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Si la matriz A es no singular entonces su deterinanate cumple que det A � 0. El métod del determinante aplica elconcepto dela REGLA DE CRAMER. Esta regla realiza una sustitución especial talque un sistema Ax=B puede resolver como:

����

�

�

����

�

�

nn

n

n

nn

i

a

aa

ba

baba

Dx

....

............

................

........

.........

det1 2

1

1

221

111

(7.6)

donde D = det A y para cada solución Xi, se realiza una sustitución de la i-ésima columna por el vector columna B. Este método requiere de n! multiplicaciones/divisiones y de n!-1 sumas/restas, un número de operaciones muy inferior al número de operaciones usuales de una inversa. 7.4. SISTEMAS NO LINEALES DE ECUACIONES La forma más general de representar un sistema de ecuaciones no lineales es:

f1(x1,....,xn)=0 f2(x1,....,xn)=0

.... (7.7) fn(x1,....,xn)=0

donde cada función fi puede interpretarse como un mapeo de un vector x = (x1,x2,....,xn)

t del espacio n-dimensional Rn en la recta real R. De este modo el sistema puede representarse como F tal que: F(x1,....xn) = (f1(x1,....xn), f2(x1,….xn),...., fn(x1,....,xn))

t ó, F(x)=0, ó

����

�

�

����

�

�

nnnn

n

n

xxx

xxxxXx

F

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

.....

................

....

....

(7.8)

El índice fila representa la ecuación a la cual pertenece la x j-ésima variable mientras el índice columna representa la variable en la i-ésima ecuación. Un sistema de ecuaciones son lineales puede ser resuelto por métodos numéricos que por lo general son generalización del método de newton para solución de ecuaciones de una variable.

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7.4.1. Metodo de Newton El método de Newton se basa en el concepto de la convergencia de un punto fijo, que para este caso particular se puede hacer la analogía con un vector G. La ecuación a resolver es: G(x) = x – J(x)-1 F(x), donde x es el vector representativo de las variables (x1,....xn) y J es el Jacobiano de x. En un esquema iterativo esta ecuación puede escribirse como: Xk(x) = xk-1 – J(x)-1(k-1) F(x)(k-1). Esta ecuación resuelta de forma iterativa como el método clásico de Newton permite encontrar una solución para F(x)=0 siempre y cuando se conozca un punto inicial y la inversa de cada Jacobiano J(x)-1 exista. La técnica de solución que se sigue es exactamente igual al caso de método de Newton clásico. 7.4.2. Metodo de Broyden Este método es una generalización del método de la secante utilizado para resolver ecuaciones de una sola variable y tiene la ventaja de menores requerimientos en el número de cálculos. Esta técnica calcula la primera iteración de la forma empleada pro el método de Newton que se definió en el ítem anterior. Pero para la segunda iteración se tiene que el principio del método de la secante simplifica el tedioso cálculo del Jacobiano J mediante le cálculo de una Matriz A. Para la primera iteración : X1(x) = x0 – J(x)-1(0) F(x)(0)

Para las demás iteraciones : Xk(x) = xk-1 – A(x)-1(k-1) F(x)(k-1) donde k=1,....,n; donde,

)(

)(

)(1)()1(

2

11

ii

ii

ti

i

iiiii

xFAxx

SSSAy

AA

�

�

;

)1()(

)1()( )((

ii

i

iii

xXS

xFxFy

7.4.3. Técnicas de Descenso Rápido La rapidez de convergencia es la ventaja más prominente de los método Newtonianos, pero la desventaja radica en que se requiere siempre un punto inicial para su solución, la cual influye de sobremanera en la velocidad de convergencia del método

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La técnica de descenso rápido es una técnica auxiliar de los métodos newtonianos que se utiliza para encontrar una aproximación inicial adecuada. Sea un sistema de ecuaciones no lineales,

f1(x1,....,xn)=0 f2(x1,....,xn)=0

. ... (7.10) fn(x1,....,xn)=0

se tiene una solución en x= (x1,....,xn)

t y es allí donde una función G existe y se cumple que:

G(x1,....,xn) = � [ fi (x1,….,xn)]2

El método consiste también en una estrategia iterativa que se resuelve basado en la ecuación:

Xk(x) = xk-1 – �G(x (k-1)) (7.11) El método busca evaluar consecutivamente G partiendo de un punto arbitrario y avanzar en la dirección que signifique un descenso en el valor G (en la dirección opuesta al gradiente de G) hasta que se cumpla una tolerancia determinada.

�

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