Tarea N3

Teoría de Colas

Mario Gatica CórdovaMario.alej.gc@gmail.com

Descripción breveEjercicios Resueltos de manera manual y por el software QM

Tarea –III- [Modelos de Cola]Ingeniería Civil Industrial

Universidad Mayor.

1. Una tienda de alimentación es atendida por una persona. Aparentemente el patrón de llegadas de clientes durante los sábados se comporta siguiendo un proceso de Poisson con una tasa de llegadas de 10 personas por hora. A los clientes se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO y debido al prestigio de la tienda, una vez que llegan están dispuestos a esperar el servicio. Se estima que el tiempo que se tarda en atender a un cliente se distribuye exponencialmente, con un tiempo medio de 4 minutos. Determinar:

La probabilidad de que haya línea de espera. La longitud media de la línea de espera. El tiempo medio que un cliente permanece en cola.

Respuestas:

Modelo M / M / 1

Si en 4 min se atiende a un cliente, ¿Cuántos se atienden en 1 hr ?

14min

= x

60m∈¿ ;entonces nosqueda x=60min4min

=15 PersonasHora

¿

Parámetros del Sistema

λ=10 y μ=15

a) La probabilidad de que haya línea de espera

P (Espera )=1−p0−p1

P (Espera )=1−(1−1015 )−([1−10

15 ] x(1015 )

1

)P (Espera )=4

9≈0,444

La probabilidad de que haya línea de espera es de un 44, 44%

Docente Jorge Andrés Urrutia.

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Universidad Mayor.

b) La longitud media de la línea de espera

Lq=102

15 (15−10 )

Lq=43≈1,333

El número medio de personas en cola es de 1

c) El tiempo medio que un cliente permanece en cola

W q=

43

10

W q=2

15≈0,133

El cliente permanece 0,1333 horas de media en cola, equivalente a 8 minutos

2. Al supercomputador de un centro de cálculo llegan usuarios según un proceso de Poisson de tasa 5 usuarios cada hora. Sabiendo que ´estos consumen un tiempo de computo aleatorio cuya distribución puede suponerse exponencial de media 1 / 6 de hora y que la disciplina de atención es FIFO. Se pide:

El número medio de clientes en el sistema y el número medio de usuarios que están usando el supercomputador.

Si en la sala de espera hay 4 sillas, ¿cuál es la probabilidad de que un usuario que llega a la sala tenga que esperar de pie?

Calcula el tiempo medio total de respuesta de un usuario.

Respuestas:

Modelo M / M / 1

Docente Jorge Andrés Urrutia.

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Universidad Mayor.

Tiempo esperado de servicio 16 hr, equivalente a

1μ

Con lo que se concluye que la tasa media de servicio es 6 clientes por hora

Parámetros del Sistema

λ=5 y μ=6

a) El número medio de clientes en el sistema

L=Lq+λμ

L= 52

6 (5−6 )+ 5

6

L=5Clientes

El número medio de usuarios que están usando el supercomputador.

Factor deUtilización ; P= λμ

P=56≈0,8333

b) Si en la sala de espera hay 4 sillas, ¿cuál es la probabilidad de que un usuario que llega a la sala tenga que esperar de pie?

Para que un usuario quede de pie al llegar a la sala, las cuatro sillas deben estar ocupadas, por lo que debe haber, al menos, más de 5 usuarios.

p [n≥5 ]=1− p [n≤4 ]

p [n≥5 ]=1−∑n=0

4

( 56 )

n

x (1−56 )

Docente Jorge Andrés Urrutia.

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Universidad Mayor. Por propiedad de la Suma de la progresión geométrica, nos queda lo siguiente:

p [n≥5 ]=1−(1−56 )

(1−(56 )

5)(1−5

6 )=0,4018

La probabilidad de que un usuario tenga que esperar de pie al momento de llegar a la sala, es de un 40,18 %

c) Calcula el tiempo medio total de respuesta de un usuario.

Esto se da con el número medio de clientes en el sistema sobre la tasa de llegada

W s=1

(μ−λ )= 1

(6−5 )=1Hora

Por lo tanto, el tiempo medio total de respuesta de un usuario es de 1 hora.

3. En un centro de salud con tres médicos, los pacientes llegan de forma aleatoria (tiempos de llegada exponenciales) a razón de 12 por hora. ´ Estos son atendidos en orden de llegada por el primer médico que esté libre. Cada médico tarda una media de 13 minutos en atender a cada paciente (tiempos de atención exponenciales).

Calcula la proporción de tiempo que está cada médico atendiendo a pacientes. Calcula el número medio de pacientes que están en la sala de espera. Calcula el tiempo

medio total de espera de un paciente. ¿Qué ocurriría en el centro si uno de los 3 médicos se ausenta?

Respuestas:

Modelo M / M / 3

Docente Jorge Andrés Urrutia.

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Si el médico tarde 13 minutos en atender a un paciente, en una hora ¿A cuántos atiende?

113

=60x→x=60

13=4,62 pacientes=μ

Parámetros del Sistema

λ=12 y μ=4.62

a) Calcula la proporción de tiempo que está cada médico atendiendo a pacientes.

Se debe sacar la Utilización, usando QM

P= 123 x 4,62

=0,8658

b) Calcula el número medio de pacientes que están en la sala de espera. Calcula el tiempo medio total de espera de un paciente.

Número medio de pacientes en la sala de espera, según software QM

Lq=4,89

Tiempo medio total de espera de un paciente, según QM

W s=0,41Horas

c) ¿Qué ocurriría en el centro si uno de los 3 médicos se ausenta?

Claramente aumentaría la línea de espera de los pacientes.

4. Una empresa dedicada a la venta de bisutería instaló una nueva tienda donde los clientes forman una sola fila cuando pasan por las dos cajas registradoras. La empresa desea mejorar su servicio

Docente Jorge Andrés Urrutia.

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Universidad Mayor. ya sea contratando un nuevo cajero o mediante la instalación de detectores de barras en las cajas ya existentes. Los clientes llegan a una tasa de 12 por hora y el tiempo que un cajero necesita para atender a 8 clientes es de una hora. Los asesores estiman que modernizar los cajeros con un equipo de código de barras aumentaría la eficiencia en 20% en la tasa de servicio. El costo por hora de un cajero es de $ 15 y se sugiere el costo de un cliente en espera en $30 por hora. Para cubrir el costo del equipo de código de barras, la tasa del cajero debería aumentarse a $19. ¿Debe la compañía cambiar su actual sistema de operación por alguna de las dos propuestas

Modelo M / M / 2

a) Sin Ningún Cambio (Actual Sistema)

b) 3 Cajeros ( Opcion1 Cajero más)

c) Cajero 1 y 2 con códigos de barra (Opción 2)

Docente Jorge Andrés Urrutia.

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Universidad Mayor.

Efectivamente la compañía debe cambiar su actual sistema de operación, es más, comparando los costos totales y la cantidad de persona en cola, la mejor propuesta a elegir sería la de contratar a un nuevo cajero.

Docente Jorge Andrés Urrutia.