Teoria de Control Clasica .Ejercicios Resueltos :- Ejercicios resueltos ( Teoria ). - Ejercicios tipo prueba. - Ejercicios propuestos .

Prof.-Sr. Mario E. Salgado

/GCM & RHD 2010

Ejercicios Resueltos.Teoria de Control Clasico.

/GCM & RHD 2010

Ejercicios Tipo Prueba .

/GCM & RHD 2010

CERTAMEN 1 Control Automtico I (100 minutos) 1.- Dibuje el diagrama de Bode de la siguiente Funcin de Transferencia.

F(s) =

8s + 7,2 4s 2 + 16 s + 1520 pts

2.- El modelo entrada salida de un sistema est representado por:

y + 5 y + 6 y = u+ 4ua) Obtener respuesta escaln con CI = 0. b) Obtener su representacin en variables de estado. 3.- Dibuje el diagrama de Nyquist del siguiente sistema: 30 pts

..

.

.

F ( s) =

0,5 s (s + 2)20 pts

4.- Obtenga el modelo lineal entre la entrada qi(t) y la salida qo(t), en el estanque cnico de la figura: qi(t)

m(t)

h(t)

qo(t) 30 pts

AS/2005

Pauta Certamen 1 Control Automtico 1 Primer Semestre 2005 Pregunta 1. Para dibujar el diagrama de Bode de F ( s ) = expresin es su Forma de Bode: 8(s + 0.9 ) (s + 1.5)(s + 2.5) s 8 * 0.91 + 0.9 s s 1.5 * 2.51 + 1 + 1.5 2.5 -6.37 s 0.481 + 0.9 s s 1 + 1 + 1.5 2.5 -6 8 s + 7.2 primero dejamos la 4 s + 16s + 152

F ( s) =

Ganancia de Bode = 0.48 = 20log(0.48) [dB]

Asntotas = -6.37 + 20log(w/0.9) 20log(w/1.5) -20log(w/2.5) El diagrama de Bode de Magnitud y fase se muestra a continuacin.

Pregunta 2. a) Entrada u(t) = (t). Aplico Transformada de Laplace con C.I.=0. con U(s) = 1/s s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = -sU(s) + 4 U(s) 4 s Y(s) [ s2 + 5s + 6 ] = s 4s . Ocupando ahora fracciones parciales queda: Y(s) = 2 s (s + 5s + 6 ) A B C 4 s 2 ( + B + C ) + (5 A + 3 B + 2 ) + 6C = + + = s (s + 2 ) (s + 3) s 2+ s 6 s ( 2 + 5s + 6 )

(

)

Entonces tenemos el sistem

2) 5A+3B+2C= 1 A=2/3. Reemplazando en 1) y 2) obtengo: 4) B+C= 2/3 -3 -13/3 3B3B+2C= C=7/3

-3. 2/ 3 7 3 + . Convirtiendo en el tiempo (Laplace inversa): As, Y(s) = s (s ) (s + ) (t = 2 3 e 2t + 7 3 t

t)

b) Y(s) = (4 s )U ( ) . Ocupando ahora fracciones parciales queda: (s 2 + 5s + 6) 6U ( 7U ( = X 1( + X 2(s + (s + 2 (s + 3 6U s ) (s ) 7U (s ( +3 1 = 6u

Y(s)=

X 1 s) =

x1

X 2(

x 2 = 7u 3 x 2 y = x1 + x 2

x1 x1 Vector de estado X= ; X = x2 x2

Estas ecuaciones en representacin matricial son: 2 0 x1 6 x1 = + u x 2 0 3 x2 7 x1 y = [1 1] x 2

Pregunta 3. Para realizar Nyquist separo F(jw) en su parte real e imaginaria. 0.5 jw( jw 2) 0.5 j 2 w 2 jw = * jw( jw + 2) jw( jw 2) j 4 w 4 4 j 2 w 2 Recordando que j2= -1 y j4=1 se obtiene: F(jw) = 0 .5 1 j 2 (4 + w ) w(4 + w 2 ) Valores de w 0 Infinito 1 Parte real F(jw) -0.125 0 -0.1 Parte imaginaria F(jw) 0 0 -0.2

El diagrama de Nyquist es el siguiente (parte de abajo es suficiente):

Pregunta 4. d m(t ) + q 0 (t ) = q i (t ) dt densidad * h 3 (t ) b) m(t) = 3 c) q 0 (t ) = k densidad * h (t ) a) Las ecuaciones a linealizar son b) y c) ya que a) es lineal. b) m = c) q 0 =

(m(t )) 2 h = densidad * hQ h = c1 h h Q (q 0 (t )) k densidad h = h = c2 h hQ h Q 2h = q 0 c2

Para llegar a la relacin lineal entre qi(t) y qo(t), inserto m (y adentro h en funcin de q 0 ) en a) para llegar a lo siguiente: d (c1 h) + q 0 (t ) = qi (t ) dt q d (c1 0 ) + q 0 (t ) = qi (t ) dt c2 c1 d (q 0 ) + q 0 (t ) = q i (t ) c 2 dt

CERTAMEN No1 CONTROL AUTOMATICO I Tiempo 100 minutos______________________________________________________________________________________

1. Obtener el modelo lineal entre la entrada u(t) y la salida y(t) de un proceso que se representa con el siguiente sistema de ecuaciones:

y(t)+ w(t) y(t) = u(t) w(t)+ y(t) + w(t) = e u(t) 2

El punto de operacin es: Uq=1; Wq=1; Yq=1; Wq=1. 30 pts _________________________________________________________________________ 2. Dado el siguiente diagrama de Bode de la magnitud de la funcin de transferencia de un proceso. Determinar la funcin de transferencia que ms se le aproxime. Justifique.

H ( jw)40 db 2 1 20 db 5 15 w w

20 pts _________________________________________________________________________ 3. Dibuje el diagrama Nyquist de un sistema que tiene la siguiente ecuacin diferencial y determine y(t) cuando u(t) es un escaln unitario. Suponga condiciones iniciales igual a cero.

2 y(t)+ 22 y(t)+ 48y(t) = 2u(t)30 pts _________________________________________________________________________ 4. Si la funcin de transferencia de un proceso es la que se indica a continuacin. Obtenga su representacin en variables de estado.

F(s) =

2(s + 5) s(s + 7 s + 12)2

20 pts _________________________________________________________________________ AS/2006

Pauta Certamen 1 Control Automtico I 1er Semestre 2006. 1. Obtener el modelo lineal entre la entrada u(t) y la salida y(t) de un proceso que se representa con el siguiente sistema de ecuaciones:

y(t ) + w(t ) y(t ) = u (t ) w(t ) +

y (t ) + [ w(t )] 2 = e u ( t )

El punto de operacin es: Uq=1; Wq=1; Yq=1; dWq=1 a)

y(t ) = w(t ) y(t ) + u(t ) ;y(t ) = w(t ) =

b)

w(t ) = y (t ) [w(t )]2 + e u (t )(10 ptos)

Linealizar a):

a w q b

w+

a a u = w y + u y + u q y q

Linealizar b):

w q

w+

1 b b u = 2 w y + eu (10 ptos) y + 2 u q y q

Aplicar Laplace al modelo linealizado (a y b): a) s2Y(s)+sW(s)+Y(s)=U(s); 1. Se despeja W(s) de a): 2. Se despeja W(s) de b): Reemplazar 2 en 1: Ordenando se llega a: b) s2W(s)+2sW(s)+Y(s)/2=eU(s) W(s) = -Y(s)[s2+1]+U(s) / s W(s) = -0,5Y(s)+eU(s) / [s2+2s] 0,5Y(s)+eU(s) / [s2+2s] = -Y(s)[s2+1]+U(s) / s Y(s) / U(s) = [e-2-s] / [0,5 (s2+1)(s+2)] (10 ptos)

2. Dado el siguiente diagrama de Bode de la magnitud de la funcin de transferencia de un proceso. Determinar la funcin de transferencia que ms se le aproxime. Justifique (ver diagrama en el certamen).

20log|KB| = 2 log(KB) = 1/10 KB= 10(1/10) Cero simple: [1 + (jw/1)] Polo simple: [1 + (jw/5)] Polo doble: [1 + (jw/15)]2 un polo cuadrtico As, H ( s ) =10 0,1 (1 + s ) s s (1 + )(1 + ) 2 5 15

(5 ptos) (5 ptos) (5 ptos) (5 ptos)

3. Dibuje el diagrama de Nyquist de un sistema que tiene la siguiente ecuacin diferencial y determine y(t) cuando u(t) es un escaln unitario. Suponga condiciones iniciales igual a cero.

2 y (t )+ 22 y (t )+ 48 y (t ) = 2u (t ) Se aplica Laplace a la ecuacin dada en el enunciado: 2s2Y(s)+22sY(s)+48Y(s)=2U(s) Y(s){2s2+22s+48}=2U(s) Y(s) / U(s) = 1/(s2+11s+24) Se aplica fracciones parciales: Lo que resulta:

Si U(s)=1/s

Y(s) = 1 / [s(s+3)(s+8)]

(5ptos)

Y(s) = A/s + B/(s+3) + C/(s+8). A=1/24; B= -1/15; C=1/40 (5ptos)

Aplicando inversa de Laplace se obtiene y(t) = {A + Be-3t + Ce-8t}(t) Para dibujar Nyquist se calcular H(jw) = Y(jw) / U(jw) = 1 / [(jw+3)(jw+8)]. Se ordena para obtener H(jw)= Real + jImaginario. (sacar la j del denominador). Para eso, se multiplica numerador y denominador por (jw-3)(jw-8). Se obtiene: H ( jw) = 24 w 2 11w j 2 2 2 ( w + 9)( w + 64) ( w + 9)( w 2 + 64)w 0 Infinito 1 Real 24/(9*64) 0 23/650 Imaginario 0 0 -11/650

(5ptos) (5ptos)

w de cruce:

24 w 2 = 0 lo que resulta w de cruce = 24 ( w 2 + 9)( w 2 + 64)

(5ptos) (5ptos)

Dibujo correcto del Nyquist: (el espejo no era necesario)

4. Si la funcin de transferencia de un proceso es la que se indica a continuacin. Obtenga su representacin en variables de estado.F ( s) = 2( s + 5) s ( s + 7 s + 12)2

F(s)= Y(s)/U(s)= 2(s+5)/[s(s+3)(s+4)]. Aplicando fracciones parciales se obtiene: 2( s + 5) A B C = + + s ( s + 3)( s + 4) s s + 3 s + 4 A=5/6 ; B= - 4/3; C=1/2 (10ptos)

Y (s) 5 / 6 4 / 3 1 / 2 = + ; Y(s) = X1(s)+X2(s)+X3(s) U (s) s s+3 s+4

X1(s)/U(s) = (5/6)/s X2(s)/U(s) = -(4/3)/(s+3) X3(s)/U(s) = (1/2)/(s+4)

sX1(s)= (5/6)U(s) sX2(s)+3X2(s)= -(4/3)U(s) sX3(s)+4X3(s)= (1/2)U(s)

X 1 X 1 * * * * Se define X = X 2, X = X 2, U = [u ], Y = [ y ] ; basndose en las ecuaciones X 3 X 3 anteriores se calcula el sistema:

* * * X = AX + BU * * * Y = CX + DU

0 0 0 5/6 0 3 0 , B = 4 / 3, C = [1 1 1], D = [0] A= 0 0 4 1/ 2 (10 ptos)

CERTAMEN No1 CONTROL AUTOMATICO I (Tiempo 100 minutos. Sin calculadora. Sin formulario)______________________________________________________________________________________

1. Dado los siguientes procesos, excitados con escaln unitario:

5 P = 1 2s + 3

;

5 P = 2 3s 2 + 7s + 6

Determinar y8 , constante de tiempo, frecuencia natural y razn de amortiguamiento. 20 pts _________________________________________________________________________ 2. Dado el siguiente sistema lineal relajado:

y (t ) + 15 y(t ) + 50y(t) = 3(u(t) + u(t))a) Determinar su Funcin de Transferencia en Laplace. b) Determinar su representacin en variables de estado. c) Determinar su respuesta temporal cuando u(t) es un escaln unitario. 40 pts _________________________________________________________________________ 3. Dado el siguiente sistema, determine el diagrama de Bode en un punto de equilibrio. Se desea observar como salida la temperatura ? 2 en el horno 2 y la entrada es q(t). Usar qQ = 1

?1 (t)u(t) qc1(t) C1 Fuente horno 1 qr(t)

? 2 (t )qc2(t) C2 horno 2 qo(t)

Las ecuaciones de los elementos son:

u(t) = Flujo de entrada = 4 q(t )q 2 (t ) + 2q(t ) ; qc1 (t) = C1 ?1 (t)?1 (t) ; C1 = Capacidad calrica = 1 q (t) = C ? (t)? 2 (t) ; C = Capacidad calrica = 2 2 c2 2 2 2 qr (t) = R ? (t )? (t) ; R = Resistencia trmica = 1 1 1 2 1 qo (t) = R ? 2 (t) ; R = Resistencia trmica = 2 2 2 2

40 pts

_________________________________________________________________________ AS/2008

CERTAMEN 2 Control Automtico I (100 minutos) 1.- El modelo nominal de una planta es Go(s). Obtener un controlador que estabilice la planta y permita cancelar el polo mas lento de la planta, el cero y conseguir error cero en estado estacionario para refere ncia sinusoidal de frecuencia 1[rad/s]. Deje planteada la ecuacin matricial a resolver.

Go(s) =

3 * (s + 2) (s + 3)(s + 1)

30 pts

2.- Suponga que el modelo nominal de una planta es Go(s) y el controlador a usar es C(s). Determine los valores de K para que el sistema nominal realimentado unitariamente sea internamente estable.

Go(s) =

- 5 * (s + 1) (s + 3)(s 2 )

C(s) =

K * (s + 1) s(s + 2 )

30 pts

3.- Determine si el sistema que tiene el diagrama de Nyquist que se ilustra a continuacin, es estable o inestable en lazo cerrado. Si P = 0, para los casos en que el punto (-1,0) est ubicado en a, b y c, adems determine el nmero de races del sistema en lazo cerrado que estn en el semiplano derecho.

20 pts 4.- Suponga que una planta responde como se ilustra a continuacin. Determine los parmetros de un controlador PI que se obtendra al aplicar el mtodo basado en la curva de reaccin segn Ziegler y Nichols (Kp=(o/(Ko*o)); Tr=o).

20 pts

AS/2005

Pauta Certamen 2 Control Automtico I Primer Semestre 2005. PREGUNTA 1. Condiciones: error cero en estado estacionario para referencia sinusoidal de frecuencia 1[rad/seg]. Luego, L(s) = (s 2+1) L(s) . Se suman 2 grados al Acl. 5 Cancelar el polo ms lento de la planta. Luego, P(s)=(s+1) P(s) . Cancelar el cero. Luego, L(s)= (s+2)(s +1) L(s) .2

Go(s) =

3( s + 2 ) . (s + 3)(s + 1)

N=2

2N-1=3

5

Grado Acl = 2N-1 + condiciones. Solucin 1: Acl de grado 6. Acl=AL+BP=(s+3)(s+1)(s+2)(s2+1)(s+l0) + 3(s+2)(s+1)(p2s2+p1s+p0) Los polos y ceros cancelados deben aparecer en el Acl. Por lo tanto: (s+3)(s+1)(s+2)(s2+1)(s+l0) + 3(s+2)(s+1)(p2s2+p1s+p0)= (s+1)(s+2)(s2+1)(s2+1s+0) 5 Resolviendo esta ecuacin, se llega al siguiente conjunto de ecuaciones: 1) 1 = l0+3 2) 0+1 = 1+3l0+3p2 3) 1 = l0+3+3p1 4) 0 = 3l0+3p0 1 3 1 3 0 0 0 lo 1 - 3 3 0 0 p2 0 = 0 3 0 p1 1 3 0 0 3 po 0 5

5

5

De 1) y 3) se concluye que p1=0. Reemplazando 4) en 2) se ve que p0=p2. Por lo tanto, C (s ) =

(s + 1)( p0s 2 + p0 ) (s + 2)(s 2 + 1)(s + l0 )C (s ) =

C (s ) =

p0 (s + 1) s 2 + 1 (s + 2) s 2 + 1 (s + l0 )

(

(

)

)

p 0 (s + 1) (s + 2)(s + l 0 )

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Solucin 2: Acl de grado 5. Acl=AL+BP=(s+3)(s+1)(s+2)(s2+1) + 3(s+2)(s+1)(p2s2+p1s+p0) Los polos y ceros cancelados deben aparecer en el Acl. Por lo tanto: (s+3)(s+1)(s+2)(s2+1) + 3(s+2)(s+1)(p2s2+p1s+p0)= (s+1)(s+2)(s2+1)(as+b) Resolviendo esta ecuacin, se llega al siguiente conjunto de ecuaciones: 1) a = 1 2) b = 3+3p2 3) a = 1+3p1 4) b = 3+3p0 3 0 0 p2 b - 3 0 3 0 p1 = a - 1 0 0 3 p0 b - 3 De 1) y 3) se concluye que p1=0. Reemplazando 4) en 2) se ve que p0=p2. Por lo tanto, C (s ) =

5

5

5

5

(s + 1)( p0 s 2 + p0 ) (s + 2)(s 2 + 1)

C (s ) =

p 0 (s + 1) s 2 + 1 (s + 2 ) s 2 + 1

(

(

)

)

C (s ) =

p 0 (s + 1) (s + 2 )

PREGUNTA 2. Se resuelve por R.H. Acl = num [1+G0(s)C(s)] = s4 + 3s3 (4+5K)s2 (12+10K)s 5K. S4 S3 S2 S1 S0 1 3 5K 3 (-10K-21) -5K (-4-5K) (-12-10K) -5K 0 0 -5K 0 0 0 0 10 10

Para que sea estable, no deben existir cambios de signo en la primera columna, por lo tanto: 5K >0 3 -10K-21 > 0 K21 K< -2,1 5 5

PREGUNTA 3. Si P=0 entonces la frmula Z=N+P se convierte a Z=N, donde Z son los polos del lazo cerrado en el SPD, y N son los encierros al punto (-1,0). 5 Caso a) : No hay encierros, por lo tanto Z=0 estable. Caso b) : N=2, por lo tanto es inestable, con 2 races en el SPD. Caso c) : No hay encierros, por lo tanto Z=0 estable. 5 5 5

PREGUNTA 4. Del grfico se observa que t0=0, t1=1 y t2=3 K0 = y y0 3 5 = 2 = u u0 3 2 5 5 5

0 = t1 t 0 = 1 0 = t 2 t1 = 2Luego, Kp= -0.9 ; Tr = 3*1 = 3. (Parmetros controlador PI).

5

AS/2005

CERTAMEN No2 CONTROL AUTOMATICO I Tiempo 100 minutos______________________________________________________________________________________

1. Dado Go(s) y C(s) determine: a) Para que valores de K el sistema es internamente estable. b) Margen de fase y ganancia analticamente.Go(s)= 2 (s+2) 2 C(s)= K (s+1)

20 pts _________________________________________________________________________ 2. Determine un controlador C(s) que haga estable internamente un sistema que tiene Go(s) como modelo nominal. Se desea error cero en estado estacionario a referencia constante. Polos ms lentos que exp(-3t).

Go(s)=

-6e n2s (s+2)(s+3)

30 pts _________________________________________________________________________ 3. Dado el modelo nominal Go(s). Usar la arquitectura de control con un grado de libertad que permita conseguir estabilidad interna, error estacionario cero a perturbaciones de entrada constante y que los polos, del lazo cerrado, tengan parte real menor que -3.

Go(s)=

(s+1) (s-2)(s+3)

30 pts _________________________________________________________________________ 4. Suponga que el modelo nominal de un sistema es Go(s). Determine los parmetros de un controlador PI que se obtendra al aplicar el mtodo de Ziegler-Nichols (Kp=0,45Kc; Tr=Pc/1,2).

Go(s)=

-10 (s+2) 2

20 pts _________________________________________________________________________ AS/2006

Pauta Certamen 2 Control Automtico 1 Primer Semestre 2006. 1) a) Acl = num{1 + Go(s)C(s)} = (s+2)2(s+1) + 2K = s3 + 5s2 + 8s + (4+2K) Ocupando Routh: s3 s2 s1 s0 1 5 4+2K 8 4+2K 0 0

Para estabilidad no deben existir cambios de signo en la primera columna. Por lo tanto: = [(5*8) (4+2K)] / 5 = (36-2K) / 5 > 0 4+2K>0 K> -2 Finalmente: -2 < K < 18 K