SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI MATEMATICA 2009 I

1

Pregunta N.º 1

Un fabricante vende un artículo al mayorista

ganando p%, éste vende al minorista ganando q%

y el minorista al público obteniendo una ganancia

de t%. Si el precio del artículo al público es 1,716

veces el valor que cuesta fabricarlo, halle la suma

de las cifras de (p+q+t).

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

SoluciónTema

Tanto por ciento

Referencias

Una de las tantas aplicaciones de la regla del tanto

por ciento es el aumento sucesivo y las operacio-

nes comerciales, donde se cumple la siguiente

relación:

Precio de venta (PV)=Precio de costo (PC)+ +Ganancia (G)

Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento

del precio de costo.

Análisis y procedimiento1. caso:

er

precio de la fábrica

C ( )%C100+p

p%

precio del mayorista

gana

MatemáticaTema P

2. caso:o

precio del mayorista

(100+ )%p ( )%(100+ )%p C100+q

q%

precio del minorista

C gana

3. caso:er

precio del minorista

t%precio al público

( )%(100+ )%p C100+q ( )%(100+ )%(100+ )q p C100+t

gana

Al final (3.er caso), tenemos:

(100+t)%(100+q)%(100+p)%C=1,716C

100 100 100

100 10 0 10017161000

+( ) +( ) +( )× ×

=t q p

(100+t)(100+q)(100+p)=1716000Buscando factores enteros en el segundo miembro, mayores de 100, tenemos: (100+t)(100+q)(100+p)=110×120×130Entonces p+q+t=60cuya suma de cifras es 6.

Nota

Buscando factores enteros en el segundo miembro,

mayores de 100 también, tenemos:

(100+t)(100+q)(100+p)=104×125×132

Entonces

p+q+t=61

cuya suma de cifras es 7.

En esta pregunta hay dos respuestas y son 6 ó 7.

Respuesta

La suma de cifras de p+q+t es 6.

Alternativa A

UNI

SOLUCIONARIOExamen de Admisión UNI 2009-I

Matemática

2

Pregunta N.º 2

Tres números enteros m, n y p tienen una media

aritmética de 10 y una media geométrica de 9603

Halle aproximadamente la media armónica de

estos números, si n · p=120.

A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73

D) 9,93 E) 9,98

SoluciónTema

Promedio

Referencias

El promedio es un valor representativo de un

conjunto de datos; dependiendo de la forma de

cálculo tenermos:

• Media aritmética (MA)

MA = suma de datoscantidad de datos

• Media geométrica (MG)

MG n= Producto de datos

n: cantidad de datos

• Media armónica (MH)

MH = cantidad de datossuma de las inversas

de los datos

Análisis y procedimiento

De los datos tenemos

MA (m, n, p)=m n p+ + =

310 → m+n+p=30

MG (m, n, p)= m n p× × =3 3 960 → m×n×p=960

Además, por dato tenemos que n×p=120, como

m n p× × =120

960, entonces, m=8.

Nos queda que

n+p=22

n×p=120

de donde se obtiene

n=12 y p=10.

Finalmente, calculemos la MH (m, n, p).

MH m n p( , , ) , ...=+ +

=318

110

112

9 7297

∴ MH (m, n, p)=9,73

Respuesta

Aproximadamente, la MH de m, n y p es 9,73.

Alternativa C

Pregunta N.º 3

Las normas académicas de una institución educa-

tiva establecen las calificaciones siguientes:

Aprobado: nota ≥ 14;

Desaprobado: 9 ≤ nota < 14 y

Reprobado: nota < 9

En el curso de Química, las calificaciones finales

fueron: 40% de aprobados, con nota promedio:

16 puntos; nota promedio de los desaprobados:

11 puntos; y nota promedio de los reprobados:

6 puntos. Si la nota promedio obtenida en el curso

fue de 11 puntos, entonces, el porcentaje de alum-

nos reprobados es

A) 10% B) 20% C) 30%

D) 40% E) 50%

SoluciónTema

Promedios

Matemática

3

Referencias

El promedio más empleado es la media aritmética; para su cálculo se utilizan todos los datos y se calcula así:

MA = suma de datostotal de datos

Luego, tenemos que

suma de datos=MA×( Total de datos)


total dealumnos

apro-bados

desapro-bados

repro-bados

Cantidad 100% 40% (60 – x)% x%

MA 11 16 11 6

Luego, se tiene lo siguiente:

11×100%=16×40%+11(60 – x)%+6×x%

1100%=640%+660% – 5x%

1100%=1300% – 5x%

5x%=200%

x%=40%

Respuesta

Los alumnos reprobados representan el 40%.

Alternativa D

Pregunta N.º 4

De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI, uno

de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno de los cuales es mujer, y 3 son de la UNMSM, todos varo-nes. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar ternas constituidas por un profesor de cada universidad y que no pueda haber una mujer de la UNA?

A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18D) 0,20 E) 0,24

SoluciónTema

Probabilidades

Referencias

Cuando se requiere hallar el número de formas en

que se puede seleccionar r objetos de un total de n objetos diferentes entre sí, podemos emplear el siguiente cálculo:

Cn

r n rrn =

−!

!( )!

Además, el cálculo de la probabilidad de un

evento se calcula:

P =

cantidad de casosfavorables

cantidad de casostotales


Ahora seleccionaremos ternas de profesores:

Piden hallar la probabilidad (P) de que estas ternas

seleccionadas estén constituidas por un profesor de

cada universidad y que no pueda haya una mujer

de la UNA, entonces:

P

C C C

C= × × = =1

513

13

312

944

0 2045,

Respuesta

La probabilidad es 0,20 aproximadamente.

Alternativa D

Matemática

4

Pregunta N.º 5

Sea el número N=777...77(8) de 100 cifras. Halle

la suma (expresada en base diez) de las cifras del

número N2, que está expresada en base 8.

A) 640 B) 700 C) 740

D) 780 E) 800

SoluciónTema

Cuatro operaciones

Referencias

En problemas de multiplicación, cuando se

multiplica un número por otro cuyas cifras son

máximas, el producto se puede expresar como

una sustracción.

Ejemplo

abc×99=abc(100 – 1)=abc00 – abc

mnp8×7778=mnp8(10008 – 1)=mnp0008 – mnp8


Por dato

N = 777 77100

8...cifras

Entonces

N 2

1008

1008

777 77 777 77= ×... ...cifras cifras

Pero

N

N

2

1008

1008

2

777 77 1 00 0 1

7

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

... ...cifras cifras

777 77 00 0 777 77100 100

8100

... ... ...cifras cifras cifra

−ss

8

Ordenando en forma vertical y operando obte-nemos

N 2

100877 600 01= ... ...

cifras100 cifras

77...700...008 – 77...778

Entonces, la suma de cifras de N 2 es 7×99+6+1=700

Respuesta

La suma de cifras de N2 es 700.

Alternativa B

Pregunta N.º 6Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirmaciones:

1. ∀ a, b números enteros, ab

es un número

racional.

2. ∀ a, b números enteros, a b

a

++1 2 es un número

racional.3. Si k ∈ Z y k2 es par, entonces k es par.

A) FVV B) FFV C) VFVD) VFF E) FFF

SoluciónTema

Números racionales

Referencias

El conjunto de los números racionales se define:

Q Z Z= ∈ ∧ ∈ − { }⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ab

a b 0

Si mn

∈ Q, se debe cumplir que m ∈Z ∧ n ∈Z – {0}.

Además, se dice que un número es par si es un múltiplo de 2; es decir, si n es par, entonces, n=2K, (K ∈Z).


1. Por dato: ∀a; b números enteros se debe

concluir que ab

es un número racional, pero

esto no se cumple cuando b=0. Por lo tanto, esta proposición es falsa (F).

Matemática

5

2. Por dato: ∀a; b números enteros se debe

cumplir que a b

a

++1 2

es un número racional.

• Como a y b son enteros, la suma a+b sigue siendo entero.

• Además, a ∈Z. Entonces, 0 ≤ a2 ∈Z → 1≤ a2+1∈Z.

a b

a

++1 2

es un número racional, pues 1+a2 es

entero y diferente de cero.Por lo tanto, esta proposición es verdadera (V).

3. Por dato: Si K∈Z y K2 es par, entonces, K es par. Por dato K2 es par; entonces

K2=2n; (n ∈Z)Pero por ser K2 un cuadrado perfecto y

K n2 2= , entonces, n=2p2, de donde K2=4p2

→ K=2p; por lo tanto, K es par.Esta proposición es verdadera (V).

Respuesta

Los valores veritativos de las proposiciones son FVV, respectivamente.

Alternativa A

Pregunta N.º 7

Sea N=abc, un número de tres cifras, tal que;

abc cba cab= = =7 11 9o o o

y, .

Halle la siguiente suma 3c+2a+b.

A) 24 B) 26 C) 28D) 30 E) 32

SoluciónTema

Divisibilidad

Referencias

En los criterios de divisibilidad hay algunos casos particulares en donde se puede intercambiar el orden de las cifras; por ejemplo:

Si mnp=9o ↔ m+n+p=9

o, al intercambiar el orden

de las cifras también se genera números múltiplos

de 9; así, mpn= 9o

; pnm= 9o

; ...

Si mnp+ − +

=11o

↔ p – n+m= 11o

, al intercambiar las

cifras de orden impar también se genera múltiplo

de 11; así, pnm=11o

.


De los datos tenemos abc= 7

o

cba =+ − +

11o

→ cba =+ − +

11o

cab abc= → =9 9o o

abc= → abc=MCMo

( , , )7 9 11

7o

11o9o

De donde abc K= =693 693o

1(único valor)

Luego, a=6, b=9 y c=3.Entonces, 3c+2a+b=3(3)+2(6)+9=30.

Respuesta

La suma de 3c+2a+b es 30.

Alternativa D

Pregunta N.º 8

Si la fracción abccba

es equivalente a 5/17, determine

b, sabiendo que (a)(b)(c)≠0.

A) 1 B) 2 C) 4

D) 6 E) 8

SoluciónTema

Números racionales

Matemática

6

Referencias

Una fracción será equivalente a otra si resulta de multiplicar los términos de la fracción irreductible de esta última por una misma cantidad entera.Por ejemplo: Si queremos fracciones equivalentes

a 1220

35

< > irreductible.

Entonces, dichas fracciones serán de la forma ab

nn

= 35

, donde a=3n y b=5n (n ∈ Z).


Por dato, la fracción abccba

es equivalente a 5

17.

Entonces, se cumple que

abccba

nn

= 517

→ abc=5n= 5o

cba=170De lo anterior se concluye que c=5además, se tiene que

cba abc nc a

− = =−99

12 4( )

o

→ 99 12 44

( )c a nc a

− = =− =

o

o

pero c=5∴ a=1 ∧ n=33Como abc=5n=5(33)=165entonces, b=6.

Respuesta

El valor de b es 6.

Alternativa D

Pregunta N.º 9

Sea la igualdadx a b x a b− + = + − (*)

entonces, la proposición verdadera es:

A) (*) si y solo si x=0 ∨ a2=b2 B) (*) si y solo si x=a=b C) (*) si y solo si x=0 ∧ a=bD) (*) si y solo si x=0 ∨ a=b E) (*) si y solo si x=a= – b

SoluciónTema

Valor absoluto

Referencias

Para la resolución del problema utilizaremos el siguiente teorema. |x|=|y | ↔ x=y ∨ x= – y


Plan de resolución

I. Aplicar el teorema.II. Resolver las ecuaciones obtenidas.Ejecución del plan I. |x – a+b|=|x+a – b| ↔ x – a+b=x+a – b ∨ x – a+b= – (x+a – b)II. 2b=2a ∨ x – a+b= – x – a+b ↔ b=a ∨ 2x=0 ↔ b=a ∨ x=0∴ x=0 ∨ a=b

Respuesta

La proposición verdadera es x=0 ∨ a=b.

Alternativa D

Pregunta N.º10

Si x

y

y

x

2

2

2

2136

+ = , x 2+y 2=5, x < 0 < y y |y| < |x|,

halle el valor de S y x= +2 3

A) – 2 B) – 1 C) 0

D) 1 E) 2

SoluciónTema

Sistema de ecuacionesReferencias

Para resolver el problema necesitamos conocer lo siguiente:• Ecuaciones cuadráticas.• Valor absoluto.

Matemática

7


Plan de resoluciónI. Hallar el equivalente de la primera ecuación del

sistema.II. Dicho equivalente lo relacionamos con la

segunda ecuación.III. Restringimos algunos valores por la condición

del problema.

Plan de ejecuciónTenemos el sistema

x

y

y

x

x y

x y y x

2

2

2

2

2 2

136

5

0

+ = ( )

+ = ( )< < <

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

α

β;

De (α) se tiene

6x4 – 13x2y2+6y4=0

Factorizamos (3x2 – 2y2)(2x2 – 3y2)=0

→ 3x2=2y2 ∨ 2x2=3y2

→ x

y

x

y

2

2

2

223

32

= ∨ = (λ)

De (β) y (λ) tenemos (x2=2 ∧ y2=3) ∨ (x2=3 ∧ y2=2)como |y| < |x|, entonces, solo es posible x2=3 ∧ y2=2

↔ x y± ∧ = ±3 2

y como x < 0< y, se tiene finalmente x y= − ∧ =3 2

∴ S y x= + = ( ) + ( ) −( ) = −2 3 2 2 3 3 1

Respuesta

El valor de S y x= +2 3 es – 1.

Alternativa B

Pregunta N.º 11

En la figura se muestra la gráfica del polinomio

cúbico p(x).

Sabiendo que p(a)=20, halle p a−( )3

A) 4 B) 5 C) 8

D) 10 E) 12

Solución

Tema

Gráfica de funciones

Referencias

Para la resolución del problema se necesita conocer

lo siguiente:

• Gráfica de funciones cúbicas.

• Raíces reales de funciones polinomiales.

• Características de las funciones cúbicas.

• Teorema del factor.


Plan de ejecución:

I. Identificar las raíces reales de la gráfica.

II. Aplicar el teorema del factor.

III. Hallar el coeficiente principal de P(x)

Matemática

8

Ejecución del plan:

I. Del siguiente gráfico

0

P

– 2a X

Y

2a

las raíces son – 2a; 0; 2a

II. P(x)=b(x+2a)x(x – 2a).

III. Evaluamos x=a

P(a)=b(3a)a(– a)=20 → ba

= − 20

3 3

Luego, Pa

x a x x ax( ) = − + −20

32 2

3( ) ( ).

Similarmente, para x= – 3a

Pa

a a aa−( ) = − − − − =3 3

20

33 5 100( )( )( )

∴ P a−( ) = =3 100 10

Respuesta

El valor de P a−( )3 es 10.

Alternativa D

Pregunta N.º 12

La gráfica de la función f se muestra a continuación

Determine aproximadamente la gráfica de la

inversa de la función

g(x)=|f(x – 2)+1|; – 1 ≤ x ≤ 1

Solución

Tema

Gráfica de funciones

Referencias

Para la resolución del problema se necesita conocer lo siguiente:• Propiedades de las gráficas de funciones.• Gráfica de la función inversa.


Plan de resolución

I. Identificar la gráfica de f en el dominio indicado.

II. Usar las propiedades de gráficas de funciones para construir g(x).

III. Graficar la función inversa.

Matemática

9

Ejecución del plan

I. Como nos interesa la gráfica de

f(x – 2), para – 1 ≤ x ≤ 1 → – 3 ≤ x – 2 ≤ – 1

es decir, solo nos interesa la gráfica de f en el

intervalo [– 3; – 1] ⊂ Domf.

II.

– 1

1

– 1

Y

X

– 2

– 3 – 1

1

– 1

Y

X

1

f x( ) f x( – 2)

2

– 1

Y

X

1

f x( – 2)+1

como

f(x – 2)+1 ≥ 0 ∀ x ∈[– 1; 1]

→ |f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1

luego,

g(x)=|f(x – 2)+1|=f(x – 2)+1; – 1 ≤ x ≤ 1

III. Por lo tanto, la gráfica de g–1(x) será

– 1

Y

X2– 1

2

g–1

g

1

Respuesta

La gráfica de g – 1 se muestra en la alternativa C.

Alternativa C

Pregunta N.º 13Si a, b y c son constantes positivas y

1 1 1 10 0

0 00 0

0x ax bx c

=

Determine el valor de x.

A) abc

a b c+ +

B) abc

ab ac bc+ +

C) bca

acb

abc

+ +

D) a b c

abc+ +

E) abc

bac

cab

+ +

SoluciónTema

Determinantes

Referencias

Para el cálculo del determinante de una matriz de

orden (4×4), se utilizará el método de menores

complementarios, y es necesario también el método

de Sarrus para una matriz de orden (3×3).


Plan de resolución

I. Identificar la fila o columna que contenga más

ceros.

II. Aplicar el método de menores complementarios.

III. Aplicar el método de Sarrus.

Matemática

10

Ejecución del plan

I. 1 1 1 1

x a 0 0

x 0 b 0

x 0 0 c

II. 1 1 1 1

x a 0 0

x 0 b 0

x 0 0 c

=– x1 1 1

0 b 0

0 0 c

+a ( )�

1 1 1

x b 0

x 0 c

III. 1 1 1

0 b 0

0 0 c

1 1

0 b

0 0

=bc

+ + +– – –

1 1 1

x b 0

x 0 c

1 1

x b

x 0

= –( + )bc bx cx

+ + +– – –

Reemplazamos en (α)

1 1 1 1

x a 0 0

x 0 b 0

x 0 0 c

=– xbc+a(bc – (bx+cx))=0

→ – xbc+abc – abx – acx=0

→ xabc

ab bc ac=

+ +

Respuesta

El valor de x es abc

ab bc ac+ +.

Alternativa B

Pregunta N.º 14El sistema de inecuaciones

x – 3y ≤ 6

2x+y ≥ 4

x+y ≤ 6

x ≥ 0

y ≥ 0

determina en el plano una región R. Podemos

afirmar que

A) R es una región triangular.

B) R es un región cuyo borde es un cuadrado.

C) R es un región cuyo borde es un cuadrilátero.

D) R es vacía.

E) R es un cuadrante.

SoluciónTema

Sistema de inecuaciones lineales

Referencias

Una inecuación con dos variables se puede repre-sentar geométricamente en un plano cartesiano; por ejemplo, para la inecuación x+2y ≥ 12

6

12

YY

XX


Plan de resoluciónI. Graficar las desigualdades. II. Intersecar dichas regiones.III. Identificar la figura y su borde.

Ejecución del plan

6

4

2 6

2 + =4x y

x y+ =6

x y–3 =6

–2

Y

X

RR

Matemática

11

Respuesta

Se puede afirmar que R es una región cuyo borde

es un cuadrilátero.

Alternativa C

Pregunta N.º 15

Si el conjunto solución de la inecuación

(2x – x)(3x – log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0

es de la forma S=⟨a; b⟩ ∪ ⟨c; +∞⟩ , halle a+b+c.

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 5

Solución

Tema

Inecuación logarítmica y/o exponencial

Referencias

Para la resolución del problema se debe conocer

lo siguiente:

• Gráficas de las funciones exponenciales y

logarítmicas.

• Criterio de los puntos críticos.


I. Graficar las funciones exponenciales y logarít-

micas para compararlas.

II. Simplificar los factores positivos que aparecen

en la inecuación.

III. Usar el criterio de los puntos críticos para

determinar los valores de a, b y c.

Ejecución del plan

I. Debemos recordar las gráficas de las funciones

siguientes:

1

y=2x

y x=

Y

X

→ (2x – x) > 0; ∀x ∈ R

y=3x

y x=log3

Y

X

1

1

→ (3x – log3x) > 0; ∀x ∈ R+

II. En la inecuación debemos considerar x > 0

para que log3x exista.

2 3 3x xx x−( ) −( )

+ +

log (x2 – 9)(3x – 32) > 0

→ (x – 3)(x+3)(3x – 32) > 0

III. Puntos críticos: –3; 3 y 2

–3 0 2 3

→ CS=⟨0; 2⟩ ∪ ⟨3; +∞⟩

Comparando con el dato, obtenemos

a=0, b=2 y c=3

→ a+b+c=5

Respuesta

El valor de a+b+c es 5.

Alternativa E

Matemática

12

Pregunta N.º 16

Sea u el número de decenas de sillas y v el número

de decenas de mesas que fabrica una empresa al

día. Si la utilidad diaria está dada por 200u+300v,

y se tienen las siguientes restricciones:

u+v ≤ 4

2u+3v ≤ 10

40u+20v ≤ 120

encuentre el número de decenas de mesas y sillas,

respectivamente, a fabricar diariamente de modo

que la empresa obtenga la mayor utilidad.

A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2

D) 2 y 3 E) 3 y 2

Solución

Tema

Programación lineal

Referencias

En este tema se requiere determinar la región

factible, la cual se obtiene mediante la representación

geométrica de las restricciones dadas, para luego

calcular las coordenadas de los vértices de la región

y poder evaluar el máximo o mínimo valor de la

función objetivo.


Plan de resolución

I. Identificar la función objetivo.

II. Representación gráfica de las restricciones.

III. Evaluar la función objetivo en los vértices de la

región factible.

Ejecución del plan

I. La función objetivo es f(u, v)=200u+300v.

II. Vamos a representar geométricamente las

restricciones.

u vu v

u v

+ ≤+ ≤

+ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

42 3 1040 20 120

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

U

V

P(2; 2)

A

B

Como u y v representan el número de decenas de

sillas y mesas, entonces, son cantidades enteras,

por lo que evaluaremos la función objetivo solo

en (2; 2) y (3; 0); así:

III. f(2; 2)=200(2)+300(2)=1000 (máximo)

f(3; 0)=200(3)+300(0)=600

Respuesta

La empresa obtendrá la mayor utilidad cuando

fabrique 2 decenas de sillas y 2 decenas de

mesas.

Alternativa C

Pregunta N.º 17

Dada la sucesión 2; 6; 12; 20; 30; 42; ...

Determine la suma de los 100 primeros términos

de la sucesión anterior.

A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400

D) 333 300 E) 343 400

Matemática

13

Solución

Tema

SeriesReferencias

Una serie es la suma de los términos de una suce-sión y se denota por

tn

n

k

=∑

1

Algunas sumas notables:

• k nn n

k

n= + + + + = +( )

=∑ 1 2 3

121

...

• k nn n n

k

n2

1

2 2 2 21 2 31 2 1

6=∑ = + + + + = +( ) +( )

...

• k k n n

n n n

k

n+( )= × + × + × + + × +( )

= +( ) +( )

=∑ 1 1 2 2 3 3 4 1

1 23

1...


De la sucesión

2 6 12 20 30 42100

; ; ; ; ; ;...términos

notamos que cada término se expresa como

1×2; 2×3; 3×4; 4×5; 5×6; 6×7; ...; 100×101

Entonces, el término general de la sucesión es

tn=n(n+1)

calculando la suma de los 100 términos de la sucesión, obtenemos

n n

n+( ) = × × =

=∑ 1

100 101 1023

3434001

100

Respuesta

La suma de los 100 términos de la sucesión es 343 400.

Alternativa E

Pregunta N.º 18Si los números 49; 4489; 444 889; ..., obtenidos

colocando el número 48 en medio del anterior, son

los cuadrados de números enteros. Halle la suma

de los dígitos del sexto número entero.

A) 36 B) 37 C) 38

D) 39 E) 40

SoluciónTema

Sucesión

Referencias

Cuando tenemos una sucesión de números, debemos identificar una regla de formación que nos permita encontrar cualquier término de la sucesión.


De los términos de la sucesión 49; 4489; 444889; ...nos indican que cada uno de ellos son los cuadrados de números enteros; por lo tanto, analicemos cada término.

Números Números enteros elevados al cuadrado

1.er número 49 = 72

2.o número: 4489 = 672

3.er número 444889 = 6672

......

...

6.o número : = 6666672

el sexto número entero elevado al cuadrado es 666667

Piden la suma de los dígitos del sexto número entero; aquí se debe entender que se refieren al sexto número entero que está elevado al cuadrado, esto es 6+6+6+6+6+7=37

Matemática

14

Respuesta

La suma de los dígitos del sexto número entero es 37.

Alternativa BPregunta N.º 19Determine el conjunto solución del sistema

x2– 4x+y2=64

x3– 6x2+12x+y=8

A) {(0; 8), (2; 1)}

B) {(0; 8), (4; – 8)}

C) {(0; 8), (0, – 8)}

D) {(4; – 8), (2; 8)}

E) {(1; 2), (4; – 8)}

SoluciónTema

Sistema de ecuaciones no lineales

Referencias

Para resolver el sistema no lineal utilizaremos el método de Gauss; es decir, eliminar una incógnita.


Plan de resoluciónI. Completar cuadrados y cubos.II. Eliminamos una incógnita.III. Factorizamos aplicando el método de los

divisores binómicos. Ejecución del plan:I. x2– 4x+y2=64

x2– 4x+4+y2=64+4

(x– 2)2+y2=68 (β)

x3– 6x2+12x+y=8

x3–6x2+12x–8+y=8 – 8

(x – 2)3+y=0 (α)

II. En (α) tenemos: y=–(x –2)3

Reemplazando en (β) obtenemos

(x–2)2+(–(x–2)3)2=68

(x–2)2+(x–2)6=68 (θ)

III. Haremos un cambio de variable para factori-zarlo.

sea (x – 2)2=a

Reemplazando en (θ) tenemos a+a3=68 a3+a – 68=0

Se observa que a=4 es raíz → (a – 4) es un factor.Aplicamos Ruffini para obtener el otro factor.

1 0 1 –68

4 16 68

4 17 0

4

1

(a – 4)(a2+4a+17)=0

Δ<0 (no tiene solución real)

Entonces, a=4.Reemplazamos:

(x–2)2=4 → x yx y

= → = −= → =

⎧⎨⎩

4 80 8

Respuesta

El conjunto solución es CS={(0; 8); (4; –8)}.

Alternativa B

SOLUCIONARIO EXAMEN DE ADMISION UNI MATEMATICA 2009 I

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