1era parte solucionario de libro 5to matematica Cobeñas Naquiche
103
CAPITULO 1 È1*8/2 75,*2120e75,&2 [ [ 5HVROXFLyQ &RORFDQGR ORV iQJXORV HQ VHQWLGR DQWLKRUDULR SR sitivo) tenemos : [ [ [[ 30x-30=180 30x=210 x=7 (-(5&,&,2 'H OD ILJXUDKDOODU [ HQ WpUPL QRV GH Į ȕ ș Į ȕ ș x 5HVROXFLyQ &RORFDQGR ORV iQJXORV HQ VHQWLGR DQWLKRUDULR SR sitivo) tenemos : Į ȕ ș x GHO JUiILFR ȕ Į , [ ș ,, GH , ȕ Į igualando con ( II) [ ș ȕ Į [șȕĮ (-(5&,&,2 $ SDUWLU GHO JUiILFRKDOODU a m + b n + c p D[ðE[F P[ðQ[S 5HVROXFLyQ &RORFDQGR ORV iQJXORV HQ VHQWLGR DQWLKRUDULR SR sitivo) tenemos : D[ðE[F P[ðQ[S D[ðE[F P[ðQ[S D[ðE[F P[ðQ[S SRU FRPSDUDFLyQ WHQHPRV a=m ; entonces a/m=1 b=n ; entonces b/n=1 c=p ; entonces c/p=1 a m + b n + c p = 1 + 1 +1 = 3 (-(5&,&,2 'HO JUiILFRKDOODU OD UHODFLyQ TXH FXPSOHQ ORV iQJXORV Į ȕ \ ș Į ȕ ș 5HVROXFLyQ &RORFDQGR ORV iQJXORV HQ VHQWLGR DQWLKRUDULR SR sitivo) tenemos : (-(5&,&,2 'HO JUiILFR KDOODU [
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para todos los profesores de matematica
Transcript of 1era parte solucionario de libro 5to matematica Cobeñas Naquiche
-
CAPITULO 1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????
sitivo) tenemos :
??????????????????
????????????????????????????????
30x-30=18030x=210x=7?????????????????????????????????????????????????????
???????????????
?
?
?
x
????????????
????????????????????????????????????????????????
sitivo) tenemos :
???
?
???
x
????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????
?????????????????????????????
igualando con ( II)????????????????
?????????????????
?????????????????????????????????????????????????
am +
bn +
cp
???????????????
???????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????
sitivo) tenemos :
???????????????
?????????????????
???????????????????????????????????????????
???????????????????
?????????????????????????
a=m ; entonces a/m=1b=n ; entonces b/n=1c=p ; entonces c/p=1
am +
bn +
cp = 1 + 1 +1 = 3
?????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????
?
?
?
????????????
????????????????????????????????????????????????
sitivo) tenemos :
???????????????????????????????????????????????
-
CAPITULO 1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???
?
?
???????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????????
minos de " "?
?
?
?
O
????????????
?
O
???????
?????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????
?
?
????????????
?????????????????????????????????????????????????????
el mismo residuo:?????????????
9???????????????
2?????????????????
14????son coterminales : y ?
?
EJERCICIO 7 En la figura ,calcular el valor quetoma " x "
???????
?????
o
????????????
??????????????????????????????????????????????
???????????
?????
o
???????????????????????????????????
?????????????????????????????????????
???????????????????????????
?????????????????????????????????
???????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????
????????????
sean : = 1k , = 7k y = 13k? ??
entonces : ?
?
= 1k7kpor lo tanto :
? = ??
?????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
?
?????????????
nk entonces : ????????????????
???????????
?????????????????????
+
?????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????
?
?
?
?????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
valor positivo.????????????
sean : = 19k y = 3k ? ?entonces :
?
?
=19k3kpor lo tanto : =? 193
?
como son coterminales de cumplirse:-
?? = ???????????????????????
193? - ? = ??????
? = ??????? = ???????????????? Z+
??????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????
=? 193?
=? 19 3???????
=? ?????????????
-
CAPITULO 1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
EJERCICIO 10 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????
????????????
como son coterminales de cumplirse:-
?? = ???????????????????????
???????????????????????????????
+
?????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????? ??????????
+??????????????????????????????????????????????
???????????????????????????
???
??
??
?????????????????
???????????????????????
???????????????????
EJERCICIO 11 ??????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????
????????????
como son coterminales de cumplirse:-
?? = ?????????????????
+?
? = ????resolviendo las dos ecuaciones :
?? = ????????????????? = ??????????????
???????????????????????????????????????????
???????????????????????????
????????????????????
?????????????????
0.56< n < 1.67 ??????????n = 1
-?
? = ????+
?? = ???? } ?? == ????????
EJERCICIO 12 ??????????????????????????????????plemento de " x "
??
??
??
????????????
??????????????????????????????????????????????????
su signo tenemos :
??
???
??
-?
???????????????????????
??????????????????????????
?????????????????
EJERCICIO 13 En la figura se cumple que :???????????????????????????????
3x??
O????????????
?????????????????????
????????????????????
?????????????????????????????
???????????????????????????????
resolviendo ( I) y (II)
} ???????????????
??????????????
EJERCICIO 14 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????
????
????????????
sean : = 1k , = 5k? ?
entonces : ? = 1k5k
por lo tanto : ? = ??
?
? = ?????????= ??????????? } = ????????????????????????
1.11< n < 2.22 ??????????n = 2 ; = ??????????????? ? = ?????????
EJERCICIO 15 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
??
????????????
?????????????
3????????????????
6?????????????????
10????
???
??????????????????????????
,podemos afirmar que :
???????????????????????????????????
-
CAPITULO 2 SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
NIVEL IEJERCICIO 1 Si se cumple que :
?????????????????????????????????
g
?????????????????????????????????
calcular M = 3B - 4A???????????????????????????
S9 =
C10
Reemplazando valores : 369 =
A10
B9 =
6010
g
} A = 40B = 54 M = 3B - 4A M = 3(54) - 4(40) M = 2
EJERCICIO 2 Efectuar : ????????g
?9
rad.=E
????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
S180 =
C200 =
R S9 =
3010
S?????
S180 =
?9 rad.? S ?????
?????????=E?????
= 3,6
Reemplazando valores :
EJERCICIO 3 ??????????????????????
(2C + S)(2C-S) 400??=
P
????????????
????????????
400??=P S9 =
C10
?? = 100????
C200 =
R rad. ?? =
??
????
????????????
400??=P
Reemplazando valores :
????????????
400??=
(?????? 100????) 400 ??
????
=P =100319
400????
= 319
EJERCICIO 4 ?????????????????????????????
gulo en el sistema sexagesimal,si se cumple:
2S-93 =
C+42
????????????
S9 =
C10 C =
10S9
2S-93 =
C+42
2S-93 =
10S9 +
4
2
4S-183 =
10S +369
????????
???????
EJERCICIO 5 ?????????????????????????????
expresado en radianes,tal que : C - S = 3????????????
C - S = 3 - S = 310S9
???????????
S180 =
R rad.
27180 =
R rad.R = 320
rad.
EJERCICIO 6 Sabiendo que :
48??????????????????????????????? ? 35BA
????????????
S180 =
R rad.
S180 =
48 } S ???????S???????
S?????????????
S????????
Reemplazando valores :
? 35BA?????????????????????????????
=? 35 (45)3 = ?3 27 = 3EJERCICIO 7
??????????????????????
[ 2R+ ] ( 10S-9C )
=E????????????
10S-9C= 10S - 9(10S9 ) = 0 [ 2R+ ]=E = 1
EJERCICIO 8 ?????????????????????????????
expresado en radianes tal que se cumple: S = 2 ( n + 1 ) ; C = 3n - 4
0
??????
??
??
?
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
-
CAPITULO 2 SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
????????????
S9 =
C10
2(n + 1 )9 =
3n - 410
20(n + 1 ) 9 ( 3n - 4 )=
56 7n=8 n=
S = 2 (n + 1 ) = 2 ( 8 + 1 ) = 18S
180 =R
rad. R =18
180 rad.
R =10 rad.
EJERCICIO 9 ?????????????????????????????
en el sistema radial ,si cumple la siguiente condi-?????? S
6 +C5 = 14
????????????
S9 =
C10 C =
10S9
Reemplazando valores :
S6 + 5 = 14
10S9 S = 36
S180 =
R rad. Reemplazando valores :
36180 =
R rad.
R =5 rad.
EJERCICIO 10 Expresar " " en radianes:?
??????????????????????????
????????????
a + a1 n n2( )Sn =
????????????????????????????????
nos en una P.A. es la siguiente :
????????????( ) 3602??????????????
S180 =
R rad. sustituyendo
361 x180180 =
R rad.
R = 361
NIVEL II
EJERCICIO 1 ??????????????????????????????????
cular : A + CB
g m
????????????
???????????????????????????????????????????????????
g m g
S9 =
C10
S9 = 10
13,90 S =??????
S =?????? = ???????????????????????????S????????????????????????????????????????????
S????????????????????????????????
S??????????????? ??????????
Comparando: A = 12 ; B = 30 y C = 36Reemplazando valores : A + C
B= 12 + 36
30= 1,6
EJERCICIO 2 ??????????????????????
???????????
?????
U =
??????????????????????????????????????????????
S180 =
C200 =
R rad.=
n
????????????????????
?????????
U =
( 200 - 180 ) (200 + 180)76U = = 100
EJERCICIO 3 Determinar la medida de un?????????????????????????????????????
1S +
1C =
1972
??????????????????????????????????????????????
S9 =
C10 =
n } S = 9nC = 10nReemplazando valores : 1
9n +1
10n=1972
1990n =
1972
10n=8
C200 =
R rad.
}
C = 88
200 =R
rad. R =25 rad.
EJERCICIO 4 ??????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????
presada en radianes.
????????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
? ?
?
-
CAPITULO 2 SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
A
B
C????? ?????
x
debe cumplirse que : en?????????????????????????
?????????????????????????
???????????????????????
????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????
?????????????????????????????????????
S180 =
R rad.
48180=
R rad.
R = 154 rad.
EJERCICIO 5???????????????????????????
A D
B
C
15)(???????????
25( x + 1 )
????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
g
???????????????????????????????????????????????
gesimal.S9 =
C10
S9 = 10
25(x+1) S = 245(x+1)
*
*
S180 =
R rad. = rad.
S180
15)( S = 12x
???????????????????????????
245(x+1) + + 90 = 360( 13x+10 ) + 12 x
26x+20+45x+45+24x+180 = 72095 x = 475x = 5
EJERCICIO 6 ?????????????????????????????expresado en radianes si se cumple que :
4S - 3C + 10R = 12 +
???????????????????????????????????????????????????
S180 =
C200 =
R rad.
Reemplazando valores : 4 - 3 + 10R = 12 + 180R( ) 200R( )
720R - 600R + 10 R = (12 + )120R + 10 R = ( 12 + )10R ( 12 + ) = ( 12 + )
R = 10EJERCICIO 7 Determinar la medida de un ??????????????????????????????????????????????????
????????????????
=2C + S 2C - S 5 + 9R 5 - 9R
??????????????????????????????????????????????
S9 =
C10 =
n } S = 9nC = 10nReemplazando valores :
= 5 + 9R 5 - 9R 2(10n) + 9n2(10n) - 9n
= 5 + 9R 5 - 9R 2911
145 - 261R = 55 + 99R90 = 360R
EJERCICIO 8 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????
S9 =
C10 9 = 10
??????? 9x-2
????????????
10 -1 -1x 1 -8 -80x
-81x
(10x-1)(x-8) = 0
* 10x-1=0 ; x=0,1 ? Z
* x - 8 =0 ; x= 8 ? Z???????????????????????????
S180 =
R rad.
63180 =
R rad.
7
20
EJERCICIO 9?????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????
gulo A , hallar " x - y " expresado en radianes .
R = 720
R = rad.41 4
B D E C
H
A
x
y
?
??
?
?
?
??
?
??
??
?
?
? ?
??
?
? ??
??????
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
-
CAPITULO 2 SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
????????? ( 7x- 25 ) g
S9 =
C10
9 = 10S 7x - 25
= 10S 63x - 225
1063x - 225 = 5x -3
63x - 225 = 50x - 30 13x = 195
1 15
x = 15
????????????????????????????
???????????????????????????????
S180 =
R 36180 =
R5
1
R = 5EJERCICIO 4 ????????????????????????????vos cuya suma es igual a la cuarta parte de un????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????
del menor .Hallar el menor de ellos en radianes.????????????
sabemos por dato que la suma de estos es la ?????????????????????????????????
x + ( x+r)+(x+2r) = 4
=
3x + 3r = 4????
1 1???
???
1
????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????+ x - x22
2
??????????????
* ???????* ??????????????????????
S180 =
R 5180 =
R36
1
R = 36
EJERCICIO 5 ????????????????????????????????
? 75x4y3
xx+ r x+
2r =
x2
r x - x2
2
x y"mO
????????????
x - y"m
x = - y"m
yx = 9
-10(1003600)5
18
yx = 9 ( 18 )
-5multiplicando ambosmiembros por :
475
4 y75 x = 9. ( 18 )(4)
-5 ( 25)(3)1
3
=6
-5 33
?????????????????????????????????????????
? 75x4y3 ?3= 6-5 3
3 =6
-5
EJERCICIO 6 ?????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????
2S9 -
C10 -
1[ ]( C - S - 1 )
= 1
??????????????????????????????????????????????
S9 =
C10 =
n } S = 9nC = 10nReemplazando valores :
2(9n) - - 1[ ]( 10n - 9n - 1 )
= 19
10n10
[ 2n - n - 1 ]( n - 1 )
= 1
[ n - 1 ]( n - 1 )
= 11
[ n - 1 ] = 1
n = 2
Reemplazando "n" : ??????????????????
18180 =
R10
1
R = 10
EJERCICIO 7 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????
? a-5b bE =
??????????
?????
????? ?????
?????
?????
?????
????
-
CAPITULO 2 SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
????????????
?????????????????????????????????????
a' = bg
a60 =
9 b10
a = 54 b
a = ( 5b + 49b)
{a - 5b = 49 b
Dividiendo entre " b "ambos miembros :
a - 5b = 49 bb b
Extrayendo raiz cuadrada a ambos miembros :
a - 5b = b? ??? ? a-5b bE = = 7
EJERCICIO 8??????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
ple :????????????????????????????????
2
????????????
???????
????????????
??????????????????????
2?????????????????????????????????
drado es mayor o igual a cero)desarrollando el cuadrado de un binomio:???????????????
2
multiplicando por (- 1 ) a ambos miembros y cambiando el sentido de la desigualdad se tiene :??????????????????
2
sumando a ambos miembros ( 18 ) se tiene :????????????????????
?????????????????????????????????????
2
2
????????????????????????????
???????
S180 =
R 18180 =
R10
1
R = 10
EJERCICIO 9 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????
-18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18
??????
C O A
B
???? ab +
ba( ) ?
????????????
???????????????????????????????????
???????
ab +
ba( ) ? = ????
ab +
ba( ) ? = ?????
?????????????????????????????????????????
ab +
ba( ) es negativa ; es decir : ab + ba( ) ? 0
que desarrollando es igual a decir : a + b( ) ? 0a.b22
??????????????????????????????????????????????????
a.b es negativo y diferente de cero.
2 2
??????????????????
?????????????????????
2?????????????????????????????????
drado es mayor o igual a cero)desarrollando el cuadrado de un binomio:????????????????????
2 2
??????????????????
2 2
dividiendo ambos miembros entre (a.b) y teniendopresente que (a.b) es negativo por lo tanto el sentido de la desigualdad cambia.
?????????????????????
2 2
a.bab +
ba ?
- 2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
??????
???????????????????????????
???????????????????????????????????????
ab +
ba( ) ? = ?????}
????????????
????????????? = 6
EJERCICIO 10 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????
S36 +
C40 +
5R??
= 2 ( S + C + R )5 5 5 4 4 4
??????????????????????????????????????????????
S180 =
C200 =
R = n
S.S36 +
C.C40 +
R.5R????
= 2 ( S + C + R )4 4 4 4 4 4
180n.S36
4200n.C
40
4??????
???
4
+ + = 2 ( S + C + R )4 4 4
5n.S + 5n.C + 5n.R 4 4 4 2 ( S + C + R )4 4 4=
5n ( S + C + R ) = 4 4 4 2 ( S + C + R )4 4 4
5n = 2 ; n = 25
R = n
R = 5
????? ?????
?????
?????
?????
?????
??????
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
NIVEL IEJERCICIO 1 Hallar la longitud de arco de un???????????????????????????????????????????????????
radio es de 9m.????????????
???
Lr = 9
m
?????????????????????????????
S180 =
R 20180 =
R
R = 9
1
9
Reemplazando valores : L = 9( ) 9m. =
EJERCICIO 2 En la figura , hallar " x "
2 rad. ( 3x + 4 )m( 2x +
1 )m
O
A
B????????????
???????????
Reemplazando valores :
3x + 4 = ( 2 )( 2x + 1 )
2 = x
EJERCICIO 3 ???????????????????????????
???
L
?????
O A C
B
D
3rr
????????????
???????
?
4rad.
L = CD ???????
Reemplazando valores :
??????????????????????????????
?
4
L = AB ???????
Reemplazando valores : = . r ; r = 2 m.?4L AB = . 2 ; ?4L AB L AB =
?
2m
EJERCICIO 4 De la figura , calcular :
S1S2
( O centro )
??
S2S1
O
AB
C
D????????????
?
?????????
2
2Sea : OB = r ; OC = 2r
S1 = ???2
2
S2 =???????????
2
2
=S2 ???? 2
S1S2
=???
2
2????
2
S1S2
=18
EJERCICIO 5 De la figura , hallar " x " .
2x m
O
A
B
?
2xrad.
????
????????????
?????????
2
2
Reemplazando valores :
= 2???
2x.( 2x ) 2
; = 2
?
2x. 4 x 2
??
x = 3
2
(
?????
?????
?????
?
????
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 6 ???????????????????????????
? = 227( ) 12 m
4 m
S???O
A
BD
C
????????????
???????
?
4rad.
????????????????????????????
S = S - S OCD OAB
?
4( 16 ) 2 - ?4
( 12 ) 2
2 2S =
S = ?????? = 14 227( )S = 44 m 2
EJERCICIO 7 De la figura ,hallar : L + L (AOB y CAD son sectores circulares).
1 2
O C B
D
A
L
L
2
1
24 m.
???
????????????
O C B
D
A
L
L
2
1
24 m.
???
OB = OA = 24m.
????????????????????????????????????
longitud de hipotenusa de 24m ( 2x12)por lo tanto AC= 1x12 = 12m
???
12m24m
?
3 < >
?
6 < >
???
???
Nota :L = ?3
.12m =14
1?????
L = ?6.24m =2
4
1?????
L 1 + L 2 = ?????
EJERCICIO 8 ??????????????????????? S2S1A
BD
C
S1O 5m3m S2?????
????????????
L = ?????????????AB L = AB 3 m.
OA = ?
3 m
L = ????????????CD L = CD 5 m.
*
*
OC = ?
5 m
(( (
(
2
2S =1 ?
3( )=
??
9 m2
????????????????????????????????????????????????????
tenemos :
L + L1 22[ ]S =2 n = 3 + 52[ ] ? 5 - ? 3( )
S =2?
8 m2
Dividiendo : S entre S 2 1
? ? 8? S2S1 = = ?16 9? S2S1 = 4 3EJERCICIO 9 ?????????????????????????
?
??
9
A
BD
C
O 4m2m?????
2m
????????????
L = ?????????????AB L = AB 2 m.
OA = ?
2 m
L = ????????????CD L = CD 4 m.
*
*
OC = OA + 2
(( (
(
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
OC 2= ?
2 +
L = ????????????CD
( 4 = ??? 2?
2 + )( 4 = 2 ???+ ?????????
A
BD
C
O x+1x-1?????
x
EJERCICIO 10
?????????????????????????
9
????????????????????????????????????????????????????
tenemos :
L + L1 22[ ]S = n
=( x- 1) + ( x+1)
2[ ] 9 x 9 = x 2 x = 3
NIVEL IIEJERCICIO 1
O D
C
B
A2L
??????
3L
???????????????????????????????????????????????
de radio OB , y que por pasar por el punto medio B, es lamitad de la medida del arco CD osea 1,5L
O D
C
B
A2L
??????
3L1,5L
HSea OA = R ; tenemos.
??????????????????????*3,5 L = .R .....(II)* ?2
3,51,5 = ???
?
2 7 3 = ??
?
?? = 14???
?????????????????????????
R
De la figura hallar " x ".
EJERCICIO 2 ??????????????????????????????coloreada.
O B D
C
A
???
?????
????????????
????????????
O B D
C
A
?????
R
r
??
5 rad.
* ???????????????????????????????
??????????????????????
???
?????????????????????????????
* color
??
5. R 2 ??
5. r 2
2 2=S color -
=S color ??5 ( R - r .....( II ) )22
Reemplazando ( I ) en ( II ) :
=S color ??5 ( 5 )
=S color ???2
???????????????????????????????????????????
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
O
A
DF
C
??????????????????????????????
EJERCICIO 3 Lr
r3m
2m
4m L 14m
E
B
????????????
O
A
DF
C
r3m
2m
4m L 14m
E
B
??????
De la figura se tiene: L = ????????????AB L = AB 4 m.*
( (
????????????????????????
L = ????????????CD L = CD L ; OC = ( r + 3 ) *
( (?????????????????????????????????
L = ????????????EF L = EF 14m. ; OE = ( r + 5 ) *
( (
??????????????????????
???????????????????????????????????
Reemplazando ( I ) en ( III ) , tenemos :??????????????????????????????????????????????????????????
Reemplazando en ( II ) tenemos :???????????????????? L = 2 ( 2 + 3 ) ; L= 10 m
Lr =
105 = 2
EJERCICIO 4 ??????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????
???????????????????
D C A
B
????????????
D C A
B
????????????????????????
?
4???=
????????????????????????
* color???????????????????????????????????????????
??
4.
2 2=S color -
=S color
????????????????????????
( )2????????????????????????
( )????????????????????????
( )
4 - ??
EJERCICIO 5 Hallar la longitud del radio de???????????????????????????????????????????????????
??
O
A
B
C
L
????????????
??
o
A
B
C
Lr
r
???
??????????????????
(
???????????????????
a la vez tiene la misma medida que el???????????????
???????????????????
nes tenemos :
S180 =
R?rad.
??
180 =R???rad.
R = ?? rad.90
1
90
Reemplazando valores :
L = ??90( ) r r = 90L( ) ??EJERCICIO 6 ???????????????????????????????lares AOB y COD son proporcionales a 1 y 4 res-pectivamente. Calcular : L2
L1????????????
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
BD
O LL1 2
AC
????????????
BD
O LL1 2
AC
S 3SL??
S =2
???????????????????????????????
?????????????????????????????????
???????????????????????????????
Reemplazando:L ......... ( I )??
S =2
??????
1
??
4S =22L .......... ( II )
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
4 =22L21L
2L1L =
2
EJERCICIO 7
? S1S2????????????????????????????????
3
O
A
DF
C
1m2m
3m
SS
E
B1 2
????????????????????????????????????????????????????
tenemos :
L + L1 22[ ]S = n
????????????
Reemplazando:
O
A
DF
C
1m2m
3m
SS
E
B1 2
?????? ??
???
???
???????
2[ ]S = 21S =1 ????
2
????????
2[ ]S = 32S =2 ????????272
2
Dividiendo : S entre S 2 1
? 1 4? S1S2 = = ? 8 27? S1S2 = 2 3
227
3 3 3
3
EJERCICIO 8 ??????????????????????????????
loreada.
BD
O 10m8m
A
C2m
????????????
BD
O 10m8m
A
C2m
??????
r
De la figura se tiene:
L = ????????????AB L = AB 8 m.*
( (
????????????????????????
L = ????????????CD L = CD 10 ; OC = ( r + 2 ) *
( (
??????????????????????????????????
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
810 = ???????? 8
10 = r+2 r???
10r = 8r +16 ; r = 8 m.
S
???????????????????????????????????????????
?????????????? = 8
8 1
1 = 1 rad.
2
2S = ???? 1 ( 8 )
2
2S = 32 m
2
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
EJERCICIO 9 ??????????????????????????????
damente el valor de " a " , si S = S21
BD
O S S
AC
a-1
????????????
a+1
1 2
?????????
2Sea : OA = a+1
S1 =??????????????????
2
BD
O S S
AC
a-1
a+1
1 2??????
Como S = S , entoncestenemos :
=
2S1=????????????????????
2??????????????????????1
Igualando ( I ) y ( II )
???????????
2 =???????????
?????????????????
?
?
?
?
?
?
a + 2a + 1 = 2a?
a - 2a - 1 = 0 ?
Completando cuadrados :
a - 2a - 1 = 0 ; ( a - 2a ) -1 = 0? + 1 - 1 + 1 - 1 ( a - 1 ) = 2 ?Extrayendo raiz cuadrada. ????????????????????
??????????????????????????
?
a = 2,41
1 2
EJERCICIO 10 ??????????????????????????????????
S = S y x
1 2
O E
D
??????
C y
A
x
?
?
?
?
?
?
S1 S2
B
????????????
O
D
??????
C y
A
x
?
?
?
?
?
?
S1 S2
B
x
S1
?????????
2Sea : OA = x
S1 =?????????????????
2
Como S = S , entoncestenemos :2S1=
???????????????????????
2Dividiendo ( I ) entre ( II )
?
?
?
1 2
12 =
??????
2?
?????
2?
12 =
x ? y ?
1??
= x y
x y = 0,71
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 ??????????????????????????????????
???????????????????????
O B
A
C
12m.
12m.
????????????
O B
A
C
12m.
12m.
12m.
P
12m.???
???
?
?
?
?
3 < >
?
6 < >
???
???
Nota :
?
4 < >???
?
12 < >???
*color??????????????????? L + AC
( L + APCP
(
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
color P = L + AC
( L + APCP
(
P = color ?3 12 + ( ) ?12 12 + 12( )
????????????????????????????????????color
EJERCICIO 2 ?????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????
O A
B
C
????????????
O A
B
C
???
???
???
*???????????????????????????????????????????color
???
???
??
2.
2
????????????????????????
( )2
= -??
3.
2
????????????????????????
( )2S color
?????
S color ?
EJERCICIO 3 ???????????????????????????
BD
O 5m2m
AC
2m
????????????
?
??????
????????????????????????????????????????????????????
para calcular L tenemos :
L + L1 22[ ]S = n ; L = 2m. ; S = 5 m1 ?n = 2 m. ; L = ?2
2
BD
O 5m
AC
2m
?
??????
L?
L = 2m1
Reemplazando ,valores y calculando " L "?
L + L1 22[ ]S = n
2 + L2[ ]5 = 22 L ?= 3 m.
De la figura se tiene:
L = ????????????AB L = AB r m.*
( (
????????????????????????
L = ????????????CD L = CD 3 ; OC = ( r + 2 ) *
( (
???????????????????????????
r m.
DIVIDIENDO ( II ) ENTRE ( I )
3 2 = ??????
???????????
2r + 4 = 3rr = 4 m.
Reemplazando " r = 4m. en ( I ) , tenemos :???????????????????????????
??????????????
EJERCICIO 4 ????????????????????????????????
reada.
O
1m
2m
C
B
A
??
??
????????????
????????????????????????????????????????????????????
tenemos :
L + L1 22[ ]S = n
???????????????????????????????
OA = r.
S180 =
R?rad.
?????
?? rad.180 =
?
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
O
1m
2m
C
B
A
??
?
r P
Q???????????
???????????
??
???
S1
S2
???????????????????????
[ ???????????????2 ] [ ????????????????2 ]S =1Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :
????????????????????????S =1 ?2S =1 ?2
[ ??????????????????2 ][?????????????????????2 ]S =2Aplicando diferencia de cuadrados tenemos :
*
*
?????????????????????????S =2 ??2S =2 ??
????????????????????????????????????????1 2S + S = ?2 +
??1 2
S + S = 1 2??
2 =92??????180[ ]= ?40 ??
????????????????????????????????
????????????????????????????????
EJERCICIO 5 ??????????????????????????????????
S = S L L
2
O E
D
???
C
A
S1 S2
B
1 2
1
??
L1
L2
????????????
O E
D
???
C
A
S1 S = S2
B
??
L1
L2
*
S =2S3
R
?????
2 S =1
R
* ??????? 2 S =3 S 2 S=3 1
1
L??
S =2
?????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????
Reemplazando:L ......... ( I )??
S = 11
1
S DOE = 3 S 1 L ..... ( II )?????
=?2
?
DIVIDIENDO ( I ) ENTRE ( II )
L ??
S = 11?
1 L ?????
=?23 S
13 =
2L ?1L ?2
Extrayendo?????????????
L ?1L ?2
= 1??
= 6??
EJERCICIO 6 ???????????????????????????????????1 2
????????????
S1 S2
A O D
B
C
??????
???? 1m
S1 S2
A O D
B
C
??????
???? 1m
??????
?????????
2Sea : OA = x
S1 =????????
2
?
S2 =?????????
2Igualando : S = 2 S
????????
2 =??????????
2??????
??????????????????????
??
2??
4 ??? =??
2
1 1
???????
???
5
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
??????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????
????????????
BD
O LL1 2
AC
n
????????????????????????????????????????????????????
y reemplazando( ) tenemos :
L + L1 22[ ]S = n
S
n
P = L + L + 2n1 28 = L + L + 2n1 2
L + L = 8 - 2n1 2
L + L 1 2
8 - 2n2[ ]S = n
1
4 1
??????????
??????????????????????????????????
?????????????????????
=0?????????????
EJERCICIO 8 En la figura : R + r = 4m. ????????????????????????????????????????????????????
O O rR
???
????????????
O O rR
???
???
* ??????????????????????????????????????????????color
B
S 1
S2?
?
?
?
?
?
?
?
A
D
C
1 2
R r
??
2.
2
R( ) 2* S 1 = - ( R)( R )2 =???????????????????????
4 - ??2
??
2.
2
r( * S 2 = - ( r )( r )2 =???????????????????????
4- ??2
)2
S ABCD =????????????????????????????????? = 2Rr Reemplazando ,valores y calculando" S "color
S = S ABCD - ( S + S ) color 1 2
???????????????????????
4 - ??2 )([ +??????????????????????? 4 - ???2 )( ]= 2Rr -colorS
R + r = 4??????????
????????????
???????????????
????????
[ ?????????????????????? 4 - 12 )( ]= 2Rr -colorS ???????????= 2(2) - colorS [?????????????????????? 4 - 12 )( ]12=colorS ??????????????
=colorS ???????????????
EJERCICIO 9 Hallar la longitud de arco de un
??????????????????????????????????????????????????
??????????????????
????????????
O S L
r
r
???????????????????????????????????????
2S = L r2 =
L 2
??????????????????????????????????????????????????
2( )S =?????????????????????????????????????????????????????4 4
S = 8 4-????????????????????????????????????????????????
4+ 1
8( )S = 1 - L8 2
-???????????????????????????????????????????????4( ??} }
??????
??????????
L2
???????????????????????????????????????????????
4=
L???????????????????????????????????????????????2=
EJERCICIO 10 De la figura hallar S2S1
BD
O S S
AC
1 2
????????????
L 1 2-
-
CAPITULO 3 LONGITUD DE ARCO
BD
O S S
AC
1 2
r
R
* S + SCOD S = 1 2
r R
Reemplazando ,valores y calculando : R ( R + r ) = r R + R + r r
2 2 2( )??????????????????????
?????????????????????????????????
__ ??4+
__ ??4{
R _ r2- = ___ ???
R _ r2-( ????? ___ ???4
R = _____ ???????
R = _______ ??????????
2
2
__ rR =
_______ 2?????????
Racionalizando __ r
R = _______ 2?????????
x _______ ?????????
?????????
2
Extrayendo raiz cuadrada y tomando su valorpositivo :
__ rR =
_______ ?????????2
Completandocuadrados.
S1 = Rr2
S2 = 2( ) rR + r
___ S2S1
= R + rR =1 + __ r
R
Reemplazando el valor de
___ S2S1
= R + rR =1 + ______ ?????????2
___ S2S1
= ______ ?????????2
__ rR
" "
-
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
NIVEL IEJERCICIO 1 De la figura calcular :
???????????????????????????
C A
B
a-1a+1
4?
????????????
??????????????????????????????????????
????????????????????
????????????????????????????
4a = 16 a = 4??????????????????????????????????????????????
ABC , tenemos :
C A
B
5
4?
???????????????????????????
E = _ 34 + _ 5
4
E = 2
3
????????????????????????????????????????????????
, recto en B , se cumple que : Cotg A = __ 512
????????????
B A
C
H=13
5
12
Calcular M = Sen A - Sen C
????????????????????
????????????????
????????????????
???????????
H = 13
Reemplazando el valores :M = Sen A - Sen CM = __ 1213 -
__ 513
M = __ 713
??????????????????????????????????????????
A M B
C
13 5
E = ____ ???????
?
?
????????????
????????????????????
?????????????????
?????????????????
????????????
AB = 12
Reemplazando el valores : AM = MB = 6 A M B
C
13 5
??
6 6
E = ____ __ 5
6 __ 5
12= 2
EJERCICIO 4 De la figura , calcular :
???????????????
???????????????
P =
A B
C
8
?
9 6
?
????????????
A B
C
8
?
9 6
?
????????????????
????????????????
???????????
H = 17
H=17
???????????????????????????????
????????????????
????????????????
????????????
CP = 10
???????????????????????????????
P
10
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Reemplazando el valores :???????????????
???????????????
P =
__ 17 8 -
__ 815
__ 15 8 -
__ 10 8
P = _______ 225 - 64
120 __ 15
8
= = ____ 161 120 __ 5
8= ___ 161 75
P = 2,2
EJERCICIO 5 De la figura , calcular :
????????????Q = 5 ?3
A B
C
D
15
25
24?
?
????????????
??????????????????
??????????????????
???????????
CB = 7
???????????????????????????????
??????????????????
??????????????????
????????????
CD = 20
???????????????????????????????
Reemplazando el valores :????????????Q = 5 ?
3
__ 725 +
__ 2025
A B
C
D
25
24?
?15
20
7
5 Q =
3
?
____ 27125?
3Q =
Q = __ 3 5
Q = 0,6
EJERCICIO 6 Calcular " x " , siendo:
?????????????????????????????????
????????????
?????????????
???????????????
??????????????????
{
??????????
?????????????????????????????????
???????????????????????????????
?????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????
EJERCICIO 7 Calcular " x " , sabiendo que: ?????????????????????????????????????
????????????
= ____ ????
1??????
Nota : ???????????????????????????????????????
??????????????
1 = 1
?????????????????????????????????????? = ????????????????????????????????
????????????????????
EJERCICIO 8 Sabiendo que : ??????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????
????????????
= ____ ????
1???????
Nota : ????????????????
?????????????
????????
????????? ?????????
????????????????????
__ x y =
___ ??????
= 4*
???????????????????????????????????????????????????????
????????????????????
A B
H
?
x
C
a
????????????
????? = __ aAB ?????????????
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
A B
H
?
x
C
a
??????
?????? = ______ x??????
???????????????????
????????????????????????????????????????????????????
????????
A B ??
C
a
x D
??
????????????
???????????????????????????? = ___ BD a ???????????DBC:
A B ??
C
a
x D
??
?????
???????????????????????????? = _______ aABC:???????? = _____
?????
1?????????
Nota :
_____ ?????
1 = _______ a????????
????????????????????
???????????????????????????????????
NIVEL II?????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????? = __ 4 9????????????????????????????????
????????????
A C
B
a
b
c
Sen A . Sen B = __ 4 9 __ a c
. __ b c =
__ 4 9
___ a.b???
= __ 4 9
????????????????
????????????
_____ ???????
a.b = __ 4 9?????????????????????????????????????
Reemplazando el valores : __ b
c + __ a
b
_____ a.b =
__ 9 4
???????
= _____ a.b = __ 9
4???????
?
? ?
= __ 3 2E= = 1,5
?????????????????????????????????????????????????
D A
B
2 M
???
?
????????????
????????????????????
???????????????
??????????
AB = 3
???????????????????????????????
BM = AM =
__ 3 2
D A
B
M
???
?
__ 3 2
__ 3 2
En el MBD
????? = __ 2
1 __ 3
2
= 4 3 2
EJERCICIO 3 En la figura ,CM es mediana.Cal
????????????????
A M B
C
2 1?
????????????
Si CM es mediana entonces : AM = MB???????????????????????????????
????????????????
??????????????
??????????
??????????
A M B
C
2?
?????????????????????????????????????????????????
lo ACB por lo tanto AM=MB=MC ????????????????????????????????????????????
1
_ 1 2
_ 1 2
?
H
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
tos medios : MH = AC 2 = 2 2 = 1
???????????????????????????????????CHM: = 1 = _ 1
2 _ 1 2
???????????????????????????????????????????????????
potenusa mide el triple del cateto menor .Calcular?????????????????????????????????????????????????
gulo.????????????
D A
B
x
3x?
????????????????????
????????????
?????????????
??????????????
???????????????????????????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
= _____ ????? x?????
= ????? ????
?????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????
????????????
?????????????
???????????????
??????????????????
??????????????????
???????????????
????????????????
??????????????????
?????????????????????????????????
Ordenando W : ?????????????????????????????????
W = 1.1 = 1
??????????????????????????????????????????
??????????????????????????
??????????????????????????????
=K
????????????
?????????????????
?????????????????
???????????????????
??????????????????????????????
=K ?????????????????????????????? = 1
?????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????
__ 1213
D A
B
12k
13k?
5 k
????????????
??????????????????????????
??????????????
AB = 5k
Por el T. P. ABD
?????????????????????????????????
Reemplezando :P = 5K + 12K + 13K = 90 30K = 90 K = 3Hipotenusa : AD = 13(3) = 39 cm.
??????????????????????????????????????????????????
Calcular : ?????????????????????????
=K
????????????
????????????????????????????????
??????????????
1=????????????
=???????????? ????????????
??????????????????????????????
????????????????????????????
???????????????
??????????
=K =??????????
0 = 0
= ____ ????
1???????
Nota :
????????????????????????????????????????????????
A C
B
M
?????????????????
?
?
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
A C
B
?
?
aa
x
?????????????????
___ a+x a -
_ x a=M
_ a a +
_ x a -
_ x a=M
=M 1
?????????????????????????????????????
??????????????????
B C
DA
C
1
4
??
??
????????????
B C
DA
E
1
4
??
??
???
F
F3
a
b = 3a
????????????????????????????? = _ 1 aEAF:
????????????????????????????? = _ 3 bCDF:
_ 1 a =
_ 3 b
b = 3a}
b = 3a
En el EFB:?????????????????????????
???????????????????
??????????????????
W = __ 4 4a. __ 3a 1 =
3
M
NIVEL PREUNIVERSITARIO
?????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????? = Cosec C3-Cotg ASen A
Hallar el valor de : U = Tg A + Tg C
????????????
C A
B
a
b
c
_ a b =
- __ c a __ b
c
3
a = ???????? a
= Cosec C3-Cotg ASen A
?????????????
3 = ???????ac
= U ???????ac = 3
U = Tg A + Tg C = __ a c + __ c
a
EJERCICIO 2 Sabiendo que :
?? = 4 2????
????
????????????????
??????????????????????????????????????????????
????????????
?? = 4 2????
????
2????
32 = 2
2
????
32 2=
???? = 43 ?
4
3
??
????????????????????????
??
3( ??9 - ?? ( )??
4= E
= E 7 - 4 = 3????????????????????????????????????????????????
__ 5 13
AD = 52 m. Hallar " AB "
A C
D
B
?
???
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
A C
D
B
?
???
13k = 5
25k = 20
12k=48
P
52
???
???
a b
???????????????????
??????????????????????
??????????????
AC = 12k
???????????????????????????????
???????
___ 5k 13k =
___ DC AD =
___ DC 52
13k = 52 k = 4 DC = 5k = 20
AC = 12k = 48
prolongamos CD ,por elpunto D una longitud igual a AD osea 52 ,forman??????????????????????????
ADP, y como el < D exte????????????????????????????
?????????????????
?????????????????????????? = __ 4872 = __ 2
3
?????????????????????????? = __ 20 b = __ 2
3 b = 30
AB = a = 18
?????????????????????????????????????????????????
cuadrado de la hipotenusa es al producto de loscatetos como 13 es a 6 .Hallar el valor de la tan-??????????????????????????????????????????
????????????
A C
B
c
b
a
___ ????? a.b =
___ 13 6
???????????????
menor ( a < b ).
???????????????????
???????????????????????????????
?????= _____ 13a.b 6
_____ 13a.b 6 =
?????????????
???????????????????????????
2a3a - 2b
- 3b
( 3a - 2b ) = 0
( 2a - 3b ) = 0
= ___ a b = ___ 2
3= ___ a b =
___ 3 2
; ( a< b ) ok
; ( a> b ) ( no cumple)
??????????????????????????????????????????????????????= _ 3 7?????????????????????
????????????
A C
B
?
?
?
?
?
?
?
?
86
A C
B
?
?
?
?
?
?
?
?
86
3k= 30
7k
???????????????????
?????????????????????
???????????????????????????????
H
????????????????????????
?????????????????
???????????
??????????
k = 10
HC = 7k = 7(10) = 70AH = 86 - 70 = 16BH = 3k = 3(10) = 30
16
?????????????????????
Reemplazando :
M = __ 1630 + __ 34
30
???????????????
??????????
AB = 34 34
= __ 5030M = __ 5 3
?????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????????????
S = OA + OB + OC + OD + .................
?
?
?
?
?
O
E
D
C
B
A
1
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
?
?
?
?
?
O
E
D
C
B
A
1
En el ABO??????= __ OB 1
??????????
*
En el BCO??????= __ OC
*
OB???????????
En el CDO
??????= __ OD*
OC????????????????????????????????????
??????????????
4
Reemplazando valores : S = OA + OB + OC + OD + .................???????????????????????????????????????????????????
4
???????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????????????
S??????????????????
????????????????????
?????????????????????
S = _______ 1????????
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
????????????????????????????????????????????????????????
????????????
A B
C
1
D4?
?
????????????
A B
C
1
D4
?
?
a
Sea : BD = a En el ABC
??????????????????????????????????= ____ 1 4 + a
*
En el CBD????????????????????????????????????= __ a 1
*
Igualando ( I ) y ( II ) ____ 1
4 + a = __ a
1 ????????????????????????????????????
??????????????
??????????????
???????????????????
Reemplazando valores :????????????
??????????????
??????
EJERCICIO 8 En la figura,calcular el valor de
???????????
A D
3
G
CB
E
E1?
????????????
A D
3
G
CB
F
E1?
2
H
3,5
1,5
En el trapecio ABCGFH es mediana ,porlo tanto :FH = ( AB + CG ) /2FH = ( 5 + 2 ) / 2FH = 3,5
????????????????
?????? = __ 37
En el EHF*
??????????????????????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????????1
O B
A
O1
????????????
O B
A
r
r???
r
???
?
?
O1
H
P
Sea " r " el radio de la circunferencia de cen-tro O ; trazamos OH ,en la cual se cumple O H = O P = OP = r ;???????????????????
?????????????????
En el BPO
?????????????????????= ____ ?????? r
*
???????????????????????????=
1 1
1
1
-
???????????????
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
EJERCICIO 10 De la figura ,hallar el valor de:
??????????????????????
??????
P=
A C
O
B
12
5
?
?
????????????
A C
O
B
12
5
?
?
?
H
???????????????????
???????????????????????
Por el T. P. OAC
OC = 13
???????????????????
gulo BHC ,los cualessus lados son proporcionales a : 5k,12k,13kSi AC = 13 ,entoncesHC = 12k y OH=(13-12k)BH = 5k y la figura que?????????????????????
manera:
13-12k
12k12
5k
13k
Reemplazando valores :
??????????????????????
??????
P=
4 + A= _ 1 2
______ 13-12k 5k
( ) _ 1 1( ??
13(12) - 12(12k)P= 13-12k
12 ( 13 - 12k )P= 13-12k
P 12.=
13
NIVEL I???????????????????????????????????????????????
??????????????????????????
Calcular : A + B
????????????
???
???
???
???
k
k
???
k2k
???
3 A=
B= _ 2 1( ) 2 _ 2 1( )? ? 2 B=
EJERCICIO 2 ???????????????????????????????????
?????
????????????????????????????
????????????
?????????????????
?????
????????????????????
?????
1_2
= _____ ?????
1?????????
Nota :
????????
__ 12
1
2??
?
??????????????????
Reemplazando valores :
2 . E = _ 1( ) _ 2( ) 5 E =
?? ??
EJERCICIO 3 ?????????????????????????????
????????????????????????????????
????????????
???
???
???
k2k
???
???
1
??????
?
?
?
?
?
?
?
13 - 12 ___ 12k 5k )( __ 12 5k )(P=
??????????????????????????????????????????????????
???????
????????????????????????
Reemplazando valores :
????????????????????
??????????????????????????
???????????????????
????????????????????
M = 2
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
???
?
????????????
???
?
3k
2k2k4k
???
A B
C????????????????????????????????
de lados proporcionales a 3k,4k y 5k
Reemplazando valores :
En el MBC
??????? = __ 32
EJERCICIO 5 De la figura,calcular __ ba
B
C
???
A
a
????????????
B
C
???
D
a= 5k3k
4k3k
D
b
???
A
b=
???
????
?????????????????????????????????????????????
__ ba
Reemplazando valores :
= ____ ??????????? 5k = ___ ??????????
5
EJERCICIO 6 En la figura,hallar " PQ "
A P B
Q
C
???
???
38
????????????
Q
C
???
???
38
7k
24k25 k
???
Sea k = 2
14
4850
???
10
10 4
14A BP
?
?
?
?
?????????
EJERCICIO 7 Calcular el valor de :
????????????????????
???
???
1
??????
?
?
?
?
?
?
?
????????????
????????????????????
?????????????????????
P = 4
?????????????????????????????????????????
A C
B
10
?
?
?
???
P
????????????
A C
B
?
?
?
???
P???
???
10=5k k=2
k =6=3k112=2k
H
???????????????????????????????????????????????
1
A C
C
P
???
?
???
???
4
2
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
A C
B
P
???
?
4
2???
H
??
5 1
???????????????????????????
???????????????????
???????????????????????
???????????????????????
???????????????????????
Reemplazando valores :
???????
___ ?????????? 5
EJERCICIO 10 De la figura, hallar AE.
???
???
???
A B
C
D
E
12
????????????
???
???
???
A B
C
D
E
4k=12 k= 3
915
15
?
?
?
?
?
?
?
?
??????????????
=
??????????x
???????????????????
??????????
??????????
??????????????
NIVEL II?????????????????????????????????????????
B C
A
???
???
10
????????????
B C
A
???
???
10 ?????
?????H
B
A
???
H C
A
???
10 ?????
?????H
8
2k=8
4
???
8
?
????????????????????????????????????????????????
ente manera.
C???
10 ?????
?????H
8
4???
A
??
B
???????
?????
EJERCICIO 2 Sabiendo que : ???????????????
??????????????????????
??????????????????????????????????????????????
????????????
?????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????
Resolviendo ( I ) y ( II )
???????
???????
Reemplazando valores :????????????????????????????
?????????????????????
N _ 2( ?? _ 1( ?? 1 1 += = 0,25 +1 = 1,25
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
EJERCICIO 3 Calcular el valor de " x " en :
??????????????????
??????????????????
=?????????
????????????
Reemplazando valores :
_ 2
1 =
_ 2( ) 1x + 1
_ 2( ) 1x - 1
_ 4
5 = x + 2x - 2
x = 18
?????????????????????????????????????????
???
B C
A
O
????????????
???
B C
A
O
1
1
1
1???
H
1
??
??????????BC=
?????????????????????????????????????????
A C
B
D28
???
???
????????????
A C
B
D28
???
???
28
4k
3k4k
5k
??????????????????????
AC = 7k = 28 k = 4
CD = 5k = 5(4) = 20
???????????????????????????????????????????????????
???????????????????????
B A
C
P
???
?
a
????????????
B A
C
P
???
?
a
???
BP
??????
??????
??????
a
?
?
?
?????????????????????
???????????????????
????????????????????
??????????????
aBP =
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????
A B Q
C
P
D
???
?
????????????
En el QAD
Sea AD = 3K entonces AQ = 4K,pero AB=3K ,entoces BQ = K
A B Q
C
P
D
????
3k
4k k3k
???
3k4
??????? = __3k
__ 3k4 = __ 14 = 0,25
Reemplazando valores :
En el QBPEl lado BQ ha sido dividido por 4,por lo???????????????????
divido por 4
???????????????????????????????????????????????????
A C
B
???
H
M?
????????????
A C
B
???
H
M?
???
?
?
12
9
6
8 8P
En el AHBSea BH = 12 = 4(3)AH = 3 (3) = 9
En el BHCSea BH = 12 = 3 (4)HC = 4 (4) = 16Por el teorema de lospuntos medios tene -mos : MP=12/2=6 ;HP=PC=16/2=8
???????????????????
lo APM ,para aprovechar el punto medio ???????????????????
Reemplazando valores :
????????? = __ 617
En el AMP
EJERCICIO 9 De la figura,hallar :
???????????????????
????????????
A C
B
M
?
?
???
???
A C
B
M
?
?
???
???
???
???
?
?
? 5 5x
Reemplazando valores :???????????????????
P = 5 .
H P
___???????
x( ) __ x5 ( )P = ???????
???????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????
A M Q C
N
B
P
?
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
A M Q C
N
B
P
?
???
??
1??
1
??
Sea el lado del cuadrado?????????????????????? PQC , QC????????????????????????
forma para el AMN?????????????????
Reemplazando valores :
????????? = ____????????
???????
En el AQP
= ____????????
??????? __??????( )??????
= ____ 3???????
NIVEL PREUNIVERSITARIO
??????????????????????????????????????????????????
?
???
????????????
?
???
???
A H P D
C
B?
?
?
?
?
?
64
48
80 100
75
En el CHP ( sea CP = 80 )
H P
C
?
?
?
4k
3k
5k
???
?
H P
C
?
?
?
4
3
5
???
???
???
???
?
H P
C
?
?
?
64
48
80
???
En el BCP
C P
B
?
?
?
60
80
100
???
?
C P
B
?
?
?
3
4
5
???
???
???
???
En el BPC
P C
B
?
?
?
100
75
125
???
?
P C
B?
?
?
4
3
5
???
???
???
???
?
H P D
C
64
48 75
En el CHD
????????? = _____ 6448+75
Reemplazando valores :
????????? = ___ 64123
????????????????????????????????????????????????
A E B
D C
F????
????????????
A E B
D C
F????
???
20
12
16
20
15
1
En el DAE ( sea DE = 20 )
A E
D
?
?
?
4k
3k
5k
???
?
A E
D
?
?
?
4
3
5
???
??
??
??
?
A E
D
?
?
?
16
12
20
???
En el FBE ( EB = 20 )
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
E B
F
???
4??
3??5??
?
E B
F
???
20
1525
Y como AD = 16 y FB = 15 , entonces CF = 1
En el DCF
????????? = ___ 1 32
Reemplazando valores :
????????? = 32
D C
F?
32
1
?????????????????????????????????????????????
????????????????????
?
???
????????????
?
???
5 37
4
???
8
34
A D C
B
H
P
En el BPD
?????????? = __ 8 3
Reemplazando valores :
EJERCICIO 4 En la figura hallar BP.
B C
A
P???
7
7
????????????
B C
A
P???
7
7
???
?
?
?
H3
34
5
???????????????????
????????????????????
gulos PHC y PHB los???????????????????
Sea PH = 3 ,comple????????????????????
quedando la figura de la siguiente manera.
En el PHB
BP = 5
EJERCICIO 5 Si se cumple que :
??????????????????????
????????????????????????????????????
= 1
????????????
???????????????????????????????
?????????????????
????????= ___
1 ???
Reemplazando valores :
??????????????????????
????????????????????????????????????
= 1
???????????????????????????????????
??????????????????????????????????
??????????????
?????????????????
Calcular E = Sen 4x - Cos 5x
Reemplazando valores :
E = Sen 4x - Cos 5x
?????????????????????? ?????????????????
E = 0
?????????????????????????????????????????????
B C
A
P
???
b
a
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
B C
A
P
???
b
a
x
x(a - x )
???
?
H
En el PHB
????????? = .....( I ) ____ (a-x) x
En el ACB
????????? = .....( II ) __ a b
Igualando ( I ) y ( II ) tenemos : ____
(a-x) x = __ a
b ax = b(a-x)a.x = a.b - b.x
x ___ a+ba.b =
Reemplazando valores :
?????????PC _____ a+b
?????????=
??????????????????????????????????????????????????
centro )
???
O
B C
A
20
????????????
???
O
B C
A
20???
20
20
15P
H
Trazamos OH yOP perpendiculara BC y AB respectivamente forman???????????????????
notables OHC y APO.OH = 20 ( radio dela circunferencia )OP = 20 (radio de la circunerencia luego com-????????????????????????????????????????????????
fica sigiente.
??????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
B C
A
?
D??????
????????????
B C
A
?
D??????
??? ???
4
?
?
?
?
?
?
4 3
3
H
Trazamos DH?????????????
????????????
formandose el?????????????
Completamos ???????????????
notabes quedan????????????????????????????????????
En el DHB
??????????
____ 3
4+3 = = __ 3 7
???????????????????????????????????????????????????
O N B
M
PA
????????????
O N B
M
PA
?
?
H
1
1
??????????????
Sea OB=OA=2 ,en-tonces ON=HN=1 ,
???????????????????
?????????????????????????
Por el T. P. PNO
????????????
??????????????
En el PHM
??????????
____ 1????????= =
21
????????
????????
-
CAPITULO 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????
B C
A
N
M
???
?
????????????
B C
A
N
???
?
M???
???
2
2
1
1 ??
H
???????????????????????????????????????????
sectandola en el punto " H ".AM=MC=BM ( Propieda de la mediana relativaa la hipotenusa ).Sea AM=MC=BM=2.??????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????
????????
???????????????????????????????????????????????
???????????????????
?????????????????????????
????????????
??
En el CHN
???????
????
___ 2 ???
= 2
-
CAPITULO 5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
NIVEL I
EJERCICIO 1 ???????????????????????
???????????????
(-2;1)
O
?
x
y
????????????
(-2;1)
O
?
x
y
-2
1
????????????????????????
???????????
A??
???????????????
Reemplazando valores :
__ 1 ?????
( ) __ -2 ?????
( ) 5 =M=M -2
EJERCICIO 2 ???????????????????????????????
(-3;-1)
O
?
x
y
????????????
A(-3;-1)
O
?
x
y
-3-1
???
????????????????????????
????????????
???????
Reemplazando valores :
= ___ -1 ( )????????????? = ????????
EJERCICIO 3 ???????????????????????
???????????????????????????????
(-4;3)
(-7;-24)
O?
?
x
y
????????????
A(-4;3)
B(-7;-24)
O?
?
x
y
-4-7
-24
3
25
5
???????????????????????
OA = 5
?????????????????????????
OB = 25
Reemplazando valores :
???????????????????????????????
__ 3 5 ( ) ___ 25 -24 ( ) 8
=E -5 + 20 = 15
__ -4 5 ( ) ___ 25 -7 ( ) 7+=E
EJERCICIO 4 ????????????????????????????
O x
y
?
(-5; y)
13
????????????
???????????????????????
????????????????????
????????????????
???????????????????
????????????????? y = 12
-
CAPITULO 5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
O x
y
?
(-5; y)
13
-5
12
Reemplazando valores :
__ 12 -5 ( )=????
__ 12 5 =???? -
???????????????????????????????????????????????????????
___ 2 ??????-=
hallar : ???????????????????????????????????
O x
y
(-2; y)
-2
??????
?
??????????????????????????
???????????????????
y = -3
-3
Reemplazando valores : ???????????????????????
__ -3 -2( ) 4 ___????????-3( ) 9+=E 2
=E 6 + 13
=E 19
??????????????????????????????????????????????????????
___ 25 9 = 4
????????????????????????????????
????????????
O
y??????????????????????4
___ 25 9 =?????
__ 5
3 =?????
?
3
5 -4
( 3 ; y)
????????????????????????????
??????????????????
??????????????????? y = 4Reemplazando valores : ?????????????????????
A = __ 3 -4( ) - __ 5 -4( ) 0,5=
x
???????????????????????????????????????????????????2
??????????????????????????????????
????????????
????????????
= E
????????????
O
?
?
x
y
+ +
-
-
+
?????????????
??????????????
?????????????
???????????????
Reemplazando valores :
????????????
????????????
= E = ( + ) + ( + ) ( - ) . ( + ) = ( + ) ( - ) =
( - )
EJERCICIO 8 Indicar el signo de la expre- ???????
????????????????????????????
??????????????????????????????
= B
????????????
y
+ +
-
-
+
+
+ -
+
+
?????????????????????????
???????????????????????????
???????????????????????????
??????????????????????????
????????????????????????????
?????????????????????????????
Reemplazando valores : ????????????????????????????
??????????????????????????????
= B
( + ) . ( - ) . ( - ) ( + ) . ( - ) . ( - )
= B( + )
( + ) = = ( + )
-
CAPITULO 5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????
____3
2n -1 =????????????
??????????????
Reemplazando valores :
____3
2n -1 ??????????????????
?????????????????? 2n -1 ?????????????
????????????
???????????????
EJERCICIO 10 En que cuadrante el seno y el
coseno tienen signos diferentes.????????????
Tangente
SenoCoseno
+
CotangenteSecanteCosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+++++
+
+
++
+
+
----
--
--
-
--
-
cuadranteF.Trigono.
NIVEL II
EJERCICIO 1 Siendo A ( 60;-11) un punto del
????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????
????????????
O x
y
A(60;-11)
60
-11
?????????????????????????
OA = 61
61
__ -11 60 ( ) ___ 61 60 ( )+=K
?
__ 50 60 =K
__ 5 6 =K
????????????????
EJERCICIO 2 ????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????
O x
y
??????????
-1?
??????
?????????????????????????
?????????????
??????
????????????
Reemplazando valores :
????????????????????????????????
__??????-1 ( ) ___????
??????
( ) 2 ___????????( )???+=M????
=M ??? - ???
=M 0
EJERCICIO 3 De la figura ,calcular :
??????????????????????
(-12;-5)
O?
?
x
y(7;24)
????????????
B(-12;-5)
O?
?
x
y A(7;24)
25 24
7-5
-12
13
???????????????????????
OA = 25?????????????????????????
OB = 13
??????????????????????
__ 25 24 ( ) ___ 13 -12 ( )+=K 2 = 1
-
CAPITULO 5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
EJERCICIO 4 Si ???????????????????
???????????????????????????????????
????????????
???????????????????
1 + ??????????????
??????????????
???????????????
?????????????????
O x
y
A(-1; -8)
-1?
- 8 ???????
?????????????
__ -8 -1 =
?????????????????????????
??????????????
Reemplazando valores :
??????????????
__ -1 =???????
=?????????
EJERCICIO 5 Si se cumple que :??????????????????????????????????????????????2
?????????????????????????????????
????????????
?????????????????????????????
????????????
???????????
???????
???????
?????????????
??????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????
__ 3 5 = 2
??????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????
__ -4 5 = 2
O x
y
?
(-5; y)
5
- 4
3
Reemplazando valores :
__ 3 5 =M -
__ -4 5 +
__ 3 -4
__ 7 5 =M -
__ 3 4
__ 13 20 =M = 0,65
?????????????????????????
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
????????????
__ 3 5 =
???????????????????????????????????????
???????EJERCICIO 6
????????????????????????????
????????????
???????????????????????????????
???????
???????????????????????????????
???????
12
????????
__ -2 -1 =
O x
y
A(-1; -8)
-1?
- 2 ??????
?????????????????????????
?????????????
Reemplazando valores :
??????????????????
__ -2 =P __ -1 ( )( )?????? ??????
10
P = 4
?????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????
??????????????
????????????????
= E
????????????
O
y
?
+
+ -
x????????4
Reemplazando valores : ??????????????
????????????????
= E
( + ) - ( - ) ( - ) . ( - )= E
( + ) ( + )= E
-
= x
CAPITULO 5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
EJERCICIO 8 Hallar los valores que puede
tomar " a " si cumple que :?????????????????????
????????????
???????????????????????????????????????
????????????????
2A?????????????
????????????????????????1 1 ?? ?????????????????
?????????????????
????????????
2a + 1 = 0 a __ -1
2 =
2a - 1= 0 a
__ -1 2
=
__ 1 2
+-+
????????????
????????????????????????
__ 1 2
????[ __ -1 2 ; __ 1 2 ]?????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????
?????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
????????????
Tangente
SenoCoseno
+
CotangenteSecanteCosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+++++
+
+
++
+
+
----
--
--
-
--
-
cuadranteF.Trigono.
??????????
???????????
} ????????????????????
O x
y
??????????
-1 ?
??????
??????
???????????????
___ -1 =???????} ????????????????????
???????
?
????????????????????????
minales entonces :??????????????????
Reemplazando valores :
__
=G + +( )?????????????????????????????
??????
??????
2 __( )????????????
3 __( )????????????
___=G ?????????????
___=G ?????????????
__( )????????????
___=G ??????? 3
=G ???????
EJERCICIO 10 En la figura ,hallar :
??????????????????????
????????????
?
x
y
(3; -1)?
?
x
y
?
(3; -1)
(-3; 1)
Reemplazando valores : ??????????????????????
??????????????????
????????
???
???
3-1-3
1
___=E -( ) -1 ???????
___( ) -3 ???????
??[=E 0,4
-
CAPITULO 5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
NIVEL PREUNIVERSITARIO
EJERCICIO 1 ???????????????????????????????????
??????????????????
????????????
Tangente
SenoCoseno
+
CotangenteSecanteCosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+++++
+
+
++
+
+
----
--
--
-
--
-
cuadranteF.Trigono.
??????????
??????????
} Se presenta en el Q???????????????
___ 1 = }
??????????????????
????????????
4
4
O
y
?
x 1
4
A
H
?????
Reemplazando valores :
??????????????????
___=A __ 1 ( )( ) 416 ????? 4=A ?????
EJERCICIO 2 Si se cumple que :
[ ] ?????????????? ??????????????????
????????????????????
????????????
[ ] ?????????????? 2 = 12 ? [ 2 ]
??????????????
12 = 3
????????????? = 6
???????????????? = 5???????????????? = ___ -1
-5
Ox
y
A(-5; -1)
-5?
- 1
???????
????????????????
___ -1 = =
???????
????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????
__ n = 1 + 1
????????????
EJERCICIO 4 ????????????????????????????????????
el signo de : ??????????????????????????????????????????
= R
????????????
Tangente
SenoCoseno
+
CotangenteSecanteCosecante
Q1 Q2 Q3 Q4
+++++
+
+
++
+
+
----
--
--
-
--
-
cuadranteF.Trigono.
Reemplazando valores :
????????????????????
??????????????????????
= R
( + ) - ( - )= R
( + )= R
??????????????
?????????????????????
???????????????????{
+
( + ) ( - )
( - )= ( - )
????????????????
???????????????????????????????????????????
__ n 1
+ 1 ????????????????????????????????????????????????????????
__ n 1
???????????????????????????????????????????????????????????????????
que cambia el sentido de la desigualdad y como son valores ne-gativos proximos a cero la division entre cero tiende al infinito negativo
n ???????????????????????????? __ 2 -1
n ?????????????????????????????
__ 2 -1 __
0 1
-
]?????? __ 2 -1
-
CAPITULO 5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????
(2a-1;a+4)
O
?
x
y
???
????????????
(2a-1;a+4)
O
?
x
y
???
2a-1
a+4
???????????????????????????????
??????????????????????????????????????
?????????????????????????
??????????????????????????
5a - 11 a + 3
a = ___ 5 11
a = - 3
?????????????????????????????????????????????????
