solucionario coveñas matemax 1

CAPÍTULO N°1

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO

SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 22, 23, 24)

NIVEL I

Resolución 1 Veamos:

• A = x/ 5 < x < 7 ; “x” es un número natural

5 < x < 7 → x = 6 → A = 6

• B = x/ 3x - 1 = 8 ; “x” es un número natural

3x − 1 = 8 → x = 3 → B = 3

∴ A y B son conjuntos Unitarios Rpta.: C


• A = x/ “x” es un número natural mayor que 5

A = 6; 7; 8; 9; ... ← Conjunto

• B = x/ ”x” es una fiera

B = tigre, ... ← Conjunto

• C = x/ “x” es un mamífero

C = vaca; carnero; .... ← Conjunto

∴ Tenemos: VVV Rpta.: C

Resolución 3 Tenemos:

* Luego:I. 8 ∈ A ← (V)II. 4 ∈ C ← (V)III. 3 ∉ B ← (V)IV. 1 ∈ B ← (F)V. 5 ∉ A ← (V)VI. 9 ∉ C ← (V)

∴ Tenemos: VVVFVV Rpta.: D

* Ahora:

• A = 1; 3; 8; 9; 4

• B = 2; 6; 7; 8; 9

• C = 5; 6; 8; 4

* Luego:• M = 1; 3; 4; 5; 6• N = 4; 5; 7• P = 2; 3; 4

* Ahora:A) M = 1; 3; 4; 5; 6; 7 (F)B) N = 4; 5; 6; 7 (F)C) P = 2; 3; 4; 6 (F)D) N = 4; 5; 7 (V) Rpta.: DE) Ninguna (F)


A = a; b; c; d; e

* Luego:A) c ⊂ A ← (F)B) a ⊂ A ← (F)C) b ⊂ A ← (F)D) d; e ⊂ A ← (F)E) d; e ⊂ A ← (V) ; d; e ∈ A

∴ Es verdadero (E) Rpta.: E



• A = 4x/ x ∈IN;3 < x ≤ 6

3 < x ≤ 6 → x = 4; 5; 6

4x = 16; 20; 24 → A = 16; 20; 24

• B = 5x/ x ∈IN; 3 < x ≤ 5

3 < x ≤ 5 → x = 4; 5

5x = 20; 25 → B = 20; 25

* Graficando:

* Luego:A) B ⊂ A ....................................... (F)B) 20 ∈ 16; 20; 24 ...................... (V)C) 20 y 25 ∈ 20; 25 .................... (V)D) 20 ⊂ 20; 25 .......................... (V)E) B ⊄ A ........................................ (V)

∴ Es falso (A) Rpta.: A


* Aquí: D A UC B U

⊂ ⊂⊂ ⊂

* Luego:

Rpta.: D


a) P(A) = 128 2n(A) = 27 n(A) = 7

b) P(B) = 163 2n(B) = 163 = (24)3

2n(B) = 212 n(B) = 12

∴ n(A) y n(B) = 7 y 12 Rpta.: D


A = 5a−1 ; 4b+2

B = 125 ; 64

• Como: A = B 5 125 54 64 4

1 3

2 3

a

b

−

+= == =

a

b

− =+ =

1 3

2 3 a

b

==

4

1

* Además:

C = x3/ x ∈ IN ∧ b ≤ x ≤ a

C = x3/ x ∈ IN ∧ 1 ≤ x ≤ 4

x ∈ IN ∧ 1 ≤ x ≤ 4 x = 1; 2; 3; 4

x3 = 1; 8; 27; 64

∴ C = 1; 8; 27; 64

* Me piden:

Σ elementos (C) = 1+8+27+64 = 100 Rpta.: C


• B = x2 − 3/ x ∈IN; 3 ≤ x < 6 3 ≤ x < 6 x = 3; 4; 5 x2 − 3 = 6; 13; 22

B = 6; 13; 22 Rpta.: C


D = 1; 3; 5; 7; 9; 11• Sea:

x = 1; 2; 3; 4; 5; 6 0 < x ≤ 6 ∧ x ∈ IN

• Además:2x − 1 = 1; 3; 5; 7; 9; 11 = D

∴ D = 2x − 1/x ∈ IN ∧ 0 < x ≤ 6

Rpta.: C

* Luego:I. C ⊂ A .......................................... (V)II. B ⊂ A .......................................... (F)III. C ⊂ B ........................................ (V)

∴ Son verdaderas I y III Rpta.: B


A = 3x/ x ∈ IN; 2 < x ≤ 6

2 < x ≤ 6 → x = 3; 4; 5; 6

3x = 9; 12; 15; 18 → A = 9; 12; 15; 18

* Me piden:

Conjunto "A"por extensión

= A = 9; 12; 15; 18

Rpta.: C

* Aquí: C ⊂ B ⊂ A ⊂ U

* Luego:

Rpta.: B


NIVEL II


P = 2; 4; 6; 8; 10

* Veamos las alternativas:I. P = x/ x ∈ IN ∧ x < 9 x < 9 x = 0 ;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

∴ P = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 .......... (F)

II. P = (2x + 2)/ x ∈ ∧ 0 ≤ x < 5

0 ≤ x < 5 x = 0; 1; 2; 3; 4

2x + 2 = 2; 4; 6; 8; 10

∴ P = 2; 4; 6; 8; 10 .................... (v)


III. P = 2x/x ∈IN ∧ 0 ≤ x ≤ 5 0 ≤ x ≤ 5 x = 0; 1; 2; 3; 4; 5 2x = 0; 2; 4; 6; 8; 10

∴ P = 0; 2; 4; 6; 8; 10 ................ (F)

* Ahora: cumple solo II Rpta.: B

Resolución 6 Tenemos: A = 2; 8; 9

* Luego: I. 2 ⊂ A ...................... (F)

porque 2 ∈ A

II. 8 ⊂ A ................... (F)

porque 8 ⊂ A

III. 2; 8 ⊂ A .............. (V)

porque 2; 8 ∈P(A) 2; 8 ⊂A

IV. 9 ∈ A .................. (V)

∴ Son ciertas 2 afirmaciones

Rpta.: B

Resolución 7

* Tenemos; los conjuntos unitarios:

• A = x + 7 ; 2x + 5

x + 7 = 2x + 5 x = 2

• B = y − 3 ; 5y − 15

y − 3 = 5y − 15

12 = 4y y = 3

* Me piden: x + y = 2 + 3= 5 Rpta.: A


A n AB n BC n C

= ⇒ == ⇒ == ⇒ =

φ

φ

( ) ( ) ( )

00 1

1

∴ n(B) = n(C) Rpta.: C


M = 3; 5; 7; 9; 11

* Luego:

• I. M = x/x ∈IN ∧ x < 6

x ∈ IN ∧ x < 6 → x = 0; 1; 2; 3; 4; 5∴ M = 0; 1; 2; 3; 4; 5 ................ (F)

• II. M = (2x + 1)/ x ∈IN ∧ 1 ≤ x < 6

x ∈IN ∧ 1 ≤ x < 6 x = 1; 2; 3; 4; 5 (2x + 1) = 3; 5; 7; 9; 11

∴ M = 3; 5; 7; 9; 11 .............. (V)

(=s)

• III. M = (2x − 1)/ x ∈IN ∧ 1< x < 6

x ∈IN ∧ 1 < x < 6 x = 2; 3; 4; 5

(2x − 1) = 3; 5; 7; 9

∴ M = 3; 5; 7; 9 ... (F)

∴ Cumple: solo II Rpta.: A


B = x/ x ∈IN ∧ 0 < x ≤ 5

x∈IN ∧ 0 < x ≤ 5 x = 1; 2; 3; 4; 5

∴ B = 1; 2; 3; 4; 5 n(B) = 5

* Me piden:

n[P(B)] = 2n(B) = 25 = 32

n[P(B)] = 32 Rpta.: B


A = 2x/x ∈IN ∧ 2 ≤ x ≤ 10

x ∈IN ∧ 2 ≤ x ≤ 10

x = 2; 3; 4; ... ; 10

2x = 4; 6; 8; 10; ... ; 20

∴ A = 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20

Rpta.: D


Q = 2x/x ∈IN ∧ 2 ≤ x ≤ 5

x ∈IN ∧ 0 ≤ x ≤ 5 0; 1; 2; 3; 4; 5

2x = 1; 2; 4; 8; 16; 32

∴ Q = 1; 2; 4; 8; 16; 32 Rpta.: A


R = a; b; c; d; e

* Luego:

• I. a ∧ b ∈ R .... (V)

porque a ∈ R ∧ b ∈ R• II. c⊂ R .... (V)

porque c ∈ P(R) c⊂ R

• III. e ∈R ... (F)

porque e ⊂ R

∴ Son falsas solo III Rpta.: C


• A = x∈IN/3 ≤ x ≤ 9

3 ≤ x ≤ 9 x = 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

∴ A = 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

• B = x∈IN /5 < x < 11

5< x < 11 x = 6; 7; 8; 9; 10

∴ B = 6; 7; 8; 9; 10

• C = 7; 8; 9

* Me piden:

(A∩B)∩C = 6; 7; 8; 9 ∩ 7; 8; 9 = 7; 8; 9

(A∩B)∩C = 7; 8; 9 Rpta.: D

* Me piden:

(B∪C)∩A = 3; 6 ∩ 2; 3; 4; 5; 6

(B∪C)∩A = 3; 6 Rpta.: C

* Luego:• P = 3; 5; 6; 7; 9• Q = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8• R = 2; 4; 6

* Me piden:

(P∪R)∩Q = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9 ∩ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8

(P∪R)∩Q = 2; 3; 4; 5; 6 Rpta.: D

NIVEL I


• A = x/x es una letra de la palabra “teléfono”

∴ A = t; e; l; f; o; n

• B = x/x es una letra de la palabra “elefante”

∴ B = e; l; f; a; n; t

* Me piden: A∩B = e; t; l; f; n Rpta.: E


SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 39, 40, 41)

• B = x∈IN/x es 4

∧ 3 < x < 30

x es 4

∧ 3 < x < 30 x = 4; 8; 12; 16; 20; 24 ; 28

∴ B = 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28

* Ahora:

A∪B = 4; 5; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 28

* Luego: n(A∪B) = 10 Rpta.: C


• A = x/x es dígito y 2 ≤ x ≤ 6

2≤ x ≤ 6 x = 2; 3; 4; 5; 6

∴ A = 2; 3; 4; 5; 6

• B = x ∈IN /x2 = 9

x2 = 9 x = 3 ∴ B = 3

• C = x ∈IN/x − 2 = 4

x − 2 = 4 x = 6 ∴ C = 6


ABC

===

1 2 3 72 5 6 73 4 5 7

; ; ;; ; ;; ; ;

* Ubicando los elementos en el siguiente gráfico:

* Me piden:

S = 2; 3 Rpta.: C


• A = x ∈IN/x es 5

∧ 4 < x < 21

x es 5

∧ 4 < x < 21

x = 5; 10; 15; 20

∴ A = 5; 10; 15; 20



n[(P∪Q)∩R] ← máximo

R⊂(P∪Q) ∧ P; Q ← disjuntos

* Luego:

n(P∪Q) = n(P) + n(Q) = 5 + 3 = 8

n(P∪Q) = 8

* Como

R⊂(P∪Q) n[(P∪Q)∩R] = n(P∪Q) = 8

∴ n[(P∪Q)∩R] = 8 Rpta.: D


n An Bn C

( )( )( )

===

543

* Me piden:

n[(A∩B)∪C] ← mínimo

n(A B) mínimo n(A B) 0

n(C) mínimo n(C) 3

∩ ← ⇒ ∩ = ← ⇒ =

* Luego:n[(A∩B)∪C] = n[φ∪C] = n(C) = 3

∴ n[(A∩B)∪C] = 3 Rpta.: A


• A = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8• B = 4; 6; 8• C = 2; 4; 6; 7

* Me piden:A − (C − B) = A − 2; 7A − (C − B) = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 − 2; 7

A − (C − B) = 3; 4; 5; 6; 8

Rpta.: B


* Del gráfico:

• A = 1; 2; 4 A − B = 1• B = 2; 3; 4; 5; 6 B − C = 2; 3; 5• C = 4; 6; 7

* Me piden:

(A − B ) ∪ (B − C) = 1 ∪ 2; 3; 5

(A − B) ∪ (B − C) = 1; 2; 3; 5

Rpta.: D


• A = 3; 5; 7; 9

• B = 1; 2; 4; 6; 8

• C = 3; 4; 7; 8; 9; 10

* Graficando:

* Me piden:

(A∪B)∆C = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ∆ 3; 4; 7; 8; 9; 10

(A∪B)∆C = 1; 2; 5; 6; 10 Rpta.: D


∴ S A B B≡ ∩ −( ) Rpta.: C


• A = x ∈IN/x es 4

∧ 3 < x < 17

x es 4

∧ 3 < x < 17

x = 4; 8; 12; 16

∴ A = 4; 8; 12; 16

• B = x ∈IN /x es 6

∧ 5 < x ≤ 30

x es 6

∧ 5 < x ≤ 30

x = 6; 12; 18; 24; 30

∴ B = 6; 12; 18; 24; 30

• C = x∈IN/x ≤ 15

x ≤ 15 x = 1; 2; 3; ... ; 15

∴ C = 1; 2; 3; 4; ... ; 15

* Ahora:

• (A∆B) = 4; 8; 12; 16 ∆ 6; 12; 18; 24; 30

C

A∆B = 4; 6; 8; 16; 18; 24; 30

• (B∆C) = 6; 12; 18; 24; 30; ∆ 1; 2; 3; ... ; 15

B∆C = 1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 24; 30

* Me piden:

(A∆B)∩(B∆C) = 4; 8; 18; 24; 30

Rpta.: D

∩


* Además:

• n(A∪B) =15

Como: A⊂B n(A∪B) = n(B) = 15

n(B) = 15

M = a; c; d; e; f; gN = b; c; d; f; g; hT = e; f; i

* Ahora:

* Me piden: n(B) = 15 Rpta.: C


• A = x/ 9 ≤ x2 ≤ 300 ; x ∈IN

9 ≤ x2 ≤ 300 3 ≤ x ≤ 300

x = 3; 4; 5; 6; ... 17

∴ A = 3; 4; 5; 6; ... 17

• B = x/ 2x − 5 ≤ 30 ; x ∈IN.

2x − 5 ≤ 30 2x ≤ 35 x ≤ 17,5

x = 0; 1; 2; 3; ...; 17

∴ B = 0; 1; 2; 3; ... ; 17

* Ahora:

(A∩B) = 3; 4; 5; 6; ... ; 17 n(A∩B) = 15

* Me piden: n(A∩B) = 15 Rpta.: C

* Del gráfico:• U = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11• A = 1; 2; 3; 4• B = 2; 3; 6; 7; 10; 11• C = 7; 8; 9; 10• D = 3; 4; 5; 6; 7; 8

* Ahora:

• (B∪C) = 2; 3; 6; 7; 8; 9; 10; 11

(B∪C)’ = 1; 4; 5

• (A∩D) = 3; 4

(A∩D)’ = 1; 2; 5; 6; 7; 9; 10; 11

* Me piden:

(B∪C)’ - (A∩D)’ = 1; 4; 5 − 1; 2; 5; 6; 7; 8;9;10; 11

∴ (B∪C)’ − (A∩D)’ = 4 Rpta.: C


U = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10A = 1; 3; 5; 7; 9B = 2; 3; 4

* Me piden :

(A − B)’ = (1; 3; 5; 7; 9 − 2; 3; 4)’

(A − B)’ = (1; 5; 7; 9)’

(A − B)’ = U − 1; 5; 7; 9

(A − B)’ = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 − 1; 5; 7; 9

∴ (A − B)’ = 2; 3; 4; 6; 8; 10

Rpta.: BNIVEL II


IN= 0; 1; 2; 3; 4; ...• A = x/x ∈IN; x es múltiplo de 3

x es 3

x = 0; 3; 6; 9; 12; ...

∴ A = 0; 3; 6; 9; 12; ...

• B = x/x ∈IN ; x es múltiplo de 4

x es 4

x = 0; 4; 8; 12; 16; ...

∴ B = 0; 4; 8; 12; 16; ...

• C = x/x ∈IN ; x ≤ 25

x∈IN ; x ≤ 25 x = 0; 1; 2; 3; ...; 25

∴ C = 0; 1; 2; 3; ... ; 25

* Ahora: A∩B∩C = 0; 12; 24 n(A∩B∩C) = 3

* Me piden: n(A∩B∩C) = 3 Rpta.: C



!


A = Conjunto de adultos

B = Conjunto de personas que beben Coca Cola

* Me piden:

No Adultos

A'

que No beben Coca Cola

B'

∴ ≡ A’ ∩ B’ Rpta.: D

* Luego:

• S1 = M − N = a; c; d; e; f; g − b; c; d; f; g; h

∴ S1 = a; e

• S2 = N∩T∩M = b; c; d; f; g; h ∩ e; f; i

∩ a; c; d; e; f; g

∴ S2 = f

• S3 = T − M = e; f; i − a; c; d; e; f; g

∴ S3 = i

∩

* Graficando las alternativas:

I. (A − B) ∩ (C − B)

* Me piden:

S = S1∪ S2 ∪ S3 = a; e ∪f∪i

∴ S = a; e; f; i Rpta.: D



A×B = (1; 4); (1; 5); (2; 4);(2;5);(4;4);(4;5)

AB

==

; ; ; 1 2 44 5

C = 2; 4; 6

* Ahora:

• (B − C) = 4; 5 − 2; 4; 6 = 5• (C − B) = 2; 4; 6 − 4; 5 = 2; 6

* Me piden:

[(B − C) ∪ (C − B)] − A= [5 ∪ 2; 6] − 1; 2; 4= 2; 5; 6 − 1; 2; 4= 5; 6

∴ [(B − C) ∪ (C − B)] − A = 5; 6

Rpta.: A

II. (A ∩ C) − B

III. (A ∩ B) − C

∴ Corresponde: I y II Rpta.: C

Sí cumple.


• A = 1; 2; 3; 4; 5; 6

• B = 2; 4; 6; 8; 10

• C = n/n = 2k + 1 ∧ 0 < k < 5

0 < k < 5 2k + 1 = 3; 5; 7; 9

n = 3; 5; 7; 9

∴ C = 3; 5; 7; 9

* Me piden: n[(A∪B) − C]

(A∪B) − C = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10 − 3; 5; 7; 9

(A∪B) − C = 1; 2; 4; 6; 8; 10

∴ n[(A∪B) − C] = 6 Rpta.: B

Resolución 10 Tenemos:U = 1; 2; 3; ... ; 12A = 2; 4; 6; 9; 10; 12B = 1; 2; 5; 6; 8; 10; 11

* Luego:

A’ = U − A = 1; 2; 3; ...; 12 − 2; 4; 6; 9; 10; 12

∴ A’ = 1; 3; 5; 7; 8; 11

* Me piden:

A’ − B = 1; 3; 5; 7; 8; 11 − 1; 2; 5; 6; 8; 10; 11

∴ A’ − B = 3; 7

n(A’ − B) = 2 Rpta.: E

"

Resolución 12

* Graficando cada alternativa:

A) (A∪B)∩C


B) (A∪C’)∩(B∪C’)

C) (A − B)’ ∩C

D) (A − B)’ ∩(A∪C)

E) (C − A) ∪B

∴ Corresponde: (D) Rpta.: D

* Según datos:

• n(A∩B) = 3 y = 3

• n(B) = 11 y + z = 11

3 + z = 11 z = 8

• n(A’) = 12 z + w = 12

8 + w = 12 w = 4

• n(U) = 20 x + y + z + w = 20

x + 3 + 8 + 4 = 20 x = 5

* Me piden:

n(A∆B) = x + z = 5 + 8 = 13

n(A∆B) = 13 Rpta.: A

Sí

Resolución 11

* Graficando cada alternativa:

A) (B∩C) − A

B) (A∩C) − B

C) (A∩B) − C

D) (A∪C) − B

E) (B∪C) − A

∴ Corresponde (B) Rpta.: B

SíSí cumple

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 45, 46, 47)

• Donde:

F : practican fútbol

N : practican natación

Resolución 1

• Sea “x” el número de alumnos que prefieren lenguaje(L) y matemática (M)

Entonces:

n° de alumnos que prefierensólo L = 30 - x

n° de alumnos que prefieren

sólo M = 40 - x

• Del gráfico:

(30 - x) + x + (40 - x) + 5 = 6575 - x = 65

x = 10

∴ Prefieren matemática y lenguaje10 alumnos

Rpta. B

• Sea “x” el n° de estudiantes que sólo practican nata-ción.

Del gráfico:

20 + 12 + x + 10 = 50

42 + x = 50

x = 8

Por lo tanto:

- Practican sólo natación:8 estudiantes

- Practican natación:x + 12 = 8 + 12 = 20 estudiantes Rpta. D

• Donde:

RM : aprobaron razonamiento matemático

RV : aprobaron razonamiento verbal

• Sea “x” el número de alumnos que no aprobó ningunode los 2 cursos.

Del gráfico:

40 + 25 + 15 + x = 100

80 + x = 100

x = 20

∴ No aprobaron ninguno de los cursos mencionados 20alumnos.

Rpta. C

100

RM = 65 RV = 40

40 1525

x

65-25

No aprobaron ninguno delos cursos mencionados

Resolución 2

Resolución 3

Prefieren matemática y lenguaje

Resolución 4

• Donde:

G : Leen la revista Gente

C : Leen la revista Caretas

• Sea “x” el número de personas que leen ambas revis-tas.

Del gráfico:

40 + x + 60 + 12 = 120

112 + x = 120

x = 8

∴ Leen ambas revistas 8 personasRpta. A

120

G = 40 + x C = 60 +x

40 60x

12

Resolución 8

Cálculos previos:

- Practican sólo basquet = 115 - 35 = 80- No practican basquet = los que practican sólo aje-

drez + los que no practican ninguno de los 2 depor-tes.

Sea “x” el n° de deportistas que no practican estos 2deportes.

Entonces tenemos:

105 = 90 + x → x = 15

Graficamos:

B : practican basquet

A : practican ajedrez

Del gráfico: 80 + 35 + 90 + 15 = U

U = 220

∴ Se encuestó a 220 deportistas

Rpta. A

• Donde:

N : días que desayuna jugo de naranja.

P : días que desayuna jugo de papaya.

28

N =12+3=15 P= x+3

12 x3

15

Desayuno sólo jugo de papaya

Resolución 9

El mes de febrero en el año 1999 tuvo 28 días, enton-ces: U = 28

• Donde:

M : Consumen mayonesa

K : Consumen ketchup

• Sea:

n° de personas que consumen mayonesa y ketchup = x

n° de personas que consumen sólo ketchup = 45 - x

n° de personas que consumen sólo mayonesa = 57 - x = ?

Del gráfico:(57 - x) + x + (45 - x) + 10 = 97

∴ Consumen mayonesa, pero no ketchup:57 - x = 57 - 15 = 42

Rpta. C

• Donde: IK : bebieron Inca Kola

CC : bebieron Coca Cola

Entonces:

Del gráfico:

n° de alumnas que beben sólo Inca Kola = 90 – 10 = 80

n° de alumnas que beben sólo Coca Cola = 60 – 10 = 50

∴ n° de alumnas que beben sólo una de estas bebidas:80 + 50 = 130

Rpta. A

Donde:

M: profesores de matemática

F: profesores de física

• Sea “x” el número de profesores que enseñan amboscursos.

Del gráfico:

U = (47 - x) + x + 40 + 4 ⇒ U = 91

∴ Integraban la reunión 91 profesores Rpta. D

Resolución 5

Resolución 7

Resolución 6

U

M =47 F= x+40

47-x 40x

4

300

IK =90 CC =60

80 5010

160

90 -10

60-10

97

M =57 K =45

57 - x 45 - xx

Consumen mayonesa perono ketchup

10

112 - x = 97x = 15

= 57 = 45

= 47 F= x + 40

47 - x

B = 115

N= 12+3 = 15

Del gráfico: 12 + 3 + x = 28

15 + x = 28

x = 13

∴ Desayuno solamente jugo de papaya 13 días Rpta. C

Pe : consumen pescadoPo : consumen pollo

Según el enunciado:

• 500 no consumen pollo, o sea:

Consumen sólo pescado o no consumen ninguno delos dos.

Resolución 10

Cálculos previos:

• 150 no tienen el defecto “A”, o sea:

150 = tienen sólo el defecto “B” + no tienen ningúndefecto

150 = x + 50

x = 100

⇒ Tienen sólo el defecto “B”: 100 productos .

• 230 no tienen el defecto “B”; o sea:

230 =tienen sólo el defecto “A” + no tienen ningun de-fecto

230 = y + 50

y = 180

⇒ tienen sólo el defecto “A”: 180 productos

∴ Tienen sólo un defecto:100 + 180 = 280 artículos Rpta. E

Resolución 11

x+z

Entonces:

500 = x + 200 → x = 300

⇒ Consumen sólo pescado 300 encuestados

• 600 no consumen pescado, o sea:

Consumen sólo pollo o no consumen ninguno de losdos.

Entonces:

600 = y + 200 → y = 400

Consumen sólo pollo: 400 encuestados, luego:

1000

P =300+z P = 400+z

300 400z

200

e o= 300+z

Del gráfico:

300 + z + 400 + 200 = 1 000

900 + z = 1 000

z = 100

∴ Consume pescado y pollo100 personas Rpta. D

Resolución 12

F : Juegan fútbolV : Juegan voleibol

• Sea “x” el número de alumnos que practican los 2 de-portes.

60

F = 40 V = 36

40-x 36-xx

Practican los dos deportes

Del gráfico:

(40 - x) + x + (36 - x) = 60

76 - x = 60

x = 16

∴ 16 alumnos practican los 2 deportes

Rpta. E

Resolución 13

100

A = 60 G = 80

60 - x 80 - xx

# de alumnos que practicansólo uno de estos cursos

A : practican álgebraG : practican geometría

• Sea “x” el n° de alumnos que practican A y G, entonces

n° de alumnos que practican sólo A = 60 - x

n° de alumnos que practican sólo G = 80 - x

Sea “x” el número de personas que bailan salsa y rock

Entonces:

n° de personas que sólo bailan rock = 60 - x

n° de personas que sólo bailan salsa = 65 - x

Del gráfico:

(65 - x) + x + (60 - x) = 100

125 - x = 100

x = 25

∴ No bailan rock: 65 - 25 = 40 personasRpta. A

Resolución 16

E : estudianT : trabajan

• Sea x el número de personas que trabajan y estudian.

Entonces:

n° de personas que sólo estudian = 45 - x

n° de personas que sólo trabajan = 48 - x

Del gráfico:

(45 - x) + x + (48 - x) + 8 = 70

101 - x = 70

x = 31

∴ Trabajan, pero no estudian:48 - 31 = 17 personas Rpta. C

100

S = 65 R = 60

65 - x 60 - xx

# de personas que no bailan rock

200

A = x- 80 B = 110

x 3080

# de lectores sólo de la revista A

110 - 80=30

32

B = 16 C = 25

4 1312

# de personas que nobailan ni cantan

25-12

x

16-12

• Finalmente:

n° de alumnos que practican sólo uno de estos cursos:

20 + 40 = 60

∴ 60 alumnos practican solamente un cursoRpta. A

Resolución 14

S : bailan salsaR : bailan rock

x+80

Del gráfico:

(60 - x) + x + (80 - x) = 100140 - x = 100

x = 40

Resolución 15

• Sea x el número de lectores sólo de la revista A.

Del gráfico:

x + 80 + 30 = 200

x + 110 = 200

x = 90

∴ Leen sólo la revista “A” 90 lectoresRpta. B

Resolución 17

Del gráfico:

32 = 4 + 12 + 13 + x

32 = 29 + x

x = 3

∴ El número de artistas que no bailan ni cantan es 3

Rpta. C

Resolución 18

E : n° de personas que estudianT : n° de personas que trabajan

Del gráfico:

7 + 3 + x + 15 = 40

25 + x = 40

x = 15

Por lo tanto:

n° de personas que realizan sólo unade las dos actividades:

7 + x = 7 + 15 = 22Rpta. D

Del gráfico:

(18 - x) + x + (20 - x) = 31

38 - x = 31

x = 7

∴ Solamente va a misa: 18 - 7 = 11 días Rpta. D

Resolución 19

M : n° de días que va a misaT : n° de días que va al teatro

El mes de diciembre siempre tiene 31 días.

• Sea “x” el número de días que asiste a ambos lugares,o sea a misa y al teatro

Entonces:

n° de días que va solamente a misa: 18 - x

n° de días que va solamente al teatro: 20 - x

200

M K

x zy

80

200

M K

50 40y

80

40

E=10 T = x+3

7 x3

15

# de personas que desarrollanuna de las dos actividades

10-3

M = 18

E = 10

Resolución 20

Inicialmente tenemos:

M : consumen mostaza

K : consumen ketchup

• A 120 no les gusta la mostaza

⇒ z + 80 =120 → z = 40

• A 130 no les gusta el ketchup

⇒ x + 80 =130 → x = 50

Luego

Del gráfico:

50 + y + 40 + 80 = 200

170 + y = 200

y = 30

∴ A 30 personas les gusta ambas salsas

Rpta. C

Nivel II

Resolución 1

Cálculos previos:

Sea “x” el número de personas que hablan ambos idio-mas, inglés y francés.

Entonces:

n° de personas que hablan inglés : 70

n° de personas que hablan francés : 2(70 - x)

Graficando:

Del gráfico:

(70 - x) + x + 2 70− −x x + 20 = 110

70 + (140 - 2x - x) + 20 = 110

70 + 140 - 3x + 20 = 110

230 - 3x = 110

120 = 3x

x = 40

∴ 40 personas hablan inglés y francés

Rpta. E

• Sea “x” el número de alumnos que nousan anteojos ni reloj.

Del gráfico:15 + 30 + 25 + x = 7570 + x = 75 → x = 5

∴ 5 alumnos no usan anteojos ni reloj

Rpta. C

* Si 70 personas no usan sombreros

⇒ 20 + z = 70 → z = 50

* Si 90 personas no usan anteojos:

⇒ y + z = 90

↓y + 50 = 90 → y = 40

Los que usan sombreros y anteojos son:

3U

4 ⇒

3x U

4=

El gráfico será:

Resolución 4

Si A ∪ B tiene 52 elementos

⇒ (42 - x) + x + (24 - x) = 52

66 - x = 52

x = 14

∴ A ∩ B tiene 14 elementos Rpta. C

Resolución 5

A : usan anteojosS : usan sombreroTenemos que:n° de personas que usan solamente anteojos: 20n° de personas que usan solamente sombreros: yn° de personas que usan anteojos y sombreros: x

n° de personas que no usan ninguno de los dos objetos: z

• Sea “x” el número de caballeros queusan corbata y anteojos al mismo tiem-po.

Según el enunciado vemos que:

* x = ( )1x y

3+ → x =

13

x + 1

y3

2 1x y

3 3=

2x = y

* x + z = 2x → z = x

Entonces:

Resolución 2

Sea el diagrama:

C : usan corbataA : usan anteojos

58

C A

y zx

10

58

C A

2x x

10

x

Resolución 3

Cálculos previos:

El total de los alumnos es 75, luego:

Usan reloj: ( )375

5= 45

Usan sólo anteojos: ( )175 25

3=

Usan anteojos y reloj: ( )275 30

5=

Graficando:

Del gráfico:

2x + x + x + 10 = 584x + 10 = 58

4x = 48x = 12

Luego:Usan corbata, pero no anteojos:2x = 2(12) = 24

∴ 24 personas usan corbata, pero noanteojos

Rpta. B

Resolución 6

Sabemos que:

* 32 personas no cantan, pero sí bailan

⇒ Sólo bailan 32 personas

* 24 personas no bailan, pero sí cantan:

⇒ Sólo cantan 24 personas

Del gráfico:

20 + 34

U + 40 + 50 = U

110 + 34

U = U

110 = U4

→ U = 440

∴ Usan sombrero y anteojos:

( )3440 330

4= Rpta. D

• Sea “x” el número de personas que cantan y bailan

Entonces:

n° de personas que no cantan ni bailan: 2x

Del gráfico:

24 + x + 32 + 2x = 80

56 + 3x = 80

3x = 24

x = 8

∴ No cantan ni bailan:

2(8) = 16 personas Rpta. C

Resolución 7

Cálculos previos:

Población = 120 personas

Sean:

C:n° de personas que les gusta la carne.

P: n° de personas que les gusta el pollo.

- No les gusta la carne ni el pescado:

( )1120 30

4=

- Les gusta la carne: ( )1120 60

2=

- Les gusta el pescado: ( )5120 50

12=

Graficamos:

120

C = 60 P = 50

60 - x 50 - xx

30

• Sea “x” el número de personas que gusta del pescadoy la carne.

Entonces:

n° de personas que sólo les gusta la carne: 60 - x

n° de personas que sólo les gusta el pescado: 50 - x

Del gráfico:

(60 - x) + x + (50 - x) + 30 = 120

140 - x = 120

x = 20

Luego:

Las personas a las que no les gusta el pescado: sóloles gusta la carne o no les gusta ninguno de los 2 pro-ductos.

∴ No les gusta el pescado: 30 + 60 - 20 = 70 personas Rpta. D

Resolución 8

Tenemos que:

A = 30 + x B = 4x

30 3xx

10

120

4x - x

El gráfico será:

Del gráfico:

x + 20 + 2x + (x + 10) = 90

30 + 4x = 90

4x = 60

x = 15

Luego:

Las personas que no estudian: sólo trabajan o no estu-dian ni trabajan.

20 = 2x → x = 10

∴ Leen ambas revistas 10 personasRpta. A

Resolución 10

• Sea “x” el número de personas que no usan corbata nianteojos.

Entonces:

Los que no usan corbatas son los que sólo usan ante-ojos o los que no usan ni corbata, ni anteojos.

⇒ 10 + x = 3(17)

10 + x = 51

x = 41

Del gráfico:

U = 10 + 6 + 17 + x

↓U = 10 + 6 + 17 + 41

U = 74

∴ Hay 74 profesores reunidos Rpta. D

A = 16 C = 23

10 176

x

U

Resolución 9

• Sea “x” el número de personas que leen la revista A yB.

Entonces:

n° de personas que no leen ninguna de estas revistas:3x

Si 80 personas no leen “A”

No estudian:

2x + (x+10) = 3x + 10 = 3(15) + 10 = 55

personasRpta. B

∴

E : estudianT : trabajanDonde:

Personas que sólo estudian: x

Personas que sólo trabajan: y

Personas que no estudian ni trabajan: z

Según el enunciado: y = 2x

También: ( )1z y 20

2= +

↓

( )1z 2x 20

2= +

z = x + 10

Entonces, leen solo “B” o no leen ninguna revista.

⇒ 80 = (60 - x) + 3x

80 = 60 + 2x

Resolución 11

Cálculos previos:

40 no conocen Brasil, entonces:

40 conocen sólo Argentina o no conocen ninguno delos 2 países.

⇒ 40 = 30 + (Los que no conocen ninguno de los 2países.

Conocen sólo Argentina

10 = n° de personas que no conocen ninguno de los2 países.

• Sea “x” el número de personas que conocen Argentinay Brasil.

Entonces:

n° de personas que conocen sólo Brasil: 3x

Del gráfico:

30 + x + 3x + 10 = 120 40 + 4x = 120 4x = 80

x = 20

⇒ 3x = 3(20) = 60

∴ 60 personas conocen sólo BrasilRpta. C

Además:

n° de alumnos que les gusta lenguaje

= y + 12

= x

62

− + 12 ⇒ =

x6

2+

= 28

6 202

+ =

∴ A 20 alumnos les gusta lenguajeRpta. A

62

M = x + 12 L = y + 12

x y12

x2

P = 30 C = 40

30 - x 40 - xx

y

100

# de obreros que van conpolo o con camisa

• Del enunciado:

x + 12 = 2(y + 12)

x 122+

= y + 12 ⇒ x

6 y 122

+ = +

x

6 y2

− =

Del gráfico: x + 12 + y + x2

= 62

x + 12 + x

62

− +

x2

= 62

2x + 6 = 622x = 56

x = 28

Resolución 13

• Sea “x” el número de obreros que van con polo y cami-sa.

Entonces:

n° de obreros que van sólo con polo = 30 - x

n° de obreros que van sólo con camisa = 40 - x

Del enunciado:

“60 van con polo o camisa”

⇒ 30 - x + 40 - x = 60

70 - 2x = 60

10 = 2x → x = 5

∴ 5 obreros van con polo y camisaRpta. A

Resolución 14

Resolución 12

Tenemos que:

Sabemos que:9 han sido aprobados sólo en Matemática5 han sido aprobados sólo en Física5 han sido aprobados en ambos cursosLuego:Han sido aprobados: 9 + 5 + 5 = 19

∴ 19 alumnos han sido aprobados en por lo menos 1curso.

Rpta. D

Resolución 15

Resolución 18

• Sea “x” el número de alumnos participantes en nata-ción y atletismo.

Entonces:

# de alumnos que participan sólo en natación = 30 - x

# de alumnos que participan sólo en atletismo = 20 - x

Luego:

“Los que participan en otros deportes, son el doble delos que participaron en natación solamente”

⇒ # de alumnos que participaron en otros deportes =2(30 - x)

Del gráfico:

(30 - x) + x + (20 - x) + 2(30 - x) = 80

110 - 3x = 80

30 = 3x → x = 10

∴ 10 alumnos participaron en natación y atletismoRpta. A

Resolución 19

• Sea “x” el número de personas que son actores y can-tantes.

Sea“x” el número de personas que consumen A y B

Entonces:

# de personas que consumen “B” = 3x

# de personas que consumen sólo “B” = 3x - x = 2x

Del gráfico.

40 + x + 2x + 50 = 141

90 + 3x = 141

3x = 51

x = 17

∴ No consumen “A”: 2x + 50 = 2(17) + 50 = 84 Rpta. D

• Sea “x” el número de personas que ven ambos cana-les.Entonces:# de personas que no ve ninguno de los dos canales =2xDel gráfico:12 + x + 18 + 2x = 45

30 + 3x = 45

3x = 15 → x = 5Sabemos que:No ven el canal “B”:Los que sólo ven “A” y los que no ven ninguno de los 2canales.O sea:No ven el canal “B”:

12 + 2x = 12 + 2(5) = 22 Rpta. B

Resolución 16

• Sea “x” el número de estudiantes que sólo postulan aCatólica (C).

Entonces:

# de estudiantes que postulan a San Marcos (SM)= 4x

# de estudiantes que postulan a ambas universidades= 4x - 70

Del gráfico:

70 + (4x - 70) + x = 1005x = 100

x = 20Reemplazamos: x = 20 en

4x - 70 → 4(20) - 70 = 10

∴ 10 estudiantes intentarán las 2 posibilidadesRpta. B

Resolución 17

B = 3x

Entonces:

# de personas que son actores = 40 + x

Sabemos que:

“Hay tantos cantantes como actores”

⇒ n° de personas que son cantantes = 40 + x

Del gráfico: 40 + x + 40 = 110

80 + x = 110

x = 30

∴ Son cantantes y actores 30 personasRpta. B

Resolución 20

Sabemos que:

• Los deportistas del club sólo practican fútbol y/obasquet. Si 90 personas no saben jugar basquet, en-tonces esas 90 personas juegan solamente fútbol.

⇒ n° de personas que practican sólo fútbol = 90

• Si 10 personas practican ambos deportes, entonces:

⇒ n° de personas que practican fútbol = 90 + 10 = 100

F = 100 B = 50

90 4010

50-10

Del gráfico:

n° de deportistas = 90 + 10 + 40 = 140

∴ En dicho club hay 140 deportistas

Rpta. E

• Si “El número de futbolistas es el doble del número debasquetbolistas”

⇒ n° de basquetbolistas = 100

502

=

Graficando:

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO CON TRES CONJUNTOS (Pág. 51, 52)

Resolución 1

F: n° de deportistas que paractican fútbol. B: n° de deportistas que practican basquet. V: n° de deportistas que practican voleibol.• Del gráfico 24 + 12 + 4 + 9 + x = 60

x = 11

∴ No practican ningún deportes: 11

Rpta∴∴∴∴∴ A

E: estudiantes que estudian español A: estudiantes que estudian alemán F: estudiantes que estudian francés• Me Piden:# de estudiantes que sólo estudian fran-cés: x• Del gráfico, tenemos: 7 + 3 + 2 + x = 42

x = 30 Rpta∴∴∴∴∴ B

F = 24 V = 2 5

V = 2 5

Resolución 2

E = 2 8 A = 3 0

F = 42

x

Resolución 3

C: n° de personas que leen el “Comercio”R: n° de personas que leen la “República”E: n° de personas que leen el “Expreso”• Del gráfico: 8 + 4 + 5 + 3 + 16 + x + 20 + 2 = 59

58 + x = 59 x = 1

Me piden:# de personas que leen el “Expreso”:

5 + 3 + x + 20 = 29 Personas

Rpta∴∴∴∴∴ C

C: n° de madres que saben costura

R: n° de madres que saben respotería

T: n° de madres que saben tejido

• Del gráfico:

n° de madres que sólo saben costura: 7n° de madres que sólo saben respostería: 9n° de madres que sólo saben tejido: 11

Piden: 7+9+11= 27 madres Rpta∴∴∴∴∴B

Resolución 6

Piden:

n° de lectores que prefieren la revista A, pero no la

B = 20+12 = 32 Lectores Rpta∴∴∴∴∴D

Resolución 8

M: n° de alumnos que estudian matemática

G: n° de alumnos que estudian geografía

L: n° de alumnos que estudian literatura

Piden: n° de alumnos que estudian por lo menos dos cursos

= 40 + 10 + 60 + 40 = 150

Rpta∴ C

Del gráfico: 20 + 2 + x + 9 – x + 3 + x = 38 34 + x = 38

x = 4Piden: n° de estudiantes que usaban anteojos, saco y corbata

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ C

5

x espectadores

M = 1 0 0 G = 2 4 0

L = 19 0

X = 5 0

S = 1 9A = 1 8

C = 2 0

V = 25

A = 47

C = 65

B = 53

15

Ι : n° de estudiantes que llevan Inglés.Q : n° de estudiantes que llevan Química.M : n° de estudiantes que llevan Matemática

• Del gráfico Total de alumnos: 70+5+10+10= 95

Rpta∴∴∴∴∴ E

Resolución 4

Resolución 5

I = 70 Q = 40

M = 40

R = 47C = 43

T = 58

Resolución 7

O: n° de personas que reciben medalla de oroP: n° de personas que reciben medalla de plata

B: n° de personas que reciben medalla de bronce

• Del gráfico:

130 + 10 + 20 + 15 + x = 285

x = 110

Piden: # de espectadores = 110 personas

Rpta∴∴∴∴∴C

Resolución 9

C 4 = 3 4 C 5 = 3 4

C 2 = 5 2

Resolución 10

Del gráfico:52 + 10 + x + 12 – x + 5 + x + 40 = 129

119 + x = 129 x = 10

Me piden: El n° de Televidentes que ven los 3 canales es 10

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ E

Del gráfico:90 + 20 + 20 + 15 + x = 150

145 + x = 150 x = 5

Resolución 11

El n° de personas que no consumen ninguna salsa es 5

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ A

El n° de personas que consumen sólo ketchup es 15

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ D

X

80

Resolución (para los problemas: 11 al 22)

Resolución 12

Resolución 13

El n° de personas consumen solamente mostaza es 45

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ B

Resolución 14

Del gráfico:

consumen sólo mayonesa : 20consumen sólo mostaza : 45consumen sólo ketchup : 15

∴ 80 personas consumen sólo una de las tres salsas

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ C

Resolución 15

Del grafico:

consumen sólo mostaza : 45consumen sólo mostaza : 10

y mayonesa

∴ 55 personas consumen mostaza pero no ketchup

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ A

Resolución 16

El # de personas que consumen mayonesa y ketchup, perono mostaza es 20

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ D

Resolución 17

El # de personas que consumen ketchup o mostaza, perono mayonesa:

15 + 5 + 45 = 65

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ C

Resolución 18

Del grafico:

consumen sólo mayonesa : 10y mostaza

consumen sólo mayonesa : 20y ketchup

consumen sólo mayonesa : 5y mostaza

Por lo tanto :

35 personas consumen sólo las 2 salsas Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ B

Resolución 19

Del gráfico:

consumen sólo dos salsas : 35

consumen tres salsas : 30

Por lo tanto:65 personas comunes por lo menos dos salsas

Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ B

Resolución 20

Del grafico:

consumen sólo mayonesa mostaza : 45no consumen alguna salsa : 5Por lo tanto :

50 personas no consumen ni mayonesa, ni ketchup

Rpta.: B

Resolución 21

Del grafico:

consumen sólo mostaza : 45consumen sólo ketchup : 15consumen mostaza y ketchup : 5no consumen alguna salsa : 5Por lo tanto :

70 personas no consumen mayonesa Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ D

Resolución 22

Del grafico:

consumen sólo mayonesa: 20consumen sólo ketchup : 15consumen mayonesa y ketchup : 20no consumen alguna salsa : 5Por lo tanto :

60 personas no consumen mostaza Rpta∴ ∴ ∴ ∴ ∴ C

CAPÍTULO N° 2

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE NÚMEROS NATURALES (Pág. 95, 96, 97, 98)

NIVEL I


MinuendoSustraendo

==

156

* Me piden:

Diferencia = minuendo − sustraendoDiferencia = 15 − 6Diferencia = 9 Rpta.: B


"n es mayor que

n

8

8>

y menor que

n

15

15

"

<

∴ 8 < n < 15 Rpta.: E


• x = 3 3 3 324

+ + + +...veces

x = 3 × 24 x = 72

• y = 2 2 2 236

+ + + +...veces

y = 2 × 36 y = 72

• z = 4 4 4 418

+ + + +...veces

z = 4 × 18 z = 72

* Ahora, tenemos:

xyz

===

727272

∴ x = y = z Rpta.: D

∧


I) 5 × 1 = 5 ← P. Elemento Neutro

II) a·3 = 3·a ← P. Conmutativa

III) 7 (m + n) = 7m + 7n ← P. Distributiva

∴ Tenemos: Elememto NeutroConmutativaDistributiva

Rpta.: A

Resolución 5 Me piden:

S = 1487 + 1489 + ... + 1493

S = (1 + 3 + 5 + .... + 1493) − (1 + 3 + 5 + ... + 1485)

* Sabemos:1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2

* Ahora:

• 1493 = 2(747) − 1• 1485 = 2(743) − 1

S = [1 + 3 + ... +(2×747 − 1)] − [1 + 3 + ...(2×743 − 1)]

S = 7472 − 7432 = (747 + 743)(747 − 743)

S = (1490)(4) = 5960

∴ S = 5960 Rpta.: C


Cifras = 4; 3; 7 #mayor = 743

* Ahora, me piden:

K = 999 − # mayor = 999 − 743 = 256

mayor número de 3 cifras

∴ k = 256 Rpta.: E

Resolución 7 n°s llevados

* Completando: 1 1 12 4 6 8 +3 1 6 23 5 1 09 1 4 0

* Me piden:

Σ = 3 + 4 + 6 + 0 = 13 Rpta.: C


• x = 7x

• x = x2 − 1

* Me piden:

K = 5 + 7 = (7×5) + (72 − 1)

K = 35 + 48 = 83 Rpta.: D


k = − °27 4 33 ·

k = (3)·(4) − 1 = 11 Rpta.: B


x = − + − −7 14 3 2 18 1212 4

x = 49 − 14 + 3[16 − (18 − 11)]

x = 49 − 14 + 3 [16 − 7]

x = 49 − 14 + 3·9

x = 49 − 14 + 27 = 49 − 41 = 8

∴ x = 8 Rpta.: A


Residuos llevados3 43 4 6 ×

8 2 7 6 8


k = 200009 = (2 × 104)9 = 29 × 1036

k = 29 × 10 36

Cant. de ceros de “k”

∴ Cant. ceros = 36 Rpta.: D

* Me piden:

Σ = 3 + 6 + 7 = 16

S = 16 Rpta.: D


• a = + +27 343 1443 3

a = 3 + 7 + 12 = 22

∴ a = 22

• b = +9 122 2

b = + = =81 144 225 15

∴ b = 15

* Me piden:

k a b= + − = + − = =1 22 15 1 36 6

k = 6 Rpta.: E


• 53 · 57 = 5m

510 = 5m m = 10

• (23)4 = 2n

212 = 2n n = 12

* Me piden:

m + n =10 + 12 = 22 Rpta.: B


12

12 veces

x 3 3 3...3 3• = ⋅ ⋅ =

x = 312

15

15 veces

y 2 2 2...2 2• = ⋅ ⋅ =

y = 215

* Me piden:

x y6 5 126 1553 2+ = +

x y6 5

126

155

3 2+ = +

2 36 5x y 3 2 9 8 17+ = + = + =

∴ x y6 5 17+ = Rpta.: B


RecorridoCaballo 12 kmAuto 45 kmPie 3 kmFerrocarril (12 + 45) km

* Me piden:

RecorridoTotal

= 12 + 45 + 3 + (12 + 45)

RecorridoTotal

= 117 km Rpta.: D


Cant. alumnos

437 = 13k + 8

Cant. hojas sobrantesCant. hojas a c/u

∴ 437 13 39 33 ← k 47 39 8

Cantalumnos

.

= k = 33 Rpta.: D

∴Cant.

árboles = 145 × 145 = 21 025

Rpta.: B


• a ax4 =

a ax8 =∴ x = 8

• a15 : a3 = a y

a12 = a y

∴ y = 12

* Me piden:

x + y = 8 + 12 = 20 Rpta.: A

Resoución 17 Me piden:

( )22 23A 0 4 0 6 := + ° + +

216 3 32 2 33 5− + °× ×

A = (0 + 1 + 0)2 + 36 : (6 − 3×2 + 2×1)

A = 12 + 36 : 2

A = 1 + 18 = 19

∴ A = 19 Rpta.: D


Costo inicial

Ganancia = 80 × 2 − 90

Cantidad Precio

Ganancia = 160 − 90 = 70

Rpta.: C



Sueldo

• Ahorro deVíctor

= 1600 − 970 = 630

Gastos

Sueldo

• Ahorro deHelmer

= 1870 − 1300 = 570 (+)

Gastos

Ahorrototal

= 630 + 570 = 1200 Rpta.: A


Cant. DineroJuan 320 = 320Jorge 2 × 320 = 640Enrique 320 + 2×320 = 960

* Me piden:

DineroTotal

=320 + 640 + 960

DineroTotal

= S/. 1920 Rpta.: A

• Venta = 34 =× ×2 100 150

Cant. manzanas por c/cajón

Cant. cajones Precio de venta de c/manzana

* Me piden:Ganancia = venta - costoGanancia = 150 − 60 = 90

∴ Ganancia = S/. 90 Rpta.: C

Longitud = 10 + (2×10 + 3×10) + 2×10Longitud = 10 + (20 + 30) + 20Longitud = 10 + 50 + 20

∴ Longitud = 80 cm Rpta.: A


Costo = 2×30 = 60

Costo de c/cajónCant. de cajones

• # Paquetes = 80

• # Cajas = 1

* Luego:

Pesototal

= (# paquetes)

Pesoc / paquete

+

Peso1caja

Pesototal

= (80)(2) + (10) = 170 kg




CostoCama S/. 450Colchón S/. 90Almohada S/. 15

* Luego:

Costoalumno

×

= 450 + 90 + 15 = 555

* Me piden:

Costototal

=

Númeroalumnos

×

Costo

alumno

×

Costo

total

= 130 × 555 = 72 150

Rpta.: B

* Además:

• Transporte

1kg

= S/. 3

* Me piden:

Transportetotal

=

Transporte1kg

·

Pesototal

Transportetotal

= (3) × (170) = 510

Transportetotal

= S/. 510 Rpta.: D

Resolución 28 Sea: C =# de conejosP = # de pavos

* Luego:

• # de cabezas = 23 C + P = 23 P = 23 − C .... (I)

• # de patas = 76 4C + 2P = 76 ... (II)

* Reemplazando (I) en (II):∴ 4C + 2(23 − C) = 76

2C + 46 = 762C = 30 C = 15

* Me piden:

Cant. conejos = C = 15 Rpta.: E

Resolución 29 Sea:

x = cant. bancas para 6 personasy = cant. bancas para 4 personas* Luego, dato:

• Cant. total de bancas = 40

x + y = 40 y = 40 − x ... (I)

• Cant. personas = 208

6x + 4y = 208 ... (II)

* Reemplazando (I) en (II):

6x + 4(40 − x) = 208

2x + 160 = 208

2x = 48 x = 24

* Me piden:

Cant. bancas para

6 personas

= x = 24 Rpta.: A

* Dato:

• q = 13

r1 r1 = 3q

• r1 = 5r2

3q = 5r2 r2 = 35

q

* Sabemos:

• r1 + r2 = Divisor

3q + 35

q = 72 185

q = 72

Resolución 3 Sea:

R Cant bolas rojasA Cant bolas azules

==

..

* Luego, dato:

• R + A = 20 A = 20 − R .... (I)

• 3(A − 4) = (R − 4)

Pierde 4 bolas

3A − 12 = R − 4 ... (II)

* Reemplazamos (I) en (II):

3(20 − R) − 12 = R − 4 60 − 3R −12 = R − 4

52 = 4R R = 13

* Me piden:

Cant. bolas rojas = R = 13 Rpta.. D

Resolución 30 Sabemos:

D = d · q + r División inexacta

D = (17)(3) + 9 = 60 D = 60

* Me piden:

k = D + d = 60 + 17 = 77 Divisor Dividendo

∴ k = 77 Rpta.: B


Cosecha = 17 562 kg

* Luego:

• Chuño = 12

cosecha = 12

(17 562)

Chuño = 8781

• Resto = 17 562 - 8781 = 8781

Resto = 8781

* Además:

• Resto = 48 k + regalo ; k ∈ +

8781 = 48k + regalo

∴ 8781 48 48 182 ← k : Cant. sacos 398 384 141 96 45 ← Regalo

* Me piden:

kg. de regalo = 45 Rpta.: D


• División por • División por defecto exceso

D 72 D 72 q (q + 1)

r1 r2


• Minuendo = 16

• Sustraendo = 9 D1 = 16 − 9 = 7

* Luego:

• Minuendo’ = 16×3 = 48

• Sustraendo’ = 9 + 25 = 34

D2 = 48 – 34 = 14

* Ahora:

D1

=

=

7

142

DSe duplica Rpta.: A

Resolución 2 Sea: n = número

* Luego: n·31 = 3999 n = 129

* Me piden: M = n×13 = 129×13 = 1677

∴ M = 1677 Rpta.: B

NIVEL II

q = 20

* Además:

D = d·q + r

D = (72)(q) + r1D = (72)(q) + 3q D = 75q

* Como q = 20:

D = 75(20) = 1500

Dividendo = D = 1500 Rpta.: A

3n + n = 60 n = 15 AB = 3n = 45

Resolución 4 Sea:

P Edad del padreH Edad del hijo

==

* Luego:

• P + H = 47• P − H = 23 (+)

2P = 70 P = 35

* Me piden:

Edad delpadre

= P = 35 años Rpta.: D


Aumenta 1 unidad

∆ = (47 + 1)(38 + 1) − 47 × 38

∆ = 47 × 38 + 47 + 38 + 1 − 47 × 38 = 86

∴ ∆ = 86 Rpta.: A


* Ahora:

∴(k + 1)(9) = AB = 45

k + 1 = 5 k = 4

* Me piden:

Cant. cortes = k = 4 Rpta.: C

Resolución 7 Sea:

n = cant. personas que no pagan

* Luego:

( )150050 15 n 1500

15 + − =

Personas que paganDinero aumentadoDinero que debía pa-gar c/persona

(100 + 50)(15 − n) = 1500

150(15 − n) = 1500

15 − n = 10 n = 5

* Me piden:

Cant personasque no pagan

.

= n = 5 Rpta.: E

•

(n − 1)(25) = 1000

(n − 1) = 40 n = 41

•


(k − 1)(40) = 1000

(k − 1) = 25 k = 26

* Me piden:

Cant. postes = n + k = 41 + 26 = 67

Cant. postes = 67 Rpta.. E

Resolución 9 Sea:

n Cant. pasajeros al iniciok Cant. pasajeros que bajan

==

* Luego, dato:

• n − k + 3k = 27 ... (I) Cant. pasajeros finales

“Por cada 1 que baja, suben 3”.

Cant. personas que pagaron.

• (n + 3k) × 25 = 950 .... (II)

Recaudación Precio - pasaje - Cant. personas que pagaron

n k k

n k

− + =+ =

3 27

3 25 950( )×

n + 2k = 27 n + 3k = 38

−k = −11 k = 11

* Reemplazando en:

n + 2k = 27

n + 2(11) = 27 n = 5

* Me piden:

Cant pasajerosal inicio.

= n = 5

Rpta.: B

* Dato:

• G + E = 15 G = 15 − E ... (I)

Partidos ganados y empatados

• 3G + 1E = 27 ... (II) Puntaje por empate. Puntaje por ganado.


• 3(15 − E) + E = 27 45 − 2E = 27

2E = 18 E = 9

En: G = 15 − E = 15 − 9 G = 6

* Me piden:

E − G = 9 − 6 = 3 Rpta.: C



• Tengo = 450 + 60 tengo = 510

* Ahora:

• Televisor = 900

Falta = televisor − tengo Falta = 900 − 510 = 390

∴ Falta = S/. 390 Rpta.: E

* Por propiedad:

(#vueltas C1)(#dientes C1)

= (#vueltas C2)(#dientes C2)

x·51 = 15· 119

x = 35 vueltas Rpta.: C

80t = 10000 × 1

t = 125 min : 2h · 5 min

∴ Tiempo de

llenado

= t = 2h · 5 min. Rpta.: C

Agua Tiempo 80 → 1 min. 10 000 → t


A#B = 3·A2 – 2 · AB + 5

* Me piden:

2#8 = 3·22 − 2· 2 8· + 5

2#8 = 3·4 − 2· 16 + 52#8 = 12 − 8 + 5 = 9

2#8 = 9 Rpta.: A



A B 6 ← cociente exacto0

* Además:

• A = 3×6 A = 18

• A = 6B 18 = 6B B = 3

* Me piden:A − B = 18 − 3 = 15

Rpta.: E

Resolución 15 Sea:

C Cant cerdosG Cant gallinas

==

..

* Luego:

• C + G = 58 cant. cabezas

G = 58 − C ... (I)

• 4C + 2G = 36 + 2×58 ... (II) cant. patas


4C + 2(58 − C) = 36 + 2×58

2C = 36 C = 18

* Me piden:

Cant. cerdos = 18 Rpta.: A

Resolución 16 Sea:

G # partidos ganados

E # partidos empatados

= =

* Luego:

• 1 partido ganado → 3 puntos

• 1 partido empatado → 1 punto

Resolución 18 Sea:

A Cant adultosN Cant niños

==

..

* Además:

• Entrada adulto → S/. 3

• Entrada niño → S/. 1

* Luego:

• A + N = 752 cant. espectadores

A = 752 − N ... (I)

• 3A + 1·N = 1824 ... (II) recaudación


3(752 − N) + N = 1824 2256 − 2N = 1824

432 = 2N N = 216

En: A = 752 − N = 752 - 216 A = 536

* Me piden:

A − N = 536 − 216 = 320 Rpta.: A

Resolución 17 Sea:

m Cant niñosn Cant niñas

==

.

.

* Luego:

• 3m + 2n = 100 cant. galletas

n = 50 − 32

m .... (I)

• m + n = 45 ... (II) cant.niños y niñas


m m+ −

=50

32

45

52

= m m = 10

En: n m= − = − =5032

5032

10 35

n = 35

* Me piden:

Cant. niñas = n = 35 Rpta.. B

Resolución 19 Sea:

x Cant motosy Cant bicicletasz Cant triciclos

===

.

.

.

* Luego:• x + y + z = 119 ... (I) cant. vehículos• 2x + 2y + 3z = 294 ... (II)

• 2x = 70 x = 35

Ruedas

* Ahora:

• (II) − 2 (I):

2 2 3 2942 2 2 238

x y zx y z

+ + =+ + =

z = 56

* Me piden:

Canttriciclos

.

= z = 56 Rpta.: D


• a = + − +76 32 45 16

a = + −76 32 49

a = + = =76 25 81 9

a = 9

• b = 49 49 49 3433333 ·

b = 49 49 49 7333 · ·

b = 49 49 733 · ·

b = =49 7 73 · b = 7

* Me piden:

K a b= −2 25

K = − = − = =9 7 81 49 32 22 25 5 5

∴ k = 2 Rpta.: B

4

7

5

7

7


• 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 9 9 1

245

×( )+ =

• 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 8 8 1

236

×( )+ =

• 1 + 2 + 3 + ... + 7 = 7 7 1

228

×( )+ =

• 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 6 6 1

221

×( )+ =

* Ahora:

S = 1 + 12 + 123 + 1234 + ... + 12 ... 9

* Reemplazando (I) en (II):22(46 − y) + 28y = 11741012 − 22y + 28y = 1174

6y = 162

y = 27

* Me piden:

Cant días deldo empleo

.2

= y = 27 Rpta.: D

* Luego, dato:

• (x + y) ·12 + x y+

3

· 1 = 666

373

666x y+ =

x + y = 54 ... (I)

• 8x + 5y = 285 ... (II)

Pago por manzanas deliciasPago por manzanas chilenas

* De (I) : x + y = 54 x = 54 − y ... (III)

* Reemplazando (III) en (II):

8(54 − y) + 5y = 285

432 − 8y + 5y = 285

147 = 3y y = 49

En: x = 54 − y = 54 − 49 x = 5

* Me piden:

Cant manzanaschilenas.

= x = 5 Rpta.: E

Por cada 3docenas le re-galan 1 unidad

Cant. manzanas

Número llevados 4 14 1 2

3 1 2 32 1 2 3 4

1 . . . 6 7 8 9 . . . 4 2 0 5

* Me piden: 4 ultimas

cifras

= 4205 Rpta.: A

Resolución 22 Sea:

M Cant de moscasA Cant de arañas

==

..

* Además, dato:

• M + A = 30 cant. invertebrados

M = 30 − A ... (I)

• 6M + 8 A = 220 ... (II)# patas de 1 araña# patas de 1 mosca


6(30 − A) + 8A = 220

180 − 6A + 8A = 220

2A = 40 A = 20

* Me piden:

Cant. arañas = A = 20 Rpta.: C

Resolución 23 Sea:

x Cant días del er empleoy Cant días del do empleo

==

..

12

* Luego:

• x + y = 46 cant. días

x = 46 − y ... (I)

• 22x + 28y = 1174 ...(II)

Pago diario del 2do empleo Pago diario del 1er empleo

. . .

. . .

. . .

. . .

Resolución 24 Sea:

P = M1 × M2

* Luego; dato:

• P + 420 = (M1 + 15) × M2

M1×M2 + 420 = M1×M2 + 15M2

420 = 15M2

M2 = 28

* Me piden:

Multiplicador = M2 = 28 Rpta.: E

Resolución 25 Sean los números: m; n

* Luego:

• m − n = 328 m = n + 328 ... (I)

• m n m = 12n + 20 ...... (II) 20 12


n + 328 = 12n + 20

308 = 11n n = 28

En: m = n + 328 m = 28 + 328

m = 356

* Me piden:

m + n = 356 + 28 = 384 Rpta.: B

Resolución 26 Sea:

x Cant docenas de manz chilenasy cant docenas de manz delicias

==

. .. .

Resolución 27 Sea el número: n

* Luego:

651 n

11 q 651 = nq + 11

n·q = 640 ; n > 11

n·q = 27 × 51

∴ Cant.(n) = C·D·(27·51) − 1; 2; 4; 5; 8; 10

Cant.(n) = (7 + 1)(1 + 1) − 6

Cant. (n) = 16 − 6 = 10

Cant.(n) = 10 Rpta.: D


A B A B

7 5 1 6

* Propiedad:

Σ Residuos = Divisor

7 + 1 = 8 B= 8

* Ahora:

• A = 5B + 7

A = 5(8) + 7 A = 47

* Me piden:

A + B = 47 + 8 = 55 Rpta.: A


m * n = 3m + 2n - 2 6mn

* Me piden: k=(12*2) * (2*3)

k = + −

3 12 2 2 2 6 12 2× × × × *

3 2 2 3 2 6 2 3× × × ×+ −

k = (36 + 4 − 24) * (6 + 6 − 12)

k = 16 * 0 = 3 ×16 + 2 × 0 − 2 6 16 0× ×

k = 48 + 0 − 0

∴ k = 48 Rpta.: D


( )33 3k 3 2 0 625 : 125 · 5= +

− −3 243 4 1442 5 · :

(6−1)

Divisiónpor defecto

División

por exceso

k = 3(0 + 5)3 : 5·5 − (9 − 3)·4:12

k = 3·53 : 52 - 24 : 12

k = 3·5 − 2 = 13

∴ k = 13 Rpta.: A

Resolución 31 Sea:

n Cant de estudiantesk Cant de bancas

==

..

* Luego:

n kn k

== +

86 5( )

0 = 2k − 30 k = 15

En:

• n = 8k n = 8(15) = 120 n = 120

* Me piden:

Cant. estudiantes = n = 120 Rpta.: E


• 1 botella → 3 gatitos o 2 gatos

* Ahora:

• Tengo = 18 botellas 12123

14

gatitos botellas

queda botellas

⇒

⇒ =

∴ Queda = 14 botellas x gatosx

botellas⇒ 2

142

= x x = 28 gatos Rpta.: C


Al final

• 15(7 + 3) + 1(7) = 157

15(7) + 15(3) + 1(7) = 157

∴ Cant pasosretroceso

.

= 15(3) = 45

Rpta.: C

(−)

1 Subida de7 pasos

Sube pasos ybaja pasos

73

Cant. pasosde retroceso

* Me piden:

a·b + d = 3·8 + 1 = 25

a·b + d = 25 Rpta.: B

∴ 642(8) = 418 = 1534(6) Rpta.: E

CAPÍTULO N° 3

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE SISTEMA DE NUMERACIÓN (Pág.144, 145, 146)

NIVEL I


• abc × 4 492= abc = 123 abc

===

123

• mn × 5 65= mn = 13 mn

==

13

* Me piden:

k = (a + b + c)m+n = (1 + 2 + 3)1+3

k = (6)4 = 1296 Rpta.: B


1000(m) = 729

m3 + 0·m2 + 0·m + 0 = 729 m3 = 729

m = 9

* Me piden: m = 9 Rpta.: C


• 220012(3) = 2·35 + 2·34 + 0·33 +0·32 + 1·3 + 2

220012(3) = 2(243) + 2(81) + 3 + 2

220012(3) = 653 Rpta.: B


ab

a b

×9

0

ab a b× 9 0= (10a + b)·9 = 100a + b 90a + 9b = 100a + b 8b = 10a

ab

= 45

a kb k

==

45

* Para:

k = 1 ab

= == =

4 1 45 1 5

( )( )

a + b = 9

* Me piden: a + b = 9 Rpta.: C

Comparamos


(6) (9)10ab 307= .... (I)

* Ahora:

• 307(9) = 3·92 + 0·9 + 7 = 250

307(9) = 250

•250 = 1054(6)

1054(6) = 307(9)

* En (I):

10ab(6) = 307(9)

∴ a = 5 ∧ b = 4

* Me piden: a − b = 5 − 4 = 1 Rpta.: D


abab

d

56

194

+

1a 5 6

b a 8

d 1 9 4

+

* Unidades:• 6 + b = ... 4 = 14 b = 8 llevo 1

* Decenas:

• 1 + 5 + a = ... 9 = 9 a = 3

* Centenas:

• a + b = d1 3 + 8 = d1

11 = d1 d = 1


• # mayor = 642(8) = 6×82 + 4×8 + 2 = 418

# mayor = 418

* Ahora:

•

(a − c) = 5°

a − c = 5

* Reemplazando:

99(5) = xy5 495 = xy5 xy = 49

* Me piden:

xy yx+ = + =49 94 143 Rpta.. B

3443 = 2650 (11)

∴ Ultima cifra = 0 Rpta.: A


N = 243(8) = 2×82 + 4×8 + 3 = 128 + 32 + 3 = 163

∴ 243(8) = 163

Unidades

* Me piden: Unidades = 3 Rpta.: B


abc cba xy− = 5

(100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = xy5

99(a − c) = xy5

5°

. . .

. . .

. . .

. . .


•

Resolución 11 Tenemos: a + b = 17

* Me piden:

S = ab ba+S = (10a + b) + (10b + a)S = 11(a + b)= 11(17) = 187

∴ S = 187 Rpta.: A


3(5) + 33(5) + 333(5) = aba( )5

1 3(5) +

1 3 3(5)

3 3 3(5)

4 2 4(5) = aba( )5 ab

==

42

* Me piden:

a·b = 4×2 = 8 Rpta.: C


ab ba xy− =

(10a + b) − (10b + a) = xy

9(a − b) = xy

2 18 x + y = 1 + 8 = 9

3 27 x + y = 2 + 7 = 9

8 72 x +y = 7 + 2 = 9

∴ x + y = 9 Rpta.: E


abc cba mn− = 2

abccba2mn

− concluimos que: c < a

Entonces:• c + 10 − a = n a − c= 10 − n ... (1)• b − 1 + 10 − b = m m = 9• a − 1 − c = 2 a − c = 3 ... (2)

Reemplazamos (2) en (1):

a − c = 10 − n3 = 10 − n n = 7

Me piden: m2 + n2 = 92 + 72 = 81 + 49 = 130

∴ el valor de m2 + n2 =130 Rpta.: A

abcmn

abc xnabc xm

×


abc m× = 3485 y abc n 5576× =

Me piden: a b cm n

×

5 5 7 63 4 8 54 0 4 2 6

Entonces el valor de abc × mn = 40426

Rpta.: B


mn3 3nm a95− =que m > 3

3 + 10 − m = 5 m = 8

Como “n” le presto 10 a 3:

n − 1 + 10 − n = 9 9 = 9

Como “m” le presto 10 a n:

m − 1 − 3 = a m − 4 = a

Como: m = 8 8 − 4 = a a = 4

Me piden: aa mm+ 44 + 88 = 132

∴ El valor de aa mm+ = 132 Rpta.: C

Igualamos:

• 9 − a = b a + b = 9

• 7 = a − 1 a = 8

Reemplazamos “a”:

8 + b = 9 b = 1

Me piden: 2a + 3b = 2(8) +3(1) = 19

∴ El valor de 2a + 3b = 19 Rpta.: D


35 0 7b baa( ) ( )=

Como: a > 5 y a < 7

Los valores de “a” se encuentran en:

5 < a < 7 a = 6

Reemplazamos en: 35 606 7b b( ) ( )=3(6)2 + 5(6) + b = (72)b + 6(7)

138 + b= 49b + 42 96 = 48b

2 = b

Entonces: a + b = 6 + 2 = 8

∴ El valor de a + b = 8 Rpta.: C


1 3 6mnp mnp( ) ( )=

1(3)3 + m(3)2 + n(3) + p = m(6)2 + 6n + p 27 + 9m + 3n = 36m + 6n 27 = 27m + 3n

9 = 9m + n 0 9 1 0

Pero como: 0 < m < 3 m = 1; 2

el valor de m = 1 y n = 0

Como: m ≠ n ≠ p y p < 3 : p = 0; 1; 2

y como m = 1 y n = 0 p = 2

Me piden: m +n + p = 1 + 0 + 2 = 3

∴ El valor de m + n + p = 3 Rpta.: A


( )( )8C.A. 5416

( )( )( )( )7 5 7 4 7 1 8 6− − − − 2362(8)

∴ El ( )( )8C.A. 5416 = 2362(8)


C.A(256) + C.A(4820) = C.A a bc0 9 2 9 5 10 6 9 4 9 8 10 2 0− − − + − − −

= −10 04 a bc

744 + 5180 = 104 − a bc0

5924 = 10000 − a bc0

4076 = a bc0

a = 4 ; b = 7 y c = 6 a + b+ c = 17

∴ El valor de a + b + c = 17 Rpta.: B


C A ab ba a. 3 1 = −

9 9 10 3 1− − − = −a b ba a 9 9 7 1− − = −a b ba a


aba1 66659

( )( )

=

aba1 6 9 6 9 652

( ) ( ) ( )= + +

aba1 5465( ) =

(5) (5)aba1 4141=

Igualamos:

a = 4 y b = 1 a + b = 5


(5)

(5)

(5)

(5)


2411(a) = 1 6bac( )

Como: 2411 > 1bac a < 6 pero como a > 4

Los valores de “a” se encuentran en:

4 < a < 6 a = 5

2411(5) = 1 5 6b c( )

2(5)3 + 4(5)2 + 1(5) + 1

= 1(6)3 + b(6)2 + 5(6) + c

250 + 100 + 6 = 216 + 36b + 30 + c

110 = 36b + c

Los valores: b = 3 y c = 2

Me piden: a + b + c = 5 + 3 + 2 = 10

∴ El valor de a + b + c = 10 Rpta.: D

Resolución 24

Número de 2 cifras: ab

Planteamos:

( )6C.A ab ab 229− =

( )26 10 ab ab 229− − =

600 6ab ab 229− − =

7ab 371= ab 53=

a + b = 5 + 3 = 8

∴ La suma de cifras ab a b 8= + = Rpta.: B


abc6 1abc 2 · abc= +

( )3abc10 6 1 10 abc 2abc+ = + +

7 994abc =abc = 142

Los valores de:

a = 1 ; b = 4 y c = 2

∴ El valor de abc = 142 Rpta.: A


169 22 8· ( )x nx=Operamos:

169x = 2(8)3 + 2(8)2 +n(8) + x169x = 1024 + 128 + 8n + x168x − 8n = 115221x − n = 144

Los únicos valores que cumplen con “x” y “n” son:

x = 7 y n = 3

Me piden: n·x = 3·7 = 21

∴ El valor de n·x = 21 Rpta.: E


( )( )

( )( )( )( )( )( )

C.A 2n m 3 x nn8

9 2n 9 m 3 10 x nn8

9 2n 12 m 10 x nn8

− =

− − + − =

− − − =

Igualamos:

• 9 − 2n = n 9 = 3n n = 3

• 12 − m = n 12 = m + n ; reemplazamos “n”

12 = m + 3 m = 9

• 10 − x = 8 x = 2

Me piden: m·n + x = 9·3 + 2 = 29

∴ El valor de m·n + x = 29 Rpta.: C


abab( )( )

79

1331=

El 1331(9) en base 10:

1331(9) = 1(9)3 + 3(92) + 3(9) + 1 = 729 + 243 + 27 + 1

1331(9) = 1000

Lo pasamos a base 7:

(7)(9)1331 2626=

abab( ) ( )7 72626=

Los valores de “a” y “b”:

a = 2 y b = 6

Me piden: 2a + b = 2(2) + 6 = 10

∴ El valor de 2a + b = 10 Rpta.: B

Resolución 29 Nos dicen:

C A abba nnn. ( ) ( )8 8 =

Resolvemos:

7 7 7 8 8 8− − − − =a b b a nnn ( ) ( )

Como:nnn( )8 es de 3 cifras

7 − a = 0 a = 7

Como:

8 − a = n 8 = a + n ; reemplazamos “a”:

8 = 7 + n n = 1

También:

7 − b = n 7 = n + b ; reemplazamos “n”:

7 = 1 + b b = 6

Me piden: a·n + b = 7(1) + 6 = 13

∴ El valor de a·n + b = 13 Rpta.: A


abc cba xyz( ) ( ) ( )7 7 7− =

Deducimos que: a > c

abc

cba

xyz

( )

( )

( )

7

7

7

−

Operando la resta:

• “b” le presta a “c” y se resta con “a”:

c + 7 − a = z c − a + 7 = z

a − c = 7 − z ......................... (α)

• “a” la presta a “b” y se resta con “b”:

b − 1 + 7 − b = y y = 6

• Como “a” le prestó a “b” quedaría (a − 1):

a − 1 − c = x a − c = x + 1 ..... (β)

Resolución 5

Número de 2 cifras: ab ; donde: b > a

Planteamos:

ba ab xy− =10b + a − (10a + b) = xy

9b − 9a = xy 9(b − a) = xy .... (α)

Pero me dicen que la diferencia de sus cifras es 5:

b − a = 5 .... (β)

Remplazamos (β) en (α):

9(5) = xy 45 = xy

∴ La cantidad que aumenta es 45 Rpta.: B

Reemplazamos (α) en (β):

x + 1 = 7 − z x + z = 6

Entonces tenemos que: y = 6 ; x + z = 6

Me piden: (9)(9) (9)zxy xz2 y83+ +

Reemplazamos “y”:

zx xz6 2 6839 9 9( ) ( ) ( )+ + =

(9)

(9)

(9)

(9)

zx6

xz2

683

1462

+

* c×9 = ... 5; el único valor sería c = 5

llevaría : 4

* b×9 + 4 = ... 1; el único valor que cumpliría seríab = 3 llevaría 3

* a×9 + 3 = mm ; el valor de a = 7

El valor de m sería 6;

m = 6

Me piden: a + b + c + m = 7 + 3 + 5 + 6

a + b + c + m = 21

∴ El valor de a + b + c + m = 21 Rpta.: B

Sumando en base (9); sabiendo quex + z = 6.

NIVEL II

Le pasamos en for-ma horizontal:

2 3 1abc abc× =2 10 3 10 13 + = +abc abc

6000 3abc 10abc 1+ = +

5999 = 7abc

857 = abc

Los valores de: a = 8 ; b = 5 y c = 7

Me piden: a + b + c = 20

∴ El valor de a + b + c = 20 Rpta.: C

abc

mm

×

9

15; analizamos la multiplicación:

∴ El valor de zxy(9) + xz2(9) + y83(9) = 1462(9)

Rpta.: E


2 abc3

abc 1

×


abc mm× 9 15=

Lo ponemos en posición vertical:


ab ba( ) ( )11 13=11(a) + b = 13(b) + a

10a = 12b10a − 12b = 0 5a − 6b = 0

Dando valor a “a” y “b” obtenemos:

a = 6 y b = 5

Me piden: 2a + 3b = 2(6) + 3(5) = 27

∴ El valor de 2a + 3b = 27 Rpta.: D


3 46b a b( ) ( )=

Analizando: 3 4b a<

Su base de 3b es mayor que su base

de 4a : 6 > bPero tambien: 4 < b < 6

b < 4 b = 5

Reemplazamos en la numeración:

35(6) = (5)4a

3(6) + 5 = 4(5) + a 23 = 20 + a a = 3

Me piden: a + b = 5 + 3

a + b = 8

∴ El valor de a + b = 8 Rpta.: D

Me piden: abc abc xy

103 × abc abc xy+

103 × abc xy abc xy +

Reemplazamos abc xy :

103 × 51285 + 51285

51285000 + 51285 = 51336285

Suma de cifras: 5+1+3+3+6+2+8+5 = 33

∴ Suma de cifras de abc xy = 33 Rpta.: A


ab ba× = 252

10(a) + b 10(b) + a = 252

100 ab + 10b2 + 10a2 + ab = 252

10(a2 + b2) + 101 ab = 252

Analizando: ab = 2 y a2 + b2 = 5

Me piden: a + b

Pero: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a + b)2 = 5 + 2(2)

(a + b)2 = 9 a + b = 3

∴ El valor de a + b = 3 Rpta.: A


1 3112 5a

a( ) ( )=

Por propiedad:

a + 2 + a = 31(5)

2a + 2 = 3(5) + 1 a = 7

∴ El valor de a= 7 Rpta.: E


abc xy = 51285

Resolución 9 Me dicen:

ab ba m n= + −( )2

ab ba m n− = −( )2

Restamos:

* b + 10 − a = n − 2 a − b = 12 − n ... (α)

* a − 1 − b = m a − b = m + 1 .... (β)

Igualamos (α) y (β):

12 − n = m + 1 11 = m + n

Me piden: mn nm+ = mnnm

+

12 1

∴ El valor de mn nm+ = 121 Rpta.: A

Resolución 10


Planteamos:

ab ab0 648− =ab ab× 10 648− =

9 648ab = ab = 72

∴ El número es ab = 72 Rpta.: B

Resolución 11


Planteamos: ab ab2 524− =ab ab× 10 2 524− − =9 522ab = ab = 58

Suma de cifras: a + b = 5 + 8 a + b = 13



aa b3 35( ) =

(52)a + 5(a) + 3 = 10(b) + 3

30a + 3 = 10b + 3

30a = 10b 3a = b

Me dicen: a + b = 12 ; reemplaza “b”:

a + 3a = 12 4a = 12 a = 3

Entonces: b = 3(3) b = 9

Me piden: b − a = 9 − 3 b − a = 6

∴ El valor de b − a = 6 Rpta.. D


( )( ) ( )a a bc− + =3 5 6

( )( ) ( )a a b c− + = +3 5 6

10(a − 3) + a+ 5 = 6b + c10a − 30 + a + 5 = 6b + c11a − 25 = 6b + c11a = 6b + c + 25

De acuerdo con el problema sabemos:

a > 3 y que a + 5 < 10 a < 5

Va estar comprendido: 3 < a < 5

a = 4Reemplazamos:

11(4) − 25 = 6b + c ; b < 6 ∧ c < 6

19 = 6b + c

Los valores de b y c: b = 3 ∧ c = 1

Suma: a + b + c = 4 + 3 + 1 = 8

∴ La suma de valores de a + b + c = 8

Rpta.: C

+

La suma de a + b = 5 + 3 a + b = 8

∴ El valor de a + b = 8 Rpta.: A

• a − 1 − b = x (a − b) − 1= x ;Reemplazando: 8 − 1 = x x = 7Caso II:• d + 10 − c = y (c − d) − 10 = −y• c − 1 − d = 3 c − d = 4

Reemplazamos (c − d): 4 − 10 = −y y = 6Me piden: xx + yy + xy

77 + 66 + 76 = 219∴ El valor de xx + yy + xy = 219 Rpta.: D


abcd m× = 1416 ∧ abcd n× = 2848

Me piden: abcdmoon

n abcd

m abcd

×

×( )

×( )

28480000

000014161418848

→

→

Suma de cifras: 1 + 4 + 1 + 8 + 8 + 4 + 8 = 34

∴ La suma de cifras de abcd m n× 00 34=

Rpta.: A


888 8 9

88

... ×

cifras

; pasamos a posición vertical:

888 ... 8 × 9

79 .... 992 → (88 + 1) cifras 89 cifras

Suma de cifras: 7 + 9(87) + 2 = 792

∴ La suma de cifras del producto: 792

Rpta.: E


5(6) + 55(6) + 555(6) + ... + 555 ... 5(6)

Lo ubicamos en forma vertical

(6)

(6)

(6)

(6)

(6)

5

55

555 55 sumandos

55... 555 55 cifras

.............ab

+

→

• Para b:

5(55) = 275 ; lo llevamos a base 6

b = 5 ; llevamos 45

• Para a:

5(54) + 45 = 315 ; lo llevamos a base 6

a = 3

55 cifras


(4) (2m)m2n 1m5=

m(4)2 + 2(4) + n = 1(2m)2 + m(2m) + 5

16m + 8 + n = 4m2 + 2m2 + 5

3 = 6m2 − 16m − n .... (α)


abc cba xy x− = −( )1 ; a > c

* “b” le presta a “c” y se resta con “a”:

c + 10 − a = (x − 1) a − c = 11 − x .... (α)

* “a” le presta a (b − 1) y se resta con “b”:

b − 1 + 10 − b = y y = 9

* (a − 1) se resta con “c”:

a − 1 − c = x a − c = x + 1 ... (β)

Igualamos(α) y (β): 11 − x = x + 1

10= 2x x = 5

Reemplazo “x” en (β): a − c = 5 + 1 a − c = 6

Me piden: (x + y)(a − c) = (9 + 5)(6) = 84

∴ El valor de (x + y)(a − c) = 84

Rpta.: D


ab ba xI

− = 2 ∧ cd dc y

II

− = 3

Caso I:

• b + 10 − a = 2 → a − b = 8

Sabemos: m < 4 ∧ 2m > 5 m > 2,5

Deducimos: 2,5 < m < 4 m = 3

Reemplazamos “m” en (α):

3 = 6(3)2 − 16(3) − n3 = 54 − 48 – n n = 3

Me piden: m·n = 3×3 = 9

∴ El valor de m×n = 9 Rpta.: D


xyy y y x( ) ( )( )( )9 71 1= + +

x(9)2 + y(9) + y = (y + 1)(7)2 + (y + 1)(7) + x 81x + 10y = 49y + 49 + 7y + 7 + x 80x − 46y = 56 40x − 23y = 28 40x = 23y + 28

Deduciendo los valores de “x” e “y”:x = 3 ∧ y = 4


545(b) ; 7 3 8a ( ) ; 6 5b a( )

Analizamos:

* Con “a”: a < 8 ∧ a > 5 5 < a < 8Valores de “a”: 6 y 7

* Con “b”: b > 5 ∧ b < a 5 < b < a• Si “a” valiera 6 b no existe• Si “a” vale 7 b = 6

Por lo tanto: a = 7 ∧ b = 6Reemplazamos: 545(6) ; 773(8) ; 665(7)

* 545(6)

* 773(8) base 10 = 507 a base 6 = 2203(6)

* 665(7) a base 10= 341 a base 6 = 1325(6)

∴ El menor numeral en base 6 es 545(6)

Rpta.: B

Me piden: 3 4 9 16 25 52 2 + = + = =

∴ El valor de x y2 2 5+ = Rpta.: D


(9) (9)abc 888× = ....825(9)

En posición vertical: a b c( )

( )

( )

( )

( )

( )

×

......

9

9

9

9

9

9

8 8 8

5 6 55 6 5

5 6 5

8 2 5

* (9) (9) (9)abc 8 565× =

Pero:

• 8(9) = 8 8(9) = 8

• 565(9) = 5×92 + 6×9 + 5 565(9) = 464

* Reemplazando en (I):

abc( ) ×9 8 464= ( )9 (9)abc 58 64= =

a = 0 ; b = 6 ; c = 4 a + b + c = 10

Rpta.: D

Multiplicamos: .....825(9)


C A a C A a C A a a. . .1 2 1 2 1 9284 + + =

C.A(10 + a) + C.A [2(10a + 1)] +C.A [2(102a + 10 + a)] = 9284102 − 10 − a + 103 − 20a − 2 +104 − 200a − 20 − 2a =9284

11100 − 32 − 223a = 9284 11068 − 223a = 9284

223a = 1784 a = 8

Me piden: C.A aa C.A (88) 100 − 88 = 12

∴ El valor de C.A aa = 12

Rpta.: C


cd rs× = 2430 ∧ c + r = d + s

Factorizamos 2430:

2430 21215 3 2×3×3×3 = 54 405 3 135 3 45 3 3×3×5 = 45 15 3 5 5 1

cd rs× = 243054 ×45 = 2430 y cumple: 5 + 4 = 4 + 5

Los valores de c y d son: c = 5 y d = 4 ∧ r = 4 y s = 5

Reemplazamos:

C A abcd pqrs. = +1

C A ab pq. 54 45 1 = +

(9 a)(9 b)46 pq45 1− − = +

(9 a)(9 b)46 pq45 1− − − =

( )( )9 9 4645

0 0 01

− − −a bp q

Analizando:

* 9 − b = q 9 = b + q

* 9 − a = p 9 = a + p

Me piden: a + b + p + q = a + p + b + q a + b + p + q = 9 + 9 a + b + p + q = 18

∴ El valor de a + b + p + q = 18 Rpta.: D

Analizando:

* a − c = 4 ... (β)(9 − a)96 = 99(4)

( )9 96 396− =aEntonces: 9 − a = 3 a = 6Reemplazamos “a” en (β):

6 − c = 4 c = 2Me piden: a + c = 6 + 2 a + c = 8∴ El valor de a + c = 8 Rpta.: A


m m abc00 07( ) =

73×(m)+m = abc × 10

(73 + 1)m = abc × 10(344)m = abc × 10

34,4 × m = abc

Para que sea entero abc se le debe multiplicar 34,4 por 5 m = 5

34,4 × 5 = abc

172 = abc Los valores de:

a = 1 ; b = 7 ; c = 2 y m = 5Me piden: a + b + c + m = 1 + 7 + 2 + 5 = 15∴ El valor de a + b + c + m = 15

Rpta.: E

Planteamos: abc cba( ) ( )7 9=72×a + 7×b + c = 92×c + 9×b + a

49a + 7b + c = 81c + 9b + a

48a = 2b + 80c

48(5) = 2(0)+ 80(3)

Los valores que toman a; b y c son:a = 5 ; b = 0 y c = 3

El numeral es:

abc( )7 = 503(7) = 5(7)2 + 0(7) + 3 503(7) = 248

Lo pasamos a base 5:

( )7 (5)abc = 248=1443

∴ El valor de abc7 en base 5 = 1443(5)

Rpta.: B


C A abc cba a. − = 04

Resolvemos: C A abc cba a. − = 04

[ ]C.A 100a 10b c 100c 10b a a04+ + − − − =

C A a c a. ( )99 04− =

10 99 043 − − =( )a c a

1000 a04 99(a c)− = −

( ) ( )9 96 99− = −a a c

Resolución 26 Número de 3 cifras: abc


(n) (8)abab 335=

2(n)abab 3 8 3 8 5= × + × +

2(n) (n)ab ·n ab 221+ =

2 2(n)ab ·(n 1) 13 (4 1)+ = × +

2 2(n) (4)ab ·(n 1) 31 ·(4 1)+ = +

* Comparando:

• (n) (4)ab 31= a = 3 ; b = 1 ; n = 4

• n2 + 1 = 42 + 1 n = 4∴ a = 3 ; b = 1; n = 4

* Me piden:• (a + b)n = (3 + 1)4 = 44 = 256

(a + b)n = 256 Rpta.: C

30 cifras

2


abb3 20 abb 7 1abb 120+ × = ⋅ −

abb abb abb( ) ( )10 3 20 7 110 1203+ + = + − 30 3 7000 7 120abb abb+ = + −23 6877abb =abb = 299

Los valores de a = 2 y b = 9

Me piden: C.A bab C.A(929) = 1000 − 929 = 71

C.A bab = 71

∴ El valor de C.A bab = 71 Rpta.: A

Resolución 30 Me dan:

342(6) × 555 .... 555 (6)

555 ... 555(6) × 342(6)

1555 ... 5554 31 cifras 3555 ... 555 31 cifras 2555 ... 5553 31 cifras 3415 ... 555214 33 cifras

Sumamos las cifras: 3 + 4 + 1 + 27(5) + 2 + 1 + 4Suma de las cifras: 150

∴ La suma de las cifras: 150 Rpta.: D

CAPÍTULO N° 4


SOBRE DIVISIBILIDAD (Pág. 169, 170, 171)

NIVEL I

Resolución 1

* Sea: n = 7

n = 7k ; k ∈

* Luego: 1 ≤ n ≤ 60

1 ≤ 7k ≤ 60

k = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

∴ Cant.(n) = cant.(k) = 8 Rpta.: B

Resolución 2 Sea:

n = 4°

n = 4k ; k ∈

* Luego: 1 ≤ n ≤ 80 1 ≤ 4k ≤ 80 k = 1; 2; 3; ...; 20 cant.(k) = 20

∴ cant.(n) = cant(k) cant.(n) = 20

* Me piden:

Cant. #s

no 4

°

= 80 − cant.(n) = 80 − 20 = 60

Cant. #s

no 4

°

= 60 Rpta.: C

Resolución 3 Sea:

n = 6°

n = 6k ; k∈

* Luego: 30 ≤ n ≤ 100 30 ≤ 6k ≤ 100

k = 5; 6; 7; ... ; 16 cant.(k) = 12

* Me piden:

cant.(n)= cant.(k) = 12 Rpta.: A

4

4


N = 30 = 2×3×5 = 2· [31 × 51]

cant. divisores 2°

cant. Div. (N) ← 2°

= (1 + 1)(1 +1) = 4

∴ cant. Div. (N) ← 2°

= 4 Rpta.: C


N = 72 = 23 · 32 = 2·[22·32]

cant. div. pares =(2+1)(2+1)

cant. div. pares = 9

Cant.Div.(N) = (3 + 1)(2 + 1) = 12

Cant. Div.(N) = 12

* Me piden:

Cant. Div. impares = Cant. Div.(N) − Cant. Div. pares

Cant. Div. impares = 12 − 9

∴ Cant. Div. impares = 3 Rpta.: B


N a a a a a= = + =( )2 10 2 12

N = 3×22 ×a N = 2°

; 3°

; 4°

; 6°

; 12°

∴ N no es divisible por 5 Rpta.: C

Resolución 15 Veamos gráficamente:

A∩B ← ( × )3 4°

= 12

* Luego, dato: 1 ≤ n ≤ 40

* Para números 3

:

* Como:

a ← cifra

a 3 0 1 1

a 3 1 1 4

a 3 2 1 7

= × + = = × + = = × + =

∴ Cant. valores (a) = 3 Rpta.: C


n = 2°

∧ 3°

n = 6°

n = 6k ; k ∈

* Luego: 36 < n < 84 36 < 6k < 84 k = 7; 8; 9; ... ; 13

Cant. (k) = 7

* Me piden:

Cant.(n) = cant.(k) = 7 Rpta.: C


N = 63 = 32 × 71

* Me piden:

Cant. Div.(N) = (2 + 1)(1 + 1) = 6

∴ Cant. div(N) = 6 Rpta.: C


• 60 = 22 × 31 × 51

Cant. Div.(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12

Cant. Div.(60) = 12

• 80 = 24 × 51

Cant. Div(80) = (4 + 1)(1 + 1) = 10

Cant. Div(80) = 10

* Me piden:

∆ = Cant. Div(60) − Cant. Div(80)

∆ = 12 − 10 = 2

∆ = 2 Rpta.: B


3 4 9a a =°

Σ cifras 3 4 9a a =°

3 + a + 4 + a = 9°

2a + 7 − 9 = 9°

− 9 = 9°

2(a − 1) = 9°

a − 1 = 9°

∴ A = 9°

+ 1

* Como: a ← cifra a = 9×0 + 1 = 1

∴ a = 1 Rpta.: A


36 = 22 · 32 = 3·[22 × 31]

Cant. Div.(36) ← 3°

= (2 + 1)(1 + 1) = 6

∴ Cant. Div.(36) ← 3°

= 6 Rpta.: C

– + – +


•a a1 3=°

Σ cifras a a1 3 =°

a + 1 + a = 3°

2a + 1 − 3 = 3°

− 3 = 3°

2(a − 1) = 3°

a − 1 = 3°

a = 3°

+ 1


45 = 32 × 51

Cant. Div.(45) = (2 + 1)(1 + 1) = 6

Cant. Div.(45) = 6

* Me piden:

Cant. Div.(45) > 5 = cant. div.(45) − 1; 3; 5

Cant. Div.(45) > 5 = 6 − 3

∴ Cant. Div.(45) > 5 = 3 Rpta.: B

Resolución 14 Veamos: a 5 a 1 11°

=

−a + 5 − a + 1 = 11°

−2a + 6 = 11°

−2(a − 3) = 11°

a − 3 = 11°

a = 11°

+ 3

* Como: a ← cifra a = 11×0 + 3 = a = 3

Rpta.: D


• Quitando “6”: N = 315

3 + 1 + 5 = 9 = 9

( )• Quitando “3”: N = 615

6 + 1 + 5 = 12 ≠ 9

( X )

• Quitando “1” : N = 635

6 + 3 + 5 = 14 ≠ 9

( X )

• Quitando “5”: N = 631

6 + 3 + 1 = 10 ≠ 9

( X )∴ Quitamos la cifra “6” Rpta.: D

n = 3k ; k∈

1 ≤ n ≤ 40

1 ≤ 3k ≤ 40

k = 1; 2; 3; ... ; 13

∴ Cant. #s ← 3

= 13

* Para los números 4°

:

n = 4k ; k ∈ 1 ≤ n ≤ 40

1 ≤ 4k ≤ 40

k = 1; 2; 3; ... ; 10

∴ Cant. #s ← 4

= 10

* Para los números 12

:

n = 12k ; k ∈ 1 ≤ n ≤ 40

1 ≤ 12x ≤ 40

k = 1; 2; 3

∴ Cant. #s ← 12

= 3

* Me piden:

Cant. #s ( 3

∨ 4

)= cant. #s ← 3

+ cant. #s ← 4

− cant. #s ← 12

Cant. #s ( 3

∨ 4

) = 20 Rpta.: C

NIVEL II

Resolución 1 Sea:

n = 8°

n = 8k ; k∈

* Luego: 1 ≤ n ≤ 200 1 ≤ 8k ≤ 200 k = 1; 2; 3; ...; 25 cant.(k) = 25

* Me piden:cant.(n) = cant.(k) = 25 Rpta.: B

Resolución 2 Sea:

n = 7°

n = 7k ; k ∈ * Ahora: 1 ≤ n ≤ 400 cant. #s = 400

1 ≤ 7k ≤ 400 k = 1; 2; 3; ...; 57 cant(k) =57

∴ Cant.(n) = cant.(k) cant.(n) = 57

* Me piden: cant.#s no 7° = cant.#s – cant.(n)

cant. #s no 7° = 400 – 57 = 343

∴ Cant. #s no 7°

= 343 Rpta.: C

Resolución 3 Sea:

n = 9°

n = 9k ; k ∈

* Luego: 80 < n < 200 80 < 9k < 200k = 9; 10; ... ; 22 Cant.(k) = 14

* Me piden: Cant.(n) = cant.(k) = 14 Rpta.: D

Resolución 4 Sea el número: ab

* Luego; dato: ∆ = ab ba− ∆ = (10a + b) − (10b + a)

∆ = 9(a − b) = 9°

∴ ∆ siempre es múltiplo de 9 Rpta.: D


120 = 23 ×3×5 = 2× [22×31×51]

Cant.Div.(120) pares = (2+1)(1+1)(1+1) = 12

∴ Cant. Div.(120)pares = 12 Rpta.: C


180 = 22×32×51 = 2×[21×32×51]

Cant. Div.(180) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18

* Además:

Cant. Div.(180) pares = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12

* Me piden:

Cant. Div.(180)impares = Cant. Div.(180) − Cant. Div.(180) pares

Cant. Div.(180) impares = 18 − 12 = 6

∴ Cant. Div.(180) impares = 6 Rpta.: C

Resolución 12 Sea:

n = 11°

n = 11k ; k ∈

* Ahora; dato:

n ← 2 cifras 10≤ n ≤99

10 ≤ 11k ≤ 99

k = 1; 2; ... ; 9 cant.(k) = 9

∴ Cant.(n) = cant.(k) = 9 Rpta.: C

Resolución 13 Sea:

n ← 4°

∧ 5°

n = 20°

n = 20k ; k∈

* Luego: 200 < n < 400

200 < 20k 400

10 < k < 20 cant.(k) = 9

* Me piden: Cant.(n) = cant.(k) = 9

Rpta.: B

Resolución 14 Veamos: a 1 a 5 3 11°

=

a − 1 + a − 5 + 3 = 11°

2a − 3 + 11 = 11°

+ 11 = 11°

2(a + 4) = 11°

a + 4 = 11°

a = 11°

− 4

* Como: a ← cifra a = 11×1 − 4 = 7

∴ a = 7 Rpta.: C


114 = 24 × 32

Div.(144) = 1; 2; 3; 6; ... ;72; 144

* Me piden: Divisores mayores

∆ Div. mayores = 144 − 72 = 72

∴ ∆ Div. mayores = 72 Rpta.: A


A∩B ← 3°

∧ 5°

A∩B ← 15°

+ – + – +


72 = 23 ×32

Div(72) < 9 = 1; 2; 3; 4; 6; 8

∴ Cant. Div.(72) < 9 = 6 Rpta.: B

3

3


160. = 25×51

Cant. Div.(160) = (5 + 1)(1 + 1) = 12

* Me piden:

Cant. Div.(160) > 16 = Cant. Div(160)

− 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16

Cant. Div.(160) = 12 − 7 = 5

∴ Cant. Div.(160) > 16 = 5 Rpta.: C


N a a= ( )2 = 10(2a) + a = 21a

N = 3×7×a

7°

(múltiplo de 7)

3°

(múltiplo de 3)

∴ N es múltiplo de 3 y 7 Rpta.: D


ab ←°5 (número de 2 cifras)

* Si:

• b = 0 a = 1; 2; ... ; 9 cant. ab = 9

• b = 5 a = 1; 2; ...; 9 cant. ab = 9

cant. total ab = 18

* Me piden:

Cant. total ab= 18 Rpta.: B

Resolución 11 Veamos: 2 56 3a =°

Σ cifras ( )2 a 5 63

=

2 + a + 5 + 6 = 3°

a + 12 + 1 = 3°

a + 1 = 3°

a = 3°

− 1

* Como:

a ← cifra a

a

a

= − =

= − =

= − =

3 1 1 2

3 2 1 5

3 3 1 8

×

×

×

* Luego:

Cant. valores (a) = 3 Rpta.: C

* Dato: 1 ≤ n ≤ 500


:

n = 3k ; k ∈1 ≤ n ≤ 500

1 ≤ 3k ≤ 500

k = 1; 2; 3; ... ; 166

∴ Cant.#s ← 3

= 166


:

n = 5k ; k ∈

1 ≤ n ≤ 500

1 ≤ 5k ≤ 500

k = 1; 2; 3; ...; 100

∴ Cant. #s ← 5°

= 100


:

n = 15k ; k ∈ 1≤ n ≤ 500

1≤ 15k ≤ 500

k = 1; 2; 3; ... ; 33

∴ Cant. #s ← 15°

= 33

* Me piden:

Cant. #s (3°

∨ 5°

) = cant. #s ← 3

+ cant. #s ← 5

− cant. #s ← 15

Cant. #s ( 3

∨ 5

)= 166 + 100 − 33 = 233

∴ Cant. #s ( 3

∨ 5

) = 233 Rpta.: C


A∩B ← 3°

∧ 5°

A∩B ← 15°

* Dato: 120 < n < 800


:

n = 15k ; k ∈ 120 < n < 800

120 < 15k < 800

k = 9; 10; 11; ... ; 53

∴ Cant. #s ← 15°

= 45

* Me piden:

Cant. #s (3°

∧ 5°

) = cant. #s ← 15°

= 45

∴ Cant. #s (3°

∧ 5°

) = 45 Rpta.: B

Resolución 18 Sea: n ← número

* Luego:

• n3 − n = n(n2 − 1)

n3 − n = n(n − 1)(n + 1)

n3 − n = (n − 1)(n)(n + 1)

#s consecutivos

* Por propiedad: (n − 1)(n)(n + 1) = 6°

n3 − n = 6°

Rpta.: B


320 = 26×51 = 4×[24×51]

Cant. Div.(320) ← 4°

= (4 + 1)(1 + 1) = 10

∴ Cant. Div.(320) ← 4°

= 10 Rpta.: D

Resolución 20 Veamos: 16 8 7a a =°

−3 −6 + 2a + 24 + a = 7

3a + 15 = 7

3(a + 5) = 7

a + 5 = 7

a = 7

− 5

* Como:

a ← cifra aa

= − == − =

7 1 5 27 2 5 9

××

Rpta.: D

7

Resolución 21

Veamos: 8 6 33a bb =°

8 6 3a bb =°

.... (I)

8 6 11a bb =°

... (II)

* En (II): 8 6 11a b b =°

+ − + − +

8 − a + 6 − b + b = 11

−a + 11 + 3 = 11

(a − 3) = 11

a − 3 = 11

a = 11

+ 3

* Como: a ← cifra a = 11×0 + 3 a = 3

11

8 + 3 +6 + 2b = 3

2b + 18 − 1 = 3°

2b − 1 = 3°

2b − 1 + 3 = 3°

+ 3 = 3°

* Como: b ← cifra b 3 1 1 2

b 3 2 1 5

b 3 3 1 8

= × − = = × − = = × − =

* Si a = 3 ∧ b = 2 a + b = 5 (menor)

a = 3 ∧ b = 5 a + b = 8

a = 3 ∧ b = 8 a + b = 11

∴ Menor (a + b) = 5 Rpta.: B

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 181, 182)

NIVEL I

Resolución 1 Veamos: 40 = 23 × 51

Cant. Div.(40) = (3 + 1)(1 + 1) = 8

∴ Cant. Div.(40) = 8 Rpta.: C

Resolución 2 Veamos: 30 = 2 × 3 × 5

Div.(30)primos = 2; 3; 5

∴ Cant. Div.(30) primos = 3 Rpta.: B


#s primos = 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43

∴ Cant. #s primos = 8 Rpta.: D


∴ Mayor número primo = 59 Rpta.: D


1200 = 24 × 31 × 52

Cant. Div.(1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30

∴ Cant. Div.(1200) = 30 Rpta.: D


* Me piden

Σ #s primos = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29

Σ #s primos = 129 Rpta.: D


• 56 = 23 × 71

Cant. Div.(56) = (3 + 1)(1 + 1) = 8

∴ Cant. Div.(56) = 8

• 80= 24 × 51

Cant. Div.(80) = (4 + 1)(1 + 1) = 10

∴ Cant. Div.(80) = 10

* Me piden:

∆ = Cant. Div.(80) − cant. Div.(56)∆ = 10 − 8 = 2

∆ = 2 Rpta.: A


A = 21 × 32 × 51

Cant. Div.(A) = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12

∴ Cant. Div.(A) = 12

* En (I): 8 6 3a b b =°

Σ cifras 8 6 3a bb =°

→ 8 + a + 6 + b + b = 3°

2(b + 1) = 3°

b + 1 = 3°

b = 3°

− 1

• B = 31 × 52 × 72

Cant. Div.(B) = (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18

∴ Cant. Div.(B) = 18

* Me piden:

∆ = Cant. Div.(B) − Cant. Div.(A)∆ = 18 − 12 = 6

∆ = 6 Rpta.. C

Resolución 9 Veamos: 35 = 51 × 71

Σ Div.(35) = 5 1

5 17 1

7 1

1 1 1 1+ +−−

−−

·

Σ Div.(35) = 244

486

·

Σ Div(35) = 6 × 8 = 48 Rpta.: C


• 12(5) = 5 + 2 = 7 (# primo)

• 21(5) = 2 × 5 + 1 = 11 (# primo)

• 32(5) =3 × 5 + 2 = 17 (# primo)

• 43(5) = 4 × 5 + 3 = 23 (# primo)

• 52(5) = 5 × 5 + 2 = 27 (no es primo)

∴ No es primo 52(5) Rpta.: E


130 = 21 × 51 × 131 = 5× [21 × 131]

Cant. Div.(130) ← 5°

= (1 + 1)(1 + 1) = 4

∴ Cant. Div.(130) ← 5°

= 4 Rpta.: C


M = 12n × 8 = (22 × 3)n × 23

M = 22n + 3 × 3n

Cant. Div.(M) = [(2n + 3) + 1][n + 1]

Cant. Div.(M) = (2n + 4)(n + 1)

Cant. Div.(M) = 2(n + 2)(n + 1)

* Dato: Cant. Div.(M) = 60

2(n + 2)(n + 1) = 60

(n + 2)(n + 1)= 60

(n + 2)(n +1) = (4 + 2)(4 + 1)

* Comparando: n = 4 Rpta.: B

.

.


72 = 23 × 32 = 2 × [21 × 31]2

Cant. Div(72)

cuadrados perfectos

= (1+1)(1+1) = 4

Cant. Div(72)

cuadrados perfectos

= 4 Rpta.: C


56 = 23 × 7 = 2 ×[22 × 71]

Cant. # s que dividenexactamente a 56

y pares

= (2+1)(1+1)= 6

Rpta.: D

NIVEL II


2 520 = 23 × 32 × 51 × 71

Cant. Div = (2520)=(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)

∴ Cant. Div.(2520) = 48 Rpta.: C


• 360 = 23 × 32 × 51

Cant. Div.(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24

∴ Cant. Div.(360) = 24

• 270 = 21 × 33 × 51

Cant. Div.(270) = (1+1)(3+1)(1+1) = 16

∴ Cant. Div.(270) = 16

• 180 = 22 × 32 × 51

Cant. Div.(180) = (2+1)(2+1)(1+1)= 18

∴ Cant. Div.(180) = 18

* Ahora:

• 520 = 23 × 51 × 131

Cant. Div.(520)=(3+1)(1+1)(1+1)= 16

∴ Cant. Div.(520) = 16

* Finalmente:

Cant. Div.(270) = Cant. Div.(520) = 16

Cant. Div.(520) = Cant. Div.(270)

Rpta.: B


84 = 22 · 31· 71

Div.(84) = 1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84

* Luego:

Div.(84) de 2 cifras=12; 14; 21; 28; 42; 84

Cant. Div.(84) de 2 cifras = 6 Rpta.: C


90 = 2·32·5

Div.(90)primos = 2; 3; 5

* Me piden: Cant. Div.(90)primos = 3

Rpta.: B


• 35(7) = 3×7+5 = 26 (x)

• 24(7) = 2×7+4 = 18 (x)

• 52(7) = 5×7+2 = 37 (primo)

• 64(7) = 6×7+4 = 46 (x)

• 36(7) = 3×7+6 = 27 (x)

∴ Es un #primo: 52(7) Rpta.: C


k = 4a + 4a+3

k = 4a(1+43) = (22)a · (5×13)

k = 22a · 51 · 131

Cant. Div.(k) = (2a+1)(1+1)(1+1)

∴ Cant. Div.(k) = 4(2a + 1)

* Dato: Cant. Div.(k) = 28

4(2a + 1) = 28

2a + 1= 7 a = 3 Rpta.: B


• N = 30n = (2×3×5)n = 2n×3n×5n

Cant. Div.(N) = (n+1)(n+1)(n+1)

∴ Cant. Div.(N) = (n+1)3

• M = 15·18n = (3×5)(32×2)n

M = 2n·32n+1·51

Cant. Div.(M)=(n+1)(2n+1+1)(1+1)

∴ Cant. Div.(M) = 4(n+1)2

* Dato: Cant. Div.(N) = 2×Cant. Div.(M)

(n+1)3 = 2·[4(n+1)2]

(n+1)3 = 8(n+1)2

(n+1) = 8 n = 7 Rpta.: C

* Reemplazando: a = 2 en w:

w = 9×102 = 900 w = 900

* Me piden: Cant. cifras(w) = 3

Rpta.: D

. . .

.

(1°)


150 = 2·3·52 = 5·[21·31·51]

Cant.Div.(150) ← 5°

= (1+1)(1+1)(1+1) = 8

∴ Cant. Div.(150) ← 5°

= 8 Rpta.: C

Resolución 5 Tenemos: 3n − 2

Para:n = 1 3n − 2 = 3×1− 2=1n = 2 3n − 2 = 3 × 2 − 2 = 4n = 3 3n − 2 = 3 × 3 − 2 = 7

* Luego: 1er n° primo = 7 Rpta.: A


w = 9·10a = 32×(2×5)a = 2a×32×5a

Cant. Div.(w) = (a+1)(2+1)(a+1)Cant. Div.(w) = 3(a+1)2

* Dato:

Cant. Div.(w) = 27 27 = 3(a+ 1)2

9 = (a + 1)3 = a + 1 a = 2


w = 200 ... 000

“n” ceros

w = 2×10n =2×(2×5)n

w = 2n+1·5n

Cant. Div.(w) = [(n+1)+1][n+1]

∴ Cant. Div.(w) = (n+1)(n+2)

* Dato: Cant. Div.(w) = 56

(n+1)(n+2) = (6+1)(6+2)

* Comparando: n = 6

∴ Cant. ceros = n = 6 Rpta.: C


w = 10·102·103 ... 10n

wn n n n n n

= =+ + +

10 2 51

21

21

2( ) ( ) ( )

×

* Dato: Cant. Div.(w) = 1369

n n n n( ) ( )+ +

+ +

=1

21

12

1 1369

n n( )+ +

=1

21 37

22


720 = 24×32×51 = 6×[23×31×51]

Cant. Div.(720) ← 6°

=(3+1)(1+1)(1+1)

∴ Cant. Div.(720) ← 6°

= 16 Rpta.: D

n n( )+ + =1

21 37 n(n+1) = 72

n(n + 1) = (8)(8 + 1)

* Comparando: n = 8 Rpta.: E


N = 52p + 52p+1 + 52p+2 + 52p+3

N = 52p·(1 + 51+ 52 + 53) = 52p·156

N = 22×31×52p×131

Cant. Div.(N) = (2+1)(1+1)(2p+1)(1+1)

∴ Cant. Div.(N) = 12(2p + 1)

* Dato: Cant. Div.(N) = 156 12(2p + 1) = 156

2p + 1= 13 p = 6 Rpta.: C


Cant. Div.(9×122n) − Cant. Div.(13×12n) = 33Cant.Div.(24n·32n+2)−Cant. Div.(22n·3n·13)=33 (4n+1)(2n+3)-(2n+1)(n+1)(1+1) = 33

8n2 + 14n + 3 − 4n2 − 6n − 2 = 334n2 + 8n + 1 = 334n2 + 8n − 32 = 0n2 + 2n − 8 = 0n + 4 n = −4(x)n − 2 n = 2 ( )

* Como: n > 0 n = 2

Rpta.: B

Resoluci.ón 17 Veamos:

240 = 24×3×5 = 20×[22×31]

Cant. Div.(240) ← 20°

= (2+1)(1+1) = 6

∴ Cant. Div.(240) ← 20°

= 6 Rpta.: C


• N = 32 · 5a

Cant.Div.(N) = (2 + 1)(a + 1) Cant.Div.(N) = 3(a + 1)

* Luego:• N’ = 32·5a·8

N’ = 32·5a·23

Cant.Div.(N’) = (2 + 1)(a + 1)(3 +1 ) Cant.Div.(N’) = 12(a + 1)

* Según dato:• Cant.Div.(N’) – Cant.Div.(N) = 4512(a + 1) – 3(a + 1) = 45

9(a + 1) = 45 a + 1 = 5 a = 4

* Me piden: a = 4 Rpta.: C


SOBRE MÁXIMO COMÚN DIVISOR (Pág. 185, 188)

Resolución 1

a) 10 − 25 5 2 5 M.C.D.(10; 25) = 5

b) 6 − 18 2 3 9 3 1 3 M.C.D.(6; 18) = 2×3 = 6

c) 8 − 15 18 − 15 M.C.D.(8; 15) = 1

d) 24 − 36 212 18 2 6 9 3 2 3 M.C.D.(24; 36) = 22×3 = 12

e) 40 − 100 220 50 210 25 5 2 5 M.C.D.(40; 100) = 22×5 = 20

f) 8 − 27 18 27 M.C.D(8; 27) = 1

g) 8 − 18 24 9 M.C.D(8; 18) = 2

h) 15 − 25 5 3 5 M.C.D.(15; 25) = 5

i) 6 – 8 23 4 M.C.D.(6; 8) = 2

j) 12 − 16 2 6 8 2 3 4 M.C.D.(12; 16) = 22 = 4

k) 11 − 12 111 12 M.C.D.(1; 12) = 1

l) 14 − 35 7 2 5 M.C.D.(14; 35) = 7

m) 100 − 60 2 50 30 2 25 15 5 5 3

M.C.D.(100; 60) = 25×5 = 20

n) 75 − 125 515 25 5 3 5 M.C.D(75; 125) = 52 = 25

q) 48 − 72 224 36 212 18 2 6 9 3 2 3 M.C.D.(48; 72) = 23×3 = 24

p) 85 − 68 17 5 4 M.C.D.(85; 68) = 17

r) 90 − 120 245 60 315 20 5 3 4 M.C.D.(90; 120) = 2×3×5 = 30

e) 135 − 245 5 27 49 M.C.D. = 5

f) 272 − 288 2136 144 2 68 72 2 34 36 2 17 18 M.C.D. = 24 = 16

g) 144 − 504 2 72 252 2 36 126 2 18 63 3 6 21 3 2 7 M.C.D. = 23×32 = 72

h) 950 − 425 − 800 5190 85 160 5 38 17 32 M.C.D. = 52 = 25

i) 560 − 320 2280 160 2140 80 2 70 40 2 35 20 5 7 4 M.C.D. = 24 ×5 = 80


n = M.C.D.(162; 2040; 8976)

* Veamos:612 − 2040 − 8976 2306 1020 4488 2153 510 2244 3 51 170 748 17 3 10 44

M.C.D. = 22×3×17

∴ n = 22×3×17 = 204 Rpta

2

2

2

Resolución 2

a) 18 − 16 2 9 8 M.C.D.(18; 16) = 2

b) 28 − 35 7 4 5 M.C.D.(28; 35) = 7

c) 80 − 256 240 128 220 64 210 32 2 M.C.D.(8; 256) = 24=16 5 16

d) 240 − 360 − 480 2120 180 240 2 60 90 120 2 30 45 60 3 10 15 20 5 2 3 4

M.C.D.= 23×3×5 = 120

2

2

s) 150 – 270 2 75 135 3

25 45 5 5 9 M.C.D.(150; 270) = 2×3×5 =30

t) 450 − 360 2225 180 3 75 60 3 25 20 5 5 4

M.C.D.(450; 360) = 2×32×5 = 90

j) 120 − 72 − 96 2 60 36 48 2 30 18 24 2 15 9 12 3 5 3 4 M.C.D. = 23×3 = 24

k) 1200 − 1800 − 2200 2600 900 1100 2300 450 550 2150 225 275 5 30 45 55 5 6 9 11

M.C.D. = 23×52

M.C.D. = 200

l) 294 − 98 − 392 − 1176 2147 49 196 588 7 21 7 28 84 7 3 1 4 12

M.C.D = 2×72 = 98


90 − 75 518 15 3 6 5

cant. chocolates para c/u cant caramelos para c/u

∴ Corresponde:

6 caramelos y 5 chocolates

Rpta

M.C.D.(9405; 6720) = 15

b)

M.C.D.(9009; 8613) = 99

c)

M.C.D.(50050; 12012) = 2002

d)

M.C.D.(75; 25) = 25


a)

M.C.D.(80; 25) = 5

e)

M.C.D.(144;124) = 4

M.C.D. (200;124)= 4

f)

M.C.D.(300; 225) = 75

M.C.D.(250; 225) = 25


n = M.C.D.(120; 180; 240)

* Veamos: 120 – 180 – 240 2 60 90 120 2 30 45 601 3 10 15 201 5 M.C.D. = 22 × 3 × 5 2 3 4 M.C.D. = 60

∴ Mayor long. = n = 60 cm. Rpta.


60 − 80 230 40 215 20 5 3 4 M.C.D = 22×5 = 20

Cant. trozos de c/cordel

* Luego:

• Long. de cada trozo = 20m

• c/cordel se divide en 3 y 4 partes

Rpta.


120 − 144 − 200 2 60 72 100 2 30 36 50 2 15 18 25 M.C.D. = 23 = 8

Cant. bloques que ca-ben en c/caja.

* Luego:

• Peso de c/bloque = 8 kg.

• Ubicación: 1ra caja = 15 bloques

2da caja = 18 bloques

3ra caja = 25 bloques

Rpta.

Resolución 9 Sea:

n = cant. niños

* Luego:174 n 730 n 6 q1 10 q2

174 = nq1 + 6 ∧ 730 = nq2 + 10

168 = nq1 ∧ 720 = nq2

* Como:

n ← máximo n = M.C.D.(168; 720) = 24

n = 24 niños Rpta.

Resolución 10 Sea:

n = número

* Luego:

83 n 127 n 3 q1 7 q2

83 = nq1 + 3 ∧ 127 = nq2 + 7

80 = nq1 ∧ 120 = nq2

* Como:

• n ← máximo n = M.C.D.(80; 120) = 40

n = 40 Rpta.


120 − 480 − 720 2 60 240 360 2 30 120 180 2 15 60 90 3 5 20 30 5 1 4 6 M.C.D. = 23 ×3×5

M.C.D. = 120

Cant. ancianos be- neficiados

* Luego:

• Mayor cant. = S/.120

• Cant. ancianos = 1 + 4 + 6 = 11

Rpta.


• 50 < N < 60 ... (I)

• M.C.D.(N; 16) = 8 N = 8k


50 < 8k < 60

k = 7 N = 8(7) = 56

∴ N = 56 Rpta.


M.C.D.(A; B) = 5

M.C.D.(2A; 2B) = 2×5 = 10

∴ M.C.D.(2A; 2B) = 10 Rpta.

Resolución 14 Sean los números: m; n

* Luego:

• M.C.D.(m; n) = 12 ... (I)

• m = 5n ... (II)

* De (I):

M.C.D.(m; n) = 12 m pn q

==

1212

* Remplazando en (II):

12p = 5(12q)

1p = 5 · q pq

==

51

* Reemplazando en:

m pn q

= = == = =

12 12 5 6012 12 1 12

××

∴ m = 60 ∧ n = 12 Rpta.

P.E.S.I

• 7 y 11 son primos entre sí, entonces:El M.C.M. de 7 y 11 es: 7 × 11 = 77

h) Múltiplos de 8 = 8;16;24;32;40;48;...

Múltiplos de 13= 13;26;39;52;65;78;...

• 8 y 13 son primos entre sí, entonces:El M.C.M. de 8 y 13 es: 8 13 104× =

i) Múltiplos de 3 = 3;6;9; 12 ;15;18;...

Múltiplos de 12 = 12 ;24;36;48;60;...El M.C.M. de 3 y 12 es 12

j) Múltiplos de 5 = 5;10;15;20;25;30;...

Múltiplos de 8 = 8;16;24;32;40;48;...

• 5 y 8 son primos entre sí, entonces:

El M.C.M. de 5 y 8 es: 5 8 40× =

El m.c.m. de 6 y 9 es 18

e) Múltiplos de 4 = 4;8;12;16; 20 ;24;...

Múltiplos de 5 = 5;10;15; 20 ;25;30;...El M.C.M. de 4 y 5 es 20

f) Múltiplos de 3 = 3;6; 9 ;12;15;18;...

Múltipos de 9 = 9 ;18;27;36;45;54;...

El M.C.M. de 3 y 9 es 9

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)(Pág. 195, 196)

NIVEL I

Para resolver los siguientes ejercicios, no se consideraráal cero como múltiplo de un número.

Resolucion 1

a) Múltiplos de 3 hasta 48 =

3; 6; 9; 12 ; 15; 18; 21; 24 ; 27;

30; 33; 36 ;39; 42; 45; 48

b) Mútiplos de 4 hasta 48 =

4; 8; 12 ; 16; 20; 24 ; 28;

32; 36 ; 40; 44; 48

c) Los mútiplos comunes de 3 y 4 hasta el 48 son:12; 24; 36; 48

d) El M.C.M. de 3 y 4 =12

Resolución 2

a) Múltiplos de 2 = 2; 4 ;6;8;10;12;...

Mútiplos de 4 = 4 ;8;12;16;20;24;...


b) Múltiplos de 4 = 4;8; 12 ;16;20;24;...

Múltiplos de 6 = 6; 12 ;18;24;30;36;...


c) Múltiplos de 3= 3;6;9;12;15;18; 21;...

Múltiplos de 7= 7;14; 21 ;28;35;42;...


d) Múltiplos de 6= 6;12; 18 ;24;30;36;...

Múltiplos de 9= 9; 18 ;27;36;45;54;...

3;6;9;12; 15 ;18;21;

24;27; 30 ;33;36

Resolución 3

a) Múltiplos de 3menores que 37 =

g) Múltiplos de 7 = 7;14;21;28;35;42;49;

56;63;70; 77 ;84;...

Múltiplos de 11=

= 11;22;33;44;55;66; 77 ;88;...

b) Múltiplos de 5menores que 37 =

c) Múltiplos comunes de 3 y 5 = 15;30menores que 37

d) El m.c.m. de 3 y 5 es 15

5;10; 15 ;20;25; 30 ;35

Resolución 4

a) Los múltiplos de 7 son:

7 ; 1 4 ; 2 1; 2 8;...

14 es tam bién un m últip lo de 2

Luego, el M.C.M. de (2 y 7) es 14

b) Los múltiplos de 12 son:

un

1 2 ; 2 4; 3 6; ...

12 es tam bién m últip lo de 6


28

Resolución 5

a) M.C.M. de (3 y 2): 3 2 2

3 1 3

1 1

−−−

M.C.M. (3 y 2) = 2 3 6× =

∴ El denominador común de lasuma sería 6.

b) M.C.M. de (2 y 5): 2 5 2

1 5 5

1 1

−−−

M.C.M. (2 y 5) = 2 5 10× =


c) M.C.M. de (5 y 3): 3 5 3

1 5 5

1 1

−−−

M.C.M. (5 y 3) = 3 × 5 = 15


d) M.C.M. de (8 y 10): 8 10 2

4 5 2

2 5 2

1 5 5

1 1

−−−−−

M.C.M. de (8 y 10)=2×2×2×5=40∴ El denominador común de la

suma sería 40.

e) M.C.M. de (2 y 4): 2 4 2

1 2 2

1 1

−−−

g) Los múltiplos de 10 son:

; 20; 30; 40; 50; 60; 70 ; ...1 0


Luego, el M.C.M. de (7 y 10) es 70.

h) Los múltiplos de 11 son:

1 1; 22; 3 3; 4 4; 5 5; 6 6; 77; 88; 99; 1 10 ;...

11 0 e s tam b ié n u n m ú lt ip lo d e 1 0


i) Los múltiplos de 15 son:

1 5; 3 0; 4 5; 6 0 ; 7 5;...

60 es también un múltip lo de 12


j) Los múltiplos de 24 son:

2 4; 4 8 ; 7 2; .. .


Luego el, M.C.M. de (16 y 24) es 48.

c) Los múltiplos de 8 son:

un

8;1 6; 2 4 ; 3 2;...

24 es tam bién múltip lo de 3


d) Los múltiplos de 6 son:

6;1 2;1 8; 2 4; 3 0 ;...



e) Los múltiplos de 10 son:

1 0; 2 0 ; 3 0; .. .



f) Los múltiplos de 9 son:

9; 1 8 ; 2 7; .. .



k) Los múltiplos de 60 son:

6 0; 1 2 0 ;1 8 0

120 es tam bién un m ú ltiplo de 40


l) Los múltiplos de 150 son:

1 5 0; 3 0 0; 4 5 0; 6 0 0 ; .. .



f) M.C.M. de (16 y 8): 16 8 2

8 4 2

4 2 2

2 1 2

1 1

−−−−−

M.C.M. de (16 y 8) =2×2×2×2=16


g) M.C.M. de (16 y 12): 16 12 2

8 6 2

4 3 2

2 3 2

1 3 3

1 1

−−−−−−

M.C.M. (16 y 12)= 2×2×2×2×3 =48


h) M.C.M. de (15 y 20): 15 20 2

15 10 2

15 5 3

5 5 5

1 1

−−−−−

M.C.M. de (15 y 20)=2×2×3×5=60

∴ El denominador común de lasuma sería 60

M.C.M. de (2 y 4)= 2×2 = 4


Resolución 6

a) 2 es el único número primo múltiplo de 2, ya que sóloes divisible por la unidad y por sí mismo.

b) 3 es el único número primo que es múltiplo de 3, yaque sólo es divisible por la unidad y por sí mismo.

c) No hay número primo que sea múltiplo de 6; ya que 6es un número compuesto y sus mútiplos también loson.

Resolución 7

a) 8 15 24 2

4 15 12 2

2 15 6 2

1 15 3 3

1 5 1 5

1 1 1

− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (8; 15 y 24) = 2×2×2×3×5=120

b) 16 42 56 2

8 21 28 2

4 21 14 2

2 21 7 2

1 21 7 3

1 7 7 7

1 1 1

− −− −− −− −− −− −− −

M.C.M.(16; 42 y 56)=2×2×2×2×3×7= 336

c) 42 63 70 2

21 63 35 3

7 21 35 3

7 7 35 5

7 7 7 7

1 1 1

− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (42; 63 y 70)=2×3×3×5×7= 630

d) 40 70 84 2

20 35 42 2

10 35 21 2

5 35 21 3

5 35 7 5

1 7 7 7

1 1 1

− −− −− −− −− −− −− −

M.C.M.(40; 70 y 84)=2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 840

e) 60 81 90 2

30 81 45 2

15 81 45 3

5 27 15 3

5 9 5 3

5 3 5 3

5 1 5 5

1 1 1

− −− −− −− −− −− −− −− −

M.C.M.(60; 81 y 90)=2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 = 1620

f) 70 130 190 2

35 65 95 5

7 13 19 7

1 13 19 13

1 1 19 19

1 1 1

− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (70; 130 y 190) =2 × 5 × 7 × 13 × 19 = 17 290

h) 3168 4896 6048 2

1584 2448 3024 2

792 1224 1512 2

396 612 756 2

198 306 378 2

99 153 189 3

33 51 63 3

11 17 21 3

11 17 7 7

11 17 1 11

1 17 1 17

1 1 1

− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (3168; 4896 y 6048)=2×2×2×2×2×3×3×3×7×11×17=1130976

i) 84 616 539 1125 2

42 308 539 1125 2

21 154 539 1125 2

21 77 539 1125 3

7 77 539 375 3

7 77 539 125 5

7 77 539 25 5

7 77 539 5 5

7 77 539 1 7

1 11 77 1 7

1 11 11 1 11

1 1 1 1

− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −− − −

M.C.M. (84; 616; 539 y 1125) =2×2×2×3×3×5×5×5×7×7×11 = 4 851000

Resolución 8

a) 160 240 2

80 120 2

40 60 2

20 30 2

10 15 2

5 15 3

5 5 5

1 1

−−−−−−−−

M.C.M. (160 y 240)=2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 480

b) 400 540 2

200 270 2

100 135 2

50 135 2

25 135 3

25 45 3

25 15 3

25 5 5

5 1 5

1 1

−−−−−−−−−−

M.C.M. (400 y 540) =2 × 2 × 2 ×2 × 3 × 3 ×5 × 5 = 10800

c) 800 1200 2

400 600 2

200 300 2

100 150 2

50 75 2

25 75 3

25 25 5

5 5 5

1 1

−−−−−−−−−

M.C.M. (800 y 1200) =2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 3 ×5 × 5 = 2400

g) 504 756 1260 2

252 378 630 2

126 189 315 2

63 189 315 3

21 63 105 3

7 21 35 3

7 7 35 5

7 7 7 7

1 1 1

− −− −− −− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (504; 756 y 1260) =2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7 = 7 560

d) 720 960 2

360 480 2

180 240 2

90 120 2

45 60 2

45 30 2

45 15 3

15 5 3

5 5 5

1 1

−−−−−−−−−−

M.C.M. (720 y 960) = 2×2×2×2×2×2×3×3×5 = 2880

e) 540 600 2

270 300 2

135 150 2

135 75 3

45 25 3

15 25 3

5 25 5

1 5 5

1 1

−−−−−−−−−

M.C.M. (540 y 600) =2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 5400

f) 1840 3680 2

920 1840 2

460 920 2

230 460 2

115 230 2

115 115 5

23 23 23

1 1

−−−−−−−−

Resolución 9

El menor número, diferente de cero, divisible a la vezentre 3; 5 y 7 será el M.C.M. de 3; 5 y 7.Como: 3; 5 y 7 son primos entre sí, entonces:M.C.M. (3; 5 y 7) = 3 × 5 × 7 = 105

∴ El menor número divisible a la vez entre 3; 5 y 7es: 105.

Resolución 10

El menor número divisible a la vez por 6; 8 y 10 será elM.C.M. de 6;8 y 10.

6 8 10 2

3 4 5 2

3 2 5 2

3 1 5 3

1 1 5 5

1 1 1

− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (6; 8 y 10)=23 × 3 × 5 = 120

∴ El menor número, diferente de cero, divisible ala vez por 6; 8 y 10 es 120

Resolución 11

Los números que son divisibles a la vez por 2; 3 y 4serán los múltiplos del M.C.M. de 2; 3 y 4.Hallamos el M.C.M. de 2; 3 y 4.

2 3 4 2

1 3 2 2

1 3 1 3

1 1 1

− −− −− −− −

M.C.M. (2;3 y 4) = 2×2×3 = 12

Entonces:Los mútiplos de 12 serán divisibles por 2; 3 y 4.

∴ Múltiplos de 12

menores que 70 = 12; 24; 36; 48; 60

M.C.M (1840 y 3680) =2×2×2×2×2×5×23 = 3680

Resolución 12

Los números que son divibles por 36 y 84 simultánea-mente, son los múltiplos del M.C.M. de 36 y 84.Hallamos el M.C.M. de 36 y 84.

36 84 2

18 42 2

9 21 3

3 7 3

1 7 7

1 1

−−−−−−

M.C.M.(36 y 84)=2 × 2 ×3× 3 ×7 = 252

Entonces:

Múltiplos de 252:

252; 504 ; 756 ;1008;...

Luego:Los números naturales entre 500 y 1000, divisiblespor 36 y 84 simultáneamente son:

504 y 756.

Luego:

• número de vueltas que dio el

1er ciclista 192

448

= = vueltas.

• números de vueltas que dio el

2do ciclista 192

364

= = vueltas.

∴ Pasan juntos al cabo de 192 segundos y cada uno da 4 y 3 vueltas respectivamente.

30 40 50 2

15 20 25 2

15 10 25 2

15 5 25 3

5 5 25 5

1 1 5 5

1 1 1

− −− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (30; 40 y 50)=2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600

∴ Se puede medir con las 3 reglas, exactamen-te, una distancia de 600 cm.

Resolución 17

Para saber cuál es la menor distancia que se puedemedir exactamente con las 3 reglas; hallamos elM.C.M. de 30; 40 y 50.

Resolución 14

Para saber el número exacto de docenas y decenasque hay en la canasta, hallamos el M.C.M. de 10(dece-na) y de 12(docena).

10 12 2

5 6 2

5 3 3

5 1 5

1 1

−−−−−

M.C.M. (10 y 12) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60Vemos que la cantidad de huevos que hay en la ca-nasta es 60k (‘‘k’’ es un número natural)

Hallamos los múltiplos de 60.

Múltiplos de 60

= 60;120;180;240;300; 360 ;420;...

Sabemos que la cantidad de huevos está comprendi-da entre 300 y 400; entonces:

∴ En la canasta hay 360 huevos.

48 64 2

24 32 2

12 16 2

6 8 2

3 4 2

3 2 2

3 1 3

1 1

−−−−−−−−

M.C.M. (48 y 64) = 26 × 3 = 192

Entonces:

Pasarán ambos por la partida al cabo de 192 segun-dos.

Resolución 13

Para saber cada cuántos días los buques de las 3compañías se hallarán en el puerto, hallamos el M.C.M.de (8; 18; 21)

8 18 21 2

4 9 21 2

2 9 21 2

1 9 21 3

1 3 7 3

1 1 7 7

1 1 1

− −− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (8; 18 y 21)=2×2×2×3×3×7=504

Luego, diremos que cada 504 días se hallan los bu-ques de las 3 compañías en el puerto.

Resolución 15

Para saber dentro de cuánto tiempo pasarán ambospor la partida, hallamos el M.C.M. de 48 y 64.

Resolución 16

Hallamos el M.C.M. de 5; 6; 9 y 13.

5 6 9 13 2

5 3 9 13 3

5 1 3 13 3

5 1 1 13 5

1 1 1 13 13

1 1 1 1

− − −− − −− − −− − −− − −− − −

M.C.M. (5; 6; 9 y 13) =2 × 3 × 3 × 5 × 13 = 1170

La cantidad que se desea repartir será múltiplo de1170 más 4; ya que en cada caso sobran 4 nuevossoles.

Entonces, se repartirán: ( )1170k 4; k+ ∈

Como se pide la menor cantidad de soles para repar-tir; entonces: k = 1

∴ Se repartirán: 1170 + 4 = 1174 nuevos soles.

Resolución 18

Hallamos el M.C.M. de 30; 45; 50.

30 45 50 2

15 45 25 3

5 15 25 3

5 5 25 5

1 1 5 5

1 1 1

− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (30;45 y 50) = 2 × 32 × 52 = 450

La cantidad de dinero que necesito será múltiplo de

450, más 5, (5 es lo que debe sobrar para los pasa-

jes)

Entonces:

Necesito: ( )450 k 5 ; "k ''+ ∈

Como se pide la menor cantidad, entonces: k=1

∴ Necesito 450(1)+ 5 = 455 nuevos soles

Resolución 19

Para saber dentro de cuánto tiempocoincidirán, hallamos el M.C.M. de 5 y 3.Como 5 y 3 son primos entre sí.(no tienen múltiplosen común, sólo la unidad); el M.C.M. será:

M.C.M. (5 y 3) = 5 × 3 = 15Luego: coincidirán dentro de 15 horas.

Si salen a las 9 de la mañana, volverán a coincidir alas:9 + 15 = 24 horas

∴ Volverán a coincidir a las 12 de la noche.

Resolución 20

Para saber dentro de cuánto tiempo volverán a abrirsesimultáneamente, hallamos el M.C.M. de 20; 12 y 30.

20 12 30 2

10 6 15 2

5 3 15 3

5 1 5 5

1 1 1

− −− −− −− −− −

M.C.M. (20; 12 y 30)= 2 × 2 × 3× 5 = 60

Volverán a abrirse simultáneamente, dentro de 60 se-gundos = 1 minuto

∴ Si se abren simultáneamente a las 12 del día, volve-rán a abrirse a las 12 del día con 1 minuto.

Resolución 5

Por dato:

• 547 3∗ es múltiplo de 9, ∗ es una cifra

entonces 5 + 4 + 7 + ∗ + 3 = 9

∗ + 19 = 9

⇒ ∗ = 8

• 32 21∗ es múltiplo de 9, ∗ es una cifra

entonces 3 + 2 + ∗ + 2 + 1 = 9

∗ + 8 = 9

⇒ ∗ = 1Piden:

∴ 547 3 32 21−∗ ∗ es 22 662 Rpta.: C

547 3 54783

32121

2266232 21

EJERCICIOS DE REFORZAMINETO SOBRE NÚMERO PRIMO, DIVISIBILIDAD, M.C.D. y M.C.M.(Pág. 196, 197, 198)

NIVEL I

Resolución 1

Si “n” es un número impar,

I. 2n es impar(impar×impar =impar)

2n n+ es par (impar + impar = par)

2n n 1+ + es impar (par+1= impar)

2n n 1+ + es impar

II. 2n es par (par × impar = par)

2n + 1 es impar (par + 1 = impar)

2n + 1 es impar.

III. 3n es impar (impar × impar = impar)

3n + 1 es par (impar +1 = par)3n + 1 es par.

∴ Son impares I y II

Resolución 2

Si “n” es un número par,

I. 3n n n n= × × es par(par×par×par=par)

3n n+ es par (par+par=par)

3n n 2+ + es par (par+par=par)

3n n 2+ + es par

II. 2n n n= × es par (par × par = par)

22n es par (par × par = par)

22n 1+ es impar (par+impar=impar)

22n 1+ es impar.

III. 6n es par (par × par = par)

6n + 3 es impar (par+impar = impar)6n + 3 es impar.

∴ Son impares II y III

Resolución 3

Analizamos cada conjunto.

• A=3; 5; 12; 13

3 y 5 son primos entre sí.






Rpta: C

Rpta: A

Rpta: B

Luego:Los que no son primos serán:50-15 = 35∴ 35 números no son primos

Hay 15 números primos

números primos 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19;

del 1al 50 23;29;31;37;41;43;47

=

Resolución 4Vemos cuáles son los números, del 1 al 50 inclusive, quesí son primos.

Rpta: C

3 y 12 no son primos entre sí, ya que tienen un múltiploen común, el 3.

• B=6; 7; 19




• C=15; 28; 31




∴ Los conjuntos que contienen números que sonprimos entre sí son B y C.

2 3

Factor múltiplo de 100




N 2 3 5 1500

N 100 15 1500

N 300 5 1500

N 500 3 1500

N 1500 1 1500

= ⋅ ⋅ == ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

∴ Hay cuatro factores que sonmúltiplos de 100

Resolución 9

I. Aplicamos la regla de divisibilidad por 9.

2 + 8 + 5 + 3 = 18 = 9

2 853 es divisible por 9.II. Aplicamos la regla de divisibilidad por 8.

Tomamos las 3 últimas cifras del número.488 es divisible por 8.

2 488 es divisible por 8.

III. 3 360 es divisible por 5, ya que termina en cero.

• Para que 3 360 sea divisible por 6 debe ser divisiblepor 2 y 3.

3 360 es divisible por 2; ya que termina en cero

Resolución 6

El múltiplo de 8 será 8k ( )k ∈

Como 8k antecede a 315; entonces tene-mos que:

8k 315

315k k 39, 375

8k k 39

<

< <

∈ =

∴ El múltiplo de 8 que antecede a 315 es: 8k = 8(39) = 312

Rpta: C

Rpta: D

Resolución 7

Si “a-b” es múltiplo de 5, podemos afirmar que “b-a” estambién múltiplo de 5. Tienen igual valor, sólo que de signocontrario.

( )

a b 5k 5

b a 5k 5

b a 5k 5

b a 5k 5

°− = =°− + = =°− − = =

°− = − =

∴ “b-a” es también múltiplo de 5.

Resolución 8

Rpta: D

Aplicamos la divisibilidad por 3.

3 + 3 + 6 + 0 = 12 = 3°

3 360 es divisible por 3

Luego:

3360 es divisible por 6.

• Aplicamos la divisibilidad por 7.

336 2 6 12

33

12

21

× =

−

Rpta: E

32

23

Rpta: E

Resolución 10

72 2

36 2

18 2

9 3

3 3

1

3 272 2 3= ×

21 es múltiplo de 7, porque 21÷7= 3

3 360 es divisible por 7.

∴ Son verdaderas: I; II y III

Resolución 11

Rpta: B

Los múltiplos de 25 son:

25 k , k 1; 2; 3; 4; ...⋅ =Los números de 3 cifras están entre100 y 999 inclusive.

Luego:

100 25 k 1000

100 25 k 100025 25 25

4 k 40

≤ ⋅ <⋅≤ <

≤ <Entonces k = 4; 5; 6; 7; 8; ...; 39

∴ Hay: 39-3=36 múltiplos de 25 de 3cifras

Resolución 12

Los múltiplos de 7 son de la forma:

( )7 k k ⋅ ∈ .

Luego: 48 7 k 172

48 7 k 1727 7 7

6, 85 k 24, 57

< ⋅ <⋅

< <

< <

Entonces: k = 7; 8; 9; ...; 24

∴ Hay: 24-6 = 18 múltiplos de 7 Rpta: C

M.C.D.(280; 1120; 1600)=2 × 2 × 2 × 5 = 40

∴ La mayor longitud de la medi–da será 40 m.

Rpta: C

Rpta: B

( ) ( )

( )( )

Múltiplo de 11

abc cba

100a 10b c 100c 10b a

100a 10b c 100c 10b a

99a 99c

99 a c

11 9 a c

= −= + + − + += + + − − −= −= −

= × −

Resolución 2

4 7

6 2 2

A 2 3 5

B 2 3 7

= × ×

= × ×Los factores comunes de A y B, con su menor exponente

son: 4 22 y 3 .

M.C.D.(A y B) = 4 22 3 14 4× =

∴ La última cifra del M.C.D. es 4 Rpta: B

Resolución 18

( )N ab a y b = ∈

Si b = 2a ( )N a 2a=

Donde: “2a” puede ser desde 0 hasta 9o sea: 0 2a 9≤ ≤

Pero “a” no puede ser cero, ya que es laprimera cifra de N.

a = 1; 2; 3 y 4Luego: N=12; 24; 36; 48

∴ “N” es siempre múltiplo de 12.

0 2a 92 2 20 a 4,5

≤ ≤

≤ ≤

NIVEL II

Resolución 1

Sean: abc y cba los númerosDescomponemos polinómicamente ambos números:

∴ La diferencia siempre es múltiplo de 11 Rpta: DM.C.M. (4; 10 y 16) = 42 5 80× =

∴ La menor distancia que se puedemedir es 80 m.

Resolución 17Para saber la mayor medida que se usará para medirexactamente las tres dimensiones, hallamos el M.C.D. de280; 1120 y 1600.

280 1120 1600 2

140 560 800 2

70 280 400 2

35 140 200 5

7 28 40

− −− −− −− −− −

Rpta.: D

abc 100a 10b c

cba 100c 10b a

= + +

= + +Hallamos la diferencia de estos números:

Diferencia

Resolución 13

Los múltiplos de 5 son de la forma:

( )5 k k ⋅ ∈ luego:

30 5 k 80

30 5 k 805 5 5

≤ ⋅ ≤⋅

≤ ≤

6 k 16≤ ≤k = 6; 7; 8; ...; 16

∴ Hay: 16 - 5 = 11 múltiplos de 5

Resolución 14

Para saber el menor número de alumnosque pueden ser agrupados, hallamos elM.C.M. de 9, 12 y 15

Rpta: C

M.C.M. (9; 12 y 15) =2×2×3×3×5 = 180

∴ Hay 180 alumnos.

Rpta: E

9 12 15 2

9 6 15 2

9 3 15 3

3 1 5 3

1 1 5 5

1 1 1

− −− −− −− −− −− −

Resolución 15Descomponemos en sus factores primos

el número 120. 3 1 1120 2 3 5= × ×Números de divisores de 120

= (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16

∴ 120 tiene 16 divisores.

Resolución 16Para saber la menor distancia que se pue-de medir utilizando tres cintas métricas,hallamos el M.C.M. de 4, 10 y 16.

4 10 16 2

2 5 8 2

1 5 4 2

1 5 2 2

1 5 1 5

1 1 1

− −− −− −− −− −− −

Rpta: D

Resolución 3

Sea N el número.Sabemos que:

• N 3 1 N 3 3 2 3 2° °°= + = + − = −

• N 5 3 N 5 5 2 5 2°°°= + = + − = −

• N 9 7 N 9 9 2 9 2° ° °= + = + − = −

• N 12 10 N 12 12 2 12 2°° °= + = + − = −

Por propiedad:

( )N m.c.m. 3;5;9 y12 2°

= −

3 5 9 12 2

3 5 9 6 2

3 5 9 3 3

1 5 3 1 3

1 5 1 1 5

1 1 1 1

− − −− − −− − −− − −− − −− − −

Rpta: A

Hallamos el M.C.M. (3; 5; 9 y 12):

M.C.M.(3; 5; 9 y 12)= 2 22 3 5 180⋅ ⋅ =

Entonces: N 180 2 180k 2°= − = −

∴ El menor número será 180(1)-2=178

Resolución 4

Los números de dos cifras están entre 10 y 99.

Entonces:

k= 1; 2; 3; 4 y 5 Los múltiplos de 17 de dos cifras serán:

10 17 99

10 17k 99

10 17k 9917 17 170,6 k 5,8

≤ ≤≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

17 1 17

17 2 34

17 3 51

17 4 68

17 5 85

⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =

∴ Hay 5 múltiplos de 17 con dos cifras Rpta: C

Resolución 5

Descomponemos cada número en sus factores primos.

• ( )22 2 2 4144 12 3 2 3 2= = × = ×

• ( )22 4 8256 16 2 2= = =

• ( )22 2 2225 15 3 5 3 5= = × = ×

Rpta: A

Hallamos el M.C.M. de (144; 256 y 225):

M.C.M. (144; 256 y 225)= 8 2 22 3 5 57600× × =

∴ La suma de cifras es:5 + 7 + 6 + 0 + 0 = 18

Rpta: E

Resolución 6

Hallamos el M.C.D. de 1 825; 2 625 y3 650

1825 2625 3650 5

365 525 730 5

73 105 146

− −− −− −

M.C.D. (1 825; 2 625 y 3 650) = 5 × 5 = 25

∴ La mayor cifra del M.C.D. es 5

Resolución 7

Descomponemos 180 en sus factores primos.

2 2

180 2

90 2

45 3180 2 3 5

15 3

5 5

1

= × ×

Luego:número de divisores de 180 =

( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 18= + ⋅ + ⋅ + =

∴ 180 posee 18 divisores. Rpta: D

Rpta: E

Resolución 8

Números primos menores que 24=2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23

La suma de estos números será:Suma= 2+3+5+ 7+11+ 13+17+ 19 +23= 100

∴ La suma es 100

Rpta: C

92 512 2k 2°= = =∴ 29 sí es múltiplo de 2.

Resolución 9

8 12 18 2

4 6 9 2

2 3 9 2

1 3 9 3

1 1 3 3

1 1 1

− −− −− −− −− −− −

M.C.M. (8; 12 y 18) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72

∴ Podre comprar las manzanas con72 nuevos soles.

Rpta: C

Resolución 14

Para saber la cantidad de dinero con que podré hacer lascompras, hallamos el M.C.M. de 8; 12 y 18.

510510 2

255255 3

85085 5

17017 7Factores primos

2431 11

221 13

17 17

1

∴ Contiene 7 factores primos

Rpta: A

Luego: a + b = 5 + 6 = 11 Rpta: C

• 7×13=91 C.A.(91) = 100 - 98 =

9

Rpta: B

Rpta: C

( )

2a 5 3 6 2 6 1 2

2a 5 3

1 2

2a 4 1 2 1 2

2a 4

2

2a 2 2 2 4

2a 4 7

2 0 a 4 7

1 6 a = 5a 7

⇓

⇓

⇓

⇓

⇒ × =

−

⇒ × =

−

⇒

⇒

× =

°− =

°+ − =°+ =

• 7×5=35 C.A.(35) = 100 - 35 = 65

• 7×6=42 C.A.(42) = 100 - 42 = 58

• 7×7=49 C.A.(49) = 100 - 49 = 51

• 7×8=56 C.A.(56) = 100 - 56 = 44

• 7×9=63 C.A.(63) = 100 - 63 = 37

• 7×10=70 C.A.(63) = 100 - 63 = 30

• 7×11=77 C.A.(77) = 100 - 77 = 23

• 7×12=84 C.A.(84) = 100 - 84 = 16

Múltiplo de 3

Múltiplo de 3

Múltiplo de 3

• 7×14=98 C.A.(98) = 100 - 98 = 2

∴ Hay 4 múltiplos de 7 cuyo C.A. esmúltiplo de 3.

Resolución 12

Para saber el lado de dichas parcelas en que se divide elterreno, hallamos el M.C.D. de 120 y 168.

Múltiplo de 3

Resolución 13

Descomponemos en sus factores primos el número 510 510.

Resolución 10

Si 2a53b es múltiplo de 56, entonces serámúltiplo de 7× 8, es decir múltiplo de 7 y 8.

• Como: 2a53b es múltiplo de 8, serádivisible por 8.

Aplicando la divisibilidad por 8,tenemos que:53b es divisible por 8.

b = 6 ya que 536 es divisible por 8.

• Como 2a53b es múltiplo de 7, serádivisible por 7.

Aplicando la divisibilidad por 7, te-nemos que:

Resolución 11

Hallamos los múltiplos de 7, de 2 cifras.

• 7×2=14 C.A.(14) = 100 - 14 = 86

• 7×3=21 C.A.(21) = 100 - 21 = 79

• 7×4=28 C.A.(21) = 100 - 28 = 72

120 168 2

60 84 2

30 42 2

15 21 3

5 7

−−−−−

M.C.D. (120 y 168) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24

∴ El lado de las parcelas medirá 24 m.

883k 1

422 3k 1

21 3k k 7

= +

= += =

( )9k 2 7 2 9 3 278 8 8 2 2+ += = = =

∴ Número de divisores de227 = 27 + 1 = 28

Rpta: B

Rpta: D

Luego:

Resolución 17

Para saber la mayor longitud posible de cada paso quecamina, hallamos el M.C.D. de 1 300; 1 600 y 2 000.

1300 1600 2000 2

650 800 1000 2

325 400 500 5

65 80 100 5

13 16 20

− −− −− −− −− −

M.C.D. (1 300; 1 600; 2 000) = 2 2 5 5 100⋅ ⋅ ⋅ =

∴ Cada paso será de 100 cm.

Resolución 15

( ) ( ) ° ° ° °+ − − + + = +

7 5 7 1 7 3 7 r

( ) ( ) ( )7 5 7 6 7 3 7 r°° ° °+ − + + + = +

+ = +

7 2 7 r

+ = +

7 2 7 r

Rpta: B

( )( )

( ) ( )

k k 2

k 2

k

k3

3k 1 1

Factores primos

A 8 8 8

A 8 1 8

A 8 65

A 2 5 13

A 2 5 13

= + ⋅

= +

=

= ⋅ ×

= ⋅ ⋅

Luego:número divisores de A =(3k+1) ⋅ (1+1)(1+1)

( )88 4 3k 1= +

De la propiedad: a b a bN N N+ = ⋅Entonces:

∴ r = 2

Resolución 16

k k 2A 8 8 += +

• Si b = 9 y ba 9 3°= +

9

9a 9 3

93 90 3 a 3

ab sería 39

°= += + =

∴ El mayor valor de ab será 84 Rpta: C

Resolución 19

• Hallamos todos los múltiplos de 3 que hay del 1 al630.

k = 1; 2; ...; 209 y 210

Hay 210 múltiplos de 3 del 1 al 630.

• Hallamos todos los múltiplos de 3 y de 14 que haydel 1 al 630.

Múltiplos de 3 y 14=(3 × 14)k = 42k

( )1 3 630

1 3k 630 k

1 3k 6303 3 30,3 k 210

°≤ ≤≤ ≤ ∈

≤ ≤

≤ ≤

Resolución 18

• ab 5 4°= +

Los múltiplos de 5 terminan en cero ó 5 entonces

5 4+

terminará en 0+4=4 ó en 5+4=9

Por lo tanto: b=4 ó b=9

Luego:

• Si b = 4 y ba 9 3°= +

9

4a 9 3

48 45 3 a 8

ab sería 84

°= += + =

Rpta: B

1 42k 630

1 42k 630

42 42 420,02 k 15

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

k = 1; 2; 209 y 210Hay 15 múltiplos de 3 y 14 del 1 al 630.

∴ Los múltiplos de 3 que no son múltiplos de 14 serán:210 - 15 = 195

Rpta: C

Resolución 21

Los números se pueden escribir de la siguiente forma:

• ( )nn 2 2 2n n 2n300 2 3 5 2 3 5= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

• ( )( )

nn 4 2

4 n 2n n

4 n 2n n

16 90 2 2 3 5

2 2 3 5

2 3 5+

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

Luego: número de divisores de 300n =

( ) ( ) ( )2n 1 n 1 2n 1+ ⋅ + ⋅ +

número de divisores de n16 90⋅ =

( ) ( ) ( )4 n 1 2n 1 n 1+ + ⋅ + ⋅ +Según el enunciado; tenemos que:

( )( )( ) ( )( )( )2n 1 n 1 2n 1 4 n 1 2n 1 n 1

2n 1 n 5

+ + + = + + + ++ = +

∴ n = 4

Rpta: B

Resolución 20

Sean a y b los númerosPor dato: a + b = 96 ... 1

M.C.M. (a;b) = 180 ... 2Afirmaremos que “a” y “b” tienen un factoren común, sino sería cierto llegaremos auna contradicción.Entonces: a = d ⋅ p

b = d ⋅ q

donde:d = M.C.D. de a y b.p ; q son primosentre sí.

Remplazamos en 1 y 2d ⋅ p + d ⋅ q = 96 ⇒ d(p + q) = 96

d ⋅ p ⋅ q = 180

En 3 se observa que “d” también es elM.C.D. de 96 y 180.Luego:

3

d = 12

Entonces 12 ⋅ p ⋅ q = 180 p ⋅ q = 15

3 5a = d ⋅ p = 12 ⋅ 3 = 36

b = d ⋅ q = 12 ⋅ 5 = 60

96 180 2

48 90 2

24 45 3

8 15

−−−−

↓ ↓

Rpta: E∴ La diferencia de los números es:

b – a = 60 – 36 = 24

Resolución 22

• ( ) ( )nn 2 2

2 2n n n

2n n 2 n 1

A 45 60 3 5 2 3 5

3 5 2 3 5

2 3 5+ +

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

• ( ) ( )nn 2 2

2n n 2

2 2n 1 n 1

B 45 60 3 5 2 3 5

3 5 2 3 5

2 3 5+ +

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

Luego:

( )( )

2n 2n 1 n 1

2 n 2 n 1

M.C.M. A;B 2 3 5

M.C.D. A;B 2 3 5

+ +

+ +

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

Sabemos que:

( ) ( )2n 2n 1 n 1 2 n 2 n 1

2n 2n 1 2 2 n 2

2n 2n 1 4 n 3

M.C.M. A;B 12 M.C.D. A;B

2 3 5 12 2 3 5

2 3 2 3 2 3

2 3 2 3

+ + + +

+ +

+ +

= ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅

∴ n = 2

CAPÍTULO N° 5

NIVEL I


A = x/x ∈ ∧ −3 < x < 7

* Como:

−3 < x < 7 x = −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

∴ A = −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

* Me piden: n(A) = 9 Rpta.: D


S = − + − + + −3 5 7 1

S = 3 + 5 + 7 + 1 = 16

S = 16 Rpta.: E


• a + (−a) = 0

Propiedad del inversoaditivo.

Rpta.: E


(I). n + m = k (Verdadero)

( ) (−) (−)

(II). m − n = k (Falso)

( ) ( − ) = (+) v (−)

(III). m · n · k = p (Verdadero)

( ) (−) (−) (−)

∴ Son verdaderas (I) y (III)

Rpta.: D

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE NÚMEROS ENTEROS (Pág. 253, 254, 255, 256)


A) a·b = b·a (Prop. Conmutativa)

B) a + (-a) = 0 (Prop. Inverso Aditivo)

C) b · b-1 = 1

D) a + (b+c) = (a+b)+c (Prop. Asociativa)

E) a(b+x) = ab + ax (Prop. Distributiva)

∴ a(b+x) = ab + ax ← Prop. Distributiva

Rpta.: E


k = (−15 + 12)3 : 3 + (2·5)2 : 20·5

k = (−3)3 : 3 + (10)2 : 20 · 5

k = −27: 3 + 100 : 20 · 5

k = −9 + 5·5 = −9 + 25 = 16

∴ k = 16 Rpta.: E


k = 64[2(3 + 2)-8]- 8

k = 64[10 − 8]− 8

k = 68 − 8 = 6 × 0 = 0

∴ k = 0 Rpta.: A


E = − − +27 4 144 2 33 2 2 2· :

E = (−3)·16 − 12 : 4 + 9

E = −48 − 3 + 9 = -42

∴ E = −42 Rpta.: C


k = − − +27 81 2 4 83 4 2 · ·

k = (− 3 − 3)2 + 8

k = (−6)2 + 8

k = 36 + 8 = 44

∴ k = 44 Rpta.: C


4 4 8 2E

5 6 8 4

− + − + −=

+ − −

E =+ +

−= + =

4 4 2

14 6

110

∴ E = 10 Rpta.: A

Resolución 11

K = 6 − 4[6 + 5 − (3 + 2)−4]−3

K = 6 − 4[6 + 5 − 5 − 4]−3

K = 6 – 4[2] − 3

K = 6 − 8 − 3 = 6 − 5 = 1

∴ k = 1 Rpta.: E

−

−

−


∴ x + 11+(40 − 11) = 117

x = 77

* Me piden:

Nivel Colina = x + 11 = 77 + 11 = 88m

Rpta.: B


* Luego: T2 = T1 + 3·∆T

T2 = −16 + 3(3) = −7

T2 = −7° C Rpta.: A


* Luego: 75 + x = 135 x = 60

∴ Tiempo Destrucción = x = 60 d.c

Rpta.: B


x + 90 = 36 + 58

x = 4m Rpta.: A

a

• R = (−1)-100 ·(−1)99 = (1)(−1) R = −1

* Ordenando de mayor a menor:

64 > −1 > − 243

∴ Q > R > P

Tenemos: QRP Rpta.. B


K = 21+[4(2+1)2 + 1]2

K = 21+[36 + 1]2

K = 21 + 372

K = 21 + 1369 = 2·(1370)

∴ K = 2740 Rpta.: C


• M = (−2) · (+3) M = −6

• N = (+6) : (−1) N = −6

• P = (−2)3 + (−2)-(-5) P = −5

n° mayor

* Luego: # mayor = −5

# mayor = sólo “P” Rpta.: C


(−5)+(−4)(−3) − (−1)(2) − x = (−1)3

−5 + 12 + 2 − x = −1 14 − 5 + 1 = x

10 = x

∴ x = 10 Rpta.: A


• A = (−3) − (−5) − (1)

A = − 3 + 5 − 1 A = 1

• B = −5 − [−3 + 2 + (−8)]

B = −5 − [−3 + 2 − 8]

B = −5 − [−9] = –5 + 9 = 4 B = 4

* Me piden: A BA B

+ = + = =· ·

,1 41 4

54

1 25

∴ A BA B

+ =·

,1 25 Rpta.: E


• P = (−3)2 · (−3)3 =(9)(−27) P = –243

• 5

32

4Q 4

4

−= = +− Q = 64


E = 10 + (−10)(2)2 − (−5)3 + (−8)(−1)5 − (−2)6

E = 10 + (−10)(4) − (−125) + (−8)(−1) − (64)

E = 10 – 40 + 125 + 8 – 64

E = 39

∴ E = 39 Rpta.: E


T = −8+(4)(5) = 12

∴ T = 12° C Rpta.: C


Tiempo total = 29 + 476 = 505

Tiempo total = 505 años

Rpta.: B


ot 8 C

t 46 C

= − °∆ = °

* Luego: tf = to + ∆t

tf = −8 + 46 = 38°C Rpta.: C


Descendió

Nivel = +230m −110m + 35m

Se eleva

Nivel = 155m Rpta.: A


T° = −6°C − 20°C + 18°C

Calor

Congelador

T. Inicial

∴ T° = −8°C Rpta.: C

a.C. d.C.


5 + x = 3

x = 3 − 5

x = −2 Rpta.: B

Resolución 28 Sea:

Ho = altura inicial

* Ahora: Ho + 560 − 900 = 1200

Ho − 340 = 1200

Ho = 1540 m Rpta.: A

x + 8 = 19

x = 11

Rpta.: B


T. Baja∆T = +5°C − 8°C − 1°C + 2°C − 4°C

T. Sube

∴ ∆T = −6° Rpta.: C

NIVEL II


• A = 4 − [2 − (3 – (−1 + 4)) − (1 − 5) − 5] A = 4 − [ 2 − (3 − 3) − (–4) −5] A = 4 − [2 − 0 + 4 − 5] A = 4 − 1

A = 3

• B = [2 − (−1)3 + (1 − 32) − (−5)2] : [1 + (−2)2] B = [2 − (−1) + (1 − 9) − (25)] : [1+ 4] B = [2 + 1 − 8 − 25] : 5 B = −30 : 5

B = −6

* Me piden: A2 + B2 = 32+(−6)2 = 9 + 36

A2+ B2 = 45 Rpta.: D



A = 2 · 42 = 2 · 16 A = 32

• B = −(2)2 : 2 + 2 − 18 : (−9)B = –4 : 2 + 2 − (−2)B = −2 + 2 + 2 B = 2

• C = 122 : 12 − (24 : 12) · 32

C = 144 : 12 − 2 · 32

C = 12 − 18 C = −6

* Me piden: K = 2A − 4B + 5C

K = 2(32)−4(2) + 5(−6)

K = 64 − 8 − 30 = 26

∴ K = 26 Rpta.: E

0


P = 63 : 7 − 4 · (−315 : 313) + (39)− (−1)9

P = 9 − 4 ·(−32) + 1 – (−1)

P = 9 – 4(–9) + 1 + 1 P = 9 + 36 + 1+ 1 = 47

∴ P = 47 Rpta.: A


• K = − − − −8 4 3 2 1 2 3× × K = − − − −32 6 1 8 K = + = +25 8 5 8 K = 13

• L = + −729 3 23 2 0 2 2

L = 9 + 1 − 24

L = 9 + 1 − 16 L = −6

* Me piden:

L3 + 12k = (−6)3 + 12(13)

L3 + 12k = −216 +156 = −60

∴ L3 +12k = −60 Rpta.: E


K = 272/3 + (−27)2/3

K = + −27 2723 23 K = (3)2 + (−3)2 = 18

∴ K = 18 Rpta.: C


I. 23 = 32 ← Conmutativa (F)

II. 2 23 2 32 = ← Asociativa (F)

III. (4 + 5)2 = 42 + 52 ← Distributiva (F)

∴ Tenemos: FFF Rpta.: E


• A = x/x ∈ ∧ −7 ≤ x < 9

Como:−7 ≤ x < 9 x = −7; −6; −5; ...; 8

* Me piden: n(A) + n(B) = 16 + 17 = 33

n(A) + n(B) = 33 Rpta.: C


Sube

Nivel = +45m − 93m + 36m − 40m + 12m

Baja

∴ Nivel = 93m − 93m − 40m

Nivel = − 40m Rpta.: B

Resolución 10 Sea:

n = dinero que tenía inicialmente.

Luego: queda

n − 40 + 120 − 350 = 10

Infracción Cobra Regala

n − 270 = 10 n = 280 Rpta.: A

Resolución 11 Sea:

:Dirección norte

:Dirección Sur

+−

* Luego: Camina Norte

Posición = +160 − 236 + 80 − 170

Camina Sur Posición = 240 − 406 = − 166

Sur

* Ahora: • Se encuentra a:

166 metros al sur Rpta.: D

Resolución 12 Veamos:extraen

700− 150 + 180 − 300 + x = 1000

llenan 880 − 450 + x = 1000

x = 1000 − 430

∴ x = 570 Rpta.: E

+ : Dirección Norte– : Dirección Sur


• A = −34 + 43 + 24

A = −81 + 64 +16 A = −1

• 3 4 4B 4 3 2= − +

B = − +64 81 16

B = 17 + 16 B = 33

• 4 3 4C 2 4 3= − −

C = − −16 64 81

C = −16 17 C = 1

* Ordenando de menor a mayor:

−1 < 1 < 33

A < C < B

∴ Tenemos: A; C; B Rpta.: C

A = −7; −6; −5; ...; 8

∴ n(A) = 16

• B = x/x∈ ∧ −9 < x ≤ 8

Como: −9 < x ≤ 8 x = −8; −7; ... ; 8

B = −8; −7; −6; ...; 8

∴ n(B) = 17

Resolución 13 Sea:

+ : Sentido “A”

− : Sentido contrario de “A”:

* Luego: (−)

20 − x + 5 = −7

(+)

25 − x = −7 x = −32

* Me piden:

Long. recorrida = |x| = |−32| = 32

Long. recorrida = 32 km Rpta.: D


Sube

• 16°C − x + 9°C = −2°C

Baja(2do día)

25 − x = −2 x = 27

* Luego: Baja(2dodía) = x = 27°C

Rpta.: B


extraemos(inicialmente)

100 − x + 20 = 12

(100)

aumentamos

120 − x = 50 x = 70

∴ Cant agua extraidainicialmente.

= x = 70

Rpta.: E


42 × n = 3108 ....... (I)

* Ahora; dato:

k = 42(n + 2 × 12)

k = 42n + 42 × 24 ..... (II)


k = 3108 + 1008

∴ k = 4116

* Me piden: Σ cifras(k) = 4 + 1 + 1 + 6 = 12

Σ cifras(k) = 12 Rpta.: A

í


n × 240 = k2 ... (I)

* Veamos:240 2120 2 60 2 30 2 15 3 240 = 24 × 3 × 5 5 5 1


n×24×3×5 = k2

* Como: n ← mínimo n = 3×5 = 15

∴ 3 × 5 × 24 × 3 × 5 = k2

(22 × 3 × 5)2 = k2 ... (Verdadero)

n = 15 Rpta.: B


Gano

Queda = −12500 − 8000 + 12564 + 11676

Gasto

Queda = −20500 + 24240 = 3740

Queda = 3740

* Como:Queda > 0 Gana S/.3740

Rpta.: A

Resolución 19 Sea:

n = número de plantas.

* Luego:

n − =17 21 ← Raíz

Residuo

n − 17 = 212

n = 212 + 17 = 441 + 17 = 458

∴ n = 458 Rpta.: D


1ra batalla

n − 200 + 50 − 200 + 50 = 800

Cant. hombres inicial 2da batalla

n − 150 − 150 = 800

n = 1100 Rpta.: C

e) − + + − − − − +27 2 9 5 3 3 33 2

= − + + +3 2 3 15 3 9 = − + +3 36 27

= −3 + 6 + 27 = 30 Rpta

f) 125 16 3 2 533 − − − −· :

10 27 36 12 3 34 − + −·

= − − + − −5 4 3 10 100 3 6 13 4 :

= + + − −5 12 10 100 18 13 4:

= 27 813 4: = 3 : 3 = 1 Rpta

g) 5 3 2 169 2 1 5 14 5− + + − − + − : ·

= [−15 + 2] :13 + [−2(1)+ 5] : (−1)

=(−13) : 13 + 3 : (−1)

= −1 + −3 = − 4 Rpta

( ) ( ) ( ) ( )6 23h) 9 8 : 64 • 1 7 4 2 625 − + − − − + − + − −

= − − + − − + − − −9 8 4 1 3 2 6252 4 : ·

= −[− 9 + 2] + (9)(−2) − 5

= 7 − 18 − 5 = −16 Rpta

Resolución 24 Sea:

n = cant. palomas al inicio

* Luego: palomas que se van

n − 3(8 − 3) = 28

palomas que regresan

3 tiempos de 10 minutos = 30’

n − 15 = 28 n = 43

* Me piden: Cant. palomas al inicio = n = 43

Rpta.: A

0


Guerra del Pacífico

Año de Nac. = 1879 − 45 = 1834

Edad

∴ Año de nacimiento = 1834

Rpta.: B


• Máximo 3°

< 20 = 18

• 5°

∈ 11 16; = 15

* Luego: n + 18 − 15 = 17

Edad de Mayté

n + 3 =17 n = 14

* Me piden: Edad de Mayté = n = 14 años

Rpta.: C

Resolución 21 Sea:

n = cant. caramelos al inicio

* Luego: Caramelos que repone

n − 3(3) − 2(2) + 2(1) = 29

Caramelos en exceso

n − 9 − 4 + 2 = 29 n = 40

∴ Cant caramelosal inicio.

= n = 40 Rpta.: A


a) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 33 3 5 : 1 10 4 7 3 : 2− + − + − − − + −

= + − − −4 1 36 4 23 : :

= + − = =4 6 2 8 23 3 Rpta

b) ( ) ( )( )23 3 327 1 : 8 9 3 2− + − − + − + −

+ [3−2(−5+3)](−9+23)

= (–3 − 1) : (−2) + (−6)(4) + (3 + 4)(−1)

= –4 : (−2) − 24 −7

= +2 − 24 − 7

= −29 Rpta

c) − + − −2 5 1 49 3 813 4 : ·

+ − − + °9 5 8 :

=(− 2 − 5) : 7 − 3(3) +1

=(−7) : 7 − 9 + 1

= −1 − 9 + 1 = −9 Rpta

d) 125 1 7 3 2 100 2 23 3 2 4 2: :− + − + − + − −

= − + − + +5 1 7 12 10 16 4: :

= − + + = =5 50 4 49 7 Rpta

CAPÍTULO N° 6

∴ representan al mismo

punto: I ; III y IV Rpta.: D

Podemos observar que:

El más cercano del cero es −15

Rpta.: A

Resolución 2

Vemos que:

I)45

y 8

10 ; simplificando:

8

10

4

5

= 45

45

810

=

II)34

y −34

34

34

> −

III)03

y 02

pero: 03

0=

02

0=

03

02

=

IV)−610

y −35

; simplificando: − = −−6 3

5

3

510

− = −610

35

NIVEL I

Resolución 1

Ubicando los números en la recta

Negativo

Positivo

NÚMEROS RACIONALES

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 294, 295, 296, 297, 298)

Resolución 4

homogeneizamos los denominadores de las fracciones,obteniendo:

a = =34

6080

b = =58

5080

c = =710

5680

Donde: 6080

5680

5080

> >

Resolución 3

Tenemos que: − = −3 35 3

915

××

− = −3 125 12

3660

××

− = −3 245 24

72120

××

− = − ≠ −3 305 30

90150

80150

××

Por lo que:

− < > − < > − < > −35

915

3660

72120

∴ −80150

es equivalente a las demás fracciones Rpta.: E

Ordenando en forma decreciente:

a > c > b Rpta.: C

Resolución 5

homogeneizamos los denominadores de las fraccionesdadas, obteniendo:

a = =23

2436

b = =712

2136

c = =59

2036

Donde: 2036

2136

2436

< <

Ordenando en forma creciente:

c < b < a Rpta.: D

Resolución 8

Tenemos que:

7 7 14 21n , , ,...

9 9 18 27=

∴ El representante canónico es 79

Rpta.: E

Resolución 12

Resolviendo:

1 2 1 312

34

56

38

3− + −:

= − + −3

2114

116

278

3:

= − + −

32

32

32

= − 32

Rpta.: D

y

Resolución 6

Luego de analizar las alternativas y los extremos de lacondición, tenemos que:

12

1530

= ;23

2030

=

Entonces:1530

2030

< <x

Donde: x = 1830

∴ x = 35

Rpta.: B

Resolución 7

Recuerde que:

ab

es fracción a b⇔ ≠°

Además: 8

42

− = −

05

0= ;123

4=

∴ Son fracciones: 34

69

;−

Rpta.: B

Resolución 9

Resolviendo:

a a= + = + ⇒ =12

13

3 26

56

.

2 7 14 7 43 2 3 2 3

b 4 : : b= = ⇒ =

c c= = ⇒ =10 23

21

43

2

3

2

19

65

× ×

∴ b = c Rpta.: C

Resolución 10

De la propiedad: Am : An = Am − n

Tenemos que:

2516

2516

2516

3 4 3 4 =

−:

Resolución 11

Tenemos que:

649

649

649

3 2 1 2 3 3 =

=

/ /

=

83

3

= 51227

Rpta.: E

=2516

1

−

=1625

Rpta.: B

Resolución 13

W =+

−=

+

−

53

112

38

112

20 112

9 224

W =

2112724

W = ⇒21 243 2

1 112 7

××

W = 6 Rpta.: C

Resolución 14

56

45

964

6 31 31

1

1

239 4

− −

=−

· ×

= − −

65

45

38

12

·

Resolución 15

− = −2 1

52

65

12

2 15

3 2 3

· ·

=25 2161

1

54

54 125

·

=545

= 10 45 Rpta.: A

NIVEL II

Resolución 1

Vemos que si n = 1; 2; 3; 4; ...

Tenemos que:

45

45

810

1215

1620

n = ; ; ; ; ... Rpta.: B

Resolución 2

* Inverso aditivo de − 34

es 34

a = 34

* Inverso multiplicativo de 58

es 85

b = 85

Reemplazando estos valores en:

a ba b

· ·

+=

+

34

85

34

85

= + =

2420

15 3220

24204720

= − −

65

45

18

·

= + =65

110

1310

Rpta.: A

= 24 2047 20

××

∴a ba b

·+

= 2447

Rpta.: D

A bases iguales losexponentes serániguales

A bases igua-les los expo-nentes serániguales

Resolución 3

Tenemos que:

*35

35

1512 =

x

35

35

1512

=

x

15 5

x12 4

= =

*−

= −

8125

8125

53

y

−

= −

8125

8125

53y

y = 53

Reemplazamos los valores de “x” e “y” en:

16 16

54

53 x y/ =

= =16 16434

3 = 23

= 8 Rpta.: A

Resolución 4

−

−

−

13

13

13

4 3 2 5

· ·

De la propiedad: Am ·An · AP = Am+n+P

Tenemos que:

−

= −

= −

+ +13

13

13

4 3 2 5 9 5 45

Rpta.: E

Resolución 5

De las propiedades: Am × An = Am+n

A

AA

m

nm n= −

Tenemos que:

45

45

45

45

45

45

6 8

2 3

6 8

2 3

=

−

−

+ −

− +

×

×

( )

( )

Resolución 7

Sea:49

7121

< <f

1636

21361

< <f

117 18 19 20

f : ; ; ;36 36 36 36

Suma de fracciones

= + + + = =1736

1836

1936

2036

3718

37

18

7436

∴ suma de fracciones = 21

18 Rpta.: E

9A 16

4= × A = 36

Luego: A = 36

∴ A =6 Rpta.: C

Término intermedio

Resolución 6

Sean las fracciones:

3 2 1 1 3, , , ,

5 3 6 3 10− − − −−

Damos común denominador:

18 20 5 10 9, , , ,

30 30 30 30 30− − − − −

Ordenamos en forma creciente:

20 18 10 9 5, , , ,

30 30 30 30 30− − − − −

∴ Término intermedio = − = −1030

13

Rpta.: D

=

−45

45

2

1

=

− −45

2 1( )

= =

=

−45

54

12564

3 3

Rpta.: A

Resolución 8

25

58

45

18

15

52

85

54

8 5

3 2 2

2 3

3 2 2

2 3

=

− − −

− −

· ·

·

· ·

·

=

52

85

54

8 5

3

3

2

2

2

2

2 3

· ·

·

= 5 8 5

2 5 4 8 5

3 2 2

3 2 2 2 3· ·

· · · ·

= = =18 16

1128

1

27·

= 2−7 Rpta.: D

Resolución 9

Sea: A =

−17

214

17

14

2

× × :

A =

17

94

4

17

2× ×

Resolución 10

* Hallamos “A”

A = ++

= + = +21

212

2152

225

A =125

* Hallamos “B”

B= −−

= − = −31

313

3183

338

B=218

Luego, hallamos: AB

Resolución 11

A = +

+

+

− − − −14

16

18

110

2 2 2 2 1 3/

A = + + +4 6 8 102 2 2 2 13/

[ ]1/ 3A 16 36 64 100= + + +

A = =216 21613 3 /

∴ A = 6 Rpta.: E

AB

= = =

125218

12 85

4 87 5

4

721

××

××

∴AB

= 3235

Rpta.: B

Resolución 12

L = − −

45

13

35

25

3 3

L = − −

64125

13

35

8125

L= − −

64125

13

75 8125

L = −

64125

13

67125

L= −64125

673 125×

L= − = − =3 643 125

673 125

192 673 125

1253 125

×× × × ×

∴ L= 13

Rpta.:B

Resolución 13

J= − +

+2

379

127

181

3 2

×

J= − +

+2

3343729

7 27

19

2

×

J = − +23

343 81 19

7

9

1

1729 49

×

J= − +23

7 19 1

19

××

J= − + =6 7 19

09

∴ J = 0 Rpta.: D

Resolución 14

Sea M=

− −

2 1 96

3 91

1 2

31

5

3

1 1

1

1

2

3

3 4 155

15 183

· · : · ·

M=

− −110

112

3 3

:

M = 103 : 123

M= =

=

10

12

10 56

3

3

5

6

33

12

∴ M= 125216

Rpta.: D

Resolución 15

Sabemos que: A Anm m n= ×

Entonces tenemos que:

−

= −

− −8343

8343

48463

483 6 4× ×

=−

−8343

4872

= −

−

8343

482

372

= −

−8

343

23

= −

3438

23

= −

3438

3

2

= −

72

2

=494

=12 14

Rpta.: A

Resolución 22

E 0,24 1,90 :1,4 0,13= × −

E= −22 189 75

1221

15

217

1

2

1545 990 99 90

× : E= −715

75

215

:

E = − = −715

5 215

515

215

1

17

× E= =3 15

1

515

∴ E = 0,2 Rpta.: A

Resolución 16

Sea:18

15n=

n = 8 ×15

∴ n = 120 Rpta.: B

Resolución 17

Sea “m” la cantidad buscada.

Por condición del enunciado:

45

67

702

58

37

2801 5

13

· · · + =

m

24 + m = 25

∴ m = 1 Rpta.: B

Resolución 18

Haciendo traslado de áreas, tenemos que:

Resolución 20

f= +

15 0 16

2, ,

f= +

32

16

2

f=

+ +

32

232

16

16

2 2

·

número de octa-vos

Luego: parte coloreada = S

Parte no coloreada = 3S

fSS

= =3

13

Rpta.: C

Resolución 19

E=−

−=

−

−

32

23

32

23

9 46

32

23

56

3 2

6

=−

= =

5616

5 Rpta.: C

Resolución 21

Del grupo de fracciones:

2063

2684

1035

928

; ; ;

Vemos que: f Mayor1

928

=

f Menor2

1035

=

f

f1

2

51

4 2

9281035

9 35 9 14 228 10

= = =××

××

∴f

f1

2

98

= Rpta.: C

f= + +32

22

1 16

1

2

36

·

f= + = +5

3

106

214

53

212

·

= + =53

183

∴ =

Rpta.: A

Resolución 23

F=−

+

0 02 0 005

0 02 0 005

2

2

, ,

, ,

F=

0 0150 025

2,,

F=

=

=

151000

251000

15 35

23

5

22

25 =

∴ F = 0, 36 Rpta.: D

Resolución 26

A=+2 3 1 2

4

35

14

15

13

45

: ×

A =

+135

134

65

7

245

2

13

: ×

A =+

= =

45

145

245

185245

3

4

1824

A = =34

0 75, Rpta.: B

Resolución 25

De la figura deducimos el área total:

Luego:

ParteSS

= =4 18

1

832

Rpta.: C

Resolución 24

Sea f1 : fracción buscada.

15

141

< <f

1260

15601

< <f

Entonces: f1

1360

1460

: ;

∴ Existen 2 fracciones Rpta.: A

Resolución 27

Sea f parte buscada.

Del enunciado tenemos que:

f·32

423

5 141

1

2

57 25

=

f·3 14 2

5

1

1

7

12 3

=

Resolución 28

Sea “M” lo que falta.


37

221

18

114

+ + = −M

f·725

=

∴ f= 235

Rpta.: B

9 221

7 456

+

+ = −

M

1121

356

+ =M

M= − = −356

1121

9 88168

∴ M= −79168

Rpta.: D

Resolución 29

Sea “f” la parte

f·56

23

=

f= =2 65

2 21 5

1

2

3×

××

∴ f= 45

Rpta.:A

Resolución 30

Tenemos que:

4 2714271 427

9003844900

,

= − = 62

30=

=2 06,

Rpta.: C

Resolución 31

Sea la fracción equivalente: 7

12nn

7

127

12= n

n


7n + 12n = 95

19n = 95 → n = 5

Nos piden: 12n − 7n = 5·n

= 5·5

=25 Rpta.: C

Resolución 35

Sea: 0,ab 0,ca 0,bc 1,3+ + =

ab a ca c bc b− + − + − =90 90 90

124

39

10 10 1090

43

a b a c a c b c b+ − + + − + + − =

10 10 1090

43

a b c+ + =

f= −12099

8799

f= =3399

13

∴ Σ de términos = 1 + 3 = 4 Rpta.:C

Resolución 32

Sea “n” la cantidad buscada.

Tenemos que: n1

1658

=

∴ n = 10 Rpta.: C

Resolución 33

Sea ab

la fracción.

Por condición del problema, tenemos que:

a bb b

ab

++

= 3 ·

a bb

ab

+ =2

3

a + b = 6a

b = 6a − a → b = 5a

∴15

= ab

Rpta.: B

Resolución 34

Sea # de alumnos = a

ausentes = xpresentes = a − x

Por datos del problema, tenemos que:

x a x3 7

= − 7x = 3(a − X)

7x = 3a − 3x

7x + 3x = 3a

10x = 3a

xa

= 310

Nos piden:

Ausentesdealumnos

xa#

=

= 310

Rpta.: B

Resolución 36

Por datos:

Parejas bailando = 303030

hombresmujeres

Sentados: 40 hombres y 10 mujeres

Entonces habían: hombres = 70

mujeres = 40

Total = 70 + 40 = 110

Nos piden: Mujeres

Total= =40

110411

Rpta.: D

Resolución 37

Sea “f” la fracción pedida.

f + 0,878787 ...= 1,212121 ...

f + 0,87 = 1, 21

f+ = −8799

121 199

10

9043

a b c+ +=

a b c+ + =9

43

a b c+ + =

9

43

2

a b c+ + =

9169

∴ a + b + c = 16 Rpta.: C

Resolución 38

Sea “n” lo que debemos sumar.

38

56

++

=nn

6(3 + n) = 5(8 + n)

18 + 6n = 40 + 5n

6n − 5n = 40 −18

∴ n = 22 Rpta.: B

Resolución 39

Sea x = total de personas.

Por dato: # de hombres = x4

# de mujeres = 34x

También: solteros = 13 4 12

·x x =

Casados = 10

Luego: # de hombres = solteros + casados

= +

x x4 12

10− =

312

10x x− =

= → x = 60

# de mujeres = 34

3 604

x = ·

∴ # de mujeres = 45 Rpta.: B

Resolución 40

Sea el número entero “n”·


13

25

14

35

38 5

250n n n

+

−

=

215

320

340

250n n n+ − =

16 18 9120

250n n n+ − =

25120

250

110n =

∴ n = 1 200 Rpta.: D


* Luego: n

0 0360 45

,,=

n = 0,0036 × 0,45 = 0,0162

Rpta.: A


k =− +

=− +1

30 5

59

712

13

12

59

712

,

k = = =7 187 12

23

0 6//

, Rpta.: B

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 324, 325, 326)

NIVEL I


k = + −

12

0 434

5, ·

k = (0,5 + 0,4 - 0,75) · 5

k = (0,15) · 5 = 0,75 = 3/4

∴ k = 3/4 Rpta.: A

Resolución 2 Me piden :

k = (0,6 − 0,05) : 0,5

k = (0,55) : 0,5 = 1,1

∴ k = 1,1 Rpta.: D


1k 0,2 : 0,2

3 = −

1 1 2k :

5 3 9 = −

2 2 3k :

15 9 5−= = − Rpta.: D


k = = =23

12 96 2 4 32 8 64, · , ,

k = 8,64 Rpta.: C


34

3 254 25

75100

= =××

Rpta.: B


( )0,5 0,02 0,6 0,48 0,6k

0,45 : 0,9 2 0,5 2

− ⋅ ×= =+ +

k = 0 =,,

,288

2 50 1152 Rpta.: A

Resolución 8 Tenemos: x = 0,3

* Me piden:

x2 + x + 1 = (0,3)2 + (0,3) + 1

x2 + x + 1 = 0,09 + 0,3 + 1

x2 + x + 1 = 1,39 Rpta.: D


k = (0,01)3 = (10−2)3 = 10−6

k = 0,000001 Rpta.: E


k = = =0 4 0 00120 0024

0 00120 006

0 2, · ,

,,,

,

k = 0,2 = 1/5 Rpta.: C


8,21 × 10−5 = 0,0000821 Rpta.: D


I. 3,5 × 103 = 3500 ≠ 35000 ( X )

II. 3,5 × 104 = 35000 = 35000 ( )

III. 35 × 102 = 3500 ≠ 35000 ( X )

IV. 0,35 × 105 = 35000 = 35000 ( )

∴ Son equivalentes: II y IV

Rpta.: B


0,00085 = 8,5 × 10−4 Rpta.: E


−2/3 = −0 6,

Rpta.: D


0 889

,

= Rpta.: B


0 2323 2

902190

730

,

= − = =

0 23730

,

= Rpta.: C


36,86 : 0,2

368,6 : 2 Rpta.: C


a

b

c

d

=

=

==

0 6

0 6

0 06

0 60

,

,

,

,

a

b

c

d

≈≈≈≈

0 6000

0 6666

0 0666

0 6060

,

,

,

,

* Luego, comparando: c < a < d < b Rpta.: E


I. 0,6 × 103 = 600 ≠ 6000 ( X )

II. 0,06 × 105 = 6000 = 6000 ( )

III. 6 × 102 = 600 ≠ 6000 ( X )

IV. 6 × 103 = 6000 = 6000 ( )

∴ Son equivalentes: II y IV Rpta.: D

NIVEL II


k = 0,000025 × 0,004

k = 0,25 × 10−4 × 4 × 10−3

k = (0,25 × 4) × 10−7 = 1 × 107

k = 1 × 10−7 Rpta.: C


A)15

25

35

45

5< < < ×

1 < 2 < 3 < 4 ... (Verdadero)

B) 0,06 < 0,6 < 0,6

0,06 < 0,60 < 0,66 ... (Verdadero)

C) 0,003 < 0,03 < 0,3 0,003 < 0,030 < 0,300 ... (Verdadero)

D )13

39

927

2781

= = =

13

13

13

13

= = = ... (Verdadero)

E)35

0 2 0 4< <, ,

0,6 < 0,2 < 0,4 ... (Falso)

∴ Es falso (E) Rpta.: E


x = (0,6)2 + (0,05)2 − (0,4)2

x = +

−

610

5100

410

2 2 2

x = + −36100

2510000

16100

x = + − = =3600 25 160010000

81400

0 45 2,

Rpta.: B


k =− − −

10 0 5 102 2 3 2 · , ×

k = − − −10 5 104 4 2

· × k = 10−4 · 5–2 · 108 = 5–2 · 104

k = =1000025

400

k = 400 = 4 × 102 Rpta.: D


1 30,2; ; ; 0,6; 0,4

5 5− −

0,2 0,6

* Ordenando de menor a mayor:

−0,6 < −0,2 < 0,2 < 0,4 < 0,6

−0,6 < −0,2 < 15

< 0,4 < 35

Rpta.: E


0,00000213 = 2,13 × 10p

2,13 × 10−6 = 2,13 × 10p

* Comparando: p = −6 Rpta.: E


x0 + x1 + x2 + x3 = 1,111

x0 + x1 + x2 + x3 = 1 + 0,1 + 0,001 + 0,001

=1 + 10−1 + 10-2 + 10-3

=(10-1)0 + (10−1)1

+(10−1)2 + (10-1)3

* Comparando: x = 10−1 = 0,1

Rpta.: C

6k2 − 13k + 6 = 0

2k −3 k = 3/2

3k −2 k = 2/3

∴ k = 3/2 ∨ k = 2/3 Rpta.: B


k = 0,0002 × 0,002 × 0,02

k = (2 × 10−4) (2 × 10−3)(2 × 10−2)

k = 8 × 10−9 Rpta.: D


k = (10−2 − 10-3)2

k = (0,01 − 0,001)2

k = (0,009)2 = (9 × 10−3)2

k = 81 × 10−6 Rpta.: C


10011 + 11·10k = 11111

11·10k = 1100 = 11·102

10k = 102

k = 2 Rpta.: E


N = 1 030 000 000

N = 1,03 × 1 000 000 000

N = 1,03 × 109 Rpta.: E


• a = (0,2)3 · (0,3)3

a = (2 × 10−1)3 · (3 × 10−1)3

a = 8 · 10-3 · 27 · 10−3

a = 8 × 27 × 10−6

• b = (0,08)·(0,0027)

b = (8 · 10−2) · (27 · 10−4)

b = 8 × 27 × 10−6

• c = (0,008) · (0,027)

c = (8 × 10−3) · (27 × 10−3)

c = 8 × 27 × 10−6

* Luego: a = b = c Rpta.: E

Resolución 13 Sea la fracción: ab

k=

* Luego: ab

ba

+ = 2 0833, ...

kk

+ =12 083,

kk

23757525

1803612

1 2083 208900

1875900

2512

+ = − = =

Resolución 14 Sea la fracción: kab

=

* Luego: k

k1

3 2249

16949

= =

k2 16949

= k = 137

Rpta.: B

Resolución 15 Sea la fracción: kab

=

* Luego: kk

+ = =12 166 2 16, ... ,

kk

2 1 216 2190

19590

136

+ = − = =

k

k

2 1 136

+ =

6k2 + 6 = 13k

k

k

2 1 2512

+ =

12(k2+1) = 25k

12k2 − 25k + 12 = 0

4k −3 k = 3/4

3k −4 k = 4/3

∴ k = 3/4 ∨ k = 4/3 Rpta.: C

Resolución 16 Tenemos: k ← impar

k k11

0 52

11< < +

,

k k11

59

211

< < +

9k < 55 < 9(k + 2)

* Como: k ∈ ∧ k ← #impar k = 5

* Ahora:

• k/11 = 5/11 = 0,45 63 − 45 = 18

• (k + 2)/11 = 7/11 = 0,63

Rpta.: E

57

38 39

359

2k = − =

2

2 7 35 49 7k ·

5 9 9 3 = = =

k = 73

ab

= 73

* Me piden:

Σ términos(k) = a + b = 7 + 3 = 10

Rpta.: D


k =0 12323 3 66

6 77

, ... , ..

, ...

k =

0 123 3 6

6 7

, ,

,

K =

−

−

−

123 1990

36 39

67 69

·

122 33 619990 9 135K

6161 13599

= = =

k = =9135

115

Rpta.: B


1,000 185 925 0, 0054054 ... 750 740 1000 925 750 740 10

1

1850 0054054= , ... = 0,0054

* Me piden:

Σ cifras(Período) = 0 + 5 + 4 = 9

Σ cifras(Período) = 9 Rpta.: E

Resolución 18 Sea: kab

=

* Luego: 57

3 8kk = ,


ka=

10 ← Irreductible a ∧ 10 ← P.E.S.I

* Además:

12 10

43

< <a 5 < a < 40/3

* Como:

a; 10 ← P.E.S.I a = 7; 9; 11; 13

∴ Cant.(k) = Cant.a

10 = Cant.(a) = 4

Cant.a

104

= Rpta.: B

Resolución 21 Me piden

K = 0,98 − 0,97 + 0,96 − 0,95 + ... – 0,01

k = (0,98 − 0,97) + (0,96 − 0,95) + ... +(0,02 − 0,01)

k = + + +0 01 0 01 0 01

49

, , ... ,

" "términos

k = 49 · 0,01

k = = =491

994999

0 49· ,

k = 0,49 Rpta.: B


( ) ( )3S 0,216 0,4 : 0,166... 0,1= − +

( ) ( )3 3 3S 6 10 4 / 9 : 0,16 0,1−= × − +

1 2 16 1 1S 6 10 :

3 90 10− − = × − +

6 2 15 1S :

10 3 90 10 = − +

9 10 5 3 1 4S : :

15 30 15 15− + − = =

1S 0,25

4= − = −

Rpta.: D


∆ = −23

57

611

7 0 36

2

· · · ,

∆ = −2011

3699

∆ = − =2011

411

1611

Rpta.: D


k = = − = =0 3

0 35

39

35 390

13

1645

4548

,

,

k = 1516

Rpta.: D


fkk

= = =0 229

29

,

fkk

= 29

* Además:

• 15 < Numerador < 35

15 < 2k < 35

7,5 < k < 17,5 ... (I)

• 50 < Denominador < 75

50 < 9k < 75

5,5 < k < 8,3 ... (II)

* (I) ∩ (II):

• 05 6

18,ba

a= +

ba b a− = +

905 6

18

18 90 5 6ba b a− = +

1(10b + a − b) = 5(5a + 6)

9b + a = 25a + 30

9b − 24a = 30

3b − 8a = 10 ...(II)

* De (I) ∧ (II):

14 9 753 8 10

b ab a

− =− =

ab

==

16

* Ahora:

E = 0,ab + 0,b

a

E = 0,16 + 0,6

1

E = 0,1666 ... + 0,6111 ...

E = 0, 77 7 ...

∴ Tercera cifra

decimal

= 7

Rpta.: E

k 7,5 ; 8,3∈

* Como: k ∈ k = 8

* Me piden: fkk

= = =29

2 89 8

1672

( )( )

Rpta.: D

8,3


k a a= 0 2 2,

ka a a

=−2 2 2

90

ka a a a=

+ −=

10 2 2 2

9029

·

ka= 2

9Rpta.: C


a b 781 70,781

5 11 990

−+ = =

a b 774 43

5 11 990 55+ = =

11 5

554355

a b+ =

11a + 5b = 43

3 2 ab

==

32

* Me piden: a + b = 3 + 2 = 5

Rpta.: C


E = −2 3 0 375 0 83 1 3, × , , : ,

23 2 375 83 8 13 1

E :9 1000 90 9− − −= ⋅ −

E = −219

38

7590

129

· :

E = − = =78

58

14

1 2/

∴ E = 1/2 = 0,5 Rpta.: B


• 05

6,ab

b= −

ab a b− = −

905

6

6 90 5ab a b− = −

1(10a + b − a) = 15(b − 5)

9a + b = 15b − 75

9a − 14b = −75

14b − 9a = 75 ... (I)

CAPÍTULO N° 7

FUNCIONES Y PROPORCIONALIDAD (Pág. 348, 349, 350)

Resolución 1

A = 2; 3; 4 ∧ B = 7; 8

Es una función no se repite la prime-ra componente de los pares ordena-dos , no interesa si la segunda com-ponente se repite.

Cumple: C) (2; 7) , (3; 7), (4; 8)

Rpta.: C

Resolución 2

A = 1; 2; 3 ∧ B = 6; 9; 12

f : A → B / y = 3x

f : (2; 6) , (3; 9)

∴ Dom f = 2; 3 Rpta.: B

Resolución 3

Para que sea una función del conjun-to de partida debe salir una sola fle-cha hacia el conjunto de llegada.

Cumple

Rpta.: D

Resolución 4

f = (2;8), (3; 7), (5; 6), (9; 6)

g = (3; 5) , (5; 7), (4; 9)

Dom (f) = 2; 3; 5; 9

Dom(g) = 3; 5; 4

∴ Domf ∩ Dom g = 3; 5 Rpta.: A

Resolución 5

Cada elemento del conjunto de parti-da debe tener una sola imagen en elconjunto de llegada.Cumple:

Rpta.: C

Resolución 6

f(x) = 3x – 8

g(x) = 4x + 11

f(3) = 3(3)– 8 f(3) = 1

g(2) = 4(2) + 11 g(2) = 19

f(3) + g(2) = 1 + 19

∴ f(3) + g(2) = 20 Rpta.: A

Resolución 7

P(x) = 3x2 – 2x + 1

P(1) = 3(1)2 – 2(1) + 1 P(1) = 2

P(P(1)) = P(2) = 3(2)2 – 2(2) + 1

∴ P(P(1)) = 9 Rpta.: D

Resolución 8

Q(x – 3) = 4x + x2

Q(0) x – 3 = 0 x = 3

Q(0) = 4(3) + 32

∴ Q(0) = 21 Rpta.: E

Resolución 4

f(x) = ax + 7

(2; 15) ∈ f

f(2) = a·2 + 7 = 15 a = 4

f(x) = 4x + 7

f(3) = 4(3) + 7

∴ f(3) = 19 Rpta.: A

Resolución 9

Resolución 13

N° obreros N° horas 12 10 15 8 ?? 40

El producto debe ser constante.

12· 10 = 15· 8 = x· 40

∴ x = 3 Rpta.: B

f(5) + f(6) + f(7) – f(8) = 11+10+12–12

∴ f(5)+f(6)+f(7)–f(8) = 21 Rpta.: A

Resolución 10

xQ 8x 5

2 = +

Q(3) x

32

= x = 6

Q(3) = 8· 6 + 5 Q(3) = 53

Q(4) x

42

= Q(4) = 69

Entonces:

Q(3) + Q(4) = 53 + 69

∴ Q(3) + Q(4) = 122 Rpta.: C

Resolución 11

N° Libros Precio 4 60 3 45 5 ??

Directamente proporcionales:

60 45 x

4 3 5= =

∴ x = S/. 75 Rpta.: D

Resolución 12

Precio de entrada = 180

1512

=

7 personas pagan = 15· 7

∴ 7 personas pagan = 105 Rpta.: A

Resolución 14

Espacio = velocidad · tiempo

e1 = e2km

72 · 6hh

= km

48 · xh

∴ x = 9h Rpta.: D

NIVEL II

Resolución 1

f = (3; 8) , (2; 7) , (3; a)

(3; 8) = (3; a)

∴ a = 8 Rpta.: D

Resolución 2

A = 1; 2; 3; 4; 5

R1 = (4; 1);(4; 2);(4; 3); ... no es función

R2 = (1; 4);(2;4);(3;4);(4;4);(5;4) sí es función

R3 = (1;5);(5;1);(2;4);(4;2) sí es función

R4= ....... no es función

R5=(1;2);(1;3);(1;4);(1;5) no es función

∴ Son funciones R2 y R3 Rpta.: B

Resolución 3

A 2x / 5 x 10 ; x IN= ≤ < ∈

B 2x 1/1 x 5;x IN= − < ≤ ∈

A= 10; 12; 14; 16; 18B = 3; 5; 7; 9

( ) xF x;y A B/ y

2 = ∈ × =

∴ F = (10; 5),(14; 7),(18; 9) Rpta.: A

Resolución 5

A x IN /0 x 6= ∈ < <f = (1; 3),(4; a+1),(a+1;2),(1;a–1)

Entonces: (1; 3) = (1; a–1) 3 = a–1

∴ a = 4

Luego:

f=(1;3),(4;5),(5;2),(1;3)

f(a) = f(4) = 5 Rpta.: E

Resolución 7

f(x) = 4x – 1

g(x) = 2x + 3

g(3) = 2(3) + 3 g(3) = 9

f(g(3)) = f(9) = 4· 9 – 1

∴ f(g(3)) = 35 Rpta.: B

De las dos figuras:

f(1) = 5

G(f(1)) = G(5) = 4

f(3) = 2

G(f(3)) = G(2) = 6

Nos piden:

f(1) G(f(1)) 5 4L

f(3) G(f(3)) 2 6+ += =+ +

∴ 9

L8

= Rpta.: C

Resolución 6

Resolución 8

( )f x 2 x 7+ = +

f(4) = f(x + 2) 4 = x + 2 x = 2

f(4) 2 7= + f(4) = 3

g(x 1) x 8− = +

g(7)=g(x – 1) 7 = x – 1 x = 8

g(7) 8 8= + g(7) = 4

f(4) + g(7) = 3 + 4

∴ f(4) + g(7) = 7 Rpta.: C

Resolución 9

2x 1F(x)

x 1+=

−

2· 2 1F(2)

2 1+=

− F(2) = 5

2· 5 1 11F(F(2)) F(5)

5 1 4

+= = =

−

∴ 34

F(F(2)) 2= Rpta.: D

Resolución 10

f(x) = x 1

2x 1

+−

f(1) = 1 1

2·1 1

+− f(1) = 2

f(3) = 3 1

2· 3 1+− f(3) =

45

f(2) = 2 1

2· 2 1

+− f(2) = 1

Entonces:

45

2f(1) f(3)M

f(2) 1

++= =

∴ 14

M5

= Rpta.: E

Resolución 11

1 libro = S/.86

2 1 libro = S/. 43

5 libros = 5· S/. 43

∴ 5 libros = S/. 215 Rpta.: B

Las magnitudes de la figura son di-rectamente proporcionales, entonceslos cocientes de estas magnitudesson constantes.

108 144 x

3 4 5= =

108 x

3 5=

∴ x = S/. 180 Rpta.: C

Resolución 12

Resolución 13

El producto de las magnitudesinversamente proporcionales es cons-tante.

60· 3 = 45· 4 = x· 5

60· 3 = x· 5

∴ km

x 36h

= Rpta.: B

Se cumple:

N° de vueltas (1) × radio(1)

= N°vueltas(2) × radio(2)

n· 10 = 15

1802

⋅

∴ n = 135 rev. Rpta.: A

V

t

Resolución 14

CAPÍTULO N° 8PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO

SOBRE RAZONES Y PROPORCIONES (Pág. 372, 373, 374)

NIVEL I

Resolución 1 Sean los números: a; b

* Luego:

• a − b = 16 ... (I)

• a 3

b 1=

a k

b k

==

3


3k − k = 16

2k = 16 k = 8

* Me piden: # menor = b = k = 8

Rpta.: B


•ab

= 34

a k

b k

==

3

4

* Reemplazando en:

• a + b = 28

3k + 4k = 28

7k = 28 k = 4

* Me piden: b = 4k = 4(4) = 16

Rpta.: C

Resolución 3 Sean los números: a ; b

* Luego: ab

= 52

a k

b k

==

5

2

* Además: a − b = 6

5k − 2k = 6

3k = 6 k = 2

* Me piden: # mayor = a = 5k = 5(2) = 10

Rpta.: D


21 74n

= n = =21 47

12×

∴ # menor = n = 12 Rpta.: B

Resolución 5 Sean los lados: a ; b

* Ahora, veamos:

* Dato: b

0,4a

=

ba

= 25

b k

a k

==

RST2

5

* Además: Perímetro ABCD = 60

4a = 60 4(5k) = 60 k = 3

* Me piden:

Perímetro MNPQ = 4b = 4(2k) = 8k

Perímetro MNPQ = 8(3) = 24

Rpta.: B


# mayor

a b c3 5 2

= =

* Dato: # mayor = 30 b = 30

* Ahora: a c3

305 2

= = a

c

==

RST18

12

* Me piden: #menor = c =12 Rpta.: A


a b ck

2 5 8= = =

a k

b k

c k

===

RS|

T|

2

5

8

* Dato: Σ 2 menores = 35 a + b = 35

2k + 5k = 35

7k = 35 k = 5

* Me piden: # mayor = c = 8k = 8(5) = 40

# mayor = 40 Rpta.: C

* Dato:

2 12

31

xx

+−

= 1·(2x + 1) = 3(x − 2)

2x + 1 = 3x − 6 x = 7

* Me piden: S = 3(x − 2) = 3(7 − 2) = 15

Rpta.: B



•ab

= 73

a k

b k

==

RST7

3

* Ademas: • a + b = 20

7k + 3k = 20 10k = 20 k = 2

* Me piden: • a − b = 7k − 3k = 4k

a − b = 4(2) = 8 Rpta.: B


•mn

= 611

m k

n k

==

RST6

11

* Además: n − m = 25

11k − 6k = 25

5k = 25 k = 5

* Me piden: m + n = 6k + 11k

m + n =17k = 17(5) = 85

m + n = 85 Rpta.: C


•p q5 7

= p k

q k

==

RST5

7

* Además: 2p − q = 12

2(5k) − 7k = 12

3k = 12 k = 4

* Me piden: p = 5k = 5(4) = 20

Rpta.: B


Hace 3 años ActualPedro 5k − 3 5kJuan 4k − 3 4k

* Dato: 5 34 3

75

kk

−−

=

5(5k − 3) = 7(4k − 3)

25k − 15 = 28k − 21

3k = 6 k = 2

* Me piden:

Edad de Juan

dentro de años6FHG

IKJ = 4k + 6 = 4(2) +6 = 14

Rpta.: B


* Luego; tenemos:

* Dato:

Volumen AVolumenB

= 74

4015

74

−+

=xx

160 − 4x = 105 + 7x

11x = 55 x = 5 Rpta.: D

Resolución 6 Sea: V Cant vino

A Cant agua

==

RST.

.

* Luego: V 3A 1

= V k

A k

==

RST3

• V − A = 28

3k − k = 28 2k = 28 k = 14

* Me piden:

Volumen total = V + A = 3k + k = 4k

Volumen total = 4(14) = 56

Rpta.: C


Edad Actual Dentro 6 años Susana 4k 4k + 6 María 3k 3k + 6

* Además; dato: 4 63 6

65

kk

++

=

5(4k + 6) = 6(3k + 6)

20k + 30 = 18k + 36

2k = 6 k = 3

* Me piden:

Edad actual

de MaríaFHG

IKJ = 3k = 3(3) = 9

Rpta.: B


•ab

= 117

a k

b k

==

RST11

7

* Me piden: 2a b 2(11k) 7k

Ea b 11k 7k

− −= =+ +

Ekk

= 1518

E = 56

Rpta.: C

NIVEL II


* Luego: • a − b = 30 ... (I)

• ab

= 6 a k

b k

==

RST6

* Reemplazando en (I): a − b = 30

6k − k = 30

5k = 30 k = 6

* Me piden: a + b = 6k + k = 7k = 7(6) = 42

a + b = 42 Rpta.: C


* Luego: • ab

= 47

a k

b k

==

RST4

7

• a + b = 44

4k + 7k = 44

11k = 44 k = 4

* Me piden: b − a = 7k − 4k

b − a = 3k = 3(4) = 12

Rpta.: B

ó

Resolución 3 Sea:

a Edad de Nataly

b Edad de Vanessa

c Edad de Karina

===

RS|

T|

* Luego; dato: • a − b = 12• b − c = 8

a − c = 20

* Me piden:

Razon aritmética entre

Nataly y Karina

= a − c = 20

Rpta.: B


* Luego: • ab

= 85

a k

b k

==

RST8

5

• a − b = 15

8k − 5k = 15

3k = 15 k = 5

* Me piden: a + b = 8k + 5k

a + b = 13k = 13(5) = 65

∴ a − b = 65 Rpta.: C


* Luego; dato:

•ab

= 34

a k

b k

==

RST3

4

• a·b = 48

(3k)(4k) = 48

12k2 = 48 k = 2

* Me piden: # mayor = b = 4k = 4(2) = 8

Rpta.: B


a b c2 3 4

= =

a k

b k

c k

===

RS|

T|

2

3

4

* Además: a + 2b = 24

2k + 2(3k) = 24

8k = 24 k = 3

* Me piden: c = 4k = 4(3) = 12

Rpta.: C

•Bb

= 52

B k

b k

==

RST5

2

•Perim Mayor 2Perim Menor 1

=

2 102 7

2( )( )Bb

++

= 2(B + 10) = 4(b + 7)

2B + 20 = 4b + 282B − 4b = 82(5k) − 4(2k) = 8 2k = 8 k = 4

* Me piden:S = 7·b = 7(2k) = 14k = 14(4) = 56

S = 56 Rpta.: C


•AB

= 57

A k

B k

==

RST5

7

• A + B = 180

5k + 7k = 180

12k = 180 k = 15

* Me piden: B − A = 7k − 5k = 2k

B − A = 2(15) = 30

Rpta.: C



p q r3 4 7

= =

p k

q k

r k

===

RS|

T|

3

4

7

* Además: p + 2r = 34

3k + 2(7k) = 34

17k = 34 k = 2

* Me piden: q = 4k = 4(2) = 8

Rpta.: B


a ba b

+−

= 72

( ) ( )( ) ( )a b a ba b a b

+ + −+ − −

= +−

7 27 2

22

95

ab

= ab

= 95

Rpta.: C

Resolución 12 Sea:

A Edad de Ana

B Edad de Patricia

==

RST

* Luego; dato:

•Ap

= 74

A k

p k

==

RST7

4

•Ap

−−

=88

52 2 (A − 8) = 5(p − 8)

2A − 16 = 5p − 40

2(7k) − 16 = 5(4k) − 40

−6k = −24 k = 4

* Ahora: A + x = 30

Cant. años para cumplir 30

7k + x = 30

7(4) + x = 30 x = 2

Rpta.: A


Edad Actual Dentro “x” años Carlos 12 12 + x Raúl 14 14 + x

* Luego: 1214

910

++

=xx

120 + 10x = 126 + 9x x = 6

Rpta.: C


a b c2 3 5

= =

a k

b k

c k

===

RS|

T|

2

3

5

* Me piden: 32

3 2 32 3 5

99

a bb c

k kk k

kk

+−

= +−

= =( ) ( )( ) ( )

32

9a bb c

+−

= Rpta.: D


ab4

1512

25= = a

b

==

RST5

20

* Me piden: a + b = 5 + 20 = 25

Rpta.: C


* Dato: ba

= =0 845

,

a k

b k

==

RST5

4

* Además: Perím Menor = 48

6b = 48

6(4k) = 48 k = 2

* Me piden:

Perím. Mayor = 6a =6(5k) = 30k

Perím. Mayor = 30(2) = 60

Rpta.: C


•AB

= 38

A B

3 8=

•B 4C 9

= B C8 18

=

* Luego: A B C

3 8 18= =

A c3 18

= Ac

= 16

Rpta.: D


* Dato: 2 6

876

xx

++

=

12x + 36 = 7x + 56

5x = 20 x =4

CC


• 16 − x = x − 10 x = 13

• 14 − 8 = 12 − y y = 6

* Me piden: x + y = 13 + 6 = 19

Rpta.: D


• 24 − x = x − 18 x = 21

20 − 12 = 12 − y y = 4

* Me piden: x − y = 21 − 4 = 17

Rpta.: B


a b c2 5 7

= =

a k

b k

c k

===

RS|

T|

2

5

7

* Además: # mayor − # menor = 40

c − a = 40

7k − 2k = 40

5k = 40 k = 8

* Me piden:

a + b + c = 2k + 5k + 7k = 14k

a + b + c = 14(8) = 112

∴ a + b + c = 112 Rpta.: C


a b c3 5 2

= =

a k

b k

c k

===

RS|

T|

3

5

2

* Además: 3a − b + c = 42

3(3k) − (5k) + (2k) = 42

6k = 42 k = 7

* Dato: Hh

= 53

H k

h k

==

RST5

3

* Además: S∆ 1 = 20

Hb2

20= ( )52

20k b = kb = 8

* Me piden:

S =12

12

332

h b k b k b· ·= =b gb g b g

S = 32

8 12b g = Rpta.: B

Resolución 15 Veamos: * Me piden: E = a + 2b − 5c

E = 3k + 2(5k) − 5(2k)

E = 3k + 10k − 10k = 3k = 3(7)

∴ E = 21 Rpta.: B

* Ahora:

14 − y = 12 +y

2 = 2y y =1 Rpta.. C


a ba b

+−

= 53

a b a b

a b a b

+ + −+ − −

= +−

b g b gb g b g

5 35 3

22

82

ab

= a 4

b 1=

a k

b k

==

RST4

* Además: # mayor + 3 # menor = 14

a + 3b = 14

4k + 3(k) = 14 k = 2

* Me Piden: # menor = b = k = 2

∴ # menor = 2 Rpta.. A

CAPÍTULO N° 9PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO

SOBRE TANTO POR CIENTO (Pág. 394, 395, 396)

NIVEL I

Resolución 1

k = 12%(25%)(4500)

K = FHG

IKJFHG

IKJ

12100

25100

4500b g

k = =300 4500100 100

3 45××

×

k = 135 Rpta.: E


I. 20% (40) = 8

20100

40 8· b g = 8 = 8 .... (V)

II. 30% (2×80) = 30

30100

160 30b g = 48 = 30 ... (F)

III. (4%)(5%)(1000) = 2

4100

5100

1000 2FHG

IKJFHG

IKJ =b g 2 = 2 ... (V)

IV. 60%(180) = 108

60100

180 108· b g = 108 = 108 ... (V)

∴ Tenemos: VFVV Rpta.: B


* Luego: 20%(10%)·(n) = 12

20

10010

10012· · n = n = 600

* Me piden: 25%n = 25

100600 150· ( ) =

25%n = 150 Rpta.: D


A = 36%(5%)(2000)

A = 36100

5100

2000· · A = 36

* Me piden:

12%(A + 64) = 12100

· (36 + 64)

12% (A + 64) = 12100

· (100) = 12

12%(A + 64) = 12 Rpta.: C

Resolución 5 Sea la cantidad: n

* Luego: n − 20% n = 16

80%n = 16 80

100·n = 16

1600

n 2080

= = n = 20

* Me piden: cantidad = n = 20

Rpta.: B


k = 2%N + 3N + 28% N

K = N·(2% + 300% + 28%)

k = 330%N Rpta.: B


k = FHG

IKJ15 10 40

200 0002

%( %)( %)

k = 15100

10100

40100

100 000× × ×

k = =600 000 0001000 000

600

k = 600 Rpta.: D

* Me piden: k SS

ABCD

= × %100

kS S S

S= + + =2

16100

14

100× % × %

k= 25% Rpta.: B


Descuentos

D = (100% − 40%)(100% − 30%)

D = (60%)(70%)

D = 60100

70· ( %)

D = 42% Rpta.: E


% Ganancia = 144 120

120100

−× %

% Ganancia = 24

120100 20× % %=

% Ganancia = 20% Rpta.: C

Resolución 10 Sea lo pedido: x

* Luego:

20%(50) = 80%(10) + 50%(x)

20100

5080

10010

50100

· ( ) · ( )= + (x)

10 = 8 + x2

x = 4 Rpta.: B

Resolución 11 Sea:

p = precio del libro

* Luego: p − 30%p = 21

70% p = 21

70

100·p = 21 p = 30 Rpta.: B


25% x = 160

25100

·x = 160 x = 1600025

x = 640 Rpta.: D


a% (b) = 5a

a

b a100

5· =

b = 500 Rpta.: C

Resolución 14 Me piden

k = 70 + 30% 70

k = 130% (70)

k = 130100

·(70) k = 91 Rpta.: C


368 = n − 54% n

368 = 100%n − 54%n

368 = 46%n

368 = 46

100·n n = 800 Rpta.: B


112112100

2825

5628

5025

% = =

1122825

% = Rpta.: C


% = 1825

×100% = 18 × 4%

% = 72% Rpta.: B



k = − − = − − =32

58

34

12 5 68

18

k = =18

100 12 5× % , %

∴ k= 12,5 % Rpta.: C


720 − x%(720) = 540

Descuento

720 − 540 = x% 720

180100

720= x( )

x = 18000720

x = 25

* Me piden: x% = 25% Rpta.: D

* Luego: %S = S

STotal

= 65165

100× %

% S =300

837 5% , %=

Rpta.: B

Resolución 25 Sea:

n = Cant. manzanas compradas

* Luego: n + 5%n = 420

100%n + 5%n = 420

105%n = 420

105100

420· n = n = 42000105

∴ n = 400 Rpta.: C

SS


k = 10%(2/5)·(40%)(6000)

k = 10100

25

40100

6000· · ·

k = =4800 00050 000

96

k = 96 Rpta.: A


k = 3A − 128%A − A2

k = 3A×100% − 128% A − A2

× 100%

k = 300% A − 128% A − 50% A

k = (300% − 128% − 50%) ·A

k = 122% A Rpta.: D


Cant bresCant mujeres

. hom

.=

=RST

126224

* Me piden:

% Mujeres = Cant mujeres

Total. =

+224

126 224

% Mujeres = 224350

100 64× % %=

∴ % mujeres = 64% Rpta.: B


NIVEL II


k = 5%(8%)(12 000)

k = 5100

8100

12000× ×

k = =480 000100 000

48 Rpta.: C


50%(1/3)(M) = 6

50 1M 6

100 3× × =

M = 180050

M = 36 Rpta.: C


• Cant. varones = 40

• Total = 100

* Me piden:

% No varones = Total Cant.varones−

Total× %100

% no varones = 100 40

100100

−× %

% no varones = 60% Rpta.: E


20%A = 30%B

20100

30× %A B= A

B5

30= %

A = 150%B

% de B es A = 150% Rpta.: C


20%(10%)(n) = 1200

20100

10100

1200× × n =

2100

1200× n = n = 60000

* Me piden:

25%(40%)(n) = 25

10040

10060000× ×

25%(40%)(n) = 600 Rpta.: C


20%(x) = 40%(y)

20

10040

100· ( ) · ( )x y= x = 2y

* Me piden: ( )( )

x y% ·100%

2x y

−=

+

Como: x = 2y

% · %= −+

24

100y yy y

y% ·100% 20%

5y= = Rpta.: B


* Sabemos: 1

2

S AMS EC

=

S

Sa

a1

2

4= S1 = 4S2

* Me piden: % × %SS

S S11

1 2

100=+

% × % × %S

S

S S12

2 2

4

4100

45

100=+

=

% S1 = 80% Rpta.: E

E


k = 5%(10%)(20%)(M)

k M= 5100

10100

20100

× × ·

kM=

1000Rpta.: B


20%(5%)(A) = 8

20100

5100

8× × A =

A = 800

* Me piden: 12%(2A)= 12100

(1600) = 192

12%(2A) = 192 Rpta.: C


k = 153%M − 2M + 67%M

k = 153%M − 200%M + 67%M

k = (153 − 200 + 67)%M

k = 20%M Rpta.: B


A = 25%B

% de B es A = 25% Rpta.: B


k = − +25

0 254

,

k = − + = − +25

15

54

8 4 2520

k = 2920

100× %

k = 145% Rpta.: D


n + 30% = 65

130%n = 65

130100

65· n =

n = 50 Rpta.: B


n − 35%n = 52

100%n − 35%n = 52

65%n = 52

65100

52· n = n = 80 Rpta.: C

Resolución 15 Sea:

S : sueldo del profesor.

* Luego: (1 + 20%)(1 − 20%)S

= (120%)(80%)S

= =120100

80 96× % × %S S

= S − 4%S

Disminuye 4%

Rpta.: D

Resolución 16 Sea:

S : Sueldo de mi profesora

* Luego: (1 − 30%)(1 + 30%)S

=(70%)(130%)S

= 70100

130× % × S

= 91% S = S − 9% S

Disminuye en 9% Rpta.: D

Resolución 17 Sea:

Pc = precio de costo

* Luego: Pv = Pc + ganancia

920 = Pc + 15% Pc

920 = 115% Pc

920 = 115100

· Pc

Pc = 92000115

= 800 Pc = 800

* Me piden:

Ganancia = 15%Pc = 15%(800) = 120

Ganancia = 120 Rpta.: E

Resolución 18 Sea:

Pc = Precio de costo del pantalón


45 = Pc + 20% Pc

45 = 120% Pc

45 = c

120·P

100 Pc = 75/2

* Me piden: costo = Pc = 37,5

Rpta.: C

Resolución 19 Tenemos: ABC

===

RS|T|

121850

* Luego:

% Ganador =50

12 18 50100 62 5

+ +=× % , %

Rpta.: E


• 24 naranjas

• 72 manzanas

• 88 papayas

• 144 plátanos

* Me piden:

% Papayas = 88

24 72 88 144100

+ + +× %

% Papayas =88

328100

110041

× % %=

% Papayas = 1100

41% Rpta.: D


* Luego de trasladar áreas, tenemos:

* Luego:

% S = S

S

S

SABCD

ABCD

ABCD

=

14 100× %

% S = 25% Rpta.: B


290 = n − 42%n = 100%n − 42%n

290 = 58%n

290 = 58

100· n n = =29000

58500

n = 500 Rpta.: C


k = 160 + 35%(160)

k = 135%(160)

k = 135100

160 216× = Rpta.: D

Resolución 24 Sea el número : n

* Luego: 240 = 30%n

240 = 30

100· n n = 24000

30

n = 800 Rpta.: C

Resolución 25 Sea:

• Pc : Precio de costo• Pv : Precio de venta


120 = Pc + 30%Pc + 9%(120)

100%(120)− 9%(120) = 130%Pc

91%(120) = 130%Pc

c

91 130120 P

100 100× = ×

Pc = 84 Rpta.: A

Resolución 26 Sea:

• P : Precio del equipo

* Luego: P + 20%P = 960

120%P = 960

120100

960· P = P = 800

* Me piden: k = P − 25% = 75%P

k = 75%(800)

k = =75100

800 600· ( )

∴ k = 600 Rpta.: B



x + 20%x = (x + 6)

Dentro 6 años Edad actual

aumentada en su 20%

* Luego: 120%x = x + 6

120%x − 100%x = 6

20%x = 6

* Como: MN aNP aPQ a

===

RS|T|

2 S kS kS k

1

2

3

2===

RS|

T|

* Me piden: %S =+ +

S

S S S2

1 2 3

100· %

% S =22

10024

100k

k k kkk+ +

=· % · %

%S = 50% Rpta.: D

Pierde

S/.20


30%(20%)25

xFHG

IKJ =24%(0,01%)(1000)

30

10020

10025

24100

110000

1000· · · ·x =

120050000

240001000 000

x =

x = 1 Rpta.: E

Resolución 30 Sea:A Costo del libroB Costo del libro

==

RST12

* Luego: • A − 25%A = 150

75%A = 150

75

100150· A = A = 200

• B + 25%B = 150

125%B = 150

125100

150B = B = 120

* Ahora: Costo total = A + B = 200 + 120

Costo total = 320

* Como: Venta total = 150 + 150

Venta total = 300

∴ Perdió S/. 20 Rpta.: B

20

1006· x = x = 30

* Me piden: x − 21 = 30 − 21 = 9

x − 21 = 9 Rpta.: B

CAPÍTULO N° 10

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 411, 412, 413)

NIVEL I


Ex x

x= ++ +

+2 2

2

3 2

1

Ex

x=+

= + =+

+

2 2 2

24 2 6

1 2 1

1

·

Rpta.: B


k = = = =− −

27 27 27 33 703 1 1 3b g b g /

k = 3 Rpta.: B


Mx x

x

=

FHG

IKJ

LNM

OQP

−

−−

3 32

3 2 3

2· b g

e j

Mx x

xx= =

3 18

183· M = x3

* Me piden: Exponente de (x) = 3

Rpta.: B


x xx x8 2 4= e j

exponente de (x2x) = 4 Rpta.: B


k a a a a= −5 2 4 13 3 4· · ·e j e j

k = a5 · a8 · a1 · a-12 = a2

* Me piden: Exponente(a) = 2

Rpta.: B


k = 24 · 35 · 72 · 2−3 · 3−3 · 7-2

k = (24 · 2−3)·(35 · 3−3)·(72 · 7−2)

k = (21)·(32)·(7°)

k = 2 · 9 · 1 = 18 Rpta.: D

Resolución 7 Dato:

x2 = 4 x = 2

* Me piden: k = (x4 + x3) · x-2

k = (24 + 23) · (2-2)

k = 22 + 21 = 4 + 2 = 6

Rpta.: C


x−n = 3 xn = 3−1 xn = 1/3

* Me piden: k = 3x2n − xn

k = 3(xn)2 − (xn)

k = 3(1/3)2 − (xn)

k = 3(1/9) − 1/3

k = 1/3 − 1/3 = 0

Rpta.: C

Resolución 9 Me piden: “a”

* Ahora; tenemos:

x x xa a· /2 3 10=

x1/a · x1/2a = x3/10

x3/2a = x3/10

* Comparando exponentes:

3

23

10a= a = 5 Rpta.: D


k = FHG

IKJ + F

HGIKJ

LNMM

OQPPFHG

IKJ

− − −25

15

152

1 1 1

·

k = +FHG

IKJ

FHG

IKJ = =5

25

215

152

215

1· ·

∴ k = 1 Rpta.: A


k = =4 6

12

2 2 3

2 3

4 6

5

2 4 6

2 5· · ·

·b ge j b g

e j

k = = =2 2 3

2 3

2 3

2 32 3

8 6 6

10 5

14 6

10 54 1· ·

·

·

··

k = (16)(3) = 48 Rpta.: D

NIVEL II

Resolución 1

k = =9 24

12 18

3 2 3

2 3 3 2

2 4

4 2

2 2 3 4

2 4 2 2

·

·

· ·

· · ·

b gb g b g

e j e je j e j

k = = =3 2 3

2 3 3 2

2 3

2 32 3

4 12 4

8 4 4 2

12 8

102 0· ·

· · ·

·

··

k = 4·1 = 4 Rpta.: C

Resolución 2 Tenemos: xx = 2

* Ahora; me piden:

k = x−2x + x−x

k = (xx)−2 + (xx)−1

k = (2)−2 + (2)−1 = 1/4 + 1/2 = 3/4

k = 3/4 Rpta.: B


Mn n

n n= ++

+ +

+ +2 2

2 2

4 3

3 2

M

n

n=

+

+= +

+=

+

+

2 2 2

2 2 2

4 22 1

22 2 1

2 1 0

·

·

e je j

M = 2 Rpta.: A


k = 210·29·28·27 ... 2-7·2-8·2-9

k = 210 ·29·28·27 ... 21·20·2-1 ... 2−7·2−8·2−9

K = 210 · 20 = 210 k = 210

* Me piden: Exponente final = 10

Rpta.: D

8

k x x= FH

IK

FH

IK

3420

2530

:

k = x60/4 : x60/5 = x15 : x12 = x3

∴ k = x3 Rpta.: B

4


kn n

n n

n n n n

n n= +

+=

+

+− −

− −

− −3 2

3 2

2 3 2 3

3 2

· e je j

k = 2n·3n = 6n Rpta.: B


k = = = =− − − −16 16 16 1 44 8 1 3

4 1 2 1 2/ / / /

k = 4 Rpta.: B


kx x

x

x

x= − =

−− −

−

−

−3 3

3

3 3 3

3

2 3

4

4 2 1

4

· e j.

k = 32 − 31 = 9 − 3 = 6 Rpta.: C


k x x x

veces

= FH

IK

34 34 34

20

· ...

: · ...x x x

veces

25 25 25

30

FH

IK


(1 2 1) 2 12 2 2

1/(2 2 2)

2 2 2 2k

22

× + × +× ×

× ×= =

k = = =2

22 2

7 8

1 86 8 3 4

/

// /

k = =2 834 4 Rpta.: D


kx

x

x

x= =64

2

64

2

75

25

7

25

k x x= =32 255 Rpta.: C


2x−1=3 2x·2−1 = 3 2x = 6

* Me piden: 2x+1 = 2x·2 = (6)(2) = 12

Rpta.: D


ka

a

a a

a=− +2 8 9

2

3 3

3

· ·

·

e j

ka

aa

a

a= =+2 2 1

1 21 13

33

·

··

k = 3a Rpta.: A


k = FHG

IKJ = F

HIK2 284

705

8470

b g

k = = =2 2 48 4 1 2 1/e j e j Rpta.: B

III. (−x)0 = 1 ∀x∈IN−0

1 = 1 ........................... (Verdadero)

∴ Tenemos: FVV Rpta.: C


k = = = =− − −− − −9 9 9 1 34 2 14 1 2 1 2/ / /

k = 1/3 Rpta.: C

Resolución 7 Tenemos: xn = 5

* Me piden:

x3n − 100 = (xn)3 − 100

x3n − 100 = (5)3 − 100 = 25

∴ x3n − 100 = 25 Rpta.: D


ka a

a a= +

+− −5 3

5 3

k

a a a a

a aa a=

+

+=

− −

− −

5 3 3 5

5 35 3

· ··

e je j

∴ k = 15a Rpta.: C


x x x xnn

· ·= 1 2

=+

xn

12 exponente(x) = 1

2+ n

* Dato: exponente(x) = 4

12

4+ =n n = 6 Rpta.: C


4 2 23 3x x= ·

2 2

23

13

xx

=+


I. (x2)3 = x8 ∀x ∈IN−1

x6 = x8 ................................. (Falso)

II. x2·x2·x2·x2 = x4(2) ; ∀x∈IN −1

x8 = x8 ......................... (Verdadero)

* Comparando exponentes:

23

13

xx= +

− =x3

13

x = –1 Rpta.: B


kx

x

x

x= = =

+2

4

2 2

22

2 1 2

2·

∴ k = 2 Rpta.: B


Fa a

a= ++ −

−2 4

2

2 1 1

2 2

Fa a

a= ++ −

−2 2

2

2 1 2 2

2 2

Fa

a=

+= + =

−

−

2 2 2

22 2 9

2 2 3 0

2 23 0

· e j

F = 9 Rpta.: B


k = − = − = −− − −32 32 22 5 5 2 2b g e j b g/

k =−

=1

21 42b g

/ Rpta.: D


1 1 1a 3a a 3a 6x · x x

+=

1 1

316a a

+ = 4

316a

= a = 8

* Ahora: x x xa5 8585= =

Grado xa5 85

FH

IK = Rpta.: C


222es la .............. potencia de 22

16 es la .......... potencia de 4

∴ x = segunda Rpta.: A


k = −+

5 6 3 5

15 2 15

2 2 2 2

2 2· ·

·

k =−

+= =

5 3 2 1

15 2 1

15 3

15 31

2 2 2

2

2

2

· · ·

·

e jb g

∴ k = 1 Rpta.: A

Ex

x

xx

x= = =7 28

3 155

43e j

e j∴ E = x3 Rpta.: B


Mx y x y x y

xy xy xy

factores

factores

=· · · ... ·

· ...

3 3 3

60

30

M

x y

xy

x y

x yy= = = −

· ·

·

330

30

15 10

15 155e j

e j

∴ M = y−5 Rpta.: D


SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (Pág. 426, 427, 428, 429)

NIVEL I


P(x; y; z) = 5x4y3z

∴ G.R[z] = 1 Rpta.: A


Q(x; y; z) = −2x3·ya−1·z2

* Dato: G.A(Q(x; y; z)) = 8

3 + (a − 1) + 2= 8

a + 4 = 8 a = 4 Rpta.: C


P(x; y) = 3xa+b−5 · yb-3

G.R(x) = 5 a + b − 5 = 5 a + b = 10

• G.R (y) = 2 b − 3 = 2 b = 5

* Como: a bb

+ ==

RST10

5 a

b==

RST55

∴ a = 5 Rpta.: E


P(x; y) = 5xn+1·y4

Grado = n + 1 + 4 = 12 n + 5 = 12 n = 7

Rpta.: B


M(x; y) = x y

xx y

m n

mn

2 32 3

+ −−=·

·

G.A[M(x; y)] = 2+ 3 − n = 5 − n

* Dato: G.A[M(x; y)] =3

5 − n = 3 n = 2 Rpta.: A

15 factores


• A = 9 2 1− − = 9−1/2 = 1/3

• B = 81 81 34 1 1 4−= =/

* Me piden: A·B = (1/3)(3) = 1

A·B = 1 Rpta.: A


k = FHG

IKJ + FHG

IKJ + FHG

IKJ

− −32

2581

116

2 0 5 1 4, /

K = + +49

59

21

k = + = + =99

2 1 2 3 Rpta.: B


28 factores

7 7 7

5 3 3 3

x · x.. xE

x· x... x=


P(x; y) = (x3·y4)(x2·ya)

G.A.[P(x; y)] = 3+4+2+a = a+ 9

* Dato: G.A[P(x; y)] = 13

a + 9 = 13 a = 4 Rpta.: C


• 6x·yb−3

Semejantes• 2x·y10

b − 3 = 10 b = 13

Rpta.: C


P(x; y; z) = 5x2·y3·z4 + 7x4·y7·z9 − 9x5·y2·z7

G1 = 9 G2 = 20 G3 = 14

* Luego:

G.A[P(x; y; z)] = Mayor(G1; G2; G3) = G2

G.A = [P(x; y; z)] = 20

Rpta.: C


P(x) = xa + x3 + x2 + x + 3

* Como: P(x) ← Cuarto grado a = 4

∴ P(x) = x4 + x3 + x2 + x + 3

* Me piden:

P(2) = 24 + 23 + 22 + 2 + 3 = 33 Rpta.: D

Resolución 10 Tenemos: P(x) = 3x − 1

* Me piden:

kP P

P= + = − + −

−( ) ( )

( )( × ) ( × )

×1 5

33 1 1 3 5 1

3 3 1

F = + =2 148

2

k = 2 Rpta.: B


kx x

x x

x x

x x=

LNM

OQP

LNM

OQP

=

2 3 23

3 2 32

6 2 3

6 3 2

e j

e j

e je j

·

·

·

·

kx

xx= =

24

186 k = x6

∴ Grado(k) = 6 Rpta.: D


7(xy)5n = 7·x5n·y5n

Grado = 5n + 5n = 10n = 20

Dato

n = 2 Rpta.: A


P(x) = xm+3 + xm+1 + 7

G.A[P(x)] = m + 3

* Dato: G.A[P(x)] = 10

m + 3 = 10 m = 7

Rpta.: B


P(x; y) = n2·xn+3·y5-2n

G.A[P(x; y)] = n + 3 + 5 −2n = 8 − n

* Dato: G.A[P(x; y)] = 6

8 − n = 6 n = 2

* Me piden: Coeficiente = n2 = 22 = 4

Rpta.: C


Q(x; y) = (2a − 1)·x3+a·y5+a

* Dato: Coeficiente = 3

2a − 1 = 3 a = 2

* Me piden: G.R(y) = 5 + a = 5 + 2 = 7

G.R.(y) = 7 Rpta.: C


A(x; y) = (n + 3)·xn+2·yn-1

* Además: G.R(x) = 7

n + 2 = 7 n = 5

* Me piden:

Coeficiente = n + 3 = 5 + 3 = 8

Rpta.: C


M(x; y) = x y x ya a a8 68 6

· ·=

* Además: G.A[M(x; y)] = 2

8 6

2a a

+ = 14

2a

= a = 7

Rpta.: E


P(x) = 3x + 2

* Me piden: k P P= ( ) ( )1 0

k = (3×1+2)(3×0+2) = 52 = 25

∴ k = 25 Rpta.: E


P(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x + a

P(x) = (a + 3)x3 + x2 + 2x + a

Coef. Principal

* Dato: Coef. Principal = 5

a + 3 = 5 a = 2

* Ahora me piden: Término

independiente

= a = 2

Rpta.: B

;


P(x; y; z)= 3a2·x4·y3a−1·za

* Dato: G.A.[P(x; y; z)] = 11

4 + 3a − 1 + a = 11

4a = 11− 3 = 8 a = 2

* Me piden:

Coeficiente = 3a2 = 3(2)2 = 12

Rpta.: C


P(x) = (a + 3)xa + 5x2 + 3x + 8

* Como: P(x) ← cúbico a = 3

* Me piden:

Coef. Principal = a + 3 = 3 + 3 = 6

Rpta.: E

Resolución 21 Tenemos:x = 2y = -1RST

* Me piden:

k = 2x2y − 3x·y2 + x·y

k = 2(2)2·(−1) − 3(2)(−1)2 + (2)(−1)

k = −8 − 6 − 2 = −16

k = −16 Rpta.: A

Resolución 22 Tenemos: xy

== −

RST2

2

* Me piden: k = (x−y)·(y−x)

k = (22)·((−2)(−2))

k = 4·(1/4) = 1 Rpta.: B


== −

RST2

2

* Me piden:

k = x3·y + x2y + x·y4

k = (2)3·(−2) + (2)2·(−2)+(2)(−2)4

k = −16 − 8 + 32 = 8

k = 8 Rpta.: B


==

RST1 21 3

//

* Me piden:

k = x−2x + y−3y

k = (1/2)−1 + (1/3)−1 = 2 + 3 = 5

k = 5 Rpta.: A


M xxx

( ) = +−

21

* Me piden:

M M M M M22 22 1

b g = +−

LNM

OQP

LNM

OQP

= = +−

LNM

OQP =M M M M4

4 24 1

2b g b g

= +−

=2 22 1

4

∴ M[M[M(2)]] = 4 Rpta.: C

NIVEL II


P(x; y) = (2xn+2·y)3 = 8·x3n+6·y3

* Dato: G.A[P(x; y)] = 18

3n + 6 + 3 = 18

3n = 9 n = 3 Rpta.: C


M(x; y) = 5·x2a+b·ya+2b

* Dato:

• G.A.[M(x; y)] = 15

2a + b + a + 2b = 15

3(a + b) = 15 a + b = 5

• G.R(x) = 8

2a + b = 8

* Ahora tenemos: a b

a b+ =

+ =RST

52 8

ab

==

RST32

* Me piden: a − b = 3 − 2 = 1

Rpta.: A


3x4·ya−1

Semejantes7xb+2·y5

ba

+ =− =

RST2 41 5

ba

==

RST26 a + b = 8

Rpta.: C


F x yx y

yx y

n n

nn;

··b g = =

+ +

++

3 4 6

13 4 5

* Dato: G.A[F(x; y)] = 21

3n + 4 + 5 = 21 3n = 12 n = 4

∴ n = 4 Rpta.: D

2a + 5 = 3(a − 1)

2a + 5 = 3a − 3 a = 8

* Ahora: R = 2x2a·ya−7

R = 2·x16·y1

∴ Grado(R) = 16 + 1 = 17 Rpta.: D


P(x; y; z) = 8·xn+1·y6·z2n+3

G.R(z) = 13

2n + 3 = 13 n = 5

* Me piden: G.R.(x) = n + 1 = 5 + 1 = 6

Rpta.: B


P(x; y) = (x5·y2a)(xa·y3)

P(x; y) = xa+5·y2a+3

* Dato: G.A.[P(x; y)] = 20

a + 5 + 2a + 3= 20

3a = 12 a = 4 Rpta.: C


M x yaa= − 2 51 ·

M x ya

a a= − −2

15

1·

* Dato:

Grado(M) = 3 2

15

13

aa a−

+−

=


P(x; y) = (2a·xa−1·ya)3

P(x; y) = 23a·x3a−3·y3a

* Dato: Grado:[P(x; y)] = 3

3a − 3 + 3a = 3 6a = 6 a = 1

* Me piden:

Coeficiente = 23a = 23 = 8 Rpta.: B


P x x xm m( ) ·= 2 43

P x x x xm m m

( ) ·= =23 12

912

P x xm

( ) =34

* Como: P(x) ← 6to grado 34

6m =

m = 8 Rpta.: D


P(x) = x2 + 1

* Me piden: E P PP

= +( ) ( )( )

1 32

E =+ + +

+= + =

1 1 3 1

2 1

2 105

125

2 2

2

e j e je j

E = 12/5 Rpta.: E


P(x) = (x − 1)2 + 1

* Me piden:

M = P(0) +P(1) + P(2)

M = ((−1)2 + 1) +(02 + 1) + (12 + 1)

M = 2 + 1 + 2 = 5 Rpta.: A


P(x; y) = 13x2·y2n − 4(x·y2)4n − 5xn·y6

P(x; y) = 13x2·y2n − 4x4n·y8n − 5xn·y6

* Dato: G.A[P(x; y)] = 24

4n + 8 n = 24 n = 2 Rpta.: B


P xx x

x x

n n

n n( )

·

·=

−

−

2 1 5 3 2

1 2 9

e j e je j

P xx x

x x

x

x

n n

n n

n

n( )

·

·= =

−

−

−

−

10 5 6

2 2 9

16 5

11 2

P(x) = x5n−3

* Dato: Grado[P(x)] = 7

5n − 3 = 7 n = 2

Rpta.: B


M x yx y

x y

m n

n m( ; )·

·=

+ −

− −

2 5

2 5

M(x; y) = xm+n · ym−n

* Dato: G.R(x) = 5

m + n = 5 Rpta.: B


Q(x; y) = 17·x5·y2n−x3n·y7 + 6(x4·y3)5n

Q(x; y) = 17·x5·y2n−x3n·y7 + 6·x20n·y15n


A = m·xm+3·y2m+n

SemejantesB = n·x2n−1·y3m+1

m n

m n m+ = −

+ = +RST

3 2 12 3 1

2 41

n mn m

− =− =

RST mn

==

RST23

* Me piden:

A + B = m·xm+3·y2m+n+n·x2n−1·y3m+1

A + B = 2·x5·y7 + 3x5·y7

A + B = 5·x5·y7 Rpta.: B


P(x) = 4a·xa+1+ 2a·x1+a − 6x5

a + 1 = 5 a = 4

* Luego:

P(x) = 4(4)·x5 + 2(4)x5 − 6x5

P(x) = 16x5 + 8x5 − 6x5

P(x) = 18x5 Rpta.: C

* Dato: G.R(y) = 30

15n = 30 n = 2

* Me piden: G.R(x) = 20n = 20(2) = 40

Rpta.: B


P(x) = x2001 − 3x2000 + 1

* Me piden: P(3) = 32001−3·3200 + 1

P(3) = 32001 − 32001 + 1

P(3) = 1 Rpta.: E


f xxx

( ) = +−

2 21

* Me piden: f(f(3)) = f f2 3 2

3 14

×( )

+−

FHG

IKJ =

f(f(3)) = 2 4 2

4 110 3

×/

+−

= Rpta.: B

Resolución 19 Tenemos: R(x) = x + 2

* Dato: R(2n) = 4

2n + 2 = 4 2n = 2 n = 1

* Me piden: n2 = 12 = 1 Rpta.: D


P(x) = x2 + x − a2

* Luego: P(a) = 3

a2 + a − a2 = 3 a = 3

* Me piden: T.I. = −a2 = −32 = −9 Rpta.: E


5·xb + a·x3 = 11x3

5 11

3+ ==

RSTa

b a

b

==

RST6

3

* Me piden: a b+ = + =6 3 3 Rpta.: D

Resolución 24 Tenemos

P(x; y) = ab·xa−b+6·yb−2

* Dato:

• G.R(y) = 3 b − 2 = 3 b = 5

• G.A(P) = 6 a − b + 6 + b – 2 = 6

a + 4 = 6 a = 2

* Me piden: Coeficiente = ab = 25 = 32 Rpta.: D


P(x) = 4x5 + x3 + x + 1

* Me piden:

Grado[P(x)]4 = Grado[P(x)]·4

Grado[P(x)]4 = (5)·(4) = 20

∴ Grado[P(x)]4 = 20 Rpta.: C


P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

* Me piden: k = P(0) + P(1)

k = (1) + (4 + 3 + 2 + 1)

k = 1 + 10 = 11

∴ P(0) + P (1) = 11 Rpta.: C


M(x; y; z) = 2·xa−1·ya·z2a

* Luego: G.A(M) − G.R(x) = 9

(a − 1 + a + 2a) − (a − 1) = 9

3a = 9 a = 3

* Me piden: G.R(z) = 2a = 2(3) = 6

Rpta.: C

Resolución 28 Tenemos:n 3

3 n 3 3R(x) (n 2) x (n 2) x−

−= + ⋅ = + ⋅

Como:

R(x) ← 1er Grado n − =3

31 n = 6

* Me piden:

Coeficiente = n + 2 = 6 + 2 = 8 Rpta.: A


Grado P x

Grado Q x

( )

( )

=

=

RS|T|

5

4

* Me piden: Mayor

Grado[H(x)] = Grado[P4(x) + Q3(x)]

Grado[H(x)] = 4·Grado[P(x)] = 4(5) = 20

Grado[H(x)] = 20 Rpta.: C


P(x; y) = xm+2·yn+5+ xm+4·yn-1

−2·xm+3·yn+6

* Dato:

• G.A(P) = 12 m + 3 +n + 6 = 12

m + n = 3

• G.R(y) = 8

n + 6 = 8 n = 2

* En:

m + n = 3 m + 2 = 3 m = 1

* Me piden: G.R(x) = m + 4 = 1 + 4 = 5

Rpta.: C

Resolución 31 Tenemos:xya

= −== −

RS|T|

23

1

* Me piden:k y x

a= −

L

N

MMM

O

Q

PPP

= −

−

32

312

32

27 412

1

2 2

3·

b g

k = − = −32

461

69· Rpta.: C

Resolución 32 Tenemos: xym

= −= −= −

RS|T|

321

* Me piden:

E = (x − y − m) : (x2 + y3 + 2)

E = (−3 + 2 + 1) : (9 − 8 + 2)

E = (0) : (3)

E = 0 Rpta.: A


F(x) = (x − 1)2 + 10 = x2 − 2x + 11

F(a) = a2 − 2a + 11

* Ahora:

• F(x − 2) = (x − 2)2 − 2(x − 2) +11

F(x − 2) = x2 − 4x + 4 − 2x + 4 + 11

F(x − 2) = x2 − 6x + 19

* Reemplazando en:

kF x F x

x= − −

−( ) ( )2

2

kx x x x

x= − + − − +

−( ) ( )2 22 11 6 19

2

kx

x= −

−4 8

2Rpta.: E


F(x) = 3x−1 F(n) = 3n−1

* Luego:(x y) 1F(x y) 3

K3 3

+ −+= =

kx y

x y= =−

− −3 3 33

3 31

1 1· ··

k = F(x)·F(y) Rpta.: A


P x x a

R x x

( )

( )

= += −

RST2

2

* Dato: P(R(1)) = 8

P(1− 2) = 8

P(−1) = 8

2(−1) + a = 8 a = 10

Rpta.: B

* Me piden: ∆ = A − B = 18x8 − 14x8

∆ = 4x8 Rpta.: C


SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (Pág. 436, 437, 438)

NIVEL I


• P(x; y) = 5xy + 9xy − 2xy = 12xy

• Q(x; y) = 7xy − 5xy + xy = 3xy

* Me piden:

P(x; y) + Q(x; y) = 12xy + 3xy = 15xy Rpta.: C


k = 2a − a−[b−(2a − b)]−3a

k = 2a−a−(2b − 2a)−3a

k = 2a−a −2b + 2a − 3a

k = 2a−−2b = 2a + 2b

k = 2(a + b) Rpta.: D


k = a + (−2a + b) − (a + b − c) + a

k = a + −2a + b − a − b + c + a

k = a + −2a + c)

k = a − 2a + c = c − a

k = c − a Rpta.: D


( ) ( )10 sumados 20 sumados

x x ... x y y ...yK

x 2y

+ + + + + +=

+

k

x yx y

x y

x y= +

+=

++

=10 202

10 2

210

· b gb g

k = 10 Rpta.: B


5x3·4x5 = 20x8 = a·xb

* Comparando: ab

==

RST208

* Me piden: a + b = 20 + 8 = 28

Rpta.: D


A x x xB x x x

= == =

RST3 6 182 7 14

4 4 8

4 4 8··


• A(x; y) = x2y + 3x2y − 5x2y = −x2y

• B(x; y) = 6x2y − 4x2y + x2y =3x2y

* Me piden:

A(x; y) + B(x; y) = −x2y + 3x2y

A(x; y) + B(x; y) = 2x2y Rpta.: B


R(x; y) = x3y2 + 7x3y2 − 3x3y2 + 5x3y2

R(x; y) = 10x3·y2 = a·xn·ym

* Comparando: anm

===

RS|T|

1032

* Me piden: a + n + m = 10 + 3 + 2 = 15 Rpta.: D


F(x; y) = 5x4·y3 − 7x4·y3 + 6x4·y3 − 2x4·y3

F(x; y) = 2x4·y3 = axn·ym

* Comparando: anm

===

RS|T|

243

* Me piden: a + n − m = 2 + 4 − 3 = 3 Rpta.: B


6x2·y3·3x3·y3·2x2·y3 = 36x7·y9 = axn·ym

* Comparando:

anm

===

RS|T|

3679

a + n − m = 34

Rpta.: C


A = 3x2y − 6x2y + 7x2y A = 4x2y

B = 2xy·4x2 B = 8x3·y

* Me piden: A·B = (4x2y)(8x3y) = 32x5·y2

Rpta.: D


• A x x x x x x

veces

= = =2 2 2 2

10

2 10 20· · ...

e j

• B x x x x x x

veces

= = =· · ...

20

20 20

b g

* Me piden: A·B = (x20)(x20) = x40

Rpta.: C


kx y

x y

n n

n n=+ −

− −16

8

2 5

1 3·

· ·

k = 2x3·y2 Rpta.: B


x y

x yx y

n n

n na b

2 1 4 3

4 2 1

( ) ·

··

− −

− + =

x2(n−1)−(n-4)·y(4n−3)-(2n+1) = xa·yb

xn+2·y2n–4 = xa·yb

* Comparando: a nb n

= += −

RST2

2 4

* Me piden: 2a − b = 2(n +2) − (2n − 4)

2a − b = 2n + 4 − 2n + 4 = 8

Rpta.: D


A x y x y x y x y

B xy xy xy xy

= − + =

= − + =

RS|T|

6 5 3 4

7 8 2

2 2 2 2

2 2 2 2

* Me piden: A : B = (4x2y) : (xy2) = 4xy

A : B = 4x/y Rpta.: B


• M(x; y) = 6x3·y4 − 3x3·y4 + x3y4 = 4x3y4

• N(x; y) = 8x2y3 − 9x2y3 + 3x2y3 = 2x2y3

* Me piden:

(M:N)2 = (4x3y4 : 2x2y3)2 = (2xy)2

(M:N)2 = 4x2y2 Rpta.: B


P(x; y)=7xy2 − 3xy2 − 2xy2 = 2xy2

* Me piden: [P(x; y)]3 = (2xy2)3 = 8x3·y6

[P(x; y)]3 = 8x3·y6 Rpta.: D


Q(x; y) = 4x5·y − 6x5·y + 3x5·y = x5·y

* Me piden: [Q(x; y)]5 = (x5·y)5 = x25·y5

[Q(x; y)]5 = x25·y5 Rpta.: D

NIVEL II


2 2 2 2

2 2 2 2

P(x; y) 5x y 3x y 6x y 2x y

Q(x; y) 2xy 6xy 9xy 5xy

= + − =

= − + =

* Me piden:

P(x; y)·Q(x; y) = (2x2y)(5xy2) = 10x3·y3

P(x; y)·Q(x; y) = 10x3·y3

Rpta.: B


• M(x; y) = xy2 + 3xy2 − 6xy2 + 5xy2

M(x; y) = 3xy2

• N(x; y) = 11xy2 − 9xy2 + 3xy2

N(x; y) = 5xy2

* Me piden:

[N(x; y) - M(x; y)]·M(x; y)

= [5xy2 − 3xy2]·(3xy2)

= (2xy2)(3xy2) = 6x2y4 = 6(x·y2)2

Rpta.: D


• F(x; y; z) = 3xy2z + 6xy2z - 7xy2z

F(x; y; z) = 2xy2z

• P(x; y) = 8x3·y4 - 9x3y4 + 2x3y4

P(x; y) = 2x3y4

* Luego:

F(x; y; z)·P(x; y) = (2xy2z)(2x3y4)

axp·yq·zr = 4x4·y6·z

* Comparando: a p

q r

= == =

RST4 4

6 1

;

;

∴ a + p + q + r = 4 + 4 + 6 + 1 = 15

a + p + q + r = 15 Rpta.: E


• Q(x; y) = 11x4·y2 − 13x4·y2 + 6x4·y2

Q(x; y)= 4x4·y2

• P(x; y)= 8x3·y5 − 11x3·y5 + 7x3·y5

P(x; y) = 4x3·y5

* Dato: P(x; y) ·Q(x; y) = 16(xy)m

(4x3·y5)·(4x4·y2) = 16xm·yn

16x7·y7 = 16xm·ym

* Comparando: m = 7 Rpta.: C


P = a − 2b + [3c − 3a−(a + b)] + 2a−(b + 3c)

P = a − 2b + 3c − 3a −(a + b)+2a−(b + 3c)

P = a − 2b + 3c − 3a − a − b + 2a − b − 3c

P = a − −2a = a + 2a = 3a

∴ P = 3a Rpta.: B


k = 0,2x + 34

y +35

x − 0,25y

k x y x y= + + −15

34

35

14

k x y= +45

12

∴ k x y= +45

0 5, Rpta.: D


( ) ( )( )

15 sumandos 10 sumandos

2 2 2 2 2x y x y ... x y xy ... xyk

3x 2y

+ + + + +=

+

( ) ( )( )

( )( )

2 215 x y 10 xy 5xy 3x 2yk

3x 2y 3x 2y

+ += =

+ +

k = 5xy Rpta.: D


k = 2a + b − –a+[2a−(3b−a)]

k= 2a + b − −a + 2a − 3b + a

k = 2a + b − 2a − 3b

k = 2a + b − 2a + 3b = 4b

Rpta.: D


k = x− [x− y − (2x − y) + x − (−y)]

k = x− [x − y + (2x − y) + x + y]

k = x − [x − y + 2x − y + x + y]

k = x − [4x − y]

K = x − 4x + y

∴ k = y − 3x Rpta.: C


A x yB x yC y x

= + −= − −= − +

RS|T|

4 3 59 72 3 4

* Me piden:

A+B-C=(4x 3y-5)+(9-7x -y)-(2y -3x + 4)+

A + B − C = 4x + 3y − 5 +9 −7x − y − 2y + 3x − 4

A + B − C = 0 Rpta.: E


k a b a b a a b= − − − − + − −7 8 9 3 5e j k = a − b − 7a − [−8b + 9a − 3a + 5b]

k = a − b − 7a − [6a − 3b]

k = a − b − 7a − 6a + 3b

k = a − b − a + 3b

k = a − b − a − 3b = −4b Rpta.: C


• A x y x y x= − − − − + +

A = −x − [−y − x − y − x]

A = −x − [−2x − 2y]

A = −x + 2x + 2y A = x + 2y

• B y x y x y = − − − − + −

B = −y − [− x − y − x − y]

B = −y + x + y + x + y B = y + 2x

* Luego, cumple:

B − A = (y + 2x)−(x + 2y)

B − A = x − y Rpta.: B


• A = 12x3 · 7x2y4

A = 84x5 · y4

• B = 14x4 · y · 5xy3

B = 70x5·y4

* Me piden: ∆ = A − B = 84x5y4 − 70x5y4

∆ = 14x5·y4 Rpta.: E


(13xn+1 · y3+n)·(2x4-n · yn+6) = 26x5y13

26x5·y2n+9 = 26x5·y13

* Comparando:

2n + 9 = 13

2n = 4 n = 2 Rpta.: B


• A xy xy xy xy

veces

= 2 2 2 2

10

· · ...

A = (xy2)10 A = x10·y20

• B x y x y x y x y

veces

= 2 2 2 2

15

· · ...

B = (x2y)15 B = x30·y15

* Me piden: A·B = (x10·y20)(x30·y15)

A·B = x40·y35 Rpta.: C


(5x2·y6)(4x3·y4)·(6x5·y3) = axn·ym

120x10·y13 = axn·ym

* Comparando:anm

===

RS|T|

1201013

* Me piden: a nm+ = + =120 10

1310

Rpta.: A


• F(x; y)= 9x2y2 − 14x2y2 + 6x2y2

F(x; y) = x2y2

• Q(x; y) = 14x3y4 + 2x3y4 - 8x3·y4

Q(x; y) = 8x3y4

* Me piden: k = [F(x; y)·Q(x; y)]2

k = [(x2y2)·(8x3·y4)]2

k = [8x5·y6]2

k = 64x10·y12 Rpta.: B


• M(x; y)= 6xy5 + 8xy5 − 15xy5

M(x; y) = −xy5

• N(x; y) = −2x2·y3 + 6x2·y3 − 7x2·y3

N(x; y) = −3x2y3

* Me piden:

k = [(M(x; y) · N(x; y))2]2

k = [(−xy5 ·−3x2y3)2]2

k = [(3x3·y8)2]2 = (3x3·y8)4

k = 81x12 ·y32 Rpta.: B


kx y

x y

n n

n n=

FH

IK

FH

IK

− −

− −

315

445

3 2

4 1

· ·

· ·

k x y xy= =16 524 5

0 6//

· · ,

Rpta.: B


x y

x yxy

n n

n n

5 2 3 8

3 6 46

( ) ·

·

− −

− − = b g

x y

x yx y

n n

n n

5 10 3 8

3 6 46 6

− −

− − =·

··

x2n−4·y2n−4 = x6·y6

* Comparando: 2n − 4 = 6

2n = 10 n = 5

Rpta.: B

Resolución 11

x: el número

( )3x 325

5

−= − (x–3)3 = – 125

x – 3 = –5

∴ x = –2 Rpta.: B

CAPÍTULO N° 11

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE ECUACIONES (Pág. 464, 465, 466, 467, 468)

NIVEL I

Resolución 1

5x 4 x 12

7− = −

5xx 4 12

7− = −

5x 7x8

7

−= −

2x8

7− = −

2x8

7=

∴ x = 28 Rpta.: B

Resolución 2

5(2x–4) = 2(3x+4) 10x–20 = 6x+8

10x – 6x = 20+8

4x=28

∴ x = 7 Rpta.: C

Resolución 3

–13 – [3(x+2)+4] = 11 – [6(–2x–2)+1]

–13 – [3x+10]=11 – [–12x–11]

–13 – 3x – 10 = 11+12x+11 –15x = 45

∴ x = –3 Rpta.: A

Resolución 4

5[a + 10 – (2a+1)] = 3·(a–1) – 4(2a+5)

5[a + 10 – 2a – 1] = 3a – 3 – 8a – 20

5[9 – a] = – 5a – 23

45 – 5a = – 5a – 23

45 = –23

No hay solución Rpta.: E

Resolución 5

2 2y 3

=+ 1

4 32

+

1 17y 3 42

=+ +

1 2y 3 15

=+

15 = 2y + 6 9 = 2y

∴ 1

y 42

= Rpta.: A

Resolución 6

David Roberto Sergio

2(4a+3) 4a+3 4a

∴ David = 8a + 6 Rpta.: D

Resolución 7

8x+2(x+1)= 7(x–2)+3(x+1)+13

8x+2x+2 = 7x–14+3x+3+13

∴ 0 = 0 Rpta.: E

Resolución 8

Rpta.: E

Resolución 9

6x–820 = 40 880

6x = 41 700

∴ x = 6 950 Rpta.: D

Resolución 10

N: número

5N = 10 + 3N N = 5

x = 4N = 4·5

∴ x = 20 Rpta.: A

Resolución 12

x : el número

x x4

2 3= +

x x4

2 3− =

x4

6=

∴ x = 24 Rpta.: C

Resolución 13

Kiko Adrián

x – 14 x

x – 14 + x = 56 x = 35

Edad de Kiko = 35 – 14

Edad de kiko = 21 Rpta.: A

Resolución 16

4x 5x3 2

3 4− = −

4x 5x3 2

3 4− = −

16x 15x1

12

−=

x1

12=

∴ x = 12 Rpta.: E

Resolución 14

2x+19 = 7x5

3+

7x14 2x

3= −

x14

3= x = 42

x 42

6 6=

∴ x

76

= Rpta.: C

Resolución 15

8x 1 5x2

3 2 2+ = +

8x 5x 12

3 2 2− = −

16x 15x 4 16 2− −=

x 3

6 2= x = 9

∴ 2x = 18 Rpta.: C

Resolución 17

x : el número:

2 22x x x x x 3

· 4 : · 4 · · x2 3 3 4 3 x

= =

Rpta.: E

Resolución 18

x 3 x 5

6 2 2 3+ = +

3 5 x x

2 3 2 6− = −

9 10 3x x

6 6

− −= –1 = 2x

∴ 1

x2

= − Rpta.: D

Resolución 19

x 3 2x

6 4 3+ = +

3 2 xx

4 3 6− = −

9 8 6x x

12 6

− −=

15x

2=

1x

10=

Luego: 15x 5

10 =

∴ 1

5x2

= Rpta.: D

Resolución 20

1 1 1 1x 1 1 1 1 0

2 2 2 2

− − − − =

1 1 1 1x 1 1 1 0

2 2 4 2 − − − − =

1 1 1 3x 1 1 0

2 2 4 2 − − − =

1 1 3

x 1 1 02 8 4

− − − =

1 1 7x 1 0

2 8 4 − − =

x 71 0

16 8− − =

x 15

16 8=

∴ x = 30 Rpta.: E

Resolución 21

Sea x el número:

5x 10 x

3= +

5xx 10

3− =

2x10

3=

∴ x = 15 Rpta.: A

Resolución 22

Sea x el número de libros

El número de cuadernos es 4x

Del dato:

4x + 5 = 3(x + 5)

4x + 5 = 3x + 15

∴ x = 10 Rpta.: A

Resolución 23

Sean x; (x+1) los números consecutivos

( ) ( )x 5x x 1 x 1

4 3+ + = + +

x 5x 52x 1

4 3 3+ = + +

23x 52x 1

12 3+ = +

∴ x = 8

Los números son: 8; 9; 10 Rpta.: E

Resolución 28

Resolución 3

(6x+7)(5x–4) = 6(5x2– 1)

230x –24x + 35x – 28 = 230x – 6

11x = 28 – 6 11x = 22

∴ x = 2 Rpta.: B

3x 60m

5=

∴ x = 100m Rpta.: C

x + 15 = 4x

∴ x = 5 Rpta.: B

Resolución 5

(2n) + (2n+2) + (2n+4) = 54

6n + 6 = 54 6n = 48 n = 8

mayor = 20 Rpta.: C

Actual Dentro de 15 años

x +15

Resolución 24

Del enunciado:

2x – 5 = 3(x–5) 2x–5 = 3x–15 x = 10

Suma de edades actuales = x + 2x = 3x

Suma de edades actuales = 3· 10

∴ Suma de edades actuales = 30

Rpta.: D

Resolución 25

Sean x; y los números:

2x = 3y + 4 ....................................... (1)

x+y=3y x = 2y ....................... (2)

En (1):

2(2y) = 3y + 4 y = 4

En (2):

∴ x = 8 Rpta.: E

Resolución 26

x y3 4

= x 3y 4

= x 10 8y 15 5

+ =−

5x + 50 = 8y – 120

8y – 5x = 170

48 x 5x 170

3 − =

∴ x = 30 Rpta.: C

Resolución 27

Del dato : 48 + x = 2(18 + x)

∴ x = 12 años Rpta.: C

Resolución 29

2(x+3)+3(x+1) = 2(x+2)+5(x+1)

2x + 6 + 3x + 3 = 2x + 4 + 5x + 5

5x + 9 = 7x + 9 x = 0

∴ C.S = 0 Rpta.: B

Resolución 30

a2x – a = b2x – b

a2x – b2x = a – b x(a+b)(a–b) = (a–b)

∴ 1x

a b = +

Rpta.: E

NIVEL II

Resolución 1

2x – [3(x – 1)+(–1)4] = x(3 – 2)+(–4)2

2x – [3x – 3 + 1] = x + 16

2x – 3x + 2 = x + 16 2x = –14

∴ x = –7 Rpta.: D

Resolución 2

5x(8–x) – 3x(5–3x) = –26 – 2x(7–2x)

40x – 25x – 15x + 29x = –26 – 14x + 24x

40x – 15x + 14x = –26 39x = –26

∴ 2

x3

= − Rpta.: D

Resolución 4

x + 8 = 20

∴ x = 12 años Rpta.: A

Resolución 8

x – 5 = 12

∴ x = 17 años Rpta.: D


Actual Hace 5años

Resolución 6

n+(n+2)+(n+4) = 51

3n + 6 = 51 3n = 45

∴ n = 15 Rpta.: B

Resolución 7

Resolución 9

x + y = 45 ... (1)

y = x – 5

En (1):

x+ x – 5 = 45

∴ x = 25 Rpta.: B

Resolución 10

x–1; x ; x + 1 : los números consecutivos

2(x–1) = 3(x+1) – 57 2x–2 = 3x+3–57

x = 52

Entonces los números son:

51; 52; 53

mayor Rpta.: A

Resolución 11

x ; x+2 ; x+4 : números impares consecutivos

(x+2)+(x+4) = 85+(x) x = 79

Los números son:

79; 81 ; 83 Rpta.: E

Resolución 12x x x

23 4 2

+ = + x

212

=

∴ x = 24 Rpta.: D

50 + x = 3(10 + x)

50 + x = 30 + 3x


Resolución 14

Sea x el número

5x – 7 = 3x + 3

2x = 10

∴ x = 5 Rpta.: C

Resolución 13

Resolución 15

4(x–5) = 2(x+7) 4x–20 = 2x+14

∴ x = 17 Rpta.: B

Resolución 16

42 x12 x

4−− =

48 – 4x = 42 – x

∴ x = 2 años Rpta.: B

Resolución 17

42 + x = 3(12 + x)

42 + x = 36 + 3x


Resolución 18

x + 5 = 2(x – 4)

x + 5 = 2x – 8


Actual Hace x años

Dentro de x años

Actual


Resolución 28

1 1 x x x 12 3 5 3 2 5

+ − = + −

1 1 1 x x x2 3 5 2 3 5

+ + = + +

15 10 62· 3· 5+ + 15x 10x 6x

2· 3· 5+ +=

31 = 31x → x = 1

∴ x = 1 Rpta.: B

Resolución 20

Vendí: x x x8 6 5

+ +

Quedan: x

12

+

x x x x1 x

8 6 5 2+ + + + =

( )x 15 20 24 60 120x

120

+ + + +=

119x + 120 = 120x

∴ x = 120 Rpta.: D

Resolución 21

xf

y= ............................................... (1)

x = y + 2 ........................................... (2)

y 2 1

y 7 2

+ =+ 2y + 4 = y + 7

y = 3

En (2): x = 3 + 2

x = 5

En (1):

∴ 5

f3

= Rpta.: D

Resolución 22

Resolución 23

7x 4x2

8 5= +

7x 4x2

8 5− =

35x 32x2

40

−=

∴ 80

x3

= Rpta.: C

Resolución 24

Sea x el número:

(x+12)(x–5) = (x2+31)

x2 + 7x – 60 = x2 + 31

∴ x = 13 Rpta.: B

Resolución 25

Sea x boletos vendidos a los estudiantes

(900–x): boletos vendidos a las otras personas

0,75x + 1,25(900–x) = 950

0,75x + 1125 – 1,25x = 950

∴ x = 350 Rpta.: A

Resolución 26

1 1 2 2m

1 2

Px P xP

x x+=+

← precio medio

x : café de clase 1

20 – x = café de clase 2

5,4 = ( )6x 5 20 x

20

+ − x = 8

20 – 8 = 12

8 y 12 kilos Rpta.: B

Resolución 27

Sea x el número

x3x 48

3= +

8x48

3=

∴ x = 18 Rpta.: A

x + y = 65 .......................................... (1)

y+10 = ( )5x 10

12+ 12y + 120 = 5x + 50

5x – 12y = 70 .................................. (2)

De (1) y (2)

∴ x = 50 años Rpta.: B

Resolución 19

Sea x el número de lápices.

2x el número de lapiceros.

2x + 7 = 3(x+1) 2x + 7 = 3x + 3

x = 4

∴ Tengo 8 lapiceros Rpta.: B

Resolución 32

du 9 ud+ =10d + u + 9 = 10u +d 9 = 9(u – d)

∴ u – d = 1 Rpta.: A

x – 28 = 3(x–106)

x–28 = 3x – 318

∴ x = 145

Rpta.: A

Resolución 36

3 10x 7 1 1 4x 2 7x 75 9 6 2 3 5 7 8 3

− + − = −

2x 7 1 2x x 2

3 10 6 5 4 3− + − = −

2x 2x x 7 1 23 5 4 10 6 3

− − = − −

40x 24x 15x 21 5 2060 30

− − − −=

∴ x= –8 Rpta.: B

Resolución 29

1° día : x

2° día : 3

x5

3° día : 3 3 9

x x5 5 25

=

3 9xx x 147

5 25+ + = x = 75

El 2° día ganó: 3x 3 75

5 5

×=

∴ El 2do día ganó : S/. 45 Rpta.: C

Resolución 30

(2x+1)(7x+3) = (x+1)(14x+6)

214x 6x+ + 7x + 3 = 214x 6x+ + 14x + 6

–3 = 7x

∴ 3

x7

= −

Rpta.: D

Resolución 31

2x – 15 = x 10 3x 5

3 2+ +−

2x – 15 = 2x 20 9x 15

6+ − −

6(2x – 15) = 5–7x 12x – 90 = 5 – 7x

19x = 95

∴ x = 5 Rpta.: E

Resolución 33

x – y + 60 = 4y – 50

x 5y 110

x y 70

− = − + =

x 40

y 30

==

x· y = 40· 30

∴ x· y = 1200 Rpta.: B

Resolución 34

Sea x el número

4x – 40 = 40 – x

5x = 80 x = 16

Luego: x 16=

∴ x 4= Rpta.: D

Resolución 35

Resolución 37

x – 8 = 4(y + 12)

x – 4y = – 24 ................................. (1)

x + 12 = 2(y + 12)

x – 2y = 12 ..................................... (2)

Resolviendo (1) y (2):

x 48y 18

== Rpta.: C

x – 8y – 8

xy

x + 12y + 12

SofíaMaría

( )2x 4 y 4

3− = −

3x – 2y = 4 ....................................... (1)

x + 8 = ( )5y 8

6+

6x – 5y = –8 ...................................... (2)

Resolviendo (1) y (2)

∴ x 12y 16

== Rpta.: B

Resolución 38


SOBRE INECUACIONES (Pág. 479, 480, 418, 482)

NIVEL I

Resolución 1

a) 2 – 3x ≤ 9 – 4x

4x – 3x ≤ 9 – 2

x ≤ 7

∴ C.S = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Rpta

b) 5x – 2 < 2x + 10

3x < 12

x < 4

∴ C.S = 0; 1; 2; 3 Rpta

c) x – 2 < 10 + x

2

x – 2 < 20 x

2+

2x – 4 < 20 + x

x < 24

∴ C.S = 0; 1; 2; 3; ..... ; 23 Rpta

Resolución 40

x : parte mayor

60 – x : parte menorDel dato:

3x – 100 = 200 – 8(60 –x)3x – 100 = 200 – 480 + 8x∴ x = 36 Rpta.: D

Resolución 41

x : N° filas7x + 5: N° niños(x +3) 6 – 7 : N° niños

Entonces:7x + 5= (x+3)6 – 7 x = 6N° niños =7· 6 + 5

∴ N° niños = 47 Rpta.: B

x 10 4x 3x2

3 5 2++ = +

∴ x = 0 Rpta.: C

Resolución 39

4 x 2 x 5 x 13x5 2 3 4 8 2 3

3 1 5 1 25 2 16 6

+ + +− + = +

8 5x 8 3x 10 8x 3x2

6 6 5 2+ + +− + = +

Resolución 42

Hoy gané : xAyer gané : x + 30

( )3x x 30

5= +

5x = 3x + 90

x = S/.45 Rpta.: C

Resolución 43

x :niñas

2x : niños

x 6 : niñas

2x 6 : niños

− −2x – 6 = 3(x – 6)2x – 6 = 3x – 18 x = 12N° niños = 2x

∴ N° niños = 24 Rpta.: D

Resolución 44

x : N° de manzanas

x x3

10 12= +

12x = 10x + 360

∴ x = 180 Rpta.: D

d) 2x + 3 > 3(x –2)

2x + 3 > 3x – 6

6 + 3 > 3x – 2x

9 > x

∴ C.S = 0; 1; 2; ... ; 8

e) 3x – 4 < 2x + 6

x < 10

∴ C.S = 0; 1; 2; ...; 9

f) 3x + 6 > 6x – 12

18 > 3x

6 > x

∴ C.S= 0; 1; 2; 3; 4; 5

g) 2(x+1)+3 > 5(x – 2) + 7

2x + 2 + 3 > 5x – 10 + 7

2x + 5 > 5x – 3

8 > 3x

8x

3< ó x 2,6<

∴ C.S = 0; 1; 2

h)3

x 3 2 x2

− ≤ −

3x – 6 ≤ 4 – 2x

5x ≤ 10 x ≤ 2

∴ C.S =0; 1; 2

i)9 2

x 3 x 117 7

+ < +

9x + 21 < 2x + 77

7x < 56

x < 8

∴ C.S= 0; 1; 2; ... ; 7

Resolución 2

a) 12x – 1 < 3x – 37 9x < –36 x < –4

∴ S= x / x 4∈ < −

b) 3x – 7 < 5x + 9 –16 < 2x –8 < x

∴ S= x / x 8∈ > −

c) 8x – 9 < 21 – 7x 15x < 30 x < 2

∴ S = x / x 2∈ <

d) 3x – 8 < 5(2x – 3) 3x – 8< 10x –15

7<7x 1< x

∴ S = x / x 1∈ <

e) 2(x+1)+7≤ 17 2x + 2 + 7≤17 x ≤ 4

∴ S = x / x 4∈ ≤

f)x 3 x 1

24 3− −< + 3(x – 3) < 4(x + 5)

3x – 9 < 4x + 20 –29 < x

∴ S= x / x 29∈ > −

g) 3x 2 3x 42

2 5

− −< − 5(3x – 2) < 2 (3x – 14)

15x – 10 < 6x – 28 x < –2

∴ S = x / x 56∈ < −

h) x x3 4

7 8+ ≥ + 8(x + 21) ≥ 7(x + 32)

8x +168 ≥ 7x +224 x ≥ 56

∴ S x / x 56= ∈ ≥

i)x 1 x

76 3 2

+ < + x + 42 < 2 + 3x

40 < 2x 20 < x

∴ S= x / x 20∈ >

j)x x x

6 x2 5 10

+ + ≥ − 5x +2x +60 ≥ 10x – x

60 ≥ 2x 30 ≥ x

∴ S= x / x 30∈ ≥

k)2x x 5x

117 3 14

+ − > 12x 14x 15x

1142

+ −>

11x > 11· 42 x > 42

∴ S = x / x 42∈ >

l)x 3 x 7

410 5

− +< + 5(x–3) < 10(20 + x + 7)

x – 3 < 40 + 2x + 14 –57 < x

∴ S = x / x 57∈ > −

b)

( )

x x 12

5 66x 5 x 1

230

6x 5x 5 60

11x 55 x 5

++ >

+ +>

+ + >> >

Luego: x = 6; 7; 8; ...

Nos piden el menor par de números con–secutivos

∴∴∴∴∴ El menor par de números son 6 y 7

c) ( )7 4x 5 23x 5

28x 35 23x 5

28x 23x 35 5

5x 30 x 6

− > −− > −

− > −> >

Los valores que toma x son:

7; 8; 9; 10; ...

Pero x debe ser el menor∴∴∴∴∴ Menor número natural = 7

d) ( ) ( )7 x 2 4 5x 9 4

7x 14 20x 36 4

26 13x 2 x

− ≥ − −− ≥ − −

≥ ≥

Los valores que toma “x” son: 2; 1 y 0

Pero “x” debe ser el mayor

∴∴∴∴∴ Mayor natural = 2

e)x x

21 226 7+ < +

( ) ( )

x 126 x 1546 7

7 x 126 6 x 154

7x 882 6x 924 x 42

+ +<

+ < ++ < + <

Los valores que toma “x” son:

41; 40; 39; 38; ...

Pero “x” debe ser el mayor

∴∴∴∴∴ Mayor natural = 41

Resolución 3

a) Pedro tiene 3 años más que Juan y la suma de susedades es menor que 27

b) 12 veces un número, no excede de 36.

c) El quíntuplo de un número es mayor o igual que di-cho número aumentado en 40.

d) El triple del número, aumentado en uno, es menorque 16.

e) La mitad de un número, disminuido en 3 no excedede 5.

f) La suma de tres números consecutivos es menorque 26.

b) 8 5x 45− >

5x 45 8

5x 37

375x 37 x

5

− > −− >

< − < −

= ∈ < −

37

C.S. x / x5

Los números enteros que satisfacen la inecuación

serán menores que 375

− y ellos son: –7; –8; –9; ...

c) 2x 7 80−

2x 80 7

872x 87 x

2

+

= ∈

87

C.S. x / x2

Resolución 5

a) 5 7x 40

7x 35 x 5

+ << <

Pero, x debe ser el mayor valor entero.

x 4∴ =

Resolución 4

a) 10 3x 30+ <

3x 30 10

3x 20

20x

3

< −<

<

(enunciado abierto)

(enunciado abierto)

(enunciado abierto)

(enunciado abierto)

= ∈ <

20

C.S. x / x3

Los números naturales menores que 203

son:

6; 5; 4; 3; 2; 1 y 0

d) 5 x 20+

x 20 5 x 15−

= ∈ C.S. x / x 15

f)

( ) ( )

4x 9 3x 65 4

4 4x 9 5 3x 6

16x 36 15x 30 x 6

+ +<

+ < ++ < + < −

-7 -6

98

29 30 31

∴∴∴∴∴ Mayor entero = -7

g)

( )

( ) ( )

2x 1 1 2x 104

3 4 84 2x 1 3 32 2x 10

12 88 8x 4 3 12 32 2x 10

64x 56 264 24x

40x 320 x 8

− −− > +

− − + −>

− − > + −− > +

> >

∴∴∴∴∴ Menor entero = 9

11x 5x x26

5 6 266x 25x 15x

2630

− − <

− − <

26x 26 30

26 30x

26

< ⋅⋅<

x 30<

3x x 7x 1

4 7 842x 8x 49x

156

+ − <

+ − <

∴∴∴∴∴ El mayor entero = 29

i)

h)

55 56 57

x1 x 56

56< <

∴∴∴∴∴ El mayor entero = 55

j) N° de lapiceros de S/. 3 = xN° de lapiceros de S/. 4 = y

Si x = 3y ... (1)

Se plantea que:

( )3 x 4y 780

3 3y 4y 780

13y 780 y 60

+ ≤+ ≤

≤ ≤

Luego: x = 3(60) ∴∴∴∴∴ x = 180

k) N° de platos de S/. 9 = xN° de platos de S/. 7 = 2x

Luego:

( )9x 7 2x 414

23x 414 x 18

x 18

+ ≥≥ ≥

∴ =

Resolución 6

–4 ≤ x ≤ 6

Resolución 12

5 < x < 7

5 + 3 < x + 3 < 7 + 3

8 < x + 3 < 10

∴ x + 3 = 9 Rpta.: E

x = –4; –3; –2;–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

∴ Suma = 11 Rpta.: C

xmáx = 5 Rpta.: D

∴ x = 8 Rpta.: B

Suma = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

∴ Suma = 27 Rpta.: C

⊗

NIVEL II

Resolución 1

a + 5 ≥ 0

a + 5 + 6 ≥ 6

a + 11 ≥ 6

∴ a + 11 = 6 Rpta.: C

Resolución 2

a – 3 ≤ 0

a ≤ 3

2a ≤ 6

2a + 1≤ 6 + 1

∴ 2a + 1 = 7 Rpta.: C

Resolución 3

x 3 ; 9∈

Resolución 4

x 2 ; 6∈ −

–2 < x < 6

–6 < 3x < 18

–6–2 < 3x – 2 < 18 – 2

–8 < 3x – 2 < 16

∴ (3x – 2)mínimo = –7 Rpta.: D

Resolución 5

2 ≤ x ≤ 7

Resolución 7

x + 8 < 3x + 4

4 < 2x

2 < x Rpta.: B

Resolución 8

4x – 56 ≤ 16 – 2x

6x ≤ 72

x ≤ 12

∴ xmayor = 12 Rpta.: A

Resolución 9

x 2 ; 3∈2 < x < 3

2 + 5 < x + 5 < 3 + 5

∴ 7 < x + 5 < 8

∴ ( )x 5 7 ; 8+ ∈ Rpta.: C

Resolución 10

[ ]x 2 ; 5∈2 ≤ x ≤ 52 – 3 ≤ x – 3 ≤ 5 – 3

–1 ≤ x – 3 ≤ 2

∴ (x – 3)mínimo = – 1 Rpta.: C

Resolución 11

( ) [ ]x 3 3 ; 7+ ∈

3 ≤ x + 3 ≤ 7

3 – 3 ≤ x + 3 – 3 ≤ 7 – 3

0 ≤ x ≤ 4

∴ x = 4 Rpta.: D

Resolución 13

x + 2 ≤ 7 x ≤ 5

∴ xmáx = 1 Rpta.: A

Resolución 15

–4 < x < –2

x = – 3

2x + 3 = 2(–3) + 3

∴ 2x + 3 = – 3 Rpta.: C

Resolución 16

2x 6 2x 4 37 4 8 2

−+ > +

82

(8x 42) 28+ >7

[2x 4 12]− +

16x + 84 > 14x + 56

2x > –28

∴ x > –14 Rpta.: C

⊗

Resolución 14

x + 3 < 5 x < 2

Resolución 17

Rpta.: B

Resolución 18

Sea “x” la edad de Sara

2x – 17 < 35 x < 26

x

2+ 3 > 15 x > 24


Resolución 19

x < 12 x = 11

y > 4 y = 5

3x – 2y = 3· 11 – 2· 5

∴ 3x – 2y = 23 Rpta.: D

∴ x = 9 Rpta.: D

Resolución 21

Sean (x) y (x + 1) los números conse-cutivos

x 1 x3

2 3

+ + > 3x + 3 + 2x > 18

⊗

Resolución 20

3x x 5x2

4 3 6+ − >

x > 3

∴ x = 5 Rpta.: B

Resolución 22

1 x 33 2x x

4 5 4 − − ≥ +

5 4x 3 4x3 2x

20 4− + − ≥

15 – 12x – 40x ≥ 15 + 20x

∴ 0 ≥ x Rpta.: C

Resolución 23

1 12 2x 3 4x x

2 2 − + − >

1 4x 8x 12 3 x

2 2− − + >

2 – 8x + 24x – 3 > 2x

14x > 1

∴ 1

x14

> Rpta.: B

Resolución 24

4[5 – 2(1 – x)] + 2(x – 1) > 0

20 – 8 + 8x + 2x – 2 > 0 10x > –10

∴ x > – 1 Rpta.: C

Resolución 25

4 2x x 4x

3 2

+ −− >

2(4 + 2x) – 3(x – 4) > 6x

8 + 4x – 3x + 12 > 6x

20 > 5x

4 > x Rpta.: D

9x 4x 10x2

12

+ −>

3x2

12>

x2

4>

x > 8


3φ + 40 + 2φ = 90°

5φ = 50° φ = 10°

Rpta.: A

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO

SOBRE RECTAS Y ÁNGULOS (Pág. 513, 514, 515, 516)

NIVEL I


* Luego: 12 + x = 25 x = 13Rpta.: D


Resolución 6 Sea el ángulo: θ

* Luego: θ = S(θ) θ = 180 − θ

2θ = 180° θ = 90° Rpta.: B

CAPÍTULO N° 12

* Como:

• M← punto medio de AB AM = MB = 3

• N← punto medio de CD CN = ND = 4

* Me piden: x = MB + BC + CN x = 3 + 5 + 4 x = 12

Rpta.: C


* Como: C ← punto medio de AD:

AC = CD4 + x = 14 x = 10 Rpta.: A

* Dato: AC + BD = 20 (m + 5) + (5 +n) = 20

m + n + 10 = 20 m + n = 10

* Me piden: AD = m + n + 5 = 10 + 5 = 15Rpta.: C

* Luego: x + 2x + 183x = 18 x = 6 Rpta.: B


x + 40 = 70

x = 30°

Rpta.: D


3x + 40 + x = 180°

4x = 140 x = 35° Rpta.: E


* Como: B ← bisectriz ∠) DOA m∠) DOC = θ m∠) AOB = θ + 24

* Además m∠) AOD = 120°

θ + 24 + θ + 24 = 120

2θ + 48 = 120

2θ = 72 θ = 36°

* Me piden:

m∠) COD = θ = 36° Rpta.: C




* En el gráfico:

θβ

+ ° = °+ ° = °

130 180110 180

50

70

θ = °β = °

* Me piden: x = θ + β (Por propiedad)

x = 50 + 70

x = 120° Rpta.: C

* Como:

1L // L φ + 4φ = 180°

5φ = 180° φ = 36°

* Además: x + φ = 180°

x + 36° = 180° x = 144°

Rpta.: E

* Como:

•2 3L // L θ = 30°

•1L // L x = θ x = 30°

Rpta.: C

* Como:

1L // L (3x +10) + (2x+30) = 180°

5x + 40 = 180° 5x = 140°

x = 28°

Rpta.: D

* Como:

• 2 3L // L θ = x

• 1L // L θ + y = 180° x + y = 180°

Rpta.: B





NIVEL II


* Luego; en el gráfico:

mn

+ =+ =

4 74 9

mn

==

35

* Me piden:

AD = m + n + 4 = 3 + 5 + 4 = 12

Rpta.: C

* En el gráfico:

x nx m

+ =+ =

78

n xm x

= −= −

78

* Dato: AD = 4BC

m + n + x = 4x

(8 − x) + (7 − x)+ x = 4x

15 = 5x x = 3

Rpta.: B



• m∠) AOD = 180°

120° + β = 180° β = 60°

* Me piden: x = θ + β x = 45° + 60° x = 105°

Rpta.: D

* Dato:

m∠) AOC + m∠) BOD = 265°

(θ + x) + (β + x) = 265°

(θ + x + β) + x = 265 ... (I)

* Como: AOD ← ángulo llano

θ + x + β = 180° ... (II)

* Reemplazando (II) en (I):

180 + x = 265

x = 85° Rpta.: B

Resolución 8 veamos:

6x + 3x + 5x + 4x = 360°

18x = 360° x = 20°

Rpta.: A


* Como: OC ← bisectriz BOD

m∠) BOC = m∠) COD = θ

* Ahora: • m∠) BOD = 90°

θ + θ = 90° θ = 45°

* Sea: CD = n ∧ BC = x

* Como: B ← punto medio de AD

AB = BD = n + x

* Dato: AD = 2·CD + 10

2(n + x) = 2(n) + 10

2n + 2x − 2n = 10 x = 5

Rpta.: C

2a + 3a + 7a = 24

12a = 24 a = 2

* Me piden: AB = 2a = 2(2) = 4

Rpta.: B

* Como:

M ← punto medio de BC BM = MC = n

* Dato: AB + AC = 12

m + (m + 2n) = 12

2(m + n) = 12 m + n = 6

* Me piden: AM = m + n AM= 6 Rpta.: D

* Como:

• OM bisectriz de AOB ∧ AOB = 20°

γ = 10°

• ON bisectriz de COD ∧ COD = 30°

θ = 15°

* Me piden:

m∠) MON = γ + 50 + θ = 10 + 50 + 15 = 75 Rpta.: E





* En el gráfico:

• m∠) COE = 90 °

θ + 2x = 90° θ = 90° − 2x

• m∠) AOD = 180°

x + 4x + θ = 180°

5x + (90° − 2x) = 180°

3x = 90° x = 30° Rpta.: A

* Como:

• 1 2L // L φ + 140° = 180° φ = 40°

• 2L // L x + 2φ = 180°

x + 2(40°) = 180°

x = 100° Rpta.: C




* En el gráfico:

• θ + φ = 180°

* Dato:

• φ – θ = 36°

180

36

θ + φ = °φ − θ = ° 2φ = 216° φ = 108°

* En: θ + φ = 180°

θ + 108° = 180° θ = 72°

Rpta.: C

* En el gráfico:

• 130° + θ = 180° θ = 50°

• θ + x = 90° (Por propiedad)

50° + x = 90°

x = 40° Rpta.: D


* En el gráfico:

• θ + 105° = 180° θ = 75°

* Como: 1L // L x = 65° + θ

x = 65° + 75° = 140°

Rpta.: E



* Como:

1L // L (6 + φ)·x = (φ + x)·6

6x + φx = 6φ + 6x

φx = φ·6

x = 6 Rpta.: C


• m∠) BOD = 90°

θ + x = 90°

30° + x = 90° x = 60°

Rpta.: C

* Dato:

• m∠) AOC + m∠) BOD = 105°

(θ + x) + (x + α) =105°

α + θ = 105° − 2x ... (I)

* En el gráfico:

• m∠) AOD = 6x

θ + x + α = 6x α + θ = 5x ... (II)

* Reemplazando (II) en (I):

5x = 105° − 2x

7x = 105° x = 15° Rpta.: B

* En el gráfico:

• m∠) AOC = 180°

φ + 3φ = 180° φ = 45°

• m∠) BOD = 180°

φ + x = 180°

45° + x = 180° x = 135°

Rpta.: B

x + 90° + 55° + 90° = 360°

x + 235° = 360°

x = 125° Rpta.: A

* En el gráfico:

• γ = 3φ

• m∠) BOC = 90°

BOD − COD = 90°

8φ − γ = 90°

8φ − 3φ = 90° φ = 18°

* Dato: m∠) AOD = 102°

(x − φ) + x + ( x + φ) = 102°

3x = 102° x = 34°

Rpta.: B


x + 90° + 75° + 90° = 360°

x + 255° = 360°

x = 105° Rpta.: E


* En el gráfico:

• m∠) AOC = 180°

150° + θ = 180° θ = 30°





* Además:

• m∠) COE = 180°

γ + x = 180°

3φ + x = 180°

3(18°) +x = 180° x = 126°

Rpta.: C


* Como: • 1L // L

θ + 120° = 180° θ = 60°

* Ahora: • ∆ABC:

130° = x + θ 130° = x + 60° x = 70°

Rpta.: E


* En el gráfico:

• θ = 54°

• α + 138° = 180° α = 42°

* Como : 1L // L x = α + θ

x = 42° + 54° = 96°

Rpta.: D


* Como: 1L // L θ = 100°

* ∆ABC: x = 40° + θ x = 40° + 100° = 140° Rpta.: E


* En el gráfico:

• 2φ + 30° = φ + 50° φ = 20°

* Como: 1L // L x = 2φ + 30°

x = 2(20°) + 30 = 70°

Rpta.: C


* En el gráfico:

• m∠) BOD = 90°

2α = 90° α = 45°

m∠) AOE = 180°

x + α + 20° = 180°

x + 45° + 20° = 180° x = 115°

Rpta.: A


90° + x + 2x + 3x + 3x = 360°

90° + 9x = 360°

9x = 270°

x = 30°

Rpta.: C


* Me piden:

S = S ABCD – S BAM – S CDM

S = (2)(4)–( ) ( )2 22 2

4 4

π π−

S = 8 – π – π = 2(4 – π) Rpta.: A

CAPÍTULO N° 13

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE

ÁREAS Y PERÍMETROS (Pág. 552, 553, 554)

NIVEL I


* Dato:

• S 16 3=

2 3· 16 3

4= 2 = 64 = 8

* Luego: Lado ∆ = = 8cm Rpta.: D


* Me piden:

• S = S ABCD – S AMND

S = (10)(8) – 1

2(6+10)(4)

S = 80 – 32 = 48cm2 Rpta.: A


* Dato:

• Perímetro = 24

4 = 24

= 6

* Me piden:

• S = 2 = 62

S = 36cm2

Rpta.: B


* Me piden:

• S = S∆ABE + S EBCD

S = 22 3

2 · 24

+

S = 3 4+ Rpta.: D


* Me piden:

• S = S ABDE – S∆ABM – S∆DEN

S = (3)(10) – ( )( ) ( )( )1 13 4 3 6

2 2−

S = 30 – 6 – 9 = 15

∴ S = 15 Rpta.: D


* Me piden:

• Perímetro(S ) = long. MN + long. NP

+long PQ + long MQ

Perímetro(S ) = ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 42 2 2 2

π π π π+ + +

Perímetro(S ) = 8π Rpta.: C

* Dato:

• Perímetro ABCD = Perímetro∆MNP

9(4) = 3() = 12

* Me piden:

• Lado ∆MNP = = 12cm Rpta.: D


* Me piden:

• S ABCD = 4(4+2) = 24

S ABCD = 24 cm2 Rpta.: C



* Dato:

• S∆ABC = 27

12

(h)(h + 3) = 27

h(h + 3) = 54

h·(h + 3) = 6 ·(6 + 3)

* Comparando : h = 6 Rpta.: C

* Dato:

• BD = 12

• BD

AC2

=

AC = 6

* Me piden:

• S ABCD = 12

(AC)(BD)

S ABCD = 1

2(6)(12) = 36 Rpta.: B



* Como:

• ABCD ← Paralelogramo

m BAD m BCD 60 rad

3AB CD 6

π = = ° = = =

* Me piden: S = 26

· 63 2π = π Rpta.: B

* Dato:

• BC = 2AB AB CD a

BC AD 2a

= = = =

• Perímetro ABCD = 60

2(a + 2a) = 60 a = 10

* Me piden:

• Lado menor = a = 10 Rpta.: C


* Me piden:

Perím. ABC 3 3K

Perím. MNPQ 4 4∆= = =

Rpta.: D

* Me piden:

• S = S AOB – S

S = ( ) ( )

224

22

π− π

S = 8π – 4π = 4π Rpta.: A

* En el gráfico:

∆ABH ← Notable 60°

Como: AB = 6 BH 3 3

AH 3

=

=

• HD = BC HD = 3

* Me piden:

S = SABCD – S BAD

S = ( ) ( )263 6· 3 3 ·

2 3 2+ π −

S = 27

3 62

− π Rpta.: E


* Me piden:

• Perímetro(S ) = 2(15 + 13) = 56

Perímetro(S ) = 56 Rpta.: D

* Me piden:

• S = S AOB – S MON

S = ( ) ( )2 26 2

4 4

π π−

S = 9π – π = 8π Rpta.: A



NIVEL II




* Me piden:

• S = S∆PBR + S∆PAR

S = 1

2(PR)(BM) +

1

2(PR)(AM)

S = 12

(6)(3) + 12

(6)(3) = 18

∴ S = 18 Rpta.: E

* En el gráfico:

• AM = MB = a AB = 2a

• BN = NC = b BC = 2b

• AP PD c

DQ QC d

= = = =

AC = 2(c + d)

* Dato:

• AB = 5 2a = 5

• BC = 6 2b = 6

• AC = 7 2(c + d) = 7

a 5/ 2

b 3

c d 7 / 2

= = + =

* Me piden:

• Perimetro(S )= AB BC CD DA+ + +

Perímtro(S ) = π· a + π·b + π·d + π·c

Perímetro(S ) = π·(a + b + c + d)

Perímetro(S ) = π· 52

+ 3 +72

= 9π

Perímetro(S ) = 9π Rpta.: B


* En el gráfico:

• AM = 2a

• MN = 2b

• NP = 2c AB = 2(a + b + c + d + e) = 2R = 20

• PQ = 2d R = (a + b + c + d + e) = 10

• QB = 2e

* Me piden:

•Perímetro(S ) = AB AM MN NP PQ QB+ + + + +

Perímetro (S ) = π·R+π·a+π·b+π·c+π·d+π·e

Perímetro (S ) = π·R+π·(a+b+c+d+e)

Perímetro(S ) =π·(10) + π·(10) = 20π

∴ Perímetro(S ) = 20π Rpta.: B


• AM = AB = 6

• AM = 12

• AC = 12

AM + MC = 12

6 + MC = 12

MC = 6


* Me piden:

• S = S MAB + S MC

S ( ) ( )2 26 · 3·

3 2 2

ππ +

S = 9

6 10,52

ππ + = π Rpta.: A



* Dato:

• BE

kEC

= BE n·k

EC n

= =

* Luego:

• AD = BC AD = nk + n

* Me piden:

( ) ( ) ( )

( )( )

nk nk n· h

2Área ABED1Área DEC · n h2

+ + =

nÁrea ABEDÁrea DEC

=( ) ( )2k 1 h+

n ( )h2k 1= +

∴ Área ABED

2k 1Área DEC

= + Rpta.: C


* Como:

• AB = 6 AM = MB = 3

* Luego:

• Radios = 3

* Me piden:

•Perímetro(S ) = AB BC CD DE EF FA+ + + + +

Perímetro(S ) = 3π + 3π + 3π + 3π + 3π + 3π

∴ Perímetro(S ) = 18π Rpta.: C


* En el gráfico:

• S∆AMQ = S∆MRQ = S∆QPR = S∆QDP

= S∆NRP = S∆NCP = S

• S∆MBNR = 25

* Dato:

• Lado ABCD = 4 S ABCD = 16

8S = 16 S = 2

* Me piden:

• S = 3S = 3(2) = 6 Rpta.: D

* Como

• AM = MN = NC

S∆ABM = S∆MBN = S∆NBC = S

* Dato:

• S∆ABC = 42 3S = 42 S = 14

* Me piden: S = S = 14 Rpta.: B

* Dato: S∆ABC = 40

* Por propiedad:

• S ABD S ABC

AD AC∆ ∆=

S 40

3K 5K= S = 24 Rpta.: B


* En el gráfico:

• S = S AOB – S OMB

( ) ( )2 21 1S · 4 · 2

4 2= π − π

S = 2π

* Me piden:

• S = 4S = 4(2π) = 8π S = 8π Rpta.: D


* Completando las áreas con “S”; luego:

• S ABCD = 8×14

16S = 112 S = 7

* Me piden:

• S = 8S = 8(7) = 56 Rpta.: B

Resolución 15

* Trasladando áreas ; tenemos:

Resolución 13 Veamos: * Dato:

• Lado ABCD = a

área ABCD = a2

32S = a2 S = a2/32

* Me piden:

• S = 16S = 16(a2/32) = a2/2

∴ S = a2/2 Rpta.: B

Resolución 16

* Trasladando áreas , tenemos:

* Me piden:

• S = (2×2)×(4) = 16

∴ S = 16cm2 Rpta.: D


* Me piden:

• S = 6S∆ + 2S

S = 2

24 · 36 · 2 · 4

4

+

S = 24 3 32+ Rpta.: B

CAPÍTULO N° 15

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (Pág. 592, 593, 594)

NIVEL I


* Como:• Caras(Prisma) ← Cuadrados

AB = BC = AC = 3 (dato)

Luego todos los aristas son 3.* Me piden:

• S lateral = S ADEB + S BEFC + S ADFC

S lateral =(3)(3) + (3)(3) + (3)(3)

S lateral = 9 + 9 + 9 = 27

∴ S lateral = 27cm2 Rpta.: C

Resolución 2

* En una prisma se cumple:

• STotal = Slateral + 2·SBase

Stotal – Slateral = 2·SBase

24cm2 = 2·SBase

SBase = 12cm2

* Me piden: SBase = 12cm2 Rpta.: E


* Dato:

• Altura(Prisma) = 10

AD = BF = CE = 10

* Como:

• Prisma ← Triangular regular

AB = BC = AC = x

* Además:

• Volumen = 90 3

(S∆ABC) · (AD) = 90 3

2 3x · ·10 90 3

4=

x2 = 36 x = 6

* Me piden: Arista Básica = x = 6cm

Rpta.: B


* Como:

Piramide ← regular

Apotemas son = S

* Dato:

Slateral = 240

S∆ABC + S∆CBD + S∆EBD + S∆ABE = 240

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 112 x 12 x 12 x 12 x 240

2 2 2 2+ + + =

24x = 240 x = 10

* Me piden: Apotema = x = 10cm

Rpta.: C


Volumen = (5m)(1m)(2m)

Volumen = 10m3

* Dato:

1m3 S/.3

Volumen x

→ x = 3 Volumen = 3(10)

x = S/.30

* Luego: Debe pagar = x = S/.30

Rpta.: C


* En el gráfico:

• ∆BOC (Teorema de Pitágoras)

BC2 = 52 + 122 BC = 13

* Desarrollamos

La superficie lateral:

L = 2π(5) = 10π

* Me piden:

Slateral = S = L ·R

2

Slateral = ( )( )10 13

652

π= π

Slateral = 65π cm2 Rpta.: A


* En el gráfico:

• AO = OB = OC = R

* Luego:

Vcono = 1

3(SBase)(altura)

* En el gráfico:

• AB = O1O2 = CD = 6cm

* Me piden:

• ∆ = Vcilindro – Vcono

∆ = π·(2)2 · (6) –13

(π · 22)(6)

∆ = 24π – 8π

∆ = 16π cm3 Rpta.: D


Vcono = 13

(π ·R2)(R) Vcono = 3R

3π

• Vsemiesfera = 31 4

·R2 3

π

Vsemiesfera = 32

·R3

π

* Me piden:

3

semiesfera

3cono

2·RV 3 2

V ·R3

π= =π Rpta.: B


* Como:

Tetraedro ← Regular

AB = BC = AC = OA = OB = OC = a

* Dato:

Stotal = 225 3 cm

2

2a 34 · 25 3 cm

4

=

2 2a 3 25 3 cm= a = 5cm

* Me piden: Lon. arista = a = 5cm Rpta.: C

* En el gráfico:

• ∆AEH : 2 2AH 2 2= +

AH 2 2=

• ∆ABC : 2 2AC 2 2= +

AC 2 2=

• ∆CGH: 2 2CH 2 2= +

CH 2 2=


* Como:

• AH = AC = CH ∆ACH ← Equilátero

* Me piden:

S∆ACH = ( )22 2 · 3

2 34

=

∴ S∆ACH = 22 3 cm Rpta.: A

* En el gráfico:

• ∆BOC (Teorema de Pitágoras):

g2 = 42 + R2 g2 = 42 + 62 g 2 13=

* Me piden: Generatriz = g 2 13 cm= Rpta.: D


* Dato:

• Diagonal(cara) = 2 2

BC 2 2= * Además:

• AB = AC = a

* Como:

• EFGH ← cuadrado

* Sabemos:

• Ssuperficie = 4πR2

Ssuperficie = 4π·(3)2 = 36π cm2

Rpta.: D

* Dato:

• Vcono = 48π

1

3πR2h = 48π

1

3πR2(4) = 48π R = 6



NIVEL II


EH = HG = a

* Ahora:

∆EHG : ( )2 2 28 2 a a= +

128 = 2a2 a = 8

* Como:

0 ← centro EFGH

EO = OG = n


* Ahora:

• ∆BAC (Teorena de Pitágoras)

BC2 = AB2 + AC2

( )22 2 = a2 + a2

8 = 2a2 a = 2

* Me piden:

Slateral = 4·S EADH = 4.[4a]

Slateral = 4(4)(8) = 128

Slateral = 128 Rpta.: C

* Ahora:

• EHG: (2n)2 = 62 + 82

4n2 = 100 n = 5

• AEO : x2 = 122 + n2

x2 = 122 + 52

x2 = 169 x = 13

* Me piden: AO = x = 13 Rpta.: A

* Me piden:

Long. arista = a = 2cm

Rpta.: B

CD = 2(OD) ! OD R

CD 2R

=⎧⎨ =⎩

Slateral = 64π cm2

! (2π·R)h = 64π (2π·R)(2R) = 64π 4πR2 = 64π ! R = 4

* Me piden: Radio

Base⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= R = 4cm

Rpta.: E

VEsfera = 36π

! 43π·R3 = 36π

R3 = 27 ! R = 3

* Me piden:

= R = 3cm Rpta.: C


* Dato:


* Dato:

Radio⎛ ⎞

⎝ ⎠⎜ ⎟Esfera

VTubo = Cilindro CilindroMayor Menor

V V−

VTubo = π·(5)2·(40) – π·(4)2·(40)

VTubo = 40π·(52–42) = 40π(9)

Vtubo = 360πcm3 Rpta.: E


* Al girar el cuadrado, hemos generado un cilindro deradio = 2m

* En el gráfico:

• AB + CD = EG

AB + 5 = 8 AB = 3

* Me piden:

VTotal = V1 + V2

VTotal = (4)(3)(3) + (5)(3)(2)

VTotal = 36 + 30 = 66cm3 Rpta.:D


* Dato:

Vcilindro = 40p n3

p·R2 (10) = 40p

10pR2 = 40p R = 2

* Me piden: Radio

Base

= R = 2m

Rpta.: B

* Luego:

Vcilindro = π·(2)2 · (2) = 8π

Vcilindro = 8π cm3 Rpta.: A

* Como:

Pirámide ← Regular

AB = BC = CD = AD = a

* Dato:

• Perímetro ABCD = 24

4a = 24 a = 6

* Además:

• Caras(Pirámide) ← ∆sEquiláteros

* Luego:

SLateral = ( )2

DOCa 3

4 · S 44∆

=

SLateral = 2 2a 3 6 · 3=

SLateral = 36 3 Rpta.: A


* Me piden:

Volumen total = 4 · Vcubo

Volumen total = 4 ·(1)3 = 4 cm3

Rpta.: D

Resolución 6 Veamos:Resolución 3 Veamos:


* Me piden:

* Dato:

h = PerímetroABCD

h = 4(2cm) h = 8cm

* Me piden:

VPrisma = (2)(2)(h) = (2)(2)(8) = 32

VPrisma = 32cm3 Rpta.: E

Resolución 9 Veamos


* Dato:

SSemiesfera = 18π

1

2(4πR2) = 18π

2πR2 = 18π R = 3

* Me piden:

VSemiesfera = 3 31 4 2

·R ·R2 3 3

π = π

VSemiesfera = 2

3π·(3)3 = 18π Rpta.: C

• VCono = 13

π·R2·h

• VCilindro = π·R2h

* Me piden:

2

cono2

cilindro

1·R ·hV 13K

V 3·R ·h

π= = =

π

K = 1/3 Rpta.: C


* Luego:


* Me piden:

SLateral = 4 ·S∆DOC

SLateral = ( )( )14 · 2 2

2

SLateral = 8cm2 Rpta.: B


* Dato:

SecciónMáxima

S 16=

π ·R2 = 16

* Me piden:

SEsfera = 4πR2 = 4(16) = 64

SEsfera = 64 Rpta.: B


* Dato:

VPrisma = 3135 3 cm

10·S = 135 3

23

10 · a 3 135 32

=

2135 3 ·a 135 3= a = 3

* Me piden: Arista

Básica

= a = 3cm Rpta.: C

* Dato:

VParalelepipedo = 120

n(n+1)(n+2) = 4(4+1)(4+2)

* Comparando:

n = 4

* Me piden:

Long. Mayor = n + 2 = 4 + 2 = 6

Long. mayor = 6cm Rpta.: E


* Me piden:

TotalPrisma

S = (S1 + S2 + S3)

TotalPrisma

S = 2·(4×4+4×20+4×20)

TotalPrisma

S = 2(16 + 80 + 80) = 352

TotalPrisma

S = 352cm2 Rpta.: A

* Dato:

• 2TotalPr isma

S 152 cm=

2(S1 + S2 + S3) = 152

2(3a·a + 8·3a + 8·a) = 152

2(3a2 + 24a + 8a) = 152

3a2 + 32a – 76 = 0

3a + 38 a = –38/3 (x)

1a – 2 a = 2 ( )

* Como: a IN∈ a = 2

* Me piden: Lado menor = a = 2

Rpta.: B


* Dato:

Stotal = 136cm2

2·(S1 + S2 + S3) = 136

2·(2n×n + 2n×3 + n×3) = 136

2n2 + 6n + 3n = 68

2n2 + 9n – 68 = 0

2n + 17 n = –17/2 (x)

n – 4 n = 4 ( )

* Como: n IN∈ n = 4

* Me piden: Lado Menor

base

= n = 4cm Rpta.: D



Pr isma

Pr isma

V 1 1

V 2 4=

altura 1

BaseS

Base

· 2

S1

· x 4= x = 8

altura 2

* Me piden: altura2 = x = 8m Rpta.: E



* Me piden:

SLateral = 4 ·S∆DOC

SLateral = ( )( )14 · 6 10

2

SLateral = 120 cm2 Rpta.: B

* Me piden:

STotal = 4·S∆BOC

STotal = 24 · 3

4 · 16 34

=

STotal = 216 3 cm Rpta.: D


* Me piden:

VPiramide = ABC1

S ·h3 ∆

VPiramide = ( )21 6 · 3

· 12 36 33 4

=

VPiramide = 336 3 cm Rpta.: A

Resolución 20 Tenemos: Resolución 23 Tenemos:

* Me piden:

SLateral = 8·S∆GOF

SLateral = ( )( )18 · · 4 20 320

2 =

SLateral = 320cm2 Rpta.: C


* Dato: VPirámide = 270cm3

1

3·SBase·h = 270

1

3(9×9)·h = 270 h = 10

* Me piden: Altura = h = 10cm Rpta.: D




Long = 3,1416 (dato)

2πR = 3,1416

2(3,1416)·R = (3,1416)

R = 1/2

* Me piden:

VCilindro = π·R2 ·h

VCilindro = π(1/2)2·(2) = 0,5π

VCilindro = 0,5π cm3 Rpta.: C

VCilindro = π·(2)2·(12)

VCilindro = 48π

* Dato:

1m3 S/.10

VCilindro x

cilindrocilindro

10 ·Vx 10 ·V

1= =

x = 10·48π = 480π x = 480·(3,14) = 1507,2

x = S/.1507,2

* Luego: Debo pagar = x = S/. 1507,20

Rpta.: E

• R = 10cm

• π = 3,14

* Dato:

SLateral = 125,60

1

2(2π·R)(g) = 125,60

π·R·g = 125,60

(3,14)(10)·g = 125,60 g = 4

* Me piden: Generatriz = g = 4cm

Rpta.: D

* En el gráfico:

• OM = 1

2AD OM = 3cm

• ∆O1OM (Teorema de Pitágoras):

h2 + 32 = 52

h2 = 16 h = 4

* Me piden: VPirámide = 1

3· SBase·h

VPirámide = 1

3(6×6) ·(4) = 48

VPirámide = 48cm3 Rpta.: A


* Me piden:

SLateral = (2π·R)(h) = 2π·(2)(6) = 24π

SLateral = 24π cm2 Rpta.: B



* Dato:

VCono = 471

1

3π·R2·18 = 471

6π·R2 = 471

6·(3,14)·R2 = 471

18,84 · R2 = 471

R2 = 25 R = 5

* Me piden: Diámetro = 2R = 2(5) = 10

Diámetro = 10cm Rpta.. C


* Dato:

S = 0,785

π·R2 = 0,785

(3,14)·R2 = 0,785

R2 = 0,25 R = 0,5

* Me piden:

SEsfera = 4p·R2

SEsfera = 4(3,14)(0,5)2

SEsfera = 3,14 cm2 Rpta.: B


* Dato:

• 1

2

R

R 3

1= 1

2

R K

R 3K

= =

• SEsfera1 = 628

4π(R1)2 = 628

4π·(K)2 = 628 π·K2 = 157

* Me piden:

• SEsfera 2 = 4π(R2)2

SEsfera 2 = 4π(3K)2

SEsfera 2 = 36(π·K2)

SEsfera 2 = 36(157) = 5652

SEsfera 2 = 5652 cm2 Rpta.: D

* Me piden

Rpta.: C


Flujo(4 primeros días) = f1+f2+f3+f4Flujo(4 primeros días) = 600 + 7500 +

4000 + 5000

Flujo(4 primeros días) = 22 500

* Me piden:

# Grados(Voleibol) = Frecuencia(voleibol)

· 360n

°

# Grados(Voleibol) = 25

· 360 90100

° = °

#Grados(Voleibol) = 90° Rpta.: D

% Alimentación = 144

·100%360

°°

% Alimentación = 40% Rpta.: C



* Me piden:

• hi = if

n hi = if

28

• fi = conteo

CAPÍTULO N° 17


* En la tabla aplicamos:

if

= 6= 2= 3= 4= 6= 7

n = 28

* Ahora:

1.1 * Me piden:

Frecuencia(Mayor tem) = f6

Frecuencia(Mayor tem) = 7 Rpta.: B

1.2 * Me piden:

Frecuencia(Menor tem) = f1

Frecuencia(Menor tem) = 6 Rpta.: C

1.3 * Me piden:

f2 + f3 + f4 = 2 + 3 + 4

f2 + f3 + f4 = 9 Rpta.: D

1.4 * Me piden:

Frec. Relativa(x4) = h4

Frec. Relativa(x4) = 4/28 = 1/7 Rpta.: C

1.5 * Me piden:

Porcentaje = 6f ·100%n

Porcentaje = 7

·100% 25%28

= Rpta.: A


PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES (Pág. 641, 642, 643)


* Luego:

* Me piden:

B) → Falso

C) → Falso (De menor producción fué 1993)

1,64 1,66 1,68 1,66 1,70x

9+ + + +=

1,72 1,80 1,78 1,80+ + + +

15,44

x 1,72m9

= ≈ Rpta.: B

(De 1996 a 1997 disminuye)

D) → Verdadero 900200 1300400

x2+ =

A) → Falso

)x 1100300=E) → Falso

(“D” es verdadero)

∴ La alimentación correcta es (D)

Rpta.: D


* Luego:

I. Temp. mínima ← (L ; M ; J) = 15°

Falso (I)

II. Temp. máxima ³ (S) = 25°

Verdadero (II)

III. 15 20 15 15 20 25 20x

7+ + + + + +=

x 18,57= ° Verdadero (III)

∴ Son verdaderos II y III Rpta.: B


* Ahora:

Niños Niños Niños NiñosII. Total =[7; 9] + [9; 11] + [11; 13] + [13; 15]

Total = 6 + 9 + 7 + 5

I. [9; 11] ← 9 niños (I) Verdadero

Total = 27 (II) VerdaderoIII. Tenemos:

Total niños = 27

* Ahora: Niños NiñosNiños [11; 15] = [11; 13] + [13; 15]Niños [11; 15] = 7 + 5Niños [11; 15] =

112

2≠ Total niños

(III) Falso

∴ Son verdaderas I y II Rpta.: D


* Ahora

9.1 * Me piden:

P(1R) = Cant.Rojas 4Total 15

=

P(1R) = 4/15 Rpta.: C

9.2 * Me piden:

P(1B) = Cant.Bojas 6

Total 15=

P(1B) = 2/5 Rpta.: A

9.3 * Me piden:

P(1A) = Cant. Azules 5

Total 15=

P(1A) = 1/3 Rpta.: B

9.4 * Me piden:P(no 1B) = 1 – P(1B)

P(no 1B) = Cant. Blancas

1Total

−

A = 4; 8; 16; 12 n(A) = 4

• Ω = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16n( Ω ) = 8

* Me piden:

n(A) 4 1P(A)

n( ) 8 2= = =

Ω Rpta.: A

Resolución 14 Sea:

A = La tarjeta es número 15

Ω = Total de casos

* Luego:

• A = 15 n(A) = 1

• Ω = 1; 2; 3; ...; 20 n( Ω ) = 20

* Me piden:

n(A) 1P(A)

n( ) 20= =

Ω Rpta.: E

Resolución 15 Sea:

A = boletos a favor de Juan

Ω = casos totales

* Luego; dato:

• n(A) 4

P(A)n( ) 4800

= =Ω

P(A) = 1/1200 Rpta.: C

• n(A) = 4

• n( Ω )= 4800

n( Ω ) = 52

* Me piden:

n(A) 8 2P(A)

n( ) 52 13= = =

Ω Rpta.: D

Resolución 13 Sea:

A = Apunta a un número 4°

Ω =Total de casos

* Luego; tenemos:

* Me piden:

Resolución 11 Sea:

A = Obtener una carta espada

Ω = Total de casos

* Luego:

• A= 1; 2; 3; 4; ... ; 13 n(A) = 13

Espadas

Diamante

Resolución 10 Sea:

A = Obtener un número menor que 5

Ω = total de casos

* Luego:

• Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6 n( Ω )= 6

• A = 1; 2; 3; 4 n(A) = 4

* Me piden:

n(A) 4 2P(A)

n( ) 6 3= = =

Ω Rpta.: B

• Ω =1 ; 2; ... 13; 1; 2; ... 13; 1; 2; ...13; 1; 2..; 13]

Espada Trebol Corazón

n( Ω ) = 52

* Me piden:

n(A) 13

P(A) 1/ 4n( ) 52

= = =Ω Rpta.: C

Resolución 12 Sea:

•A = Obtener una reyna o un rey

• Ω = Total de casos

* Luego:

• A = 1Rey; 1Reyna; 1 Rey; 1Reyna

Espada Trebol

1Rey; 1Reyna; 1Rey; 1Reyna

Corazón Diamante

n(A) = 8

• Ω = 1;2;...13; 1;2;...13; 1;2;...13; 1;2;...;13

Espada Trebol Corázon Diamante

P(no 1B) = 6 9

15 15

− =

P(no1B) = 3/5 Rpta.: D

9.5 * Me piden: P(no 1R) = 1 – P(1R)

P(no 1R) = Cant. Rojas1

Total−

P(no 1R) = 4 11

115 15

− = Rpta.: E

* Me piden:

n(A) 1P(A)

n( ) 4= =

Ω Rpta.: A

Resolución 17 Sea:

• x = cant. bolas blancas (B)

• y = cant. bolas verdes (V)

• z = cant. bolas negras (V)

* Luego; dato:

• x + y + z = 50 ... (I)

P(1B) = 2

5

x 2

x y z 5=

+ + x 2

50 5= x = 20

• P(1N) = 1

10

z 1

x y z 10=

+ + z 1

50 10= z = 5

* En (I) :

x + y + z = 50

20 + y + 5 = 50 y = 25

Resolución 16 Sea:

A = Se obtiene cara y cara

Ω = Total de casos

* Luego:

• A = CC n(A) = 1

• Ω = CC; CS; SC; SS n( Ω ) = 4

* Ahora; tenemos:

x = 20 ; y = 25 ; z = 5

20 blancas ; 25 verdes y 5 negras

Rpta.: B

* Ahora:

• P(1L) = Cant. Limones 6

Total 41=

P(1L) = 6/41


• P(1F) = Cant.Fresas 12

Total 41=

P(1F) = 12/41

• P(1E) = Cant. Mentas 8

Total 41=

P(1E) = 8/41

• P(1M) = Cant. Manzanas 15

Total 41=

P(1M) = 15/41 ← Mayor

* Como el mayor es P(1M)

Es más probable que sea manzana

Rpta.: D

Resolución 19 Sea:

A = Gana Martín o un amigo

Ω = Total de casos

* Luego:

• A = Martín; 4 amigos n(A) = 5

• Ω = 40 candidatos n( Ω ) = 40

* Me piden:

n(A) 5P(A) 1/8

n( ) 40= = =

Ω Rpta.: C

Resolución 20 Sea:

A = Número que términa en cero

Ω = Total de casos

* Luego:

• A = 10;20;30;40;50;60;70;80;90

n(A) = 9

• Ω = 10; 11; 12; ... 99

n( Ω ) = 90

* Me piden:

n(A) 9P(A) 1/10

n( ) 90= = =

Ω

P(A) = 1/10 Rpta.: D

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