Tema i sistema de ecuaciones lineales iutajs

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL

TEMA I: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también

conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto

de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de

primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo1.

Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Este es un sistema con 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas, donde zyx ,, son las

incógnitas y los números iii cba ,, con 31i son los coeficientes del sistema sobre el

cuerpo de números reales. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de

las variables yx, y z que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la

matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de

señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación

lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales

sobre el cuerpo ,R es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las

ecuaciones son números reales.

1 En álgebra abstracta, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto A

y dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto ,,, A de modo que ,A es

un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto

es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro

para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1) o anillo

unitario. El ejemplo más intuitivo de un anillo es el conjunto de los números enteros.

TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA LINEAL

TIPOS DE SISTEMAS

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que

pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

a) Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

b) Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.

Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de

(hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto.

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o

rectas que se cruzan sin cortarse.

Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se

cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión

menor.



TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN

1) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN:

Se efectúan los siguientes pasos:

a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

b) Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

c) Se resuelve la ecuación.

d) El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que

aparecía despejada la otra incógnita.

e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Vamos a explicarlo a través de un ejemplo:

Tenemos que resolver el sistema:

1852

2234

yx

yx

Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales

se conoce su ecuación.

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un

sistema equivalente (en este caso elegimos y ):

5

2183

422

xy

xy

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los

segundos también lo son, por lo tanto:

5

218

3

422 xx

Luego:

xx 21834225



Esto es:

4

14

56

5614

11054620

65420110

x

x

x

xx

xx

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la

segunda):

5

4218 y

Operamos para hallar el valor de :y

2

5

10

5

818

y

y

y

Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente :2,4, yx

181082542

226162344

Ahora sí, podemos asegurar que 4x e .2y

Ejercicio: Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando

en las dos ecuaciones.



2) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN:


a) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

b) Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una

ecuación con una sola incógnita.

c) Se resuelve la ecuación.

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita

despejada.




1852

2234

yx

yx

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y

en la primera ecuación):

3

422 xy

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

183

42252

xx

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

183

201102

xx

Esto es:



4

14

56

5614

3

11054

3

206

3

11018

3

202

183

20

3

1102

x

x

x

xx

xx

xx

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos

arbitrariamente la primera):

2

3

6

63

16223

22316

22344

y

y

y

y

y

y

Hallamos la respuesta ,4x ,2y obviamente igual que en el caso anterior.

Nota: No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Ejercicio: Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.



3) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN:


a) Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

b) La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.




1852

2234

yx

yx

El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo

que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.

Nota: También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la ,x ¿por qué número debo multiplicar a la segunda

ecuación, para que al sumarla a la primera se obtenga cero?

La respuesta es -2. Veamos:

2Por 1852

2234

yx

yx

Con lo que obtenemos:

147

36104

2234

-y -

yx

yx

Y la sumamos la primera obteniéndose:

2

7

14

y

y



Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

22234 x

Y finalmente hallar el valor de :x

4

4

16

164

6224

2264

x

x

x

x

x

Hallamos la respuesta ,4x ,2y obviamente igual que en el caso anterior.

No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

Ejercicio: Realice este mismo ejemplo pero eliminando .y

Geométricamente ocurre que:

4) RESOLUCIÓN GRÁFICA:

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema El proceso

de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en

los siguientes pasos:



Se despeja la incógnita ( y ) en ambas ecuaciones.

Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la

tabla de valores correspondientes.

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

En este último paso hay tres posibilidades:

a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos

valores de las incógnitas ., yx "Sistema compatible determinado".

b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las

respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.

"Sistema compatible indeterminado".

c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema

incompatible".

Ejemplos: Entre Adriana y Carlos tienen 600 Bs, pero Carlos tiene el doble de Bs

que Adriana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Llamemos " x " al número de Bs de Adriana y " y " al de Carlos.

Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones:

Si los dos tienen 600 lempiras, esto nos proporciona la ecuación .600 yx Si

Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana, tendremos que .2xy Ambas ecuaciones

juntas forman el siguiente sistema:

02

600

yx

yx

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas

ecuaciones y tendremos:

xy

xy

2

600



Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

x 200 600

600 xy 400 0

x 100 200

xy 2 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en

los ejes “X” y "Y", podemos ya representar gráficamente:

Descripción de la grafica:

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto

(200, 400), luego la solución del sistema es 200x e .400y

La respuesta del problema planteado es que:

200x (Adriana)

400y (Carlos)

Ejercicio propuesto: Resuelve por los cuatro métodos anteriores:



4084

44

1

2

3

yx

yx

Nota: Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se

caracterizan porque el determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de cero:

0det odeterminad compatible Sistema A

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello

seguiremos los siguientes pasos:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer

grado.

2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así

los valores correspondientes de la otra incógnita.

Ejemplo:

7

2522

yx

yx

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para

ello seguiremos los siguientes pasos:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer

grado.

xy 7

2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.



25722 xx

3. Se resuelve la ecuación resultante.

0127

024142

02549142

251449

2

2

2

22

= x + - x

= x + - x

= -x + - x

= x + x - + x

Luego, usando la resolvente de la ecuación de segundo grado:

a

cabbx

2

42

Tomando ,12,7,1 cba tenemos que:

2

17

2

17

2

48497

12

1214772

x

De aquí obtenemos:

42

8

2

171

x

32

6

2

172

x

4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así

los valores correspondientes de la otra incógnita.

4373 y = - = y x =

3474 y = - y = x =



Ejercicios:

1. Resuelve los siguientes sistemas usando los métodos de igualación, sustitución,

reducción, grafico y determinantes:

a)

1034

8

yx

yx b)

1642

643

yx

yx c)

043

132

yx

yx

d)

12

24

52

3

yx

yx

e)

11002016

60

yx

yx f)

234

723

yx

yx

g)

yyx

yx

53

52

3

h) La suma de las edades de 2 niños es 8

años, el triple de uno más el doble del otro

es 23 años” Hacer el sistema y encontrar

las edades de los niños.

2. Resuelve los siguientes usando los métodos (Gauss Simple y la regla de Cramer) :

a)

9432

164

135

zyx

zyx

zyx

b)

1334

423

622

zyx

zyx

zyx

c) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 Bs. por 24 lts. de leche, 6

kg de jamón serrano y 12 lts. de aceite de oliva. Calcular el precio de cada

artículo, sabiendo que 1 lts. de aceite cuesta el triple que 1 lts. de leche y que 1

kg de jamón cuesta igual que 4 lts. de aceite más 4 l de leche.

d) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste

americano y terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30%

del total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror

al representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.



e) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice

se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las

longitudes de los radios de las circunferencias.

3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a)

12

8

yx

yx b)

17

16922

yx

yx c)

5

122

yx

xyy

d)

111

1311

22

yx

yx

e) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son

esos números?

f) Halla una fracción equivalente a 7

5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen

1184

g) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son

esos números?

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial

Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México.

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos

eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones

y la programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish

Edition. ISBN-10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.

https://www.createspace.com/5230822

Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc.

Sexta Edición. México D. F

Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera

reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”

Siddhartha

https://www.createspace.com/5230822

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