Sistemas dinamicos

UNIVERSIDADNACIONALABIERTAYADISTANCIA UNADESCUELADECIENCIASBSICAS,TECNOLOGAEINGENIERACONTENIDODIDCTICODELCUSO:201527SISTEMASDINMICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

PROGRAMA DE INGENIERA ELECTRNICA

201527 SISTEMAS DINMICOS

DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA Director Nacional

JAIRO HERNAN LOPEZ BAYONA Acreditador

NEIVA Julio de 2009


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente mdulo fue diseado en el ao 2007 por el ingeniero Diego Fernando Sendoya Losada, tutor de la UNAD, y ubicado en el CEAD de Neiva, el ingeniero Sendoya es Ingeniero Electrnico de la Universidad Surcolombiana, especialista en Automatizacin Industrial de la Universidad de Ibagu, y candidato a Master de la misma universidad, se ha desempeado como tutor de la UNAD desde el 2005 hasta el ao 2009 y ha sido catedrtico de diversas universidades del departamento del Huila. El presente mdulo ha tenido dos actualizaciones desarrolladas por el mismo ingeniero Sendoya en los aos 2008 y 2009. El ingeniero Sendoya se desempea actualmente como director del cuso a nivel nacional. En el ao 2009 el ingeniero Jairo Hernn Lpez Bayona, tutor del CEAD Sogamoso, apoy el proceso de revisin de estilo del mdulo y dio aportes disciplinares, didcticos y pedaggicos en el proceso de acreditacin de material didctico desarrollado en el mes de JULIO de 2009.


INTRODUCCIN El curso de Sistemas Dinmicos es de tipo metodolgico, pertenece al campo de formacin profesional especfico y es ofrecido dentro del portafolio de cursos especficos para el rea profesional del programa de tecnologa e ingeniera electrnica de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Tiene como objetivo principal desarrollar en el estudiante la habilidad para el manejo de un conjunto de herramientas analticas que le permitan modelar y analizar plantas y sistemas de control lineales e invariantes en el tiempo tanto continuo como discreto; todo esto a travs de la estrategia de educacin abierta y a distancia. El curso tiene 2 crditos acadmicos, los cuales comprenden el estudio independiente y el acompaamiento tutorial, con el propsito que el estudiante: Reconozca sistemas dinmicos lineales e invariantes en el tiempo y est en

capacidad de modelarlos matemticamente para conocer su respuesta a travs de los diagramas obtenidos con un proceso matemtico.

Pueda analizar la estabilidad de los sistemas de control, a partir de los

modelos matemticos de los sistemas dinmicos. Comparta sus logros, experiencias y dudas con su tutor y sus compaeros de

curso, futuros colegas. Desarrolle procesos y habilidades necesarias para su continua formacin en el

mbito personal, social y profesional. Este curso est compuesto por DOS (2) unidades didcticas, a saber: Unidad 1. Representacin de los Sistemas Dinmicos. Trata en primer lugar, los aspectos introductorios y la terminologa referente al rea de control, en segundo lugar, introduce y refuerza el manejo matemtico necesario para el modelado de los sistemas dinmicos, como lo es la transformada de Laplace y la transformada Z, y en tercer lugar trata las diferentes representaciones que se pueden utilizar para analizar los sistemas dinmicos.


Unidad 2. Anlisis de los sistemas dinmicos. Trata los diferentes mtodos de anlisis que se utilizan en control, como son el anlisis en el dominio del tiempo, el anlisis en el dominio de la frecuencia, anlisis mediante el lugar geomtrico de las races y anlisis en el espacio de estados. La metodologa a seguir ser bajo la estrategia de educacin a distancia. Por tal razn, ser importante planificar los procesos de: Estudio Independiente: este se desarrollar a travs del trabajo personal y

del trabajo en pequeos grupos colaborativos de aprendizaje. Acompaamiento tutorial: corresponde al acompaamiento que el tutor

realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formacin. Este acompaamiento se puede adelantar de forma individual, en pequeos grupos o a nivel de grupo de curso.

La evaluacin del curso se define como cualitativa - participativa, y mide la calidad de los procesos y productos de aprendizaje. Se evidencia desde las formas de: Autoevaluacin: evaluacin que realiza el estudiante para valorar su propio

proceso de aprendizaje. Coevaluacin: se realiza a travs de los grupos colaborativos, y pretende la

socializacin de los resultados del trabajo personal. Heteroevaluacin: Es la valoracin que realiza el tutor del proceso de

aprendizaje. Otro aspecto a considerar dentro del curso es el sistema de interactividades, el cual vincula a los actores del proceso mediante diversas actividades de aprendizaje que orientan el trabajo de los estudiantes hacia el logro de los objetivos que se pretenden. Se puede dar de la siguiente manera: Tutor-estudiante: a travs del acompaamiento individual. Estudiante-estudiante: mediante la participacin activa en los grupos

colaborativos de aprendizaje.


Estudiantes-tutor: a travs del acompaamiento a los pequeos grupos

colaborativos de aprendizaje. Tutor-estudiantes: mediante el acompaamiento en grupo de curso Estudiantes-estudiantes: en los procesos de socializacin que se realizan en

el grupo de curso. Para el desarrollo del curso es importante el papel que juegan los recursos didcticos y tecnolgicos como medio activo e interactivo, buscando la interlocucin durante todo el proceso de dilogo tutor-estudiante. Se tienen diferentes opciones y tecnologas, las cules deben ser empleadas de la mejor forma de acuerdo al espacio, y a los objetivos propuestos en cada curso. Algunas de las ms empleadas, son: Materiales virtuales: Son el soporte fundamental para el curso y para

favorecer los procesos de aprendizaje autodirigido. Estos contenidos sern publicados en la plataforma virtual de la UNAD.

Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interaccin y la

produccin de nuevas dinmicas educativas. Sistemas de interactividades sincrnicas: permite la comunicacin a travs

de encuentros presnciales directos o de encuentros mediados (Chat, audio conferencias, videoconferencias, tutoras telefnicas).

Sistemas de interactividades asincrnicas: permite la comunicacin en

forma diferida favoreciendo la disposicin del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje (correo electrnico, foros, grupos de discusin, entre otros).

El acceso a documentos complementarios adquiere una dimensin de suma importancia, en tanto la informacin sobre el tema exige conocimientos de actualidad. En la medida que el estudiante interiorice y aplique los puntos abordados anteriormente, podr obtener los logros propuestos en este curso, as como un


aprestamiento en los enfoques de la ingeniera mediante la estrategia de educacin a distancia.


INDICE DE CONTENIDO UNIDAD 1.......................................................................................................................................... 14 CAPITULO 1: SISTEMAS DE CONTROL ........................................................................................ 15 INTRODUCCIN............................................................................................................................... 15 Leccin 1: ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE CONTROL............................................................. 16 1. ELEMENTOS DE CONTROL........................................................................................................ 16 2. ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE CONTROL AUTOMTICO ................................................. 18 3. TIPOS DE VARIABLES................................................................................................................. 21 4. SEALES DE COMUNICACIN .................................................................................................. 23 Leccin 2: SISTEMAS CONTINUOS Y DISCRETOS....................................................................... 24 1. SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS..................................................................................... 24 2. SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS ..................................................................................... 25 3. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL ................................................................................. 27 Leccin 3: TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL ............................................................................ 28 1. CONTROL EN LAZO CERRADO ................................................................................................. 29 2. CONTROL EN LAZO ABIERTO.................................................................................................... 29 Leccin 4: EFECTOS DE LA REALIMENTACIN ........................................................................... 30 Leccin 5: MTODOS DE CONTROL .............................................................................................. 33 1. MTODOS DE CONTROL CLSICO........................................................................................... 33 2. MTODOS DE CONTROL MODERNO........................................................................................ 34 3. MTODOS DE CONTROL AVANZADO....................................................................................... 35 CAPITULO 2: HERRAMIENTAS MATEMTICAS............................................................................ 37 INTRODUCCIN............................................................................................................................... 37 Leccin 1: TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................................... 40 1. FUNCIONES COMPLEJAS .......................................................................................................... 40 2. DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................... 43 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES ......................................... 45 3.1. Funcin Impulso Delta de Dirac .............................................................................................. 45 3.2. Funcin Escaln......................................................................................................................... 46 3.3. Funcin Rampa .......................................................................................................................... 47 3.4. Funcin Exponencial .................................................................................................................. 48 3.5. Funcin Senoidal........................................................................................................................ 49 Leccin 2: PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.................... 52 1. MULTIPLICACIN POR UNA CONSTANTE ............................................................................... 52 2. LINEALIDAD.................................................................................................................................. 53 3. TRASLACIN COMPLEJA........................................................................................................... 53 4. TRASLACIN EN EL TIEMPO ..................................................................................................... 54 5. CAMBIO DE ESCALA ................................................................................................................... 54 6. DIFERENCIACIN REAL ............................................................................................................. 55 7. INTEGRACIN REAL ................................................................................................................... 56 8. DIFERENCIACIN COMPLEJA ................................................................................................... 57 9. TEOREMA DEL VALOR INICIAL.................................................................................................. 57 10. TEOREMA DEL VALOR FINAL .................................................................................................. 58 11. INTEGRAL DE CONVOLUCIN................................................................................................. 58 Leccin 3: TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE .................................................................. 61 1. FRACCIONES PARCIALES.......................................................................................................... 62 1.1. Races Reales Simples .............................................................................................................. 62


1.2. Races Complejas Simples ........................................................................................................ 64 1.3. Races Mltiples ......................................................................................................................... 68 2. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES....................................................................... 70 Leccin 4: TRANSFORMADA Z .................................................................................................... 73 1. DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA Z ................................................................................ 73 2. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES ELEMENTALES .......................................................... 74 2.1. Funcin Delta de Kronecker....................................................................................................... 74 2.2. Funcin Escaln Unitario ........................................................................................................... 75 2.3. Funcin Rampa Unitaria............................................................................................................. 75 2.4. Funcin Polinomial ..................................................................................................................... 76 2.5. Funcin Exponencial .................................................................................................................. 77 2.6. Funcin Senoidal........................................................................................................................ 78 3. PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA Z .................................................. 81 3.1. Multiplicacin por una Constante ............................................................................................... 81 3.2. Linealidad ................................................................................................................................... 81 3.3. Multiplicacin por ka .................................................................................................................. 82 3.4. Traslacin Compleja................................................................................................................... 83 3.5. Traslacin Real .......................................................................................................................... 83 3.6. Suma de Funciones ................................................................................................................... 84 3.7. Teorema del Valor Inicial............................................................................................................ 85 3.8. Teorema del Valor Final ............................................................................................................. 85 Leccin 5: TRANSFORMADA Z INVERSA ................................................................................... 86 1. MTODO DE DIVISIN DIRECTA............................................................................................... 88 2. MTODO DE FRACCIONES PARCIALES................................................................................... 90 3. MTODO DE LOS RESIDUOS..................................................................................................... 96 4. SOLUCIN DE ECUACIONES EN DIFERENCIA...................................................................... 100 CAPITULO 3: MODELADO DE SISTEMAS DINMICOS.............................................................. 102 INTRODUCCIN............................................................................................................................. 102 Leccin 1: SISTEMAS FSICOS Y MODELOS............................................................................... 105 1. SISTEMAS ELCTRICOS .......................................................................................................... 105 2. SISTEMAS MECNICOS ........................................................................................................... 111 3. SISTEMAS DE NIVEL DE LQUIDO........................................................................................... 114 4. SISTEMAS TRMICOS .............................................................................................................. 121 Leccin 2: FUNCIN DE TRANSFERENCIA ................................................................................. 125 1. RESPUESTA IMPULSO ............................................................................................................. 125 2. FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS CONTINUOS .............................................. 127 3. FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS DISCRETOS............................................... 129 3.1. Muestreo de una Seal ............................................................................................................ 129 3.2. Retencin de Datos.................................................................................................................. 131 3.3. Teorema del Muestreo ............................................................................................................. 132 3.4. Funcin de Transferencia Pulso .............................................................................................. 137 Leccin 3: SISTEMAS NO LINEALES ............................................................................................ 140 Leccin 4: DIAGRAMAS DE BLOQUES......................................................................................... 144 1. ELEMENTOS DE UN DIAGRAMA DE BLOQUES ..................................................................... 144 2. REDUCCIN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES PARA SISTEMAS CONTINUOS .................... 146 3. REDUCCIN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES PARA SISTEMAS DISCRETOS..................... 150 4. REGLA DE MASON .................................................................................................................... 154 Leccin 5: ESPACIO DE ESTADOS............................................................................................... 156 1. DEFINICIONES........................................................................................................................... 157 2. ECUACIONES DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS.................................................. 159 3. ECUACIONES DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS .................................................. 166 4. REPRESENTACIN EN EL ESPACIO DE ESTADOS .............................................................. 167 ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN DE LA UNIDAD 1........................................................... 173


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1 ........................................................................... 174 UNIDAD 2........................................................................................................................................ 175 CAPITULO 4: ANLISIS DE LA RESPUESTA EN EL TIEMPO .................................................... 176 INTRODUCCIN............................................................................................................................. 176 Leccin 1: SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.................................................................................. 177 Leccin 2: SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ............................................................................. 181 Leccin 3: SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR............................................................................. 189 1. CANCELACIN CERO-POLO.................................................................................................... 190 2. APROXIMACIN DE POLOS DOMINANTES............................................................................ 191 Leccin 4: ERROR EN ESTADO ESTACIONARIO........................................................................ 191 Leccin 5: ESTABILIDAD Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD......................................................... 196 1. ESTABILIDAD EN SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO .......................................................... 196 2. ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO ........................................................... 204 CAPITULO 5: ANLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA...................................................... 213 INTRODUCCIN............................................................................................................................. 213 Leccin 1: DIAGRAMAS DE BODE ................................................................................................ 216 Leccin 2: ANLISIS DE ESTABILIDAD DE BODE....................................................................... 220 1. MARGEN DE FASE .................................................................................................................... 225 2. MARGEN DE GANANCIA........................................................................................................... 226 Leccin 3: DIAGRAMA DE NYQUIST............................................................................................. 228 Leccin 4: ANLISIS DE ESTABILIDAD DE NYQUIST ................................................................. 230 Leccin 5: RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO..................... 244 CAPITULO 6: ANLISIS DEL LGR Y DEL ESPACIO DE ESTADOS............................................ 252 INTRODUCCIN............................................................................................................................. 252 Leccin 1: REGLAS DE CONSTRUCCIN DEL LUGAR DE LAS RACES.................................. 253 Leccin 2: ASPECTOS IMPORTANTES EN LA CONSTRUCCIN DEL LGR.............................. 270 1. EFECTOS DE ADICIN DE POLOS Y CEROS......................................................................... 270 2. EFECTOS DE MOVIMIENTOS DE POLOS Y CEROS.............................................................. 272 3. LGR EN SISTEMAS DISCRETOS.............................................................................................. 273 Leccin 3: REPRESENTACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS............................................ 275 1. FORMA CANNICA CONTROLABLE ....................................................................................... 276 2. FORMA CANNICA OBSERVABLE .......................................................................................... 277 3. FORMA CANNICA DIAGONAL................................................................................................ 277 4. FORMA CANNICA DE JORDAN ............................................................................................. 278 Leccin 4: SOLUCIN DE LA ECUACIN DE ESTADOS ............................................................ 281 1. SOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO PARA EL CASO HOMOGNEO................ 281 2. SOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO PARA EL CASO NO HOMOGNEO.......... 284 Leccin 5: CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD................................................................. 286 1. CONTROLABILIDAD .................................................................................................................. 286 2. OBSERVABILIDAD ..................................................................................................................... 287


LISTADO DE TABLAS Table 2.1 Pares de transformadas de Laplace ................................................................................. 50 Table 2.2 Propiedades de la transformada de Laplace .................................................................... 60 Table 2.3 Pares de transformadas Z ............................................................................................. 79 Table 2.4 Propiedades de la transformada Z ................................................................................. 86 Table 2.5 Transformadas Z de ( )x k n+ y ( )x k n .................................................................. 100 Table 3.1 Reglas del lgebra de bloques........................................................................................ 147 Table 3.2 Sistemas de control discreto en lazo cerrado ................................................................. 153 Table 4.1 Error en estado estacionario para diversos sistemas ..................................................... 195 Table 4.2 Arreglo de Jury ................................................................................................................ 209


LISTADO DE GRFICOS Y FIGURAS Figure 1.1 Diagrama general de un proceso..................................................................................... 17 Figure 1.2 Sistema de control automtico......................................................................................... 18 Figure 1.3 Sistema de control de nivel.............................................................................................. 21 Figure 1.4 Intercambiador de calor ................................................................................................... 22 Figure 1.5 Diagrama de bloques del intercambiador de calor .......................................................... 22 Figure 1.6 Sistema de control continuo............................................................................................. 25 Figure 1.7 Sistema de control discreto.............................................................................................. 26 Figure 1.8 Sistema de control de direccin de un auto..................................................................... 27 Figure 1.9 Sistema de control de velocidad de un auto.................................................................... 27 Figure 1.10 Sistema de control de temperatura de un horno elctrico............................................. 28 Figure 1.11 Sistema de control en lazo cerrado ............................................................................... 29 Figure 1.12 Sistema de control en lazo abierto................................................................................. 30 Figure 1.13 Sistema realimentado .................................................................................................... 31 Figure 2.1 Seales en tiempo continuo y en tiempo discreto ........................................................... 39 Figure 2.2 Plano complejo s ............................................................................................................ 40 Figure 2.3 Aproximacin a la funcin impulso .................................................................................. 45 Figure 2.4 Funcin impulso ............................................................................................................... 46 Figure 2.5 Funcin escaln ............................................................................................................... 46 Figure 2.6 Funcin rampa ................................................................................................................. 47 Figure 2.7 Funcin exponencial ........................................................................................................ 48 Figure 2.8 Funcin senoidal .............................................................................................................. 49 Figure 2.9 Funcin delta de Kronecker ............................................................................................. 74 Figure 2.10 Funcin escaln unitario ................................................................................................ 75 Figure 2.11 Funcin rampa unitaria .................................................................................................. 76 Figure 2.12 Funcin polinomial ......................................................................................................... 76 Figure 2.13 Funcin exponencial ...................................................................................................... 77 Figure 2.14 Funcin senoidal ............................................................................................................ 78 Figure 2.15 Funciones en tiempo continuo con los mismos valores en 0, , 2 ,...t T T= .................. 87 Figure 3.1 No linealidad de saturacin............................................................................................ 104 Figure 3.2 No linealidad de zona muerta ........................................................................................ 104 Figure 3.3 No linealidad de ley cuadrtica ...................................................................................... 104 Figure 3.4 Circuito RL en serie........................................................................................................ 105 Figure 3.5 Circuito RC en serie ....................................................................................................... 106 Figure 3.6 Circuito RC en paralelo.................................................................................................. 107 Figure 3.7 Circuito RLC en serie ..................................................................................................... 108 Figure 3.8 Circuito RC..................................................................................................................... 109 Figure 3.9 Sistema masa-amortiguador.......................................................................................... 112 Figure 3.10 Diagrama de cuerpo libre para el sistema masa-amortiguador................................... 112 Figure 3.11 Sistema masa-resorte-amortiguador ........................................................................... 113 Figure 3.12 Diagrama de cuerpo libre para el sistema masa-resorte-amortiguador ...................... 113 Figure 3.13 Sistema de nivel de lquido .......................................................................................... 115 Figure 3.14 Sistema de nivel de lquido .......................................................................................... 117 Figure 3.15 Sistema de nivel de lquido con interaccin................................................................. 119 Figure 3.16 Sistema trmico ........................................................................................................... 123 Figure 3.17 Muestreo mediante impulsos ....................................................................................... 130


Figure 3.18 Reconstruccin efectuada por el ZOH......................................................................... 131 Figure 3.19 Muestreo y reconstruccin de una seal ..................................................................... 133 Figure 3.20 Espectro de la seal ( )f t ........................................................................................... 133 Figure 3.21 Repeticin del espectro de la seal debido al muestreo ............................................. 134 Figure 3.22 Superposicin de espectros (aliasing) ......................................................................... 134 Figure 3.23 Distorsin del espectro de la seal al recuperar con el ZOH ...................................... 135 Figure 3.24 Muestreo y reconstruccin ideal .................................................................................. 136 Figure 3.25 Muestreo ideal y reconstruccin mediante ZOH.......................................................... 136 Figure 3.26 Muestreo real (ancho de pulso p ) y reconstruccin mediante ZOH .......................... 137 Figure 3.27 Sistema continuo excitado por una entrada continua.................................................. 138 Figure 3.28 Sistema continuo excitado por una entrada discreta................................................... 138 Figure 3.29 Respuesta de un sistema continuo a una entrada discreta......................................... 138 Figure 3.30 Intercambiador de calor ............................................................................................... 142 Figure 3.31 Elementos de un diagrama de bloques ....................................................................... 144 Figure 3.32 Circuito RC................................................................................................................... 145 Figure 3.33 Diagrama de bloques para el ejemplo 3.18 ................................................................. 147 Figure 3.34 Sistema muestreado mediante impulsos..................................................................... 150 Figure 3.35 Sistema muestreado con un muestreador entre los elementos en serie .................... 151 Figure 3.36 Sistema muestreado sin muestreador entre los elementos en serie........................... 152 Figure 3.37 Diagrama de bloques para el ejemplo 3.21 ................................................................. 154 Figure 3.38 Circuito RLC................................................................................................................. 157 Figure 3.39 Sistema LTI en espacio de estados............................................................................. 162 Figure 3.40 Sistema mecnico........................................................................................................ 162 Figure 4.1 Sistema de primer orden. :T Constante de tiempo del sistema ................................... 177 Figure 4.2 Respuesta escaln de un sistema de primer orden ...................................................... 178 Figure 4.3 Respuesta rampa de un sistema de primer orden......................................................... 179 Figure 4.4 Respuesta impulso de un sistema de primer orden ...................................................... 180 Figure 4.5 Ubicacin de los polos en funcin de ....................................................................... 182 Figure 4.6 Diferentes respuestas escaln de un sistema de segundo orden................................. 183 Figure 4.7 Especificaciones para un sistema con respuesta subamortiguada............................... 184 Figure 4.8 pM en funcin de .................................................................................................... 186 Figure 4.9 Curvas envolventes de la respuesta paso..................................................................... 187 Figure 4.10 Respuestas al escaln de sistemas de segundo orden .............................................. 188 Figure 4.11 Funciones continuas segn la ubicacin de sus polos en el plano s ......................... 196 Figure 4.12 Estructura de un sistema de control en lazo cerrado .................................................. 197 Figure 4.13 Diagrama de bloques de un sistema de lazo cerrado ................................................. 203 Figure 4.14 Funciones discretas segn la ubicacin de sus polos en el plano z ......................... 205 Figure 4.15 Diagrama de bloques de un sistema de control discreto en lazo cerrado................... 205 Figure 4.16 Relacin entre los planos ,s z y w ............................................................................. 206 Figure 4.17 Diagrama de bloques para el ejemplo 4.8 ................................................................... 207 Figure 5.1 Sistema de tiempo continuo........................................................................................... 214 Figure 5.2 Diagramas de Bode aproximados para sistemas de primer orden ............................... 217 Figure 5.3 Diagramas de Bode aproximados para sistemas de segundo orden............................ 218 Figure 5.4 Diagrama de Bode de magnitud para un sistema de segundo orden con distintos valores de ............................................................................................................................................... 219 Figure 5.5 Diagrama de Bode de fase para un sistema de segundo orden con distintos valores de .................................................................................................................................................... 219 Figure 5.6 Relacin entre el LGR y los diagramas de Bode........................................................... 221 Figure 5.7 Sistema del ejemplo 5.1................................................................................................. 222 Figure 5.8 Diagrama de Bode para el ejemplo 5.1 ......................................................................... 222


Figure 5.9 Medicin del MF y del MG en el diagrama de Bode para 600K = ............................. 227 Figure 5.10 Medicin del MF y del MG en el diagrama de Bode para 15K = ............................. 227 Figure 5.11 Diagrama polar............................................................................................................. 228 Figure 5.12 Diagrama polar de un sistema de tercer orden ........................................................... 229 Figure 5.13 Diagrama polar de un sistema de segundo orden....................................................... 230 Figure 5.14 Teorema de la transformacin conforme..................................................................... 231 Figure 5.15 Teorema de la representacin ..................................................................................... 232 Figure 5.16 Recorrido de Nyquist.................................................................................................... 233 Figure 5.17 Diagrama de Nyquist a) en el plano 1 ( ) ( )G j H j + b) en el plano ( ) ( )G j H j ......................................................................................................................................................... 234 Figure 5.18 Recorrido de Nyquist modificado ................................................................................. 236 Figure 5.19 Sistema realimentado para el ejemplo 5.2 .................................................................. 236 Figure 5.20 Recorrido de Nyquist modificado para el ejemplo 5.2 ................................................. 237 Figure 5.21 LGR para el sistema del ejemplo 5.2........................................................................... 238 Figure 5.22 Diagrama de Nyquist para 1K = (lnea continua) y simtrico (lnea discontinua)..... 240 Figure 5.23 Diagrama polar que contiene al punto 1 0j + .......................................................... 241 Figure 5.24 LGR del sistema de ejemplo........................................................................................ 242 Figure 5.25 Diagrama de Nyquist para 10,60 y 200K = ............................................................ 242 Figure 5.26 Medicin del MF y del MG en el diagrama polar para 30K = ................................... 243 Figure 5.27 Medicin del MF y del MG en el diagrama polar para 100K = ................................. 244 Figure 5.28 Sistema de tiempo discreto.......................................................................................... 244 Figure 5.29 Sistema discreto en lazo abierto.................................................................................. 248 Figure 5.30 Sistema discreto en lazo cerrado................................................................................. 249 Figure 6.1 Polos y ceros en lazo abierto......................................................................................... 254 Figure 6.2 LGR sobre el eje real ..................................................................................................... 254 Figure 6.3 Inicio y final del LGR ...................................................................................................... 256 Figure 6.4 Asntotas del LGR.......................................................................................................... 256 Figure 6.5 Ubicacin de las asntotas ............................................................................................. 257 Figure 6.6 Puntos de ruptura........................................................................................................... 258 Figure 6.7 LGR sobre eje real entre dos polos ............................................................................... 259 Figure 6.8 LGR sobre eje real entre dos ceros ............................................................................... 259 Figure 6.9 LGR sobre eje real entre cero y polo ............................................................................. 260 Figure 6.10 Puntos de cruce del LGR con el eje imaginario........................................................... 260 Figure 6.11 ngulos de arranque y llegada .................................................................................... 262 Figure 6.12 Polos y ceros del ejemplo 6.1 ...................................................................................... 263 Figure 6.13 LGR del ejemplo 6.1 .................................................................................................... 266 Figure 6.14 Polos y ceros del ejemplo 6.2 ...................................................................................... 267 Figure 6.15 LGR del ejemplo 6.2 .................................................................................................... 269 Figure 6.16 Evaluacin de los ceros en lazo cerrado ..................................................................... 269 Figure 6.17 Efecto de la adicin de polos sobre el LRG................................................................. 271 Figure 6.18 Efecto de la adicin de un cero sobre el LGR ............................................................. 272 Figure 6.19 Efecto del movimiento de un polo hacia el semiplano derecho................................... 272 Figure 6.20 Sistema del ejemplo 6.3............................................................................................... 273 Figure 6.21 LGR del ejemplo 6.3 .................................................................................................... 274 Figure 6.22 LGR del ejemplo 6.4 .................................................................................................... 275


UNIDAD 1

Nombre de la Unidad Representacin de los Sistemas Dinmicos

Introduccin

La Unidad 1 trata en primer lugar, los aspectos introductorios y la terminologa referente al rea de control; en segundo lugar, introduce y refuerza el manejo matemtico necesario para el modelado de los sistemas dinmicos, como lo es la transformada de Laplace y la transformada Z; y en tercer lugar trata las diferentes representaciones que se pueden utilizar para analizar los sistemas dinmicos.

Justificacin

El estudiante de tecnologa e ingeniera electrnica debe conocer la importancia que tiene la representacin de los sistemas dinmicos dentro de la ingeniera, ya que esto le permitir enfrentar un sistema real y obtener las bases para disear una solucin que mejore su desempeo. En la Unidad 1 se presentan las herramientas analticas que le permiten modelar plantas y sistemas de control lineales e invariantes en el tiempo tanto continuo como discreto. Mediante el desarrollo de las lecciones propuestas se pretende concientizar a los estudiantes del propsito que tienen los sistemas de control desde el punto de vista de la representacin del sistema, la ubicacin del modelamiento de sistemas dinmicos como profesin y como tarea dentro del ciclo de vida de los sistemas industriales.

Intencionalidades Formativas

Lograr que el estudiante comprenda la manera de representar y modelar sistemas dinmicos lineales e invariantes en el tiempo, empleando para ello algunas herramientas matemticas que le permitan aplicar apropiadamente estos conocimientos en el campo tecnolgico.

Denominacin de Captulos

Captulo 1: Sistemas de control Captulo 2: Herramientas matemticas Captulo 3: Modelado de sistemas dinmicos


1. CAPITULO 1: SISTEMAS DE CONTROL INTRODUCCIN En muchos procesos industriales (sistemas dinmicos) la funcin de control es realizada por un operario (ser humano), este operario es el que decide cundo y cmo manipular las variables de tal modo que se obtenga una cadena productiva continua y eficiente. La eficiencia productiva implica el constante aumento de los niveles de produccin de la maquinaria instalada, el mejoramiento de la calidad del producto final, la disminucin de los costos de produccin, y la seguridad tanto para el personal como para los equipos. Para lograr esto es necesario que los procesos productivos se realicen a la mayor velocidad posible y que las variables a controlar estn dentro de valores constantes. Debido a estas exigencias, la industria ha necesitado de la utilizacin de nuevos y ms complejos procesos, que muchas veces el operario no puede controlar debido a la velocidad y exactitud requerida, adems muchas veces las condiciones del espacio donde se lleva a cabo la tarea no son las ms adecuadas para el desempeo del ser humano. Frente a este panorama, surgen los sistemas de control como una solucin que permite llevar la produccin a estndares de calidad mucho mejores. Actualmente en el mundo, se ve una introduccin de los computadores y de la microelectrnica en la industria y en la sociedad, esto trae consigo una extensin del campo de los sistemas de control industrial ya que permite, a travs del manejo de la informacin (seales, datos, mediciones, etc.), transformar los mecanismos de produccin y procesos productivos de algunas industrias. El principal objetivo de este capitulo es presentar las definiciones acerca de los diferentes elementos que componen un sistema de control y los tipos de sistemas de control existentes tanto en tiempo continuo como discreto. Tambin se realiza una introduccin a los diferentes mtodos de control aplicados actualmente en la


industria con el fin de que el estudiante tenga una visin general de los alcances de la teora de control. Antes de iniciar con este estudio hay que aclarar algunos conceptos que sern manejados a lo largo de este texto: Control: Accin ejercida con el fin de poder mantener una variable dentro de

un rango de valores predeterminados. Sistema de Control: Conjunto de equipos y componentes, que van a permitir

llevar a cabo las operaciones de control. Operaciones de Control: Conjunto de acciones que buscan mantener una

variable dentro de patrones de funcionamiento deseados. Control Automtico: Es el desarrollo de la accin de control, sin la

participacin directa de un ser humano (operario). Leccin 1: ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE CONTROL 1. ELEMENTOS DE CONTROL Dependiendo del tipo de proceso y la funcin de control requerida, los sistemas de control van desde los ms simples como mantener el nivel de agua o de temperatura en un tanque, hasta los ms complicados en los cuales se hace uso de equipos sofisticados y de un conjunto de algoritmos de control ptimo, control robusto, inteligencia artificial, etc. Se realiza el control de un proceso, cuando es posible regular el valor de la variable de salida, variando el valor de la seal de control o seal de entrada.


Figure 1.1 Diagrama general de un proceso

Planta: Es el ambiente donde se encuentran los equipos y donde se lleva a

cabo el proceso. Se puede decir que es el conjunto de objetos fsicos, en los cuales es necesario desarrollar acciones especialmente organizadas con el fin de lograr los resultados de funcionamiento y desempeo deseados; estos objetos van a ser controlados por medio de acciones.

Seales de Control: Son aquellas acciones elaboradas por el sistema de

control, o dadas por un operario, a travs de las variables manipuladas. Por ejemplo, si se desea mantener un tanque a una temperatura constante, se deber manipular el nivel de voltaje que recibe la resistencia que brinda calor al tanque.

Perturbaciones: Son aquellas acciones que no dependen del sistema de

control ni del operario, pero intervienen positiva o negativamente en el proceso. Por ejemplo, para el caso anterior si se desea mantener una temperatura constante en un tanque, la temperatura ambiental actuar e interferir con el calor del tanque.

Variables de Salida: Son aquellas que caracterizan el estado de los procesos

dentro de la planta, estas variables son guiadas por variables controladas. Por ejemplo, si se cuenta con un recipiente de agua en el cual la variable de salida ser el nivel, entonces la variable controlada ser el flujo de lquido que ingresa al recipiente.

Proceso Industrial (Sistema Dinmico): Es la sucesin de cambios

graduales (en el tiempo) de materia y energa, todo proceso implica una transformacin; generalizando se puede decir que es todo fenmeno fsico que se puede medir y controlar. Pueden ser procesos continuos (siderrgica, petroqumica), procesos de manufactura (embotelladoras, confeccin de


textiles), procesos de servicio (distribucin de agua), y procesos hbridos (reciclaje de vidrio).

2. ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE CONTROL AUTOMTICO Adicionalmente a los componentes anteriores, se encuentran aquellos que le van a dar la particularidad de ser automtico, es decir, el sistema de control va a actuar independiente del operario y va a determinar por s mismo los mejores valores para las seales de control. Para ello se contar con una referencia, que es un valor dado por el operario, este valor es fijo y depende del tipo de proceso y de las exigencias que este amerite; es conocido como set-point, este valor es el que se desea alcanzar y mantener.

Figure 1.2 Sistema de control automtico

As, se tienen cuatro elementos que conforman el sistema de control: Controlador: Es aquel instrumento que compara el valor medido con el valor

deseado, en base a esta comparacin calcula un error (diferencia entre valor medido y deseado), para luego actuar a fin de corregir este error. Tiene por objetivo elaborar la seal de control que permita que la variable controlada o variable de salida corresponda a la seal de referencia. Los controladores pueden ser de tipo manual, neumtico o electrnico.

Los controladores electrnicos ms usados son: computadores con tarjetas de adquisicin de datos, PLC (Controladores Lgicos Programables) y microcontroladores (PIC).


El tipo de controlador ms comn es el PLC, el cual es un equipo electrnico basado en microprocesadores. El PLC hace uso de memorias programables y regrabables (RAM), en donde se almacenan instrucciones a manera de algoritmos que van a permitir seguir una lgica de control. Contiene interfaces que le permiten manejar gran nmero de entradas y salidas tanto analgicas como digitales. Actuador: Es aquel equipo que sirve para regular la variable de control y

ejecutar la accin de control, tambin es conocido como elemento final de control. Los actuadores pueden ser de tres tipos:

Actuadores elctricos: Son usados para posicionar dispositivos de movimientos lineales o rotacionales. Por ejemplo: motores, rels, switches y electrovlvulas.

Actuadores neumticos: Trabajan con seales de presin, estas

seales son convertidas a movimientos mecnicos. Por ejemplo: pistones neumticos y vlvulas.

Actuadores hidrulicos: Operan igual a los neumticos, son usados en

tareas que requieren mayor fuerza por ejemplo levantar compuertas, mover gras, elevadores, etc. Por ejemplo: pistones hidrulicos.

Proceso: Esta referido al equipo que va a ser automatizado, por ejemplo

puede ser una bomba, una tolva, un tanque, un compresor, un molino, un intercambiador de calor, un horno, un secador, una caldera, etc.

Sensor: Es un elemento de medicin de parmetros o variables del proceso.

Los sensores pueden ser usados tambin como indicadores, para transformar la seal medida en seal elctrica. Los sensores ms comunes son los de nivel, temperatura, presencia, proximidad, flujo, presin, entre otros. Pueden ser de varios tipos:

Sensores de contacto: Son aquellos que realizan la medida en contacto directo, real y fsico con el producto o materia. Por ejemplo: sensores de boya para medir nivel en un tanque, termocuplas para medir temperatura, etc.


Sensores de no contacto: Se basan en propiedades fsicas de los

materiales, son ms exactos, pero son propensos a interferencias del medio ambiente. Por ejemplo: sensores ultrasnicos, sensores pticos, etc.

Sensores digitales: Trabajan con seales digitales, en cdigo binario,

pueden representar la codificacin de una seal analgica, o tambin la representacin de dos estados ON/OFF. Por ejemplo: sensores tipo switch.

Sensores analgicos: Proporcionan medidas continuas, los rangos

tpicos son de 4 a 20 mA, 0 a 5 V, entre otros. Por ejemplo: sensores capacitivos, sensores piezoresistivos, etc.

Sensores mecnicos: Son aquellos que traducen la accin fsica del

elemento medido, en un comportamiento mecnico, tpicamente de movimiento y/o calor. Por ejemplo: barmetros, termmetros de mercurio, etc.

Sensores electro-mecnicos: Este tipo de sensor emplea un elemento

mecnico elstico combinado con un transductor elctrico. Por ejemplo: sensores resistivos, sensores magnticos, etc.

A continuacin, se muestra un ejemplo de un sistema de control de nivel, donde el proceso esta constituido por un tanque abierto, el controlador es de tipo electrnico, y a travs de un transductor se convierte la seal elctrica a neumtica, esta seal de presin de aire acciona una vlvula neumtica que cumple la funcin de actuador, finalmente se cuenta con un sensor de nivel de tipo no contacto.


Figure 1.3 Sistema de control de nivel

3. TIPOS DE VARIABLES Se define como variable a todo aquel parmetro fsico cuyo valor puede ser medido. Puede ser: Variable Controlada: Es aquella que se busca mantener constante o con

cambios mnimos. Su valor debe seguir al set-point. Variable Manipulada: A travs de esta se debe corregir el efecto de las

perturbaciones. Sobre esta se colocar el actuador. Variable Perturbadora: Esta dado por los cambios repentinos que sufre el

sistema y que provocan inestabilidad. Variable Medida: Es toda variable adicional, cuyo valor es necesario registrar

y monitorear, pero que no es necesario controlar.


Ejemplo 1.1 La figura 1.4 muestra un intercambiador de calor. A continuacin, se presenta un diagrama y un cuadro donde se describen las distintas variables que intervienen en el proceso.

Figure 1.4 Intercambiador de calor

Solucin:

Figure 1.5 Diagrama de bloques del intercambiador de calor


Variable Controlada

Si ingresa agua fra y sale agua caliente, entonces se busca controlar la temperatura del agua que sale, cuya temperatura estar dada por un set-point

Variable Manipulada

El calor dentro del intercambiador depende del suministro de valor caliente, por tanto ser el flujo de vapor caliente, cuyo actuador es la vlvula de vapor

Variable Perturbadora

No se conoce la temperatura ni la presin del agua que ingresa, por tanto, estos pueden afectar a la salida

Variable Medida Se puede medir por ejemplo la temperatura del vapor caliente 4. SEALES DE COMUNICACIN Como se puede observar el flujo de informacin entre los elementos se da a travs de seales. Las seales son un conjunto de datos que fluyen en diversos sentidos, conformando un flujo de informacin. Estas pueden ser: Seales Elctricas: Utilizan el flujo de electrones sobre un conductor, pueden

ser:

Seales analgicas: Son seales en tiempo continuo, la informacin esta dada por la amplitud de la seal.

Seales digitales: Son seales en tiempo discreto, la informacin esta

dada en cdigo binario. Seales Neumticas: La informacin est dada por la variacin fsica de

compresin o expansin de un fluido gaseoso en un tiempo determinado. Seales Hidrulicas: En este caso las variaciones de presin por lo general

de un lquido viscoso generan el conjunto de datos a ser transmitidos.


Seales de Sonido: Conformadas por ondas de sonido producidas por el movimiento vibratorio de los cuerpos a una determinada frecuencia; tambin son usadas las ondas ultrasnicas.

Seales Electromagnticas: La informacin viaja sobre una onda de radio,

microondas o satlite, empaquetada dentro de una seal portadora, recorriendo grandes distancias.

Seales pticas: Se hace uso de la fibra ptica y son empleadas para

transmitir grandes volmenes de informacin, generalmente usadas en redes de controladores.

Leccin 2: SISTEMAS CONTINUOS Y DISCRETOS 1. SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS Los sistemas de control continuos son aquellos que estn descritos mediante ecuaciones diferenciales que describen las leyes fsicas que rigen el comportamiento de dicho sistema, y que relacionan el comportamiento de la salida de este ante una entrada determinada. Estos sistemas se caracterizan porque las variables poseen un valor para cualquier tiempo posible dentro de un intervalo de tiempo finito. Est referido a las seales analgicas, y su comportamiento matemtico es similar a una onda continua. Por ejemplo un proceso de llenado de balones de gas. Recordando que un sistema de control, generalmente estar formado por diversos sistemas (planta, control, etc.). La topologa tpica de un sistema de control continuo es:


Figure 1.6 Sistema de control continuo

De forma general, se puede escribir la ecuacin diferencial que representa a este tipo de sistemas, como se muestra a continuacin:

1 1

1 1 0 1 11 1

n n m m

n n m mn n m m

d y d y dy d u d u dua a a y b b b b u n m

dt dt dt dt dt dt

+ + + + = + + + + donde " " (1.1) La solucin a este tipo de ecuaciones, se puede encontrar mediante el uso de la transformada de Laplace (L ) y de la transformada inversa de Laplace ( 1L ). 2. SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS Los sistemas de control discretos son aquellos descritos mediante ecuaciones en diferencia, y solo poseen valores para determinados instantes de tiempo, separados por intervalos dados por un periodo constante. Est referido a las seales digitales, y su comportamiento matemtico es similar a un tren de pulsos. Por ejemplo el encendido y apagado de un switch que acciona una alarma. Un sistema de control en tiempo discreto se caracteriza principalmente por realizar un procesado, mediante alguno de sus elementos, de seales discretas en el tiempo. La topologa tpica de un sistema discreto es la que se puede observar en la siguiente figura:


Figure 1.7 Sistema de control discreto

Respecto a los sistemas control en tiempo continuo se observa la inclusin de algunos elementos nuevos: Control digital o discreto: Es un sistema procesador diseado para que el

sistema de control logre las especificaciones requeridas. Este sistema trabaja u opera en instantes de tiempo predeterminados, mltiplos del periodo de muestreo y es, por tanto, un sistema sncrono. La operatividad del sistema o su funcionamiento de procesado queda caracterizada plenamente mediante su ecuacin en diferencias:

1 0 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )n n m my k n a y k a y k b u k m b u k b u k n m + + + + + = + + + + + donde " " (1.2)

Este tipo de ecuaciones se pueden solucionar empleando la transformada Z y la transformada Z inversa ( 1Z ). Interfaces A/D y D/A: Se usan para convertir seales continuas en seales

discretas y seales discretas en seales continuas, respectivamente. Permiten la introduccin de un procesador discreto en el sistema de control y reconstruyen temporalmente la seal discreta en una seal continua en el tiempo.

Debe observarse que el periodo de muestreo T depende fundamentalmente del tiempo de ciclo del programa que ejecuta el algoritmo de control; as, normalmente el tiempo de ciclo de programa suele ser mayor que el periodo de muestreo de los conversores A/D. En algunos casos, el periodo de muestreo se disea para que sea mayor que el tiempo de ciclo (cuando las constantes de tiempo del proceso o planta son muy grandes), utilizndose el resto de tiempo del procesador para


realizar funciones de transmisin y representacin de datos o, simplemente, funciones de gestin de posibles alarmas. Algunas ventajas del muestreo en sistemas de control son: Mayor facilidad de realizacin. No existen errores (ruido, interferencias, etc.). Son ms compactos, menos pesados. Menor costo. Flexibilidad de programacin. 3. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL Un ejemplo sencillo de un sistema de control continuo, es el sistema de control de direccin de un automvil. La direccin de las ruedas delanteras se puede considerar la variable controlada o salida ( )y t , y la direccin el volante es la seal actuante o entrada ( )u t . El proceso en este caso est compuesto por el mecanismo de la direccin y de la dinmica del automvil completo.

Figure 1.8 Sistema de control de direccin de un auto

Por otro lado, si el objetivo es controlar la velocidad del automvil, entonces la presin ejercida sobre el acelerador sera la seal de entrada y la velocidad del automvil sera la seal de salida.

Figure 1.9 Sistema de control de velocidad de un auto

PLANTA

Direccin de las ruedas delanteras

( )y t

Direccin del volante

( )u t

PLANTA

Velocidad del auto

( )y t

Presin sobre acelerador

( )u t


En ambos casos se trata de un sistema de control continuo, ya que las seales que se procesan en la planta varan continuamente en el tiempo. Otro ejemplo se muestra a continuacin, donde se aprecia el diagrama esquemtico del control de temperatura de un horno elctrico.

Figure 1.10 Sistema de control de temperatura de un horno elctrico

La temperatura del horno elctrico se mide mediante un termmetro, que es un dispositivo analgico. La temperatura analgica se convierte a una temperatura digital mediante un convertidor A/D. La temperatura digital se introduce a un controlador, que en este caso es un computador, mediante una interfase. Esta temperatura digital se compara con una temperatura que se ingresa mediante un programa y si hay una discrepancia (error) el controlador enva una seal al calefactor, a travs de una interfase, un amplificador y un relevador, para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado. En este ltimo ejemplo se observa que se trata de un sistema de control discreto, ya que las seales que se procesan no son continuas en el tiempo, sino que son muestreadas a intervalos regulares de tiempo mediante la accin del convertidor A/D. Leccin 3: TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROL En base a su principio de funcionamiento los sistemas de control pueden emplear o no, informacin a cerca de la planta, a fin de elaborar o no, estrategias de supervisin y control. Se cuenta con dos tipos de sistemas de control: en lazo abierto y en lazo cerrado.

Convertidor A/D Interfase

Relevador Amplificador Interfase

ComputadorEntrada

programada

Horno

elctrico

Calefactor

Termmetro


1. CONTROL EN LAZO CERRADO Un sistema de control en lazo cerrado es aquel que toma una muestra de la seal de salida ( )y t y la compara con la seal de entrada o seal de referencia ( )r t , si hay discrepancia entre las dos seales, entonces se produce una seal de error

( )e t , la cual acta sobre el mecanismo controlador con el fin de que este genere una seal adecuada ( )u t , que permita un control efectivo sobre la planta o proceso.

Figure 1.11 Sistema de control en lazo cerrado

En el ejemplo del control de temperatura de un horno, se observa que la seal de salida ( )y t corresponde a la temperatura del horno, la cual es medida por un termmetro y es comparada con la temperatura previamente programada ( )r t , si estas dos seales no son iguales, se presentar una seal de error ( )e t , la cual es interpretada por el computador, que en este caso hace las veces de controlador, el cual genera una seal ( )u t que acta directamente sobre el calefactor, permitiendo aumentar o disminuir la temperatura hasta que la seal que se mida a la salida (dentro del horno) corresponda a la deseada (la que est programada). Al no existir error, entonces el controlador no realizar ninguna accin, pues ya se ha cumplido el objetivo deseado. Los sistemas de control en lazo cerrado se denominan tambin sistemas realimentados. 2. CONTROL EN LAZO ABIERTO Un sistema de control en lazo abierto funciona sin realimentacin y genera directamente la salida en respuesta a la seal de entrada. En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida ( )y t no se compara con la entrada de referencia

( )r t . Por lo tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condicin operativa fija; como resultado, la precisin del sistema depende de la calibracin

Comparacin Controlador Proceso

Medida

( )r t ( )e t ( )u t

( )y t


que se le haya dado. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada.

Figure 1.12 Sistema de control en lazo abierto

En la prctica, el control en lazo abierto slo se usa si se conoce la relacin entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado. Observe que cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo es en lazo abierto. Por ejemplo, el control del trnsito mediante seales operadas con una base de tiempo, o el control de la temperatura en una tostadora. Leccin 4: EFECTOS DE LA REALIMENTACIN En la leccin anterior, se ha visto que la realimentacin es usada para reducir el error entre la entrada de referencia y la salida del sistema, sin embargo el efecto de la realimentacin en sistemas de control es mucho ms complejo que lo tratado hasta ahora. La reduccin del error es slo uno de los efectos que la realimentacin realiza sobre el sistema, ya que tambin repercute en las caractersticas de desempeo del sistema como son: Estabilidad Ancho de banda Ganancia global Perturbaciones Sensibilidad

Dispositivo de actuacin Proceso( )r t

( )u t ( )y t


Considere un sistema realimentado sencillo como el de la figura, donde r es la seal de entrada, y es la seal de salida, e es el error y los parmetros G y H , se pueden considerar como ganancias constantes.

Figure 1.13 Sistema realimentado

De este diagrama se observa que:

y eG= (1.3) Y adems,

e r yH= (1.4) Despejando e de la ecuacin (1.3) y reemplazando en (1.4), se obtiene la relacin entre la salida y la entrada del sistema:

y r yHG=

1y Gr GH= + (1.5)

Como se observa en la ecuacin (1.5), la realimentacin afecta la ganancia G del sistema no realimentado en un factor de 1 GH+ . El sistema de la figura anterior tiene realimentacin negativa, ya que se asigna un signo menos a la seal realimentada. La cantidad GH puede incluir el signo menos, por lo tanto el efecto general de la realimentacin es que puede aumentar o disminuir la ganancia G . En un sistema de control prctico, G y H son funciones de la frecuencia, por lo que la magnitud de 1 GH+ puede ser mayor que 1 en un intervalo de frecuencias y menor que 1 en otro intervalo.

G

H

+-

er y


De forma general, la estabilidad describe si un sistema es capaz de seguir un comando de entrada. Para observar el efecto de la realimentacin sobre la estabilidad de un sistema nuevamente se hace referencia a la ecuacin (1.5). Si

1GH = , la salida del sistema del sistema tiende a infinito para cualquier entrada aplicada, y se dice que el sistema es inestable. Por lo tanto, se puede apreciar que la realimentacin puede ocasionar que un sistema que originalmente es estable, se vuelva inestable. Tambin puede ocurrir lo contrario, es decir, que mediante el uso de la realimentacin se pueda estabilizar un sistema originalmente inestable. Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es ms fcil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una funcin principal en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante. Debido a que todos los elementos fsicos tienen propiedades que van cambiando con el ambiente y con la edad, no se pueden considerar los parmetros de un sistema de control como completamente estacionarios durante la vida de operacin del mismo, es por eso que las consideraciones sobre sensibilidad son importantes cuando se trata con sistemas de control. Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentacin vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parmetros del sistema. Por lo tanto, es posible usar componentes relativamente precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta determinada, en tanto que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Debe sealarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipacin las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control en lazo abierto. Los sistemas de control en lazo cerrado slo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles en los componentes del sistema. En general, la realimentacin tambin tiene efectos sobre el ancho de banda, la impedancia, la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia.


La cantidad de componentes usados en un sistema de control en lazo cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalente en lazo abierto. Por lo tanto, el sistema de control en lazo cerrado suele tener costos ms grandes. Por lo general, una combinacin adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos costosa y ofrecer un desempeo satisfactorio del sistema general. Leccin 5: MTODOS DE CONTROL Existen mtodos y estrategias para realizar la accin de control, los mtodos de control (clsico y moderno) permiten al controlador reaccionar mandando una seal correctiva del error, mientras que las estrategias de control, hacen ms eficiente a la labor de control, ahorrando recursos y tiempo. 1. MTODOS DE CONTROL CLSICO Los mtodos de control clsico son aquellos que esperan a que se produzca un error para luego realizar una accin correctiva. El error se presenta a causa de la diferencia de lectura entre la variable de salida medida y la seal de referencia, este error est presente en todo momento, y la finalidad es minimizarlo. En algunos casos suele generarse un comportamiento oscilatorio alrededor del valor de referencia. Los mtodos de control clsico pueden ser: Control ON/OFF: Este mtodo solo acepta dos posiciones para el actuador:

encendido (100%) y apagado (0%). La lgica de funcionamiento es tener un punto de referencia, si la variable es mayor el actuador asume una posicin, y si la variable es menor el actuador asume la otra posicin. Por ejemplo, los sistemas de seguridad contra robos, las refrigeradoras domsticas, sistemas de aire acondicionado, etc.

Control Proporcional: Es un control que se basa en la ganancia aplicada al

sistema, se basa en el principio de que la respuesta del controlador deber ser proporcional a la magnitud del error. No corrige ni elimina perturbaciones, puede atenuar o aumentar la seal de error.


Control Integral: Conocido como RESET. Este tipo de controlador anula errores y corrige perturbaciones, mediante la bsqueda de la seal de referencia, necesita de un tiempo para localizar dicha seal.

Control Derivativo: Conocido como RATE. Este controlador por s solo no es

utilizado, necesita estar junto al proporcional y al integral. Sirve para darle rapidez o aceleracin a la accin de control. Necesita de una diferencial de tiempo para alcanzar la seal de referencia.

Control Proporcional-Integral: Acta en forma rpida, tiene una ganancia y

corrige el error, no experimenta un offset en estado estacionario. La aplicacin tpica es en el control de temperatura.

Control Proporcional-Derivativo: Es estable, y reduce los retardos, es decir

es ms rpido. Es usado tpicamente para el control de flujo de minerales. Control Proporcional-Integral-Derivativo: Este controlador es el ms

completo y complejo, tiene una respuesta ms rpida y estable siempre que est bien sintonizado. Resumiendo se puede decir que:

El control proporcional acta sobre el tamao del error. El control integral rige el tiempo para corregir el error. El control derivativo le brinda la rapidez a la actuacin.

2. MTODOS DE CONTROL MODERNO Los mtodos de control moderno brindan nuevas tcnicas que permiten ya sea compensar el error y/o eliminarlo, las ms comunes son las siguientes: Control Anticipatorio (Feedforward): Este mtodo permite al controlador

analizar los datos de entrada y de salida y mediante algoritmos matemticos calcular la prxima salida probable, de modo tal que auto ajusta sus parmetros con la finalidad de adecuarse al cambio, y minimizar la diferencia de medidas. Se recomienda para procesos lentos. Su desventaja radica en que es necesario medir todas las variables perturbadoras, ya que no corrige las perturbaciones no medidas. Se puede mejorar este mtodo agregando una retroalimentacin a la salida, de modo tal que se deje que se produzca un error mnimo, el cual ser detectado y corregido en la siguiente medicin.


Compensadores Adelanto-Atraso: Este mtodo permite realizar un control

en el dominio de la frecuencia, en el cual se busca compensar la fase del sistema, agregando (adelanto) o quitando (atraso) fase, para lo cual se agregan nuevos componentes o nuevas funciones matemticas al sistema. Se puede poner cuantos compensadores sean necesarios a fin de llevar la respuesta del sistema a un valor deseado.

Realimentacin de Estados: Este mtodo permite ejercer una accin de

control mediante la medicin de cada uno de los estados (del modelo en espacio estado del sistema), atribuyndole una ganancia a cada uno de los valores ledos, de este modo el lazo de control es cerrado por medio del compensador o controlador de estados y no por el sensor.

Sistemas de Seguimiento: Este mtodo tambin es conocido como tracking,

es un complemento del mtodo anterior, puesto que mediante el control por realimentacin de estados se puede llevar la variable controlada a un valor de cero (porque no se cuenta con una referencia), con este mtodo se podr llevar a la variable dada a un valor deseado, puesto que se incorpora una referencia en el sistema.

Feedback Linealization: Debido a que los procesos reales no cuentan con

modelos lineales que los representan, es necesario el uso de controladores no lineales. Este mtodo es conocido como control con modelo de referencia, utiliza la teora de Lyapunov para determinar la estabilidad del sistema, y el modelo matemtico esta dado en la forma espacio estado.

3. MTODOS DE CONTROL AVANZADO Los mtodos de control avanzado son aquellos que actan en forma preventiva, de modo tal que en base a los datos tomados, actan de modo tal que previenen la ocurrencia de error, por tanto el controlador est ajustando sus parmetros constantemente. Control Adaptativo: Es una variante del control anticipatorio, en donde la

respuesta del controlador vara automticamente basado en los cambios de las condiciones dentro del proceso, es decir, la respuesta del controlador ser variable dependiendo del comportamiento actual del proceso. Para que se lleve a cabo esta adaptacin se requiere de algoritmos matemticos que simulen el proceso en base a los datos tomados en el instante mismo en que se realiza la


accin, este resultado va a generar una seal compensadora que garantizar la confiabilidad del sistema.

Control ptimo: El control ptimo busca el mejor desempeo en la accin de

control, tiene por objetivo buscar una o varias soluciones que cumplan con ciertas restricciones impuestas por el problema y que a la vez cumpla con una funcin objetivo (funcin de costo), la cual puede ser maximizar o minimizar dicha funcin. El control permite diversas soluciones para un mismo problema, pero el control ptimo busca dentro de esas soluciones la ms adecuada para cumplir con los requisitos planteados.

Control Robusto: El control robusto es aquel que va a permitir mantener la

accin de control pese a perturbaciones externas e internas. Pueden existir perturbaciones externas como ruido y vibraciones propias del proceso; o perturbaciones internas como un mal modelamiento matemtico, sistemas no lineales difciles de linealizar, incertidumbre en el accionar, entre otros. El control robusto se resume a identificar y controlar la incertidumbre en los parmetros y en el comportamiento de una planta.

Control en Tiempo Real: Se define el control de sistemas en tiempo real,

como el control realizado en un intervalo de tiempo finito y constante, es decir que la informacin ser medida con muestras intermitentes pero todas las veces con un mismo tiempo de muestreo.

Control Difuso: Se basa en la lgica difusa, la cual a diferencia de la lgica

binaria o booleana (verdadero/falso 1/0), asigna valores intermedios dentro de esta escala. Utiliza la experiencia del operador para generar una lgica de razonamiento para el controlador. No requiere del modelamiento matemtico de la planta, puede representar modelos de sistemas lineales y no lineales mediante el uso de variables lingsticas y una serie de condiciones o reglas previamente definidas.

Control Neuronal: Hace uso de neuronas de inteligencia artificial. La neurona

artificial estndar es un elemento de procesamiento que calcula una salida multiplicando su vector de entradas por un vector de pesos y este resultado es aplicado a una funcin de activacin; un conjunto de neuronas conforman una red neuronal. Las redes neuronales son parte de la inteligencia artificial (AI) caracterizadas por su capacidad de aprendizaje, su velocidad mediante el procesamiento masivo en paralelo de datos y por la facilidad de modelado de sistemas y controladores no lineales.

Algoritmos Genticos: Este mtodo simula la evolucin natural de las

especies propuesta por Charles Darwin, fue ideado por John Holland en 1970. La informacin va sufriendo cambios igual que lo haran las especies, es decir


se van adaptando al entorno, lo cual se lleva a cabo por medio de los procesos de seleccin natural, mezcla y mutacin. En cada ciclo (iteracin) una parte del conjunto de hiptesis conocido como poblacin actual, es reemplazado por una nueva poblacin mediante las funciones evolutivas anteriores. As sucesivamente en cada ciclo la poblacin es evaluada en base a una funcin evolutiva, siendo conservados los datos ms exactos, y siendo eliminados los datos que presentan error (seleccin natural). Para conservar el nmero de individuos (datos) estos son mezclados, lo cual genera nuevos individuos similares a sus procreadores. Finalmente cada cierto tiempo o dada cierta cantidad de individuos, algunos de los nuevos individuos son mutados aleatoriamente, pudiendo ser conservados o eliminados en la prxima iteracin dependiendo de su utilidad dentro del sistema.

Sistemas Expertos: Estos sistemas tratan de emular la experiencia adquirida

por uno o ms seres humanos a lo largo del tiempo para realizar un trabajo. Este sistema tendr en su memoria una base de datos con mltiples soluciones a un mismo problema, luego el sistema tendr que escoger de entre esas soluciones a la que pueda aplicarse a fin de lograr los mejores resultados. El sistema se crea basndose en las experiencias humanas, la eleccin de la estructura de control depender de las caractersticas del trabajo en donde se aplicar, adems el sistema podr ir aprendiendo con el tiempo y almacenar sus propias experiencias, existe mucha analoga entre los sistemas expertos y los sistemas neuro-fuzzy.

2. CAPITULO 2: HERRAMIENTAS MATEMTICAS INTRODUCCIN Para la representacin y el anlisis de los sistemas dinmicos se utilizan herramientas matemticas como la transformada de Laplace, cuando se trata de un sistema en tiempo continuo; o la transformada Z , cuando se trata de un sistema en tiempo discreto. La transformada de Laplace es un mtodo operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales de la forma:

1 1

1 1 0 1 1 01 1

n n m m

n m mn n m m

d y d y dy d u d u dua a a y b b b b u n m

dt dt dt dt dt dt

+ + + + = + + + + donde " " (2.1)


Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, en funciones algebraicas de una variable compleja s . Las operaciones tales como la diferenciacin y la integracin se sustituyen por operaciones algebraicas en el plano complejo. Por lo tanto, una ecuacin diferencial lineal se transforma en una ecuacin algebraica, en trminos de la variable compleja s . Si se despeja en la ecuacin algebraica en s la variable dependiente, la solucin de la ecuacin diferencial se puede encontrar mediante una tabla de transformadas de Laplace o empleando una tcnica de expansin en fracciones parciales. Una ventaja del mtodo de la transformada de Laplace es que permite el uso de tcnicas grficas para predecir el desempeo del sistema, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales del sistema. Otra ventaja del mtodo de la transformada de Laplace es que, cuando se resuelve la ecuacin diferencial, es posible obtener simultneamente tanto el componente transitorio como el componente de estado estable de la solucin. Por otra parte, una herramienta matemtica muy utilizada en el anlisis y la sntesis de sistemas de control en tiempo discreto es la transformada Z . El papel de la transformada Z en sistemas en tiempo discreto es similar al de la transformada de Laplace en sistemas en tiempo continuo. En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuacin en diferencias lineal caracteriza la dinmica del sistema. Para determinar la respuesta del sistema a una entrada dada, se debe resolver dicha ecuacin en diferencias. Con el mtodo de la transformada Z , las soluciones a las ecuaciones en diferencias se convierten en un problema de naturaleza algebraica. (De la misma forma en que la transformada de Laplace transforma las ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo en ecuaciones alge

Sistemas dinamicos

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