1

Solucionario de Problemas de Ingeniería de Control

Prob.- Obtener el diagrama de estado (diagrama de flujo) del siguiente modelo en el

espacio de estado:

Las condiciones iniciales son:

La ecuación de estado se puede reescribir de la siguiente forma:

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones anteriores, se obtiene:

El diagrama de estado correspondiente se muestra en la figura siguiente.

Prob.- Sea el sistema (inicialmente en reposo) descrito por la ecuación diferencial:

Determinar:

a) La función de transferencia del sistema.

b) Las ecuaciones de estado

c) La respuesta del sistema al ser excitado por la señal

2

Solución

Para obtener la función de transferencia obtenemos la transformada de Laplace de la

ecuación que lo describe, ignorando los términos debidos a las condiciones iniciales

Para obtener las ecuaciones de estado planteamos el sistema:

con lo que tendremos :

y de ese modo resulta el sistema

La respuesta debido a la excitación vendrá por la transformada inversa de Laplace del

producto de la transformada de la señal de excitación por la función de transferencia del

sistema. Según eso tendremos

Descomponiendo en fracciones simples tenemos:

y a partir de esta última ecuación, tomando las transformadas inversas:

3

Prob.- Para cada uno de los siguientes sistemas descritos por ecuaciones diferenciales de

segundo orden determine el tipo de amortiguamiento del sistema.

Solución

De la Ecuación General de 2do Orden:

Donde:

Igualando términos

Conclusión: Como ; el sistema es críticamente amortiguado

Dividiendo la ecuación por 5:

4

Igualando términos con la ecuación general:

Conclusión: Como < 1; el sistema es Subamortiguado

Igualando términos con la ecuación general:

Conclusión: Como > 1; el sistema es Sobreamortiguado

Prob.- Considere el sistema de la figura en el que y . Se va a

obtener el tiempo de subida o de levantamiento , el tiempo pico , la sobreelongacion,

máxima y el tiempo de asentamiento cuando el sistema está sujeto a una entrada

escalón unitario

Solución

A partir de los valores dados de y , se obtiene

=4 y

Tiempo de subida o de levantamiento :

Donde , se obtiene mediante

Por lo que el tiempo de subida es:

5

Tiempo pico es:

Sobreelongación máxima :

Por tanto, el porcentaje de elongación máxima es 9.5%

Tiempo de asentamiento , para el criterio del 2% el tiempo de asentamiento es:

Para el criterio del 5%

Prob.- Para el sistema de la figura, determine los valores de la ganancia y la constante

de realimentación de velocidad para que la sobreelongacion máxima en la respuesta

escalón unitario sea 0.2 y el tiempo pico sea 1seg. Con estos valores de

obtenga el tiempo de subida y el tiempo de asentamiento. Suponga que - y

que

Servosistema con realimentación de velocidad

6

Determinamos los valores : La sobreelongación máxima , se obtiene mediante

la ecuación siguiente

Este valor debe ser 0.2. Por tanto

Tomando logaritmo natural

Efectuando obtenemos

El tiempo pico se especifica como 1 seg. Por tanto de la ecuación

De donde obtenemos que

Como es 0.456, es

Como la frecuencia natural es igual a ,

Determinamos , a partir de ecuación

Despejando

Tiempo de levantamiento : A partir de la ecuación siguiente obtenemos el

Donde

Por tanto el tiempo de levantamiento, es

7

Tiempo de asentamiento : Para el criterio del 2%,

Para el criterio del 5%

Prob.- La función de transferencia de un sistema es:

Calcule el cociente de amortiguamiento ( ), la frecuencia natural no amortiguada ( ),

el tiempo de pico ( ), el tiempo de asentamiento ( ), el tiempo de levantamiento ( ) y

el porcentaje de sobrepaso ( ).

Solución:

De la ecuación general de 2do Orden:

y de la ecuación característica de la Función de Transferencia:

Igualando Términos:

Calculo de y :

Reemplazando valores de y ; se tiene:

= 17.24 y = 7.98

Calculo del Tiempo de pico ( ):

Calculo del Tiempo de Subida ( ):

8

Calculo de :

Reemplazando en la ecuación de :

Calculo del tiempo de asentamiento ( ):

Para el criterio del 2% el :

Para el criterio del 5% el :

Calculo del porcentaje de sobrepaso ( ):

Por lo tanto el Porcentaje de Sobrepaso es:

Estabilidad mediante el método de Routh.- Casos especiales

1º.- Si el término de la primera columna de cualquier fila es cero, pero los términos

restantes no son cero o no hay términos restantes, el término cero se sustituye por un

número positivo muy pequeño y se evalúa el resto del arreglo siguiendo el

procedimiento normal. Por ejemplo para la ecuación

El arreglo de coeficientes es

Si el signo del coeficiente que esta encima del cero ( ) es el mismo que el signo que está

debajo de él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias.

Sin embargo, si el signo del coeficiente que esta encima del cero ( ) es opuesto al del

que está debajo, quiere decir que hay un cambio de signo.

9

Por ejemplo, sea la ecuación característica

Su arreglo es el siguiente:

Notamos que en la primera columna existen dos cambios de signo, por lo que D(s) tiene

dos raíces en el semiplano derecho (es inestable)

2º.- Si todos los coeficientes de cualquier fila son todos cero. Esto indica que hay raíces

complejas conjugadas sobre el eje imaginario. Si la fila es cero, se forma un

polinomio auxiliar con los coeficientes de la fila anterior, y se reemplaza la fila de ceros

por los coeficientes de la derivada del polinomio auxiliar, y se completa la tabla.

Tomemos como ejemplo el siguiente polinomio

Vemos que los coeficientes de la primera columna son todos positivos, sin embargo,

como las raíces del polinomio auxiliar son también raíces del polinomio

original, y están sobre el eje imaginario, el sistema es inestable.

Prob.- Dado el sistema definido por las ecuaciones

10

En las que representa la variable de entrada.

Representar el diagrama de bloques del sistema y calcular la función de transferencia

Solución

Dado que las cuatro ecuaciones del modelo son lineales, se obtendrán en primer lugar

las ecuaciones transformadas de Laplace del sistema. Para ello se supondrá condiciones

iniciales nulas, con lo que resulta:

Ahora iniciamos la construcción del diagrama de bloques. Para ello se deberá comenzar

por representar cualquiera de las ecuaciones que contenga algunas de las variables de

entrada. En este caso la única señal de entrada es y por lo tanto iniciaremos por la

primera ecuación. Esta ecuación puede representarse de las tres maneras siguientes:

Sin embargo la última de las representaciones no es válida, puesto que en ella la señal

X(s) no aparece como señal de entrada, al ser sus valores consecuencias de los valores

que toman las señales e .

En cuanto a las dos primeras representaciones, cualquiera de ellas es correcta desde un

punto de vista matemático, sin embargo solo la primera de ellas da lugar a que todos los

bloques del diagrama sean físicamente realizables por lo que es la que elegimos.

A partir por lo tanto de la primera representación, las distintas etapas en el dibujo del

diagrama de bloques son las siguientes:

11

2ª ecuación

3ª ecuación

4ª ecuación

Como puede observarse en esta representación todos los bloques son físicamente

realizables, por lo que es preferible a otras representaciones válidas desde el punto de

vista matemático, pero que no representan las relaciones de causalidad en cada uno de

los subsistemas del sistema global.

Multiplicando los bloques en serie y sumando las ramas en paralelo:

Y volviendo a multiplicar los bloques en serie y operando el lazo de realimentación:

Por lo tanto

12

Problema.- Dado el diagrama de flujo de un sistema de control hallar su función de

transferencia aplicando Mason

Diagrama de flujos:

Aplicando regla de Mason:

; ;

; ;

Reemplazando , y :

13

Ejemplo de diagrama de flujo de señales, la aplicación de la regla de Mason es como

sigue:

1.- solo existe un camino directo (p=1), cuya ganancia es:

2.- Existen cuatro lazos cerrados cuyas ganancias son:

3.- Como existen 4 lazos, hay 6 posibles grupos de 2 lazos ( ), pero de ellos son solo no adyacentes los siguientes:

4.- Como existen 4 lazos, hay 4 posibles grupos de 3 lazos ( ), pero de ellos son solo no adyacentes los siguientes:

5.- Como existen 4 lazos, sólo hay un posible grupo de 4 lazos ( , pero estos

son adyacentes.

6.- De acuerdo con lo anterior, el valor de es:

14

7.- Al eliminar los lazos que tocan el único camino directo sólo subsiste el lazo . Por

lo tanto resulta:

8.- Dado que sólo hay un camino directo, la función de transferencia se calcula como

15

16

17

18

19

20