3 Teoría de Colas V2[1]

1Investigacin Operativa 2

Captulo 3: Teora de colas

P f Mi l M j P tProfesor: Miguel Meja Puente

NDICE1. Terminologa para las lneas de espera.2. Modelado de procesos de llegada y servicio.3 P d i i t t3. Procesos de nacimiento y muerte.4. Modelo de colas con poblacin infinita.5. Anlisis econmico de los modelos de cola6. Modelo de colas con capacidad limitada.7. Modelo de colas con servidores infinitos.8. Modelo de colas con poblacin finita.9 Redes de colas

2

9. Redes de colas10. Modelos de colas con distribucin no exponencial11. Modelos de colas con disciplina de prioridades

21.1 Centro emisor

1. Terminologa para las lneas de espera (1)

1.2 Servicio1.3 Proceso de espera1.4 Leyes de llegada y servicio

3

Las lneas de espera, filas de espera o colas de espera, son realidades cotidianas:


espera, son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones

ante una caja en un banco, Estudiantes esperando por obtener copias en la

fotocopiadora, Vehculos esperando pagar en una estacin de peaje

o continuar su camino en un semforo en rojo

4

o continuar su camino, en un semforo en rojo, Mquinas daadas a la espera de ser rehabilitadas.

3Los Modelos de Lneas de Espera son de gran utilidad tanto en las reas de Manufactura como en las de S i i


Servicio.

Los Anlisis de Colas relacionan: la longitud de la lnea de espera. el tiempo promedio de espera.

y otros factores como: la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola.

5

Los Anlisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atencin de los cajeros de un banco, actividades de mantenimiento y reparacin de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).

Desde la perspectiva de la Investigacin de Operaciones, los pacientes que esperan ser


Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontlogo o las prensas daadas esperando reparacin, tienen mucho en comn.

Ambos (gente y mquinas) requieren de recursos

6

Ambos (gente y mquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.


Situacin Clientes Servidores ServicioS tuac C e tes Se do es Se c o

Espera de clientes en un supermercado

Clientes que esperan para pagar

Cajas registradoras

Cobro de la compra

Automviles en un taller

Automviles averiados

Mecnicos o equipos de mecnicos

Reparacin del automvil

7

Servicio de mantenimiento

Mquinas averiadas o en mantenimiento

Unidades o equipos de mantenimiento

Reparacin de la mquina


8

5Todas estas situaciones pueden ser analizadas d l d l d Di h


como un modelo de lneas de espera. Dicho sistema abarca:

Los clientes que estn recibiendo servicio en ese momento.

Los clientes que estn esperando recibir servicio en la fila.L id i i t l i i

9

Los servidores que suministran el servicio.

Un sistema de lneas de espera se tipifica por:El t i d l li t i


El centro emisor de los clientes a servir. Las caractersticas del servicio. Las condiciones en las que se desarrolla el proceso

de espera en la fila. Las leyes de llegada y de servicio que gobiernan el

sistema de colas.

10

6El centro emisor tiene tres atributos:

Centro emisor

El centro emisor tiene tres atributos: Patrn de llegada o de arribo. Tamao de la poblacin. Comportamiento de las llegadas.

11

Centro emisor: patrn de llegada o de arribo (1)

Esttico Dinmico

Llegadas Llegadas Control Controlj id

Patrn dellegada

12

CitaPrecioAceptar/Rechazar RenunciaAbandona

aleatorias contasa constante

aleatorias con tasa variable

ejercido por elestablecimiento

ejercido porel cliente

7Los clientes arriban para ser atendidos de una manera programada o de una manera aleatoria.


Se consideran que los arribos son aleatorios cuando stos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.

F t t l d ib id d

13

Frecuentemente el nmero de arribos por unidad de tiempo puede ser estimado por medio de la Distribucin de Poisson.

La tasa de llegadas aleatoria sigue una ley de probabilidad denominada ley de llegada


probabilidad, denominada ley de llegada.

En ocasiones, puede ser ms conveniente definir la ley de llegada por los tiempos entre llegadas.

En un caso general, la tasa media de llegadas al sistema puede ser funcin de los n clientes que se

14

sistema puede ser funcin de los n clientes que se encuentran en el interior del sistema y se representa por n.

8Centro emisor: tamao de la poblacin (1)

Poblacin

Sub-poblaciones

Grupos homogneos

15

Finita Infinita Finita Infinita

Poblacin infinita o ilimitada.- cuando el

Centro emisor: tamao de la poblacin (2)

Poblacin infinita o ilimitada. cuando el nmero de clientes o arribos en un momento dado es una pequea parte de los arribos potenciales. Ejemplos.-vehculos que pasan por una caseta de peaje;

16

vehculos que pasan por una caseta de peaje; clientes de un supermercado.

9Poblacin finita o limitada.- cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es

Centro emisor: tamao de la poblacin (3)

muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ejemplos.-pacientes hospitalizados en un pabelln de una clnica; mquinas fotocopiadoras que esperan

ibi t i i t

17

recibir mantenimiento en una empresa.

La mayora de los modelos de colas asume que los clientes son personas pacientes o sea que

Centro emisor: comportamiento de las llegadas

los clientes son personas pacientes, o sea que esperan en la cola hasta ser servidos. En la prctica, la gente se aburre. Aquellas personas que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin iniciar su transaccin.

18

Esta situacin sirve para acentuar la necesidad de estudiar los sistemas de colas y el anlisis de las lneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.

10

En el servicio son importantes:La configuracin del sistema de servicio

Servicio

La configuracin del sistema de servicio.

El patrn del tiempo de servicio.

19

Los sistemas de servicio se clasifican en funcin

Servicio: configuracin del sistema de servicio (1)

Los sistemas de servicio se clasifican en funcin de:

El nmero de canales (servidores). El nmero de fases (nmero de paradas que

deben hacerse durante el servicio).

20

11

Segn el nmero de canales

Servicio: configuracin del sistema de servicio (2)

Segn el nmero de canales Sistema de cola de un solo canal Sistema de cola multicanal

Segn el nmero de fases Sistema de cola de una sola fase Sistema de colas multifase

21

Sistema de colas multifase

LlegadasUnidadesservidas

Di iti Cola

Sistema de servicio

Sistema de un canal, una fase

g Dispositivo de servicio

Lnea de espera deBarcos en el mar

Sistema de descarga de barcos Barcos vacos

22

Bahalos barcos

12

LlegadasUnidades servidasCola

Sistema de servicio

Sistema de un canal, varias fases

Coches y comida

Llegadas servidasDispositivo de servicio

Cola

Coches en colaCoches en el rea

Ventanilla de servicio a automviles de McDonalds

Dispositivo de servicio

23

co daCoches en cola

Pago Recojo

UnidadesSistema de servicio

Sistema de varios canales, una fase

Llegadas

servidasDispositivode servicioCola

Dispositivode servicio

24

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una nica cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.

13

Unidades servidas

Sistema de servicio

Sistema de varios canales, varias fases


Llegadas

servidasDispositivo de servicioCola


Dispositivode servicio

25

Ejemplo: en una lavandera, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y despus, una de las diferentes secadoras.

Los patrones de tiempos de servicio son similares a los patrones de tiempo de llegada.

Servicio: patrn del tiempo de servicio

similares a los patrones de tiempo de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.

Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es comn con servicios dados por medio de mquinas. Ejemplo.- lavadora

26

q j pautomtica de carros.

14

Filas mltiples Fila nica

Proceso de espera (1)

Con ticketEntrada

27

3 4

8

2

6 10

1211

5

79

Los procesos de espera son controlados a travs de una atencin con una cola o con colas

l l


mltiples.

Tambin, es comn incorporar el uso de ticket. Esta prctica es comn, si se desea evitar que el cliente haga cola parado (zona de espera con asientos) o si se desea diferenciar a los

28

asientos), o si se desea diferenciar a los clientes, para atenderlos ms rpido.

15

Las caractersticas de las filas de espera


Las caractersticas de las filas de espera son:

Longitud de la cola. Disciplina de la cola.

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Cola limitada es aquella que por consideraciones fsicas no puede incrementarse a tamaos

Proceso de espera: longitud de la cola (1)

fsicas no puede incrementarse a tamaos mayores. Ejemplo.- una peluquera que tiene pocos peluqueros y sillas para atender.

Cola ilimitada es aquella que tiene un tamao no restringido. Ejemplo.- una caseta de peaje que

30

g j p p j qatiende a los vehculos que transitan por una carretera.

16

Mediante modelos de cola limitada podemos

Proceso de espera: longitud de la cola (2)

Mediante modelos de cola limitada podemos representar:

El comportamiento de los clientes que al observar una larga cola abandonan las instalaciones. Ejemplo.- cines.

Negocios con capacidad limitada. Ejemplo.- un

31

taller de reparacin de automviles.

Disciplinade la

Proceso de espera: disciplina de la cola (1)

de lacola

Esttica(PEPS) Dinmica

Seleccin basada Seleccin basada

32

en el estado de lacola

en atributos delcliente

Nmero de clientes

esperandoTurno rotatorio

Prioridad Preferente Tiempo de pro-ceso ms corto

17

La mayora de los sistemas usan la regla PEPS


y g(Primero en Entrar Primero en Salir). Ejemplo.-las cajas rpidas en los supermercados.

No siempre se emplea la regla PEPS. Ejemplo.-rea de emergencia de un hospital, donde la

33

g p ,atencin depende de la gravedad de las lesiones de la persona que arrib por auxilio mdico.


En muchos sistemas de colas se establece un sistema de prioridades. Ejemplo.- en un aeropuerto internacional, las autorizacin para el despegue o aterrizaje dependen de la torre de control.

34

18

Para definir un sistema de prioridades es


necesario: Definir varios grupos de clientes a servir. Cada cliente que llegue al sistema debe

asignarse a uno de los grupos establecidos.

Establecer prioridades.

35

Existen dos tipos de prioridades: Sin interrupcin. Con interrupcin.

Prioridad sin interrupcin o no adquirida


Prioridad sin interrupcin o no adquiridaEn primer lugar, se atendern los clientes del primer grupo que tiene la prioridad ms alta. Slo cuando no haya ningn cliente de ese grupo por atender, se pasar a atender a los clientes del segundo grupo, y as

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g g p , ysucesivamente.

19

Prioridad con interrupcin o adquirida


Si se estn atendiendo clientes de grupos de determinadas prioridades y llega un cliente de un grupo de prioridad ms alta, se interrumpe el servicio del cliente de baja prioridad para atender a la de alta. Una vez atendida sta, se sigue sirviendo al cliente de baja prioridad si no

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sigue sirviendo al cliente de baja prioridad, si no llegan ms clientes de prioridad ms alta.

Se aplica a las leyes de probabilidad que cumplen la propiedad markoviana

Leyes de llegada y servicio (1)

cumplen la propiedad markoviana.

Dicha propiedad consiste en que la probabilidad de que ocurra un evento (llegada de un evento o finalizacin de un servicio) es slo funcin del momento presente esto es del estado actual del

38

momento presente, esto es del estado actual del sistema.

20


Cuando esto sucede, tenemos que: La tasa de eventos por unidad de tiempo seguir

una ley de Poisson de media . El tiempo transcurrido entre dos eventos seguir

una ley exponencial de media 1/.

39

Para las llegadas, tendremos que = y para los servicios tendremos = (para un servidor) La


servicios tendremos = (para un servidor). La mayora de los modelos de colas asumen una ley de llegadas de tipo Poisson.

Cuando las leyes de probabilidad de las tasas de llegada y de servicio son Poisson, entonces el

40

sistema puede ser representado mediante un proceso de nacimiento y muerte.

21

2.1 Modelado del proceso de llegada.

2. Modelado de procesos de llegada y servicio

2.2 Propiedad de la carencia de memoria.

2.3 Relacin entre la distribucin Poisson y la distribucin exponencial.

2.4 Distribucin Erlang.

41

2.4 Distribucin Erlang.2.5 Modelado del proceso de servicio.2.6 Notacin Kendall-Lee.

Definamos ti como el tiempo en el cual llega el i-simo cliente. Al modelar el proceso de llegadas, suponemos que las Ti variables continuas, l t i i d di t d it l

Modelado del proceso de llegada (1)

aleatorias e independientes descritas por la variable aleatoria A.

La suposicin de que cada tiempo entre llegadas est regido por la misma variable aleatoria implica que la distribucin de llegadas es independiente del momento del da o del da de la semana

42

del momento del da o del da de la semana.

Esta es la suposicin de los tiempos estacionarios entre llegadas.

22

La suposicin de los tiempos estacionarios entre llegadas es a menudo irreal, pero podramos


g , p paproximarnos con frecuencia a la realidad descomponiendo la duracin del da en segmentos.

Un tiempo entre llegadas negativo es imposible. Todo esto nos permite escribir:

43

p

Definimos 1/ como el tiempo medio o promedio entre llegadas.

=>= c0 c a(t)dtc)P(Aya(t)dtc)P(A

= 0 ta(t)dt1

Definimos como la tasa de llegadas, la cual tiene unidades de llegada por hora.


Un aspecto importante es cmo escoger A de tal manera que refleje la realidad y siga siendo manejable desde el punto de vista del clculo.

La eleccin ms comn para A es la distribucin

44

pexponencial.

Una distribucin exponencial con parmetro tiene una densidad

a(t) = e-t.

23

Podemos demostrar que el tiempo medio o promedio entre llegadas est dado por:


Debido al hecho de que var A = E(A2) E(A)2, podemos demostrar que:

( ) 1A

1E(A) =

45

( ) 2Avar =

Propiedad de la carencia de memoria de la distribucin exponencial (1)

Lema 1: Si A tiene una distribucin exponencial, entonces para todos los valores no negativos de t y h,

h)P(At)A|htP(A >=+>

46

24

Por razones que son naturales, una densidad que ti f l i ti l i d d d

Propiedad de la carencia de memoria de la distribucin exponencial (2)

satisface la ecuacin tiene la propiedad de carencia de memoria.

La propiedad de carencia de memoria de la distribucin exponencial es importante porque i li i l di ib i

47

implica que si queremos conocer la distribucin de probabilidad del tiempo hasta la llegada siguiente, entonces no importa cunto tiempo ha transcurrido desde la ltima llegada.

l ll d l l

Relacin entre la distribucin Poisson y la distribucin exponencial (1)

Si los tiempos entre llegadas son exponenciales, la distribucin de probabilidad de la cantidad de llegadas que suceden en cualquier intervalo de duracin t est por el importante teorema siguiente.

48

25


Teorema 1: Los tiempos entre llegadas son exponenciales, con parmetro si y slo si la cantidad de llegadas en un intervalo de duracin t sigue una distribucin Poisson con parmetro t

49

parmetro t.

Una variable discreta aleatoria N tiene una


Una variable discreta aleatoria N tiene una distribucin de Poisson con parmetro si, para n=0,1,2,

Qu suposiciones se requieren para que los

0,1,2,...)(nn!en)P(N

n

===

50

Qu suposiciones se requieren para que los tiempos entre llegadas sean exponenciales?

26

Considere las dos siguientes suposiciones:ll d d fi id i l d i


Las llegadas definidas en intervalos de tiempos que no se traslapan son independientes.

Para t pequeas, la probabilidad de que se presente una llegada entre los tiempos t y t +t es t+o(t), donde o(t) se refiere a cualquier cantidad que satisfaga

51

0tt)o(lim

0t=


Teorema 2: Si las suposiciones 1 y 2 se sostienen, entonces Nt sigue una distribucin Poisson con parmetro t, y los tiempos entre llegadas son exponenciales con parmetro ; es decir, a(t) = e-t.

52

, ( )

27

Distribucin de Poisson para nmero de llegadas/hora (vista de arriba)


Intervalo de1 2 0 1 una hora

Llegada Llegada Llegada Llegada

62 min.40 min.

53

123 min.

Distribucin exponencial de tiempo entre llegadas en minutos (vista de abajo)

Si los tiempos entre llegadas no parecen ser exponenciales, entonces se modelan, con frecuencia, con la distribucin Erlang.

Distribucin Erlang (1)

Una distribucin Erlang es una variable aleatoria continua (llmela T) cuya funcin de densidad f(t) se especifica mediante dos parmetros: un parmetro de proporcionalidad R y un parmetro de forma k (k debe ser un entero positivo).Dados los valores de R y k, la distribucin Erlang tiene la

54

y , gfuncin de densidad de probabilidad siguiente:

0)(t1)!(k

eR(Rt)f(t)Rt1k

=

28

Si se aplica la integracin por partes podemos

Distribucin Erlang (2)

Si se aplica la integracin por partes, podemos demostrar que si T es una distribucin Erlang con parmetro de proporcionalidad R y parmetro de forma k, entonces:

2kvar(T)ykE(T) ==

55

2R( )y

R( )

Supongamos que los tiempos de servicio de clientes distintos son variables aleatorias independientes, y que cada tiempo de se icio pa a cada no de los clientes

Modelado del proceso de servicio (1)

cada tiempo de servicio para cada uno de los clientes est regido por una variable aleatoria S cuya funcin de densidad es s(t).

Sea 1/ el tiempo de servicio medio de un cliente.

La variable 1/ tiene unidades de horas por cliente de

56

La variable 1/ tiene unidades de horas por cliente, de modo que tiene unidades de clientes por hora. Por esta razn, a se le llama tasa de servicio.

29

Infortunadamente, los tiempos de servicio reales podran no ser consistentes con la propiedad de

Modelado del proceso de servicio (2)

prdida de memoria.

Por esta razn, suponemos con frecuencia, que s(t) es una distribucin Erlang con parmetro de forma k y parmetro de proporcionalidad k.

l ll d d

57

A veces los tiempos entre llegadas o de servicio se pueden modelar como si tuvieran varianza cero; en este caso los tiempos entre llegadas o de servicio se consideran como deterministas.

Kendall (1951) propuso una notacin para

Notacin Kendall-Lee (1)

( ) p p psistemas de colas que ha sido adoptado universalmente.

Esta notacin est basada en el formato siguiente:

58

g(1/2/3:4/5/6)

30

La primera caracterstica especifica la ley de llegada y el valor medio de la tasa de llegadas


llegada y el valor medio de la tasa de llegadas cuando hay n clientes en el sistema n.

Los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas y regidos por una Distribucin

i l (M) d t i ti (D) E l

59

exponencial (M), determinstica (D), Erlang con parmetro de forma K (Ek) o general (G).

La segunda caracterstica especifica la ley de servicio y el valor medio de la tasa de servicios


ycuando hay n clientes en el sistema n.

Los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas y regidos por una Distribucin exponencial (M) determinstica (D) Erlang con

60

exponencial (M), determinstica (D), Erlang con parmetro de forma K (Ek) o general (G).

31


La tercera caracterstica especifica el nmero de servidores en paralelo (s).

61

La cuarta caracterstica describe la disciplina de la cola (PEPS UEPS SOA DG)


la cola (PEPS, UEPS, SOA, DG).

PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir)UEPS (ltimo en Entrar Primero en Salir)SOA (Servicio en Orden Aleatorio)DG (Disciplina General)

62

DG (Disciplina General)

32


La quinta caracterstica especifica el tamao mximo permitido del sistema de colas (c).

El tamao mximo del sistema de colas es infinito () si el modelo es de cola infinita.

63

L t t ti l t d l t


La sexta caracterstica es el tamao del centro emisor (k).

El tamao del centro emisor es infinito () si el modelo es de poblacin infinita.

64

33

Ej l (M/M/1 DG/ / ) i ifi i


Ejemplo.- (M/M/1 : DG//) significa un nico servidor, capacidad de cola ilimitada y llegadas de una poblacin infinita. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente. La disciplina de la cola es General.

65

3. Procesos de nacimiento y muerte (1)

3.1 Leyes de movimiento para los d i i t tprocesos de nacimiento-muerte

66

34

Definimos el nmero de clientes presentes en un sistema de lneas de espera como el estado del


psistema de lneas de espera en el tiempo t.

Denominaremos a Pj como estado estable o probabilidad de equilibrio, del estado j.

67

El comportamiento de Pij(t) antes de alcanzar en forma aproximada el estado estable se llama comportamiento transitorio del sistema de lneas de espera.


Un proceso de nacimiento-muerte es un proceso estocstico de tiempo continuo para el cual el estado del sistema, en cualquier momento, es un entero no negativo.

68

35

Ley 1 Con probabilidad t+o(t) un

Leyes de movimiento para los procesos de nacimiento-muerte (1)

Ley 1.- Con probabilidad jt+o(t), un nacimiento ocurre entre el tiempo t y el tiempo t+t. Un nacimiento incrementa el estado del sistema en 1, hasta j+1. La variable j es llamada tasa de nacimientos en el estado j. en muchos sistemas de lneas de espera, un nacimiento es simplemente una llegada.

69

Ley 2 - Con probabilidad t+o(t) una muerte


Ley 2. Con probabilidad jt+o(t), una muerte ocurre entre el tiempo t y el tiempo t + t. Una muerte decrementa el estado del sistema en 1, hasta j-1. La variable j es llamada tasa de mortalidad en el estado j. En muchos sistemas de lneas de espera, una muerte es la finalizacin de un servicio. Obsrvese que debe cumplirse 0 = 0 o podra presentarse un estado negativo

70

0 o podra presentarse un estado negativo.

36


Ley 3.- Los nacimientos y las muertes son independientes entre s.

71


72

37

Relacin de la distribucin exponencial con los procesos de nacimiento-muerte

La mayor parte de los sistemas de lneas de espera con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios exponenciales se podran modelar como si fueran procesos de nacimiento-muerte.

73

Mostraremos como las Pj se podran determinar para un proceso arbitrario de nacimiento-muerte.

Derivacin de las probabilidades de estado estable (1)

p

La clave es relacionar (para t pequeas) Pij(t+t) con Pij(t).

,...)2,1()(1111 =+=+ ++ jPPP jjjjjjj =

74

Las ecuaciones de arriba son llamadas ecuaciones de balance de flujo, o ecuaciones de conservacin del flujo, para un proceso nacimiento-muerte.

0011 =

38

Obtenemos las ecuaciones de balance de flujo para d i i t t


un proceso de nacimiento-muerte:

3311222

2200111

1100

)()i(

)()2()()1(

)0(

+=+=+=+=

==

PPP ij

PPPjPPPj

PPj

M

75

1111)()ecuacin ( ++ +=+ jjjjjjj PPPsimaj

Sea:


Entonces:

,...)2,1(...

...

321

1210 == jCj

jj

,...)2,1(0 == jCPP jj

76

,...)2,1(0 jCPP jj

39

Si es finita, podemos resolver para P0: ==jj jC1= jP0

1

Solucin de las ecuaciones de balance de flujo (1)

Se puede demostrar que si es infinita, entonces, no existe distribucin de estado estable.

==

+j

jjC

1

0

1

==jj jC1

77

La razn ms comn para que no exista el estado estable es que la tasa de llegadas es por lo menos igual a la tasa mxima a la cual los clientes pueden ser atendidos.

Una vez obtenidas las probabilidades de los diferentes estados, podemos calcular:


estados, podemos calcular:

El nmero promedio de clientes en el sistema: L = n=0, n PnLa longitud promedio de cola: L = (n s) P

78

Lq = n=s, (n-s) PnEl nmero de servidores s representa el nmero de clientes que pueden estar en servicio y no en la cola al mismo tiempo.

40

Adems, usando las frmulas de Little obtenemos:


El tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema: W = L / pEl tiempo promedio que cada cliente permanece en la cola:

79

Wq = Lq / p

Otras frmulas son:


El tiempo promedio de permanencia en el servicio:Ws = Ls / pLa relacin entre los tiempos es: W = Wq + Ws (L = Lq + Ls )

El factor de utilizacin:

80

El factor de utilizacin: = p/s

41

El promedio de las tasas de llegada para todos los estados ponde ada po la p obabilidad de cada


estados, ponderada por la probabilidad de cada estado:

p = j=0, j PjCuando j = para todos los estados posibles del sistema, tendremos: p =

81

4. Modelo de colas con poblacin infinita

4.1 Modelo de colas con poblacin infinita y un servidor

4.2 Modelo de colas con poblacin infinita y varios servidores

82

42

Los parmetros del modelo son:Llegadas Poisson = para n = 0 1 2

Modelo de colas con poblacin infinita y un servidor - M/M/1:DG// (1)

Llegadas Poisson n para n 0, 1, 2, ... , Servicio Exponencial n = para n = 1, 2, 3, ... ,

83

El factor de utilizacin del servidor: = /


Si > 1 entonces se forma una cola infinita.

Si < 1 entonces el sistema de colas alcanzar la condicin de estado estable.

84

Cn = i=1,n (i-1/i) = (/)n = n para n = 1, 2, 3, ... ,

43

L b bilid d d h ll l i t


La probabilidad de hallar el sistema vaco, es:P0 = [1 + n=1, Cn]-1 = [1 + n=1, n]-1 = [n=0, n]-1 = 1 La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = Cn P0 = (1 )n para n = 1, 2, 3, ... , La probabilidad de hallar el sistema ocupado, es:P(n 1) = 1 P0 =

85

La probabilidad de hallar k o ms clientes en el sistema, es:P(n k) = k para k = 1, 2, 3, ... ,

El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = / ( )


( )El nmero promedio de clientes en la cola, es:Lq = 2 / [ ( )]El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:W = 1 / ( )

86

El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = / [ ( )]

44

Problema 3.1La cola rpida del Supermercado Don Lucho atiende slo


La cola rpida del Supermercado Don Lucho atiende slo clientes con 10 artculos o menos, y como resultado, es mucho ms veloz para estos clientes que las colas normales. El gerente ha estudiado esta cola y ha determinado que los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 30 por hora y que, el tiempo necesario para que un cliente sea atendido tiene una distribucin Exponencial con media de 1 minuto.

a) Hallar los alores de

87

a) Hallar los valores de y .b) En promedio, a cuntos clientes se est atendiendo o estn

esperando?c) En promedio, cunto debe esperar un cliente antes de poder

retirarse?

Problema 3.2En el mostrador de libros de la biblioteca de la Universidad de Huaura los estudiantes que se retiran deben abrir sus mochilas


Huaura, los estudiantes que se retiran deben abrir sus mochilas, maletines, bolsas, portafolios, etc., para que el vigilante verifique si no hay robos de libros, revistas o documentos. El tiempo que se requiere para hacer esta verificacin tiene una distribucin Exponencial con media de 1 minuto. Se ha determinado que los estudiantes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 20 por hora.

88

a) Hallar los valores de y .b) Qu tiempo le llevar a un estudiante pasar por la revisin?c) En promedio, cuntos estudiantes se encuentran esperando en la

cola en cualquier momento?d) Durante qu fraccin de tiempo estar libre el vigilante que revisa

las bolsas para poder dedicarse a estudiar?

45

Los parmetros del modelo son:Llegadas Poisson n = para n = 0, 1, 2, ... ,

Modelo de colas con poblacin infinita y varios servidores - M/M/s:DG// (1)g n p , , , ,

Servicio Exponencial n = n para n = 1, 2, 3, ... , s-1n = s para n = s, s+1, s+2 , ... ,

89

El factor de utilizacin del servidor: = /s

Modelo de colas con poblacin infinita y varios servidores - M/M/s:DG// (2)

Si > 1 entonces se forma una cola infinita.

Si < 1 entonces el sistema de colas alcanzar la condicin de estado estable.

90

Cn = (/)n / n! para n = 1, 2, 3, ... , s-1Cn = (/)n / (s! sn-s) para n = s, s+1, s+2, ... ,

46

La probabilidad de hallar el sistema vaco, es:P { [ (/ )) / !] [((/ )) / ( ! (1 ))] } 1


P0 = { [n=0, s-1 (/))n / n!] + [((/))s / (s! (1 ))] }-1

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = [(/)n / n!] P0 para n = 1, 2, 3, ..., s-1Pn = [(/)n / (s! sn-s)] P0 para n = s, s+1, s+2, ...,

91

La probabilidad de hallar el sistema ocupado, es:P(n s) = (/)s P0 / [s!(1 )]

El nmero promedio de clientes en la cola, es:L = { (s)s / [(1 )2 s!] } P


Lq = { (s)s / [(1 )2 s!] } P0El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = Lq + sEl tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:W = L /

92

Wq Lq / El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:W = L /

47

Problema 3.3El autocinema Miramar tiene tres taquillas, cada una de las cuales atiende una cola de clientes Los automviles llegan al autocinema de acuerdo a un


una cola de clientes. Los automviles llegan al autocinema de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 90 por hora y cada taquilla tiene un tiempo de atencin de acuerdo a una distribucin Exponencial con media de 1.5 minutos.

a) Qu tipo de modelo de colas es ste?b) Cul es la probabilidad de que, si consideramos una sola de las taquillas, se

encuentre desocupada? Cul es la probabilidad de que se est atendiendo a tres automviles?

c) Cul es el nmero promedio de automviles en cada una de las taquillas?

93

c) Cul es el nmero promedio de automviles en cada una de las taquillas?d) Cul es el tiempo promedio que un automvil espera antes de llegar a la taquilla?e) Si el autocinema decide utilizar una sola cola para la venta de todos los boletos en

las tres taquillas, qu caracterstica de operacin esperara usted que cambiara ms?

Problema 3.4Un laboratorio de la ciudad est planeando ofrecer un servicio al pblico en general. Este servicio consistir en dar informacin mdica sobre diversos


general. Este servicio consistir en dar informacin mdica sobre diversos temas a las personas que marquen el nmero de informacin. Las llamadas telefnicas se realizan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 40 por hora. Una operadora de la central telefnica contestar a las personas que llamen e intentar responder sus preguntas. El tiempo de atencin de la operadora se ajusta a una distribucin Exponencial con media de 6 minutos. El laboratorio desea que la probabilidad de que las personas que llamen encuentren ocupada la lnea telefnica sea a lo ms

94

personas que llamen encuentren ocupada la lnea telefnica, sea a lo ms 0.1%. Para ello se ha decidido aumentar el nmero de las lneas de la central telefnica. Se supone que habr una operadora por lnea telefnica.

Calcule el nmero de lneas telefnicas necesarias para alcanzar el nivel de atencin deseado.

48

Debe existir un equilibrio entre el COSTO DE proporcionar un buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la mquina que deben ser

5. Anlisis econmico de los modelos de cola (1)

DE ESPERA del cliente o de la mquina que deben ser atendidos.

Lo deseable es que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen ms.

95

Sin embargo, se debe evaluar la longitud en la fila de espera, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO.

Equilibrio entre C t d C t d i i


Costos de espera y Costos de servicio

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo

Costo Total Mnimo

COSTO TOTAL ESPERADO

96

Nivel ptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

49

Los costos de servicios se incrementan si se mejora el nivel de servicio Un centro de servicio puede variar su


nivel de servicio. Un centro de servicio puede variar su capacidad teniendo personal o mquinas adicionales que son asignadas para incrementar la atencin cuando crecen excesivamente los clientes.

En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario.E b t d h d t

97

En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas pocas del da o del ao.

Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo did l fil d


perdido en las filas de espera.

Este costo puede reflejar prdida de productividad de los empleados que estn esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.

98

largas.

En ciertos servicios el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.

50


Costo de servicio = E(CS)Costo horario de un servidor = csNmero de servidores = s

E(CS) ( )( )

99

E(CS) = (cs)(s)


Costos de espera = E(CE)Costo horario de un cliente espera en la cola = ceTamao esperado de la cola = LqE(CE) = (c )(L )

100

E(CE) (ce)(Lq)

51

Problema 3.5La compaa arrendadora de automviles LimaCar opera su propia


p p p pinstalacin de lavado y limpieza de automviles para prepararlos para su renta. Los automviles llegan a la instalacin de limpieza de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 5 por da. La compaa ha determinado que los automviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por da, en donde n es el nmero de personas que trabajan en un automvil. Este procedimiento de lavado se ajusta a la distribucin Exponencial. La compaa les paga a

101

sus trabajadores I/.30.00 por da y ha determinado que el costo por un automvil que no est disponible para rentarlo es de I/.25.00 por da.

a) Calcule el nmero de empleados que deben contratarse en la instalacin de lavado, para que produzca el menor costo?

b) Calcule los valores de P0, Pn, L, Lq, W y Wq para el nmero de empleados que eligi.

Problema 3.5 (continuacin)Ahora, LimaCar est considerando aadir un taller de lavado para


, pincrementar su negocio. La nueva tasa media de llegadas es de 8 automviles por da, en tanto que la tasa de lavado para cada taller ser la misma. La compaa ha determinado que el costo adicional de las nuevas instalaciones es I/.50.00 por da.

c) Bajo estas nuevas condiciones, determine si la compaa LimaCar debe aadir la instalacin adicional o no.

102

d) Calcule los valores de P0, Pn, L, Lq, W y Wq para el plan que tenga el menor costo.

52

6. Modelo de colas con capacidad limitada

6.1 Modelo de colas con capacidad limitada, poblacin infinita y un servidor

6.2 Modelo de colas con capacidad

103

limitada, poblacin infinita y varios servidores

Los parmetros del modelo son:Ll d P i 0 1 2 1

Modelo de colas con capacidad limitada, poblacin infinita y un servidor - M/M/1:DG/c/ (1)

Llegadas Poisson n = para n = 0, 1, 2, ... , c-1Servicio Exponencial n = para n = 1, 2, 3, ... , c

104

53

El factor de utilizacin del servidor: /


El factor de utilizacin del servidor: p/

Si = p/ 1 entonces el sistema de colas alcanzar la condicin de estado estable.

Cn = (/)n = n para n = 1, 2, 3, ... , c

105

Cn = 0 para n = k+1, k+2, ... ,

La probabilidad de hallar el sistema vaco es:


La probabilidad de hallar el sistema vaco, es:P0 = (1 ) / (1 c+1)

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = [(1 ) / (1 c+1)] n para n = 1, 2, 3, ..., c

106

La tasa media de llegadas al sistema, es:p = (1 Pc)

54

El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = [ / (1 )] [ (c+1) c+1 / (1 c+1)]


[ ( )] [ ( ) ( )]El nmero promedio de clientes en la cola, es:Lq = L (1 P0)

El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = Lq / [ (1 Pc)]

107

q q

El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:W = L / [ (1 Pc)]

Para = 1:


La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = 1 / (c + 1) para n = 0, 1, 2, 3, ..., c

El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = c/2

108

L c/2

Las dems frmulas siguen siendo vlidas.

55

Los parmetros del modelo son:Llegadas Poisson = para n = 0 1 2 c-1

Modelo de colas con capacidad limitada, poblacin infinita y varios servidores - M/M/s:DG/c/ (1)

Llegadas Poisson n para n 0, 1, 2, ... , c 1Servicio Exponencial n = c para n = 1, 2, 3, ... , s-1

n = s para n = s, s+1, s+2, ..., c

109

El factor de utilizacin del servidor: /s


El factor de utilizacin del servidor: p/s

Si = p/s 1 entonces el sistema de colas alcanzar la condicin de estado estable.

Cn = (/)n / n! para n = 1, 2, 3, ... , s-1

110

Cn = (/)n / [s! sn-s ] para n = s, s+1, s+2, ... , cCn = 0 para n = c+1, c+2, ... ,

56

La probabilidad de hallar el sistema vaco, es:


p ,P0 = { 1 + [n=1, s-1 (/))n / n!] + [(/))s / s!] n=s, c )n-s }-1

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = [(/)n / n!] P0 para n = 1, 2, 3, ..., s-1Pn = [(/)n / (s! sn-s)] P0 para n = s, s+1, s+2, ..., c

111

La tasa media de llegadas al sistema, es:p = (1 Pc)

El nmero promedio de clientes en la cola, es:


Lq = [P0(/)s / [s! (1 )2]] [1 c-s (c s) c-s (1 )]El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = n=0,s-1 n Pn + Lq + s(1 n=0,s-1 Pn)El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:W L / [ (1 P )]

112

W = L / [ (1 Pc)]El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = Lq / [ (1 Pc)]

57

Los parmetros del modelo son:

7. Modelo de colas con servidores infinitos - M/M/:DG// (1)

Llegadas Poisson n = para n = 0, 1, 2, ..., Servicio Exponencial n = para n = 1, 2, 3, ...,

113

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:

7. Modelo de colas con servidores infinitos - M/M/:DG// (2)

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = (/)n e-/ / n! para n = 0, 1, 2, 3, ... , El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = /El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema,

114

es:W = 1/

58

8. Modelo de colas con poblacin finita

8.1 Modelo de colas con poblacin finita y un servidor

8.2 Modelo de colas con poblacin finita y varios servidores

115

Los parmetros del modelo son:

Modelo de colas con poblacin finita y un servidor - M/M/1:DG/k/k (1)

Llegadas Poisson n = (k n) para n = 0, 1, 2, ..., k-1Servicio Exponencial n = para n = 1, 2, 3, ..., k

116

59

Cn = k! (/)n / (k n)! para n = 1, 2, 3, ..., k


n ( ) ( ) p , , , ,La probabilidad de hallar el sistema vaco, es:P0 = [n=0,k k! (/)n / (k n)! ]-1

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = k! (/)n P0 / (k n)! para n = 1, 2, 3, ..., k

117

La tasa media de llegadas al sistema, es:p = (k L)

El nmero promedio de clientes en el sistema, es:


L = k (1 P0) / El nmero promedio de clientes en la cola, es:Lq = k ( + ) (1 P0) / El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema, es:W L / [(k L)]

118

W = L / [(k L)]

El tiempo promedio que pasa un cliente en la cola, es:Wq = Lq / [(k L)]

60

Los parmetros del modelo son:Ll d P i (k ) 0 1 2 k 1

Modelo de colas con poblacin finita y varios servidores - M/M/s:DG/k/k (1)

Llegadas Poisson n = (k n) para n = 0, 1, 2, ..., k-1Servicio Exponencial n = n para n = 1, 2, 3, ..., s-1

n = s para n = s, s+1, s+2, ..., k

119

Cn = k! (/)n / (k n)! n! para n = 1, 2, 3, ..., s-1


Cn = k! (/)n / (k n)! s! sn-s para n = s, s+1, s+2, ..., kLa probabilidad de hallar el sistema vaco, es:P0 = { n=0,s-1 (/)n k! / [(k n)! n!]

+ n=s,k (/))n k! / [(k n)! s! s(n-s)]}-1La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:P k! (/ )n P / [(k )! !] 1 2 3 1

120

Pn = k! (/)n P0 / [(k n)! n!] para n = 1, 2, 3, ..., s-1Pn = k! (/)n P0 / [(k n)! s! sn-s] para n = s, s+1, s+2, ..., kLa tasa media de llegadas al sistema, es:p = (k L)

61

El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = n=0,s-1 n Pn + n=s,k (n s) Pn + s (1 n=0,s-1 Pn)


, , ,

El nmero promedio de clientes en la cola, es:Lq = n=s,k (n s) Pn

El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema, es:W L / [(k L)]

121

W = L / [(k L)]

El tiempo promedio que pasa un cliente en la cola, es:Wq = Lq / [(k L)]

9. Redes de colas

9.1 Modelo de colas en serie9.2 Redes abiertas9.3 Redes cerradas

122

62

En los modelos de lneas de espera tratados hasta este momento, un tiempo de servicio completo al cliente transcurre en un solo servidor

Modelo de colas en serie (1)

cliente transcurre en un solo servidor.

En muchas situaciones el servicio no se completa hasta que el cliente ha sido atendido por ms de un servidor.

123

Un sistema como este se denomina modelo de colas de k etapas en serie.

Teorema.- Si (1) los tiempos de espera entre llegadas para un sistema de lneas de espera

Modelo de colas en serie (2)

en serie son exponenciales con tasa , (2) los tiempos de servicio por cada servidor de la etapa i son exponenciales, y (3) cada etapa tiene una sala de espera de capacidad infinita, entonces los tiempos entre llegadas para las llegadas a cada etapa del sistema de lneas de

124

llegadas a cada etapa del sistema de lneas de espera son exponenciales con tasa .

63

Las redes abiertas de lneas de espera son una generalizacin de las lneas de espera en serie. Suponga que la estacin j consiste de s

Redes abiertas (1)

Suponga que la estacin j consiste de sjservidores exponenciales, cada operando a una tasa j.

Se supone que los clientes llegan a la estacin j desde afuera del sistema de colas a una tasa rj.

125

Tambin se supone que estos tiempos entre llegadas se apegan a una distribucin exponencial.

Una vez que se completa el servicio de la estacin i un cliente se forma en la cola de la

Redes abiertas (2)

estacin i, un cliente se forma en la cola de la estacin j con probabilidad pij y termina el servicio con probabilidad

==

kj

jijp

11

126

j

64

Definamos j, la tasa a la cual los clientes llegan a la estacin j.

Redes abiertas (3)

1, 2, k se pueden determinar al resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Esto se infiere porque una fraccin pij de las llegadas a la estacin i llegarn luego a la

),...,2,1(1

kjprki

iiijjj =+= =

=

127

llegadas i a la estacin i llegarn luego a la estacin j.

Suponga que sij > j se cumple para todas las estaciones.

Entonces, se puede demostrar que la distribucin de probabilidad del nmero de clientes presentes en la estacin j y el nmero de clientes esperados

Redes abiertas (4)

en la estacin j y el nmero de clientes esperados en la estacin j se puede determinar si se trata a la estacin j como un sistema (M/M/sj:DG//) con tasa de llegadas j y tasa de servicio j.

Si para alguna j s entonces no existe

128

Si para alguna j, sj j j, entonces no existe distribucin de estado estable de los clientes.

65

Observar que la cantidad de clientes presentes en cada estacin es una variable aleatoria independiente.

Redes abiertas (5)

independiente.

Es decir, conocer la cantidad de personas en todas las estaciones que no son la estacin j no nos dice nada respecto a la distribucin del nmero de personas en la estacin j.

129

Este resultado no se cumple en el caso de que no sean exponenciales los tiempos entre llegadas o los tiempos de servicio.

Para determinar L, el nmero esperado de clientes en el sistema de colas, sume el nmero

d d li d i

Redes abiertas (6)

esperado de clientes presentes en cada estacin.

Para determinar W, el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, aplique la frmula L = W a todo el sistema.

130

Aqu = r1 + r2 + + rk porque representa la cantidad promedio de clientes por unidad de tiempo que llega al sistema.

66

1 = 40s1 = 1

r1 = 10

p 0 5p32 3 = 0.53

(1 - p12 - p13) 1 = 0.21

p13 1 = 0.31

2 = 50s2 = 1

r2 = 15

p12 1 = 0.51

p23 2 = 0.22

(1 p21 p23) 2 = 0.52

p21 2 = 0.32

131

3 = 30s3 = 1

r3 = 3

(1 p31 p32) 3 = 0.13p31 3 = 0.43

Sistema de ecuaciones:

1 = r1 + p21 2 + p31 3 = 10 + 0.3 2 + 0.4 32 = r2 + p12 1 + p32 3 = 15 + 0.5 1 + 0.5 33 = r3 + p13 1 + p23 2 = 3 + 0.3 1 + 0.2 2

Solucin:

1 = 30 clientes / hora



132

L1 = 3 clientes

L2 = 4 clientes

L3 = 2 clientes

W = (L1 + L2 + L3) / (r1 + r2 + r3)

W = (9 / 28)*60 = 19 minutos

67

Para una red de computadoras ocupada, sera conveniente suponer que tan pronto como un trabajo deja el sistema, otro trabajo llega a reemplazarlo

Redes cerradas (1)

reemplazarlo.

Sistemas donde hay una cantidad de trabajos presente, se podra modelar como redes cerradas de lneas de espera.

133

Como la cantidad de trabajos en el sistema siempre es constante, la distribucin de trabajos en servidores distintos no puede ser independiente.

El algoritmo de Buzen puede ser usado para determinar probabilidades de estado estable para redes cerradas de lneas de espera.

Redes cerradas (2)

Sea j igual a la tasa de llegadas para el servidor j.

Como no hay llegadas externas, podramos hacer d l 0 b l l d i

134

todas las rj=0 y obtener los valores de j a partir de la ecuacin usada en el caso de las redes abiertas.

Esto es, =

===

si

iijij sjP

1

),...2,1(

68

Como los trabajos nunca dejan el sistema, porcada I, 1

1= ==sjj ijP

Redes cerradas (3)

Este hecho causa que la ecuacin en ladiapositiva anterior no tenga solucin nica.Por fortuna, podemos usar cualquier solucin paraobtener las probabilidades de estado estable.

1 =j ij

135

Si definimos entonces determinamos, paracualquier estado n su probabilidad de estadoestable N(n) a partir de la siguiente ecuacin

i

iip

=

)()(

2121

NG

snn

nn

N L=n

Aqu = snnnNG 21)(

Redes cerradas (4)

Aqu,

El algoritmo de Buzen proporciona una manera eficaz para determinar (en una hoja de clculo) G(N).

Una vez que tenemos las probabilidades de estado estable calc lamos con facilidad otros medidas de

=NSn

nNG L21)(

136

estable, calculamos con facilidad otros medidas de efectividad .

69

10. Modelos de colas con distribucin de servicio no exponencial

10.1Modelo de colas con distribucin de servicio general

10.2 Modelo de colas con distribucin de servicio determinstica

137

10.3 Modelo de colas con distribucin de servicio Erlang

Llegadas Poisson con media 1/

Modelo de colas con distribucin de servicio general - M/G/1:DG// (1)

Servicio con media 1/ y varianza 2

El factor de utilizacin del servidor: = / < 1


138

P0 = 1

70

El nmero promedio de clientes en la cola, es:L = [2 2 + 2] / [2 (1 )]

Modelo de colas con distribucin de servicio general - M/G/1:DG// (2)Lq [ + ] / [2 (1 )]El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = + LqEl tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = Lq / El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:

139

p p q p ,W = Wq + 1/

Llegadas Poisson con media 1 /

Modelo de colas con distribucin de servicio determinstica - M/D/1:DG// (1)

gServicio con media 1/ y varianza 2 = 0



140

P0 = 1

71

El nmero promedio de clientes en la cola, es:L = [2] / [2 (1 )]

Modelo de colas con distribucin de servicio determinstica - M/D/1:DG// (2)

Lq [ ] / [2 (1 )]El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = + LqEl tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = Lq / El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:

141

p p q p ,W = Wq + 1/

Llegadas Poisson con media 1 /

Modelo de colas con distribucin de servicio Erlang - M/Ek/1:DG// (1)

Servicio con media 1/ y varianza 2 = 1 / (k2)



142

P0 = 1

72

El nmero promedio de clientes en la cola, es:L = [(1 + k) / 2k] [2] / [ ( )]


Lq [(1 + k) / 2k] [ ] / [ ( )]El nmero promedio de clientes en el sistema, es:L = + LqEl tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = Lq / El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:

143

p p q p ,W = Wq + 1/

Problema 3.6El jefe de la oficina de admisin de una Escuela de Negocios


El jefe de la oficina de admisin de una Escuela de Negocios, maneja solicitudes de ingreso a la Maestra en Administracin de Negocios sobre la base de que el primero que llega es el primero que se atiende. Estas solicitudes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 5 por da. La distribucin de probabilidad en los tiempos de servicio es tal que la desviacin estndar es 1/10 de da y la media es 1/9 de da. Cul es el tiempo

144

y ppromedio que una solicitud espera para ser procesada? En promedio, cuntas solicitudes estn en espera de ser procesadas en cualquier momento?

73

11. Modelos de colas con disciplina de prioridades

11.1Modelo de colas con prioridad adquirida

11.2 Modelo de colas sin prioridad adquirida

145

Modelo de colas con prioridad adquirida (1)

Llegadas Poisson i para la prioridad de clase i (i = 1, 2, 3, ..., N)Servicio Exponencial Servicio Exponencial Nmero de servidores en paralelo s

= n=1, N i

Las siguientes ecuaciones son vlidas slo cuando

146

Las siguientes ecuaciones son vlidas slo cuando = / s < 1

74

El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k en la cola es:


en la cola, es:Wqk = 1 / (A Bk-1Bk) para k = 1, 2, 3, ..., N

Donde:A = s! [(s - )/(s)s] (j=0,s-1 (s )j / j!) + sB0 = 1

147

B0 1Bk = 1 - (i=1,k i) / s para k = 1, 2, 3, ..., N

El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad ken el sistema es:


en el sistema, es:Wk = Wqk + 1 / para k = 1, 2, 3, ..., NEl nmero promedio de clientes de la clase de prioridad k en elsistema, es:Lk = k Wk para k = 1, 2, 3, ..., NEl nmero promedio de clientes de la clase de prioridad k en la

148

p pcola, es:Lqk = k Wqk para k = 1, 2, 3, ..., N

75

Llegadas Poisson i para la prioridad de clase i (i = 1, 2, 3, ..., N)S i i E i l

Modelo de colas sin prioridad adquirida (1)

Servicio Exponencial Nmero de servidores en paralelo s

= n=1, N i

Las siguientes ecuaciones son vlidas slo cuando

149

Las siguientes ecuaciones son vlidas slo cuando = / s < 1

El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k


El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k en el sistema, es:Wk = 1 / ( Bk-1Bk) para k = 1, 2, 3, ..., N

Donde:B0 = 1

150

Bk = 1 - (i=1,k i) / s para k = 1, 2, 3, ..., N

76

El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad ken la cola es:


en la cola, es:Wqk = Wk - 1 / para k = 1, 2, 3, ..., NEl nmero promedio de clientes de la clase de prioridad k en elsistema, es:Lk = k Wk para k = 1, 2, 3, ..., NEl nmero promedio de clientes de la clase de prioridad k en la

151

p pcola, es:Lqk = k Wqk para k = 1, 2, 3, ..., N

3 Teoría de Colas V2[1]

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