Solucionario Matemática - Admision UNI 2011-2 - Pamer

8/6/2019 Solucionario Matemtica - Admision UNI 2011-2 - Pamer

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Examen de admisin

UNI 2011-I1Solucionario

Academias Pamer 1Pg.

EXAMEN DE ADMISIN UNI 2011 - I1

MATEMTICA

1. Sea p(x) un polinomio con coeficientes rea-les cuya grfica se muestra a continuacin:

Indique la sucesin correcta despus de veri-ficar la veracidad o falsedad de las siguientesproposiciones.

I. p(x) tiene grado 3.II. p(x) tiene solo 2 preguntas complejas.III. Existe c tal que p(x+c) no tiene ra-

ces complejas.A) VVV B) VVFC) VFF D) FFVE) FFF

2. Al dividir un polinomio p(x) entre x41 se obtu-vo como residuo: 3x2+ nx2+ mx 2; si ade-

ms se sabe que, el resto de dividir p(x) entre(x2 1) es 5x 4, entonces el valor de mn es:A) 4 B) 2C) 1/2 D) 1/4E) 4

3. Halle el valor de x en la siguiente ecuacin:log xlogx log x 6 = 0

D como respuesta la suma de las soluciones.A) 10,01 B) 99,99C) 100,01 D) 999,99

E) 1 000, 01

4. Halle el valor de:

( ) ( ) ( ) ( )= + + +

+ + +3 3

1 1 1 1M 11 log 10e 1 Ln 30 1 log 3e log e

A)( )log 3

10 B)( )Ln 3

10

C)( )Ln 33 D) Ln(3)

E) 1

5. Considere la matriz: =

1 4 kA 1 k 4

1 k k

Determine el conjunto de valores de k paraque A sea invertible.

A) { } k \ 0 B) k

C) { } k \ 4 D) = k 4E) =k 0

6. Al resolver el sistema =

= 2

|z 3i| 2

y x 1donde z = x iy es un nmero complejo; lasuma de las ordenadas de los puntos solu-cin es:

A) 9 B) 8 C) 7D) 6 E) 5

7. Sea { }= + + 1 1 1 2 2 2S (x,y)/a x by C,a x b y C ,x 0,y 0La regin admisible de un problema de pro-gramacin lineal.Indique la secuencia correcta despus de de-terminar si la proposicin es verdadera (V) ofalsa (F).I. Si se modifica S, obtenindose

{= + + 1 1 1 1 2 2 2S (x,y) / a x b y C ,a x b y C ,}+ 3 3 3a x b y C ,x 0,y 0 , la solucin

no cambia, en un problema de maximi-zacin.

II. Si f(x,y) es la funcin objetivo, y(xo, yo) esla solucin en S y (x1, y1) es la solucin enS1 entonces, en un problema de mini-

mizacin se tendr f(xo, yo) f(x1, y1).III. En general S1, la nueva regin admisible,puede o no variar en relacin a S.

A) F F V B) F V V C) F F FD) V V F E) V F V

8. Sea una ecuacin de rectngulos R1, R2, ...,

Rk ... donde el k-simo rectngulo tiene lado

+1 1y ;k k 3 entonces, la suma de las reas de

todos los rectngulos es igual a:


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UNI 2011-1I Solucionario

Academias Pamer2Pg.

A) 1 B) 11/18C) 7/6 D) 1/3E) 1/6

9. Indique la alternativa correcta despus dedeterminar si cada proposicin es verdadera(V) o falsa (F) segn el orden dado:I. Existen 8 nmeros de 3 cifras tales que al

ser divididos entre 37 dan un residuoigual a la cuarta parte del cociente.

II. Sean a,b ; si (a+x)(bx)=ab, enton-

ces se tiene que x=0.III. Si D=dc+r con 1, enton-

ces el conjunto ( ){ }x / D x d x c r+ = + + Zes unitario.

A) VVV B) VVFC) FFV D) FVFE) FFF

10. Qu cantidad de desinfectante (en litros) al80% se debe mezclar con 80 litros del mismo

desinfectante al 50% para obtener un desin-fectante al 60%?

Indique adems el porcentaje de desinfec-tante al 50% en la solucin final.

A) 40 y 33,33% B) 40 y 66,67%

C) 60 y 33,33% D) 60 y 66,67%

E) 66,67 y 60%

11. Un empresario firma una letra por S/. 48 000a ser pagada en 8 meses al 7% de descuento

anual. Luego de transcurridos 3 meses deci-de cancelar la letra, pues debe viajar pararadicar en Australia. Calcule la diferenciaentre la cantidad que recibi y cancel elempresario en nuevos soles, sabiendo que elacreedor cobra una comisin del 0,2% so-bre el valor nominal, si se cancela al final.

A) 740 B) 742

C) 744 D) 746

E) 748

12. Sean 4A 1a1= , aB 1101= y 5C 1a24a= .Determine la suma en cifras de C en basedecimal.A) 7 B) 9 C) 11D) 13 E) 15

13. El nmero N = 3b . 5a (con a 1) tiene tresdivisores ms que M = 2a . 53. Determine lasuma de las inversas de los divisores de M.

A) 1,564 B) 1,852 C) 2,184D) 1,248 E) 1,384

14. Determine la cantidad de fracciones propiase irreducibles que estn comprendidas entre9/33 y 45/47 tales que la suma de sus trmi-nos sea 90.

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

15. Sea + + + + + 2 ab 6 ab 12 ab 20 ab ... 72 abun nmero natural, cuya cantidad de divisores

es impar. Cuntos valores puede tomar ab ?A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

16. El mnimo comn mltiplo de dos nmeros dis-tintos es al mximo comn divisor de ellos como35 es a 1. Si el nmero mayor es 3 017, determi-ne la suma de las cifras del nmero menor.

A) 12 B) 13 C) 14D) 5 E) 16

17. Sean los conjuntos{ }A = x / x x M

{ }B = x / x + x M Entonces los valores de M tales queA B = son:

A) { }M 0 B) 1 1M ;2 2

C) [ ]M 1; 1 D) [M 0,

E) M ,


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18. Dadas las siguientes proposiciones:I. "Si existe n tal que n2 < 0, entonces

existe n tal que n 3 = 0"II. "Si para todo x se tiene 2x 0 , en-

tonces existe x 1; 1 tal que ex < 0"III. "Si existe n tal que n2 < 0, entonces

existe x tal que ex < 0"Indique la secuencia correcta despus de de-terminar si es verdadera (V) o falsa (F).A) VVV B) VFV C) FVVD) VVF E) FFF

19. Halle el conjunto solucin del sistema deinecuaciones:

1+ x + 2 x 1 x 0

A) [0,+ B) 0,+

C) 0, 1 D) [ ]0, 1

E) [1, +

20. Sean las funciones:24f(x)= x 8 64 x

g(x) = (x3) sgn(x),donde sgn es la funcin signo. Luego, el n-mero de elementos de {(x, f(g(x)))} es:

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

21. En la figura, O es el centro del crculo trigo-

nomtrico. Si OA = 1 u y = 3tan3

, calcule

el rea de la regin sombreada (en u2).

A)79 B)

56 C)

67

D)78 E)

89

22. En la circunferencia trigonomtrica de la fi-

gura mostrada, el arco ;2

, calcule el

rea de la regin sombreada = AM .

A) ( ) 1 1 cos2 2 cos

B) ( ) 2 cos1 cos

C) ( ) 1 2 cos2 1 cos D) ( )

+

1 2 cos2 1 cos

E) ( ) + 1 1 cos2 2 cos

23. Si ( ) ( )= =4x 3xtan a y tan b7 7 , entonces alsimplificar:

( )= 2 2 xE (1 a b ) tan(x) tan 7se obtiene:

A) a b B) a 2 b2

C) a + b D) ab

E) a/b

24. Si: 5x ; 4 , determine el rango de la funcin:

= + f(x) 1 2 senx cos x

A) 20;2

B) 0;1

C) 0; 2 D) 0; 3

E) +0; 2 1


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Academias Pamer4Pg.

25. Para 0 < x < 1, resolver la ecuacin

1arccotx arctan1 x

=

A) 1 52+ B) 1 4

2+

C) 1 32+ D) 1 2

2+

E) 2 22+

26. Sea 02

< < tal que:

5 5 51log (tan ) log (tan 6) log 92

+ + =

Determine el valor de 2sec

A) 24 12 3 B) 22 12 3

C) 20 12 3 D) 18 12 3

E) 12 12

27. Si A, B y C son los ngulos de un tringulo

1,2; 2,3 y 3 son las longitudes de sus ladosopuestos a dichos ngulos respectivamente ysean A = L, calcule el valor de la expresinsiguiente:

sen(A B) sen(A C) sen(B C)D

53 cos A 42 cos B 35 cos C+ + + + +=

+ +

A)L4 B)

L6 C)

L8

D)L

10 E)L12

28. Cul es la ecuacin de la circunferencia cuyocentro est sobre la recta y + x = 0. Adems,

pasa por los puntos (3,4) y (3 2, 7) ?

A) x2 + y2 = 5 B) x2 + y2 = 9C) x2 + y2 = 15 D) x2 + y2 = 16E) x2 + y2 = 25

29. En un cono circular, recto la generatriz mide12 cm y una cuerda de la circunferencia dela base mide 16 cm. Si la distancia del centro

de dicha circunferencia a la cuerda es 4 cm,entonces el volumen del cono (en cm3)es:

A) 6403

B) 6413

C) 6423

D) 6433

E) 6443

30. Considere dos esferas tangentes exteriormente,cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectiva-mente. Calcule el volumen (en cm3) del conocircular recto circundcrito a las dos esferas.

A)80

B)81

C) 82D) 83 E) 84

31. En una pirmide regular de base cuadrangu-lar, el punto medio de la altura dista en unacara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respec-tivamente. Calcule al altura (en u) de la pirmide.

A) 6 2 B) 12 2 C) 18 2

D) 24 2 E) 34 2

32. En la figura C, es un cilindro circular recto de

radio R y altura h. Si en C, se inscribe unprisma regular cuadrangular y luego en esteprisma se inscribe un cilindro circular rectoC2, y as se repite el proceso obteniendo loscilindros C3, C4, C5, ... Si el cilindro C21 estal que su rea total es 3 veces su rea lateral,entonces el rea lateral de C1 es:

A)( )

240

R

2B)

( ) 2

30R

2C)

( ) 2

20R

2

D)( )

215

R

2E)

( ) 2

10R

2


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Examen de admisin



33. En la figura ABCDEF... es un polgono regu-lar cuyo lado mide 2 cm. Calcule PF (en cm).

B

A F

E

DC

P

A) 4 3 B) 2 13C) 3 6 D) 6 2

E) 4 6

34. Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O'

respectivamente, son tangentes exteriormente

en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P

y desde O' se traza una tangente a C1 en Q (OP

no se interseca con O ' Q). Si se tiene que PQ

se interseca con O O' en T, entonces la relacinde los radios de dichas circunferencias es:

A) 13

B) 12

C) 1 D) 2

E) 3

35. En un rectngulo ABCD, M y N son puntos me-

dios de los lados BC y CD respectivamente,

tales que AM = 2 2 cm y BN = 17 cm. Si Pes el punto de interseccin de los segmentos AM y

BN, entonces el valor de PM + PN en cm es:

A) +2 2 175

B) +2 2 2 175

C) +3 2 175

D) +2 2 3 175

E) +3 2 3 175

36. En una circunferencia de 10 cm de radio, doscuerdas se cortan de manera que el producto delos segmentos que cada una determina sobre ses 1296 cm4. Determine a qu distancia (en cm)del centro, se halla el punto de interseccin.A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

37. Los dimetros AByCD de una circunferen-cia son perpendiculares. Si E BD , AEinterseca a CD en el punto F y FD = 1 cm,

entonces la longitud de la circunferencia cir-cunscrita al tringulo FED (en cm) es:

A) 2 B) 2 2 C) 2 3

D) 3 2 E) 3 3

38. El volumen y el rea lateral de un prisma rectode base triangular son 50 m3 y 200 m2 respec-tivamente. Calcular el radio (en m) de la cir-cunferencia inscrita en la base del prisma.

A) 0,25 B) 0,5 C) 1

D) 2 E) 3

39. En un tringulo ABC en el espacio, la altura

relativa a AC es 5 3 cm. Sus vrtices A y Cestn en un plano horizontal P y el vrtice B esexterior a P de modo que el diedro B AC B'(B' es la proyeccin de B sobre P) mide 37.Si AB' = 10 cm, entonces la longitud de AB(en cm) es:

A) 10 B) 10,6 C) 127

D) 5 6 E) 6 5

40. Las diagonales de un trapecio dividen a steen cuatro tringulos. Si las reas de los trin-gulos adyacentes a las bases son A1 y A2, en-tonces el rea total del trapecio en funcin deA1 y A2 es:

A) + +1 2 1 2A A A A B) 1 22 A A

C) 1 2A A D) ( )+2

1 2A A

E) + 1 2 1 2A A A A


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SOLUCIONARIO UNI 2011 - I1

MATEMTICAS

RESOLUCIN 1

TEMA: Funciones Polinomiales

Ubicacin de incgnita

Valor de verdad

Anlisis de los datos o grficos

La grfica corresponde a un polinomio de gradoimpar, no lineal, que interseca en un nmero imparal eje de abcisas, por tanto y = P(x) tiene almenos una raz real.

I. Falso (F)

No necesariamente el grado es tres.

II. Falso (F)

No necesariamente. Tiene una cantidad parde races imaginarias, que al menos es 2.

III. Falso (F)

y = p(x+c) se obtiene desplazando "c" uni-dades, a lo largo del eje de abcisas, la grficade y = p(x).

Observacin:

En este problema se est considerando que loscomplejos son los imaginarios, cabe recordar quelos complejos incluyen reales e imaginarios.

Conclusiones y respuesta:

Rpta: FFF

Respuesta: E)FFF

RESOLUCIN 2TEMA: Polinomios


Calcular el valor de mn


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 3 21

22

P x x 1 q x 3x nx mx 2

P x x 1 q x 5x 4

= + + +

= +

Operacin del problema

1. Aplicando la frmula, teorema o propiedadPara eliminar los cocientes hacemos:

x 1 x 1= =

2. Solucin del problema:

( ) ( )

( ) ( )

P 1 m n 1 P 1 1

P 1 n m 5 P 1 9

= + + =

= =

Igualando:

m n 0 n m 4

m 2 n 2

+ = =

= =


( )2n 1m 24

= =

Respuesta: D) 14

RESOLUCIN 3

TEMA: Logaritmos


El valor de "x"


Log xLogx Logx 6 = 0


( )( ) ( )2

Log x Log x 6 0=

Factorizando:

1 2

Log x 3 Log x 2x 1000 x 0,01

= =

= =


Nos piden:

1 2x x 1000,01+ =

Respuesta: E) 1 000,01


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Examen de admisin



RESOLUCIN 4TEMA: Logaritmos


El valor de: "M"


( )( ) ( ) ( )

( )( )

3 3

1 1 1 1M 11 Log 10e 1 Ln 30 1 Log 3e Log e

= + + ++ + +


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

3 3

3

1 1

M Log 3 Log 10e Ln e Ln 301 1 1

Log10 Log 3e Log e

= + ++ +

++

( ) ( ) ( )( )

( )3 3

1 1 1 1M 1Log 30e Ln 30e Log 30e Log e

= + + +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

30e 30e 30e eM Log 3 Log e Log 10 Log 3 1= + + +

( ) ( )eM Log 3 Ln 3= =


Ln(3)

Respuesta: D) Ln(3)

RESOLUCIN 5TEMA: Matrices


Los valores de "k"


La matriz "A" es invertibleOperacin del problema

Aplicacin de frmula, teorema o pro-

piedad:

Para que la matriz "A" sea invertible: | A| 0

Solucin del problema:

=

1 4 k|A| 1 k 4 0

1 k k

Segn la regla de Sarrus:

+ + + +

2 2 2

2

(k 16 k ) (k 4k 4k) 0

(k 4) 0 k 4

Conclusin y respuesta:

{ } k \ 4

Respuesta: C) { } k \ 4

RESOLUCIN 6TEMA: Nmeros complejos


Suma de las ordenadas de los puntos solucin


=

=

= +

2

|z 3i| 2......(I)

y x 1.......(II)

z x yi


De la ecuacin (I):

+ = + = 2 2 2|x (y 3)i| 2 x (y 3) 2 ...( )

De la ecuacin (II):

= 2x y 1..........( )

Reemplazando ( ) en ( ) :

Si: y-1+(y-3)2=22 y=1 x=0

Si: y-1+(y-3)2=22 y=4 x= = 3 x 3

Los puntos solucin son: (0;1);( 3 ;4);( 3 ;4)


1 + 4 + 4 = 9

Respuesta: A) 9


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RESOLUCIN 7TEMA: Programacin lineal


Valor de verdad


{ }= + + 1 2 2 2S (x;y) / a,x b,y c ,a x b y c , x 0,y 0


I. Falso (F)

De acuerdo con la regla posicional de lossemiplanos la solucin podra cambiar.

II. Verdadero (V)De acuerdo con la regla posicional del menorsemiplano en la minimizacin

o o 1 1f(x ;y ) f(x ;y )

III. Verdadero (V)La proposicin es perfectamente valida.


FVV

Respuesta: B) FVV

RESOLUCIN 8TEMA: Series


Suma de las reas de todos los rectngulos.


=

+k1A

k(k 3)


rea total = A1 + A2 + A3 + ...

rea total = + + + + +1 1 1 1 1 ...

1.4 2.5 3.6 4.7 5.8

rea total = ( ) ( )( ) ( )

= = = ++ +

+ + + + +

k 1 k 11 1 1 1 1 13 k k 3 3 k k 11 1 1 1

k 1 k 2 k 2 k 3

Segn la regla telescpica tenemos:

rea total = ( ) + + = = 1 1 1 1 11 1113 2 3 3 6 18

Conclusin y respuesta

rea total = 211 u18

Respuesta: B) 1118

RESOLUCIN 9TEMA: Cuatro Operaciones


Analizar los valores de verdad de cada proposicin.


I.

Hay 6 nmeros

falso

II. a;b

( ) ( )a x b x a b+ = .

ab 2x b xa x ab+ =

( ) 2x b a x=


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Examen de admisin



Hay 2 soluciones

x 0 x b afalso

= =

III. D dc r con o r c y c 1= + < >

Luego el conjunto:

x 0 =

El conjunto tendr un solo elemento cuando x=0verdadero

Respuesta: C) FFV

RESOLUCIN 10

TEMA:Regla de Mezcla


Sea "x" el volumen del recipiente de 80%.


x 80% 80 50% 60%x 80

+ =

+. .

x = 40


Piden: x = 40

Adems

=+

80 x100% 66,67%40 80

40y66,67%

Respuesta: B)40 y 66,67%

RESOLUCIN 11TEMA: Descuento




Aplicacin de frmula, teorema o propiedad

( )Va Vn x 1 R% x t=

Solucin del problema

( )17 8

Va 48000 1 x 45760100 12= =

( )2 7 5Va 48000 1 x 46600100 12= =


Piden: ( )46600 45760 96 744+ =

Respuesta: C) 744

RESOLUCIN 12

TEMA: Numeracin


Necesitamos "a" para conocer el valor del numeral C.



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Academias Pamer10Pg.

Evaluamos para a = 3 en A x B = C


C = 1073; cifras 11 =

Respuesta: C) 11

RESOLUCIN 13TEMA: Nmeros primos


Sea SID(M) la suma de inversas de los divisores de M.


Necesitamos hallar "a" sabiendo que a 1.


b a a 3

N M

3 1

N 3 5 M 2 5

CD CD 3(b 1)(a 1) (a 1) 4 3(a 1)(b 3) 3

a 2 b 4

= =

= +

+ + = + +

+ =

= =

Reemplazo en M = 22 53

3 4

(M)(M) 2 3

2 1 5 1SD 2 1 5 1SID 2,184

M 2 5

= = =

Respuesta: C) 2,184 RESOLUCIN 14TEMA: Fracciones


Piden los valores de x.


Sea la fraccin: 9 0 xx

adems la fraccin es

propia e irreductible.

x 90 x PESI con 90 <


9 90 x 4533 x 473 90 45 1

11 x 4714 90 9211 x 47

45, ..... x 70, .....

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