14- Teoría de Colas (Presentación)

Teoría de Colas

Nombre profesor redactor de presentación

18 de julio, 2012

Formación por Competencias

2Módulo X Gestión de Servicios Públicos, II 2012

Contextualización

- La atención de los usuarios en un servicio de carácter privado o

público genera una cola en espera que se brinde la atención,

aplicando principios y análisis estadísticos se puede lograr que el

tiempo de espera y de atención se reduzcan a partir del

comportamiento de llegada y el tipo de servicio brindado.

- Los modelos de colas son herramientas científicas que permiten que

la administración pueda utilizar mecanismo científicos de análisis

para aumentar el nivel de servicio y reducir los tiempos de espera.

- Los modelos de colas forman parte de los métodos de planificación

de las operaciones y se complementan con la planificación de corto

y mediano plazo.



Preguntas generadoras

– ¿Cuáles son los cuatro modelos básicos de

líneas de espera?

– ¿Cómo aplicar los modelos de líneas de espera

en la prestación de servicios públicos?

– ¿Cómo dirigir un análisis económico de colas?

– ¿Qué utilidad tiene la teoría de colas para

mejorar la eficiencia y oportunidad de los

servicios públicos?



Puntos a estudiar

• Características de un sistema de líneas de espera

– Características de las llegadas– Características de la línea de espera– Características del dispositivo de servicio– Medida del funcionamiento de las colas– Costes de las colas


Contenido

• Tipos de modelos de colas

Modelo A: modelo de cola de canal único y tiempos exponenciales de servicio

Modelo B: modelo de cola muticanalModelo C: modelo de tiempo de servicio constanteModelo D: modelo de población limitada

• Otros enfoques de las colas


‘La otra línea siempre

va es más rápida.’

‘Si usted cambia de

línea, la que dejó de

utilizar comenzará a ir

más rápido que la

nueva’.

© 1995 Corel Corp.

Gracias por esperar.

Hola, ... ¿está usted ahí?

Usted ha estado ahí antes


Banco Clientes Cajero Depósito, etc.

Consulta Pacientes Doctor Tratamientodel médico

Cruce Coches Luz Paso controladode tráfico

Cadena

de montaje Piezas Trabajadores Montaje

Situación Llegadas Servidores Proceso de servicio

Ejemplos de líneas de espera


• Estudiadas por primera vez por A. K. Erlang en 1913:

– Análisis de los servicios telefónicos.

• Área de conocimiento denominada teoría de colas:

– Cola es otra denominación para línea de espera.

• Problema de decisión:

– Equilibrio entre el coste de suministrar un buen

servicio y el coste de tiempo de espera de los

clientes.

Líneas de espera


Nivel de servicio

Coste

Coste del tiempo en cola

Óptimo

Costes de las líneas de espera


• Cola: línea de espera.

• Llegada: una persona, máquina, pieza, etc.

que llega y demanda un servicio.

• Disciplina de cola: reglas para determinar el

orden en el que las llegadas reciben el

servicio.

• Canal: número de líneas de espera.

• Fase: número de pasos a seguir en el

servicio.

Terminología de las líneas de espera


• Tamaño de la población:– Limitada– Ilimitada

• Comportamiento de lasllegadas:– Ponerse a la cola y esperar a

ser servido

– Se niegan a colocarse en la cola

– Reniegan, abandonan la cola

Dispositivo de

servicioLínea de espera

Distribución de la llegada:

Poisson Otras

Patrón de las llegadas:

AleatoriaSecuencia conocida

Características de la llegada

Características deun sistema de líneas de espera


Dispositivo de


Características de la línea de espera

Tamaño de la cola: Limitado Ilimitado

Prioridad del servicio: FIFO Otros

Características del sistema de líneas de espera


Dispositivo de


Características del dispositivo de servicio

Número de canales:

Único Múltiple

Número de fases en el sistema de servicio:

Único Múltiple

Distribución del tiempo de servicio:

Exponencial negativo Otros

Características del sistema de líneas de espera


Sistema de servicio

Línea de espera Dispositivo de

servicio

Llegadas

© 1995 Corel Corp.

Sistema de líneas de espera


Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño

Ilimitado

Características de las llegadas


Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño

LimitadoIlimitado

© 1995 Corel Corp.

Número fijo

de aviones

para revisión



Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño Patrónde llegadas

LimitadoIlimitado Aleatorio No aleatorio

Caracterísiticas de las llegadas


Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño Patrónde llegadas

LimitadoIlimitado AleatorioNo

aleatorio

Poisson Otros



• Número de sucesos

que ocurren en un

intervalo de tiempo:

– Ejemplo: número de

clientes que llegan en

15minutos.

• Media = (por ejemplo:

5/hora)

• Probabilidad:

0,0

0,3

0,6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

0,0

0,3

0,6

0 2 4 6 8 10X

P(X)

= 0,5

= 6,0

Distribución de Poisson

x

e)x(P

x


Distribuciones de Poisson para los tiempos de llegada

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

0,00

0,05

0,10

0.15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

Pro

babili

da

d

Pro

babili

d

ad

=2 =4


Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño ComportamientoPatrón

de llegada

LimitadoIlimitado AleatorioNo

aleatorioPaciente Impaciente

Poisson Otros



Origen de las

llegadas (población)

Tamaño ComportamientoPatrón

de llegada

LimitadoIlimita

doAleatorio

No

aleatorioPaciente Impaciente

RehúsaPoisson Otros



Origen

de las

llegada

s Dispositiv

o de

servicio

Línea de

espera

Sistema de servicio

© 1995 Corel Corp.

¡La cola era

demasiado

larga!

Rehusar


Origen de

las llegadas

(población)

Tamaño ComportamientoPatrónde llegada

LimitadoIlimitado Aleatorio Noaleatorio

Paciente Impaciente

Rehúsa ReniegaPoisson Otros



RenegarOrigen de las

llegadas

Dispositivo de

servicio

Línea de espera

Sistema de servicios

© 1995 Corel Corp.

¡Me voy!


Línea de espera

Duración

Ilimitada

© 1995 Corel Corp.



Línea de espera

Duración

LimitadaIlimitada

© 1995 Corel Corp.

© 1995 Corel Corp.



Línea de espera

Duración Disciplina

De la cola

LimitadaIlimitada FIFOAleatorio Prioridad



Dispositivo

de servicio

Configuración

MulticanalCanal

único

Fase

única

Características del servicio


• Tiempo de servicio y tiempo entre

llegadas:

– Ejemplo: el tiempo de servicio

es de 20 minutos.

• Tasa de servicio media =

– Por ejemplo: clientes/hora.

• Tiempo de servicio medio = 1/

• Ecuación:

Distribución exponencial negativa

xμe)xt(f 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6 8 10 x

Pro

bab

ilid

ad

t>x

=1

=2

=3

=4


0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Pro

ba

bil

ity

0 30 60 90 120 150 180

Service time (minutes)

Distribución exponencial negativa

Tiempo de servicio

medio = 1 hora

Tiempo de servicio medio = 20

minutos


Llegadas

Unidades

servidas

Dispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Bahía

Línea de espera de

los barcos

Barcos en

el mar

Sistema de descarga de barcosBarcos

vacíos

Sistema de un canal, una fase


Coches y

comida

Sistema de un canal, multifase

Llegadas

Unidades

servidas

Dispositivo

de servicio

Cola

Sistema de servicio

Recogida

Coches en cola

Coches en

el áreaVentanilla de servicio a automóviles de McDonald´s

Pago

Dispositivo

de servicio


Llegadas

Unidades

servidas

Dispositivo

de servicioCola

Sistema de servicio

Dispositivo

de servicio

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para

ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.

Sistema multicanal, una fase


Dispositivo

de servicio

Llegadas

Unidades

servidas

Dispositivo

de servicioCola

Sistema de servicio

Dispositivo

de servicio

Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan

una de las diferentes lavadoras y después, una de

las diferentes secadoras.

Dispositivo

de servicio

Sistema multicanal, multifase


• Tiempo medio en la cola, Wq.

• Longitud media de la cola, Lq.

• Tiempo medio en el sistema, Ws.

• Número medio de clientes en el sistema, Ls.

• Probabilidad de que el dispositivo de servicio esté

desocupado, P0.

• Utilización del sistema, .

• Probabilidad de que haya unidades k en el sistema,

Pn > k.

Medidas de evaluación de las líneas de espera


Características del modelo de colas básico

• Las llegadas se sirven con disciplina primero llegado,

primero servido.

• Las llegadas son independientes de las llegadasanteriores.

• Los patrones de llegada se describen mediante unadistribución de probabilidad de Poisson. Los clientesprovienen de una población muy grande.

• Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes entre sí, pero se conoce el tiempo de servicio medio.

• Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial negativa.

• El ritmo de servicio es mayor que el de llegadas.


• Simple (M/M/1)

– Ejemplo: ventanilla de información en unos almacenes.

• Multicanal (M/M/S)

– Ejemplo: mostrador de venta de billetes de una línea aérea.

• Servicio constante (M/D/1)

– Ejemplo: túnel de lavado de coches.

• Población limitada

– Ejemplo: departamento que tiene sólo 7 taladradoras.

Tipos de modelos de colas


• Modelo: sistema de un canal, una fase.

• Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega.

• Distribución de llegada: Poisson.

• Cola: ilimitada, una sola cola.

• Disciplina de cola: FIFO (FCFS).

• Distribución del servicio: exponencial negativa.

• Relación: servicio y llegada independientes.

• Ritmo de servicio > ritmo de llegada

Características del modelo simple (M/M/1)


Ecuaciones del modelo simple (M/M/1)

Número medio de

unidades en cola:

Tiempo medio

en el sistema:

Número medio

de unidades en

cola:Tiempo medio

en cola:

Utilización

del sistema:

L

W

L

W

s

s

q

q

=

=

=

=

-

1

2

-

( - )

( - )

=


Probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema,

es decir, que el sistema esté desocupado:

Probabilidad de que haya más de k unidades en el sistema,

donde n es el número de unidades en el sistema.

P

k+1

01 1= - = -

=Pn>k

Ecuaciones de probabilidad simple (M/M/1)

( )


• Tipo: sistema multicanal.



• Cola: ilimitada, colas múltiples.





Características del modelo de cola multicanal (M/M/S)


Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/S)

λMμ

Mμ

μ

λ

M!

1

μ

λ

n!

1

1P

M1M

0n

n0

Probabilidad de que haya

cero personas o unidades

en el sistema:

PM!M

L

M

s

Número medio de

personas o unidades en el

sistema:

PM!M

W

M

s

Tiempo medio que una

unidad permanece en el

sistema:


Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/S)

sq

sq

WW

LL

Número medio de personas o

unidades esperando en la cola

para recibir el servicio:

Tiempo medio que una

persona o unidad permanece

en la cola:





• Cola: ilimitada, una única cola.



• Relación: llegada y servicio independiente.


Características del modelo de tiempo de servicioconstante (M/D/1)


Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1)

Número medio de personas

o unidades en el sistema:

Tiempo medio que una unidad

permanece en el sistema:

q

q

W

L


unidades esperando para recibir

servicio:

Tiempo medio que una persona o

unidad permanece en la cola:

qs

qs

WW

LL



• Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega.


• Cola: ilimitada, una única cola.





Características del modelo de población limitada


Ecuaciones del modelo de población limitada

XF

)F(T

)LN(

)UT(LW

)F(NL

UT

TX

Factor servicio:


unidades esperando a recibir

servicio:

Tiempo medio que una persona o

unidad permanece en la cola:



HLJN

FNXH

)X(NFJ

Número medio en

funcionamiento:

Número medio que se

sirven:

Tamaño de

la población:



Notación:

D = probabilidad de que una unidad debapermanecer en cola.

F = factor de eficiencia.

• H = número medio de unidades que se sirven.

• J = número medio de unidades que no están en la cola o en el servicio.

• L = número medio de unidades en espera de ser servidas.



• M = número de canales de servicio.

• N = número de clientes potenciales.

• T = tiempo de servicio medio.

• U = tiempo medio entre las necesidades de servicio de una unidad.

• W = tiempo medio de espera en la cola de una unidad.

• X = factor de servicio.

• Se obtendrán los datos de tablas de cola limitadas.


= número medio de llegadas por

período de tiempo.

– Ejemplo: 3 unidades/hora

= número medio de personas o

artículos servidos por período de

tiempo.

– Ejemplo: 4 unidades/hora

• 1/ = 15 minutos/unidad

Recuerde: y son valores

© 1984-1994 T/Maker Co.

Si el tiempo de servicio

medio es 15 minutos,

entonces μ es 4 clientes/hora.


Ejemplos a desarrollar

– Realizar algunos ejemplos prácticos del libro

– Valorar la aplicación de los modelos de colas en el proyecto que se

realiza en la organización seleccionado, para lograr una mejora en el

servicio de atención al usuario.


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