Mtodos Cuantitativos Probabilsticos

Fenmenos de espera (Lneas de espera)

Si la META es encontrar el nivel de servicio

que minimiza el Costo Total Esperado,

Los Administradores deben BALANCEAR:

- El costo de dar un buen servicio con

- El costo del tiempo de espera del cliente

Teora de colas

Fenmenos de espera

o Barcos que esperan ser atendidos en un puerto.

o Clientes que esperan ser atendidos por un cajero.

o Automviles que esperan ser atendidos en una plaza de

peaje.

o Aviones que esperan pista en un aeropuerto.

Qu tienen en comn? ...RESPUESTA: LA ESPERA.

No sera ms adecuado que todos estos servicios y otros

similares sean sin la molestia de tener qu esperar?

La manifestacin de la espera es el resultado directo de la

aleatoriedad en la operacin de instalaciones de servicio.

Analicemos los siguientes puntos:

Teora de colas

El conocimiento de las lneas de espera, e instruirse en

la forma de administrarlas es una de las reas ms

importantes en la gestin de sistemas; Es fundamental para el

diseo y programacin de sistemas de atencin masiva como

pueden ser: Plazas de peajes, Manejo de niveles de inventario,

parques de diversiones, etc.

Se espera ordinariamente en mltiples actividades

cotidianas, tambin se producen esperas en las fbricas y

oficinas. La teora de lneas de espera es lo bastante amplia

como para tratar con demoras como las que afrontan los

barcos en un puerto, o los pasajeros en una terminal

ferroviaria esperado la salida del tren.

Teora de colas

El principal problema que plantean prcticamente todas las situaciones de lneas de espera es una decisin de transaccin.

El gerente tiene que evaluar el costo adicional que le representara prestar un mejor servicio disminuyendo la espera en comparacin con el costo inherente a la espera.

Como por ejemplo: aumentar el nmero pistas de circulacin; gras portacontenedores adicionales; ms cajas en un peaje, etc.

La decisin de transaccin es bastante directa referente a los costos.

Por ejemplo, si se observa el tiempo total que los cajeros de una sucursal bancaria pasan en la "fila improductiva", esperando la mquina que cuenta billetes, se podra hacer una comparacin entre el costo de instalar una mquina adicional con el valor del tiempo ahorrado a los cajeros.

Teora de colas

Balance de costo efectividad

Inicialmente, con una capacidad de servicio mnima, el

costo de la fila de espera est en su mximo.

La capacidad de servicio se muestra de manera simple

como una funcin lineal, y no por pasos. El costo agregado o

total aparece como una curva en forma de U, una aproximacin

corriente a este tipo de problemas de equilibrio. El costo

ptimo idealizado se ubica en el punto de cruce entre las

curvas de capacidad de servicio y fila de espera.

Teora de colas

Teora de colas

Ejemplo. El superintendente de Three Rivers Shipping Company quiere determinar el nmero ptimo de cuadrillas de estibadores por

barco.

To accompany Quantitative Analysis for Management, 9e

by Render/Stair/Hanna 2003 by Prentice Hall, Inc.

Upper Saddle River, NJ 07458

Cantidad de cuadrillas

1 2 3 4

a) Nmero promedio de barcos

por turno. 5 5 5 5

b) Tiempo promedio de espera

(horas) 7 4 3 2

c) Total de horas-barco perdidas

por turno (axb). 35 20 15 10

d) Costo estimado por hora ociosa

del barco. $1,000 $1,000 $1,000 $1,000

e) Costo de espera (cxd). $35,000 $20,000 $15,000 $10,000

f) Costo del servicio (Salario de

estibadores). $6,000 $12,000 $18,000 $24,000

g) Costo total esperado (e + f) $41,000 $32,000 $33,000 $34,000

Perfiles de llegadas de clientes y servicio

Es posible ejercer cierto control sobre la llegada de clientes de varias formas.

Por ejemplo, tener una fila de espera corta (como un drive-in en un restaurante de comida rpida con slo unos pocos espacios disponibles), establecer horas especficas para clientes especficos o hacer arreglos especiales.

Desde el punto de vista del servidor, el tiempo de servicio se puede afectar utilizando servidores ms rpidos o ms lentos, mquinas ms o menos lentas, herramientas, materiales y disposiciones diferentes, tiempos de arranque ms rpidos, etc.

El factor esencial es que las filas de espera no son una condicin fija de un sistema productivo sino que en gran medida estn bajo el control de la gerencia y el diseo mismo del sistema.

Teora de colas

El punto de vista prctico de las lneas de espera

Una variable importante es la cantidad de

clientes que llegan en el transcurso de las horas en que

est disponible el sistema de servicios.

Desde el punto de vista de la entrega de

servicios, los clientes solicitan cantidades diferentes

de los mismos, que muchas veces exceden la capacidad

normal.

Teora de colas

El sistema de filas de espera

Desde la perspectiva de un modelo de espera, la situacin de espera se genera del siguiente modo:

1.- Cuando un cliente llega a la instalacin se forma una cola de espera (fila o lnea).

2.-El servidor elige un cliente de la lnea de espera para comenzar a prestar el servicio.

3.-Al finalizar un servicio, el cliente abandona el servicio, y se repite el proceso de elegir un cliente (en espera).

Teora de colas

En consecuencia, el sistema de lneas de espera

tiene tres grandes componentes:

o La poblacin fuente y la manera en que los

clientes llegan al sistema

o El sistema de prestacin del servicio.

o La condicin del cliente que sale del sistema (de

regreso a la poblacin fuente o no?).

Teora de colas

Llegada de clientes

La llegada de clientes a un sistema de

servicios puede derivarse de una poblacin finita

o infinita. Esta distincin es importante porque

los anlisis se basan en premisas diferentes y su

solucin exige ecuaciones distintas.

Teora de colas

Una poblacin finita se refiere al grupo de clientes de

tamao limitado que utilizar el servicio y que, en ciertos

momentos, har fila.

Esta clasificacin de finita es importante porque

cuando un cliente deja su posicin como miembro de la

poblacin (por ejemplo, una mquina que se avera y requiere

servicio), el tamao del grupo de usuarios se reduce en uno, lo

cual reduce la probabilidad de la siguiente ocurrencia.

Por el contrario, cuando se atiende un cliente y ste

regresa al grupo de usuarios la poblacin aumenta y la

probabilidad de que un usuario requiera servicio aumenta.

Este tipo de problemas con poblacin finita precisa de una

serie de frmulas distintas de las que se aplican a una

poblacin infinita.

Poblacin finita

Teora de colas

Poblacin infinita

Una poblacin infinita es aquella lo bastante grande

con relacin al sistema de servicio como para que el cambio

de tamao ocasionado por sustracciones o adiciones a la

poblacin (un cliente que necesita servicio o un cliente ya

atendido que regresa a la poblacin) no afecte significa-

tivamente las probabilidades del sistema.

En la anterior explicacin sobre la poblacin finita, si

hubiera cien mquinas en lugar de seis, y una o dos mquinas

se averiaran, las probabilidades de una siguiente avera no

seran muy distintas y se podra asumir sin mucho margen de

error que la poblacin (para fines prcticos) es infinita.

Tampoco las frmulas para solucionar problemas de filas

"infinitas" causaran muchos errores si se aplicaran a un

mdico con 1.000 pacientes o a un almacn de departamentos

con 10.000 clientes.

Teora de colas

Distribucin de llegadas

Al describir un sistema de espera, es necesario definir

la manera en que se dispone a los clientes o las unidades de

espera mientras se presta el servicio.

Las frmulas de fila de espera por lo general requieren

una tasa de llegadas, o el nmero de unidades por perodo

(como un promedio de una cada seis minutos).

Una distribucin de llegadas constante es peridica,

con exactamente el mismo perodo entre las sucesivas

llegadas.

En los sistemas productivos, casi las nicas llegadas

que en realidad se acercan a un perodo constante son las

sujetas a controles de mquinas. Son mucho ms comunes

las distribuciones de llegadas variables (aleatorias).

Teora de colas

Las llegadas a una instalacin de servicios se

pueden considerar desde dos puntos de vista:

1.- Se puede analizar el tiempo transcurrido entre las

llegadas sucesivas para comprobar si los tiempos

siguen algn tipo de distribucin estadstica. Por lo

general, se asume que el tiempo transcurrido entre

las llegadas se distribuye exponencialmente.

2.- Se puede establecer algn perodo (T) e intentar

determinar cuntas llegadas podran ingresar al

sistema durante T. Al asumir el tiempo entre llegadas

como exponencial, el nmero de llegadas por unidad

de tiempo se distribuye mediante Poisson.

Teora de colas

Consiste en la(s) fila(s) de espera y en la cantidad de servidores disponibles.

La fila de espera

Entre los factores que se deben tener en cuenta en las filas de espera est el largo de la fila, la cantidad de filas y la disciplina de fila.

Longitud

En un sentido prctico, una fila infinita es simplemente aquella que resulta muy prolongada en trminos de la capacidad del sistema de servicios.

Nmero de filas

Una fila nica es una sola fila. El trmino filas mltiples se refiere a las filas nicas que se forman frente a dos o ms servidores o a filas nicas que convergen en algn punto de redistribucin.

El sistema de fila de espera

Teora de colas

Disciplina de fila

La disciplina de fila, es una regla o serie de reglas prioritarias para establecer el orden de servicio a clientes que aguardan en una fila de espera. Las reglas seleccionadas pueden ejercer un efecto importante en el desempeo global del sistema.

Teora de colas

La cantidad de clientes en la fila, el tiempo de espera promedio, el rango de variabilidad en el tiempo de espera y la eficiencia de las instalaciones de servicio son apenas algunos de los factores que se ven afectados por la seleccin de reglas de prioridad.

Probablemente, la regla de prioridad ms comn es la atencin en orden de llegada PEPS (FIFS). Esta regla estipula que a los clientes de la fila se les atiende con base en su momento de llegada.

Existen dos grandes problemas prcticos en el uso de cualquier regla:

1.- Asegurarse de que los clientes conocen y obedecen la regla.

2.- Asegurarse de que existe un sistema que permita a los empleados administrar la fila (por ejemplo, sistemas en los que se toma un nmero).

Teora de colas

Distribucin del tiempo de servicio

Otra caracterstica importante de la estructura de espera es el tiempo que el cliente o la unidad pasa con el servidor, una vez iniciado el servicio.

Las frmulas de fila de espera por lo general describen la tasa de servicio como la capacidad del servidor en nmero de unidades por perodo (por ejemplo, 12 atenciones por hora) y no como tiempo de servicio, que podra ser de cinco minutos promedio cada uno.

Una regla de tiempo de servicio constante

estipula que cada servicio toma exactamente la misma

cantidad de tiempo. Como sucede en las llegadas

constantes, esta caracterstica por lo general se limita a

las operaciones controladas mediante mquinas.

Cuando los tiempos de servicio son aleatorios,

una buena aproximacin a ellos puede ser la distribucin

exponencial.

Cuando se emplee la distribucin exponencial

como una aproximacin de los tiempos de servicio, se utilizar como el nmero promedio de unidades o clientes que se pueden atender durante cada periodo.

Teora de colas

Estructuras de filas

El flujo de elementos de servicio puede ser una fila nica, filas mltiples o una mezcla de ambas

La seleccin del formato depende en parte del volumen de clientes atendido y en parte de las restric-ciones impuestas por los requerimientos secuenciales que rigen el orden en que se debe prestar el servicio.

Canal nico, fase nica

Este es el tipo ms sencillo de estructura de fila de espera y existen frmulas muy directas para resolver el problema para patrones de distribucin estndar, de llegadas y servicio.

Cuando las distribuciones no son estndar, el problema se soluciona fcilmente mediante simulaciones en computador. Un ejemplo tpico de una situacin de canal nico y fase nica es la peluquera manejada por una sola persona.

Teora de colas

Canal nico, fases mltiples

Un centro de lavado de autos ilustra este tipo de estructura, pues all se realiza una serie de servicios (aspirar, mojar, enjabonar, lavar, secar, limpiar ventanas y estacionar) en secuencia bastante uniforme.

Uno de los factores crticos en el caso de canal nico con servicio en serie es la cantidad de acumulacin de elementos que se permite frente a cada servicio, lo cual a su vez significa filas de espera separadas.

Canales mltiples, fase nica

Las ventanillas de los cajeros en un banco y las cajas registradoras en almacenes de departamentos con altos volmenes de ventas son ejemplos de este tipo de estructura.

La dificultad que plantea este sistema es que el tiempo de servicio desigual que se asigna a cada cliente redunda en una velocidad o flujo desigual en las filas.

Teora de colas

Como resultado, algunos clientes son

atendidos primero que otros que llegaron antes y

hasta cierto punto se producen cambios entre las

filas.

Para cambiar esta estructura con el fin de

asegurar la atencin de los clientes en orden

cronolgico de llegada, sera preciso formar una

fila nica desde la cual, a medida que se desocupa

un servidor, se llama al siguiente cliente en la fila.

Teora de colas

Canales mltiples, fases mltiples

Este caso es semejante al anterior, salvo que se

realizan dos o ms servicios en secuencia. La

admisin de pacientes en un hospital siguen este

patrn, porque por lo general se sigue una secuencia

especfica de pasos.

Como suele haber varios servidores disponibles

para efectuar este procedimiento, se puede procesar

a ms de un paciente a la vez.

Teora de colas

Mixto

Bajo este encabezado general hay dos subcategoras:

1.- Estructuras de canales mltiples a nico canal.

Se encuentran filas que se fusionan para formar una con el fin de recibir un servicio de fase nica, como en el cruce de un puente donde dos vas se funden en una sola, o filas que se funden en una para recibir un servicio de fases mltiples, como las lneas de subensamble que fluyen hacia la lnea principal.

2.-Estructuras de ruta alterna.

Se encuentran dos estructuras que difieren en cuanto a los requerimientos de flujo direccional. La primera se parece al caso de canales mltiples y fases mltiples, salvo que (1) puede haber cambios de un canal al siguiente una vez recibido el primer servicio, y (2) el nmero de canales y fases puede variar, nuevamente, despus de prestado el primer servicio.

Teora de colas

Salida

Una vez atendido el cliente, existen dos posibilidades de salida:

1.- El cliente puede regresar a la poblacin fuente y volverse de inmediato un candidato que compite nuevamente por el servicio.

2.- Puede haber una ligera probabilidad de re-servicio.

Debera ser claro que cuando la fuente de poblacin es finita, cualquier cambio en el servicio prestado a clientes que regresan a la poblacin modifica la tasa de llegada en la instalacin de servicios.

Esto, desde luego, altera las caractersticas de la fila de espera que se est estudiando y requiere de un nuevo anlisis del problema.

Teora de colas

Teora de colas

Identificacin de modelos con notacin de Kendall

La notacin ms utilizada para identificar los modelos de

colas es la desarrollada por D. G. Kendall, que identifica la

distribucin del tiempo entre llegadas, la del tiempo de servicio y el

nmero de canales de servicio. Algunos agregan el tamao de la

poblacin, la capacidad del sistema y la disciplina de servicio:

a / b / c:(d / e / f ) Donde:

a: Lugar para el cdigo identificando la distribucin del tiempo entre

llegadas.

b: Lugar para el cdigo que identifica la distribucin del tiempo de

servicio.

c: Lugar para el nmero de canales de servicio.

d: Tamao de la poblacin de clientes potenciales.

e) Capacidad del sistema.

f) Disciplina de servicio.

Una compaa arrendadora de automviles opera su

propia instalacin de lavado y limpieza de automviles para

prepararlos para su renta.

Los automviles llegan a la instalacin de limpieza en

forma aleatoria a una tasa de 5 autos por da.

La compaa ha determinado que los automviles

pueden limpiarse a un ritmo de 2n autos por da, en donde n es el nmero de personas que trabajan en un automvil.

Se ha determinado que este procedimiento de lavado se

ajusta a la distribucin exponencial para llegadas y servicios.

Teora de colas

EJEMPLO

M/M/1:(//PEPS)

La compaa les paga a sus a sus trabajadores $30 por

da y ha determinado que el costo por un automvil que no

est disponible para rentarlo es de $25 por da.

a) Se desea conocer el nmero de empleados que deben

contratarse en la instalacin de lavado, para que

produzca el menor costo.

b) Calcular las caractersticas de operacin L, Lq, W, Wq

que correspondan con el menor costo.

Teora de colas

L =

-

r 1 - r

= Lq = 2

( - )

r 2

1 - r =

r =

< 1

W = 1

-

L

= Wq =

( - )

Lq

=

n = 3 = 6 L =

- =

5

1 = 5

Costo total = 30(3) + 25(5) = 215

Costo total = 30n + 25L a)

Teora de colas

= 5, = 2n y r = 5/2n como 5/2n < 1, entonces n > 2.5 n 3 personas

n = 4 L =

- =

5

3

Costo total = 30(4) + 25(5/3) = 161.67

= 8

(Costo de servicio + Costo de espera)

Teora de colas

n = 5 L =

- =

5

5 = 1

Costo total = 30(5) + 25(1) = 175

= 10

n = 6 L =

- =

5

7

Costo total = 30(6) + 25(5/7) = 197.85

= 12

Nivel de

Servicio

$ Costo Total

Costo

Total $161.67

mnimo

Costo de

servidores

Costo de la espera

n 3 4 5 6

Teora de colas

Por consiguiente, el equipo ptimo es de 4 personas,

con un mnimo costo total de $161.67 diarios.

b) = 8, = 5,

Teora de colas

Nmero promedio de clientes en el sistema

Nmero promedio de clientes en la fila

Tiempo promedio en el sistema

Tiempo promedio en la fila

W = 1

- =

1

3 das

Lq = 2

( - )

25

8(3) =

25

24 = 1.04 autos

L =

- =

5

3 1.7 autos

Wq =

( - ) =

5

8(3) =

5

24 das

Formulacin para el modelo M/M/1:(//PEPS)

Teora de colas

Probabilidad de que lleguen exactamente n clientes en la unidad de tiempo seleccionada:

Probabilidad simple de Poisson con x = n:

P(X = n) =

!

Probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea a lo ms t veces la unidad de tiempo seleccionada:

Funcin de distribucin acumulativa Exponencial, con x = t y media de 1/:

P(X t) = F(t) =

Probabilidad de que no haya clientes en el sistema (sistema vaco):

P(N = 0) = p0 = (1 r) =

=

Teora de colas

Probabilidad de encontrar n clientes en el sistema:

P(N = n) = pn = rn(1 r) =

Probabilidad de que el cliente que llega tenga que esperar:

P(N > 0) = 1 p0 = 1 - (1 r) = r

Probabilidad de encontrar ms de n clientes en el sistema:

P(N > n) = = (1 r) = rn +1 =

+ p

=

=

Teora de colas

EJEMPLO

En el caso de la compaa arrendadora de

automviles,

c) Cul es la probabilidad de que lleguen 3 autos al

servicio de limpieza en un da?

d) Si el da de trabajo es de 8 horas, Cul es la

probabilidad de que un servicio dure 2 horas o

menos?

e) Cul es la probabilidad de que un auto que llega

al servicio no tenga que esperar?

f) Cul es la probabilidad de encontrar ms de 3

autos en el servicio de limpieza?

Teora de colas

c) Probabilidad de que lleguen 3 autos al servicio de limpieza

en un da:

P(X = 3) =

! = 0.14037

d) Probabilidad de que un servicio dure 2 horas o menos:

P(X 1/4) = F(1/4) = (

) = 0. 7135

e) Probabilidad de que un auto que llega al servicio no tenga

que esperar

P(N = 0) = p0 = (1 r) =

= 0.3750

f) Probabilidad de encontrar ms de 3 autos en el servicio de

limpieza?

P(N > n) = rn +1 =

+ = 0.15259

Teora de colas

Problemas: 13-10 (Tienda de descuento Smile).

13-11 (Rockwell Electronics).

13-12 (Autolavado).

13-13 (Complejo de cines).