Modelo de líneas de espera

(Teoría de colas)

Teoría de Colas

Las colas son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para ir al cine, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo.

La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema.

Las colas o líneas de espera, son realidades cotidianas

Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco.

Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora.

Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo.

Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

Teoría de colasUn sistema de colas tiene dos componentes básicos: La cola Mecanismo de servicio

Las Colas

En general, a nadie le gusta esperar Cuando la paciencia llega a su límite, la

gente se va a otro lugar. Sin embargo, un servicio muy rápido tendría

un costo muy elevado. Es necesario encontrar un balance adecuado

Teoría de colas (Económico)

Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.

Teoría de colas (Económico)

Incluye el estudio matemático(Costos) por ejemplo:

Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio.

La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones.

Generalmente el administrador se encuentra entre 2

dilemas

Asumir los costos derivados de

prestar un BUEN SERVICIO

Asumir los costos derivados de tener

LARGAS FILAS

Vamos a la practica…Teoría de Colas

Supuestos

Es importante conocer los siguientes datos para poder hacer los cálculos respectivos.

Son por lo general variables estocásticas(aleatorias)

Tiempo entre llegadas

Tiempo de servicio

Número de servidores

Parámetros

LAMDA

Cantidad de tiempo que dura una persona

en ser atendida

Cantidad de tiempo por persona en el que

está en la cola

Tiempo de Llegada

MI

Tiempo de servicio

λ

Para ilustrar los conceptos relacionados con el tema de Teoría de colas, se presenta el siguiente ejemplo sobre un restaurante que vende hamburguesas (fast-food)

Tiempo entre llegadas Los estudiosos del tema han descubierto que la distribución de

probabilidad de POISSON suele proporcionar una buena descripción del problema.

La probabilidad de que lleguen ‘x’ clientes al sistema en un periodo de tiempo ‘t’ es:

X: Número de llegadas en el intervalo de tiempo.

λ: Número promedio de llegadas por unidad de tiempo (intensidad del proceso de llegadas).

e: 2.71828

Tiempo entre llegadas(2) Suponga que el restaurante de fast-food ha analizado datos de

llegada de sus clientes y concluido que la tasa media de llegadas es de 45 clientes / hora.

La posibilidad de que ‘X’ clientes lleguen en 1 minuto sería ?

Personas Probalidad

1 0.3543

2 0.1329

3 0.0332

4 0.0062

5 0.0009

6 0.0001

7 0.0000

8 0.0000

9 0.0000

10 0.0000

Tiempo de servicio Se refiere al tiempo que pasa el cliente en el servicio,

mientras es atendido.

Si el tiempo de duración del servicio ofrecido por un servidor sigue una distribución exponencial, entonces, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor que ‘t’ es:

μ: Número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo

Se supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente, ni de la posible cola que pueda estar formándose.

Tiempo de servicio(2) Suponga que el proceso de tomar la orden, cobrar y entregar lo

realiza el cajero a una tasa promedio de 60 clientes / hora.

Determine la probabilidad de atender a un cliente en: (A) menos de 0.5 minutos, (b) 1 minuto, (c ) 2 minutos o menos ?

Tiempo Probalidad

0.5 0.60653066

1 0.367879441

1.5 0.22313016

2 0.135335283

2.5 0.082084999

3 0.049787068

3.5 0.030197383

4 0.018315639

4.5 0.011108997

5 0.006737947

Medidas de DesempeñoExpresan la manera en la que funciona

un sistema o línea de espera. Las más comunes se relacionan con:

UtilizaciónDesempeñoTiempo de esperaProbabilidad

Los modelos se deben utilizar cuando el sistema es estable(MUY IMPORTANTE).

UtilizaciónRO

Que tan ocupados van a estar los servidores en el sistema.

Parámetros de eficiencia

ρ ρ=λ µ

Factor de Utilización

Sí > 1, el sistema tiende a crecer con el

tiempo.

EFICIENCIA:Se trata de la capacidad de alcanzar un objetivo fijado con anterioridad en el menor tiempo posible y con el mínimo uso posible de los recursos, lo que supone una optimización.

Sí <= 1, el sistema es estable.

Longitudes L: Número esperado de clientes en el sistema.

Lq: Número esperado de clientes en la cola.

Tiempo de espera W: Tiempo estimado de espera en el sistema(incluyendo el servicio)

para cada cliente.

Wq: Tiempo estimado de espera en el sistema(excluyendo el tiempo de servicio para cada cliente.

Probabilidad P0: Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema.

Pn: Probabilidad de que hayan n clientes en el sistema.

Pw: Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar en el sistema.

MODELOS DE FILAS DE ESPERA

A / B / K A ->Indica la distribución de probabilidad de las llegadas

B ->Indica la distribución de probabilidad para el tiempo de servicio

K -> Indica el número de servidores

Así entonces, la sig. Notación se empleará:

M ->Indica distribución de llegadas Poisson o tasa de servicio exponencial

D -> Indica que las llegadas o el tiempo de servicio son determinísticas o constantes.

G -> Indica que las llegadas y el tiempo de servicio tienen una distribución normal con media y varianza conocidas.

MODELO M/M/1

Sistema de espera con:

Llegadas poissonianas. Tiempo de servicio exponencial. Un solo servidor. Disciplina fifo.

FIN …