Matemática

15

Pregunta N.º 20Sea p(x) el polinomio de grado n, donde n es el menor posible y cuya gráfica se representa a continuación.

Encuentre el residuo al efectuar la división de p(x) con q(x)=x – 3.

A) – 6

B) – 4

C) – 1

D) 1

E) 4

SoluciónTema

Gráfica de funciones polinomiales

Referencias

Para la solución del problema se necesita conocer:

• Gráfica de una función polinomial.

• Teorema del resto.

Análisis y procedimiento

Plan de resoluciónI. A partir de la gráfica, hallar la regla de

correspondencia de p(x).

II. Aplicar el teorema del resto.

Ejecución del planI.

p(x)=k(x – 1)2a(x – 2)2b – 1;

a, b ∈ Z+

Como el grado de p(x) es el menor posible, entonces

a=1 y

b=1

Luego, tenemos

p(x)=k(x – 1)2(x – 2)

De la gráfica

p(0)=2

p(0)=k(–1)2(–2)

p(0)=2

→ k=–1

Luego

p(x)=–(x – 1)2(x – 2)

II. Aplicando el teorema del resto tenemos

p xx

( )− 3

→ R(x)=p(3)

p(3)=–(2)2(1)

∴ p(3)=– 4

Respuesta

El residuo de dividir p(x) entre x – 3 es – 4.

Alternativa B

Matemática

16

Pregunta N.º 21

En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de

lado 2R, además BC es diámetro de la semicircun-

ferencia de centro O y radio de longitud R. Si T es

un punto de tangencia entonces m TOA es

A) 7,5

B) 8

C) 10

D) 10,5

E) 12,5

Solución

Tema

Circunferencia

Referencias

En la pregunta nos piden la medida de un ángulo;

entonces, debemos ubicarlo en una figura donde

se puede obtener dicha medida; por ejemplo,

un triángulo; además, como se observa una

semicircunferencia debemos aplicar los teoremas

que se cumplen en la circunferencia.

Análisis y procedimiento

En el gráfico,

nos piden x.

Como ABCD es un cuadrado

→ BC=CD=2(BO)=2(OC)=2R

Trazamos OD → OD: Bisectriz del CDT

Luego, OCD (not. 532

º):

m CDO=532

º y

m ODT=532

º

En TOCD: inscriptible

→ m BOT=m CDT

m BOT=53º

OBA (not 532

º)

→ m BAO=532

º

En OBA

53º+x+532

º=90º

x= 212

º

→ x=10,5º

Respuesta

La medida del ángulo TOA es 10,5º.

Alternativa D

Matemática

17

Pregunta N.º 22ABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a los catetos se construyen los triángulos equiláteros ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE, BC y DC respectivamente. Si el área de la región triangular ABC es 32 cm2, entonces el área de la región triangular PQR (en cm2) es

A) 4 B) 6 C) 8

D) 12 E) 16

SoluciónTema

Área de regiones triangulares

Referencias

Para relacionar las áreas de dos regiones trian-gulares, se busca la relación entre los elementos de ambos triángulos (lados, alturas, medida de ángulos, etc.).

Análisis y procedimiento

Piden APQR: área de la región triangular PQR.

Dato A ABC: área de la región triangular ABC. (A ABC=32)

Por ser P, Q y R puntos medios, se determinan bases medias en los triángulos BEC y DBC.

QR // DB

→ m RQC=150º y RQ=BD2

PQ // EC

→ m PQC=120º y

PQ=EC2

Luego

m PQR=90º

En el gráfico,

PQR ~ ABC (caso LAL de razón 1/2)

Por áreas de regiones semejantes

A

APQR

ABC=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

razón desemejanza

2

Reemplazamos

A PQR

3212

2

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

→ APQR=8

Respuesta

El área de la región triangular PQR (en cm2) es 8.

Alternativa C

Pregunta N.º 23Indique la secuencia correcta después de determi-nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Si dos planos son perpendiculares a dos rectas

diferentes que se intersectan, entonces dichos planos también se intersectan.

II. El lugar geométrico que determinan los pies de los segmentos oblicuos de longitudes iguales trazadas desde un punto exterior a un plano es una circunferencia.

Matemática

18

III. Toda recta es perpendicular a un plano, si es ortogonal a dos rectas diferentes no paralelas contenidas en dicho plano.

A) VVF B) VFVC) FFVD) VVV E) FFF

SoluciónTema

Geometría del espacio. Rectas y planos

Referencias

En este tipo de preguntas debemos hacer una comparación entre los conceptos teóricos y los casos posibles que plantean las proposiciones. De esta manera, determinamos la veracidad o falsedad de la proposición dada.

Análisis y procedimiento

Esta pregunta consta de tres proposiciones.I. En el espacio, solo se admiten dos posiciones

relativas entre dos planos: son paralelos o son secantes.

• En la fig.1, los planos son paralelos si son

perpendiculares a una misma recta. • En la fig. 2, los planos son secantes si son

perpendiculares a dos rectas que se interse-can (proposición de la pregunta).

Entonces, la proposición es verdadera.

II.

• Como el punto Q es exterior al plano, traza-mos QQ' de modo que Q' sea la proyección ortogonal de Q sobre el plano W.

• En el gráfico, los triángulos rectángulos AQ'Q; BQ'Q y DQ'Q son congruentes entre sí.

• Luego, m=n=p=…

• Además, el punto Q' equidista de A, B, C, D, …

Por lo tanto, el lugar geométrico que deter-minan A, B, C y D es una circunferencia de centro Q'.

Entonces, la proposición es verdadera.

III. En el gráfico, para que una recta sea perpendicular a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano.

Entonces, la proposición es verdadera.

Respuesta

La secuencia correcta después de analizar las proposiciones es VVV.

Alternativa D

Matemática

19

Pregunta N.º 24

En la figura mostrada, ABCD es un trapecio

rectángulo tal que CD=BC=2AB=2a. Si PQ es

perpendicular al plano del trapecio tal que PQ=a

y los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-CDP

son iguales, calcule el volumen de la pirámide

Q-BCP.

A) 12

3a B) 38

3a

C) 45

3a

D) 78

3a E) 59

3a

Solución

Tema

Geometría del espacio. Pirámide

Referencias

En preguntas donde piden el cálculo o la relación

de volúmenes, conviene hacer un análisis de las

longitudes de las alturas o de las relaciones de

las bases. Generalmente, para el cálculo del área

de la base se emplean capítulos anteriores de

geometría plana.

Análisis y procedimiento

Piden Volumen de la pirámide Q-BCP:

V Ax BCP PQ= [ ]13

[ ] (I)

Del gráfico tenemos PQ=a (II)Como los volúmenes de las pirámides Q-ABP y Q-PCD son iguales, al tener la misma altura, las áreas de sus bases son también iguales.Entonces, AABP=ACPD=4A.

En el plano de la base

Del dato de áreas iguales → AP=2(PD)Por relación de áreas, el área de la región trapecial:

18

22

2A = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a aa( )

→ =A

a2

6

Matemática

20

Luego,

ABCP=10A=5

3

2a (III)

Reemplazamos (II) y (III) en (I)

→ Vx= 13

53

59

3 3aa

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =( )

Respuesta

El volumen de la pirámide Q-BCP es 59

3a

Alternativa E

Pregunta N.º 25La altura de un prisma recto mide 1 u, su base es

una región limitada por un rombo cuyo lado mide

2 u y su ángulo agudo mide 30º. Por un lado de

la base se traza un plano que interseca al prisma

y está inclinado un ángulo de 60º con respecto

de la base, luego el área de la sección (en u2) que

resulta en el prisma es:

A) 2 3 B) 53

C) 43

D) 33

E) 23

Solución

Tema

Prisma

Referencias

Al trazar planos secantes a un sólido, este determina

secciones planas, que varían de acuerdo al ángulo

de inclinación y el lugar por donde interseca. Así,

un plano secante en un prisma puede determinar

una sección triangular, cuadrangular, ...

y para poder aprovechar el ángulo de inclinación

es preciso asociarlo con el teorema de las tres

perpendiculares.

Análisis y procedimiento

Graficamos el prisma según las condiciones

planteadas.

D

D' C'

B'

AA''

S60º

2u2u

30º

MS'

1u1uC2 u2 u

30º

2 u2 u B

2 u2 u

3 u

1 u1 u N

hh

HAA

donde ABCD es un rombo de lado 2 u y la

m ABC=30º.

Si trazamos

CH ⊥ AB ... 1.a ⊥

SS' ⊥ CH ... 2.a ⊥

→ S'H ⊥ AB ... 3.a ⊥

Sea S'H=h.

Como la altura del prisma es 1 u → S'S=1 u

Luego, en el S'SH:

hsen60º=1 u

→ h = 23

u

Matemática

21

Luego, el área de la sección ABMN, que es una

región paralelográmica, se calcula multiplicando

AB y h.

A ABMN= AB h( ) = ( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

223

u u

A ABMN = 43

2u

Respuesta

El área de la sección en u2 es 43

.

Alternativa C

Pregunta N.º 26

Se tiene un polígono convexo de 8 lados circuns-

crita a una circunferencia, si las longitudes de sus

lados están en progresión geométrica de razón r.

Determine r2+3r.

A) 1 B) 4 C) 10

D) 18 E) 28

Solución

Tema

Polígonos circunscritos a una circunferencia:

Teorema de Pithot generalizado

Referencias

En un cuadrilátero circunscrito o circunscriptible,

se cumple el teorema de Pithot, es decir, la suma de

longitudes de lados opuestos son iguales.

En un polígono circunscrito o circunscriptible se

cumple que la suma de longitudes de lugar par

es igual a la suma de longitudes de lugar impar,

es considerado para un cuadrilátero, hexágono,

octógono, ..., en polígonos cuyo número de lados

es par.

Análisis y procedimiento

Piden r2+3r.

Las longitudes de los lados del polígono convexo

de 8 lados están en progresión geométrica de

razón r.

ar7

a ar

ar2

ar3

ar4

ar5

ar6

H D

B

A C

E

F

G

además

AB=´1, BC=´2, CD=´3, DE=´4, EF=´5,

FG=´6, GH=´7 y HA=´8,

En el octógono circunscrito por el teorema de Pithot

general, tenemos:

´1+´3+´5+´7=´2+´4+´6+´8

→ a+ar2+ar4+ar6=ar+ar3+ar5+ar7

Factorizamos

a(1+r2+r4+r6)=ar(1+r2+r4+r6)

→ r=1

Respuesta

El valor de r2+3r es 4.

Alternativa B

Pregunta N.º 27

Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC

miden 8 m y 6 m respectivamente. Sobre AB

se toma el punto D. Si m BAC=m BCD.

Entonces AD es:

Matemática

22

A) 3,5 B) 4 C) 4,5

D) 5 E) 5,5

Solución

Tema

Semejanza de triángulos

Referencias

Cuando en un triángulo se desea relacionar las longitudes de lados y segmentos determinados por una ceviana, se puede recurrir a la teoría de semejanza, y más aún si la medida de un ángulo es igual al ángulo determinado por dicha ceviana y un lado; por ejemplo:

�

�

A

B

b

m

C

M

x

Teorema:

En el ABC

m BAC=m MBC=θ

→ x2=bm

Análisis y procedimiento

��

8 6D

B

A C

Piden AD

Datos:AB=8, BC=6m BAC=m BCD

ABC: Por teorema de semejanzatenemos: (BC)2=(AB)(BD) (I )también BD=8 – ADReemplazamos: 62=8(8 – AD) → AD=3,5

Respuesta

Entonces, AD es 3,5.

Alternativa A

Pregunta N.º 28En figura, AB y AC con diámetros, CT es tan-

gente al arco AB, AB=BC=2r y ET=4. Calcule r.

A) 2 3 B) 2 2 C) 3

D) 6 E) 3 3

SoluciónTema

Semejanza de triángulos

Referencias

En el problema nos piden calcular el radio de la semicircunferencia menor, para ello debemos rela-cionar el dato numérico con la variable, utilizando

Matemática

23

los teoremas que se cumplen en circunferencias tangentes interiores. Luego, para obtener el valor del radio debemos establecer una operación que relacione la incógnita con los datos.

Análisis y procedimiento

�

�

� �

A B C

D

E

T

4

4

r r 2r

222

24

Trazamos BT

→ m BTA=90º

Por teorema

ET=TA=4

Trazamos AD

→ AT es bisectriz del DAC

m DAT=m TAC=α

Luego

m ECD=m DAE=α

En AEC: Teorema de semejanza

(EC)2=(8)(4)

→ EC = 4 2

AEC: Teorema base media

→ TB = 2 2

ATB: (2r)2=42+ 2 22( )

r = 6

Respuesta

El valor de r es 6.

Alternativa D

Pregunta N.º 29

En un triángulo ABC se cumple AB=2 m y AC=32 m. Halle el perímetro del triángulo en metros, sabiendo que es un número entero y el ángulo en A es obtuso.

A) 65 B) 66 C) 67D) 68 E) 69

Solución

Tema

Clasificación de triángulos:

Triángulo obstusángulo.

Referencias

Para realizar el cálculo del perímetro, es necesario conocer BC, el cual, por dato, debe ser entero. Como las longitudes de los otros dos lados son conocidas, podemos restringir a BC mediante el teorema de existencia; pero como la medida de un ángulo interior es mayor de 90º (obtuso), se puede realizar la restricción de BC por la naturaleza del triángulo.

Análisis y procedimiento

Por dato del problema tenemos

AB=2,

AC=32 y

m BAC>90º

Piden

2P ABC=2+32+BC=34+BC.

B

2

A 32C

Matemática

24

En el ABC: Existencia de triángulos

32 – 2 < BC < 32+2 (I)

• Como m BAC>90º

322+22 < BC2

32,06 < BC (II)

• Luego, relacionamos las restricciones (I) y (II).

32,06 < BC < 34 (III)

• 2P ABC=34+BC

Como el perímetro es entero, entonces, BC es

entero.

• Luego, de la expresión (III) obtenemos

BC=33

∴ 2P ABC=67

Respuesta

El perímetro de la región triangular ABC en metros

es 67.

Alternativa C

Pregunta N.º 30

En la figura se tiene una pirámide inscrita en un

cilindro circular oblicuo. La base de la pirámide

es un triángulo equilátero. El volumen de la

pirámide es 27 3

π cm3. Calcule el volumen del

cilindro (en cm3).

A) 27π

B) 54π

C) 108π

D) 54 E) 108

Solución

Tema

Sólidos geométricos

Referencias

Para calcular el volumen de una pirámide se ne-cesita conocer el área de su base y la altura de la pirámide, mientras que para calcular el volumen del cilindro se requiere conocer el área de su base y su altura. Como el cilindro es circular oblicuo, su base es un círculo, mientras que la base de la pirámide es un triángulo equilátero.

Análisis y procedimiento

Del gráfico que nos dan como dato podemos no-tar que ambos sólidos tienen la misma altura y el triángulo de la base de la pirámide está inscrita en la circunferencia que limita la base del cilindro.Denotemos los vértices de la base de la pirámide como A, B y C, y r el radio del círculo de la base del cilindro.

rO

A

C

B

rr

Graficando el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia tenemos:

Matemática

25

2rA C

B

30º 30º

r r

r

120º120º

O'

r

En el AO'C:

AO=r=OC

m AOC=120º

→ AC=r 3=AB=BC

Ahora podemos calcular el volumen de la pirá-

mide.

VO-ABC=13

(Abase)×h=13

r

h3 34

2( )⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ×

VO-ABC=rh

2 34

27 3⋅ =π

cm3

De aquí podemos despejar las variables y obte-nemos:

πr 2 · h=108 cm3 (I)

Ahora calculamos el volumen del cilindro

Vcilindro=A base×h

Vcilindro=πr 2×h

De (I):

Vcilindro=108 cm3

Respuesta

El volumen del cilindro en cm3 es 108.

Alternativa E

Pregunta N.º 31

En un polígono convexo equiángulo ABCDEF se

tiene AB=7, CD=6 y DE=8. Calcule BF.

A) 72

3 B) 7 C) 5 3

D) 7 2 E) 7 3

Solución

Tema

Polígonos

Referencias

Dentro del grupo de los polígonos tenemos al polígono equiángulo, que se caracteriza por que sus medidas angulares internas y externas son, respectivamente, iguales.Como se conoce que la suma de las medidas angulares de un polígono convexo es 180º(n – 2) y n es el número de lados, entonces, la medida de un ángulo interior será:

in

n= −( )180 2º

Análisis y procedimiento

Según el dato del problema, el polígono equián-

gulo es ABCDEF, es decir, tiene seis lados (n=6);

entonces,

i 6180 6 2

6120( ) = −( )

=ºº.

Grafiquemos el hexágono con las condiciones del

problema:

AB=7, CD=6 y

DE=8.

Matemática

26

60º

60º60º

M F E Na 8

a

A

B C

D

8a8

60º 60º

60º

120º

120º

120º

x120º

7 6

Al prolongar los lados BA, EF y CD, las medidas de

los ángulos externos en A, F, E y D es 60º, además,

se forman los triángulos AFM y DEN; estos, a la

vez, forman el triángulo isósceles MBCN, donde

MB=CN.

Como

DE=8

→ DN=EN=8.

Así también si

AF=a

→ AM=MF=a.

Luego

a+7=6+8

∴ a=7

Por lo tanto, en el triángulo notable BAF tenemos

120º

A

7 7

F Bx

Entonces, BF=7 3.

Respuesta

La longitud de BF es 7 3.

Alternativa E

Pregunta N.º 32

El ángulo de desarrollo de un cono circular recto

mide 120º. Si la altura del cono mide 4 cm,

entonces el radio (en cm) del cono es:

A) 2

2 B) 2 C) 3

D) 2 2 E) 2 3

Solución

Tema

Cono circular recto

Referencias

Al desarrollar la superficie lateral de un cono

circular recto, resulta un sector circular cuyos

elementos se asocian con los del cono dado.

OO

h

B A

V

g g

r

�

g

A

B2 r�

En el gráfico α es la medida del ángulo de

desa-rrollo.

Sea θ su medida en radianes.

→ θ πα=180º

Luego, la longitud del arco ABA se asocia con el

radio de la base del cono.

Matemática

27

´ABA

=2πr

´ABA

=θ×g

∴ θ π= 2 rg

Análisis y procedimiento

Nos dan como dato α=120º y h=4 cm; entonces,

podemos calcular θ y encontrar una relación entre

r y g.

→ θ π π=( )

=120180

23

ºº

Luego

rg

= 13

ó g=3r

Como nos piden el radio de la base en cm, re-

currimos al teorema de Pitágoras para relacionar

r, g y h.

En el AVO: g 2=r 2+h2

Reemplazamos valores:

(3r)2=r 2+(4)2

∴ r= 2

Respuesta

El radio del cono en centímetros es 2.

Alternativa B

Pregunta N.º 33En un nuevo sistema de medición angular, un

ángulo de α grados sexagesimales mide α – 3. Si

un ángulo de π radianes mide 120 en el nuevo

sistema, halle α – 3.

A) 3 B) 6 C) 9

D) 12 E) 15

SoluciónTema

Sistemas de medición angular

Referencias

La equivalencia entre los grados sexagesimales y el número de radianes de un ángulo es π rad=180º.

Análisis y procedimiento

• Nuevo sistema de medición angular (X), donde 1X denota un grado en el sistema X.

• Condiciones:

αº=(α – 3)X

π rad=120X

Empleamos el método del factor de conversión:

α α ππ

º ( )º= − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟3

180XX

rad

120 rad

α αº ( )

º

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

332

2α=3α – 9

α=9

Se busca calcular

(α – 3).

Respuesta

El valor de (α – 3) es 6.

Alternativa B

Pregunta N.º 34

En la figura ab

= 32

y el área de la región sombreada

es 5 veces el área del sector circular OPQ.

Determine la relación ´

´SR

BA

.

Matemática

28

A) 23

B) 1627

C) 32

D) 4516

E) 103

SoluciónTema

Longitud de arco y área del sector circular

Referencias

• Longitud de arco (´)

r

� rad � �= � r

• Área de un sector circular (A)

r

� rad� rad A r=�2

2

Análisis y procedimiento

Condición 1

ab

a kb k

===

32

32

Incógnita: ´

´SR

BA

3k

2k

O

C

A

B

D

S

R

Q

PP

�� ��

Pero ´SR

k= α( )5

´

BAk= θ( )3

´

´SR

BA

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

53

αθ

(I)

Condición 2El área sombreada es igual a cinco veces el área

del sector OPQ.

12

512

3 532

2 22

θ θ α( ) ( )

( )k k

k− =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

162

452

2 2θ αk k=

1645

= αθ

(II)

Al reemplazar (II) en (I) se obtiene:

´

´SR

BA

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

53

1645

´

´SR

BA

= 1627

Respuesta

La relación ´

´SR

BA

es 1627

.

Alternativa B

Matemática

29

Pregunta N.º 35Un punto M=(x; y) dista de un punto C=(2; 5),

10 unidades. La pendiente de la recta que pasa

por M y A=(7; 5) es 1/2. Determine el punto M

de mayor abscisa.

A) (–1; 4) B) (–1; 6) C) (1; 8)

D) (3; 2) E) (5; 4)

SoluciónTema

Geometría analítica

Referencias

• Distancia entre dos puntos

• Ecuación de una recta

Análisis y procedimiento

De la condición tenemos

• C(2; 5)

M x y( ; )

10

Por distancia entre dos puntos se cumple que

10 2 52 2= −( ) + −( )x y

Elevando al cuadrado, tenemos

(x – 2)2+(y – 5)2=10 (I)

• Dato mL

= 12

A(7; 5)

L

M

Calculamos la ecuación de la recta L .

y – 5=mL

(x – 7)

y – 5=12

(x – 7) (II)

Reemplazamos (II) en (I)

(x – 2)2+ 12

7 102

x −( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

(x – 2)2+14

(x – 7)2=10

Reduciendo, tenemos

x2 – 6x+5=0x – 5x – 1

x=5 ∨ x=1Piden el punto M de mayor abscisa< enton-ces, x=5.Reemplazamos en (II)

y – 5=12

(5 – 7)

y=4Entonces, M=(5,4).

Respuesta

El punto M de mayor abscisa es (5,4).

Alternativa E

Pregunta N.º 36En el círculo trigonométrico de la figura, se tiene CM DM= . Entonces el área de la región triangular ABM es:

Matemática

30

A) 238

tanπ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

B) 12

38

tanπ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

C) 234

tanπ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

D) 12

34

tanπ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

E) 247

tanπ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

SoluciónTema

Circunferencia trigonométrica (C. T.)

Referencias

• Ubicación de arcos en la C. T.• Resolución de triángulos rectángulos.• Cálculo del área de una región triangular.

Análisis y procedimiento

Dato: CM DM CM DM= → = =m mπ4

además, m mBM BM= + → =π π π2 4

34

.

A

B

M

X

Y

�

88

33

2

2

H22

22

�

4

33 C

D

En el gráfico se observa que AB= 2 y AM=BM,

entonces, AH=HB=2

2.

Calculamos la altura MH en el triángulo AHM.

MH = 2

238

tanπ

Luego

S

AB MH= ( )( )2

S =

( )⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2

22

38

2

tanπ

Por lo tanto,

S = 12

38

tanπ

.

Respuesta

El área de la región triangular ABM es igual a 12

38

tanπ

.

Alternativa B

Pregunta N.º 37

Simplificando la siguiente expresión K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A,se obtiene

A) 6cos22A B) 6cos2A C) 8sen2AD) 12senAE) 12cos22A

Solución

Tema

Identidades trigonométricas de arcos múltiples

Matemática

31

Referencias

• Empleamos las identidades auxiliares del arco

triple

sen3θ=senθ(2cos2θ+1)

cos3θ=cosθ(2cos2θ – 1)

• Empleamos la identidad del arco doble relacio-

nada con el coseno.

cos2θ=2cos2θ – 1

Análisis y procedimiento

K=sen23Acsc2A+cos23Asec2A+2cos4A

entonces

K

AA

AA

A= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+sensen

coscos

cos3 3

2 42 2

Ahora aplicamos las identidades del arco triple.

K=(2cos2A+1)2+(2cos2A – 1)2+2cos4A

Desarrollando los binomios y aplicando la identi-

dad del arco doble, obtenemos

K=2(4cos22A+1)+2(2cos22A – 1)

→ K=12cos22A

Respuesta

Entonces, K es igual a 12cos22A.

Alternativa E

Pregunta N.º 38

Sea f xx xx x

x k( ) = ++

≠sen tancos cot

, .π2

Entonces podemos afirmar que

A) f(x) toma valores positivos y negativos.B) f(x) toma un número finito de valores negativos.C) f(x) toma solamente valores negativos.D) f(x) toma solamente valores positivos.E) f(x) es constante.

Solución

Tema

Funciones trigonométricas

Referencias

Para reducir la expresión aplicaremos identidades

trigonométricas.

tan

sencos

xxx

=

cotcossen

xxx

=

Análisis y procedimiento

f x

x xx x

x K( )sen tancos cot

= ++

≠ π2

cosx+cotx ≠ 0

cosx(1+1/senx) ≠ 0

cosx ≠ 0 ∧ senx ≠ – 1

→ x ≠ (2n+1) π2

f xx

xx

xxx

( )sen

sencos

coscossen

=+

+

f xx

xx

xx

x

( )sen

coscos

cossen

sen

=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

1

f x

x x

x x( ) = +( )

+( )sen cos

cos sen

2

21

1

senx > – 1

→ 1+senx > 0

cosx > – 1

→ 1+cosx > 0Entonces, se deduce que f(x) es positivo.

Respuesta

f(x) toma solamente valores positivos.

Alternativa D

Matemática

32

Pregunta N.º 39Dado el sistema

x y

x y

+ =

+ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

43

1

π

sec sec

el valor de cos(x – y) es:

A) − 14

B) − 13

C) − 12

D) 14

E) 12

SoluciónTema

Sistemas de ecuaciones trigonométricas

Referencias

Transformaciones trigonométricas.

cos cos cos ·cosx y

x y x y+ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22 2

Identidad de arco doble.

cos2x=2cos2x – 1

Análisis y procedimiento

De la condición

secx+secy=1

2 · (cosx+cosy)=2(cosx · cosy)

2 22 2

×+ −

= + + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( ) ( )·cos ·cos cos cosx y x y

x y x y

Por dato sabemos que

x y+ = 43π

.

4

12 2

12

22

12−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−cos cosx y x y

→ 42

42

3 02·cos cosx y x y−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− =

2

23 2

21 0cos · cos

x y x y−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

cos

cos

x y

x y

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

212

232

o

La ecuación admite para

cos

x y−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=2

12

Luego, debido a que

cos cosx y

x y−( ) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−22

12

Por lo tanto

cos x y−( ) = − 1

2

Respuesta

El valor de cos(x – y) es − 12

.

Alternativa C

Pregunta N.º 40En las circunferencias tangentes de la figura, son datos r0 (radio) y α. Determine el radio R.

Matemática

33

A) 1

0−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

coscos

αα

r

B) cos

cosα

α1 0−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

r

C) 11 0

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

αα

r

D) 1

0+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

coscos

αα

r

E) 11 0

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

αα

r

SoluciónTema

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Referencias

Definición del coseno de un ángulo agudo.

cos α = cateto adyacente

hipotenusa

Análisis y procedimiento

�

R

r0

R

Por definición tenemos

cos α =

+R

R r0

Rcosα+r0cosα=R

r0cosα=R(1 – cosα)

R

r=−0

1coscos

αα

R r=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

coscos

αα1 0

Respuesta

Entonces, el radio R, en términos de r0 y α, es

coscos

αα1 0−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

r

Alternativa B