HENRY ALVARADO http://todoepn.blogspot.com Introduccin La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio, superior nivel universitario que brinda apoyo de gua en los ejercicios propuestos por el libro FISICA VECTORIAL 1 de los autores Vallejo-Zambrano. No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino de la razn y lgica para llegar a la solucin es por eso que se pide al estudiante tener conocimientos bsicos de lgebra, trigonometra y fsica vectorial. Las dudas o sugerencias sern aceptadas en la direccin que aparece a pie de pgina para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a la obra expuesta. Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del razonamiento matemtico en la solucin de problemas ms complejos sin embargo las dudas de cualquier procedimiento no entendible sern bienvenidas a las siguientes direcciones: www.facebook.com/todoepntodo_epn@hotmail.com http://todoepn.blogspot.comNDICE EJERCICIO N 3 .................................................................................................................................... 4 EJERCICIO N 4 .................................................................................................................................. 16 EJERCICIO N5 ................................................................................................................................... 38 EJERCICIO N6 ................................................................................................................................... 59 EJERCICIO N 7 .................................................................................................................................. 66 EJERCICIO N8 ................................................................................................................................... 81 EJERCICIO N 9 ................................................................................................................................ 112 EJERCICIO N10 ............................................................................................................................... 118 EJERCICIO N11 ............................................................................................................................... 127 EJERCICIO N12 ............................................................................................................................... 133 EJERCICIO N13 ............................................................................................................................... 140 EJERCICIO N14 ............................................................................................................................... 169 EJERCICIO N 15 .............................................................................................................................. 176 EJERCICIO N 3 1.Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores: a)( )m j 20 i 15 A = SOLUCIN: ( ) A= 15, - 20 m b) ( ) B= 130N, 125 SOLUCIN: xxxB = B cosB =130 Ncos125B = -74, 56 Nu yyyB = B senB =130Nsen125B =106, 49Nu ( )( )x yB= B , BB= -74, 56; 106, 49 N c)( ) C= 37cm, N37 E xxxB = B senB = 37cmsen37B = 22, 27cm| yyyB = B cosB = 37cmcos37B = 29, 55cm ( )( )x yB= B , BB= 22, 27; 29, 55 cm d) ( )D= 25kgf -0, 6 i- 0,8 j SOLUCIN: ( )( )D = 25kgf -0, 6 i- 0, 8 jD = -15 i- 20 j kgf ( ) D = -15, - 20 kgf2.Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores: a) ( )A = -14 i+8 j m SOLUCIN: ( )2 2A = 14 +8A =16,12m 18tan148tan1429, 74uuu=| |= |\ .= 180180 29, 74150, 26o uoo= = = ( ) A = 16,12m; 150, 26 b) ( ) B= 87, 91 N SOLUCIN: ( )2 2B = 87 +91B =125, 90 N 191tan8791tan8746, 29uuu=| |= |\ .= ( ) B= 125, 90N; 46, 29 c) ( )C= 45kgf 0, 707 i- 0, 707 j SOLUCIN: 11110, 707tan0, 7070, 707tan0, 70745uuu=| |= |\ .= 1270270 45315u uuu= += += ( ) C = 45kgf; 315 d) ( ) D= 22N,S28 O SOLUCIN: 270270 28242u |uu= = = ( ) D = 22 N, 242 3.Expresar en coordenadas geogrficas los siguientes vectores: a) ( ) A= 52, -25 N SOLUCIN: 2 2A = 52 + 25A = 57, 7 N 152tan2552tan2564, 32|||=| |= |\ .= ( ) A = 57, 7 N; S64, 32 E b)( ) B= 47N, 245 270 24525|| = =( ) B = 47 N, S25 OSOLUCIN: c)C = -32 im+ 21 jm SOLUCIN: 2 2C = 32 + 21C = 38, 28m 132tan2132tan2156, 73|||=| |= |\ .= ( ) C = 38, 28m; N56, 73O d) ( )D= 35cm 0,866 i+0, 5 j SOLUCIN: 10, 5tan0,8660, 5tan0, 86630|||=| |= |\ .= ( ) D = 35cm; N30 E 4.Exprese en funcin de sus mdulos y vectores unitarios los siguientes vectores: a) ( ) A= 44m, 340 SOLUCIN: xxxA = A cosA = 44mcos340A = 41, 35mu yyyA = A senA = 44msen340A = 15, 05mu ( )A = 41, 35 i-15, 05 j m ( )( )AAAA=A41, 35 i-15, 05 j m=44m= 0, 94 i 0, 34 j ( )A= 44m 0, 94 i- 0, 34 j b) ( ) B= 25km, S14 O SOLUCIN: 270 14284uu = += xxxB = B cosB = 25kmcos 284B = 6, 05kmu yyyB = A senB = 25kmsen 284B = 24, 26kmu ( )A = 6, 05 i- 24, 26 j km ( )( )BBBB=B6, 05 i- 24, 26 j km=25km= 0, 24 i 0, 97 j ( )B= 25km 0, 242 i- 0, 97 j c) ( ) C= -21, 45 N SOLUCIN: 2 2C 21 45C 49, 66 N= += ( )( )CCCCC-21i+ 45 j N49, 66 N-0, 42 i+0, 90 j=== ( )C 49, 66N -0, 42 i+0, 90 j = d) ( )D= 17 i+9 j kgf SOLUCIN: 2 2D = 17 9D =19, 24kgf+ ( )( )DDDDD17 i+9 j kgf19, 24kgf0,88 i+0, 47 j=== ( )D 19, 24kgf 0,88 i+0, 47 j = 5.Expresar el vector ( ) R = -13, -27 m en: a)Coordenadas polares b)Funcin de los vectores base c)Coordenadas geogrficas d)Funcin de su modulo y unitario SOLUCIN: ( ) R = -13, -27 m a) 2 2R = 13 +27R = 29, 97m 111127tan1327tan1364, 29uuu=| |= |\ .= 64, 29 180244, 29uu = += ( ) R = 29, 97m; 244, 29 b) ( )R = -13i- 27 j m c) 270 244, 2925, 71|| = = ( ) R = 29, 97m; S25, 71 Od) ( )( )RRRRR-13 i- 27 j m29, 97m-0, 43 i- 0, 9 j=== ( )R = 29, 97m -0, 43i- 0, 9 j 6.Expresar el vector ( ) V= 200km, 318en : a)Coordenadas geogrficas b)Coordenadas rectangulares c)Funcin de los vectores base d)Funcin de su modulo y unitario SOLUCIN: ( ) V= 200km, 318 a) 318 27048|| = =( ) V = 200km, S48 E b) xxxV = V cos318V = 200kmcos318V =148, 63km

yyyV = V sen318V = 200kmsen318V = -133, 83km

( ) V = 148, 63; -133, 83 km c) ( )V= 148, 63i-133,83 j kmd) ( )( )VVVVV148, 63 i-133,83 j km200km0, 743 i- 0, 669 j=== ( )V= 200km 0, 743i- 0, 669 j 7.Expresar el vector ( ) K= 20N, N47 Oen: a)Coordenadas polares b)Coordenadas rectangulares c)Funcin de su modulo y unitario d)Funcin de los vectores base SOLUCIN: a) 90 47137uu = += ( ) K= 20N;137 b) xxxK = K cosK = 20 Ncos137K = -14, 63Nu yyyK = K senK = 20 Nsen137K =13, 64 Nu( ) K = -14, 63; 13, 64 N c) ( )( )KKKKK-14, 63 i 13, 64 j N20N0, 73 i 0, 68 j=+== + ( )K 20N 0, 73i 0, 68 j = + d) ( )K = -14, 63i 13, 64 j N + 8.Expresar el vector ( )L =147cm mi- nj; Sim=3n , en: a)Coordenadas geogrficas b)Coordenadas polares c)Coordenadas rectangulares d)Funcin de los vectores base SOLUCIN: ( )( )( )( )LL222 2mi- nj m 3n3ni- nj1 3n n9n n 110 n 11n10n 0, 316= === ++ ==== ( )( )( )( )LLLLmi- nj m 3n3ni- nj3 0, 316 i- 0, 316 j0, 948 i- 0, 316 j= === = a) 10, 948tan0, 3160, 948tan0, 31671, 57|||=| |= |\ .=( ) L 147cm; S71, 57 O =b) 270 71, 57341, 57uu = +=( ) L 147cm; 341, 57 =c) ( )( )L =147cm 0, 948; -0, 316L = 139, 36; -19, 99 cm d) ( )L = 139, 36 i-19, 99 j cm 9.Expresar el vector ( )H = -29 i+35 j m sen: a)Coordenadas rectangulares b)Funcin de su modulo y unitario c)Coordenadas polares d)Coordenadas geogrficas SOLUCIN: a) ( ) H = -29; 35 m sb) 2 2H 29 35H 45, 45m/ s= += ( )( )HHHHH-29 i+35 j m s=45, 45m s= 0, 64 i+0, 77 j= ( )H 45, 45m/ s 0, 64 i+0, 77 j = c) 10, 64tan0, 770, 64tan0, 7739, 73|||=| |= |\ .= 90 39, 73129, 73uu = += ( ) H 45, 45m/ s; 129, 73 =d) ( ) H 45, 45m/ s; N39, 73 O = 10. Expresar el vector ( )2E = 9 i+12 j m sen: a)Coordenadas rectangulares b)Coordenadas polares c)Coordenadas geogrficas d)Funcin de su modulo y unitario SOLUCIN: a) ( )2E = 9; 12 m s b) 2 22E = 9 +12E =15m/ s 112tan912tan953,13uuu=| |= |\ .= ( )2E = 15m/ s ; 53,13c) 90 53,1336, 87|| = = ( )2E = 15m/ s ; N36,87 Ed) ( )( )E2E 2EEE9 i+12 j m s15m s0, 6 i+0, 8 j===

( )2E =15m/ s 0, 6 i+0,8 j 11. Exprese en funcin de sus vectores base los siguientes vectores: a) ( ) A= 65km/ h, 121 SOLUCIN: xxxA = A cosA = 65km/ hcos121A = 33, 48km/ hu yyyA = A senA = 65km/ hsen121A = 55, 72km/ hu ( )A= -33, 48 i+55, 72 j km/ h b) ( ) B= 70N, NE SOLUCIN: xxxB = B cosB = 70Ncos 45B = 49, 5Nu

( )B= 49, 5 i 49, 5 j N + c) ( )C=120km 0,873i- 0, 488 j SOLUCIN: ( )C= 104, 76 i- 58, 56 j km d) ( ) D= -13, 40 N SOLUCIN: ( )D= -13i 40 j N +EJERCICIO N 4 1.Si la magnitud de los vectoresF yGson 40m y 30m respectivamente, determinar: a)La magnitud mxima del vector resultante de la suma vectorial deF+G b)La magnitud mnima del vector resultante de la suma vectorial deF+G c)La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de queF yGsean perpendiculares d)La magnitud mxima del vector resultante de la resta vectorialdeF- G SOLUCIN: a) ( )( )( )F = 40 i+0 j mG = 30 i+0 j mR = 70 i+0 j m 2R = 70 = 70m b) ( )( )( )F = 40 i+0 j mG = -30 i+0 j mR = 10 i+0 j m 2R = 10 =10m c) ( )( )( )F = 40 i+0 j mG = 0 i+30 j mR = 40 i+30 j m 2 2R = 40 30 = 50m +d) ( )( )( )F = 40 i+0 j m-G = 30 i+0 j mR = 70 i+0 j m ( ) ( )2F = 40 i+0 j m G = -30 i+0 j mR = 70 = 70m 2.Dados los vectoresF = 4 i+6 jyG = -6 i- j , encontrar: a)El ngulo formado por los vectores b)El rea del paralelogramo formado por los vectoresF yGc)El vector unitario en la direccin de ( )F- 2G SOLUCIN: a) 11F GcosF G4-6 +6-1cos52 37133,15uuu| | |= |\ .| |= |\ .= 2 2F = 4 +6F 7, 21 =

2G = 6 +1G = 6, 08 b) ( )24 6rea = = -4+36 = 32u-6 -1 c) F = 4 i+6 j G = -6 i- j 2G = -12 i- 2 j ( ) ( ) ( )( ) ( )F- 2G = 4 i+6 j - -12 i- 2 jF- 2G = 16 i+8 j ( )F 2G2 2F 2G16 i+8 j16 80,89 i 0, 45 j=+= + 3.Dado el vector ( ) Q= 3, - 5 m, encontrar: a)Un vectorPperpendicular aQ , de modo que su mdulo sea de 17m y la coordenada Y sea positiva b)El rea del paralelogramo formado por QyPc)La proyeccin deQsobreP SOLUCIN: a) ( ) Q= 3, - 5 m ( )( )x yx yx yQ P = 0Q P = 3P - 5P3P - 5P = 03P 5P = ( )( )( )P2 2PP = 5 i+3 j m5 i+3 j m5 30,86 i+0, 51 j=+= ( )( )P =17m 0,86 i+0, 51 jP = 14, 62 i 8, 67 j m + b) ( )23 -5rea = = 26, 01+73,1 = 99,11m14, 62 8, 67 c) Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyeccin es cero 4.Dados los vectores ( )P = 12 i-8 j m s( ) Q= 15m s, 120 , encontrar: a)P- Q b)Q+ Pc)3/ 2Pd)Q Pe)El ngulo formado entre QyP SOLUCIN: ( ) Q= 15m s, 120 xxxQ = Q cosQ =15m/ scos120Q = -7, 5m/ su yyyQ = Q senQ =15m/ ssen120Q =12, 99m/ su ( )Q= -7, 5 i+12, 99 j m/ s a) ( )( )( )P = 12 i - 8 j m s- Q = 7, 5 i-12, 99 j m/ sP- Q 19, 5 i- 20, 99 j m/ s = b) ( )( )( )Q= -7, 5 i 12, 99 j m/ sP = 12 i -8 j m sQ P 4, 5 i 4, 99 j m/ s+++ = + c) ( )( )3 3P = 12 i- 8 j m s2 23P = 18 i-12 j m s2 d) ( ) Q P = -7, 512+12, 99-8 m/ sQ P = -193, 92m/ s e) ( )( )( )-12 2-7, 512 +12, 99-8= cos15m/ s 12 +8= 93, 56uu| | | | |\ . f) ( )12 -8PQ= = 155,88+60 k = 215,88k-7, 5 12, 99 5.Dados los vectores ( ) M= 37, 25 m ( ) N= 41m, 213 , hallar: a)M+ N b)N- M c)-2N d)N M e)La proyeccin deNsobreM f)El rea del paralelogramo formado por los dos vectores SOLUCIN: a) xxxN = N cosN = 41mcos 213N = -34, 39mu yyyN = N senN = 41msen 213N = -22, 33mu ( )N = -34, 39 i- 22, 33 j m ( )( )( )M= 37 i + 25 j mN = -34, 39 i- 22, 33 j mM+ N = 2, 61i+2, 67 j m b) ( )( )( )N = -34, 39 i- 22, 33 j m- M= - 37 i - 25 j mN- M= - 71, 39 i- 47, 33 j m c) ( )( )-2N = -2 -34, 39 i- 22, 33 j m-2N = 68, 78 i+44, 66 j m d) ( ) N M= -34, 3937 - 22, 3325N M= -1830, 68 e) ( )( )( )M MM2 2 2 2MN MN = M37 i+25 j m-34, 3937 - 22, 3325N = 37 +25 37 +25N = -33, 97 i- 22, 95 j m| | | |\ . 2 2MMN = 33, 97 + 22, 95N = 40, 99m f) ( )237 25rea = = -826, 21+934, 75 = 33, 54m-34, 39 -22, 33 6.Dados los vectores ( )E =15N mi+0, 48 j ; ( ) I = 21N, SEy ( ) F= 12N, 312 , hallar: a)E+I +F b)2 / 3I - 3E+5/ 2Fc) ( )2 / 5 F Ed) ( )3I2Fe)La proyeccin deE sobre el vector resultante de ( )I +Ff)El ngulo comprendido entre los vectores F yE SOLUCIN: ( )E =15N mi+0, 48 j ( ) I = 21N, SE ( )2m= 1- 0, 48m= 0,88 270 45315uu = += ( )( )E =15N 0, 88 i+0, 48 jE = 13, 2 i+7, 2 j

xxxI = I cosI = 21Ncos315I =14,85u yyyI = I senI = 21Nsen315I = -14, 85u ( )I = 14,85 i-14,85 j N ( ) F= 12N, 312 xxxF = F cosF =12Ncos312F = 8, 03u yyyF = F senF =12 Nsen312F = -15, 60u ( )F = 8, 03i-15, 60 j N a) ( )( )( )( )E = 13, 2 i+7, 2 j NI = 14, 85 i-14,85 j NF = 8, 03 i-15, 60 j NE+I +F 36, 08 i- 23, 25 j N = b) ( )( )22 / 3I = 14, 85 i-14, 85 j N32 / 3I = 9, 9 i- 9, 9 j N

( )( )-3E = -3 13, 2 i+7, 2 j N-3E = -39, 6 i- 21, 6 j N ( )( )55 / 2F = 8, 03 i-15, 60 j N25 / 2F = 20, 08 i- 39 j N ( )( )( )( )2 / 3I = 9, 9 i- 9, 9 j N- 3E = -39, 6 i- 21, 6 j N5 / 2F = 20, 08 i- 39 j N2 / 3I - 3E +5 / 2F = -9, 62 i- 70, 5 j N c) ( )( )22 / 5 F E = 8, 0313, 2-15, 607, 25F E = -2, 53 d) ( )( )3I = 3 14,85 i-14,85 j N3I = 44, 55 i- 44, 45 j N ( )( )2F = 2 8, 03 i-15, 60 j N2F = 16, 06 i- 31, 2 j N ( )44, 55 -44, 553I2F = k = -1389, 96+715, 47 k = -674, 49k16, 06 -31, 2 e)La proyeccin deE sobre el vector resultante de ( )I +F ( )( )( )I = 14,85 i-14,85 j NF = 8, 03 i-15, 60 j NI +F 22,88 i- 30, 45 j N = ( )( )( )I+F I FI+F2 2 2 2I+FE I FE = I F22,88 i- 30, 45 j13, 222,88 7, 2 30, 45E = 22,88 +30, 45 22,88 +30, 45E = 1, 30 i-1, 73 j m +++| |+ | |\ . 2 2I+FI+FE = 1, 30 1, 73E = 2,16+ f) 18, 03 13, 2 15, 60 7, 2cos15 1292, 01uu | |= |\ .= 7.Dados los vectores ( )A = 31m s 0, 2 i+mj ;( ) B= 43m s, 172y ( ) C= 55, -12 m s , hallar: a)A- B+C b)1 2A+ B- 2C c)El rea del paralelogramo formado por2Ay 2C3 d)La proyeccin de( )A+BsobreCe) ( ) ( )AC + AB f) ( )A BC SOLUCIN: ( )A = 31m s 0, 2 i+mj ( ) B= 43m s, 172 ( )2m= 1- 0, 2m= 0, 98 xxxB = B cosB = 43m/ scos172B = -41, 59u yyyB = B senB = 43m/ ssen172B = 5, 98u ( )( )A = 31m s 0, 2 i+0, 98 jA = 6, 2 i+30, 38 j m s ( )B= -41, 59 i+5, 98 j m/ s ( )C = 55 i-12 j m s a) ( )( )( )( )A = 6, 2 i+30, 38 j m s- B = 41, 59 i- 5, 98 j m/ sC = 55 i -12 j m sA- B+C 102, 79 i 12, 4 j m s = + b)1 2A+ B- 2C ( )( )11/ 2A = 6, 2 i+30, 38 j m s21/ 2A = 3,1i+15,19 j m s ( )( )-2C = -2 55 i-12 j m s-2C = -110 i+24 j m s ( )( )( )( )1/ 2A = 3,1i+15,19 j m sB = -41, 59 i+5, 98 j m/ s- 2C = -110 i+24 j m s1 2A+B- 2C -148, 49 i+45,17 j m s = c) ( )( )2A = 2 6, 2 i+30, 38 j m s2A = 12, 4 i+60, 76 j m s ( )( )22 / 3C = 55 i-12 j m s32 / 3C = 36, 66 i- 8 j m s 12, 4 60, 76rea = = -99, 2- 934, 75 = 2326, 6636, 66 -8 d)La proyeccin de( )A+BsobreC( )( )( )A = 6, 2 i+30, 38 j m sB= -41, 59 i+5, 98 j m/ sA+B= -35, 39 i+36, 36 j m/ s ( )C = 55 i-12 j m s ( )( )( )( )( )( )CCC2 2 2 2CA+B CA+B = C55 i-12 j-35, 3955+36, 36-12A+B = 55 +12 55 +12A+B = -41, 35 i+9, 02 j| | | |\ . ( )( )2 2CCA+B = 41, 35 9, 02A+B = 42, 32+ e) ( )6, 2 30, 38AC= = -74, 4-1670, 9 k = -1745, 3k55 -12 ( )6, 2 30, 38AB= = -37, 08+1263, 5 k =1226, 42k-41, 59 5, 98 ( ) ( )( ) ( )AC + AB = -1745, 3k+1226, 42kAC + AB = -518, 88k f) BC es producto cruz por tanto es perpendicular al vector Aentonces ( )A BC 0 = 8.Tomando en consideracin los vectores( ) R = 20m, N25 O ; ( )S = 15 i+9 j m; ( ) T = 30m, 260y ( )U=17m 0,5i- 0,866 j , hallar: a) ( )3 4 S - 2R +Ub)5U-1 2T +R - 2S c) ( ) ( )RS + T Ud) ( ) ( )TU + RSe) ( ) ()3R 2 Tf)La proyeccin de ( )R +Ssobre ( )T- Ug)El rea del paralelogramo formado por ( )R - Ty ( )S+U SOLUCIN: ( ) R = 20m, N25 O ( ) T = 30m, 260 90 25115uu = += xxxR = R cosR = 20mcos115R = -8, 45mu yyyR = R senR = 20msen115R =18,13mu xxxT = T cosT = 30mcos 260T = -5, 21mu

yyyT = T senT = 30msen 260T = -29, 54mu ( )R = -8, 45 i+18,13 j m ( )T = -5, 21i- 29, 54 j m ( )( )U =17m 0, 5 i- 0,866 jU 8, 5 i-14, 72 j m = a) ( )( )33/ 4S = 15 i+9 j m43/ 4S = 11, 25 i+6, 75 j m ( )( )-2R = -2 -8, 45 i+18,13 j m-2R = 16, 9 i- 36, 26 j m ( )( )( )( )3/ 4S = 11, 25 i+6, 75 j m- 2R = 16, 9 i- 36, 26 j mU 8, 5 i-14, 72 j m3 4S- 2R + U 36, 65 i- 44, 23 j m== b) ( )( )5U 5 8, 5 i-14, 72 j m5U 42, 5 i- 73, 6 j m== ( )( )1-1/ 2T = - -5, 21i- 29, 54 j m2-1/ 2T = 2, 6 i+14, 77 j m ( )( )-2S = -2 15 i+9 j m-2S = -30 i-18 j m ( )( )( )( )( )5U = 42, 5 i- 73, 6 j m-1/ 2T = 2, 6 i+14, 77 j mR = -8, 45 i+18,13 j m- 2S = - 30 i -18 j m5U-1 2T + R - 2S = 6, 65 i- 58, 7 j m c) ( ) RS = -8, 4515+18,139RS = 36, 42 ( ) T U = -5, 218, 5- 29, 54-14, 72T U = 390, 54 ( ) ( )( ) ( )RS + T U = 36, 42 +390, 54RS + T U = 426, 96 d) ( )-8, 45 18,13RS= = -76, 05- 271, 95 k = -348k15 9 ( ) ( )( ) ( )TU + RS = 327, 78k- 348kTU + RS = -20, 22k e) ( )( )3R = 3 -8, 45 i+18,13 j m3R = -25, 35 i+54, 39 j m ( )( )2T = 2 -5, 21i- 29, 54 j m2T = -10, 42 i- 59, 08 j m ( )-5, 21 -29, 54TU= = 76, 69+251, 09 k = 327, 78k8, 5 -14, 72( ) ()( )( ) ()3R 2 T = -25, 35-10, 42 +54, 39-59, 083R 2 T = -2949, 21 f) ( )( )( )R = -8, 45 i+18,13 j mS = 15 i+9 j mR +S 6, 55 i+27,13 j m =

( )( )( )T = -5, 21i- 29, 54 j m- U = -8, 5 i+14, 72 j mT- U = -13, 71i-14, 82 j m ( )( )( )( )( )( )T-UT-UT-U2 2 2 2T-UR+S T- UR+S = T- U-13, 71i-14,82 j6, 55-13, 71+27,13-14,82R+S = 13, 71 +14,82 13, 71 +14,82R+S = 16, 54 i+17,88 j| | | |\ . ( )( )2 2T-UT-UR+S = 16, 54 17,88R+S = 24, 36+ g) ( )( )( )R = -8, 45 i+18,13 j m- T = 5, 21i+29, 54 j mR - T = -3, 24 i+47, 67 j m ( )( )( )S = 15 i+9 j mU 8, 5 i-14, 72 j mS+ U 23, 5 i- 5, 72 j m== 3, 24 47, 67rea = = 18, 53-1120, 24 =1101, 7123, 5 -5, 72 9.Considrese los vectores ( )A= 46cm mi- 0, 23 j ;( ) B= 81cm, 155 , ( ) C= 57cm, N21 Ey ( )D= -32 i- 29 j m , determinar: a)1 2A+ 2C- B b)2D- 3A+1 3C- 2 5B c) ( ) ( )3B+2 3A -C- 3 4Dd) ( )( )D- 3C 3 2B+4Ae) ( ) ( )B A + C Df) ( ) ( )2AC + 5BDg)El ngulo formado por ( )D- Ay ( )B+C SOLUCIN: ( )A= 46cm mi- 0, 23 j( ) B= 81cm, 155 ( )2m= 1- 0, 48m= 0,88 xxxB = B cosB = 81cmcos155B = -73, 41cmu yyyB = B senB = 81cmsen155B = 34, 23cmu ( )( )A = 46cm 0, 88 i- 0, 23 jA = 40, 48 i-10, 58 j ( )B= -73, 41i+34, 23 j cm ( ) C= 57cm, N21 E 90 2169uu = = xxxC = C cosC = 57cmcos 69C = 20, 43cmu yyyC = C senC = 57cmsen 69C = 53, 21cmu ( )C= 20, 43i+53, 21 j cm a) ( )( )11/ 2A = 40, 48 i-10, 58 j cm21/ 2A = 20, 24 i- 5, 29 j cm ( )( )2C = 2 20, 43 i+53, 21 j cm2C = 40, 86 i+106, 42 j cm ( )B= -73, 41i+34, 23 j cm ( )( )( )( )1/ 2A = 20, 24 i- 5, 29 j2C = 40,86 i+106, 42 j- B = 73, 41i- 34, 23 j1 2A+2C- B = 134, 51i+66,89 j b) ( )( )2D = 2 -32 i- 29 j2D = -64 i- 58 j ( )( )-3A = -3 40, 48 i-10, 58 j-3A = -121, 44 i+31, 74 j ( )( )11/ 3C = 20, 43 i+53, 21 j31/ 3C = 6, 81i+17, 73 j ( )( )2-2 / 5B= - -73, 41i+34, 23 j5-2 / 5B= 29, 36 i-13, 69 j ( )( )( )( )( )2D = -64 i- 58 j- 3A = -121, 44 i+31, 74 j1/ 3C = 6, 81i+17, 73 j- 2 / 5B = 29, 36 i-13, 69 j2D- 3A+1 3C- 2 5B 149, 27 i- 22, 22 j = c) ( )( )3B = 3 -73, 41i+34, 23 j3B = -220, 23 i+102, 69 j ( )( )22 / 3A = 40, 48 i-10, 58 j32 / 3A = 26, 99 i- 7, 05 j( )( )4-4 / 3D = - -32 i- 29 j3-4 / 3D = 42, 66 i+38, 66 j ( )( )( )3B = -220, 23 i+102, 69 j2 / 3A = 26, 99 i- 7, 05 j3B+2 3A = -193, 24 i+95, 64 j ( )( )( )- C = -20, 43 i- 53, 21 j- 4 / 3D = 42, 66 i+38, 66 j-C- 4 3D = 22, 23 i-14, 55 j ( ) ( )( )( ) ( )3B+2 3A -C- 4 3D = -193, 2422, 23+95, 64-14, 553B+2 3A -C- 4 3D = -5687, 28 d) ( )( )-3C = -3 20, 43 i+53, 21 j-3C = -61, 29 i-159, 63 j ( )( )33/ 2B = -73, 41i+34, 23 j23/ 2B = -110,12 i+51, 35 j ( )( )4A = 4 40, 48 i-10, 58 j4A = 161, 92 i- 42, 32 j ( )( )( )D = -32 i- 29 j- 3C = -61, 29 i-159, 63 jD- 3C = -93, 29 i-188, 63 j

( )( )( )3/ 2B= -110,12 i+51, 35 j4A = 161, 92 i- 42, 32 j3 2B+4A 51,8 i 9, 03 j = + ( )( )( )-93, 29 -188, 63D- 3C 3 2B+4A = = -842, 41+9771, 03 k = 8928, 62k51,8 9, 03 e) ( ) B A = -73, 4140, 48+34, 23-10, 58B A = -3333, 79 ( ) C D = 20, 43-32+53, 21-29C D = -2196,85 ( ) ( )( ) ( )B A + C D = -3333, 79- 2196, 85B A + C D = -5530, 64 f) ( ) ( )2AC + 5BD ( )( )2A = 2 40, 48 i-10, 58 j2A = 80, 96 i- 21,16 j

( )( )5B = 5 -73, 41i+34, 23 j5B = -367, 05 i+171,15 j ( )80, 96 -21,162AC= = 4307,88+432, 30 k = 4740,18k20, 43 53, 21 g)El ngulo formado por ( )D- Ay ( )B+C ( )( )( )D = -32 i- 29 j- A = -40, 48 i+10, 58 jD- A = -72, 48 i-18, 42 j ( )( )( )B= -73, 41i+34, 23 jC = 20, 43 i+53, 21 jB+C = -52, 98 i+87, 44 j ( )( )-12 2 2 2-72, 48-52, 98-18, 4287, 44= cos72, 48 +18, 42 52, 98 +87, 44= 73, 05uu| | | | |\ . 10. Dados los vectores ( ) D= 5km, 63 ,( ) E = -7, -1 km y( ) F= 4km; S70 E , calcular: a)2D+E+3F b)E- D- 2F c)D E d) ( )D- EFe)La proyeccin deE sobreDf) El ngulo comprendido entreE yF g)El rea del paralelogramo formado por los vectoresDyE SOLUCIN: a) xxxD = D cosD = 5kmcos 63D = 2, 27kmu yyyD = D senD = 5kmsen 63D = 4, 46kmu ( )D= 2, 27 i+4, 46 j km ( )E = -7 i-1 j km 270 70340uu = += xxxF = F cosF = 4kmcos340F = 3, 76kmu yyyF = F senF = 4kmsen340F = 1, 37kmu ( )F = 3, 76 i-1, 37 j km ( )( )2D = 2 2, 27 i+4, 46 j km2D = 4, 54 i+8, 92 j km ( )( )3F = 3 3, 76 i-1, 37 j km3F = 11, 28 i- 4,11 j km ( )( )( )( )2D = 4, 54 i+8, 92 j kmE = - 7 i -1 j km3F = 11, 28 i- 4,11 j km2D E 3F 8,82 i 3,81 j km + + = + b) E- D- 2F ( )( )-2F = -2 3, 76 i-1, 37 j km-2F = -7, 52 i+2, 74 j km ( )( )( )( )E = - 7 i -1 j km- D = -2, 27 i- 4, 46 j km- 2F = -7, 52 i+ 2, 74 j kmE- D- 2F = -16, 79 i- 2, 72 j km c) ( ) D E = 2, 27-7 +4, 46-1D E = -20, 35 d) ( )-7 -1EF = k = 9, 59+3, 76 k =13, 35k3, 76 -1, 37

( )( )( ) ( )D = 2, 27 i+4, 46 j+0k- EF = 0 i + 0 j-13, 35kD- EF 2, 27 i+4, 46 j-13, 35k = e) ( )( )( )D EDDE DE = D2, 27 i+4, 46 j-72, 27 1 4, 46E = 5 5E = -1,85 i- 3, 63 j| | | |\ . 2 2DDE = 1, 85 3, 63E = 4, 07+ f) ( ) E = -7, -1 km y ( )F = 3, 76 i-1,37 j km( )( )( )-12-73, 76-1-1, 37= cos4 7 +1= 86, 25uu| | | | |\ . g) ( )22, 27 4, 46rea = = -2, 27+31, 22 = 28, 95km-7 -1 11. Si la suma de los vectoresAyBes2 i- 4 jy su diferencia es6 i-10 jencontrar el ngulo formado por los vectoresAyB SOLUCIN: x xx xx xx xxxxxxA +B = 2...........(1)A - B = 6............(2)De (2)A = 6 +B .............(3)(3) en (1)6 +B +B = 22B = -4B = -2Reemplazando el valor de B en (1)A - 2 = 2A = 4 y yy yy yy yyyyyyA +B = -4.......................(1)A - B = -10.....................(2)De (2)A = -10 +B .............(3)(3) en (1)-10 +B +B = -42B = 6B = 3Reemplazando el valor de B en (1)A +3 = -4A = -7 ( )A = 4 i- 7 j( )B= -2 i+3 j( )( )112 2 2 2cos4 2 7 3cos4 7 2 3176, 05ABA Buuu| |- |= |\ .| | |= |+ +|\ .= 12. Determine las magnitudes de los vectoresAyB , paraA+B+C = 0 ( )C = 0 i-16 j N Para que Y=0 y y yA = - C A =16 Calculando xAxxx16tan37 =A16A =tan37A = 21, 24 como esta en X(-) -21, 24 ( )A = -21, 24 i+16 j N2 2A = 21, 24 +16A = 26, 59N Para que X=0 x x xB = - A B = 21, 24( )B= 21, 24 i+0 j N B = 21, 24N EJERCICIO N5 1.En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinarla posicin relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en las siguientes horas: a)10H10 b)12H35 c)5H40 d)8H20 e)9H10 f)6H50 g)2H40 h)11H05 i)4H00 SOLUCIN: Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores: Datos: minL =1, 2m horL = 0, 8m a) 150180 09027030120 60240210300330( )minXminXminr = 1, 2m; 30r =1, 2mcos30r =1, 04m YminYminr =1, 2msen30r = 0, 6m ( )minr = 1, 04 i+0, 6 j m ( )horXhorXhorr = 0, 8m; 150r = 0, 8mcos150r = 0, 69m YhorYhorr = 0,8msen150r = 0, 4m ( )horr = -0, 69 i+0, 4 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = -0, 69 i+0, 4 j m- 1, 04 i+0, 6 j mr = -1, 73 i- 0, 2 j m b) ( )minXminXminr = 1, 2m; 30r =1, 2mcos 240r = -0, 6m YminYminr =1, 2msen240r = -1, 04m ( )minr = -0, 6 i-1, 04 j m ( )horr = 0 i+0,8 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = 0 i+0,8 j m- -0, 6 i-1, 04 j mr = 0, 6 i 1,84 j m + c) 109 3126211 17854109 3126211 17854( )minXminXminr = 1, 2m; 210r =1, 2mcos 210r = -1, 04m YminYminr =1, 2msen30r = -0, 6m ( )minr = -1, 04 i- 0, 6 j m ( )horXhorXhorr = 0, 8m; 300r = 0, 8mcos300r = -0, 4m YhorYhorr = 0,8msen300r = 0, 69m ( )horr = -0, 4 i- 0, 69 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = -1, 04 i- 0, 6 j m- -0, 4 i- 0, 69 j mr = -0, 64 i- 0, 09 j m d) ( )minXminXminr = 1, 2m; 30r =1, 2mcos330r =1, 04m YminYminr =1, 2msen330r = -0, 6m ( )minr = 1, 04 i- 0, 6 j m ( )horXhorXhorr = 0, 8m; 210r = 0, 8mcos 210r = -0, 69m YhorYhorr = 0,8msen210r = -0, 4m ( )horr = -0, 69 i- 0, 4 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = -0, 69 i- 0, 4 j m- 1, 04 i- 0, 6 j mr = -1, 73 i+0, 2 j m 109 3126211 17854109 3126211 17854 e) ( )minXminXminr = 1, 2m; 30r =1, 2mcos30r =1, 04m YminYminr =1, 2msen30r = 0, 6m ( )minr = 1, 04 i+0, 6 j m ( )horr = -0,8 i+0 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = -0, 8 i+0 j m- 1, 04 i+0, 6 j mr = -1, 84 i- 0, 6 j m f) ( )minXminXminr = 1, 2m; 150r =1, 2mcos150r = -1, 04m YminYminr =1, 2msen30r = -0, 6m ( )minr = -1, 04 i- 0, 6 j m ( )horr = 0 i- 0,8 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = 0 i- 0,8 j m- -1, 04 i- 0, 6 j mr = 1, 04 i- 0, 2 j m g) 109 3126211 17854109 3126211 17854( )minXminXminr = 1, 2m; 210r =1, 2mcos 210r = -1, 04m YminYminr =1, 2msen210r = -0, 6m ( )minr = -1, 04 i- 0, 6 j m ( )horXhorXhorr = 0, 8m; 30r = 0, 8mcos30r = 0, 69m YhorYhorr = 0,8msen30r = 0, 4m ( )horr = 0, 69 i+0, 4 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = 0, 69 i+0, 4 j m- -1, 04 i- 0, 6 j mr = 1, 73 i+ j m h) ( )minXminXminr = 1, 2m; 60r =1, 2mcos 60r = 0, 6m YminYminr =1, 2msen30r =1, 04m ( )minr = 0, 6 i+1, 04 j m ( )horXhorXhorr = 0, 8m; 120r = 0, 8mcos120r = -0, 4m YhorYhorr = 0,8msen120r = 0, 69m ( )horr = -0, 4 i+0, 69 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = -0, 4 i+0, 69 j m- 0, 6 i+1, 04 j mr = - i- 0, 35 j m 109 3126211 17854109 3126211 17854i) ( )minr = 0 i+1, 2 j m ( )horXhorXhorr = 0, 8m; 330r = 0, 8mcos150r = 0, 69m YhorYhorr = 0,8msen330r = -0, 4m ( )horr = 0, 69 i- 0, 4 j m ( ) ( )( )hor/ min hor minhor/ minhor/ minr = r - rr = 0, 69 i- 0, 4 j m- 0 i+1, 2 j mr = 0, 69 i-1, 6 j m 2.Una persona vive a 2km en direccin NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda mas cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar: a)La posicin de la tienda respecto a la ciudadb)La posicin de la tienda respecto a la casa de la persona c)La distancia en lnea recta de la casa a la tienda SOLUCIN: Datos: Ciudad=origen ( )( )casar = 2km; NE 1, 41i+1, 41 j km ( ) ( )tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0, 2i- 0,1j km a) ( )( )( )tienda/casa tienda casatienda tienda/casa casatiendatiendar = r - rr = r +rr = 1, 41i+1, 41 j km+ 0, 2i- 0,1j kmr = 1, 61i+1, 31 j km 109 3126211 17854b) ( ) ( )tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0, 2i- 0,1j km c) 2 2tienda/casatienda/casar = 200 +100r = 223, 60m 0, 223km 3.Los vrtices de untriangulo son los puntos ( )1P 0,5 , ( )2P 2, -1y ( )3P 3,6 , determinar: a)El valor de los ngulos internos del triangulo b)El tipo de triangulo en funcin de sus lados SOLUCIN: a) ( ) ( )( )1 21 2PP = 2 i- j - 0 i+5 jPP = 2 i- 6 j ( ) ( )( )1 31 3PP = 3 i 6 j - 0 i+5 jPP = 3 i j++ ( ) ( )( )2 32 3P P = 3 i+6 j - 2 i- jP P = i+7 j ( )( )-1 1 2 1 31 2 1 3-12 2 2PP PPA = cosPP PP2 3 6 1A = cos2 6 3 1A = 90| | | |\ .| | | |+ +|\ . ( )( )-1 1 3 2 31 3 2 3-12 2PP P PB = cosPP P P3 1 1 7B = cos3 1 1 7B = 63, 43| | | |\ .| | + | |+ +|\ . 63, 43 +90 +C =180C =180 -90 -63, 43C = 26, 57 b) Triangulo rectngulo 4.Los vrtices de un triangulo son los puntos( ) A 8,9 m,( ) B -6,1 m,( ) C 0, -5m , determinar: a)El valor de los ngulos internos del triangulo b)El rea del triangulo ABC SOLUCIN: a) ( ) ( )( )AB = -6 i+ j m- 8 i+9 j mAB = -14 i- 8 j m

( ) ( )( )AC = 0 i- 5 j m- 8 i+9 j mAC = -8 i-14 j m ( ) ( )( )BC = 0 i- 5 j m- -6 i+ j mBC = 6 i- 6 j m ( )( )-1-12 2 2 2A = cos14 8 8 14A = cos14 8 8 14A = 30, 51ABACAB AC| | | |\ .| | | |+ +|\ . ( )( )-1-12 2 2 2AC BCC = cosAC BC-86-14-6C = cos8 +14 6 +6C = 74, 74| | | |\ .| | | | |\ . B=180 -30, 51 -74, 74B= 74, 75

b) 21rea = ABAC2-14 -81rea = = 196- 64 =132m-8 -14 2 5.Una ciudad est delimitada por las rectas que unen los vrtices: ( ) P 4,5 km, ( ) Q 0, 4 km, ( ) R 1,1 km, ( ) S 5, 2 km, determinar: a)La forma geomtrica de la ciudad b)El rea de la ciudad c)La posicin relativa del punto R respecto del punto P d)La posicin relativa del punto S respecto del punto R SOLUCIN: a) Paralelogramob) ( ) ( )( )RQ = 0 i+4 j km- i+ j kmRQ = - i+3 j km ( ) ( )( )RS = 5 i+2 j km- i+ j kmRS = 4 i+ j km 2rea = RQRS-1 3rea = = -1-12 =13km4 1 c) ( ) ( )( )R/ PR/ Pr = i+ j km- 4 i+5 j kmr = -3 i- 4 j km d) ( ) ( )( )S/ RS/ Rr = 5 i+2 j km- i+ j kmr = 4 i+ j km 6.tiene las ciudades P, Q y R; determine la posicin relativa de la ciudad P respecto a R para los siguientes casos: a) ( )P/Qr 50km; S60 Ey ( )R/Qr 70km; NOb) ( )P/Qr 80km; SOy ( )R/Qr 25km; N70 Oc)( )P/Qr 65km; N15 Oy( )R/Qr 90km; S30 Od) ( )P/Qr 40km; N75 Ey ( )R/Qr 100km; S25 E SOLUCIN: P/ Q P QQ P P/ Qr = r - rr = r - r ...................(1) R/ Q R QQ R R/ Qr = r - rr = r - r ...................(2) P/R P Rr = r - r ..............(3) P P/Q R R/QP R P/Q R/QIgualando (1) y (2)r - r = r - rr - r = r - r ...............(4) P/ R P/Q R/Q(3) en (4)r = r - r a) ( )P/Qr 50km; S60 E 270 60330uu = += P/Q P/QP/QP/Qr x = r cosr x = 50kmcos330r x = 43, 30kmu P/Q P/QP/QP/Qr y = r senr y = 50kmsen330r y = -25kmu ( )P/Qr 43, 30 i- 25 j km = ( )R/Qr 70km; NO 90 45135uu = += R/Q R/QR/QR/Qr x = r cosr x = 70kmcos135r x = -49, 50kmu R/Q R/QR/QR/Qr y = r senr y = 70kmsen135r y = 49, 50kmu ( )R/Qr -49, 50 i 49, 50 j km = + ( ) ( )( )P/ R P/Q R/QP/ RP/ Rr = r - rr = 43, 30 i- 25 j km -49, 50 i 49, 50 j kmr = 92, 50 i- 74, 50 j km +b) ( )P/Qr 80km; SO 270 45225uu = = P/Q P/QP/QP/Qr x = r cosr x = 80kmcos 225r x = -57, 57kmu P/Q P/QP/QP/Qr y = r senr y = 80kmsen315r y = -56, 57kmu ( )P/Qr = -56, 57 i- 56, 57 j km ( )R/Qr 25km; N70 O 90 70160uu = += R/Q R/QR/QR/Qr x = r cosr x = 25kmcos160r x = -23, 49kmu R/Q R/QR/QR/Qr y = r senr y = 25kmsen160r y = 8, 55kmu ( )R/Qr -23, 49 i 8, 55 j km = + ( ) ( )( )P/ R P/Q R/QP/ RP/ Rr = r - rr = -56, 57 i- 56, 57 j km- -23, 49 i+8, 55 j kmr = -33, 08 i- 48, 02 j km c) ( )P/Qr 65km; N15 O 90 15105uu = += P/Q P/QP/QP/Qr x = r cosr x = 65kmcos105r x = -16, 82kmu

P/Q P/QP/QP/Qr y = r senr y = 65kmsen105r y = 62, 79kmu

( )P/Qr = -16,82 i+62, 79 j km ( )R/Qr 90km; S30 O 270 30240uu = = R/Q R/QR/QR/Qr x = r cosr x = 90kmcos 240r x = -45kmu R/Q R/QR/QR/Qr y = r senr y = 90kmsen 240r y = -77, 94kmu ( )R/Qr = -45 i- 77, 94 j km ( ) ( )( )P/ R P/Q R/QP/ RP/ Rr = r - rr = -16, 82 i+62, 79 j km- -45 i- 77, 94 j kmr = 28,18 i+140, 73 j km d) ( )P/Qr 40km; N75 E 90 7515uu = = P/Q P/QP/QP/Qr x = r cosr x = 40kmcos15r x = 38, 64kmu P/ Q P/ QP/ QP/ Qr y = r senr y = 40kmsen15r y =16, 82kmu ( )P/Qr = 38, 64 i+16,82 j km ( )R/Qr 100km; S25 E 270 25295uu = += R/Q R/QR/QR/Qr x = r cosr x =100kmcos 295r x = 42, 26kmu R/Q R/QR/QR/Qr y = r senr y =100kmsen 295r y = -90, 63kmu ( )R/Qr = -45 i- 77, 94 j km ( ) ( )( )P/ R P/Q R/QP/ RP/ Rr = r - rr = 38, 64 i+16,82 j km- -45 i- 77, 94 j kmr = 83, 64 i+94, 76 j km 7.Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en lnea recta desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en lnea recta. 8.Dados los puntos( ) L 8, - 6 m y( ) J -4, 3 m, determinar: a)Los vectores posicin deL yJrespecto al origen b)La posicinrelativa deL con respecto aJc)La distancia entre los puntosL yJSOLUCIN: a) ( )Lr = 8 i- 6 j m ( )Jr = -4 i+3 j m b) ( ) ( )( )L/ J L JL/ JL/ Jr = r - rr = 8 i- 6 j m- -4 i+3 j mr = 12 i- 9 j m c) 2 2L/ JL/ Jr = 12 +9r =15m 9.La cumbre de la montaa A est a 3km del suelo y la cumbre de la montaa B a 2km del suelo. Si las montaas se unen como indica el siguiente grafico: Determinar: a)La posicin relativa de la cumbre de la montaa B respecto a la cumbre de la montaa A b)La longitud del cable para instalar un telefrico de la cumbre de la montaa A a la cumbre de la montaa B SOLUCIN: AAAAAAr xtan 60 =r yr xr y =tan 603kmr y =tan 60r y =1, 73km BBBBBBr xtan 40 =r yr xr y =tan 402kmr y =tan 40r y = 2, 38km ( )Ar = -1, 73i+3j km ( )Br = 2, 38 i+2 j km a) ( )( )( )B/ AB/ Ar = 2, 38 i+2 j km- -1, 73i+3 j kmr = 4,11i- j km b) 2B/ AB/ Ar = 4,11 +1r = 4, 23km Considerando ida y vuelta por cables independientes 4, 23km 2 8, 46 = 10. Las coordenadasde los puntos inicial y final de un vector E son( ) 5, - 2 m y ( ) -4, 7 m respectivamente, determinar: a)Las componentes rectangulares del vectorEb)La magnitud del vectorE c)El vector unitario del vector E SOLUCIN: a) ( ) ( )( )E -4, 7 m 5, - 2 mE -9, 9 m= = b) 2 2E = 9 +9E =12, 73m c) ( )( )EEEEE-9 i+9 j m12, 73m-0, 706 i+0, 706 j m=== 11. Un avin de aeromodelismo est a( ) 4km, SOde la torre de control. En ese momento, su dueo desea impactar en un blanco que esta ubicado en el punto ( ) 6, - 4 km, determinar: a)La posicin del avin respecto al blanco b)La direccin que debe tomar el avin para lograr su propsito c)La distancia del avin al blanco SOLUCIN: a) ( ) 4km, SO xxxA = A cosA = 4kmcos 225A = -2, 83kmu yyyA = A senA = 4kmsen 225A = -2, 83kmu ( )A = -2,83i- 2,83 j km ( ) ( )( )A/ BA/ Br = -2, 83 i- 2, 83 j km- 6 i- 4 j kmr = -8, 83 i+1,17 j km b) 8,83tan1,1782, 45||| |= |\ .=S82, 45 E c) 2 2A/ BA/ Br = 8, 83 +1,17r = 8, 91km 12. En un aeropuerto, un avin B se halla parqueado en la posicin( ) 200m, N28 Erespecto a la torre de control. En ese instante otro avin A se encuentra en la posicin ( ) 200m, SO respecto a la misma torre de control, determinar: a)La posicin relativa de B respecto de A b)La distancia que existe entre los dos aviones SOLUCIN: a) ( ) 200m, N28 E xxxB = B cosB = 200mcos 62B = 93,89mu yyyB = B senB = 200msen 62B =176, 59mu ( )B= 93,89 i+176, 59 j m ( ) 200m, SO xxxA = A cosA = 200mcos 225A = -141, 42u yyyA = A senA = 200msen 225A = -141, 42u ( )A = -141, 42 i-141, 42 j m ( ) ( )( )B/ AB/ Ar = 93,89 i+176, 59 j m- -141, 42 i-141, 42 j mr = 235, 31i+318, 01 j m b) 2 2B/ AB/ Ar = 235, 31 +318, 01r = 395, 60m 13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en direccin NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en direccin N25E con una velocidad de 15m/s, determinar: a)La velocidad resultante del bote en magnitud y direccinb)El vector unitario del vector velocidad resultante c)Los ngulos directores del vector velocidad resultante SOLUCIN: a) ( ) A= 20m/ s; NO xxxA = A cosA = 20m/ scos135A = -14,14m/ su yyyA = A senA = 20m/ ssen135A =14,14m/ su ( )A = -14,14 i+14,14 j m/ s ( ) B= 15m/ s; N25 E xxxB = B cosB =15m/ scos 65B = 6, 34m/ su yyyB = B senB =15m/ ssen 65B =13, 59m/ su ( )B= 6, 34 i+13, 59 j m/ s ( ) ( )( )V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6, 34 i+13, 59 j m/ sV = -7,8 i+27, 73 j m/ s

2 2V = 7, 8 + 27, 73V = 28, 81m/ s 17,8tan27, 7315, 71|| | |= |\ .= ( ) V= 28,81m/ s; N15, 71 Ob) ( )( )VVVVV-7, 8 i+ 27, 73 j m/ s=28, 81m/ s= -0, 27 i+0, 96 j m/ s= c) 90 15, 71105, 71oo = +=15, 71 | = 14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones: a)La posicin relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b)La posicin relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E c)El ngulo formado por los vectoresEA yEC d)La posicin relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D e)La proyeccin del vectorAEsobreAQ SOLUCIN: Considerando A como origen: a) ( )F/ Ar = 2,8 i-1, 5 j m b) ( )cr = 2,8 i+0 j m ( )Er = 1, 4 i-1, 5 j m ( ) ( )( )C/ E C EC/ EC/ Er = r - rr = 2, 8 i+0 j m- 1, 4 i-1, 5 j mr = 1, 4 i+1, 5 j m c) ( )EA = A- EEA = -1, 4 i+1, 5 j m ( )EC = C- EEC = 1, 4 i 1, 5 j m + ( )( )12 2 2 21, 4 1, 4 1, 5 1, 5cos1, 4 1, 5 1, 4 1, 586, 05uu | | + |= |+ +|\ .= d) ( )Q= 2,1i- 0, 75 j m ( )D= 0 i-1, 5 j m ( ) ( )( )Q/ DQ/ Dr = 2,1i- 0, 75 j m- 0 i-1, 5 j mr = 2,1i 0, 75 j m + e) ( )AE = 1, 4 i-1, 5 j m ( )AQ= 2,1i- 0, 75 j m ( )AQ AQAQ2 2 2 2AQAE AQAE =AQ1, 4 2,1 1, 5 0, 75 2,1i- 0, 75 jAE =2,1 0, 75 2,1 0, 75AE = 1, 72 i- 0, 61 j m | | | |+ +\ . ( )AQAQAE = 1, 72 i- 0, 61 j mAE =1, 82m EJERCICIO N6 1.Un insecto se mueve rectilneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm al Sur; determinar: a)Los desplazamientos realizadosb)El desplazamiento total realizado c)El modulo del desplazamiento totald)La distancia total recorrida SOLUCIN: a) 22r x =12cmcos 45r x = 8, 49cmAA 22r y =12cmsen 45r y = 8, 49cmAA ( )1r 8 i+0 j cm A =( )2r 8, 49 i+8, 49 j cm A =( )3r = 0 i- 5 j cm A b) ( ) ( ) ( )( )1 2 3r r r rr 8 i+0 j cm 8, 49 i+8, 49 j cm 0 i- 5 j cmr 16, 49 i+3, 49 j cmA = A + A + AA = + +A = c) 2 2r 16, 49 3, 49r 16, 85cmA = +A = d) d = 8cm+12cm+5cmd = 25cm 2.Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientosen el plano XY: 45mm en la direccin Y(-); 30mm en la direccin X(-) y 76mm a 200, todos en lnea recta;: determinar: a)Los desplazamientos realizadosb)Los vectores posicin en cada punto c)El desplazamiento total realizado d)El mdulo del desplazamiento e)La distancia recorrida SOLUCIN: a) 33r x = 76mmcos 200r x = -71, 41mmAA 33r y = 76mmsen200r y = -25, 99mAA ( )1r 0 i- 45 j mm A =( )2r -30 i+0 j mm A =( )3r = -71, 41i- 25, 99 j mm A b) ( )1r 0 i- 45 j mm = ( )2r -30 i- 45 j mm = ( ) ( )( )3 2 333r r rr -30 i- 45 j mm -71, 41i- 25, 99 j mmr -100, 41i- 70, 99 j mm= + A= += c) ( ) ( ) ( )( )1 2 3r r r rr 0 i- 45 j mm -30 i+0 j mm -71, 41i- 25, 99 j mmr -100, 41i- 70, 99 j mmA = A + A + AA = + +A = d) 2 2r 100, 41 70, 99r 122, 97mmA = +A = e) d = 45mm+30mm+76mmd =152mm 3.Un auto parte a las 7h00 de una ciudad( ) A -85, 204 km y la lectura de su odmetro es 10235 km, viaja rectilneamente hacia( ) B 123, 347 km y llega a las 11h10; determinar: a)Los vectores posicin de cada ciudad b)El desplazamiento realizado c)La lectura del odmetro cuando llega a B d)La velocidad media e)La velocidad media con la que debera regresar de inmediato por la misma ruta para llegar a las 14h15. SOLUCIN: a) ( )Ar = -85 i+204 j km ( )Br = 123 i+347 j km b) ( ) ( )( )B Ar = r - rr = 123 i+347 j km- -85 i+204 j kmr = 208 i+143 j kmAAA c) 2 2r = 208 143r = 252, 41kmA +A Lectura =10235km+252, 41kmLectura =10487, 41km d) 10min 1h= 0,166h60min f 0t t - tt 11,166h- 7ht 4,166hA =A =A = ( )( )mmmrV =t208 i+143 j kmV =4,166hV = 49, 93 i+34, 33 j km/ hAA mmmrV =t252, 41kmV =4,166hV = 60, 58km/ hAA e) 15min 1h= 0, 25h60min f 0t t - tt 14, 25h-11,166ht 3, 084hA =A =A = mmmrV =t252, 41kmV =3, 084hV = 81,85km/ hAA 4.Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a( ) 865km;15hasta A y el otro vuela ( )-505 i+253 j km hasta B en 2 horas en lnea recta; determinar: a)Los vectores posicin de los puntos A y B b)Los desplazamientos realizados por cada avin c)La velocidad media de cada avin d)La rapidez media de cada avin e)La velocidad media a la que debera viajar un avin desde A hasta B SOLUCIN: a) ( ) 865km;15 AAr x = 865kmcos15r x = 835, 53km AAr y = 865kmcos15r y = 223,88km ( )Ar = 835, 53i+223,88 j km ( )Br -505 i+253 j km = b) ( )Ar = 835, 53i+223,88 j km A( )Br -505 i+253 j km A = c) ( )( )mAmAmArV =t835, 53 i+223,88 j kmV =2hV = 417, 77 i+116, 94 j km/ hAA ( )( )mBmBmBrV =t-505 i+253 j kmV =2hV = -252, 5 i+126, 5 j km/ hAA d) 2 2mAmAV = 417, 77 116, 94V = 433,83km/ h+ 2 2mBmBV = 252, 5 126, 5V = 282, 42km/ h+ e) ( ) ( )( )B Ar r rr -505 i+253 j km 835, 53 i+223, 88 j kmr -1340, 53 i+476, 88 j kmA = A = A = ( )( )mAmAmArV =t-1340, 53 i+476,88 j kmV =3hV = -446,84 i+158, 96 j km/ hAA 2 2mAmAV = 446,84 +158, 96V = 474, 27km/ h 5.Una partcula cuya velocidad era de ( )12 i+15 j m/ sse detiene en 20s por una ruta rectilnea; determinar: a)El modulo de la velocidad inicialb)El vector unitario de la velocidad inicial c)El vector velocidad final d)La aceleracin media de la partcula SOLUCIN: a) 2 200V = 12 +15V =19, 21m/ s b) ( )( )0000V0VVVV12 i+15 j m/ s19, 21m/ s0, 62 i+0, 78 j=== c) Como la partcula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0 d) ( )( )f 0V - Va =t-12 i-15 j m/ sa =20sa = -0, 6 i- 0, 75 j m/ sA 6.Un mvil que viaja con una aceleracin constante, cambia su velocidad de ( )-21i-18 j m/ sa( ) 24m/ s; S30 E ; en 10s determinar: a)Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final b)La aceleracin media SOLUCIN: a) ( ) 24m/ s; S30 E f fffV x = V cosV x = 24m/ scos300V x =12m/ su f fffV y = V senV y = 24m/ ssen300V y = 20, 78m/ su ( )fV = 12 i- 20, 78 j m/ s ( )( )0000V0V2 2VV=V-21i-18 j m/ s=21 +18= -0, 76 i- 0, 65 j m/ s ( )( )ffffVfVVV=V12 i- 20, 78 j m/ s=24m/ s= 0, 5 i- 0, 87 j m/ s b) ( ) ( )( )( )f 0V - Va =t12 i- 20, 78 j m/ s- -21i-18 j m/ sa =10s33 i- 2, 78 j m/ sa =10sa = 3, 3 i- 0, 278 j m/ sA EJERCICIO N 7 1.Si un vehculo se mueve de la ciudad ( ) A -35, 50 km a la ciudad ( ) B -25, 45 km en lnea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar: a)El desplazamiento realizado b)La velocidad media c)El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje SOLUCIN: a) ( ) ( )( )r -25 i- 45 j km- -35 i+50 j kmr 10 i- 95 j kmA =A = b) ( )( )rV =t10 i- 95 j kmV =2hV = 5 i- 47, 5 j kmAA c) 40min 1h= 0, 666h60min ( )( )r Vtr 5 i- 47, 5 j km/ h 0, 666hr 3, 33 i- 31, 64 j kmA =A = A = 2.Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes de modo que al instante t=0 sus posiciones son ( )-40 i+20 jy ( )15i 30 j m y al instante t=10s sus posiciones son ( )20 iy ( )-10 j kmrespectivamente; determinar: a)El desplazamiento de cada vehculo durante ese intervalo b)La velocidad media de cada vehculo c)La velocidad de A respecto a B SOLUCIN: a) ( ) ( )( )A fA 0AAAr = r - rr = 20 i+0 j m- -40 i+20 j mr = 60 i- 20 j mAAA ( ) ( )( )B fB 0BBBr = r - rr = -10 i+0 j m- 15 i- 30 j mr = -25 i+30 j mAAA b) ( )( )AAArV =t60 i- 20 j mV =10sV = 6 i- 2 j m/ sAA ( )( )BBBrV =t-25 i+30 j mV =10sV = -2, 5 i+3 j m/ sAA c) ( ) ( )( )A/ BA/ BV = 6 i- 2 j m/ s- -2, 5 i+3 j m/ sV = 8, 5 i- 5 j m/ s 3.Un tren cuya velocidad es60 i km/ h , pasa por un tnel recto de 400 m de largo y desde que penetra la maquina hasta que sale el ultimo vagn demora 30s; determinar: a)El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s) b)La longitud del tren SOLUCIN: a) 60 i km 1000m 1h=16, 67m/ sh 1km 3600s r = V tr =16, 67m/ s 30sr = 500mA AA A r = V tr =16, 67m/ s 60sr =1000mA AA A

r = V tr =16, 67m/ s 90sr =1500mA AA A b) x = r- 400mx = 500m- 400mx =100mA 4.Una partcula parte del punto ( ) 25, 20 m y movindose rectilneamente llega al punto ( ) 6, 30 m con una rapidez constante de40 km/ h ; determinar: a)La velocidad empleada b)El tiempo empleado c)El punto al que llegara si contina movindose por 10s ms. SOLUCIN: a) 40 km 1000m 1h=11,11m/ sh 1km 3600s ( ) ( )( )f 0r = r - rr = -6 i- 30 j m- 25 i 20 j mr = -31i- 50 j mAA +A ( )r2 2V = V -31i- 50 jV =11,11m/ s31 50V = -5, 85 i- 9, 44 j m/ sA| | |+\ . 2 2r = 31 50r = 58, 83mA +A b) Art =V58, 83mt =11,11m/ st = 5, 30sAAAA c) ( )( )r = V tr = -5,85 i- 9, 44 j m/ s 10sr = -58, 5 i- 94, 4 j mA AA A ( ) ( )( )1 2r = r rr = -31i- 50 j m -58, 5 i- 94, 4 j mr = -89, 5 i-144, 4 j mA A + AA +A 5.Un deportista se desplaza 1000 i km por una ruta rectilnea, parte en moto y parte en bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ hen moto y 40 i km/ hen bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar: a)La velocidad media durante las 10 horas b)El desplazamiento en moto c)El tiempo que recorri en bicicleta SOLUCIN: a) rV =t1000 i kmV =10hV =100 i km/ hAA b) moto bicir r r ................(1) A = A +Amoto bicibici motot = t tt t t .................(2)A A +AA = A A moto moto motor = V t ...............(3) A Abici bici bicir = V t ...............(4) A A moto moto bici bici(3) y (4) en (1)r V t V t ..................(5) A = A + A ( )( )moto moto bici motomoto moto bici bici motomoto moto bici moto bicimoto moto bici(2) en (5)r = V t V t tV t V t V t = rV t V t = r V tt V V = rA A + A AA + A A AA A A AA A bicibicimotomoto bicimotomotoV tr V tt =V V1000km- 40km/ h10ht =120km/ h- 40km/ ht = 7, 5hAA AAAA motomotor =120km/ h7, 5hr = 900kmAA c) bicibicit 10h- 7, 5ht 2, 5hA =A = 6.Una partcula se mueve de acuerdo al grafico posicin-tiempo: Determinar: a)La posicin inicial b)La rapidez en cada tramo del viaje c)El tiempo que permaneci en reposo d)La posicin cuando t=35(s) e)Cundo la partcula est a 20m del origen y cuando esta en el origen SOLUCIN: a) 0r =10m b) Tramo 1Tramo 2Tramo 3 f 0f 0r - rV =t - t30m-10mV =10sV = 2m/ sReposo f 0f 0r - rV =t - t40m- 30mV =30s- 20sV =10m/ s Tramo 4 f 0f 0r - rV =t - t0m- 40mV =40s- 30sV = -4m/ s c) t 20s-10st 10sA =A = d) r = V tr = 4m/ s 5sr = 20mA A A e) Est a 20m del origen a los 5s y a los 35s, y se encuentra en el origen a los 40s 7.Una persona parte de la esquina ( ) 0, 0de una cancha de futbol que mide 100m x 60m y camina primero por detrs del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+), hacia el Este y contina su recorrido bordeando todo su permetro a una rapidez constante igual a2m/ s ; determinar: a)La velocidad en cada tramo b)El tiempo que demora en recorrer cada lado c)El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta que parti d)El tiempo mnimo que demorara en llegar a la esquina opuesta caminando a esa misma rapidez SOLUCIN: a) Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constantela velocidad en cada tramo ser: Tramo 1Tramo 2Tramo3Tramo 4 ( )V = 2 i m/ s( )V = 2 j m/ s ( )V = -2 i m/ s( )V = -2 j m/ s b) Lado 1Lado 2 Lado 3 Lado 4 rt =V60mt =2m/ st = 30sAAAA rt =V100mt =2m/ st = 50sAAAA rt =V60mt =2m/ st = 30sAAAA rt =V100mt =2m/ st = 50sAAAA c) Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento ser: ( )r 60 i 100 j m A = +2 2r = 60 100r =116, 62mA +A d) rt =V116, 62mt =2m/ st = 58, 31sAAAA 8.Dos vehculos cuyas velocidades son 10 i km/ hy 12 j km/ h se cruzan y siguen su camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar: a)El desplazamiento realizado por cada vehculo al cabo de 6 horas b)La distancia que los separa al cabo de 6 horas c)En qu tiempo desde que se cruzan estarn a 100 km de distancia SOLUCIN: a) A AAAr = V tr =10 i km/ h 6hr = 60 i kmA AA A B BBBr = V tr =12 j km/ h 6hr = 72 j kmA AA A b) ( )A Br = 60 i 72 j kmA +2 2A BA Br = 60 72r = 93, 72kmA +A c) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 2 210km/ ht + 12km/ ht =100km100km / h t +144km / h t =100km244km / h t =100kmt 244 km/ h =100km100kmt =244 km/ ht = 6, 40h 9.Dos puntos A y B estn separados 80m. Desde A parte hacia B un mvil con una rapidez constante de3 m/ s . Cinco segundos despus y desde B un mvil con la misma direccin y sentido que el primero y con una rapidez constante de2 m/ s ; determinar: a)Analticamente y grficamente cuando y donde se encuentran b)En qu tiempo la distancia que los separa ser nuevamente 80m SOLUCIN: a) B At = t - 5s...............(1)B Ar r 80m...............(2) A = A A A AB B BrV =tr V t ...............(3)r V t ...............(4)A A = A = B B A A(3) y (4) en (2)V t = V t 80m...........(5) ( )( )B A A AB A B A AA A B A BA A B BBAA BAA(1) en (5)V t - 5s = V t - 80mV t - V 5s = V t - 80mV t - V t = 80m- V 5st V - V = 80m- V 5s80m- V 5st =V - V80m- 2m/ s5st =3m/ s- 3m/ st = 70s A A AAAr = V tr = 3m/ s70sr = 210m AAA b) Despus de encontrarse A Br = r +80m...........(1) A AA Bt = t ...................(2) A A B B(3) y (4) en (1)V t = V t +80m...........(5) 01020304050607080901001101201301401501601701801902002102202302402502600 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85Grfico Mvil A Mvil BA A AB B BrV =tr V t ...............(3)r V t ...............(4)A A = A = A A B AA A B AAA BAA(2) en (5)V t = V t +80mV t - V t = 80m80mt =V - V80mt =3m/ s- 2m/ st = 80s Desde que el mvil parti desde A t = 70s+80st =150s 10. Dos autos A y B parten simultneamente, A con una velocidad de53 i km/ hy B con una velocidad de32 i km/ h , si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas; determinar: a)La distancia que los separaba inicialmente b)El tiempo en que A llega al punto donde parti B c)El tiempo que demorara B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el instante en que encuentran B invierte el sentido SOLUCIN: a) A Bx = r r ..................(1) A AA A AB B BrV =tr V t ...............(2)r V t ...............(3)A A = A = A A B B(2) y (3) en (1)x = V t - V tx = 53km/ h2, 4h- 32km/ h2, 4hx = 50, 4km b) rt =V50, 4kmt =53km/ ht = 0, 95hA c) Desde el punto de encuentro ABrt =V53km/ h2, 4ht =32km/ ht = 3, 98hA 11. Dos automviles viajan en la misma ruta rectilnea y estn a 134km de distancia, si el mas rpido viaja a63 km/ h; determinar: a)La rapidez del mas lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al cabo de 3 horas b)Dnde y cundo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con la rapidez dada para el ms rpido y la obtenida en el punto anterior para el otro SOLUCIN: a) Desplazamiento del ms rpido Desplazamiento del ms lento A AAAr = V tr = 63km/ h3hr =189kmAAA B ABBr = r -134kmr =189km-134kmr = 55kmA AAA BBBBrV =t55kmV =3hV =18, 33km/ hAA b) A Br + r 134km...............(1) A A =1 2t = t ...............(2) A A 1B B 2r = V t .............(3)r = V t .............(4)AA A 1 B 2(3) y (4) en (1)V t V t 134km........(5) + =

( )A 1 B 11 A B1A B11(2) en (5)V t + V t =134kmt V + V =134km134kmt =V + V134kmt =63km/ h+18, 33km/ ht =1, 65h 12. Dos puntos A y B estn en la misma horizontal, desde A parte hacia B un mvil con una rapidez constante de2 m/ sy 5 minutos despus parte desde B hacia A otro mvil a 10 km/ h , si A y B distan 3km; determinar: a)Analticamente, dnde y cundo se encuentran b)Grficamente, dnde y cundo se encuentran SOLUCIN: Datos:

AV = 2 m/ s BV =10 km/ hB-reposot = 5minr 3km A = 10 km 1000m 1h= 2, 78m/ sh 1km 3600s 5min 60s= 300s1min 3km 1000m3000m1km= a) A Br + r 3000m...............(1) A A = 1 2t = t +300s...............(2) A A 1B B 2r = V t .............(3)r = V t .............(4)AA A 1 B 2(3) y (4) en (1)V t V t 3000m........(5) + = ( )( )A 2 B 1A 2 A B 11 A B AA1A B11(2) en (5)V t +300s +V t = 3000mV t V 300s+V t = 3000mt V +V = 3000m V 300s3000m V 300st =V +V3000m- 2m/ s300st =2m/ s+2, 78m/ st = 502,1s+ 11t = 502,1s+300st = 802,1s AAr = 2m/ s802,1sr =1604, 2mAA BBr = 3000m-1604, 2mr =1395,8mAA b) EJERCICIO N8 1.Una partcula se mueve con MRUV retardado y aceleracin ( )215m/ s ; N15 E .Si a t=0, la partcula se encuentra en la posicin ( ) -2, 3 m y su rapidez es de8 m/ s . Para un intervalo entre 0 y 8s; determinar: a)El desplazamiento realizado b)La velocidad media SOLUCIN: a) ( )215m/ s ; N15 E 2x2xa =15m/ s cos75a = 3,88m/ s 2y2ya =15m/ s sen 75a =14, 49m/ s ( )2a = 3,88 i 14, 49 j m/ s + ( )0r = -2 i+3 j m 05001000150020002500300035000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000110012001300140015001600Grfico Mvil A Mvil B Para que sea retardado 0a V= - ( )( ) ( )0a2 2a V3,88 i 14, 49 j=3,88 14, 49= 0, 26 i 0, 97 j -0, 26 i- 0, 97 j +++ = ( )( )00V = 8m/ s -0, 26 i- 0, 97 jV = -2, 08 i- 7, 76 j m/ s ( ) ( )( )( )20221r V t a t21r -2, 08 i- 7, 76 j m/ s 8s 3,88 i 14, 49 j m/ s 8s2r 107, 52 i 401, 6 j mA = + A = + + A = + b) ( )( )mmmrV =t107, 52 i 401, 6 j mV =8sV = 13, 44 i 50, 2 j m/ sAA++ 2.El graficoVx- t , representa el movimiento de dos partculas A y B que parten de dos partculas A y B que parten de una misma posicin inicial y sobre la misma trayectoria rectilnea. Determinar: a)El tipo de movimiento de cada partcula en cada intervalo b)La distancia que recorre cada partcula de 0(s) hasta 12(s) c)La distancia que existe entre las dos partculas a los 4(s), 8(s) y 12 (s) d)Dnde y cundo se encontrarn grfica y analticamente e)Los grficos xr - ty xa - tde cada partcula SOLUCIN: a) Partcula A 0-4s4-8s8-16 MRUVAMRUMRUVR Partcula B 0-8S MRUVA b) Partcula A: Intervalo de 0 a 4s Va =t30m/ sa =4sa = 7, 5m/ s 0r V t A = ( )( )2221a t21r 7, 5m/ s 4s2r 60m+ A =A = Intervalo de 4 a 8s r = Vtr = 30m/ s4sr =120mAAA Intervalo de 8 a 12s Va =t-30m/ sa =4sa = -7, 5m/ s ( )( )20221r = V t a t21r = 30m/ s4s+ 7, 5m/ s 4s2r =180mA + AA r = 60m+120m+180mr = 360mAA Partcula B Intervalo de 0 a 12s Va =t30m/ sa =4sa = 7, 5m/ sAA ( )( )20221r V t a t21r -30m/ s12 7, 5m/ s 12s2r 180mA = + A = +A = c) Desplazamiento de la partcula B de 0 a 4 s ( )( )20221r V t a t21r -30m/ s4s 7, 5m/ s 4s2r -60mA = + A = +A = ( )A/ BA/ Br = 60m- -60mr =120mAA Desplazamiento de la partcula B de 0 a 8s ( )( )20221r V t a t21r -30m/ s8s 7, 5m/ s 0s2r 0mA = + A = +A = Desplazamiento de la partcula A de 0 a 8s r = 60m+120mr =180mAA A/Br =180m A Distancia de A a B a 12s A/ BA/ Br = 240m-180mr = 60mAA d) Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m A B0A= r + r60m = V tr A A A2 20B2 22 221 21 1+ at + V t+ at2 260m = 7, 5m/ s t +60m/ st7, 5m/ s t +60m/ st- 60m = 0-60 60 + 47, 560t =27, 5t = 0, 898s t = -8, 898 ( )221r = 240m- 7, 5m/ s 0,8982r = 236, 98mAA e) -80-60-40-200204060801001201401601802002202402602803003203400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Grfico r(x)-t Partcula A y B 0204060801001201401601802002202402600 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Grfico r(x)-t Partcula A -80-60-40-200204060801001201401601802002202402602803003203400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Grfico r(x)-t Partcula B -9-8-7-6-5-4-3-2-101234567890 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Grfico a-t Partcula A 3.Un mvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleracin constante. Si su posicin para t=0 es30 i my se mueve en direccin X negativa con una rapidez de 15 m/ s que est disminuyendo a razn de 1, 5 m/ s cada s; determinar: a)La aceleracinb)El grfico velocidad contra tiempo c)El grfico posicin contra tiempo d)El tiempo que tarda la partcula en recorrer los primeros 75m SOLUCIN: a) 2a =1, 5 i m/ s b) 0123456780 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Grfico a-t Partcula B c) -16-14-12-10-8-6-4-20240 2 4 6 8 10 12 14Grfico V(x)-t -50-45-40-35-30-25-20-15-10-5051015202530350 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Grfico r(x)-t Series1d) 202 22 221r = V t- at2175m=15m/ st- 1, 5m/ s t20, 75m/ s t -15m/ st- 75m= 015 15 - 40, 7575t =20, 75t =10sA 4.El mvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10 m/ sy acelerando a 23 m/ sen lnea recta; cinco segundos ms tarde B parte hacia A desde el reposo y con una aceleracin constante de 25 m/ stambin en lnea recta. Si inicialmente A y B estn separados una distancia horizontal de 1700m; determinar: a)Dnde y cundo se encuentran b)En cunto tiempo quedan a 500m de distancia mientras se acercan y tambin mientras se alejan SOLUCIN: a) A B2 20A A A A B Br = r + r1 11700m = V t + a t + a t ...................(1)2 2A A A A Bt = t +5s....................(2) ( ) ( )( )220A B A B B B2 2 20A B 0A A B B B B2 2 20A B 0A A B A B A B B2 2 2B B(2) en (1)1 11700m = V t +5s + a t +5s + a t2 21 11700m = V t + V 5s+ a t +10st + 25s + a t2 21 1 1 11700m = V t + V 5s+ a t + a 10st + a 25s + a t2 2 2 21 11700m =10m/ st +10m/ s5s+ 3m/ s t + 3m/ s 10s2 22 2 2 2B B2B B2 2B B2BB1 B21 1t + 3m/ s 25s + 5m/ s t2 21700m = 87, 5m+ 25t + 4m/ s t4m/ s t + 25t -1612, 5m = 0-25 25 +441612, 5t =8t =17,19s t = 23, 44s AAt =17,19s+5st = 22,19s ( )22AA1r =10m/ s22,19s+ 3m/ s 22,19s2r = 960, 5mAA

( )22BB1r = 5m/ s 17,19s2r = 738, 74mAA b) 5.Dos vehculos A y B se desplazan con MRUV. A se acelera a razn de 23 m/ sy pasa por el punto ( ) P 3, 5 m con una velocidad ( )-3 i- 4 j m/ s ,en ese mismo momento B pasa por el punto ( ) Q 1, 3 m con una velocidad de-30 j m/ sy desacelera a razn de 22 m/ s ; determinar: a)La aceleracin de cada uno de los vehculos b)La posicin de A y de B despus de 7s SOLUCIN: a) ( )( )AAAAVAV2 2VV=V-3 i- 4 j3 4-0, 6 i- 0,8 j=+= ( )( )A AAV aA A V2A2Aa = a a = 3m/ s -0, 6 i- 0, 8 ja = -1, 8 i- 2, 4 j m/ s = 2Ba = 2 j m/ s b) ( ) ( ) ( )( )( )A A AAA2f 0 0 A22ff1r = r + V t+ a t21r = 3 i 5 j m -3 i- 4 j m/ s 7s -1, 8 i- 2, 4 j m/ s 7s2r = -62,1i- 81, 8 j m+ + + ( ) ( ) ( )( )( )B B BBB2f 0 0 B22ff1r = r + V t+ a t21r = - i 3 j m -30 j m/ s 7s+ 2 j m/ s 7s2r = - i-158 j m+ + 6.Una partcula se mueve de manera que su velocidad cambia con el tiempo como se indica en los grficos siguientes: Determinar: a)El vector velocidad para t=0s, t=2s, t=3s b)El vector aceleracin para t=0s, t=2s, t=3s c)Si la partcula tiene movimiento rectilneo SOLUCIN: a) Para t=0sPara t=2s Para t=3s ( )V = 20 i+10 j m/ s( )V = 20 i+30 j m/ s( )V = 20 i+40 j m/ s b) Para t=0sPara t=2s Para t=3s ( )2a = 0 i+10 j m/ s( )2a = 0 i+10 j m/ s( )2a = 0 i+10 j m/ sc) No es movimiento rectilneo 7.Una partcula se mueve a lo largo del eje X, inicia su recorrido en el punto -8m desde el reposo y acelera a razn de 25 m/ shasta que alcanza el punto 12m y entonces mantiene la velocidad alcanzada constante por 5s y luego desacelera hasta detenerse 5s mas tarde; determinar: a)Cunto tiempo tuvo movimiento acelerado b)La distancia que recorri con MRU c)El desplazamiento total y la aceleracin durante los ltimos 5s SOLUCIN: a) 0r = V t A( )22 21+ at2112m- -8m = 5m/ s t2t = 8 = 2,83

Sumando el tiempo de los movimientos acelerado y retardado t = 7,83 b) 2 2f 0V = V2ff+ 2a rV = 10m/ s 20mV =14,14m/ sA r = Vtr =14,14m/ s 5sr = 70, 70mAA A c) Durante los ltimos 5sDesplazamiento Total 0r = V t A( )( )2221+ at21r =14,14m/ s5s+ -2, 83m/ s 5s2r = 35, 33AA r = 20m+70, 70m+35, 33mr =126, 03mAA d) fV002= V +a t- Va =t-14,14m/ sa =5sa = -2, 83m/ sAA 8.Desde la ventana de un edificio se lanzan dos piedras A y B. La piedra A se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial igual a la que B es lanzada verticalmente hacia abajo; determinar: a)Cul de las dos piedras tiene mayor rapidez al llegar al suelo SOLUCIN: La mas rpida es la piedra B pues al ir en la misma direccin de la aceleracin de la gravedad su rapidez final ser mayor que a la de A que debe subir hasta que su rapidez sea 0 y volver a bajar nuevamente. 9.Dos partculas A y B se mueven con MRUV acelerado con la misma aceleracin cuyo modulo es 22 m/ s .Si para t=0s la rapidez de A es 5m/s y la de B es 2,5m/s; determinar: a)Cundo A ha recorrido 100m y cundo B ha recorrido 50m b)Cundo la relacin entre la rapidez de A y la rapidez de B es 3/2 SOLUCIN: a) 202 2221r = V t+ at21100m= 5m/ st+ 2m/ s t2t 5m/ st 100m 0-5 5 +4100t =2t = 7,81sA+ =202 2221r = V t+ at2150m= 2, 5m/ st+ 2m/ s t2t 2, 5m/ st 50m 0-2, 5 2, 5 +450t =2t = 5, 93sA+ = b) ( ) ( )( ) ( )0A0B0B 0A2 22 222V +at 3=2 V +at3 V +at = 2 V +at3 2, 5m/ s+ 2m/ s t = 2 5m/ s+ 2m/ s t7, 5m/ s+6m/ s t =10m/ s+ 4m/ s t2m/ s t = 2, 5m/ s2, 5m/ st =2m/ st =1, 25s 10. Un avin toma la pista con una aceleracin de 220 i m/ s y recorre en lnea recta 200 i m antes de detenerse; determinar: a)Con qu velocidad toca la pista b)Qu tiempo demora en detenerse c)Con qu velocidad constante un auto recorrera esa misma distancia en ese tiempo SOLUCIN: a) 2fV200200= V - 2a rV = 2a rV = 220m/ s 200mV = 89, 44m/ sAA b) Vfa =002- Vt- Vt =a-89, 44m/ st =-20m/ st = 4, 47s c) rV =t200mV =4, 47sV = 44, 74m/ sA 11. Un observador ve pasar por su ventana ubicada a 50m de altura un objeto hacia arriba y 3s despus lo ve pasar hacia abajo; determinar: a)La velocidad con la que fue lanzado el objeto desde la base del edificio b)La altura que alcanz respecto a la base del edificio SOLUCIN: a) Anlisis desde que es visto por la ventana: Total ascenso descenso ascenso descensot = t + t como t = tTotal ascenso ascensoascenso TotalTotalascensot = t + t2t = ttt =2 Anlisis del ascenso: fV( )0 ascenso0 ascensoTotal0200= V + gtV = -gttV = -g23sV = - -9,8m/ s2V =14, 7m/ s| | |\ .| | |\ . Anlisis desde la base del edificio: La 0V =14, 7m/ sdesde la ventana pasa a ser fV =14, 7m/ sdesde la base hasta la ventana, entonces: ( ) ( )( )2 2f 020 f20 f2200V = V + 2gDrV = V - 2gDrV = V - 2gDrV = 14, 7m/ s - 2 -9,8m/ s 50mV = 34,58m/ s b) 2 2f 02fV = V + 2g rVr =A A( )( )2022- V2g- 34,58r =2 -9,8m/ sr = 61, 0mAA 12. Dos cuerpos A y B situados sobre la misma vertical distan 65m, si son lanzados uno contra otro con rapidez de 16m/s y 12 m/s respectivamente; determinar: a)Dnde y cundo se chocan, si A sube y B baja b)Dnde y cundo se chocan, si A baja y B sube SOLUCIN: a) A BA B65m= r rr = 65m r ...................(1)A + AA A A Bt = t ...............(2) A2A 0 A A A1r = V t a t ................(3)2A AA2B 0 A A2B 0 A A(1) en (3)165m r = V t + gt21r = 65m V t gt ..........................(4)2 AA + BB2B 0 B B A B2B 0 A B1r = V t + gt como t = t21r = V t + gt .............................(5)2AA A20 A AIgualando (4) y (5)165m V t gt2 +B20 A B1= V t + g t2A BA B0 A 0 AA0 0AA65m V t = V t65mt =V ` V65mt =16m/ s`+12m/ st = 2,32m/ s+ ( )( )B2B 0 A B22BB1r = V t + g t21r =12m/ s2,32s+ 9,8m/ s 2,32s2r = 54, 21mAAA AAr = 65m 54, 21mr =10, 79mA A b) ( )( )A2A 0 A A22AA1r = V t + g t21r =16m/ s2,32s+ 9,8m/ s 2,322r = 63, 49mAAA BBr = 65m 63, 49mr =1,51mA A 13. Desde un globo que se encuentra a 100m de altura, se deja caer un objeto; determinar: a)Cunto tiempo tarda el objeto en tocar el suelo si el globo est en reposo b)Cunto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo ascenda a 1m/s c)Cunto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo descenda a 1m/s SOLUCIN: a) 0r = V t A( )221+ gt22 rt =g2 100mt =9,8m/ st = 4, 52sA b) ( ) ( )( )( )( )202 21r = V t+ gt219,8m/ s t + -1m/ s t-100m = 021 1 4 4,9 100t =2 4,9t = 4, 62sA + c) ( ) ( )( )( )( )202 21r = V t+ gt219,8m/ s t + 1m/ s t-100m = 021 1 4 4,9 100t =2 4,9t = 4, 42sA + 14. Se deja caer una piedra desde una gran altura; determinar: a)El mdulo del desplazamiento durante los primeros 5 segundos b)El mdulo del desplazamiento durante los 5 segundos siguientes c)La rapidez alcanzada al final de cada uno de los intervalos anteriores SOLUCIN: a) 0 Br = V t A( )( )2B B21+ g t21r = 9,8m/ s 5s2r =122,5mAA b) 0 Br = V t A( )( )2B B21+ g t21r = 9,8m/ s 10s2r = 490mAA c) f 0V = V2ff+gtV = 9,8m/ s 5sV =10m/ s f 0V = V2ff+ gtV = 9,8m/ s 10sV = 98m/ s 15. Los mviles A y B parten por una trayectoria rectilnea desde el mismo punto y desde el reposo con una aceleracin constante de 22 i m/ scada uno y B parte 2s ms tarde; determinar: a)La distancia entre A y B cundo han transcurrido 2s de haber partido A b)La distancia entre A y B cundo han transcurrido 4s de haber partido A c)La distancia entre A y B cundo han transcurrido 6s de haber partido A SOLUCIN: a) 0 Br = V t A( )( )2B B221+ a t21r = 2m/ s 2s2r = 4mAA b) ( )( ) ( )( )B A2 2B B A A2 22 2r = r r1 1r = a t a t2 21 1r = 2m/ s 4s 2m/ s 2s2 2r =12mA A AA A A c) ( )( ) ( )( )B A2 2B B A A2 22 2r = r r1 1r = a t a t2 21 1r = 2m/ s 6s 2m/ s 4s2 2r = 20mA A AA A A 16. Una partcula con MRUV se mueve a lo largo del eje X. Cuando t=0s se encuentra a 1m a la izquierda del origen, a t=3s se encuentra a 15m a la derecha del origen, y a t=5s se encuentra a 20m a la derecha del origen; determinar: a)La aceleracin de la partcula b)El instante en que retorna al origen SOLUCIN: a) Como en el eje X parte desde -1m hasta 15m y luego hasta 20 m ( ) r =15m- -1mr =16mAA ( ) r = 20m- -1mr = 21mAA En los dos desplazamientos la velocidad inicial es la misma entonces: Cuando t=3sCuando t=5s ( ) ( )( ) ( )( )202020201r = V t+ at2116m = V 3s + a 3s216m = V 3s + a 4,5s16m a 4,5sV = ........................(1)3sA ( ) ( )( ) ( )( )202020201r = V t+ at2121m = V 5s + a 5s221m = V 5s + a 12,5s21m a 12,5sV = ...................(2)5sA Igualando (1) y (2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 23 33 33216m a 4,5s 21m a 12,5s=3s 5s80ms- a 22,5s = 63ms- a 37,5sa 22,5s - a 37,5s = 80ms- 63ms17msa =-15sa = -1,133m/ s b) Como el movimiento es retardado determinamos el instante en que la velocidad final sea 0 Determinando la velocidad inicial: ( )2 2001716m m/ s 4,5s15V =3sV = 7, 033m/ s| | |\ .

fV002= V + at-Vt =a-7, 033m/ st =-1,133m/ st = 6, 21s ( )( ) ( )( )20221r = V t+ at21r = 7, 033m/ s 6, 21s + -1,133m/ s 6, 21s2r = 21,83mAAA Determinando el instante que llega nuevamente al origen en este caso la aceleracin tiene la misma direccin que la velocidad por tanto es positiva: 0r = V t A( )22 221+ at2121,83m 1,133m/ s t2221,83mt =1,133m/ st = 6, 21s= t = 6, 21s 6, 21st =12, 42s+ 17. Una partcula inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleracin de 25 i m/ shasta que su velocidad es de 10 i m/ s , en ese instante se le somete a una aceleracin de 210 i m/ s hasta que la distancia total recorrida desde que parti del reposo es 30m; determinar: a)La velocidad media para todo el recorrido b)El grafico Vx contra t SOLUCIN: a) Desde que parte del origen: f 0V = Vf2+ atVt =a10m/ st =5m/ st = 2s 0r = V t A( )( )2221+ at21r = 5m/ s 2s2r =10mAA Desde que se le somete la aceleracin de 210 i m/ s (MRUVR): 2fV( )( )202022= V + 2a r- Vr =2a10m/ sr =2 10m/ sr = 5mAAAA

r =10m 5mr =15mA +A Como recorre 15 m hasta detenerse y la distancia recorrida es de 30m como la distancia recorrida es independiente del desplazamiento entonces: TotalTotalr =15m 15mr = 0A A mmmrV =t0V =tV = 0A b) 18. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, su posicin cambia con el tiempo como indica la figura, siendo el nivel de referencia el suelo Determinar: -22-20-18-16-14-12-10-8-6-4-20246810120 1 2 3 4 5 6Vx-t a)Los valores de 1ty 2tb)La velocidad con la que llega al suelo SOLUCIN: a) ( )( )2 2f 00200V = V - 2g rV = 2a rV = 2 9,8m/ s 15mV = 294 =17,15m/ sAA ( )( )( )( )( )20 1 12 21 121 12111r = V t at2115m = 294 m/ s t 9,8m/ s t24,9t 294 m/ s t 15m 0294 294 4 4,9 15t =2 4,9294t = s 1, 75s9,8A + = = 0 1r = V t A( )( )( )2122221at22 rt =g2 20mt =- -9,8m/ st = 2, 02sA b) 2 2f 0V = V( )( )f2ff2g rV = 2g rV = 2 9,8m/ s 20mV =19,80m/ s+ AA 19. Dos autos A y B se desplazan por la misma trayectoria rectilnea. A se mueve con una velocidad constante de8 i m/ s y parte de la posicin7 i m . B inicia en el punto5 i m con una velocidad de8 i m/ sy al tiempo t=4s su velocidad es 8 i m/ s . Si se mueve con aceleracin constante; determinar: a)La aceleracin de B b)En qu instante coinciden las posiciones de A y B SOLUCIN: 20. Una partcula se mueve con MRUVA de modo que la magnitud de su desplazamiento de 0 a 2s es 40m y de 2 a 4s es 65m; determinar: a)La magnitud de la aceleracinb)El mdulo del desplazamiento entre 0 y 10s SOLUCIN: 21. Dos partculas A y B se mueven sobre carreteras rectas. A se mueve con aceleracin constante de modo que en 0 0t = 0s, r = -300i my 0v = 30i m/ sy en 1 1t =10s, r =10i m, B se mueve con velocidad constante de modo que en 0 0t = 0s, r = 200 j m y en 1 1t =10s, r =300i m; determinar: a)La velocidad de A en 1t =10sb)La velocidad de A respecto a B en 1t =10s SOLUCIN: 22. Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 120m medida desde el suelo, en ese mismo instante se arroja hacia abajo un segundo objeto desde una altura de 190m; determinar: a)La velocidad inicial del segundo objeto para que los dos lleguen al piso al mismo tiempo SOLUCIN: 23. Dos mviles A y B se mueven de acuerdo al siguiente grafico: Si parten del origen; determinar: a)La posicin de cada mvil para t=10s b)La posicin y el tiempo en que los dos mviles se encuentran por primera vez luego de partir SOLUCIN: 24. Un automvil viaja a 18m/s y un bus a 12m/s sobre una carretera recta en direcciones contrarias. De manera simultanea los choferes se ven y frenan de inmediato, el auto disminuye su rapidez a razn de 22m/ sy el bus a 23m/ s ; determinar: a)La distancia mnima entre los dos al momento que frenan para evitar que colisionen SOLUCIN: 25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una cierta rapidez inicial desde el borde de un precipicio y en 9s llega al fondo. Luego desde el mismo lugar se lanza otro objeto verticalmente hacia abajo con la misma rapidez inicial y tarda 2s en llegar al fondo; determinar: a)La rapidez inicial con la que fueron lanzados los objetos b)La altura del precipicio SOLUCIN: 26. Se dispara verticalmente hacia arriba un mvil y cuando ha ascendido 5m lleva una velocidad de 10 j m/ s ; determinar: a)La velocidad con la que fue disparado b)La altura que alcanza c)El tiempo que demora en ascender esos 5m y el que demora en pasar nuevamente por dicha posicin SOLUCIN: 27. Una partcula se mueve a lo largo del eje X, a t=2s, su velocidad es 16 i m/ sy su aceleracin es constante e igual a 22 i m/ s ; determinar: a)La velocidad de la partcula a t=5s y t=15s b)El desplazamiento de la partcula entre t=5s y t=15s SOLUCIN: 28. En el interior de un tren que parte del reposo y acelera a razn de 24 i m/ s , un objeto desliza sin rozamiento por el piso del vagn con una velocidad de8 i m/ srespecto a tierra; determinar: a)El tiempo que debe transcurrir para que el objeto alcance nuevamente su posicin original b)En ese mismo momento la velocidad instantnea del vagn respecto a tierra c)En ese instante, la velocidad del objeto respecto a la velocidad del vagn SOLUCIN: 29. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, con una aceleracin constante de 214, 7 i m/ s durante 8s, en ese momento se le acaba el combustible y el cohete continua movindose de manera que nicamente queda sujeta a la gravedad de la tierra; determinar: a)La altura mxima que alcanza el cohete b)El tiempo que tarde en regresar a la tierra c)El grafico velocidad-tiempo para este movimiento SOLUCIN: EJERCICIO N 9 1.Desde un puente se dispara un proyectil con una velocidad de30 i m/ s , si impacta en la superficie del ro con un ngulo de 45; determinar: a)En cunto tiempo impacta el proyectil b)La altura del puente respecto a la superficie del ro c)La aceleracin tangencial y centrpeta al momento del impacto SOLUCIN: 2.Un bombardero que vuela horizontalmente con una velocidad de480 i km/ h , a una altura de 5500m dispara a un auto que se mueve a una velocidad constante de 125 i km/ h , en el mismo plano vertical. Para que el proyectil impacte en el blanco; determinar: a)El ngulo que forma la visual del avin al auto con la horizontal en el instante en que el avin debe soltar la bomba b)El tiempo que tarda la bomba en impactar el auto c)La distancia que recorre el avin desde que suelta la bomba hasta que impacta en el blanco SOLUCIN: 3.Se lanza una pelota desde una altura de 5m con una velocidad de12 i m/ s ; determinar: a)La distancia a la que debe colocarse una persona que alzando los brazos alcanza 2,20m de altura, para cogerla b)El tiempo que la pelota permanece en el aire c)Las aceleraciones tangencial y centrpeta en el momento que la persona recepta SOLUCIN: 4.Desde lo alto de un edificio se lanza un objeto con una velocidad de 100 i m/ s ; determinar: a)En qu tiempo el mdulo de la aceleracin tangencial es igual al mdulo de la aceleracin centrpeta b)La velocidad en ese instante c)La posicin en ese instante respecto al punto de lanzamiento SOLUCIN: 5.En una mesa de 0,75m de altura un objeto desliza y cae describiendo una trayectoria semiparablica. Sabiendo que cuando se encuentra a 0,15m de altura, la distancia hasta el borde de la mesa es 80cm; determinar: a)La velocidad con la que el objeto abandona la mesa b)El tiempo en el que llega a la posicin indicada y el tiempo en que impacta en el suelo c)La velocidad en la posicin indicada y la velocidad con que choca contra el suelo SOLUCIN: 6.Una pelota de tenis se impulsa con una raqueta de tal modo que su velocidad inicial es56 i km/ h desde el borde de una cancha que mide 23,77m de largo y desde una altura de 2,5m; determinar: a)La distancia a la que rebota por primera vez respecto a la red central cuya altura es de 0,92m b)La velocidad mnima que se le debe comunicar a la pelota para que justamente logre pasar la red c)La velocidad que se le debe comunicar a la pelota para que caiga justamente al borde opuesto de la cancha SOLUCIN: 7.Un proyectil es disparado con una rapidez de 45m/s y un ngulo de 40 sobre la horizontal; determinar: a)La velocidad del proyectil cuando forma un ngulo de 30 sobre la horizontal b)El desplazamiento cuando alcanza dicho punto c)La altura mxima que alcanza d)El alcance horizontal SOLUCIN: 8.Se impulsa una pelota desde el suelo con una rapidez de 50m/s y con un ngulo de 45 desde la horizontal; determinar: a)La velocidad de la pelota cuando su componente en el eje y es de-20 j m/ sb)La posicin de la pelota cuando dicha alcanza velocidad c)La aceleracin total, tangencial y centrpeta en dicho instante d)La altura mxima SOLUCIN: 9.Un avin que lleva una velocidad de50 i+60 j m/ sdeja caer una bomba; determinar: a)La altura mxima que alcanza la bomba desde el nivel de lanzamiento b)El tiempo que tarda en alcanzar la altura mxima c)La altura por debajo del nivel de lanzamiento a la que la bomba tiene una velocidad de50 i 100 j m/ s SOLUCIN: 10. Un proyectil es lanzado desde una altura de 80m desde el suelo formando un ngulo de 40 sobre la horizontal, si cae al suelo a una distancia horizontal de 300m desde el punto de lanzamiento; determinar: a)La velocidad inicial del proyectil b)La posicin del proyectil en el punto mas alto respecto al punto de lanzamiento c)El tiempo que demora en llegar al suelo SOLUCIN: 11. De un can se dispara un proyectil con una rapidez de 200m/s y un ngulo de 50 y luego se dispara otro con la misma rapidez y un ngulo de 30 sobre la horizontal; determinar: a)El intervalo de tiempo con que deben realizarse los disparos para que los proyectiles choquen b)La altura mxima que alcanza cada proyectil respecto al canc)El alcance horizontal de cada proyectil d)Dnde chocan los proyectiles respecto al can SOLUCIN: 12. Un proyectil con movimiento parablico se encuentra en el punto A, donde su velocidad instantnea es de 20m/s y forma un ngulo de 30 sobre la horizontal. Si el proyectil demor 1,2s en llegar a A desde su lanzamiento; determinar: a)La velocidad inicial del lanzamiento b)La altura mxima c)Las aceleraciones: total, tangencial y centrpeta en el punto A d)El ngulo de lanzamiento SOLUCIN: 13. Un proyectil es disparado con una rapidez de 100m/s y con un ngulo de 60 sobre la horizontal desde un punto ( ) A -10, - 2 m; determinar: a)La velocidad en el instante en que X=0m b)La aceleracin tangencial en Y=0m por primera vez c)Las coordenadas del punto donde la altura es mxima d)La coordenada en Y cuando X=2m SOLUCIN: 14. Desde lo alto de un edificio de 20m de altura se lanza una pelota con una velocidad de 5m/s y un ngulo de 45 sobre la horizontal; determinar: a)A que distancia horizontal de la base del edificio impacta la pelota b)La altura mxima que alcanza c)A que distancia horizontal de la base del edificio alcanza la altura mxima d)La velocidad con la que llega al suelo SOLUCIN: 15. Una persona con patines sube por una rampa de 20, cuando abandona la rampa, salta hasta una grada situada a 2m de distancia horizontal y 0,5m abajo del punto donde abandona la rampa; determinar: a)La velocidad mnima con la que debe abandonar la rampa para llegar justamente a la grada sin problema b)La mxima altura que alcanza desde el punto donde abandona la rampa c)Si con la misma rapidez calculada en el punto a) abandona una rampa de 15, Logra alcanzar la grada sin problema? SOLUCIN: 16. Una pelota es lanzada a 20m/s formando un ngulo de 60 con la horizontal; a 10m del punto de lanzamiento se encuentra un obstculo de 14m de altura; determinar: a)Si la pelota supera el obstculo; si no lo hace a que altura del mismo impacta b)La mxima altura que alcanza c)En qu puntos podran colocarse dos vallas de 10m de altura, para que la pelota los pase exactamente SOLUCIN: 17. Se lanza un baln de manera que pasa exactamente sobre dos barreras cada una de 2m de altura que estn separadas 10m. Si el tiempo que demora el baln en recorrer la distancia entre las barreras es 1s; determinar: a)La velocidad inicial con que fue lanzado el baln b)La altura mxima c)El alcance horizontal d)El tiempo total desde que es lanzado hasta que llega nuevamente al nivel del lanzamiento SOLUCIN: 18. Se dispara una flecha a 20m/s y 30 sobre la horizontal, para dar en un rbol que se encuentra a 25m de distancia; determinar; a)La altura a la que se elevar la flecha b)En ngulo que formarn la flecha con el rbolc)El tiempo que tarda la flecha hasta dar en el rbol SOLUCIN: 19. Desde la base de una montaa cuya pendiente es 35 se lanza hacia la cima una piedra a 30m/s y 60 sobre la horizontal; determinar: a)La altura a la que impacta la piedra (desde la base de la montaa) b)El tiempo que tarda en impactar c)Si el impacto sucede antes o despus de que la piedra a alcanzado su altura mxima d)La velocidad con la que impacta la piedra SOLUCIN: 20. Desde una cancha de futbol ubicada al pie de una colina de 30 de pendiente, se realiza un lanzamiento desde un punto ubicado a 10m de la base de la colina y hacia ella; determinar: a)La velocidad inicial con que se debe lanzar la pelota para que impacte en la colina a una altura de 3m justo cuando llega a su altura mxima b)Dnde y cundo impacta la pelota si la velocidad inicial es 10m/s y 30 sobre la horizontal c)Dnde y cundo impacta la pelota si la velocidad inicial es 15m/s y 30 sobre la horizontal SOLUCIN: EJERCICIO N10 1.Una partcula animada de movimiento circular parte del punto ( ) 3, 5 cm y gira antihorariamente, con centro en el origen, 1000 en 12s. Determinar: a)El desplazamiento angular b)La velocidad angular media c)La posicin angular inicial d)La posicin final SOLUCIN: a) 100017, 45rad180t=b) =t17, 45rad=12s=1, 45rad/ sueeeAA c) 15tan359, 04uu | |= |\ .= 59, 041, 03rad180t= d) f 0ff17, 45rad 1, 03rad18, 48radu u uuu= A+= += 2.Calcular la velocidad angular de cada una de las tres manecillas de un reloj SOLUCIN: SegunderoMinutero Horero =t2 rad=60s= 0,105rad/ sueteeAA 32 rad=3600s=1, 745 10 rad/ stee 42 rad=43200s=1, 454 10 rad/ stee 3.El radio de una rueda de bicicleta gira con una velocidad angular de 0,7 rad/s durante 4 minutos. Determinar: a)En ngulo descrito en gradosb)Cuantas vueltas ha dado SOLUCIN: a) t0, 7rad/ s 240s168radu euuA = AA = A = 168rad 1809625, 69t= b) 168radvueltas2 radvueltas 26, 74t== 4.Una partcula gira por una trayectoria circular con una velocidad angular constante de 8 rad/s. Determinar: a)El tiempo necesario para girar un ngulo de 1000 b)El tiempo necesario para dar una revolucin c)El ngulo girado en un minuto d)El numero de revoluciones que da por minuto SOLUCIN: a) 100017, 45rad180t= t =17, 45radt =8rad/ st = 2,18sueAAAA b) t =2 radt =8rad/ st = 0, 79suetAAAA c) = t= 8rad/ s60s= 480radu euuA AAA d) 8rad 1rev 60s76, 39RPMs 2 rad 1min t= 5.Una partcula que gira por una trayectoria circular da 25 vueltas en 6s. Determinar: a)La velocidad angular media b)El ngulo girado en 3s c)El tiempo necesario para girar un ngulo de 1600 SOLUCIN: a) 25vueltas 2 rad50 rad1vueltatt = =t50 rad=6s= 26,18rad/ sueteeAA b) = t= 26,18rad/ s 3s= 78, 54radu euuA AA A c) 1600 rad27, 93rad180t=t =27, 93radt =26,18rad/ st =1, 07sueAAAA 6.Una partcula parte del punto ( ) -5, - 6 cmy gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante de 18 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar: a)La posicin angular inicial b)El desplazamiento angular en 4s c)La posicin angular final d)La posicin final SOLUCIN: a) 16180 tan5129,80uu | |= |\ .= 129, 80 rad2, 27rad180t= b) = t=18rad/ s 4s= 72radu euuA AA A c) f 0ff72rad 2, 27rad74, 27radu u uuu= A+= += 74, 27rad 1804255, 36rad t= d) 2 25 67, 81cm+ 00r x = 7,81cmcos 4255, 36r x = 3, 35cm 00r = 7,81cmsen 4255, 36 yr y = 7, 06cm ( )0r = 3, 35 i- 7, 06 j cm 7.La velocidad angular de un motor cambia uniformemente de 1200 a 2100 RPM en 5s. Determinar: a)La aceleracin angular b)La velocidad angular media c)El desplazamiento angular SOLUCIN: a) 1200rev 2 rad 1min=125, 66rad/ smin 1rev 60st 2100rev 2 rad 1min= 219, 91rad/ smin 1rev 60st f 02t219, 91rad/ s-125, 66rad/ s5s18,85rad/ se eooo=A== b) f 02125, 66rad/ s+ 219, 91rad/ s2172, 79rad/ se eeee+=== c) = t=172, 79rad/ s 5s= 863, 95radu euuA AA A 8.Un cuerpo parte del punto ( ) 4, 7 cm en sentido antihorario por una trayectoria circular y gira un ngulo de 120 rads en 8 seg, alcanzando una velocidad angular de 25 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar: a)La velocidad angular media b)La velocidad angular inicial c)La posicin angular final d)La aceleracin angular SOLUCIN: a) =t120rad=8s=15rad/ sueeeAA b) f 00000225rad/ s+15rad/ s225rad/ s 30rad/ s30rad/ s 25rad/ s5rad/ se eeuuuu+==+ == = c) 1007tan460, 26uu | |= |\ .= 60, 26 rad1, 05rad180t=f 0ff120rad 1, 05rad121, 05radu u uuu= A+= += d) f 02=t25rad/ s- 5rad/ s=8s= 2, 5rad/ se eoooA 9.Un cuerpo parte del punto ( ) 3, - 6 cm en sentido antihorario por una pista circular con centro en el origen, con una velocidad angular de 6rad/s y se mueve durante 10s con una aceleracin angular de 22rad/ s ; Determinar: a)La velocidad angular final b)La velocidad angular media c)El desplazamiento angular d)La posicin final SOLUCIN: a) f 0f 02ff=t= t= 2rad/ s 10s+6rad/ s= 26rad/ se eoe o eee + b) f 0226rad/ s+6rad/ s216rad/ se eeee+=== c) = t=16rad/ s 10s=160radu euuA AA A d) 160rad 1809167, 32rad t=16tan363, 43uu | |= |\ .= ff9167, 32 63, 439103,89uu = = 2 23 6 6, 71m + = ffr x = 6, 71cos9103,89r x = 1, 61m ffr y = 6, 71sen9103,89r y = 6, 51m ( )fr = -1, 61i+6, 51 j m 10. Desde un mismo punto de la circunferencia parten dos mviles en sentido opuesto. El primero recorre la circunferencia en 1h45min y el segundo recorre un ngulo de 1030 en un minuto Determinar dnde y cundo se encuentran SOLUCIN: 1h: 45min =6300s10 31' 10, 52 =1min =60s 10, 52 rad= 0,184rad180t 111141=t2 rad=6300s= 9, 97 10 rad/ sueteeAA 222232=t0,184rad=60s= 3, 07 10 rad/ sueeeAA Para determinar el encuentro: 1 22 rad................(1) u u t A + A = = t ............(2) u e A A 1 2t t .........(3) A = A ( )1 21 21 24 3(2) y (3) en (1)t t 2 radt 2 rad2 radt2 radt9, 97 10 rad/ s 3, 07 10 rad/ st 1544, 92se e te e tte et A + A =A + =A =+A = + A = 1 1411= t= 9, 97 10 rad/ s 1544, 92s=1, 54radu euuA AA A 2 2322= t= 3, 07 10 rad/ s 1544, 92s= 4, 74radu euuA AA A EJERCICIO N11 1.Un volante cuyo dimetro es de 1,5m est girando a 200RPM, determinar: a)La velocidad angular b)El periodo c)La frecuencia d)La rapidez de un punto del borde e)El mdulo de la aceleracin centrpeta SOLUCIN: 2.Un cuerpo que gira con MCU est provisto de una velocidad angular de 2rad/s. Determinar: a)El ngulo girado en 4s b)El nmero de vueltas que da en 4s c)El tiempo necesario para girar un ngulo de 500 d)El periodo e)La frecuencia SOLUCIN: 3.Las manecillas de un reloj miden: el horero=4cm, minutero =7cm y segundero=10cm. Para cada una, determinar: a)El periodo b)La frecuencia c)La velocidad angular d)La rapidez del extrema e)El mdulo de la aceleracin centrpeta del extremo SOLUCIN: 4.Un cuerpo gira en una trayectoria circular de 70 cm de radio y da 750 rev cada 2,5 minutos. Determinar: a)La velocidad angular b)La distancia recorrida c)La rapidez del cuerpo d)El mdulo de la aceleracin centrpeta SOLUCIN: 5.Un mvil se mueve en una circunferencia de 1,2m de radio con una velocidad angular constante de 22 rad/s durante 6s. Determinar: a)El desplazamiento angular b)La distancia recorrida c)El periodo d)La rapidez del mvil e)El modulo de la aceleracin centrpeta SOLUCIN: 6.Una rueda de bicicleta tiene 60cm de dimetro y recorre una distancia de 12m en 15s. Determinar: a)El ngulo girado b)El nmero de vueltas que dio c)La velocidad angular d)El periodo e)El mdulo de la aceleracin centrpeta SOLUCIN: 7.La tierra cuyo radio aproximado tiene 6375km, gira sobre su propio eje (rotacin). Determinar: a)El periodo de rotacin b)La frecuencia c)La velocidad angular d)La rapidez de un punto del ecuador en km/h e)El mdulo de la aceleracin centrpeta SOLUCIN: 8.El radio de la orbita seguida por la tierra en su movimiento alrededor del sol (traslacin), mide 111, 49x10 m. Determinar: a)El periodo de revolucinb)La frecuencia c)La velocidad angular d)La rapidez en km/h e)El mdulo de la aceleracin centrpeta SOLUCIN: 9.La luna orbita alrededor de nuestro planeta; la distancia promedio que la separa de la tierra es de 83, 84x10 m. Determinar: a)El periodo de revolucinb)La frecuencia c)La velocidad angular d)La rapidez en km/h e)El mdulo de la aceleracin centrpeta SOLUCIN: 10. El Sol efecta un movimiento de traslacin de la Va Lctea; el radio de la orbita es 202, 4x10 m y su periodo de revolucin es de 156, 3x10 s . Determinar: a)La frecuencia b)La distancia recorrida en 50 aos c)La velocidad angular d)La rapidez en km/h e)El mdulo de la aceleracin centrpeta SOLUCIN: 11. Una partcula animada de MCU parte del punto ( ) 2, 7 m y gira alrededor del origen en sentido antihorario describiendo un ngulo de 215 en 6s. Determinar: a)La velocidad angular b)La posicin angular inicial c)La posicin angular final d)La posicin final e)El periodo f)La frecuencia g)La velocidad en la posicin final h)La aceleracin centrpeta en la posicin inicial SOLUCIN: 12. Un cuerpo animado de MCU se encuentra en la posicin indicada en la figura en t=2s. Si se mueve en sentido horario 6s, determinar: a)La velocidad angular b)El desplazamiento angular c)Cuntas vueltas da d)La distancia recorrida e)La posicin final f)El periodo g)La velocidad en t=2s h)La aceleracin centrpeta en t=8s SOLUCIN: 13. Un cuerpo parte del punto ( ) 4, -3 m en sentido antihorario por una trayectoria circular con centro en el origen y se mueve 12s con una velocidad angular constante de 3rad/s. Determinar: a)El desplazamiento angular b)La posicin angular inicial c)La posicin angular final d)La posicin final e)Cuntas vueltas da f)El periodo g)La velocidad en la posicin inicial h)La aceleracin centrpeta en la posicin final SOLUCIN: 14. Una partcula animada de MCU se encuentra en la posicin que indica la figura en t=4s. Si gira en sentido horario con una velocidad angular de 5rad/s durante 10s, determinar: a)El desplazamiento angular b)La posicin angular inicial c)La posicin angular final d)La posicin final e)Cuntas vueltas da f)El periodo g)La velocidad en t=14s h)La aceleracin centrpeta en t=4s SOLUCIN: 15. Una partcula parte del punto ( ) -4, 1 m en sentido horario con MCU. Si gira con una rapidez de 2m/s durante 15s. Determinar: a)El desplazamiento angular b)El periodo c)La posicin angular inicial d)La posicin angular final e)La posicin final f)Cuntas vueltas da g)La velocidad en la posicin inicial h)La aceleracin centrpeta en la posicin final SOLUCIN: EJERCICIO N12 1.Un automvil parte del reposo en una va circular de 400m de radio con MCUV hasta que alcanza una rapidez de 72km/h en un tiempo de 50s. Determinar: a)La velocidad angular final b)La velocidad angular media c)La aceleracin angular d)El desplazamiento angular e)La distancia recorrida f)El tiempo que tarda en dar 100 vueltas g)El mdulo de la aceleracin total final SOLUCIN: 2.Una turbina de un jet se acelera de 0 a 6000 RPM en 20s. Si el radio de la turbina es 1,2m, determinar: a)La velocidad angular final b)La velocidad angular media c)La aceleracin angular d)La rapidez media e)El desplazamiento angular f)La distancia recorrida por el extremo de la turbina g)El mdulo de la aceleracin total final SOLUCIN: 3.Un punto animado de movimiento circular cambia su velocidad angular de 200 RPM a 2600 RPM en 2 min. Si el radio de la trayectoria es 1,5 m, determinar: a)La rapidez inicial b)La velocidad angular final c)La aceleracin angular d)El desplazamiento angular e)Cuntas vueltas dio f)La distancia recorrida g)El mdulo de la aceleracin total inicial SOLUCIN: 4.Un cuerpo describe una trayectoria circular de 1m de radio con una aceleracin angular de 21, 3rad/ s . Cuando ha girado un ngulo de7 / 3rad talcanza una velocidad angular de 42 RPM. Determinar: a)La velocidad angular inicial b)La velocidad angular media c)La rapidez inicial d)El tiempo empleado SOLUCIN: 5.A una partcula que est girando con una velocidad angular de 6 rad/s se le comunica una aceleracin angular de 2 22,8rad/ sdurante 1 min. Si el radio de la trayectoria circular es de 0,6m, determinar: a)La rapidez inicial b)La velocidad angular final c)La rapidez final d)La velocidad angular media e)El desplazamiento angular f)Cuntas vueltas da g)El mdulo de la aceleracin total inicial SOLUCIN: 6.La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 1000 RPM en 7s. Si el radio de la curvatura es de 25cm, determinar: a)La rapidez inicial b)La velocidad angular media c)La aceleracin angular d)El desplazamiento angular e)Cuntas vueltas da f)Qu tiempo ser necesario para que el volante se detenga g)El modulo de la aceleracin total final SOLUCIN: 7.Un volante de 10cm de radio gira en torno a su eje a razn de 400 RPM. Un freno lo para en 15s. Determinar: a)La velocidad angular inicial b)La rapidez en el momento de aplicar el freno c)La velocidad angular media d)El desplazamiento angular e)Cuntas vueltas da hasta detenerse f)La distancia recorrida g)El modulo de la aceleracin total inicial SOLUCIN: 8.Una partcula describe una trayectoria circular de 0,8 m de radio en sentido antihorario. Si parte del reposo y del punto A, realizando un desplazamiento angular de 10 rad en 3s, determinar: a)La aceleracin angular b)La posicin angular final c)La posicin final d)La velocidad angular media e)La distancia recorrida f)La velocidad final g)La aceleracin total final SOLUCIN: 9.Una partcula se mueve en una trayectoria circular de 1,4m de radio en sentido horario. Si parte del reposo y del punto B, alcanzando una velocidad angular de 7rad/s en 4s, determinar: a)La aceleracin angular b)El desplazamiento angular c)La velocidad angular media d)La posicin angular final e)La posicin final f)La velocidad final g)La aceleracin total final SOLUCIN: 10. Una partcula animada de MCUV, parte del punto A, como indica la figura, con una rapidez de 4m/s y luego de 3s pasa por el punto B con una rapidez de 10m/s. Determinar: a)La velocidad angular inicial b)La aceleracin angular c)El desplazamiento angular d)La posicin in