UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Clave-101-1-V-1-00-2015

CURSO MatemáticaBásica 1

SEMESTRE Primero

CÓDIGO DEL CURSO 101

TIPO DE EXAMEN Primer Examen Parcial

FECHA DE EXAMEN 18 De Febrero De 2015

NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN

Javier López

NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISO EL EXAMEN

Ing. Mario de León

Universidad de San Carlos de Guatemala Jornada matutina Facultad de Ingeniería Matemática Básica 1 Departamento de Matemática Temario F Guatemala 18 de febrero de 2015

Primer examen parcial Tema 1 (25 puntos) Determinar el valor del área sombreada:

Tema 2 (30 puntos) Resolver la desigualdad a) y las ecuaciones b) y c)

�� 32� � 2 � 12� 1 �� 2� 4 � 6 �� � 3� 6� �� √5� � 6 � √3� 7 1

Tema 3 (25 puntos) Por medio del planteo y resolución de una ecuación resuelva: La diagonal de un rectángulo

es � centímetros mayor que su altura y

� centímetros mayor que su base. Determinar las

dimensiones del rectángulo. Tema 4 (20 puntos) Un vitral se va a construir con vidrio de 3 colores (blanco, rojo y azul) en una ventana circular de 6 metros de radio, colocando un rectángulo inscrito cuya altura es el doble de la base. Calcule los metros cuadrados de cada color de vidrio que tendrá que comprar para diseñar el vitral, como se observa en la figura.

SOLUCIÓN DE EXAMEN

Tema 1 (25 puntos) Determinar el valor del área sombreada:

Determinar la altura del triángulo.

Encontrar las dimensiones del triángulo sombreado utilizando triángulos semejantesdeterminar ��

�4 � 4√38

� � 4 ∗ 4√38

� � 16 ∗ √38

� � �√�

�4 � 48

� � 4 ∗ 48

� � 4 ∗ 48

Determinar el valor del área sombreada:

� !� "#$� !�%� � �& �& � �� �

' � �(8� � (4�

' � √64 � 16

' � √48

' � √16 ∗ 3

' � 4√3 ) 6.93

Encontrar las dimensiones del triángulo sombreado utilizando triángulos semejantes

, � �

Encontrar las dimensiones del triángulo sombreado utilizando triángulos semejantes para

Paso 3. Con las dimensiones encontradas en el paso anterior encontrar ��

�� � � !� %! - .�/012# � 12 ∗ � ∗ ' � 12 ∗ � ∗ �

�� � 12 ∗ � ∗ �

�� � 12 ∗ (2� ∗ (2√3�

�� � 12 ∗ (2� ∗ (2√3�

�� � 2√3

Paso 4. Encontrar � restando el área del sector circular al triangulo.

� !� %! - .�/012# � 12 ∗ � ∗ '

� !� %! - .�/012# � 12 ∗ 4 ∗ 4√3

� !� %! - .�/012# � 12 ∗ 4 ∗ 4√3

3456 75 8496:;<=> � ?√�

� !� %!2 &!�-# �. �12� � 12 ∗ ∗ @

El Angulo"@"se obtiene, el triángulo cumple con los ángulos30° � 60° � 90°, donde la hipotenusa tiene una longitud 2, siendo ésta 8 unidades, la base 2/2, siendo 4 unidades, y la hipotenusa es √E 2, siendo 4√3.

� !� %!2 &!�-# �. �12� � @360 (F ∗ �

� !� %!2 &!�-# �. �12� � 60360 (F ∗ 4 �

� !� %!2 &!�-# �. �12� � 16 (F ∗ 16�

3456 75= G5H8>4 H94H<=64 � ?� I

3� � 3456 75 8496:;<=> � 3456 75= G5H8>4 H94H<=64

3� � ?√� � ?� I

�& � �� �

3G � �√� J?√� � ?� IK ) ?. LM�

Tema 2 (30 puntos) Resolver la desigualdad a) y las ecuaciones b) y c)

�� 32� � 2 � 12� 1 �� 2� 4 � 6 �� � 3� 6� �� √5� � 6 � √3� 7 1

6� ��, � � � N�, N

32� � 2 � 12� 1 � 0

3(2� 1�(2� � 2�(2� 1� � 1(2� � 2�(2� 1�(2� � 2� � 0

3(2� 1� � 1(2� � 2�(2� 1�(2� � 2� � 0

3(2� 1� � 1(2� � 2�(2� 1�(2� � 2� � 0

6� 3 � 2� 2(2� 1�(2� � 2� � 0

4� 5(2� 1�(2� � 2� � 0

Encontrando los puntos críticos del Numerador

4� 5 � 0

, � � OM

Encontrando los puntos críticos del denominador

2� 1 � 0

, � � N�

2� � 2 � 0

, � N

Reescribiendo los posibles intervalos de la solución

(�∞Q, Q� 54S , T� 54Q , Q� 12K , J� 12 , 1K , (1, ∞�

Factor/Intervalo (�∞Q, Q� 54S T� 54Q , Q� 12K, J� 12 , 1K (1, ∞�

4� 5 - + + + 2� 1 - - + + 2� � 2 - - - + Signo - + - +

La solución de la desigualdad se encuentra en los intervalos

T� OMQ , Q� N�K U(N, ∞�

V� �W� M � X �W� � �W XW

2� 4 � 6 �� � 3� 6�

� 2 � 3 �� � 3� 3�

� � 3� 2 � 3 �� � 3�

(� � 3� 2� � Y3 �� � 3�Z

�[�6�E 13� � 12� 4 � 9 (� � 3��

�[�6�E 13� � 12� 4 � 9� � 27�

�[�6�E 13� � 12� 4 � 9� 27� � 0

�[�6�E 4� 15� 4 � 0

\] � 41 � ±1, ±2, ±4±1 � ±1, ±2, ±4

Utilizando división sintética para obtener las raíces del polinomio

1 -6 4 15 4

1 1 -5 -1 14

1 -5 -1 14 18

1 no es solución

1 -6 4 15 4

-1 -1 7 -11 -4

1 -7 11 4 0

-1 es solución

Reescribiendo el polinomio

�E � 7� 11� 4 � 0

1 -7 11 4

4 4 -12 -4

1 -3 -1 0

4 es solución

Reescribiendo el polinomio

� � 3� � 1 � 0

Se utiliza la formula cuadrática para determinar las raíces restantes

�E,[ � �(�3� ± �(�3� � 4(1�(�1�2(1� � 3 ± √132

,N � �N

,� � M

,� � �_√N�� )3.30278

,M � �`√N�� )-0.302776

H� √O, � X � √�, a N √5� � 6 � √3� 7 1 √5� � 6 � √3� 7 � 1

(5� � 6� � 2√5� � 6 ∗ √3� 7 (3� 7� � 1 (5� � 6� � 2�(5� � 6� ∗ (3� 7� (3� 7� � 1 8� 1 � 2�(5� � 6� ∗ (3� 7� � 1

8� � 2�(5� � 6� ∗ (3� 7� � 0 2�(5� � 6� ∗ (3� 7� � 8� �(5� � 6� ∗ (3� 7� � 4�

Y�(5� � 6� ∗ (3� 7�Z � 16�

(5� � 6�(3� 7� � 16�

15� 17� � 42 � 16�

� � 17� 42 � 0

(� � 3�(� � 14� � 0

,N � � ,� � NM Comprobación

√O ∗ NM � X � √� ∗ NM a N

? � ?

14 si cumple con la igualdad

√O ∗ � � X � √� ∗ � a N

� ≠ O

3no cumple con la igualdad

Tema 3 (25 puntos) Por medio del planteo y resolución de una ecuación resuelva:

es � centímetros mayor que su altura y

dimensiones del rectángulo.

� �

�� � �(�28� �(�2� � �(�28� � �(�2

c �d �

Por medio del planteo y resolución de una ecuación resuelva: La diagonal de un rectángulo

centímetros mayor que su altura y � centímetros mayor que su base. Determinar las

,� � J, � L�K� J, � O�K�

� � � 9� 814 � � 5� 254

� � 2� � 14� 81 254

� � 2� � 14� 532

0 � � � 14� 532

2� � 28� 53 � 0

, � �V ± √V� � M6H�6

� �28� � 4(2�(53�2(2� � 28 √3604 ) 11.743416� �28� � 4(2�(53�2(2� � 28 � √3604 ) 2.25658351

Dimensiones

� NN. aM�MNX � L� ) a. �M�MNX

� NN. aM�MNX � O� ) L. �M�MNX

La diagonal de un rectángulo

centímetros mayor que su base. Determinar las

743416

25658351

Tema 4 (20 puntos) Un vitral se va a construir con vidrio de 3 colores (blanco, rojo y azul) en una ventana circular de 3 metros de radio, colocando un rectángulo inscrito cuya altura es el doble de la base. Calcule los metros cuadrados de cada color de vidrio que tendrá que comprar para diseñar el vitral, como se observa en la figura.

� �

vidrio de 3 colores (blanco, rojo y azul) en una ventana circular de 3 metros de radio, colocando un rectángulo inscrito cuya altura es el doble de la base. Calcule los metros cuadrados de cada color de vidrio que tendrá que comprar para

l, como se observa en la figura.

� (2�� � 144

� 4� � 144

5� � 144

� � 1445

e1445 � √5√5 ∗ e1445 � 125 ∗ √5

Area Vidrio Rojo

3fghigj ijkj � N� � ∗ '

3fghigj ijkj � � ∗ lN� m12 ∗ √55 n ∗ m12 ∗ √55 no

3fghigj ijkj � J144 ∗ 525 K � NMMO

Area Vidrio Azul

3fghigj pqrs � N� � ∗ '

3fghigj ijkj � � ∗ lN� m12 ∗ √55 n ∗ m12 ∗ √55 no

3fghigj ijkj � J144 ∗ 525 K � NMMO

Area Vidrio Blanco

3fghigj tspuvj � I ∗ 4� � 3fghigj pqrs � 3fghigj ijkj

3fghigj tspuvj � I ∗ (X�� � NMMO � NMMO

3fghigj tspuvj � �XI � �??O

3fghigj tspuvj � OO. MLa��O