SOLUCIONARIO - PamerAcademias Pamer 5 Matemática EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1 3....

Nuestra exigencia tiene resultados

711-7300

NUEVA SEDE: SAN JUAN DE LURIGANCHOAv. Próceres de la Independencia 1959

Teléfonos: 715 – 4146 / 715 – 4147

NUESTRAS SEDES: San Martín de Porres: Av. Universitaria 3181 Teléfonos: 715 – 0206 / 715 – 0207

Santa Beatriz: Calle Emilio Fernández 611 Teléfonos: 719 – 2854 / 719 – 2856Santa Anita: Av. Nicolás Ayllón 2929 Teléfonos: 717 – 3714 / 717 – 3715

* A

cade

mia

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mer

año

201

4

2500

SOLUCIONARIO

2018 - 1

Créditos

ENCARGADO DE EDITORIAL: Marcelo Encinas Boyer

SUPERVISORA ED. ACADEMIA: Mercedes Nunura Sánchez

DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA: Carmen Alburqueque Valera

COORDINACIÓN DEL EXAMEN: Susana Oña Cachique

Maribel Salinas

PROFESORES RESPONSABLES:Roberto Vizurraga L. | Juan Carlos Ramos L. |

Edgar Morillo Ch. | Aaron Ramos N. | Adriano Ynfanzon Q.

PRE PRENSA DIGITAL

DIAGRAMACIÓN UNI:Verónica Pacherres Ato

COLABORADORES:César Ágreda | Rosa Bardales |

Úrsula Nunura | Madeleyne Otore | Betty Picoy | Otilia Porras | Karina Ubillus |

Pamela Suárez

© Derechos Reservados: Ediciones e Impresiones Paz S.A.C.

Prohibido la reproducción total o parcial de este volumen | Edición 2018 www.pamer.edu.pe

Presentación

Estimado(a) amigo(a):

Has elegido postular a la UNI, y por ello desde ya te felicitamos, puesto que, sin duda, eres una persona a la que le gustan los grandes retos. Por tal motivo, la Corporación Educativa PAMER te brinda el solucionario del examen de ingreso directo escolar UNI 2018-I, que es una excelente herramienta que te ayudará a absolver dudas, reforzar conocimientos y conocer el modelo de preguntas que propone el examen de admisión UNI.

La Corporación Educativa PAMER es conocedora del alto nivel académico que exige la UNI en su examen de admisión para seleccionar a sus futuros estudiantes. Por esta razón, presentamos un modelo de preparación enfocado directamente en lo que requiere esta universidad.

En PAMER trabajamos en equipo y hacemos nuestro tu objetivo. Contamos con un sistema de tutoría que trabaja arduamente de la mano de cada alumno orientando, exigiendo y motivando con miras al gran resultado: ¡Que seas un CACHIMBO UNI!

Nuestro equipo de profesores es especialista en preparación UNI y desarrolla un alto nivel académico con clases dinámicas. A nuestros profesores realmente les interesa que aprendas y, con la finalidad de que puedas consultar y pedir ayuda cada vez que lo requieras, te brindan toda la confianza necesaria.

Sin duda, somos un equipo sólido y es por eso que tenemos la seguridad de que este material que hoy tienes en tus manos te beneficiará. Estamos y estaremos gustosos de ayudarte siempre que lo necesites.

Tus amigos,

Corporación Educativa Pamer

EXAMEN DE ADMISIÓN

UNI 2018 - 1

Academias Pamer Matemática4

RESOLUCIÓN 1TEMA: Números Irracionales

1. Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de proposiciones

2. Análisis de los datos o gráficos

1a

+ 1b

= 1, siendo a ∈r + y b ∈r +

I. a ∈ I+ ↔ 1a

∈ I+

3. Operación del problema

Luego 1 – 1b

∈ I + ↔ 1b

∈ I + ↔ b ∈ I +

La proposición I es verdadera (V)

II. 1a

+ 1b

= 1 → a + b = ab (a,b ∈ r+)

(ab = 4 → a + b = 4) ∧ (a + b = 4 → ab = 4) ∴ a b = 4 ↔ a + b = 4

La proposición II es verdadera (V)

III. a ∈r + ∧ b ∈r + ; a < 2 → 1a

> 12

→

1 – 1b

> 12

→ 12

> 1b

→ b > 2

La proposición III es falsa (F)

Respuesta: VVF

RESOLUCIÓN 2TEMA: Radicación

1. Ubicación de incógnita Determinar los dígitos desconocidos en una radicación


1 6 2 0 5 4 9• • • • • •

1 2 7 3• • • •22 × 2 = 44 • •247 × 7 = 1729 • •2543 × 3 = 7629 • •

1

6 2 •4 4• •1 8 0 5

•1 7 2 9• • • •

7 6 4 9 •7 6 2 9• • • •

2 0• •

–

– –

– –

3. Resumen Suma de dígitos del radicando: 9 + 6 + 2 + 0 + 5 + 4 + 9 = 27

Respuesta: C

RESOLUCIÓN 3TEMA: Regla de Mezclas

1. Ubicación de incógnita La cantidad x Kg de un ingrediente y el precio de venta


20(8) + 50(10) + x(16)

20 + 50 + x = 14 → x = 160

Sea que el precio de venta por kilogramo

3. Operación del problema Cantidad total: 20 + 50 + 160 = 230 → 230 (q – 14) = 460 → q= 16 piden: 16 – 14 = 2

Respuesta: 2

RESOLUCIÓN 4TEMA: Probabilidades

1. Ubicación de incógnita Calculo de probabilidad

2. Análisis de los datos o gráficos Hay 11 persona: 7 hombres y 4 mujeres Experimento: Elegir una comisión de 3 personas Evento A: Al menos 1 hombre


Espacio muestral: n(Ω)= C113 = 165

A: Las 3 personas son mujeres

n(A) = C43 = 4

P(A) = 1 – P (A) = 1 – 4165

= 161165

Respuesta: 161165

RESOLUCIÓN 5TEMA: Numeración

1. Ubicación de incógnita Identificar números pares

2. Análisis de los datos o gráficos Un número representado en base impar, es par, si la suma

de sus cifras es par


EXAMEN DE ADMISIÓN SOLUCIONARIO UNI 2018 - 1

3. Operación del problema21021113 → suma de cifras = 8 → es par11021113 → suma de cifras = 7 → es impar21121135 → suma de cifras = 11 → es impar41021125 → suma de cifras = 11 → es impar21021157 → suma de cifras = 12 → es par

4. Conclusiones y respuesta Solo hay 2 números pares

Respuesta: 2

RESOLUCIÓN 6TEMA: Cuatro Operaciones

1. Ubicación de incógnita Hallar los valores de a y n.

35(n)2

= aa41(n); 5<n<12 2. Análisis de los datos o gráficos n es divisor de 52 – 1 = 24 → n = 6 ó n = 8


35(6)2

= 35(6) × 35(6)= 2241(6)

Luego a = 2; n = 6; a + n = 2 + 6 = 8

Respuesta: 8

RESOLUCIÓN 7TEMA: Cuatro Operaciones

1. Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de proposiciones

2. Análisis de los datos o gráficos I. (∀a, b∈N): a > b > 1

→ a2 > b2

a3 > b3

an > bn

––––––––––––

→ n

k=1 ak >

n

k=1 b12 (verdadero)

II. Falso (∀a, b∈N) (∀c∈Z) a > b → ac > bc

solo si c∈Z+

III. Verdadero (∀a, b∈Z) = (|a| – |b|)2 0

|a|2 + |b|2 – 2|a||b| 0 → a2 + b2 2|ab|

Respuesta: VFV

RESOLUCIÓN 8TEMA: Números primos

1. Ubicación de incógnita El menor entero positivo N, siendo p y q sus dos divisores

primos.

2. Análisis de los datos o gráficos CD(N) = 6 → N = p2q SD(N) = (1 + p + p2) (1 + q) = 42

3. Operación del problema p = 2 ; q = 5 → N = 22 . 5 = 20 Suma de cifras = 2 + 0 = 2

Respuesta: 2

RESOLUCIÓN 9TEMA: Funciones

1. Operación del problema Sea f(x) = 4x+1

2x–1 ; x ∈ ⟨ 1

2; +∞ ⟨ = Dom(f)

I. Cálculo del Dominio de f*

Se tiene f(x) = 2 + 32x–1

;

con x > 12

→ 2x > 1

→ 2x – 1 > 0

→ 12x–1

> 0

32x–1

> 0

2 + 32x–1

> 2

f(x) > 2 y > 2 Ran(f) = ⟨2; +∞⟩ → Dom(f*) = ⟨2; +∞⟩

II. Obtención de f*(x)

Partiremos de f(x) = y = 4x+12x–1

2xy – y = 4x+1 x(2y – 4) = y + 1

x = y+1

2x – 4

De donde f*(x) = x+12x– 4

III. Ran(f*) = Dom(f) = ⟨ 12

; +∞ ⟨2. Conclusiones y respuesta

f*(x) = x+12x– 4

; Dom f*(x) = ⟨2; +∞⟩,

Ran(f*) = ⟨ 12

; +∞ ⟨

Respuesta: f*(x) = x+12x– 4

; Dom(f*) = ⟨2; +∞⟩,

Ran(f*) = ⟨ 12

; +∞ ⟨



RESOLUCIÓN 10TEMA: Logaritmo

1. Análisis de los datos o gráficos Sea f(x) = Log1/2(4 – |x|)

piden: Ran(f)

2. Operación del problema I. Cálculo del dominio de f Para que el logaritmo esté bien definido en R: 4 – |x| > 0 4 > |x| – 4 < x < 4 Dom(f) = ⟨–4; 4⟩

II. Cálculo del rango de f Como –4 < x < 4 0 ≤ |x| < 4 por (–1): 0 ≥ –|x| > – 4 (+4): 4 ≥ 4 – |x| > 0 Log1/2: –2 ≤ log1/2 (4 – |x|) < +∞

Luego: Log1/2(4 – |x|) = f(x) ∈ [–2; +∞⟩

3. Conclusiones y respuesta

Ran(f) = [–2; +∞⟩

Respuesta: [–2; +∞⟩

RESOLUCIÓN 11TEMA: Números Complejos


Resolver: (|iz + 4| + |z + 4i|)|z + 2i| = 0, z ∈ C Piden como respuesta la suma de los módulos de las

raíces.

2. Operación del problema Recordemos que:

ab = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0 , a, b ∈ R

En el ejercicio:

|iz + 4| + |z + 4i| = 0 ∨ | z + 2i | = 0

(iz + 4 = 0 ∧ z + 4i = 0) ∨ z + 2i = 0

z = +4i ∧ z = – 4i ∨ z + 2i = 0

(z = 4i ∧ z = 4i) ∨ z = –2i z1 = 4i ∨ z2 = –2i

|z1| = 4 ; |z2| = 2

Piden: |z1| + |z2| = 6

Respuesta: 6

RESOLUCIÓN 12TEMA: Programación lineal

1. Ubicación de incógnita Valor de verdad

2. Análisis de los datos o gráficos Por condición el punto p es un elemento de la región

factible (p ∈ s), luego p puede estar ubicado en la parte interna o en la frontera de la región factible.

3. Operación del problemaI. Falso En efecto f(p) no garantiza el mínimo, depende de la

ubicación de p.II. Falso Por ejemplo si f(p) es el mínimo, la desigualdad dada

es falsa.III. Falso En efecto f(p) no garantiza el máximo, depende de

la ubicación de p.IV. Falso Por ejemplo si f(p) es el máximo, la desigualdad es

falsa.

Respuesta: FFFF

RESOLUCIÓN 13TEMA: Matrices

1. Ubicación de incógnita Valor de verdad

2. Análisis de los datos o gráficos A4 = 0 ; A3 ≠ 0

3. Operación del problemaI. Verdadera Por dato A4 = 0 → |A4| = 0 → |A|4 = 0 |A| = 0 Sea B = A + A2 = A(I + A) → |B| = |A|.|I+A| Como |A| = 0, luego |B| = 0, por tanto B no tiene inversa

II. FalsaIII. Falsa Por dato A4 = 0 → –A4 = 0 → I – A4 = I I4 – A4 = (I+A)(I–A)(I+A2) = I

Ahora según propiedad del determinante: |I+A|.|I – A|.|I+A2| = 1

Nótese que I+A, I–A ∧ I+A2 tienen determinante distinto de cero, luego todas estas matrices admiten inversa.

Respuesta: I y III



RESOLUCIÓN 14TEMA: Determinantes


Si: f(x) = x 1 11 x 11 1 x

y g(x) = x –1 –1

–1 x –1–1 –1 x

Resolver f(x) = g(x)

3. Operación del problema Se calculará cada determinante empleando la Regla de

Sarrus.

• f(x) = x 1 1 x 11 x 1 1 x1 1 x 1 1

f(x) = (x3 + 1 + 1 ) – (x + x + x) f(x) = x3 – 3x + 2

• g(x) = x –1 –1 x –1–1 x –1 –1 x–1 –1 x –1 –1

g(x) = (x3 – 1 – 1) – (x + x + x) g(x) = x3 – 3x – 2

Finalmente, resolvamos la ecuaciónf(x) = g(x)

x3 – 3x + 2 = x3 – 3x – 2 2 = – 2( → ← ) C.S = φ

4. Conclusiones y respuestaDado que C.S = φ, diremos no existen valores para x

que satisfacen la ecuación.

Respuesta: 0

RESOLUCIÓN 15TEMA: Matrices


Sean A = 4 2 1a 4 2b c 4

y S una matriz triangular inferior

de términos positivos

Sean S = m o on p oq r s

, entonces ST =

m n qo p ro o s

, donde

m, n, p, q, r, s ∈R+

3. Operación del problemaDel dato: S . ST = A

m o on p oq r s

m n qo p ro o s

=

4 2 1a 4 2b c 4

m2 mn mqmn n2 + p2 nq + prqm qn + rp q2 + r2 + s2

= 4 2 1a 4 2b c 4

Por igualdad de matrices

• m2 = 4 → m = 2• mn = 2 → n = 1• mq = 1 → q = 1/2• mn = a → a = 2

• n2 + p2 = 4 → p = 3

• nq + pr = 2 → r2 = 34

• qm = b → b = 1

• q2 + r2 + s2 = 4 → s = 3

Piden calcular:

k = traz (S)a+b + b

k = m + p + sa+b + b

Reemplazando los valores obtenidos, se tiene k = 2

Respuesta: 2

RESOLUCIÓN 16TEMA: Inecuaciones


Resolver 2x + 1 – x – 2x – 5

< 0

2. Operación del problema3.1. Existencia en R: 2x + 1 ≥ 0 ∧ x – 2 ≥ 0 x ≥ – 1/2 ∧ x ≥ 2 1444442444443 x ≥ 2 ... ( )3.2 En la inecuación, multiplicaremos por

( 2x + 1 + x – 2 ), obteniendo

( 2x + 1 – x – 2 )( 2x + 1 + x – 2 )x – 5

< 0

x + 3x – 5

< 0

+

–3 5+

–

x ∈ ⟨– 3; 5⟩ ... ( ) De ( ) y ( ) x ∈ [2;5⟩

Respuesta: [2; 5⟩





Resolver: – 13

< 2x – 3x + 2

< 43


(– 2): – 73

< – 7x + 2

< – 23

por – 17 : 13 >

1x + 2 > 2

21

( )– 1: 3 < x + 2 < 212

(– 2): 1 < x < 172

x ∈ ⟨1 ; 172

⟩ = CS

Respuesta: 1 ; 172


1. Análisis de los datos o gráficos Piden resolver: (| 4 – x | – | 5 – x |) (| x – 4|+| x – 5|) ≤ x2 – 24

Recordar que: |a – b| =|b – a|; ∀a; b∈R

3. Operación del problema Se tiene: (|x – 4| – |x – 5||x – 4|+|x – 5|)≤ x2 – 24

|x – 4|2 –|x – 5|2 ≤ x2 – 24

|x – 4|2 –|x – 5|2 ≤ x2 – 24

2x – 9 ≤ x2 – 24

0 ≤ x2 – 2x – 15

0 ≤ (x – 5)(x + 3) x∈< – ∞; – 3]∪[5, + ∞> = C.S 4. Conclusiones y respuesta Si C.S = < – ∞; – 3]∪[5; + ∞] → [C.S]c = <– 3; 5> Enteros: – 2; –1; 0; 1; 2; 3; 4

Respuesta: 7

RESOLUCIÓN 19TEMA: Series

1. Ubicación de incógnita

E = ∞

n=1 (an + bn – 2b2n – 1 + cn) (1)


bn = an – (–1)n cn, cn = an – (–1)n bn ∧ ∞

n=1 (a2n) = 1


Según criterio de la razón ∞

n=1 (an),

∞

n=1 (bn) ∧

∞

n=1 (cn) son

convergentes luego:

S1 = ∞

n=1 (an) = a1 + a2 + a3 + ...

S2 = ∞

n=1 (bn) = b1 + b2 + b3 + ...

→ S2 = a1 + c1 + a2 – c2 + a3 – c3 + a4 – c4 + ...

S3 = – 2 ∞

n=1 (b2n–1) = – 2 (b1 + b3 + b5 + ...

S4 = ∞

n=1 (cn) = c1 + c2 + c3 + ...

Ahora en (1) tenemos:

E = 2(a2 + a4 + a6 + ...

E = 2(1)

∴ E = 2

Respuesta: 2

RESOLUCIÓN 20

TEMA: Programación Lineal


Oro Plata Ingreso (S/.)

Anillo A: x1 3x1 x1 1500 x1

Anillo B: x2 x2 2x2 950 x2

1800 gr 2000 gr

Ventas: V (x;y) = 1500 x1 + 950 x2

3x1 + x2 1800

x1 + 2x2 2000

x1, x2 ∈N

Respuesta: Z = 1500 x1 + 950 x2

3x1 + x2 ≤ 1800

x1 + 2x2 ≤ 2000

x1, x2 ∈ N



RESOLUCIÓN 21TEMA: Prisma

1. Ubicación de incógnita V: Volumen del prisma

2. Análisis de los datos o gráficos Del gráfico I

a x

x

x x

x

a

a

aa a

aa

x

a

l l

l

I) x + 2a = l

⇒ a = l – x2

3. Operación del problemaV = (ABase)h

ABase = x2

h = a = l – x2

II)

aa

aa h

xx

x

x


V = 12

x2(l –x)

Respuesta: 12

x2(l –x)

RESOLUCIÓN 22TEMA: Geometría Analítica

1. Ubicación de incógnita Dibujamos la circunferencia de centro (1;5) y radio 3 y

la recta tangente L que pasa por el origen


O1(1;5)5

1

L

x

y

P

26

3

O

3. Operación del problema Piden calcular OP, aplicamos el teorema de Pitágoras en

el OPO1

(OP)2 = ( 26 )2 – (3)2

4. Conclusiones y respuesta OP = 17

Respuesta: 17

RESOLUCIÓN 23TEMA: Triángulo

1. Ubicación de incógnita K = AC + BD

10

2. Análisis de los datos o gráficos a + b +c + d = 20 Teorema de existencia

A

B

C

D

O

a bt

m n

cd u

3. Operación del problema9ABC AC < a + b9ACD AC < c + d9BAD BD < a + d9BCD BD < b + c

2(AC + BD)<2(a + b + c + d)

AC + BD10

< 2

– 9AOB a < m + t

9BOCb < t + n ⇒ a + b + c + d < 2(m + n + t + u)9COD 20 < 2(AC + BD)c < n + u 10 < AC + BD9AODd < m + u

1 < AC + BD10

4. Conclusiones y respuesta k = ⟨1; 2⟩

Respuesta: ⟨1; 2⟩

RESOLUCIÓN 24TEMA: Ángulo entre paralelas

1. Ubicación de incógnita Piden m∠ABC en términos de a y b.

2. Análisis de los datos o gráficos m∠ABC = x



L1

L2

aa

b b

A

B

C

x

3. Operación del problemaPor teorema x = a + b

Respuesta: a + b

RESOLUCIÓN 25TEMA: Cilindro

1. Ubicación de incógnita V : Volumen del cilindro

2. Análisis de los datos o gráficos V = (ABase)h V = pr2h

MOr ra

q2rV P

Nq

a

5

7

3. Operación del problemaV = pr2(12)

OMN NPV

r7

= 52r

r2 = 352


V = p 352

(12)

V = 210p

Respuesta: 210p

RESOLUCIÓN 26TEMA: Esfera

1. Ubicación de incógnita Piden: OB = x

2. Análisis de los datos o gráficos A1 – A2 = pu2

2pr(r + x) –2pr(r – x) = pu2

u m

x r

rr

O

A1

A2

A

r –x

3. Operación del problema4rx = u2

OBAu2 = r2 = x2

4rx = r2 – x2

x2 + 4rx – r2 = 0

4. Conclusiones y respuesta Resolviendo x = r( 5 – 2) x = (2 + 5 )( 5 – 2) x = 1

Respuesta: 1

RESOLUCIÓN 27TEMA: Espacio I

1. Ubicación de incógnita Piden la medida del ángulo entre L y L2

2. Análisis de los datos o gráficos L1 // L ⇒ x: medida del B pedido

3. Operación del problema 9AOD x = 74°

PB

D4

4

x 3

Q L

L1

L2

C

37°

3

A37°

4. Conclusiones y respuesta x = arccos(7/25)

Respuesta: arcos(7/25)



RESOLUCIÓN 28TEMA: Polígonos

1. Ubicación de incógnitan y m número de lados (n > m)

2. Análisis de los datos o gráficos SmBI1 – SmBI2 = 2160°

O1 O2

n Lados m Lados

n > m

C1 C2

I1 I2

I2I1

• 180°(n – 2) – 180°(m – 2) = 2160° n – m = 12 ... (I)

• 360m

– 360n

= 5

72(n – m) = mn 72(12) = mn 36(24) = nm ... (II)

De (I) y (II) n = 36 y m = 24

Respuesta: 24

RESOLUCIÓN 29TEMA: Congruencia

1. Ubicación de incógnita Pide la relación de los ángulos.

2. Análisis de los datos o gráficos Sea mBCRV = a ⇒ mBRVB = b

3. Operación del problema∴ RB = RV = b

B

A CR

Va+q

w a

a

q

b

b

a

bb

a

4. Conclusiones y respuesta iCRV ≅ iABR (L – A – L) ⇒ w = q iABC q + w + a + b = 180° q + q + a + b = 180° Reemplazando: 2b + q = 180°

Respuesta: 2b + q = 180°

RESOLUCIÓN 30TEMA: Semejanza

1. Ubicación de incógnita Piden PQ = x

2. Análisis de los datos o gráficos Se traza CN // AB ⇒ PM = AN = 6 ND = 4

A

B

P QM

D

C

N

6

4610

x5

5 – 5a7 – 7a

5a 5a4a

7a

6 7


Dato:perímetro ( PBCQ) = perímetro( APQD)5a + 6 + 7a + x = 5 – 5a + x + 7 – 7a + 10

⇒ a = 23

x = 6 + 4a

⇒ x = 263

Respuesta: 263

RESOLUCIÓN 31TEMA: Semejanza

1. Ubicación de incógnita Piden: BC = x

2. Análisis de los datos o gráficos : VTCM (inscritos) mBVTC = mBCMA = q

B

TV

CM

32

A

Z

q

q

q

b

ba

x

:BTCA (:inscrito) mBBTC = mBBAZ = q



Luego: 9 ABM a + b = q 3. Conclusiones y respuesta ⇒ 9 BCA mBBCA = b 9BCA ∼ 9BAM

x3

= 21

⇒ x = 6

Observación:

6B C

A

3 2

Por teorema de existencia: 3 < 2 + 3 (Absurdo)

Respuesta: 6

RESOLUCIÓN 32TEMA: Poliedro regular

1. Ubicación de incógnitaS1: Suma de las medidas de los ángulos en las caras del

dodecaedro regular.S2: Suma de las medidas de los ángulos en las caras del

icosaedro regular (conjugado del dodecaedro).

2. Operación del problemaS1 = 360(V1 – 2)• V1 = # de vértices dodecaedro (V1 = 20)S2 = 360(V2 – 2)• V2 = # de vértices icosaedro (V2 = 12)Piden: K = S1 – S2

K = 360°(20 – 2) – 360(12 – 2)K = 360°(8)K = 2880°

Respuesta: 2880°

RESOLUCIÓN 33TEMA: Inecuaciones Trigonométricas

1. Ubicación de incógnita |arcsen(x)| – 2arctan(x) < 0 |arcsen(x)| < 2arctan(x)

2. Análisis de los datos o gráficos Puntos de corte: |arcsen(x)| = 2arctan(x) ↑ ↑ 0; 1 0; 1

3. Operación del problemaGraficamos las dos funciones:

y

x–1

–p

0–p/2

p/2p

1x

Asíntota

y = |arcsen(x)|

y = 2arctan(x)

Nótese que: |arcsen(x)| < 2arctan(x) en ⟨0; 1⟩

Respuesta: ⟨0; 1⟩

RESOLUCIÓN 34TEMA: R.T de Ángulos Agudos

1. Análisis de los datos o gráficosPrimer momento:

12

1

5

1

121 1

12

Araña

Mosca

Segundo momento: Desarrollamos la cajaAraña

Mosca

Arista

12q

12 12

5 12. Conclusiones y respuesta q es el menor ángulo que forma la ruta de la araña hacia

la mosca con una arista de la caja.

tan q = 612

tan q = 12

q = arc tan 12

Respuesta: arc tan 12

RESOLUCIÓN 35TEMA: Geometría Analítica

1. Ubicación de incógnita Resolvemos el sistema de ecuaciones, la solución es el

punto de intersección de las dos rectas.




3x + 2y = –6 ∧ 2x + 3y = 6

x = –6 ∧ y = 6

(x;y) = (–6 ; 6)


L1

(–6;6)

0q

L2 Y

X

tanq = 6–6

= –1

135°

Respuesta: 135°

RESOLUCIÓN 36TEMA: Variaciones de las R.T. de Números Reales

1. Ubicación de incógnita Los ángulos a y b deben valer q para que satisfagan los

datos de los respectivos s.


1a

1

tanq

cotqb

3. Operación del problema Por lo tanto la figura queda así:

1q

1

tanq

cotqq

A

secq

cscq

A = 12

. (secq) . (cscq)

A = 12

. (tanq + cotq) ↑ 144424443 mínimo mínimo = 2 cuando: q = 45°

Respuesta: p / 4

RESOLUCIÓN 37

TEMA: Geometría analítica

1. Ubicación de incógnita Completamos en la figura los datos e identificamos la

pregunta.


(–2; 3)(–4; 3)

(– 4k; 3k)

0

3

P

6L

Y

– 4 – 2

La ecuación de la elipse de centro (– 2, 3)

de eje mayor 2a = 6 y eje menor 2b = 4

es: (x + 2)2

22 + (y – 3)2

32 = 1

como P = (– 4k; 3k) pertenece a la elipse entonces debe

satisfacer la ecuación:

(– 4k + 2)2

4 +

(3k – 3)2

9 = 1

Resolviendo k = 15

Finalmente P = (– 4k; 3k) = – 45

; 35

Respuesta: – 45

; 35

RESOLUCIÓN 38

TEMA: Circunferencia Trigonométrica

1. Ubicación de incógnita Identif icamos las longitudes de los segmentos

trigonométricos.




45°

45°45°

B

OC A x

D

q

S

P M

a

b

b

|senq|

1

y

Nótese que: OD = 1 < 0 b + |senq| = 1 b = 1 – |senq| b = 1 + senq

SOB ∼ PMBa1

= b1 + |senq|

⇒ a = 1 + senq1 – senq

Calculamos el área del SOB:

A = 12

. a . 1

A = 12

1443 1 + senq

1 – senq

1443

Respuesta: 12

1443

1 + senq1 – senq

1443

RESOLUCIÓN 39TEMA: Identidades Trigonometricas de Arcos compuestos

1. Ubicación de incógnita

K = 3(cot 60° + tan27°) (cot60° + tan 33°)

Pasamos a la co razon cot 60° = tan 30°


K = 3(tan30° + tan27°) (tan30° + tan 33°)

Aplicamos: tana + tanb ≡ sen (a + b)cos a . cos b

... (Auxiliar)


K = 3 . sen 57°cos 30 . cos 27°

. sen 63°cos 30 . cos 33°

K = 3cos2 30°

= 3( 3 /2)2

= 33/4

= 4 = 2

Respuesta: 2

RESOLUCIÓN 40TEMA: Funciones Trigonométricas

1. Ubicación de incógnitaAnalizamos la función con las informaciones:

f(t) = A sen [ w ( t – a ) ] + b .... (I)

2. Análisis de los datos o gráficosPeriodo: cada año es decir cada 365 días

2pw

= 365 ⇒ w = 2p365

Amplitud:

A = # de horas (día largo) – # de horas (día corto)2

A = 12 – 102

A = 1Desfase: 01 de enero: a = 1 02 de enero: a = 2 . . . 23 de febrero: a = 54 ∧ b = 11

Reemplazamos w; A; a y b en (I)


f (t) = 1 . sen 2p365

(t – 54) + 11

Piden determinar f(τ)

f(τ) = sen 2p365

(τ – 54) + 11

Respuesta: sen 2p365

(τ – 54) + 11

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