Solucionario Separata 1

Universidad Nacional de Ingeniera Facultad de Ingeniera Industrial y de Sistemas

Solucionario Separata n1 Fsica Moderna Baldoceda Puentes Jushua 20101379J

1

SOLUCIONARIO SEPARATA 1 FISICA MODERNA

1. En un marco de referencia de un laboratorio, un observador nota que la segunda ley de Newton es vlida. Muestre que sta tambin es vlida para un observador que se mueve a una velocidad constante relativa al marco de laboratorio.

Sean:

S: sistema de referencia del observador que se encuentra en el laboratorio.

S: sistema de referencia del observador que se mueve a velocidad constante relativa al laboratorio.

Se sabe que en S se cumple que:

=

El problema nos pide demostrar que en S tambin cumple: =

Al aplicar las Transformaciones Galileanas sabemos que: =

Consideramos a la masa como una cantidad invariante y que es constante en el tiempo:

=

Con lo visto en los puntos anteriores, podemos afirmar que: = =

Se considera que slo depende de las posiciones relativas de y de las partculas que interactan con , con esto tenemos que los son cantidades invariantes, con esto y lo visto en los anteriores puntos tenemos que:

=

Con esto se queda demostrado que: =

2. Un carro de 2000 kg que se mueve a 20 m/s choca y se queda pegado a un carro de 1500 kg en reposo en un semforo. Demuestre que el momento se conserva en un marco de referencia que se mueve a 10 m/s en la direccin del carro en movimiento.

Sean:

S: sistema de referencia del observador que se encuentra en reposo.

S: sistema de referencia del observador que se mueve a velocidad constante relativa al sistema de referencia S (v=10 m/s).

El momento de este sistema de dos partculas est dado por:

= 11 + 22 = (1 + 2)

El problema nos pide demostrar q en S se conserva el momento:

=

En S se conserva el momento, as que:

2

=

11 + 22 = (1 + 2)

Remplazando los datos: (2000 )(20 ) + (1500 )(0 ) = (20000 + 15000 )

=80

7

= = 40000

En S tenemos que le momento del sistema seria: = 11 + 22 = (1 + 2)

Recordando las Transformaciones Galileanas tenemos: 1 = 1 1 = 1 + 2 = 2 2 = 2 + = = +

Siendo velocidad del observador que se encuentra en S ( = = 10 ) .

Consideramos a las masas como cantidades invariantes y que son constantes en el tiempo:

1 = 1 2 = 2

Remplazando los datos en la conservacin del momento en el sistema S:

1(1+) + 2(2 + ) = (1 + 2)( + )

11+1 + 22 + 2 = 1 + 1 + 2 + 2

11 + 22 = 1 + 2

Con esto se queda demostrado que: =

3. Una bola se lanza a 20 m/s dentro de un vagn que se mueve sobre las vas a 40 m/s. Cul es la velocidad de la bola relativa al suelo si sta se lanza a) hacia delante, b) hacia atrs y c) fuera de la puerta lateral?

Sean:

S: sistema de referencia del observador que se encuentra en reposo. S: sistema de referencia del observador que se encuentra en el vagn del tren.

Recordando las Transformaciones Galileanas tenemos: = = +

a) Hacia adelante = 20 = 40 = 60

b) Hacia adelante = 20 = 40 = 20

c) Hacia el lateral

= ()2 + ()2 = .

3

3.i. Una bola se lanza a una velocidad vb dentro de un vagn que se mueve sobre las vas a una velocidad v, Cul es la velocidad de la bola relativa al suelo si sta se lanza a) hacia delante, b) hacia atrs y c) fuera por la puerta lateral? Sean:

S: sistema de referencia del observador que se encuentra en reposo. S: sistema de referencia del observador que se encuentra en el vagn del tren.

Recordando las Transformaciones Galileanas tenemos: = = +

a) Hacia adelante = ( + )

b) Hacia atrs: = (1 )

c) Hacia el lateral = 1 +

4. En 1962, cuando Scout Carpenter orbit la Tierra 22 veces, la prensa seal que por cada rbita l envejeca 2,0 x 10-6 s menos que lo que hubiera envejecido al permanecer en la Tierra, a) suponiendo que estaba alejado 160 km de la Tierra en una rbita circular, determine la diferencia de tiempo entre alguien en la Tierra y Carpenter para las 22 rbitas.

(Sugerencia: Emplee la aproximacin 2/x1x1 para x pequeas) b) La informacin de la prensa es exacta? Explique.

Primero, determinemos el tiempo que emplea SC en dar una vuelta para un observador terrcola, luego, el tiempo para un observador en la nave. Calculamos la velocidad orbital, v, usando la dinmica circular, v SC R T Fc

( )? : cpFv mg h m

2

20 T

T

Rg

R hm

2v

R,

, : ,

: .

T TR h R R radiodelaTierra

m masadela nave

10

22 36400 10 656 0 310

2v 1

2 3 26400 10

656v

4

2, 27901,84 ?

Rde R v tv t t

v

Ahora, usando:

1/ 2

2' , 1 /t t v c

Usando la :

211 / 1,00000000034

2v c

6: 5216,2271065

0,0000018 1,8 10' : 5216,2271047

1,8t

st

a) Por lo tanto, para las 22 vueltas, rejuvenece,

1,8 22 39,6T ss b) No es exacta, es aproximada a la dcima,

1,8 2prensas s

1. Una nave espacial de 300 m de longitud propia tarda 0,75 s para pasar a un observador terrestre. Determine su velocidad de acuerdo a como la mide el observador en la Tierra.

Sabemos que la longitud es:

= Recordando las la ecuacin de la Contraccin de la Longitud:

=

Siendo: =1

12

2

Reemplazando los datos en las ecuaciones anteriores:

= 1 2

2

(0.75 106 ) = (300 )1 2

(3108 )2

= 24 107 = .

5

5.i) Una nave espacial de longitud Lp propia tarda t segundos para pasar a un observador terrestre. Determine su velocidad de acuerdo a como la mide el observador en la Tierra.

Sabemos que la longitud es:

= Recordando las la ecuacin de la Contraccin de la Longitud:

=

Siendo: =1

12

2

Igualando las ecuaciones:

= 1 2

2

(

)

2

= 1 2

2

2 (2

2 +

1

2) = 1

Despejando la velocidad:

=

+

2. Una nave espacial se mueve a 0.90 c. Si su longitud es L0 cuando se mide desde el interior de la misma, Cul es su longitud medida por un observador terrestre?

Recordando las la ecuacin de la Contraccin de la Longitud:

=

Siendo: =1

12

2

Reemplazando los datos en las ecuaciones anteriores:

= 01 (0.9)2

2

Resolviendo tenemos:

= .

3. El pin tiene una vida promedio de 26,0 ns cuando est en reposo. Para que recorra 10,0 m Qu tan rpido debe moverse?

La distancia que recorrer el pin (d) ser: = Siendo la vida promedio del pin Recordando la ecuacin de la Dilatacin del Tiempo:

=

Siendo: =1

12

2

6

Igualando las ecuaciones anteriores:

=

12

2

1 2

2=

Reemplazando los datos:

(10 )1 2

(3108 )2= (26 109 )

= 2.366 108

= .

11. Determine el momento de un protn en unidades de MeV/c si su energa total es el doble de su energa en reposo.

Sabemos que la ecuacin de la Energa Total es:

2 = ()2 + (2)2 Siendo 2 la energa en reposo

Nos dice que la Energa Total es el doble de la Energa en Reposo: = 2

2

()2 + (2)

2= (2

2)2

= 3 (2

)

Sabemos que la masa d un protn es: = 1.67

Reemplazando los datos en la ecuacin:

= 3(1.67 1027)(3 108 )2 / = 2.6031010 /

Para pasar de J a Ev 1 = 1.6 1019

Pasando el momento a eV/c:

= .

12. Muestre que la relacin energa-momento E2 = p2 c2 + (mc2)2 se deriva de las expresiones E =

mc2 y p = mv.

Elevando al cuadrado ambas expresiones, y multiplicamos por 2 a la del momento: 2 = 224 22 = 2222

Restando ambas ecuaciones: 2 22 = 224 2222 2 22 = 222(2 2)

Siendo:

=1

12

2

2 =1

12

2

2 =2

22

Reemplazando en la ecuacin anterior:

2 22 =2

2222(2 2)

= () + ()

7

13. Un protn se mueve a 0,95 c. Calcule su a) energa en reposo, b) energa total y c) energa

cintica.

a) Sabemos que la Energa en Reposo es: = 2 Y que la masa del protn es: = 1.67 10

27

Reemplazando los datos en la ecuacin: = (1.67 1027 )(3 108 )2

= . = .

b) Sabemos que la Energa Total es: = 2

=2

12

2


=(1.671027 )(3108 )

2

1(0.95)2

2

= . = .

c) Sabemos que la Energa Cintica es: = 2 2

= 2 (1

12

2

1)


= (1.67 1027 )(3 108 )2 (1

1(0.95)2

2

1)

= . = .

14. Determine la velocidad la velocidad de una partcula cuya energa total es el doble de su energa en reposo. Sabemos que la ecuacin de la Energa Total es:

= 2 Siendo 2 la energa en reposo

Nos dice que la Energa Total es el doble de la Energa en Reposo: = 2

2

2 = 22

= 2

8

Sabemos que :

=1

12

2


1

12

2

= 2 1

2= 1

2

2

1

4= 1

2

2

2

2=

3

4

Despegando v tenemos:

= .

15. Determine la energa requerida para acelerar un electrn de a) 0,50 c a 0,90c y b) 0,90c a 0,99c. Lo que nos pide es la diferencia de energas totales de un electrn entre las velocidades inicial y final =

Sabemos que la ecuacin de la Energa Total es

= 2 2

12

2

Y la masa del electrn es: = 9.1110

31

a) = 0.5 = 0.9


=(9.111031 )2

1(0.5 )2

2

=(9.111031)2

1(0.9 )2

2

= 9.467 10

14 = 18.810 1014

Entonces la energa necesaria para acelerar el electrn ser: = 18.810 1014 9.4671014 :

= . = .

b) = 0.9 = 0.99


=(9.111031)2

1(0.9 )2

2

=(9.111031)2

1(0.99 )2

2

= 18.810 10

14 = 58.121 1014

Entonces la energa necesaria para acelerar el electrn ser: = 58.121 1014 18.810 1014 :

= . = .

9

16. Se aceleran electrones hasta una energa de 20 GeV en el Acelerador Lineal de Stanford de

3.0 km de largo. a) Cul es el factor para los electrones? B) Cul es su velocidad? c) Qu longitud tiene para ellos el acelerador?

a) La energa que alcanzan los electrones es:

= 20109 = 3.2109 Sabemos que la Energa Total es: = 2 Y que la masa del electrn es: = 9.11 10

31 Igualando las ecuaciones anteriores:

2 = 3.2 109 =

3.109

2


=3.2109

(9.111031)(3108 )2

= .

b) Sabemos que:

=1

12

2

Despejando la velocidad:

= 1 1

2

Reemplazando los datos anteriores:

= (3108)1 1

(3.903104)2

= 299999999.9

= .

c) Conocemos la ecuacin de la Contraccin de la Longitud:

=

Para los electrones es el acelerador que se mueve as que para ellos la longitud propia es la longitud del acelerador: Ingresando los datos:

=3103

3.903104

= .

10

17. Un pin en reposo (m = 270 mc) decae en un mun (m = 206 mc) y un antineutrino (mv = 0):

- - + v

. Encuentre la energa cintica del mun y del antineutrino en electrn volts. (Sugerencia: El momento relativista se conserva).

Conocemos la ecuacin de la Energa Total, y el de la Energa Total en relacin con la Energa Cintica: 2 = ()2 + (2)2 = + 2 Siendo: = 2 Se conserva el momento relativista: = +

Se conserva la Energa: = +

La Energa Total del pin es: = +

2

Como en el inicio el pin est en reposo (velocidad = 0), carece de energa cintica, es decir, K es 0. As que slo queda:

= 2

Como el pin se encuentra en reposo inicialmente, su momento es nulo: = 0

La Energa Total del mun es: = +

2

2 = ()

2+ (

2)2

Elevando al cuadrado la primera e igualando ambas ecuaciones tenemos:

()2

+ 22 + (

2)2 = ()2

+ (2)2

()2

= ()2

+ 22

La Energa Total del antineutrn es:

2 = ()

2 + (2)2

Pero la masa del antineutrn es nula (mv=0)

2 = ()

2 =

=

Otra forma de hallar la Energa total es: = +

2

Pero la masa del antineutrn es nula (mv=0), e igualando con la ecuacin anterior: = =

=

En la conservacin del momento:

0 = +

Pasado al otro lado y elevando al cuadrado y luego reemplazando:

()2

= ()2

11

()2

+ 22 = ()

2

En la conservacin de la Energa:

2 = + 2 +

Reemplazando los datos: (270 )

2 = + (206)2 +

+ = 64 2

()2

+ 2(206 )2 = ()

2

()2 ()

2= (412)

2

Reemplazando lo obtenido anteriormente:

( )( + ) = (412)2

( )(64 2) = (412)

2

64 2 = 476

2

Sabemos que = 9.11 10

31

Operado conseguimos los valores:

= . = .

= . = .

19. La salida de potencia del Sol es de 3,8 x 1026W. Cunta masa en reposo se convierte en energa cintica en el Sol cada segundo?

Sabemos que la ecuacin de la Potencia es:

=

t

Y que el trabajo es: = = t Conocemos la ecuacin de la Energa Reposo: = 2

Reemplazando los datos: (3.8 1026 ) (1 s) = (3 108 )2

= .

20. Una nave espacial se aleja de la Tierra a 0,50c y dispara una nave transbordadora que viaja hacia delante a 0,50 c relativas a la nave espacial. El piloto del trasbordador dispara una sonda hacia delante a una velocidad de 0,50 c relativas al trasbordador. Determine a) la velocidad del trasbordador relativa a la Tierra y b) la velocidad de la sonda relativa a la Tierra.

Aplicando las Transformaciones de la Velocidad:

=+

1+

2

12

Donde: : Velocidad del objeto respecto al sistema de referencia en movimiento. Velocidad del objeto respecto a la tierra. Velocidad del sistema de referencia en movimiento respecto a la tierra.

a) Aplicando esta ecuacin para la nave transbordadora:

=0.5 +0.5

1+(0.5 )(0.5 )

2

= .

b) Aplicando esta ecuacin para la nave sonda:

=0.5 +0.8

1+(0.5 )(0.8 )

2

= .

20.i. Una nave espacial se aleja de la Tierra a una velocidad v y dispara una nave trasbordadora que viaje hacia delante a una velocidad v relativa a la nave. El piloto del trasbordador dispara una sonda hacia delante a una velocidad v relativa al trasbordador. Determine

a) la velocidad del trasbordador relativa a la Tierra y b) la velocidad de la sonda relativa a la Tierra

Aplicando las Transformaciones de la Velocidad:

=+

1+

2

=2(+)

2+

Donde: : Velocidad del trasbordador respecto a la nave espacial. : Velocidad de la sonda respecto al trasbordador. Velocidad del objeto respecto a la tierra. Velocidad de la nave espacial respecto a la tierra.

a) Aplicando esta ecuacin para la nave transbordadora:

=2(+)

2+()

=

+

b) Aplicando esta ecuacin para la nave sonda:

=2(+

22

2+2)

2+(22

2+2)

Multiplicando numerador y denominador por (2 + 2) 2

=(2+2)+22

(2+2)+22

= +

+

13

21. La reaccin nuclear neta dentro del Sol es 4p 4He + E. Si la masa en reposo de cada protn es de 938,2 MeV y la masa en reposo del ncleo de 4He es de 3727 MeV, calcule el porcentaje de la masa inicial que se libera como energa.

Aplicando la ecuacin de la Energa Total:

= + 2 La energa que se libera es: E =

De dato nos dan:

2 = 938.2 106

2 = 3727 106

Hallamos la energa de los 4 protones: = + 4

2

Como los protones estn en reposo, la energa cintica de los protones es nula, es decir Kp=0.

Reemplazando los datos: = 4

2

= 3752.8 106

Hallamos la energa del ncleo de He: = + 4

2

Como los protones estn en reposo, la energa cintica de los protones es nula, es decir KHe=0.

Reemplazando los datos: =

2 = 3727 10

6

Hallamos la diferencia de energas: E = 3752.8 106 3727 106 E = 25.8 106

Hallamos el porcentaje:

% = E

100%

% = 25.8106

3752.8106 100%

% = . %

22. Un cohete se mueve hacia un espejo a 0,80c con relacin al marco de referencia S en la

figura. El espejo est estacionario relativo a S. Un pulso de luz emitido por el cohete viaja hacia el espejo y se refleja de regreso al cohete. El frente del cohete est a 1,8 x 1012 m del espejo (segn miden los observadores en S) en el momento en que el pulso luminoso sale del cohete Cul es el tiempo de viaje total del pulso segn miden los observadores en a) el marco S, y b) el frente del cohete?

Sabemos que la velocidad del pulso de luz es de c

14

Sabemos que: = Reemplazando los datos, para hallar el tiempo que se demora en llegar el pulso de luz al espejo: 1.8 1012 = (3 108 ) = 6 103 Hallamos la distancia que recorre el cohete en : = 0.8(3 108 )(6 103 ) = 1.44 1012 Quedando 3.6 1011 , que sern recorridos por el pulso de luz y el cohete en un tiempo : 3.6 1011 = (3 108 ) + 0.8(3 108 )

= 66662

3

a) El tiempo total para el observador en reposo:

= + = 6.667 103

b) Para el observador en el cohete, nos fijamos en la dilatacin del tiempo:

= =


= (6.667 103 )1 (0.8)2

2

=

22.i. Un cohete se mueve hacia un espejo a una velocidad v con relacin al marco de referencia S en la figura. El espejo est estacionario relativo a S. Un pulso de luz emitido por el cohete viaja hacia el espejo y se refleja de regreso al cohete. El frente del cohete est a una distancia D del espejo (segn miden los observadores en S) en el momento en que el pulso luminoso sale del cohete Cul es el tiempo de viaje total del pulso segn miden los observadores en a) el marco S, y b) el frente del cohete?

V = 0,8

S Espejo 0 Sabemos que la velocidad del pulso de luz es de c Sabemos que: = Reemplazando los datos, para hallar el tiempo que se demora en llegar el pulso de luz al espejo: =

=

15

Hallamos la distancia que recorre el cohete en : = t

=

Quedando , que sern recorridos por el pulso de luz y el cohete en un tiempo :

= +

=()

(+)

c) El tiempo total para el observador en reposo:

= +

+

()

(+)

(1 +

+)

= 2

+

d) Para el observador en el cohete, nos fijamos en la dilatacin del tiempo:

= =


=2

+1

2

2

=

( + )

25. Imagine una nave espacial que parte de la Tierra movindose a velocidad constante hacia el todava no descubierto planeta Retah, el cual se encuentra a 20 horas luz de la Tierra. Se requieren 25 h (de acuerdo con un observador terrestre) para que la nave llegue q este planeta. Suponiendo que los relojes sobre la tierra y en la nave espacial estn sincronizados al principio del viaje, compare el tiempo transcurrido en el marco de la nave espacial para un trayecto de ida con el tiempo transcurrido en el marco de la Tierra.

La distancia entre Retah y la Tierra es de:

= (20 ) Sabemos que:

=

Reemplazando datos y comparando ambas ecuaciones tenemos: (20 ) = (25) = 0.8

Aplicando la ecuacin de la Dilatacin del Tiempo: =

Siendo: =1

12

2


(25) =

1(0.8 )2

2

= Ambos relojes difieren en 10 h!

16

26. Considere dos marcos de referencia inerciales S y S, donde S se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 0,60c relativa a S. Un regla de 1,0 m de longitud propia se mueve desde la izquierda hacia los orgenes de S y S, y la longitud de la misma es de 50 cm cuando mide un observador en S a) Determine la velocidad de la regla de acuerdo a como la miden observadores en S y S b) Cul es la longitud de la regla cuando la mide un observador en S?


=

Siendo: =1

12

2

Y las ecuaciones de Transformacin de Velocidades:

= +

1 +

2

a) En el sistema S que se encuentra en movimiento a una velocidad V*=0.6c,

para este sistema se toma como si estuviera en reposo y solo es la regla la que se mueve. Entonces tenemos la ecuacin reemplazando los datos:

0.5 = (1 )1 ()2

2

=

= .

Escogemos el valor negativo, ya que la regla se mueve en direccin contraria al sistema S Recordemos que la longitud propia siempre va a ser la misma en cualquier sistema de referencia Ahora en el sistema de referencia S, con la ecuacin de Transformacin de las Velocidades:

=+

1+

2


=(

)+(0.6 )

1+(

)

(0.6 )

2

=

= .

Nos sale el valor negativo, ya que la regla se mueve en direccin al origen del sistema S.

b) Ingresando los datos a la educacin de la Contraccin de la Longitud:

= (1 )1 (

1532373

c)2

2

= .

17

26.i. Considere dos marcos de referencia inerciales S y S, donde S se mueve hacia la derecha con una velocidad constante v relativa a S. Un regla de longitud propia Lp se mueve desde la izquierda hacia los orgenes de S y S, y la longitud de la misma es L cuando la mide un observador en S a) Determine la velocidad de la regla de acuerdo a como la miden observadores en S y S b) Cul es la longitud de la regla cuando la mide un observador en S?


=

Siendo: =1

12

2


= +

1 +

2

c) En el sistema S que se encuentra en movimiento a una velocidad V, para este sistema se toma como si estuviera en reposo y solo es la regla la que se mueve:

= 1 ()2

2

= (1 (

)

2

)

= ( )

Escogemos el valor negativo, ya que la regla se mueve en direccin contraria al sistema S Recordemos que la longitud propia siempre va a ser la misma en cualquier sistema de referencia Ahora en el sistema de referencia S, con la ecuacin de Transformacin de las Velocidades:

=+

1+

2


=(

22 )c

+

1+(

22 )c

()

2

=

( ) +

+ ( )

d) Ingresando los datos a la educacin de la Contraccin de la Longitud: e)

= ()

1

((

22)2+

+(22)

)

2

2

Elevando al cuadrado y resolviendo:

18

Sea = 2 2

= ()1 (

2222)+(22)2

(22)+(

2222)2

= ()[(2

2)+(2222)2][(

2222)+(22)2]

(22)+(

2222)2

Simplificando:

= ()2(22)

(22)+(

2222)2

()

+ ( )

( )

27. Dos cohetes estn a punto de chocar. Se mueven a 0,800c y 0,600c y estn al principio separados por 2,52 x 1012 m de acuerdo a una medicin efectuada por Liz, la observadora terrestre en la figura. Los dos cohetes miden 50,0 m de largo segn Liz. a) Cules son sus longitudes propias respectivas? b) Cul es la longitud de cada cohete medida por un observador en el otro cohete? c) De acuerdo con Liz, Cunto tiempo falta para que los cohetes choquen? d) En relacin con el cohete 1, Cunto tardan en chocar los cohetes? e) En relacin con el cohete 2, Cunto tardan en chocar los cohetes? f) Si ambas tripulaciones de los cohetes son capaces de realizar la evaluacin total en 90 min (su tiempo propio), Habr algunas vctimas?

Cohete1 Cohete 2 0,800c 0,600c 2,52 x1012m Liz Recordando las la ecuacin de la Contraccin de la Longitud:

=

=

Siendo: =1

12

2


= +

1 +2

a) Reemplazando los datos para cada cohete:

1 =50

1(0.8 )2

2

2 =50

1(0.6 )2

2

= . = .

19

b) Usando las ecuaciones de las transformaciones de la velocidad:

=

1

2

Reemplazando los datos para cada cohete:

1 =(0.6 )(0.8 )

1(0.6 )(0.8 )

2

2 =(0.8 )(0.6 )

1(0.8 )(0.6 )

2

1 = 35

37 = 0.946 2 =

35

37 0.946

Por la contraccin de la longitud:

1/2 = (83.33 )1 (0.946 )2

2 2/1 = (62.5)1

(0.946 )2

2

/ = . / = .

c) La distancia que ambos cohetes recorrern es de: = 1 + 2 Reemplazando los datos: 2.52 1012 = (0.8 ) + (0.6 )

=

d) Por la contraccin de la longitud:

=


= (2.52 1012 )1 (0.8 )2

2

= 1.512 1012 Ahora par que llegue el cohete 2: = 1 Reemplazando los datos: 1.512 1012 = (0.946 ) =

e) Por la contraccin de la longitud:

=


= (2.52 1012 )1 (0.6 )2

2

= 2.016 1012 Ahora par que llegue el cohete 2: = 2 Reemplazando los datos: 2.016 1012 = (0.946 ) =

Solucionario Separata 1

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