismo extremo y el pesimismo extremo ponderado las

dos condiciones anteriores por los pesos respectivos y (1 - ), donde 0

1. Esto es, si v (ai, j)

Max ( máx v(ai, j) + (1 - ) min v (ai, j)

Para el caso donde v(ai, j) representa un costo, el criterio selecciona la

acción que proporciona.

Min min v(ai, j) + (1 - ) max v(ai, j)

El parámetro se conoce como índice de optimismo: cuando = 1 el

criterio es demasiado optimista; cuando = 0, es demasiado pesimista. Un

valor de entre cero y uno puede seleccionarse dependiendo de si el

decisor tiende hacia el pesimismo o al optimismo. En ausencia de una

sensación fuerte de una circunstancia u otra, un valor de = 1/2 parece ser

una selección razonable.

CONCLUSIONES

Una de las áreas mas importantes de la dirección de la apariciones es

de conocer las colas de espera y aprender a administrarlos. Es

fundamental para la elaboración de programa, para el diseño de trabajo,

para los niveles de inventario.

La teoría de colas se usa mucho en la industria y es herramienta común

de la dirección de operaciones en áreas como la programación de

actividades, la carga de Maquinas y otros.

Es importante comprender que el análisis de decisiones no proporciona

un análisis completamente objetivo de los problemas complicados.

Muchos aspectos de un análisis de decisión necesitan el problema,

valorar sea al estructurar el problema, valorar las probabilidades y

asignar utilidades.

El análisis de decisiones tiene que ver con la mejor elección de un

conjunto posible de decisiones, dada la incertidumbre como un evento

que puede existir. Utilizando la maximización del valor esperado, como

lograr un método consistente con las creencias y gustos del tomador de

decisiones.

Una contribución principal es este procedimiento es que enfoca su

atención de todos los eventos posibles y requiere el calculo de las

consecuencias de cada acción y de cada uno de los posibles estados de

la naturaleza. Aun si el análisis se detuviera en la estructuración del

problema en forma de una matriz de decisión, árbol de decisión. O

conjunto de distribución de probabilidades de toma de decisiones. Pero

por medio del uso de la maximización del valor esperado, es posible

avanzar más. No se justifica que un tomador de decisiones deje de

utilizar criterios no probabiÍísticos por el hecho de que existen técnicas

para incorporar incertidumbre en el análisis.

El criterio de la maximización del valor esperado implica relaciones de

utilidad medible. Mientras que en el mundo real de los negocios, los

datos de entrada para las decisiones están en términos de dólares, no

en medidas de utilidad, es por ello que no es siempre apropiado basar

una decisión en valor monetario esperado.

BIBLIOGRAFIA

Investigación de Operaciones en la Gerencia Administrativa

EPPEN / GOULD / SCHMID.

Investigación de Operaciones

HERBERT MOSKOWITZ.