Solucionario 2010 -I TEMA P Matemát Matemáticacloud.vallejo.com.pe/MATEXly1s58bOpM.pdf ·...

Matemát

Solucionario

2010 -IExamen de admisión

Matemática

1

TEMA P

Pregunta N.º 1En una biblioteca municipal existen en total 72

libros de matemática y literatura, los que están

en relación de 5 a 3 respectivamente. El número

de libros de literatura que deben agregarse para

que la relación sea de 9 a 10 es:

A) 21 B) 22 C) 23

D) 24 E) 25

Resolución

TemaRazones

Análisis y procedimiento

N.º de libros de

matemática

N.º de libros de literatura

Total de libros

Lo que se tiene

5×(9) 3×(9) 8×(9)=72(Dato)

Se observa que hay lo siguiente:

• 45librosdematemáticay

• 27librosdeliteratura

Luego, si agregamos x libros de literatura, ten-

dríamos:

• 45librosdematemática

• 27+x libros de literatura

Por condición del problema, tenemos

459

2710

= + x

→ x=23

RespuestaEl número de libros de literatura que deben agregarse es 23.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 2Un libro se ofrece en venta recargándose el r por ciento del precio del costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante?

A) 100

100 +( )r

B) rr

+ 100100

C) 100 +( )r

r

D) 1

0 011

, +

r

E) 1

0 011

, −

r

2

unI 2010 -I Academia CÉSAR VALLEJO

Resolución

TemaTanto por ciento

Análisis y procedimientoSea

PC: Precio de costo

PF: Precio fijado

Según el enunciado tenemos

Si el vendedor no ganó ni perdió, entonces

(Precio de costo) = (Precio de venta)

Reemplazando, tenemos:

P p r PC C= − +( )%( )%·100 100

1

100100

100100

= − +( ) ( )p r

p

rr

=+

100100

Equivale a

p

r

=+

1

0 011

,

Observación

En el problema piden cuánto le rebajaron al estudiante,

es decir, el p por ciento del precio fijado, para lo cual

se necesita conocer el precio de costo, y no habría

alternativa. Sin embargo, el problema sólo debe pedir

el valor de p. Considerando eso, habría clave.

RespuestaEl valor de p es

1

0 011

, +r

.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 3Un deudor tiene que pagar al banco tres letras. La primera de S/.80 000 pagadera dentro de 30 días; la segunda de S/.200 000 pagadera en 60 días y la tercera de S/.400 000 con un plazo de 90 días. ¿Dentro de qué tiempo (en días) debe ser pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras? Suponga que la tasa de interés es constante.

A) 70 días B) 71 días C) 72 díasD) 73 días E) 74 días

Resolución

TemaRegla de descuento

Análisis y procedimientoDe los datos se tiene

Como el valor nominal de la única letra es igual a la suma de los valores nominales de las tres letras anteriores y todas son descontadas a la misma tasa, aplicamos tiempo de vencimiento común y obtenemos

x =

( )+ ( )+ ( )30 80000 60 200000 90 400000680000

∴ x=74,11...

Observación

Como el problema pide el tiempo en días se considerará 74 días.

3

unI 2010 -ISolucionario de Matemática

RespuestaLa única letra que debe pagarse es dentro de

74 días.

AlternAtivA e

Pregunta N.º 4¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras?

A) 23 B) 24 C) 25D) 26 E) 27

Resolución

TemaNumeración

Análisis y procedimientoSi el número 1234 se escribe con tres cifras en el sistema de numeración de base n, entonces, tenemos

100(n) ≤ 1234 < 1000(n)

→ n2 ≤ 1234 < n3

→ 10 1234 1234 353,... ,...= < ≤ =n

Luego, los valores de n son

11 12 13 35

35 10 25

; ; ; ...;− = números� ��

RespuestaHay 25 sistemas de numeración, en los cuales el número 1234 se escribe con tres cifras.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 5Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. La suma de un número natural y un número

entero es un número natural.II. Sean a y b dos números enteros, entonces

existe un número c entero tal que a=bc.III. La cantidad de elementos del conjunto de

los números enteros positivos múltiplos de siete, es igual a la cantidad de elementos del conjunto de los números naturales.

A) VVV B) VFF C) FVVD) FFV E) FFF

Resolución

TemaConjuntos

Análisis y procedimientoI. Falsa Porque no cumple en todos los casos. Ejemplo • 4:esunnúmeronatural. • –7:esunnúmeroentero. Entonces

4 7 3+ − = −( )suma�� (no es un número natural)

II. Falsa Porque no cumple en todos los casos. Ejemplo Si a=3 y b=6 entonces, reemplazamos en a=b × c. 3=6 × c ∴ c=0,5 (no es entero)

III. Verdadera Como los dos conjuntos son infinitos y

se puede establecer una relación de uno a uno (bionívoca) entre los elementos de ambos conjuntos; por lo tanto, tienen igual cantidad de elementos.

RespuestaLa secuencia correcta de las proposiciones es FFV.

AlternAtivA D

4


Pregunta N.º 6Indique la secuencia correcta después de determi-

nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si m y n son números enteros no divisibles por

3, entonces la suma o la diferencia de ellos es un

múltiplo de tres.

II. Si m y n son múltiplos de 3 con m > n > 0

entonces el cociente m/n es un múltiplo de tres.

III. Si m y n son múltiplos de tres con m, n > 0

entonces MCD (m, n) es un múltiplo de tres.

A) VVV B) VFV C) VFF

D) FVF E) FFF

Resolución

TemaDivisibilidad


I. Como m y n no son divisibles por 3, entonces

(m= 3o +1óm=3

o +2)y(n=3o +1ón=3

o +2)

Analizamos dos casos

(*) Si los residuos son iguales

→ m+n ≠ 3o y m – n=3

o

(*) Si los residuos son diferentes

→ m+n = 3o y m – n≠3

o

Entonces, la suma o diferencia de m y n es un

múltiplo de 3; por lo tanto, la proposición (I)

es verdadera (V).

II. Como m y n son múltiplos de 3 y m > n >0,

tomaremos un ejemplo para analizar si la

proposición es verdadera (V) o falsa (F).

Sean m=42 y n=21 ambos múltiplos de 3

(m > n).

→ = ≠m

n2 3

o

Como se puede observar, el cociente no

resultó 3o.

Por lo tanto, la proposición (II) es falsa (F).

III. Como m y n son múltiplos de tres con m,

n > 0.

→ m=3k y n=3p; (k > p).

Luego, tenemos

MCD(m, n)=MCD(3k; 3p)=3×MCD(k, p)= 3o

por propiedad

→ MCD(m, n)= 3o

Por lo tanto, la proposición (III) es verda

dera (V).

Respuesta

La secuencia correcta de las proposiciones es VFV.

AlternAtivA B

Pregunta N.º 7

Sean los números

N1=63a+1×8a, N2=8a×33a+1

donde la cantidad de los divisores de N1 es igual

a la cantidad de los divisores de N2 aumentado

en 20. Entonces el valor de 2a–1es

A) 1. B) 3. C) 5.

D) 7. E) 9.

Resolución

TemaNúmeros primos y compuestos

5


Análisis y procedimientoPor dato tenemos los números

N1=63a+1×8a y N2=8a×33a+1

Cuyas descomposiciones canónicas son

N1=26a+1×33a+1

N2=23a×33a+1

Además, por condición se tiene que

CD(N1)=CD(N2)+20

→ (6a+2)×(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20

→ 2(3a+1)(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20

→ (3a+1)(3a+2)=20=4×5

4 5

→ 3a+1=4

∴ a=1

Luego, 2a–1=2(1)–1=1.

Respuesta

Por lo tanto, el valor de (2a–1)es1.

AlternAtivA A

Pregunta N.º 8

Determine el valor de a+b–c si se tiene que

(ab)3=1c8ab.

A)–1 B)–2 C)1

D) 2 E) 3

Resolución

TemaPotenciación


Por dato

1c8ab=ab 3

Luego, por terminación de cifra,

b ∈ {1; 4; 5; 6; 9} (I)

Tenga en cuenta que si b=0, el numeral termi-

naría en tres ceros.

Además

203 < 1c8ab < 303

→ a=2

Luego

1c82b=2b 3

1c800=2b 3–2b

1c800=(2b–1)×2b×(2b+1)=8

25

o

o

De (I): b=4 → c=3

∴ a+b–c=3

Respuesta

El valor de (a+b–c) es 3.

AlternAtivA e

6


Pregunta N.º 9Dada la siguiente relación:

y–|y|=x–|x|;

diga cuál de las siguientes gráficas es la que le

corresponde:

A) B)

C)

D) E)

Resolución

TemaGráfica de relaciones

Análisis y procedimientoEn la resolución del problema, aplicamos la

definición de valor absoluto.

xx x

x x=

≥− <

;;si

si0

0

En el problema nos piden la gráfica de

y–|y|=x–|x| (1)

Caso 1: y ≥ 0

Reemplazamos en 1

y–y=x–|x|→ x=|x|→ x ≥ 0

cuya gráfica será

Caso 2: y < 0

Reemplazamos en 1

y+y=x–|x|→ yx x= −

2

yx

x x=

≥<

0 00

;;

sisi

pero como y < 0 → y=x; x < 0

Luego, la gráfica pedida es la unión del gráfico 1

con el gráfico 2.

Respuesta

La gráfica de la relación es

AlternAtivA D

7


Pregunta N.º 10Si las raíces de la ecuación

x2–(a+d)x+ad–bc=0

son x1=3, x2=5; y las raíces de la ecuación

y2–(a3+d3+3abc+3bcd)y+(ad –bc)3=0

son y1, y2. Entonces el valor de y21 y2+y1y2

2 es:

A) 213 000

B) 313 000

C) 413 000

D) 513 000

E) 613 000

Resolución

Tema

Ecuación cuadrática


En la ecuación

x2–(a+d)x+ad –bc=0, de raíces x1=3 y x2=5

aplicamos el teorema de Cardano

x1+x2=8=a+d (α)

x1x2=15=ad –bc

En la ecuación

y2–(a3+d 3+3abc+3bcd)y+(ad –bc)3=0, de

raíces y1, y2

aplicamos el teorema de Cardano:

y1 · y2=(ad –bc)3=153=3375

y1+y2=a3+d 3+3abc+3bcd (b)

De (α):

a+d=8, elevamos al cubo

a3+d 3+3ad(a+d)=83

a3+d 3=83–3ad(a+d)

Reemplazamos en (b).

y1+y2=83–3ad(a+d)+3bc(a+d)

= − +( ) −[ ]8 33

8 15

a d ad bc��

y1+y2=83–3(8)(15)=152

Nos piden

y y y y y y y y1

22 1 2

21 2 1 2+ = +( )

y y y y1

22 1 2

2 3375 152 513 000+ = ( ) =

Respuesta

El valor de y y y y12

2 1 22+ es 513 000.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 11Sean A, B conjuntos no-vacíos.

Señale la alternativa que presenta la secuencia

correcta, después de determinar si la proposición

es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si

(x, y); (x, z) ∈ f={(x, y) / x ∈ A, y ∈ B} ⊂ A×B

implica que y=z, entonces podemos decir

que f es un función de A en B.

II. Toda función sobreyectiva f: A → B es inyec-

tiva.

III. Toda función inyectiva f: A → B es sobreyec-

tiva.

A) VVV B) VFV C) VFF

D) FFV E) FFF

Resolución

TemaFunciones

8



Referencia y/o contextoPara determinar el valor de verdad recordemos la definición de función.

f es una función de A en B ↔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B tal que (x; y) ∈ f

I. Verdadero Pues si (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f implica y=z.

Significa que dos pares ordenados diferentes de f no tienen la misma primera componente. Por lo tanto, f es una función.

II. Falso Pues tenemos la siguiente función constante f : R → {k}, para f(x)=k f es sobreyectiva, pero no es inyectiva.

III. Falso Pues si tenemos la función lineal f : [0; 5] → [0; 6] tal que f(x)=x f es inyectiva, sin embargo, no es sobreyectiva,

pues el Ranf=[0; 5] es diferente al conjunto de llegada B=[0; 6].

RespuestaLa secuencia correcta es VFF.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 12Dadas las siguientes proposiciones:I. Las raíces de ein–1=0, pertenecen a un

polígono regular de n lados, ∀ n ∈ N

II. Si eiθ =a+bi y θ ∈ π π4

34

; , entonces

a ∈ − 22

22

; y b ∈ 2

21; .

III. Dados α, b ∈ ⟨0; 2π⟩, tales que b > α, si cos(a)=cos(b), entonces ei(a+b)=1.

Indique cuáles son correctas.

A) solo IB) solo IIC) solo IIID) I y IIE) II y III

Resolución

TemaNúmeros complejos


Referencia y/o contextoEn el problema aplicaremos la definición de exponencial compleja.

Veamos cada una de las afirmaciones:I. Falso Resolvemos ein–1=0 (considerandoe=2,718281... ein=e2kπi y i = −1 ) → n=2kπ; k ∈ Z

Las soluciones de la ecuación no forman un polígono de n lados.

II. Falso Veamos un contraejemplo:

De θ ∈ π π4

34

; tomamos θ π=2

entonces, a=0 y b=1 ∉ 2

21;

9


III. Verdadero

Como a, b ∈ ⟨0; 2π⟩; b > a además, cosa=cosb; entonces, a+b=2π de donde ei(a+b)=ei(2π)=1

RespuestaLa proposición verdadera es solo III.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 13Sea S el conjunto solución de la ecuación, en R,

x x x

x

3 27 15 91

35

− + − =

log.

Halle la cantidad de elementos de S.

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

Resolución

TemaEcuación logarítmica

Análisis y procedimientoPara determinar el número de soluciones reales usaremos gráficas de funciones. Para ello reduci-mos las expresiones; así:

x x x

x

3 27 15 91

35

− + − =

log ∧ x > 0; x ≠ 1

→ −( ) −( ) =

x x x1 3 235

log

f(x) g(x)=

∧ x > 0; x ≠ 1

Graficamos

Se observa que las gráficas se cortan sólo en un punto; entonces, solo tiene una solución real.

RespuestaLa cantidad de elementos de S es 0.

AlternAtivA A

Pregunta N.º 14

Si A =− − −

1 1 10 0 00 0 1

. Calcule S=A42+A55.

A) A =

0 0 10 0 00 0 2

B) A =−

0 0 10 0 00 0 2

C) A =−

0 0 10 0 00 0 2

D) A =−

−

0 0 10 0 00 0 2

E) A =

0 0 10 0 00 0 3

10


Resolución

TemaMatrices


Referencia y/o contextoPara determinar potencias de una matriz, una de las formas es mediante el polinomio característico:

P(x).

Si A ∈ Rn×n: P(x)=det(A–xI)

Hallemos el polinomio característico de A.

P(x)=det(A–xI)

Px

xx

x( ) =− − −

−

1 1 10 0 00 0 1

0 00 00 0

Px

xx

x( ) =− −( ) − −

−−( )

1 1 10 00 0 1

P(x)=x–x3

Entonces, P(A)=A–A3=f(f:matriz nula)

↔ A3=A ↔ A3k=A; ∀ k ∈ Z+

Reemplazamos en A42+A55=(A3)14+(A3)18A

=A+(A)A=A+A2

Determinamos

A21 1 1

0 0 00 0 1

1 1 10 0 00 0 1

1 1 00 0 00 0 1

=− − −

− − −

=

→ A A21 1 10 0 00 0 1

1 1 10 0 00 0 1

+ =

+

− − −

=−

0 0 10 0 00 0 2

Respuesta

La matriz A42+A55 es

0 0 10 0 00 0 2

−

AlternAtivA B

Pregunta N.º 15Dado el sistema 2x –y+z=1x+4y+2z=–1¿Cuál de las siguientes ecuacionesI. x–5y –z=2,II. 3x+3y+3z=2,III. 5x+2y+4z=1,puede agregarse al sistema anterior de modo que el conjunto solución no varíe?

A) solo I B) I y II C) I y IIID) solo II E) solo III

Resolución

TemaSistema de ecuaciones lineales


Referencia y/o contextoUna característica de los sistemas es que si sumamos o restamos las ecuaciones en una cantidad finita no se altera el conjunto solución.

11


Del dato: 2x –y+z=1 x+4y+2z=–1

• Alrestarlasecuaciones

2x –y +z=1 x+4y+2z=–1

–

se obtiene x –5y –z = 2. (*)

• Alsumarlasecuaciones

2x –y +z=1 x+4y+2z=–1

+

se obtiene 3x+3y+3z=0. (**)

• Multiplicamospor2alaprimeraecuaciónysumamos con la segunda ecuación.

4x –2y +2z=2 x +4y +2z=–1

+

Se obtiene 5x +2y+4z=1. (***)

Las ecuaciones que se obtienen (*), (**) y (***) son equivalentes a las primeras.

Entonces, podemos indicar que las proposiciones I y III del problema coinciden con (*) y (***); en cambio, II no coincide con (**); entonces, no podemos agregarlo al sistema.

RespuestaPodemos agregar las ecuaciones I y III.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 16En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas.

II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito.

III. En un programa lineal pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima.

A) VFV B) FFF C) FFVD) FVV E) VFF

Resolución

TemaProgramación lineal

Análisis y procedimientoEn el problema debemos recordar las definiciones

básicas de programación lineal.

I. Falso

Si x, y son variables de decisión, entonces por

la condición de no negatividad se cumple que

x ≥ 0; y ≥ 0

II. Verdadero

Pues el número de vértices de toda región

factible es finito.

III. Verdadero

Pues dada la región factible S y la función

objetivo f(x; y)=ax+by+c. Supongamos

que (x1; y1) ∈ S es la solución óptima del

problema, entonces puede ser también

solución óptima de g(x; y)=cx+dy+k.

12


Respuesta

La secuencia correcta es FVV.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 17Sea la sucesión a1=0, a2=1, a a a3 4 5

12

34

58

= = =, , ;

a a a6 7 81116

2132

4364

= = =; ; ;..., entonces la

sucesión {an} converge a:

A) 712

B) 58 C)

23

D) 1 E) ∞

Resolución

TemaSucesiones reales

Análisis y procedimientoPor dato se tiene a1; a2; a3; a4; a5; a6

0 ; 1; 12

34

58

1116

; ...

Múltipliquemos por 3 y dividimos entre 3 a cada término.v

13

0 332

94

158

3316

; ; ; ; ; ; ...

13

02 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

2

1 2

1

3

2

4

3

5

6; ; ; ; ; ; ...

º+ − + − +

Entonces, tenemos la regla de formación

a nn

n

= + −

≥−1

32

12

22

;

Tomando límite:0

213

21

223

lím límn

nn

N

a→+∞ →+∞

−= + −

=

Es decir, {an} converge a 0

23

.

Respuesta

[an] converge a 0

23

AlternAtivA C

Pregunta N.º 18En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y álgebra representan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron aritmética y álgebra, calcule el número de alumnos del colegio.

A) 340 B) 350 C) 360D) 370 E) 380

Resolución

TemaConjuntos

Análisis y procedimientoLos datos del problema representaremos gráfica-mente mediante los conjuntos.

Por dato 42=60%(8%N+42)∴ N=350

13


RespuestaLa cantidad de alumnos del colegio es 350.

AlternAtivA B

Pregunta N.º 19Dadas las funcionesf={(3;1),(2;–3),(5;0),(4;–4),(1;1)},g={(–4;3),(–2;7),(0;0),(1;5),(2;1)}yh={(1;–4),(3;–2),(5;0),(7;2)}.Determine la función compuesta f o g o h.

A) {(1; 0), (5; 1)}

B){(3;–3),(5;–4)}

C) {(1; 1), (7; 1)}

D){(1;1),(2;–3)}

E){(3;–1),(7;1)}

Resolución

TemaComposición de funciones

Análisis y procedimientoPara la resolución del problema haremos uso del diagrama sagital.

De la figura se deduce que la función

f g ho o = ( ) ( ){ }1 1 7 1; , ;

RespuestaLa función compuesta f o g o h es 1 1 7 1; , ; .( ) ( ){ }

AlternAtivA C

Pregunta N.º 20Considere la ecuación matricial

X1 32 7

4 01 2

= −

, donde X es una matriz.

Calcule det(X).

A) 6 B) 7 C) 8D) 11 E) 19

Resolución

TemaDeterminantes


Referencia y/o contextoPara la resolución del problema aplicamos la siguiente propiedad:Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces |AB|=|A| · |B|.

Por dato se tiene que

X

1 32 7

4 01 2

= −

→

=

−

X

1 32 7

4 01 2

X

1 32 7

4 01 2

=−

|X|·1=8

\ |X|=8

RespuestaEl determinante de la matriz X es 8.

AlternAtivA C

14


Pregunta N.º 21Halle la medida del ángulo b indicado en la figura

mostrada, donde las rectas L1 y L2 son paralelas.

A) 51º B) 53º C) 55º

D) 57º E) 59º

Resolución

Tema

Ángulos determinados entre rectas paralelas


Referencia y/o contexto

Para calcular la medida del ángulo determinado

entre rectas paralelas, podemos citar los siguientes

teoremas:

L L��

1 2// → = +x α β

L L��

1 2 180// º→ + + + =α β θ γ

Dato:

L L��

1 2//

Indicando las medidas de los ángulos en A y B,

aplicamos el teorema:

70º+b+35º+22º=180º

\ b=53º

Respuesta

La medida b es 53º.

AlternAtivA B

15


Pregunta N.º 22En un triángulo ABC, denote por I al incentro y

por O a la intersección de la bisectriz interior del

ángulo A con la bisectriz exterior del ángulo C. Si

mAIC+mCOA=150º, halle mCOA.

A) 20º B) 25º C) 30º

D) 35º E) 40º

Resolución

Tema

Triángulos


Referencia y/o contextoMedidas angulares determinadas por bisectrices

A C

��

�a

2b

b

�

I

O

B

Dato:

m +m�� AIC COA

a b

= 150º+ =150º I

En el IOC:

b+90º=a II

DeI+II

2b=60º

∴ b=30º

→ mCOA=b=30º

RespuestaLa medida del ángulo COA es 30º.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 23En un cuadrilátero ABCD, las prolongaciones de los lados BA y CD se intersecan en M (A ∈ BM) y las prolongaciones de los lados AD y BC se intersecan en N (C ∈ BN). Si los ángulos BAD y BCD miden 70º y 80º respectivamente, determine el ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos AMC y ANC.

A) 90º B) 100º C) 105ºD) 110º E) 115º

Resolución

TemaCuadriláteros y medidas angulares determinadas por bisectrices.



x

ab

� ��

Según el siguiente gráfico podemos recordar el siguiente teorema para el cálculo de x:

x

a b= +2

16


Piden x

Datos mBAD=70º

mBCD=80º

QM y NQ: líneas bisectrices

��

��

A

QC

N

D

B

x

110º

80º

M

100º

Indicando las medidas de los ángulos en A y C,

aplicamos el teorema:

x = +110 100

2º º

∴ x=105º

RespuestaLa medida del ángulo entre las líneas bisectrices

es 105º.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 24En la figura mostrada calcule BF (en cm), si el

lado del cuadrado mide 2 3+( ) cm.

A) 12

B) 22

C) 32

A

CB

D

R R

F

D) 1

E) 2

Resolución

TemaCircunferencia


Referencia y/o contextoEn los problemas, cuando se tiene una circunfe-rencia, se debe tener en cuenta que la distancia del centro a cualquier punto de esta es constante e igual al radio.

Triángulo notable de 15º y 75º.

15º

75º

(2+ )a3

a

2a a 330º

60º

2a a15º

Piden x.Del gráfico tenemos lo siguiente:

• ASD es equilátero mSDA=60º

• SDC es isósceles mSCD=75º

• FBC: notable de 15º y 75º

A D

B C

S

F

R R

R R

32+

75º

15º

x

30º60ºR

R

∴ x=1

RespuestaEl valor de BF (en cm) es 1.

AlternAtivA D

17


Pregunta N.º 25

En el triángulo isósceles ABC (AB=BC=10 cm),

la ceviana AN (N ∈ BC) corta a la altura

BM (M ∈ AC) en el punto P. Si AC=16 cm

y BN=2 cm, determine el área de la región

triangular APB (en cm2).

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

Resolución

TemaÁreas de regiones triangulares



Por relaciones de áreas de regiones triangulares,

al trazar una ceviana en un triángulo:

AA

1

2= mn

m n

A 1 A 2

A

B

CP

y al trazar una bisectriz interior:

Teorema de la bisectriz interior mn

ca

=

Entonces

AA

1

2= =mn

ca

m n

A 1 A 2

A

B

C

� �

c a

En el problema se pide calcular el área de la

región APB.

Como ABC es isósceles, AM=MC=8 y ABM

(notable 53º): BM=6

�

5S S

24S5k

k

�

A C

B

M

8

6

N

8

2

810

P

Por relación de áreas en ABN tenemos

A

AABP

PBN

ABBN

= = 51

Sea

A PBN=S.

Entonces,

A ABP=5S.

Se observa NC=4BN, entonces

A ANC=4A ABN=24S y

A ABC=30S=16 6

2×

Entonces,

S = 85

.

Se pide A ABP=5S=8 cm2.

Respuesta

El área de la región triangular ABP es 8 cm2.

AlternAtivA C

18


Pregunta N.º 26

En un triángulo ABC, sobre la prolongación

de AC se toma el punto D de tal forma que

4mBAC=mCDB.

Si 5mBAC=mACB, BD = 103

cm y

CD = −

203

10 cm, halle AC (en cm).

A) 10 3 B) 20 C) 12 3

D) 22 E) 13 3

Resolución

Tema

Semejanza de triángulos



Se emplea la propiedad de las antiparalelas

��

�b

a

=ab2

De los datos:

mCBD=a

También BD = 103

CD = −203

10

Piden AC.

Empleamos la propiedad en ABD.

103

203

102

= −

� 5�

�

A

B

C D

4�

103

203

–10

�

Pero

103

203

1020

310

2

= +

−

Luego, = + = + −203

1020

310AC .

Entonces, AC=20.

Respuesta

Por lo tanto, AC en centímetros es 20.

AlternAtivA B

Pregunta N.º 27

Halle el perímetro de la sección que determina

un plano secante a un tetraedro regular ABCD,

sabiendo que pasa por los puntos medios de AD

y CD y es paralelo a BD (a: longitud de la arista

del tetraedro regular).

A) a/2 B) a C) 3/2a

D) 2a E) 5/2a

Resolución

Tema

Poliedros regulares

19




Para poder determinar secciones planas, es ne-

cesario conocer los teoremas para determinar un

plano, y uno de los criterios es la determinación

de un plano por 2 rectas paralelas.

Datos

• a: longitud de la arista

• M y N: puntos medios de AD y CD.

60º

60º

60º

A

B

C

D

a/2

a/2

a/2a/2

a/2

a/2

N

M

R

S

a/2

a/2a/2

a/2

a/2

60º

60ºa/2

60º

60º60º

60º60º

60º60º

Se trazan MR y NS paralelos a BD.

Luego, se observa que las regiones ARM, RBS,

CNS y MND son equiláteras, entonces

MR=RS=SN=MN=a2

Por lo tanto, el perímetro de la región plana

determinada en el tetraedro regular es 2a.

Respuesta

El perímetro de la región plana es 2a.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 28

En una circunferencia de radio 6 cm, se tiene

que la longitud de arco de un ángulo central a

es 1 y la longitud de arco de un ángulo central

b es 2. Si 1 2 3− = π

y los ángulos a y b son

complementarios, halle el valor del mayor ángulo.

A) 50º B) 55º C) 60º

D) 65º E) 70º

Resolución

Tema

Longitud de la circunferencia



Usamos el resultado de Arquímedes para calcular

la longitud de la circunferencia.

⊙=2 π r

Datos:

• 1 2 3− = π

• α β π+ =2

Piden α

6

�

�1

�2

6

6�

Por longitud de arco, se tiene

1=6α y 2=6b

20


Reemplazamos del dato

6 6

3α β π− = ,

α β π− =

18

Luego, del dato inicial tenemos

α β π+ =

2y

α β π− =

18

Operamos

2

1018

α π=

∴ α=50º

RespuestaLa medida del mayor ángulo es 50º.

AlternAtivA A

Pregunta N.º 29En un triángulo, el área de la región circular deter-

minada por la circunferencia inscrita es 9πu2. Si

el área de la región triangular es 9 2 22

22+( )

u ,

determine el perímetro del triángulo.

A) 6 1 2+( )uB) 6 1 2 2+( )uC) 6 2 2+( )uD) 6 2 2 2+( )uE) 6 3 2 2+( )u

Resolución

TemaÁreas


Referencia y/o contextoUsamos el teorema de Euler para calcular el área de una región triangular en función del inradio y el semiperímetro.

r

B

CA

Sea 2p: perímetro de la región triangular ABC.

Dato:

πr2=9π; luego r=3.

Dato:

A ABC = 92

2 292

6 4 22 2 2+( ) = +( )u u

Como A ABC=p · r, entonces

3

92

6 4 2p = +( ) u

∴ 2 6 3 2 2p = +( ) u

Respuesta

El perímetro es 2 6 3 2 2p = +( ) u.

AlternAtivA e

Pregunta N.º 30

Considere un embudo compuesto por un tronco

de cono de altura 12 cm y radios de sus bases

5R cm y R cm y un cilindro de radio R cm y altura

5 cm. Si el embudo puede contener 129 πcm3 de

agua, halle R (en cm).

A) 0,5 B) 1 C) 1,5

D) 2 E) 2,5

21


Resolución

Tema

Sólidos geométricos



Para el cálculo de volúmenes de sólidos geomé-

tricos se deben conocer las longitudes de algunos

elementos; por ejemplo:

V = πR g2

R

g

V = + +[ ]πhR r Rr

32 2

h

R

r

12 cm

5 cm

R

R

5R

Piden R.

Del gráfico tenemos

Vembudo=129πcm3

Vtronco de cono+Vcilindro=129π

π π π123

5 5 5 1292 2 2R R R R R( ) + ( ) + ( )( ) + ( ) =

124R2+5R2=129

129R2=129

R2=1

\ R=1

Respuesta

El valor de R en centímetros es 1.

AlternAtivA B

Pregunta N.º 31

Sobre un rectángulo ABCD, desde un punto

exterior P, se traza el segmento PB perpendicular

al plano ABC, M y N son los puntos medios de los

segmentos AD y DC respectivamente.

Si AB=PB, BC=4 y AB=2, entonces la medida

del diedro P–MN–B es:

A) arctan 5( )

B) arctan52

C) arctan5

3

D) arctan5

4

E) arctan5

5

22


ResoluciónTemaÁngulo diedro


Referencia y/o contextoHaremos uso del teorema de las tres perpendi-culares.

1

D

C

A

B

P

1

T

S �

�

M

�

�

2

2

N1

1

2

DatosPB ⊥ ABCDM y N: puntos mediosDel gráfico en el punto T, podemos indicar la medida del ángulo diedro.

→ =tanθ 2BT

(I)

Del gráfico tanºβ β= =

12

532

ABS y STM:

not532

º

: de donde AS=1 y SM=1

Luego, BT = 6 55

en (I): tanθ = 53

∴ θ =

arctan

53

RespuestaLa medida del ángulo diedro es arctan

53

.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 32La base de un asta de bandera es de concreto y está formada por dos prismas hexagonales regulares concéntricos puestos uno sobre otro. El primero tiene 1,20 m y el segundo 0,80 m de lado; la altura de cada uno de ellos es 0,30 m. Si ambos prismas tienen un hueco central cilíndrico de radio de 8 cm, entonces la cantidad de con-creto utilizado para construir esta base (en m3) es aproximadamente

A) 1,55 B) 1,57 C) 1,59D) 1,61 E) 1,63

Resolución

TemaPrisma regular y cilindro de revolución


Referencia y/o contextoRecordemos que el volumen tanto del prisma re-gular y cilindro de revolución se calculan como el producto del área de la base y su respectiva altura.

Dato:El radio de la base del hueco cilíndrico es 8 cm que equivale a 0,08 m.Sea VT: volumen total

VT=VP(1)+VP(2) –Vcilindro

0,080,8

0,3

1,2

0,6

0,3

P2

P1

0,08

23


Entonces

VT = ( )

× +

×1 2 3

46 0 3

0 8 34

62 2,

,( , )

×0,3–π(0,08)2×0,6

Consideramos

3 1 73 3 14= =, ,y π

VT=1,12104+0,49824–0,0120576

VT=1,6072

Aproximamos, VT=1,61

RespuestaLa cantidad de concreto utilizado en m3, aproxi-madamente, es 1,61.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 33En un triángulo ABC, a=sen27º; c=cos26º,

m(A+C)=153º30’ y sen º17

400= . Calcule

el área aproximada de la región limitada por el triángulo ABC (en u2).

A) 97 54000

B) 107 54000

C) 117 54000

D) 227 54000

E) 327 54000

ResoluciónTemaTransformaciones trigonométricas

Análisis y procedimientoReferencia y/o contexto

A C

B

c a

�

S: Área de la región triangular ABC

→ S = ac2

senβ

En el problema tenemos

A C

B

26º 30’

sen 27ºcos 26º

S = 1

227 26 26 30sen º cos º sen º '

S = ( )1

42 27 26 26 30sen º·cos º sen º '

S = +( )1

453 1 26 30sen º sen º sen º '

Dato: sen º17

400=

S = +

14

45

7400

55

S = 327

80005

RespuestaEl área aproximada es

3278000

5 .

AlternAtivA nC

Pregunta N.º 34Determine la suma de todas las soluciones que se encuentran en el intervalo [0; 2π] de la ecuación 2sen3x+sen2x –2senx –1=0.

A) 5π B) 52π

C) 3π

D) 32π

E) 34π

24


Resolución

TemaEcuaciones trigonométricas


Referencia y/o contexto• Factorización• Circunferenciatrigonométrica

Factorizamos la ecuación:

2 2 1 03 2sen sen senx x x+ − − =� �� ; 0 ≤ x ≤ 2π

sen2x(2senx+1)–(2senx+1)=0

(2senx+1)(sen2x –1)=0

I. sen ;x x= − → =12

76

116

π π

II. sen x x= → =12π

III. sen x x= − → =132π

Entonces, x1+x2+x3+x4=5π.

RespuestaLa suma de soluciones es 5π.

AlternAtivA A

Pregunta N.º 35Calcule el valor de:

E = −

( ) arc sen cos2335

π

A) π

13 B)

π11

C) π9

D) π7

E) π5

Resolución

TemaFunciones trigonométricas inversas

Análisis y procedimientoSe aplicará la propiedad

arc sen(senθ)=θ

∀ ∈ −

θ π π2 2

;

Piden

E=–2arcsen cos335

π

E=–2arcsen cos35π

E=–2arcsensen −

π10

E=210π

E=π5

Respuesta

El valor de E es π5

.

AlternAtivA e

Pregunta N.º 36Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 60º, un poste inclinado en 15º desde la vertical proyecta una sombra de 20 m. Determine la longitud del poste.

A) 26,1 B) 25,5 C) 24,5D) 23,2 E) 22,5

ResoluciónTemaTeorema de senos y cosenosAnálisis y procedimiento

Referencia y/o contexto• Ángulos verticales• Triángulos notables

25


Consideramos el siguiente caso:

45º

60º 75º

20

15º

líneavertical

F

P A

x

En el triángulo AFP, mediante el teorema de senos tenemos

xsen sen60

2045º º

= → =x

20 6045

sensen

ºº

∴ x=24,5 m

RespuestaLa longitud del poste es 24,5 m.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 37Después de una rotación de ejes, la ecuación 5x2–8xy+5y2–9=0representaunaelipsecuyosfocos tienen como coordenadas F1(a; b), F2(c; d). Calcule ac+bd.

A)–2 B)–3 C)–4D)–6 E)–8

Resolución

TemaTraslación y rotación de ejes


Referencia y/o contextoCálculo del ángulo de giro (θ):

Si Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0

→ cot 2θ = −A CB

Ecuaciones de rotación de ejes:

x=x'cosθ–y'senθ y=x'senθ+y'cosθ

Datos: 5x2–8xy+5y2–9=0 (I)

Focos:

F1(a; b); F2(c; d)

De la ecuación tenemos A=5; B=–8yC=5

Calculamos el ángulo de giro (θ):

cot cot2 2

5 58

0θ θ= − → = −−

=A CB

Establecemos que 2θ=90º → θ=45º

Aplicamos las ecuaciones de rotación

x=x’ · cosθ–y’senθ

→ x=2

2⋅ −( )x y' ' (II)

y=x’ · senθ+y’cosθ

→ y=2

2⋅ +( )x y' ' (III)

Reemplazando (II) y (III) en (I) obtenemos

(x’)2+9(y’)2=9

→ x y' '( )

+ ( ) =2

2

2

23 11

Se tiene que a’=3 y b’=1

26


debido

(a’)2=(b’)2+(c’)2 → c’= 2 2

Graficamos la elipse ξ

xy

''

( )+ ( ) =

2

22

31

Los focos se denotan F1(–c'; 0) y F2(c'; 0)

X

Y

�

�=45º

F c d2( ; )

F a b1( ; )

X 'Y '

Se observa que

F1(a; b)=F1(–c'; 0) → a=–c'; b=0

F2(c; d)=F2( c'; 0) → c=–c'; d=0

Piden ac+bd.

ac+bd= −( )( )2 2 2 2 +(0)·(0)

\ ac+bd=–8

RespuestaEl valor de ac+bdes–8.

AlternAtivA e

Pregunta N.º 38Si A, B y C son los ángulos agudos de un triángulo, calcule el valor de la siguiente expresión:

FA B CA B C

= + +sen sen sensen sen sen2 2 2

A) 0 B) 1 C) 2D) 4 E) 8

Resolución

TemaTransformaciones trigonométricas



• sen sen 2sen2 2

θ α θ α θ α+ = +

−

cos

• cos cos 2sen2

sen2

θ α θ α θ α− = − +

−

• sen2θ=2senθcosθ

• Si A+B+C=180º

→ sen(A+B)=senC y

cos(A+B)=– cosC

Piden

F

A B CA B C

= + +sen sen sensen sen sen2 2 2

F

A B A B CA B C

= + − +2 2sen( )cos( ) sensen sen sen

F

C A B C CA B C

= − +2 2sen cos( ) sen cossen sen sen

Factorizando obtenemos

F

C A B CA B C

= − +[ ]2sen cos( ) cossen sen sen

Por reducción al primer cuadrante se tiene

F

C A B A BA B C

= − − +[ ]2sen cos( ) cos( )sen sen sen

27


Transformamos

F

C A BA B C

= − −[ ]2 2sen sen sen( )sen sen sen

F

A B CA B C

= 4 sen sen sensen sen sen

\ F=4

RespuestaPor lo tanto, el valor de F es 4.

AlternAtivA D

Pregunta N.º 39De un círculo de papel de radio 10 cm se corta un sector circular POQ y pegando los bordes OP y OQ se obtiene un envase cónico.Calcule el ángulo θ del sector POQ para que el envase tenga una profundidad de 8 cm.

A) 23π

B) 56π

C) 65π

D) 43π

E) 85π

Resolución

TemaLongitud de arcoAnálisis y procedimiento

Referencia y/o contextoDado un sector circular, generamos un cono de altura de 8 cm.

10 cm

10 cm�

P

Q

L O

8 cm

6 cm 6 cm P

O

10 cm10 cm

L

Q

Al desarrollar el cono L=2π(6 cm). L=12 π cm

Del primer gráfico L=θ×10 cm

Reemplazando obtenemos

12 10π θcm cm= ×

θ π= 6

5

RespuestaLa medida del ángulo expresado en radianes

es 65π

.

AlternAtivA C

Pregunta N.º 40Simplificando la expresión siguiente:

K = − −+

tan º tan ºtan º tan º

tan º343 107197 73

163

se obtiene:

A)–tan17ºB) cot 17º C) tan 34ºD) tan 51º E) cot 34º

28


Resolución

TemaReducción al primer cuadrante

Análisis y procedimientoPiden

K = − −+

tan º tan ºtan º tan º

tan º343 107197 73

163

K = − − − −+ +

×

×

tan( º º ) tan( º º )tan( º º ) tan º360 17 180 73

180 17 73

((tan( º º ))180 17−

K = ++

−tan º tan º

tan º tan º( tan º)

17 7317 73

17

\ K=–tan17º

Respuesta

Simplificando la expresión K se obtiene –tan17º.

AlternAtivA A

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