Solucionario nivel 3[1]

NACIONAL ESCOLAR

DE MATEMÁTICA

ONEM - 2011

SOLUCIONARIO

VIII OLIMPIADA

INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

ICEM

NIVEL

12

3

pLa Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) es organizada por el Ministerio de Educación y es una competición abierta a todos los estudiantes de Educación Secundaria de Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo el País.

Esta competencia ha servido para mejorar la enseñanza de la Matemática en el ámbito nacional, ya que toda la comunidad educativa involucrada ha ido tomando paulatinamente mayor interés en su desarrollo. En muchos centros educativos se han formado equipos o clubes de matemática en los cuales se practica con las preguntas tomadas en años anteriores y con exámenes de Olimpiadas Internacionales, tomando en cuenta que algunas preguntas, para su resolución requieren revisar temas que no son parte de la currícula normal de estudio.

Es por este motivo que el ICEM - Instituto de Capacitación en Educación Matemática - pone a disposición de toda la Comunidad Educativa el Solucionario de la VIII ONEM 2011 en su 1ra Fase, trabajo desarrollado por un equipo de docentes en el Área de Matemática con el interés de aportar al crecimiento académico de todos los estudiantes, en especial a los que pertenecen a la Región Sur del Perú, esperamos las debidas críticas y sugerencias a dicho trabajo de modo que este pueda ser mejorado, también estamos concientes que en las soluciones a las preguntas existen diferentes caminos para llegar al resultado de modo que pueden escribirnos al correo .

También queremos invitarlos al I Concurso de Matemática Arequipa (I COMAT - AREQUIPA), evento a llevarse a cabo próximamente y del cual obtendrán mayor información en la siguiente dirección: , dicho concurso tiene como meta brindar a los estudiantes problemas interesantes que despierten el placer de razonar.

EQUIPO DIRECTIVO

[email protected]

www.icemperu.org

PRESENTACIÓN

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA VIII ONEM 2011

PRIMERA FASE – NIVEL 3

SOLUCIONARIO Elaborado por un equipo de profesores de Matemática

José Corimanya Escobedo [email protected] Juan Mamani Cayani [email protected] José Choque Rivera (Responsable Nivel 3) [email protected]

Gentiles aportaciones de:

Mario Condori Ronald Luza

ICEM - AREQUIPA 2

ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA (ONEM 2011)

Primera Fase – Nivel 3

30 de Junio de 2011

01. Sean A, B, C, D y E enteros positivos tales que:

3A B B C C D D E , ¿Cuántos valores puede tomar A B C D E ?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN: Del dato: 3A B , tomando en cuenta que A y B son enteros positivos, los únicos

valores que pueden tomar son 1 y 2. Sabemos que 3B C D E , reemplazando en la expresión pedida:

1 2 33ó

A B C D E , ésta suma puede tomar dos valores 7 ú 8.

B) Clave: Rpta: B) 2

02. En la siguiente figura el rectángulo grande ha sido dividido en tres rectángulos

congruentes. Si el área del rectángulo grande es 54, calcula su perímetro.

A) 6 B) 9 C) 15 D) 30 E) 60

RESOLUCIÓN: En primer lugar, aprovechando que los tres rectángulos son congruentes, se puede

notar que en cada uno de ellos el largo es el doble de su ancho.

Además el área del rectángulo grande se puede expresar como:

ICEM - AREQUIPA 3


26 54 3a a

Y su perímetro se expresaría como:

10 10(3)Perímetro a 30Perímetro

Rpta: D) 30

03. Dentro de una caja grande se colocan 3 cajas medianas, dentro de cada una de éstas se colocan 4 cajas pequeñas y dentro de cada una de estas últimas se colocan 3 canicas. ¿Cuál es la diferencia entre el número total de cajas y el número de canicas?

A) 12 B) 20 C) 15 D) 10 E) 18

RESOLUCIÓN: Calculamos el Nro. Total de cajas sumando la caja grande, las cajas medianas y las

cajas pequeñas: 1 1 3 1 3 4 16 cajas

Ahora calculamos el Nro. Total de canicas 1 3 4 3 36 canicas

Finalmente como nos piden la diferencia: 36 16 20 .

Rpta: B) 20

04. Las siguientes dos sumas tienen la misma cantidad de sumandos

1 1 2 3 4 ...S

2 100 99 98 97 ...S Si ambas sumas dan el mismo resultado, ¿cuántos términos hay en cada suma? A) 54 B) 72 C) 67 D) 100 E) 50

RESOLUCIÓN: Designemos con la letra “n” el número de términos en cada una de las sumas, de

modo que: 1

" "

1 2 3 4 ...n sumandos

S n

Que es la suma de los “n” primeros números naturales, y sabemos que se puede expresar como:

1

1

2

n nS

Debido a que ambas sumas dan el mismo resultado entonces:

2

1

2

n nS

, luego:

1 2 1S S n n

Además observamos que al sumar los términos de S1 y S2 podemos agrupar convenientemente:

1 2

" "

(1 100) (2 99) (3 98) (4 97) ... 101 101 101 ... 101 101.n sumandos

S S n

Igualando ambos resultados, obtendremos el valor de “n”:

ICEM - AREQUIPA 4


1 101.n n n

100n

Rpta: D) 100

05. En la siguiente figura el triángulo grande es equilátero y los puntos D, E, F, G, H e I, son puntos medios. ¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC es el área del triángulo GHI?

A) 6% B) 16% C) 6.25% D) 0,625% E) 4%

RESOLUCIÓN: Al tener puntos medios podemos afirmar que los triángulos: EHI, HIG, IGF y HDG son

congruentes y por lo tanto tienen la misma superficie (S). También los triángulos: EBF, AED, EDF y DFC tienen la misma superficie (4S).

El área total es 16S y representa el 100%, de modo que: 100

% 6,25%16

S , que

representa la superficie del triángulo GHI.

Rpta: C) 6,25% 06. Determina cuántos números primos p cumplen la condición:

8! 1 8! 9p Aclaración: La expresión n! denota el producto de los primeros n enteros positivos. Por

ejemplo, 3! 1 2 3 .

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

RESOLUCIÓN:

ICEM - AREQUIPA 5


“p” es de la forma 8! a siendo “a” un elemento del conjunto 2,3,4,5,6,7,8

Debido a que 8! 1 2 3 4 5 6 7 8 , al sumarle el valor de “a”, siempre se podrá obtener dos factores, por ejemplo si 5a entonces: 8! 5 5(1 2 3 4 6 7 8 1) ,

que es un número compuesto, de modo que para ningún valor de “a” se obtendría un número primo.

Por lo tanto no hay ningún número primo que cumpla la condición.

Rpta: A) 0 07. En la siguiente figura, tenemos que reemplazar las letras A, B, C, D, E por los números 1,

2, 3, 4, 5 (sin repetir) de tal modo que los números A B C y D B E sean múltiplos de 3, ¿de cuántas formas se puede hacer esto?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 12

RESOLUCIÓN:

Sumando los cinco valores: 15A B C D E , que es un múltiplo de tres (3o

).

Por dato:

3

3

o

o

A B C

D B E

Si sumamos éstas dos ecuaciones y utilizamos la observación anterior obtenemos:

3

3o

o

A B C D E B ; y necesariamente 3B

Por lo tanto también se cumplirá:

3

3

o

o

A C

D E

Considerando que: ( ) ( ) 12A C D E , entonces tenemos las siguientes

posibilidades:

o 3A C y 9D E

1; 2; 4; 5

1; 2; 5; 4

2; 1; 4; 5

2; 1; 5; 4

A C D E

A C D E

A C D E

A C D E

ICEM - AREQUIPA 6


o 6A C y 6D E

1; 5; 2; 4

1; 5; 4; 2

5; 1; 2; 4

5; 1; 4; 2

2; 4; 1; 5

2; 4; 5; 1

4; 2; 1; 5

4; 2; 5; 1

A C D E

A C D E

A C D E

A C D E

A C D E

A C D E

A C D E

A C D E

o 9A C y 3D E

4; 5; 1; 2

4; 5; 2; 1

5; 4; 1; 2

5; 4; 2; 1

A C D E

A C D E

A C D E

A C D E

Lo que da un total de 16 formas de colocar los números.

Rpta: D) 16 08. Los ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica. Si la medida del ángulo

mayor es 27 veces la medida del menor, ¿cuál es la diferencia entre el mayor y menor ángulo?

A) 216º B) 261º C) 234º D) 240º E) 243º

RESOLUCIÓN: Sea “” la medida del menor ángulo del cuadrilátero y “r” la razón de la progresión

geométrica, de modo que las medidas de los demás ángulos se pueden expresar como: .r; .r2 y .r3; siendo éste último el mayor ángulo.

Por dato del problema: 3. 27. 3r r

Además sabemos que las medidas de los ángulos del cuadrilátero suman 360º: 3 9 27 360º

40 360º 9º

Por lo tanto las medidas de los ángulos son: 9º; 27º; 81º y 243º. Y la diferencia entre el mayor y menor ángulo es: 243º 9º 234º .

Rpta: C) 234º 09. Sabino compró varios helados a 2 soles cada uno, y Huamaní compró otra cantidad de

helados a 3 soles cada uno. Si juntos compraron menos de 15 helados y gastaron más de 15 soles cada uno, ¿cuántos helados compraron en total?

A) 13 B) 14 C) 9 D) 12 E) 11

RESOLUCIÓN:

ICEM - AREQUIPA 7


Consideremos que Sabino compró “S” helados, a 2 soles cada uno, entonces gastó “2S” soles; y Huamaní compra “H” helados, a 3 soles cada uno, gasta “3H” soles.

Como juntos compraron menos de 15 helados entonces: 15S H

Además gastaron más de 15 soles cada uno: 2 15 7,5S S

3 15 5H H

Los únicos valores que cumplen las condiciones son: 8 6S y H

De modo que en total compraron: 8 6 14 helados.

Rpta: B) 14 10. En una clase mixta de 35 estudiantes hay 19 mujeres. Además, 7 hombres aprobaron

aritmética, 6 hombres aprobaron álgebra, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos, 5 estudiantes aprobaron los dos cursos y 11 estudiantes aprobaron solamente aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solamente álgebra?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN: Sea U el conjunto del total de estudiantes, con ( ) 35n U ; M el conjunto de mujeres y

H el conjunto de hombres; si ( ) 19n M , entonces ( ) 35 19 16n H . Además A es el

conjunto de estudiantes que aprobaron Aritmética y B es el conjunto de estudiantes que aprobaron Álgebra, de modo que podemos hacer el siguiente diagrama:

o Si nos dicen que 7 hombres aprobaron Aritmética, entonces: 7d f

o 6 hombres aprobaron Álgebra, entonces: 6f h

o 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos: 5 8b y a

o 5 estudiantes aprobaron los dos cursos: 5e f

o 11 estudiantes aprobaron solamente Aritmética: 11c d o Nos piden cuántas mujeres aprobaron solamente Álgebra: ?g

Como el total de hombres es 16: 5 6

16 5b d f h d

Además: 5

7 2d f f

ICEM - AREQUIPA 8


También: 5

11 6c d c

Y como: 2

5 3e f e

Finalmente el total de mujeres es 19: 8 6 3

19 2a c e g g

Rpta: B) 2

11. En la figura se muestra un trapecio ABCD de lados paralelos BC y AD. Si AB BC a ,

2CD a y 3AD a , calcula el valor de sec .

A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 5

RESOLUCIÓN:

Después de ubicar los datos en el gráfico, trazamos BE CD , de modo que BCDE es un

paralelogramo y por lo tanto ED BC a y 2BE CD a , además: 3 2AE a a a

Luego el triángulo AEB es isósceles y si trazamos EH AB entonces: 2

aAH HB

Ahora ya podemos obtener: 2

sec 4/2

a

a .

Rpta: B) 4

12. Sean a, b, c tres números que están en progresión aritmética, tales que si los

aumentamos en 1, 4 y 9, respectivamente, obtenemos tres números que son directamente proporcionales a los números 1, 3 y 6. Halla el valor de a b c .

A) 12 B) 30 C) 9 D) 6 E) 18

RESOLUCIÓN:

ICEM - AREQUIPA 9


Si a, b y c están en progresión aritmética, entonces: 2b a c

Aumentándolos en 1, 4 y 9 obtenemos: a+1, b+4, c+9; y como son proporcionales a los números 1, 3 y 6:

11 4 9

3 41 3 6

6 9

a ka b c

k b k

c k

Reemplazando en 2b a c :

2 3 4 1 6 9k k k

2k Luego: 1; 2 3a b y c , y por lo tanto: 6a b c .

Rpta: D) 6

13. Sea un ángulo agudo y cosx sen , determina el valor de:

(sec csc ) (tan cot )N

A) 2

2

1x B)

2

1

1x C)

2

1x D)

2

2

1x E)

1

1x

RESOLUCIÓN: Conocemos la identidad trigonométrica: 2 2cos 1sen ; elevamos al cuadrado el

dato: cosx sen

22 2 2 2

1

cos cos 2 .cosx sen x sen sen

2 1 11.cos

2 2

x xxsen

Otras identidades conocidas son:

1 1 cossec ; csc ; tan cot

cos cos

seny

sen sen

Reemplazamos en la expresión pedida:

1 1 cos

cos cos

senN

sen sen

1

2 2cos cos 1

.cos .cos .cos

x

sen sen xN

sen sen sen

Reemplazamos también .cossen :

1xN

1 1x x

2

1

2

Nx

Rpta: C) 2

1x

ICEM - AREQUIPA 10


14. Coralí, una chica supersticiosa, al enumerar las 200 páginas de su diario, comenzó del 1, pero excluyó aquellos números donde las cifras 1 y 3 aparecen juntas en cualquier orden. Por ejemplo, los números 31 y 137 no aparecen en el diario, pero el 103 si aparece. ¿Cuál fue el número que escribió en la última página de su diario?

A) 210 B) 212 C) 213 D) 214 E) 215

RESOLUCIÓN: Los únicos dos números de dos cifras que tuvo que eliminar son el 13 y 31. Pasando a 3 cifras tuvo que eliminar: 113, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137,

138, 139. Que hacen un total de 13 números eliminados, por lo tanto tuvo que llegar hasta el

213 pero como en dicho número aparecen el 1 y el 3, el último número que escribió fue el 214.

Rpta: D) 214

15.

M es igual al producto o a la suma de 2 y 7. N es igual al producto o a la suma de 3 y 9. P es igual al producto o a la suma de 4 y 8. Q es igual al producto o a la suma de 5 y 10.

¿Cuál es el único valor posible para M N P Q , entre los valores mostrados?

A) 87 B) 88 C) 89 D) 90 E) 91 RESOLUCIÓN: Colocamos en una tabla los posibles valores de cada letra:

M N P Q M+N+P+Q

14

27 32

50 123 15 88

12 50 103 15 68

12 32

50 108 15 73

12 50 88 15 53

9

27 32

50 118 15 83

12 50 98 15 63

12 32

50 103 15 68

12 50 83 15 48

ICEM - AREQUIPA 11


Y observamos que el único valor para M+N+P+Q, que aparece en las alternativas es el número 88.

Rpta: B) 88

16. En un cuadrilátero ABCD, el punto P divide al segmento AC en la razón de 1 a 3 (con

AP PC ). Si las áreas de las regiones triangulares ABD y BDC son 70m2 y 30m2, respectivamente, entonces el área de la región triangular PBD es:

A) 42m2 B) 39m2 C) 40m2 D) 44m2 E) 45m2

RESOLUCIÓN: Construimos la figura, y por el dato del problema 3.PC AP , entonces: 13.BPCS S y

23.PDCS S

Además 270 30 100ABCD ABD BDCS S S m , y también 1 2 1 24 4 4( )ABCDS S S S S ,

igualando ambas expresiones obtenemos: 1 24( ) 100S S

1 2 25S S

Luego nos piden BPDS

Y observamos que 2

1 2( ) 70 25 45BPD ABD BPDS S S S S m .

Rpta: E) 45 m2

17. ¿Cuántos triángulos escalenos tienen lados de longitudes enteras y perímetro menor que

13?

ICEM - AREQUIPA 12


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

RESOLUCIÓN: Consideremos un triángulo cuyas longitudes de sus lados son: a, b y c; que son

números enteros, además: 0 c b a y por dato del problema: 13a b c

Además por existencia triangular: a b c

De ambas desigualdades obtenemos que: 2 13 6,5a a ; por lo tanto el máximo

valor entero que puede tomar “a” es 6. Tomando en cuenta que: 13b c a ; b c a ; sin olvidar que 0 c b a ,

analicemos diferentes opciones: Caso 1: Si 6a , entonces 7b c ; 6b c y 0 6c b de modo que no

hay valores enteros para “ b c ”.

Caso 2: Si 5a , entonces 8b c ; 5b c y 0 5c b hay 2 valores enteros para “ b c ”:

6 4 2b c b c 7 4 3b c b c

Caso 3: Si 4a , entonces 9b c ; 4b c y 0 4c b hay 1 valor entero que puede alcanzar “ b c ”: 5 3 2b c b c

Caso 4: Si 3a , ya no hay valores enteros para “b” y “c” que cumplan con la existencia triangular.

En conclusión hay tres triángulos escalenos, y sus lados serían:

5 ; 4 ; 2a b c

5 ; 4 ; 3a b c

4 ; 3 ; 2a b c

Rpta: C) 3

18. El producto de los dígitos de un cuadrado perfecto de cuatro dígitos es 54. Calcula el resto al dividir dicho cuadrado perfecto entre 28.

A) 1 B) 0 C) 3 D) 20 E) 12

RESOLUCIÓN:

Sea N abcd un cuadrado perfecto de cuatro dígitos, por dato: . . . 54 2 3 3 3a b c d , observando la descomposición de 54 en sus factores primos,

nos deja para los cuatro dígitos las siguientes posibilidades: (salvo orden) 1169, 1239, 2333 y 1336.

También sabemos que un cuadrado perfecto termina en: 1, 4, 5, 6, ó 9. Descartamos entonces el 2333.

Además al dividir un cuadrado perfecto entre 9 puede dejar residuo: 1, 4, 0, 7. Esto es debido a que:

ICEM - AREQUIPA 13


02

02

02

02

1 9 1

2 9 4

3 9 0

4 9 7

y

02 2

02 2

02 2

02 2

5 (9 4) 9 7

6 (9 3) 9 0

7 (9 2) 9 4

8 (9 1) 9 1

Al dividir un número entre 9, el resto es igual al de la suma de sus cifras, por tanto independientemente del orden:

0

1169 9 8

0

1239 9 6

0

1336 9 4 Deducimos que las cifras de nuestro cuadrado son 1336.

Como en la última cifra sólo puede haber un 6 o un 1, tenemos las siguientes posibilidades: 1336, 3136, 3316, 6331, 3631 y 3361. De estos valores el único que cumple con ser un cuadrado perfecto es el 23136 56 y como 28 es un divisor de 56, entonces al dividir 3136 entre 28 obtendremos residuo cero.

Rpta: B) 0

19. Sea ABCD un rombo tal que 120ºABC . Se ubica en la región exterior del rombo un

punto P tal que 50ºPAB y 70ºPCB , calcula la medida de PBA .

A) 70º B) 80º C) 60º D) 100º E) 90º

RESOLUCIÓN: Realizamos una gráfica con los datos brindados:

Podemos notar que al trazar la diagonal BD , el rombo queda dividido en dos

triángulos equiláteros, y si trazamos una circunferencia, con centro en B y radio igual al lado del rombo, dicha circunferencia pasará por los vértices A, D y C; observamos también que AB BD BC R .

ICEM - AREQUIPA 14


Además en el gráfico inicial el 60º 50º 10ºDAP y el 70º 60º 10ºDCP ,

resultando ser iguales lo que nos permite asegurar que el cuadrilátero ADPC es inscriptible o cíclico

Y como ya tenemos una circunferencia que pase por A, D y C significa que el punto P también pertenece a dicha circunferencia.

Como BP resulta ser también radio de la circunferencia será igual con AB y el

triángulo ABP es isósceles, con 50ºAPB BAP .

ICEM - AREQUIPA 15


Finalmente en dicho triángulo, los ángulos internos suman 180º:

2(50º) 180ºx

80ºx Rpta: B) 80º

20. Hay un tablero de 4 4 dibujado en la pizarra y Carlos debe pintar cada casilla de blanco o de negro, de tal modo que en cada fila y cada columna haya 2 casillas de cada color. ¿De cuántas maneras Carlos puede pintar el tablero?

A) 72 B) 36 C) 96 D) 90 E) 108

RESOLUCIÓN: Distinguiremos dos formas de realizar el pintado:

1. Haciendo que dos filas sean exactamente iguales. Siendo así las dos filas que faltan quedan completamente determinadas

(tienen justo los colores opuestos a las primeras) y son también iguales entre sí.

La primera fila tiene

46

2 posibilidades.

La otra fila igual a la primera puede estar en 3 sitios distintos, y fijada esta, las otras quedan inequívocamente situadas.

Por lo tanto hay

43 3 6 18

2 tableros con 2 filas iguales.

2. Haciendo que todas las filas sean diferentes

Otra vez para la primera fila hay

46

2 posibilidades, podemos tomar como

ejemplo que la primera fila es NNBB. Una de las tres últimas filas tendrá casillas opuestas a la primera, en nuestro

ejemplo: BBNN, otra fila empezaría con BN y la última fila empezaría con NB, permutando estas tres filas hay 3! 6 posibilidades.

Hay 2 opciones para completar las dos últimas filas: BNNB, NBBN y BNBN, NBNB.

Por tanto hay: 6 6 2 72 tableros con todas las filas distintas. En total resultan: 18 72 90 maneras de pintar el tablero.

Rpta: D) 90

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