TRABAJO DE TEORÍA DE COLAS

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA QUÍMICA, BIOFARMACIA, INDUSTRIAS Y PRODUCCIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ASIGNATURA:

INVESTIGACIÓN OPERATIVA 2

TEMA:

LA TEORÍA DE COLAS.

REALIZADO POR:

DIANA GUAMANZARA.

FERNANDA VÁZQUEZ.

CURSO:

CUARTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL

FACILITADOR:

ING. MARCO REINOSO.

FECHA:

2 DE JULIO DE 2012

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II Página 1

ÍNDICE

Contenido pág.

Índice………………………………………………………………………………..……………………………..…II

Objetivos………………………………………………………………………………………………………….....III

Introducción………………………………………………………………………………………………………….4

Marco teórico………………………………………………………………………………………………………...5

Modelo de canal único con llegadas de Poisson y tiempo de servicio exponencial aplicado a

1. DEMANDA BAJA……………………………………………………............................................................14

2. DEMANDA MEDIA……………………………………………………………...............................................16

3. DEMANDA ALTA………………………………………………………………………………………………..18

Conclusiones……………………………………………………………………………………………………….21

Bibliografía…………………………………………………………………………………………………………..21

II


OBJETIVOS

Conocer los diferentes modelos básicos de colas de espera. Filmar un sistema de colas en tres momentos distintos

a) Momento de baja demandab) Momento de media demandac) Momento de alta demanda (hora pico)

Identificar y aplicar el modelo de colas de espera al video filmado, según la metodología expuesta.

III


INTRODUCCIÓN

El presente trabajo de investigación se refiere al tema de teoría de las colas que se puede definir como una técnica matemática (estadística y económico) que tiene como objetivo reducir los tiempos de permanencia en cola de los clientes a niveles soportables o permisibles.

El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Existe una variedad de modelos de teoría de las colas, pero para realizar este trabajo se utilizo el modelo A: modelo de canal único con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponencial, en el que las llegadas forman una cola única que será atendida en un servidor único.

La teoría de colas contiene un gran interés por lo que podemos conocer el comportamiento de las colas por ende podemos optimizar el servicio y reducir los costos de operación del sistema y aplicarlo, en nuestro caso a la cola de vehículos que son las llegadas y al redondel que es el servidor.

Para este trabajo se realizó la grabación de un video en el Redondel ubicado entre las calles Paseo de los Cañaris y Gonzáles Suárez, el cual fue debidamente observado y con la toma de tiempos pudimos determinar los datos que se necesitaron para realizar la respectiva tabla para el cálculo de fórmulas que se utilizaron en el modelo A de canal único con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponencial.

MARCO TEÓRICO

El matemático danés Agner Krarup Erlang, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer artículo sobre la teoría de colas en 1990. Específicamente se preocupó del estudio


del problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas.

La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente el cliente decide esperar, entonces se forma la cola.

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Modelo de formación de colas

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda delservicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.

Objetivos

Los objetivos de la teoría de colas consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema

tendrían en el coste total del mismo. Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de

costes y las cualitativas de servicio. Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

Elementos existentes en la teoría de colas

o Proceso básico de colas: Los clientes que requieren un servicio se generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

o Fuente de entrada o población potencial: Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito.


o Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio como por ejemplo una lista de trabajo esperando para imprimirse.

o Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita.

o Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, puede ser:

FIFO (first in firstout) primero en entrar, primero en salir, según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

LIFO (last in firstout) también conocida como pila que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

RSS (randomselection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.

ProcessorSharing – sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el mismo retraso.

o Mecanismo de servicio: El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores.

o Redes de colas. Sistema donde existen varias colas y los trabajos fluyen de una a otra. Por ejemplo: las redes de comunicaciones o los sistemas operativos multitarea.

o Cola: Una cola se caracteriza por el número máximo de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas.

o El proceso de servicio: Define cómo son atendidos los clientes.

Estructuras típicas de las colas

Sistemas de colas: una línea, un servidor


Sistemas de colas: una línea, múltiples servidores

Sistemas de colas: modelo básico

Sistema de colas: varias líneas, múltiples servidores

Sistema de colas: una línea, servidores secuenciales


El primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor y una cola. El segundo, una línea con múltiples servidores. El tercer sistema, aquél en que cada servidor tiene una línea de separación. El cuarto sistema, es una línea con servidores en serie. Este modelo puede aplicarse a trabajos ordenador que esperan tiempo de procesador.

Variedad de los modelos de colas

Modelo A:Modelo de canal único con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponencial.

Es el modelo máscomún en donde las llegadas forman una cola única que será atendida en un puesto único, los supuestos para este modelo son los siguientes:

Las llegadas son atendidos FIFO, independientemente de la longitud de la cola Las llegadas son independientes de las llegadas anteriores, pero el numero medio de las

llegadas no cambia Las llegadas responden a una distribución de poisson y proceden de población infinita Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes uno de otro, pero

se conoce su ritmo medio. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial negativa. El ritmo se servicio es mas rápido que el ritmo de llegada.

Tabla 1. Fórmulas para el cálculo de canal único.


Modelo B: Modelo de cola de canales múltiples.

Existen dos o más servidores o canales disponibles para atender a los clientes que llegan. Las condiciones son:

Los clientes forman una cola única y luego pasan al primer servidor disponible ejm: las ventanillas de los bancos.

Las llegadas obedecen a una distribución de poisson. Los tiempos de servicio obedecen a una distribución exponencial negativa El servicio es del tipo FIFO. Todos los servidores funcionan al mismo ritmo. Otros supuestos expuestos anteriormente.

Tabla 2. Fórmulas de cálculo para canales múltiples.


Modelo C: Modelo de tiempo de servicio constante

Algunos sistemas de colas tiene tiempos de servicio constante en lugar de seguir una distribución exponencial, cuando los clientes, piezas, productos, maquinas son procesados siguiendo un ciclo fijo propio del sistema de servicio automático. Dado que los ritmos de servicios son constantes, los valores para Lq,Wq, Ls y Ws, son siempre menores de lo que serian en el modelo A, que tiene ritmos de servicio variables.

Las condiciones en las llegadas son similares que para los casos anteriores, no así para el servicio. Las formulas para averiguar las características de este modelo vienen dadas por:

Tabla 3. Fórmulas de cálculo para el servicio constante.


Modelo D: Modelo de población limitada o finita.

Cuando hay una población limitada de clientes o elementos potenciales para las instalaciones de servicios, hay que considerar un modelo diferente de colas. Este modelo se utilizara por ejemplo , si consideramos las reparaciones de equipos o maquinas de una fabrica o taller de servicio de mantenimiento que tiene 5 maquinas , este modelo permite considerar cualquier numero de servidores.

Este modelo es diferente a los anteriores debido a que ahora existe una relación de dependencia entre la longitud de la cola y el ritmo de llegada, por ejemplo si una maquina tuviera 5 maquinas y todas estuvieran averiadas y esperando ser reparadas, el ritmo de llegadas caería en cero. En general por tanto a medida que la cola de espera se alarga en este modelo, el ritmo de llegadas de clientes o maquinas se disminuye.

Para resolver este tipo de casos con mayor facilidad, se debe acudir a una notación distinta de los modelos anteriores y para simplificar se han desarrollado tablas de colas finitas que determinan ciertos términos probabilidades y factores de eficacia.

Tabla 4. Formulas par el cálculo de población limitada o finita.


A continuación se presenta una parte de las tablas sobre colas infinitas en la que proporciona los datos para una población N=5³. Existen tablas de colas finitas para poblaciones de hasta 250 unidades. Para trazar una línea divisoria entre lo que se considera como población finita e infinita, aunque no hay nada definido, la convención general es la siguiente. Si el número de la cola es una proporción significativa de la población de llegada, se utiliza un modelo de la cola de población limitada.

Tabla 5. Tabla colas finitas par una población N=5.


Para realizar este trabajo de teoría de colas se seleccionó el modelo A: Modelo de canal único con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponencial, ya que nuestro ejemplo esta compuesto por un servidor que es el redondel y un canal que es la cola de vehículos, para lo cual tuvimos que observar el sistema en funcionamiento y con la ayuda de un cronometro tomamos los tiempos de numero de llegadas por periodo de tiempo y el número de vehículos atendidos por periodo de tiempo, los mismos que fueron recolectados en un registro.

ANÁLISIS Y CÁLCULO DE DATOS

Modelo de canal único con llegadas de Poisson y tiempo de servicio exponencial aplicado a:

Demanda baja.

1. Número medio de llegadas por periodo de tiempo (vehículos por minuto).

Nº t (min) λ1 1 72 1 53 1 114 1 75 1 46 1 6

Total 40Promedio 6,7

2. Número medio de vehículos atendidos por periodo de tiempo (vehículos por minuto).

Nº t (min) µ1 1 72 1 53 1 114 1 75 1 46 1 6


El valor de µ es igual al valorde, ≥lo que nos indica que el factor de utilización (ρ>1) de manera que el sistema se encuentra sobre congestionado la mayor parte del tiempo.

3. Número medio de vehículos en el Sistema


Ls =

Ls = 6,7

(6,7−6,7 )=ind

4. Tiempo medio que un vehículo pasa en el Sistema

Ws= 1 / (- )

Ws = 1

6,7−6,7=ind

5. Número medio de vehículos esperando en el Sistema

Lq = 2 / [. (- )]

Lq =(6,7 )2

6,7 (6,7−6,7 )=ind

6. Tiempo medio que un vehículo espera en la cola

Wq= / [. (- )]

Wq = 6,7

6,7(6,7−6,7)=ind

7. Factor de utilización para el sistema

ρ= λμ

ρ=6,76,7

=1

8. Probabilidad de 0 vehículos en el sistema

ρ0=1−λμ

ρ0=1−6,76,7

=0


La probabilidad de que haya cero vehículos en el sistema es igual a cero, lo que quiere decir que siempre habrá por lo menos un vehículo en espera.

9. Probabilidad de más de k vehículos en el Sistema

Pn>k=( λμ )k +1

kPn>k=

(λ/μ)^(k+1)0 11 12 13 14 15 1

Todos los cálculos nos dan como resultado división para cero o indeterminado, esto sucede por la baja capacidad del servidor.


Demanda media

1. Número medio de llegadas por periodo de tiempo (vehículos por minuto)

Nº t (min) λ1 1 122 1 83 1 84 1 95 1 96 1 10


2. Número medio de vehículos atendidos por periodo de tiempo (vehículos por minuto)

Nº t (min) µ


1 1 112 1 93 1 84 1 95 1 46 1 12


El valor de µ es menor al valorde, ≥ e igual que en el caso anterior que nos indica que el factor de utilización (ρ> 1) de manera que el sistema se encuentra sobre congestionado la mayor parte del tiempo.


Ls =

Ls = 9,3

(8,8−9,3 )=−18,6


Ws= 1 / (- )

Ws = 1

8,8−9,3=−2min


Lq = 2 / [. (- )]

Lq =(9,3 )2

8,8 (8,8−9,3 )=−19,65


Wq= / [. (- )]

Wq = 9,3

8,8(8,8−9,3)=−2,11min



ρ= λμ

ρ=9,38,8

=1,06


ρ0=1−λμ

ρ0=1−9,38,8

=−0,06


Los resultados obtenidos en los cálculos son negativos como resultado de la baja capacidad del servidor.


Demanda alta.

1. Número medio de llegadas por periodo de tiempo (vehículos por minuto).

Nº t (min) λ1 1 122 1 163 1 94 1 135 1 106 1 7


2. Número medio de vehículos atendidos por periodo de tiempo (vehículos por minuto).

Nº t (min) µ


kPn>k=

(λ/μ)^(k+1)0 1,061 1,122 1,193 1,264 1,345 1,42

1 1 102 1 163 1 114 1 85 1 126 1 8


El valor de µ es menor al valor de, ≥e igual que en los casos anteriores esto nos indica que el factor de utilización (ρ> 1) de manera que el sistema se encuentra sobre congestionado la mayor parte del tiempo.


Ls =

Ls = 11,2

(10,8−11,2 )=−28


Ws= 1 / (- )

Ws = 1

10,8−11,2=−2,5min


Lq = 2 / [. (- )]

Lq =(11,2)2

10,8 (10,8−11,2 )=−29,03


Wq= / [. (- )]

Wq = 11,2

10,8(10,8−11,2)=−2,59min



ρ= λμ

ρ=11,210,8

=1,04


ρ0=1−λμ

ρ0=1−11,210,8

=−0,04


kPn>k=

(λ/μ)^(k+1)0 1,031 1,062 1,093 1,134 1,165 1,19

De igual manera que en el caso de Demanda media los resultados obtenidos en los cálculos son negativos como consecuencia de la baja capacidad del servidor.


CONCLUSIONES

Los resultados que se obtuvieron: para el primer caso λ = µ, para el segundo y tercer caso λ > µ, nos indican que la capacidad del servidor es muy baja, es decir que el ritmo de servicio del redondel a las vehículos es más lento que el ritmo de llegada de los vehículos al redondel.

Los resultados que arrojan las diferentes fórmulas sobre las medidas de desempeño de la línea de espera son valores cuantitativos que nos permiten evaluar el tipo de servicio, el mismo que no es adecuado como consecuencia de la baja capacidad del servidor pues en el sistema se maneja una tasa mayor a la que el servidor puede atender.

El valor de ρ > 1, nos muestra que en el sistema hay una saturación por lo que el estado del sistema no es estable, esta inestabilidad no nos permite evaluar adecuadamente el rendimiento del sistema.


BIBLIOGRAFÍA

www.investigación-operaciones.com/Teoria_colas

es.Wikipedia.org/wiki. Modelos De Colas de Espera.

REINOSO, Marco Guía didáctica de Investigación Operativa 2

EPPEN, G, Investigación de operaciones, Pearson Educación, Quinta Edición, México, 2000


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