Solucionario Uni2015I Matematica (1)

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Examen UNI 2015 IMatemtica

SOLUCIONARIO

(Alcance)=[4; 46]

(Rango)=46-4=42

A= 742 =6

Tabla de Frecuencias

Intervalos fi Fi[4,10> 1 1

[10,16> 3 4[16,22> 6 10[22,28> 12 22[28,34> 12 34[34,40> 4 38[40,46] 2 40

Pide:

(A+F5)1=39

6 34

Rpta: 39

Pregunta 02

Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado:

I. Sean A B C D, entonces la probabilidad .

P ( D ) = P ( D \ A ) + P ( C \ A ) + P ( B \A)+P(A)

II. Se lanzan dos dados normales, entonces la probabilidad que su suma

sea 7 es 121 .

Pregunta 01

Semanalmente, un trabajador ahorra cierta cantidad en soles, y durante 40 semanas ahorra las siguientes cantidades:

21 35 29 31 23 22 28 3328 25 31 26 24 27 27 3337 29 19 36 23 18 46 1226 41 30 18 39 15 24 425 33 10 28 20 27 17 31

Se construye una tabla de frecuencias de 7 intervalos de igual longitud fija A. Si F5 es la frecuencia acumulada del quinto intervalo (ordenados los extremos de los mismos de forma creciente), determine el valor de (A+F5)-1

A) 30

B) 32

C) 37

D) 38

E) 39

Resolucin 01

Estadstica

Tabla de distribucin de frecuencias

Sabemos que:

(alcance)=[Dato menor; Dato mayor]

(rango)=(Dato mayor) (Dato menor)

(Ancho de clase)=# int ervalos

Rango^

^h

h

ADato: (# intervalos) =7

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Examen UNI 2015 ISOLUCIONARIO Matemtica

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III. Se lanzan dos dados normales, uno cada vez, entonces la probabilidad de que salga 3 dado que antes sali 1 es

361 .

A) V V V

B) V F V

C) F V V

D) F F V

E) F F F

Resolucin 02

Probabilidades

Probabilidad condicionalI. Sean los eventos: A B C D1 1 1 ,

entonces

AB

CD

P(D): P(D\A)+P(B\A)+P(A)......(F)

Porque P(D)=P(D\C)+P(C\B)+P(B\A)+P(A)

II. A={obtener una suma 7, al lanzar dos dados normales}

A={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}

`P(A)= 636 = 61

la proposicin P(A)= 121 es falsa (F)

III. Piden la probabibilidad de obtener el evento: Obtener 3 dado que antes salio 1.

E={(1,3)} P(E)= 61

` La proposicin P(E) = 361 .....(F)

Recuerde que:

El espacio muestral se reduce a 6 casos, para el 2do dado.

Rpta: FFF

Pregunta 03

Sabiendo que K = ab(4)= cd(5) y a+b+c+d=11 en el sistema decimal con a0, c0. Determine K en el sistema decimal.

A) 14

B) 23

C) 32

D) 41

E) 51

Resolucin 03

Numeracin

Cambio de baseK = ab(4) = cd(5)Los nmeros que se representan con dos cifras tanto en base 4, como en base 5 son del:

{5, 6, 7, ... , 15} y de estos el nmero 14 cumple que: 14 = 32(4) = 24(5)

K

donde: a + b + c + d = 11 (DATO)

3 2 2 4K = 14

Rpta.: 14

Pregunta 04

Se sabe que en una divisin entera el divisor es

CENTRAL: 6198100 3

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50 y el residuo es 15. Cuntas unidades como mnimo se le debe disminuir al dividendo, para que el cociente disminuya en 13 unidades?

A) 614

B) 615

C) 616

D) 617

E) 618

Resolucin 04

Cuatro Operaciones

Divisin

Sea la divisin original

15

D 50q

D=50q+15

Luego:

D-XMN 50R q-13

D - XMN = 50(q - 13) + R50q + 15 - XMN = 50q - 650 + R

665 - R=XMN

616 =XMN

49 (MX)

Rpta.: 616

Pregunta 05

Sea el nmero E = 22001 + 32001. Calcule el residuo de dividir E entre 7.

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Resolucin 05

Divisibilidad

Restos Potenciales

E=22001+32001

E=(23)667+(33)667=8667+27667

Aplicando cocientes notables esta expresin siempre ser divisible por la suma de: 8+27=35

35E 8 275o667 667 1= + =7

c

c

ReE sto7 0"= =c

Rpta.: 0

Pregunta 06

Cuntos nmeros de la forma (4a-3)(3b)(4a-3) son primos?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolucin 06

Nmeros primos y compuestos

Clasificacin de los Z+Sabemos que:

Un nmero es primo, si solo posee 2 divisores, la unidad y el mismo nmero.

Ejemplo:

2 es primo, ya que sus divisores son 1 y 2

19 es primo, ya que sus divisores son 1 y 19

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Dato: (4a-3)(3b)(4a-3) es primo.

1 0 1

1 3 1

1 5 1

1 8 1

1 9 1

3 1 3

3 5 3

3 7 3

3 8 3

7 2 7

7 5 7

7 8 7

7 9 7

9 1 9

9 2 9

Hay 15 primos

capicas de 3

cifras

Rpta: 15

No hay

Clave

Nota: Asumiento a, b Z.(4a-3) (3b) (4a-3)

(4 3) 3 (4 3)- -q q q

1 0 1

1 3 1

1 9 1} Hay 3 primosque cumplenRpta: 3

S hay clave

Rpta.: 3

Pregunta 07

Sea la expresin

,a0 , , 4b ba0 0 4 =! ! ! ; con b0Entonces la suma de todos los valores posibles de ,a0 , , 4b ba0 0 4 =! ! ! que satisfacen la ecuacin anterior es

A) ,0 61!

B) ,1 33!

C) , 62 1!

D) , 13 1!

E) ,4 16

Resolucin 07

Nmeros racionales

Nmeros decimales

0,a b!

0,b a!

=0, 4!

ab a ba b90 90 9

4 =^ ^h h

a b b a90

990

994+ + =^ ^h h

a b90

8 894 =

a b=56789

1234

Luego piden la suma de valores de 0,a b!

0,61 0,72 0,83 0,94

,1 , 13 3 1

+ + +

=1 2 3444444 444444

! ! ! !! !

Rpta: 3,11!

Pregunta 08

CENTRAL: 6198100 5

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Se tiene la siguiente igualdad

aaa a1 1 2/91 3

9= +_ __ _i ii i

Entonces podemos decir que el conjunto

, , , ... /a aaa existe1 2 3 8 1/1 2

9! a _ ki#( - 2

A) No posee elementos

B) Posee un solo elemento

C) Posee dos elementos

D) Posee tres elementos

E) Posee cuatro elementos

Resolucin 08

Potenciacin

Cubo perfecto

( )aaa a1 1 2 ( )93= +_ i

S(9)

1 ( ( 2))

2

a9 9

5

3

.

+ = + +q q

Luego

Si: a = 2

( ) ( )no cumple2221 14

1639

3

2197

( ) ( )9 9=

S S

Si: a = 5

( )5551 17

4096

3

4096

( ) ( )9 9=

S S= (si cumple)

Luego: El conjunto es unitario.

{5}

Rpta.: Posee un solo elemento

Pregunta 09

Indique el intervalo al cual pertenece el valor de m, para que la inecuacin

x xx x m

14 4 4 O

m m m

m m

m m

1 4 4 4 0

0 3 2 65

0 3 13 5

0

f(0)= c= 2

Se sabe:

fmin= a43 =b

(b28a)= 4ab

8ab2= 4ab

Reemp. en M:

M= abab4

=4

Rpta: 4

CENTRAL: 6198100 7

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Pregunta 12

Sea f una funcin cuya regla de correspondencia

est dada por: f(x) = loga x x 12+ +_ i

Encuentre su funcin inversa

A) ax + a-x

B) a a2

x x+

C) ax - a-x

D) a a2

x x- -

E) a2

x

Resolucin 12

Funciones

Funcin Inversa

logy x x 12a= + +^ h

Notamos que la funcin es creciente, luego la inversa existe.

Despejando x

x x a

x a x

x a a x x

a x a

x a a

f x a a

1

1

1 2

2 1

2

2

y

y

y y

y y

y y

x x

2

2

2 2 2

2

`

+ + =

+ =

+ = +

=

=

=

^ h

Rpta: a a2

x x- -

Pregunta 13

Si A es una matriz invertible, despeje la matriz X a partir de la expresin.

((AX)-1)t = 0,5 B-1

A) X = 0,5 A-1Bt

B) X = 0,5 Bt A-1

C) X = 2 A-1B

D) X = 2 B-1 At

E) X = 2 A-1 Bt

Resolucin 13

Matrices

Matriz Inversa

0,5AX Bt1 1= ^ h6 @

Tomando la transpuesta

0,5AX B t1 = ^ hAplicando la inversa

,AX B

AX B

0 5

2

t

t

1=

=

^ h

Multiplicando por A 1-

. .A AX A B

X A B

2

2

t

t

1 1

1

=

=

Rpta: 2X A Bt1=

Pregunta 14

Determine el conjunto solucin del sistema de ecuaciones no lineales:

2 2 1 0x y x y

x x y2 1 0

2 2

2

+ + =

+ =*

A) {(3,1), (1,1), (-1,-1)}

B) {(2,-2), (2,1), (1,1)}

C) {(-1,0), (1,1) (1,2)}

D) {(1,0), (0,1), (2,1)}

E) {(1, -1), (1,0), (2,-1)}

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Resolucin 14

Sistema de ecuaciones

Sistema no lineales

de (2):

(x-1)2=y

en (1):

(x-1)2+y2-2y=0

y+y2-2y=0y2-y=0

y=0 y=1(x-1)2=0 (x-1)2=1

x=1 x-1=1 x-1=-1x=2 x=0

CS={(1;0);(2;1);(0;1)}

Rpta.: {(1,0),(0,1),(2,1)}

Pregunta 15

Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que puede sembrar maz o trigo. l calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estacin de verano. En el caso del maz, el trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene una utilidad de S/.40 por acre, mientras que en el trigo el trabajo es de 1 hora por acre y la utilidad es de S/.30 por acre. Cuntos acres de maz y trigo debe plantar respectivamente, para maximizar su utilidad?

A) (160, 320)

B) (140, 340)

C) (340, 140)

D) (320, 160)

E) (180, 300)

Resolucin 15

Programacin Lineal

Mximos y Mnimos

Por datos:

Maz Trigo TotalAcre x y 480

Horas 2x y 800Utilidad 40x 30y

U(x;y)=40x+30y

;S

x yx yx y

4802 800

0 0

G

G

H H

=++

Z

[

\

]]

]]

y

x

(0,480)

(400,0)

(320,160)

U 40 320 30 16012800 480017600

mx = += +=

_ _i i

Rpta: Debe plantar 320 acres de maz y 160 acres de trigo

Rpta.: (320, 160)

Pregunta 16

CENTRAL: 6198100 9

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Considere la sucesin

, , , ... , , ...n

121

31 1

2 2 2' 1 .

Determine el menor valor de nN , de modo que se cumpla

n12 103 10 n>3162,2...

Menor valor; nN : 3163

Rpta: 3163

Pregunta 17

Halle el menor grado del polinomio xn+ax+b, a0, (n>1) para que x21 sea un divisor.

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Resolucin 17

Polinomios

Divisibilidad

Si P(x)=xn+ax+b es divisible (x21)

P(x)=(x21)q(x)P(1)=0 ^ P(1)=0

1+a+b=0(1) (1)na+b=0(2)

Restando (1) y (2)

1(1)n+2a=0

2a=(1)n1

Setienea0 (1)n10entonces n es impar

min(n)=3

Rpta: 3

Pregunta 18

En el primer cuadrante del plano se forma el conjunto A con los puntos con coordenadas enteros positivos, esto es

A= {(m,n)/mN , nN}.

A cada punto (m,n) de A se le asigna el valor

21m n+ . Calcule la suma de todos los valores

de los puntos (m,n) de A con coordenadas m

$n.

A) 31

B) 32

C) 1

D) 2

E) +

Resolucin 18

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Series

Convergencia

Sea Sm la suma de todos los valores de los puntos (m;n) con coordenadas mn

.....S2

1

2

1

2

1

2

1

2

1m n m m

n

n m

m m n1 21

3m= = + + + ++ + +

=

=

+ +/

( .... )S21

21

21

21

21

21

m m m m2

121

2

m

m = + + + =

1 2 34444 4444

S21

41

1 21

21

1 41

41

1 31

32

mm

mm

1 1m = =

= =

3 3

= =c m/ /

Rpta: 32

Pregunta 19

Si S es el conjunto solucin de la inecuacin x x1 2 +

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B) V F F

C) V V V

D) F V V

E) F V F

Resolucin 20

Funciones

Regla de correspondenciaf(x)=|x|x

I. f(x+y)= |x+y|(x+y)

Sabemos x,yR : |x+y|#|x|+|y|

|x+y| (x+y)14444244443#

|x|x+|y|y

f(x+y) # f(x)+f(y) (V)

II. g(x)= x22x3= |x|x

x>0 x22x3=0 x=3

x0 x23x+5= 0 x

x

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Rpta.: a=10

Pregunta 22

En la figura las circunferencias tienen radios r =3u y R =6u respectivamente, C es punto de tangencia y D es centro. Calcule producto DA.DB (en u2).

A

B

D

r

R

C

A) 18

B) 24

C) 30

D) 36

E) 40

Resolucin 22

Semejanza

Semejanza de tringulos

Piden: DA . DB

A

B

r

r=3

C

D

R=6

Por el teorema de producto de lados en el

ABD.

(AD)(DB)=2Rr=2(6)(3)

(AD)(DB)=36

Rpta.: (AD)(DB)=36

Pregunta 23

En la figura se muestra el tringulo rectngulo ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD=3cm, entonces la medida (en cm) del segmento EF es:

B

D

E

F CA

A) 2,14

B) 2,16

C) 2,25

D) 2,56

E) 2,82

Resolucin 23

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Tringulos

Tringulo notable

37 53

53533A

B

C

E

D F

5

x4 16/5

Piden: x

BED (NOT 53 y 37)

DE=516

DFE(NOT 53 y 37)

x=2564 =2,56

Rpta: 2,56

Pregunta 24

En la siguiente figura, I es el incentro del trin-gulo ABC, BI = 6u, DE = 1u. Calcule BE (en u).

I

A D C

E

B

A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

Resolucin 24

Semejanza y puntos notables

PropiedadesB

CA

a

a a

x-6

x-6

a+ x

I

6

1

D

E

Piden x

I: Incentro del ABC

Por teorema

a

aCA D

B(AB)2 = (AD)(AC)

En el ABE

(x - 6)2 = x.1

x=9

Rpta.: 9

Pregunta 25

EnlafiguraAC=CD,AD=6uyrea(BCD)=r(reaABD).Haller.

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B

A

2a

2aa

3a

D

C

A) 1+ 3

B) 2+ 3

C) 2 3

D) 1+2 3

E) 2 3 1

Resolucin 25

reas

reas de regiones triangulares

Piden: r

B

A

2a3a

2a

2a

a a

a

a

3a

D

C

30

120-2a

3

6

3

S

3 3

Dato: rea(BCD)=rea(ABC)

Calculando: a

sea: CSD CBA

Por teorema

mBCBD=120-2a

a=15; mBBDA=30

Del dato:

( ) ( )r2

3 3 32

3 3 3 32+ =+

r=1+ 3

Rpta: 1+ 3

Pregunta 26

ABCD es un cuadrado y desde su centro O se traza un segmento OE perpendicular al plano ABC, si OE=AB entonces la medida del diedro EDCB es:

CENTRAL: 6198100 15

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A) arc tan 21` j

B) arc tan (1)

C) arc tan 23` j

D) arc tan (2)

E) arc tan 25` j

Resolucin 26

Geometra del espacio

ngulo diedroPiden: x

A

2a

B

O

2aC

xa

a

a

D

M

E

En el EOM:

x=arc tg(2)

Rpta: arc tan(2)

Pregunta 27

El punto P se encuentra situado sobre la altura de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista de cada vrtice, calcule esta distancia.

A) a43

B) a32

C) a33

D) a46

E) a22

Resolucin 27

Poliedros regulares

Volumen

Piden: PA

B

A

D

a

r

C

P

l=3r

l

l

Dato: PA=PB=PD=PC

Consecuencia: P centro de la esfera circunscrita al tetraedro regular, r: inradio.

4 3ra

ra

36

46

( (= =

PA = a46

Rpta: a46

Pregunta 28

Un vaso de forma de prisma recto hexagonal, con diagonal mayor de la base que mide 6 cm,

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contiene agua al tiempo. Para enfriarla se coloca un cubo de hielo y se observa que el nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud de la arista del cubo de hielo (en cm).

A) 3

B) 3 36

C) 3 34

D) 3 33

E) 3 3

Resolucin 28

Prismas

VolumenPiden: l

El volumen del cubo es equivalente al volumen del agua que sube 2 cm,

3

A

33

3cm3cm

2cm

l

l

VCubo=l3 VPrisma= .6 43 3 22

c m

l3=6. 9 34

.2 l3=27 3

l=3 36

Rpta.: 36 3

Pregunta 29

En un cilindro de revolucin de 5 cm de altura se inscribe un paraleleppedo rectangular

con superficie lateral de 250 cm2. Una de sus aristas, ubicada en la base del cilindro, mide 16 cm. Calcule la razn (en cm) entre el volumen y el rea lateral del cilindro.

A) 3374

B) 2337

C) 4337

D) 2337

E) 337

Resolucin 29

Prisma - Cilindro

Volumen - rea

A C

B

a=9

55

2R16

Piden: AV

L

C

Dato: AL=250

2[16.5+5a]=250

a=9

En el ABC

2R= 337

VCilindro=R2.5

AL=2R.5

AV

4337

L

C =

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Rpta: 4337

Pregunta 30

En la Panamericana cerca de Casma se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolucin. Las longitudes de las circunferencias son 4 m y 2 m. Ver figura. Halle el volumen de la duna en metros cbicos.

m10

A) 3

B) 5

C) 7

D) 10

E) 11

Resolucin 30

Tronco de cono

Volumen

Piden: Vtronco

( . )V 33 1 2 2 12 2tronco

r= + +

Vtronco = 7

m103 3

2 1 1

11

Rpta: 7

Pregunta 31

En un tronco de cono de revolucin, el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Si el volumen del tronco de cono es 336 cm3 y el radio de la base menor es 6 cm, entonces el volumen de una esfera tangente a las bases del tronco de cono (en cm3) es:

A) 330

r

B) 331

r

C) 332

r

D) 333

r

E) 334

r

Resolucin 31

Slidos geomtricos

Tronco de conoPiden: VesferaDato VTC= 336

. 336h3

6 12 12 62 2r r+ + =_ i

h= 4

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2r= 4

r= 2

V= ( )34 2 3r

`V=332 r

r

6

12

rh

Rpta.: 332

r

Pregunta 32

En una pirmide cuadrangular regular, la arista bsica mide 8 u y su altura mide 15 u. A qu distancia (en u) de la base de la pirmide se debe trazar un plano paralelo a dicha base, para que el volumen del prisma recto, que tiene por base a dicha seccin y por altura la distancia de la seccin al vrtice de la pirmide,

sea los 83 del volumen de la pirmide?

A) 9,5

B) 8,5

C) 7,5

D) 6,5

E) 5,5

Resolucin 32

Pirmide

Semejanza de pirmides

x8k8k

8

15k15

Piden: x

Condicin

Vprisma= V83

pir mide

8k.8k.15k= .. .

83

38 8 15^ h

k= 21 15k= 2

15

x= 215

Rpta: 7,5

Pregunta 33

Si ABCD es un cuadrado de lado 2u y T es un punto de tangencia, entonces el rea sombreada (en u2) es igual a: (O centro de la circunferencia que pasa por A, T y D)

CENTRAL: 6198100 19

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA


D

O

C

A B

T

A) 0,57

B) 0,68

C) 0,79

D) 0,81

E) 0,92

Resolucin 33

reas

reas circulares

53

253

1

1

1

2

2

53/253/2

B

A D

C

1/2

Pide: rea sombreada

AREGSOMB = .2

221

2+

YY

` j (1)

2

2r

AREGSOMB = 2

5 2r = 0,92

Rpta: 0,92

Pregunta 34 En todo tringulo ABC, la suma de los cuadrados de sus lados es igual a K(bc cosA+ac cosB+ab cosC)

donde K vale:

A) 41

B) 21

C) 1D) 2E) 4

Resolucin 34

Resolucin de tringulos oblicungulos

Teorema de cosenoPor condicin:

a2+b2+c2= k(bc CosA+ac CosB+ab CosC)

Por teora: 2

2

a b c bc CosA

b a c ac CosB

c a b ab CosC

sumando

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

= + = + = +

4

2bc CosA+2ac CosB+2ab CosC= a2+b2+c2

Igualando con la condicin nos da K= 2

Rpta: 2

Pregunta 35

Al resolver la ecuacin

www.trilce.edu.pe


20

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA

sen (2x)12( sen(x)cos(x))+12= 0,

obtenemos como soluciones:

A) k, kZ

B) 2k y k 21

r+` j , kZ

C) 2k y k, kZ

D) (2k+1) y k2 21

r+` j , kZ

E) (3k+1) y k 21

r+` j , kZ

Resolucin 35

Ecuaciones trigonomtricas

De la ecuacin

( )

( ) ( )

:

( ) ( )

Sen x Senx Cosx

Senx Cosx Senx Cosx

Factorizando

Senx Cosx Senx Cosx

1 2 12 13 0

12 13 0

13 1 0

2

+ =

+ =

+ =

1 2 344 44

i) Senx - Cosx=-13

no cumple Senx Cosx2 2# #- -

ii) Senx - Cosx=1 Senx=1+Cosx

2 Sen x2 Cos x2 = 2 Cos

2 x2

a) Cos x2 =0

x2 =(2k+1) 2

r x=(2k+1); K Zd

b) tg x2 =1

x2 = k + 4

r

x= 2k + 2r ; K Zd

Rpta: (2k+1) y k2 21

r+` j , k Zd

Pregunta 36 Del grfico mostrado, el resultado de:

E= tg+tg+tg, es:

(-1;2)

(-4;-2)(4;-2)

y

x

A) 4

B) 2

C) 0

D) 2

E) 4

Resolucin 36

R. T. de un ngulo de cualquier magnitud

Razones trigonomtricasGraficando:

CENTRAL: 6198100 21

PRO

HIB

IDA

SU

VEN

TA


2

1

y

x

2

4

4

2

Obtenemos:

tg= 21

tg()= 21 tg= 2

1

tg= 24 =2

Piden:

E= 21 2

1 +2

E= 2

Rpta: 2

Pregunta 37

Si x ;23r r entonces determine los valores

de y= 4 9csc2 2x3r+` j.

A)

B)

C)

D)

E)

Resolucin 37

Circunferencia trigonomtrica

Dato:

x35

32

6131 1r r r+

Como el seno es creciente

Sen 35r < Sen(x+ 3

2r )< Sen 613r

( )

( )

( )

Sen x

Sen x

Csc x

23

32

21

0 32

43

34

32

Solucionario Uni2015I Matematica (1)

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