REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD FERMÍN TORO

SISTEMA INTERACTIVO A DISTANCIAESCUELA DE INGENIERÍACABUDARE – EDO. LARA

Alumno:Juan J. Linares A.

C.I: 21.504.360Asignatura:

Análisis NuméricoSección: SAIA “B”

Profesor:Domingo Méndez

CABUDARE, NOVIEMBRE DEL 2016

EL MÉTODO DE GAUSS

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea  escalonado.

Para facil itar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

 

3x + 2y + z = 1

5x + 3y + 4z = 2

x + y − z = 1

Sistema Compatible Determinado

 

Sistema Compatible Indeterminado

 3 

ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga.3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida.

EJEMPLO

Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:Primero:

Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

Que representa la ecuación:  , donde a ≠ 0. Es decir,  , lo que supone una contradicción y, por tanto, no tiene solución.

FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU

En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación. Método llamado factorización   o   con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.DESCOMPOSICION "LU"

El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).

Esto es:

Donde:L - Matriz triangular inferiorU - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:

 =   

Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:

De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:A x = b

lo cual resulta lo mismo escribir:L U X = b

Definiendo a:U X = Ypodemos escribir:L Y = b

Resolviendo para Y, encontramos:

El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:

La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando una forma modificada del método de eliminación de Gauss.

Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitación (en este caso b), por lo que resulta superior al método de eliminación gausiana.

EJEMPLO

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:

   = Las matrices de factores L y U de A son:

L =   U = 

El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y:

=

Donde 

 

 

 

El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los elementos de X, por sustitución regresiva:

=

De donde se obtiene: