Regla de Tres y Otros

Instituto Superior Pedagógico PúblicoLA SALLE DE ABANCAY

Programa Nacional de Formación y Capacitación Permanente PRONAFCAP – Educación SecundariaCOMPONENTE MATEMÁTICA

DOCENTES: Raúl Cayllahua Ramirez – Ricardo Quispe Aguilar – Melchor Quintana Olarte

SEPARATA Nº 08-13MATEMÁTICA GRUPO A

Programa Nacional de Formación y Capacitación Permanente PRONAFCAP - 2010

1.- Un auto a 60 km/h, cubre la distancia de Lima a Piura en 16 horas. ¿A qué velocidad debe recorrer para cubrir dicha distancia en la mitad del tiempo?

2.- 24 obreros hacen una casa en 30 días. El triple de obreros ¿Qué tiempo tomarán para hacer la misma obra?

3.- Un tejedor necesitará trabajar 12 horas diarias para hacer los 3/4 de una chompa. ¿Cuánto tiempo empleara para hacer toda la chompa?

4.- Un obrero gana S/. 50 por los 5/9 de su labor diaria. ¿Cuánto gano por su labor diaria completa?

5.- En un cuartel 200 soldados tienen víveres para 40 días, si se cuadruplica el número de soldados. ¿Para cuánto tiempo durarían los víveres?

6.- Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó 3600 soles. ¿Cuánto se pago por un cubo de 15 cm de arista?

7.- Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, un peón cobra 200 soles. ¿Cuánto cobrará por sembrar otro terreno cuadrado de 12 m de lado?

8.- Si 12 gatos cazan 12 ratones en 12 minutos; entonces en cuántos minutos un gato cazara un ratón.

9.- 10 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días?

10.- Jorge camina 8 horas durante 7 días recorrer 225 km. ¿Cuánto recorrerá si camina 12 días a 7 horas diarias?

11.- Si 12 máquinas pueden producir 35 mil lapiceros en 21 horas. ¿Cuántos miles de lapiceros podrán producir 24 máquinas en 18 horas?

12.- Veinte obreros se comprometen a terminar una obra en 28 días, pero después de haber hecho la mitad de la obra 10 de los obreros bajaron su rendimiento en 1/4 debido a las malas condiciones de trabajo. ¿Cuántos días se empleo en

2 ISPP – LA SALLE DE ABANCAYITEM: 4 / SUB ITEM: 4-S

SESIÓN N° 1: REGLA DE TRES

¡¡¡Recordemos conceptos!!!


hacer la obra?

CONCEPTOS BÁSICOSREGLA DE TRES SIMPLE DIRECTAEs cuando se comparan sólo 2 magnitudes directamente proporcionales.MAGNITUD 1 MAGNITUD 2 METODO PRÁCTICO

a1

a2=b1

x⇒

X =

a2 .b1

a1 Ejemplo:Para alimentar a 40 vacas se necesita 25 Kg. de pasto. ¿Cuántas vacas se alimentará con 15 Kg. de pasto si la ración por vaca no varía?Solución:Si disminuye la cantidad de pasto, debe disminuir la cantidad de vacas, para así no variar la ración, luego son magnitudes DP: CANTIDAD DE PASTO Nº DE VACAS _ 25 40 _ 15 X

X =

15 .4025 = 24 vacas

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSAEs cuando se comparan sólo 2 magnitudes inversamente proporcionalesMAGNITUD 1 MAGNITUD 2 METODO PRÁCTICO

a1

a2= xb1

⇒ X =

a1 .b1

a2 Ejemplo:4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma obra 8 hombres?Solución:Como que a más hombres, menos días, estas cantidades son IP. HOMBRES DIAS + 4 _ 12

8 X ⇒ X =

4 .128 = 6 días

REGLA DE TRES COMPUESTAEs cuando intervienen 3 o más magnitudes. (-)MAGNITUDES 1 (+)MAGNITUDES 2 (-)MAGNITUDES 3 (+)MAGNITUDES 4

a1 b1 c1 d

1

a2 X c2 d2



METODO PRÁCTICO:I) La magnitud incógnita se compara con cada una de las otrasII) Si al comparar son DP el cociente se invierteIII) Si al comparar son IP el cociente se mantiene:

⇒ X = b1.a1

a2.c1

c2.d2

d1 EJEMPLO Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias, para cavar una zanja de 10 m. de largo, 6 m. de ancho y 4 m. de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres, trabajando 3 horas diarias, para cavar otra zanja de 15 m. de largo, 3 m. de ancho y 8 m. de profundidad, en un terreno de doble dificultad?.Solución: 10 H 5 d 4 h/d 10 m. L 6 m. a 4 m. p 1 dif 6 H X 3 h/d 15 m. L 3 m. a 8 m. p 2 dif.

⇒ X =

10 .5 .4 .15 .3 . 8 .26 . 3 .10 . 6 . 4 .1 =

1003 =

33 13 días

1. Para pintar 75 m2 de superficie son necesarios 30 galones de pintura. ¿Cuántos serán necesarios para pintar 15m2?a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) N.A.

2. Si 20 obreros construyen 28 metros de pared en cada día. ¿Cuál será el avance diario, si se retiran 5 obreros?a) 13 b) 20 c) 21 d) 25 e) 30

3. Un obrero tiene pensado hacer una pared en 15 días. Pero tardo 3 días más por trabajar 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajo diariamente?a) 8 b) 7 c) 15 d) 9 e) N.A.

4. Un grupo de excursionistas tenían víveres para 24 días. Si cuatro de ellos no pueden realizar la excursión entonces los víveres alcanzaran para seis días más. ¿Cuántas personas realizarán la excursión?a) 20 b) 16 c) 14 d) 12 e) N.A.

5. Si 135 obreros construyen 30 metros de pista, 63 obreros, ¿Cuántos metros construirán en igual tiempo?a) 30 b) 50 c) 60 d) 75 e) N.A.

6. Si 8 chocolates cuestan 145. ¿Cuál será el precio de 6 docenas de ellos?a) 1300 b) 1450 c) 1305d) 1500 e) N.A.

7. 24 carpinteros hacen una casa en 30 días el triple de carpinteros. ¿Qué tiempo tomarán para hacer la misma obra?a) 30 b) 20 c) 10 d) 5 e) 40

8. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m. de lado un peón cobra 200 soles. ¿Cuánto cobrará por sembrar otro terreno cuadrado de 12m de lado?a) 108 b) 109 c) 110 d) 111 e) 107

9. Si un tornillo cuando da 40 vueltas penetra 8 mm en una madera. ¿Cuántas vueltas más debe dar para que penetre 50 mm?a) 200 b) 250 c) 120 d) 210 e) N.A.

10. Un grupo de 24 náufragos llegan a una isla y tienen víveres para 40 días. Si luego de 13 días seis náufragos fallece, ¿Cuántos días más podrán durar los víveres para los restantes? a) 5b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

11. Un buey atado a una cuerda de 2,5 m de longitud puede comer la hierba que esta a su alcance en 3 días. ¿Cuántos días emplearía si la longitud de la cuerda fuera 5m?a) 12 b) 5 c) 7 d) 15 e) N.A.

12. Si por pintar un cubo me cobran 30 soles. ¿Cuánto me cobran por pintar otro cubo cuyo volumen es 8 veces el anterior?a) 50 b) 90 c) 360 d) 240 e) N.A.

13. Cinco obreros pueden hacer una obra en 21 días luego de 5 días de trabajo se les unen 3 obreros más. ¿En qué tiempo se hizo toda la obra?a) 15 b) 12 c) 13 d) 14 e) N.A.

14. Un cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera pero de doble arista?a) 24 b) 72 c) 48 d) 60 e) N.A.

15. Si en 90 litros de agua de mar hay 3 libras de sal. ¿Cuántos litros de agua pura hay que agregar para que en cada 5 litros de la mezcla haya 1/8 de libra de sal?a) 30 b) 20 c) 40 d) 50 e) N.A.



1.- Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días trabajando 5 horas diarias?

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) N.A.2.- Si doce máquinas pueden producir 35 mil lapiceros en 21 horas. ¿Cuántos miles de lapiceros podrán producir 24 máquinas en 18 horas?a) 60 b) 50 c) 30 d) 40 e) N.A.

3.- Diez obreros en ocho días han avanzado

25 de una

obra: si se retiran dos obreros, los restantes. ¿En qué tiempo terminaran lo que falta de la obra?a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) N.A.4.- 15 obreros trabajando 8 horas diarias durante 15 días han hecho 120 metros de una obra. ¿Cuántos días demorarán 25 obreros trabajando 10 horas diarias para hacer 100 metros de una obra en un terreno de doble dificultad?a) 12 b) 13 c) 15 d) 30 e) N.A.5.- Si cinco carpinteros fabrican 40 carpetas en 12 días, ¿en cuántos días dos carpinteros fabricaran 60 carpetas?a) 30 b) 45 c) 60 d) 40 e) 356.- Tres obreros trabajando 8 horas diarias durante 12 días han hecho 24 m de zanja, ¿cuántos hombres se necesitaran para hacer 32.m de zanja en 4 días trabajando 6 horas diarias?a) 16 b) 20 c) 12 d) 32 e) 87.- Si cuatro máquinas textiles de la misma capacidad fabrican 500 chompas en 10 días. ¿Cuántas chompas fabricaron dos de las máquinas durante 6 días?a) 100 b) 200 c) 300 d) 150 e) 2508.- Si 10 obreros pueden hacer una obra en doce días. ¿Cuántos obreros podrán hacer el triple de la obra en 10 días?

a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 209.- En ocho días cuatro costureras pueden confeccionar 240 camisas, ¿cuántos obreros se necesitan para confeccionar 360 camisas en 6 días?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) N.A.10.- Si 16 obreros con una habilidad como 4 hacen una obra en 18 días. ¿En cuántos días 12 obreros con una habilidad como tres harán la misma obra?a) 36 b) 32 c) 30 d) 40 e) 2811.- Una persona ha caminado 360 km en 16 días a razón de 5 horas diarias. ¿Cuántos días tardará para recorrer 693 km caminando 7 horas diarias?a) 11 b) 15 c) 22 d) 27 e) 1812.- Si diez obreros pueden construir cinco casas en 40 días, ¿cuántos obreros podrán construir dos casas iguales que las anteriores en 20 días?a) 12 b) 20 c) 11 d) 9 e) 813.- Una agrupación de 1 600 hombres tienen víveres para 10 días a razón de tres raciones diarias cada hombre. ¿Cuántos días duraran los víveres si cada hombre toma dos raciones diarias?a) 20 b) 18 c) 15 d) 12 e) 2514.- Tres gatos cazan seis ratones en nueve minutos, ¿en cuántos minutos cinco gatos cazaran cinco ratones?

15.- En 24 horas 15 obreros han hecho 1/4 de una obra; ¿cuántas horas empleará otra cuadrilla de 30 hombres doblemente hábiles para terminar la obra?

16.- El comedor de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos atiende a 2000 estudiantes a razón de 3 raciones diarias y tiene víveres para 20 días. Si se tiene un nuevo ingreso de estudiantes se incrementa la atención a 500 estudiantes más. ¿Cuántos días durarán los víveres si se atiende a razón de 2 raciones diarias?

TANTO POR CIENTO

1.- ¿Qué porcentaje del 0,5% de 200 es el 20% del 0,2% de 800?

2.- ¿3, que porcentaje es de 10% del 30% de 2000?


SESION N° 2: PORCENTAJES, ESCALAS Y SEMEJANZA


3.- ¿Cuál es el número cuyo 30% del 80% del 70% de los 4/5 de su 20% equivale a 40% de la quinta parte del 140% de las 6/10 de 5?

4.- ¿Cuál es el número cuyo, 10% de los 2/3 de su 21% equivale al 20% de los 3/10 de 7?

5.- En qué porcentaje aumenta el área de un cuadrado, cuando su lado aumenta en 20%?

6.- Si gastará el 30% del dinero que tengo y ganará el 28% de lo que me quedaría, perdería S/. 1560. ¿Cuánto tengo?

7.- Si gastará el 20% del dinero que tengo y ganará el 10% de lo que me quedaría, perdería S/. 840. ¿Cuánto dinero tengo?

8.- Si “P” aumenta en 60% se iguala a “Q”. ¿Qué porcentaje de “Q” es lo que aumenta “P”?

9.- Si “A” es 150% de “B”, ¿Qué porcentaje es B de “A + B”? 10.- El 40% del 50% de “x” es el 30% de y. ¿Qué porcentaje de (2x + 7y) es (x + y)?

11.- Si el 84% N es igual al 105% de (N - 120). ¿Qué porcentaje de “N” representa 192?

12.- Se tiene un triángulo cuya base disminuye el 10% y su altura el 20%. ¿En cuánto disminuye su arco?

13.- Un hombre al morir dispone que de su fortuna, que asciende a S/ 200000, se entregue el 35% a su hermano mayor; el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a un asilo. ¿Cuánto correspondió al asilo?

14.- Se vende el 20% de una finca de 80 hectáreas, se alquila el el 50% del resto y se cultiva el 25% del nuevo resto. Hallar la porción cultivada




CONCEPTOS BÁSICOSTANTO POR CIENTOSe denomina tanto por ciento a la cantidad de unidades que se consideran de cada 100.

4 x 100 = 4 por ciento = 4% =

4100

7 x 100 = 7 por ciento = 7% =

7100

En general:

A% de N = [a

100 ] x NNomenclatura:

P = porcentajeC = Cantidadt= Tanto por cientoCasos BásicosI. P % N = ?

Hallar el 15% de 200Sol:

II. P% ? = REl 20% de qué número es 60.Sol:

III. ?% N = R¿Qué porcentaje de 300 es 20?

Operaciones con porcentajesI. Suma y/o restas

a% de N b% de N = (a b)% de N

Ejem:23% A + 17% A =

II. Producto

a% x b% =

a100

x b100

=( ab100 )% CONCEPTOS PREVIOS

I. P.v. : Precio de Ventaa) Pv = Pc + G P.c. : Precio de costo

G : Gananciab) Pv = Pc - P

P. : PérdidaII. GN = GB – G GN : Ganancia Neta

GB : Ganancia BrutaG : Gastos

III. PF = PL = PM PF : Precio fijadoPL : Precio de listaPM : Precio de marca

Para el punto I en “a”, este precio de venta es cuando existe ganancia y en “b” cuando existe perdida.

Para el punto II la ganancia neta es el saldo neto descontando todos los gastos originados.

En el punto III generalmente el precio fijado, el precio de lista y el precio marcado son iguales.

DESCUENTOS SUCESIVOS:

DU=Descuento ÚnicoAUMENTO SUCESIVO:

AU=Aumento Único

1.- Juan Tiene que pagar 90 soles. Si le rebajan el 5% de su deuda. ¿Cuánto tiene que pagar todavía?a) 80,5 soles

b) 75,5 solesc) 85,5 solesd) 60,5 soles


A(25%)Otras

(30%)

B(35%)

C(10%)


e) 70,5 soles2.- Un metro de tela me cuesta 15 soles. ¿A como tengo que venderlo para ganar el 20% del costo?a) 18 soles b) 15 soles c) 20 soles d) 16 soles e) 17 soles 3.- Un agente tiene 12% de comisión en las ventas que haga. Si vende 14 docenas de pañuelos a S/ 6 cada una. ¿Cuál es su comisión?

a) S/ 10,08 b) S/ 9 c) S/ 15 d) S/ 14 e) S/ 194.- Tenía 30 lápices. Di a mi hermano Enrique el 30%, a mi primo Orlando el 20% y a mi amigo Héctor el 10%. ¿Cuántos lápices me quedaron?

a) 16 b) 8 c) 5 d) 14 e) 125.- Un hombre al morir dispone que de su fortuna, que asciende $20000, se entregue el 35% a su hermano mayor; el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a un asilo. ¿Cuánto correspondió al asilo?

a) $7800 b) $8000 c) $9200 d) $8400 e) $75006.- Se vende el 20% de una finca de 40 hectárea, se alquila el 50% del resto y se cultiva el 25% del nuevo resto. Hallar la porción cultivada.

a) 6ha b) 8ha c) 5ha d) 4ha e) 9ha7.- Una compañía adquiere una propiedad de 1800 caballerías de este modo: el 22% de la finca lo paga a $2000 la caballería; el 56% a $800 la caballería y el resto a $500 la caballería ¿A cuánto asciende la compra?a) $1796000b) $1796500c) $1796400d) $1796800e) $1796450

8.- De los 80 libros que tenía un librero vendió el 45% a $1,25 c/u; el 75% del resto a $1,20 c/u, y el resto a $1 c/u. ¿Cuál es el importe total de la venta?

a) $96,50 b) $96,40 c) $95,60 d) $95,40 e) $95,80 9.- Mi finca tiene 480 hectáreas. El 35% de la mitad de mi finca lo tengo sembrado de caña y el resto de la finca de frutos menores. ¿Cuántas hectáreas. Tengo sembradas con frutos menores?a) 369hás b) 396hás c) 386hás d) 394hás e) 390hás10.- Rosa ganaba S/ 520 y ahora gana S/ 650. ¿En qué % aumentó su sueldo?

a) 20% b) 25% c) 75% d) 21% e) 22%11.- En una población de 24600 habitantes, el 63% son menores de 18 años. ¿Cuántos menores de 18 años hay en dicha población?

a) 15498 b) 15948 c) 16248 d) 15844 e) 1494512.- En una tienda, se venden camisas a S/ 15 cada una, pero si se desea una docena, descuentan el 20%. ¿Cuánto se pagará por 3 docenas de camisas?.a) S/ 423 b) S/ 512 c) S/ 460 d) S/ 450 e) S/ 43213.- Una empresa encuestadora, manifiesta que el horario que pasan el Chavo del 8, 3 de cada 5 televisores encendidos sintonizan dicho programa. ¿Qué % representa dicha sintonía?.

a) 45% b) 37,5% c) 40% d) 33,3% e) 60%14.- Una casa está valorizada en $ 64000. Para comprarla se pide el 15% de cuota inicial y el resto en 80 letras mensuales iguales. ¿Cuál es el pago mensual de cada letra?

a) $520 b) $860 c) $580 d) $680 e) $62015.- Un anciano padre dispone en su testamento la repartición de su fortuna entre sus 3 hijos. El primero recibirá el 36%, el segundo recibirá el 24%, el tercero recibirá el resto. Si la fortuna asciende a $75000. ¿Cuánto recibirá el tercer hijo?a) $27000b) $25000 c) $30000d) $32000e) $36000

16.- El siguiente gráfico muestra la preferencia del público hacia un candidato en las “Elecciones 2006” (n = 7000)

¿Qué cantidad de votantes se inclinan por el candidato “B”?a) 700 b) 2450 c) 1750 d) 2100 e) 3500

1. Se compró un nintendo en S/. 600 y luego se vendió perdiendo el 25% del precio de costo. ¿En cuánto se vendió?a) S/. 520 b) 450 c) 380 d) 460 e) N.A.

2. Luego de hacer dos descuentos sucesivos de 20% y 10% un artículo costo S/. 288 ¿cuál era su precio?a) S/. 600 b) 500 c) 400 d) 300 e) N.A.

3. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en S/. 180 habiéndose hecho un descuento del 20%?a) S/. 225 b) 226 c) 224 d) 220 e) N.A.

4. Alva compra 50 botellas de gaseosa a S/. 1 cada una. Si decide venderlas ganando el 40% en cada botella. ¿Cuál es el monto obtenido por la venta de las botellas?a) S/. 1,4 b) 20 c) 70 d) 60 e) 120

5. Mafalda vende una revista a S/. 28 ganando el 40% del precio de compra ¿Cuánto le costo la revista a Mafalda?a) S/. 12 b) 18 c) 20 d) 21 e) 23

6. Un televisor me costo S/. 450 y lo vendí a S/. 600. ¿Qué porcentaje del precio de venta gane?a) 100/3% b) 20% c) 25% d) 30% e) 15%

7. Un DVD es vendido a S/. 320 ganando el 25% del precio de compra. ¿Cuál fue la ganancia obtenida?a) S/. 220 b) 250 c) 54 d) 60 e) 64

8. Pamela vende un florero a S/. 80 con una pérdida del 30% de su precio de venta. ¿Cuál fue el precio de compra?a) S/. 56 b) 104 c) 100 d) 80 e) 98

9. El precio de costo de un artículo, representa el 60% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de venta es la ganancia?




a) 5% b) 10 c) 30 d) 40 e) 4510. Se compra un artículo en S/. 120. ¿Qué precio debe

fijarse para la venta, para que teniendo un descuento del 25% todavía se gane el 20% del costo?a) S/. 156 b) 172 c) 196 d) 192 e) 189

11. Un comerciante rebajo en 12% el precio de sus mercaderías, para que sus ingresos aumenten en 10%. ¿En qué porcentaje debe aumentar la producción?a) 5% b) 10 c) 15 d) 25 e) 30

12. Una persona compró un reloj en S/. 69, como tenía necesidad urgente de dinero, tuvo que vender el reloj perdiendo el 15% de la venta cuál fue el precio de venta?

a) S/. 62 b) 48 c) 58 d) 52 e) 6013. María compra una cartera y le hacen dos descuentos

sucesivos del 20% y el 30%. Si pagó S/. 11,20. ¿Cuánto costaba la cartera?a) S/. 18 b) 20 c) 24 d) 28 e) 30

14. Una persona compra un terreno y lo vende ganando 1/5 del precio de compra. Si la venta la hubiese realizado incrementando el precio en 10% entonces su ganancia se hubiese incrementado en:a) 10% b) 25 c) 30 d) 50 e) 60

15. Se vende un lapicero en S/. 56 ganando un porcentaje sobre el costo igual al número de soles que costo el lapicero, hallar el costo del lapicero.a) S/. 25 b) 30 c) 42 d) 40 e) N.A.

1.- ¿Cuántos centímetros representa en el papel un puente de 43,2metros de largo, si el dibujo se hace a una escala de 1:720?a) 8cm b) 6cm c) 7,2 cm d) 9cm e) 6,2cm

2.- En un dibujo para construcción, se observa que un dormitorio rectangular mide 3cm de ancho por 4cm de largo. Si el dibujo está hecho bajo una escala de 1/78. ¿Cuáles son las dimensiones reales del dormitorio?a) 2,34m y 3,12m b) 3m y 4m c) 3,12m y 4,34m d) 2m y 3m e) NA.

3.- ¿Cuántos centímetros representa en el papel una varilla de fierro de 19,20metros de largo, si el dibujo se hace en una escala de 1:640?a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8

4.- El dibujo de una antena de transmisión de radio se hace bajo una escala de 1: 880. si la altura real de dicha antena es de 22 metros. ¿Cuántos centímetros en el papel representa la altura de la antena?a) 3 b) 5 c) 2 d) 2,5 e) 3,5

5.- En el plano de una ciudad, confeccionado a una escala de 1:45000, el largo de una avenida en el papel esta representado por 4,75cm. ¿Cuál es la longitud real de dicha avenida?a) 3615m b) 4615m c) 2137,5m d) 1316m e) 1817,5m

ESCALASCONCEPTO: La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos. Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo. Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es: E = dibujo / realidad


ESCALAS

A B

CD


Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural). Es la relación matemática entre las dimensiones reales y el dibujo en un plano.

1.- ¿Cuáles deben ser las dimensiones de una sala rectangular representadas en el papel al dibujar a una escala de 1:50, si se sabe que las dimensiones reales son 8m de largo por 6m de ancho?a) 16cm y 12cm b) 10cm y 4cm c) 12cm y 10cm d) 14cm y 12cm e) 10cm y 8cm 2.- Los lados de un terreno triangular miden. 6m, 9m y 12m. si deseamos dibujar en un papel dicho terreno a una escala de 1:60. ¿Cuál será el perímetro de dicho terreno dibujado en el papel?.a) 32cm b) 45cm c) 25cm d) 55cm e) 60cm3.- Una casa ocupará un terreno cuadrangular que al ser dibujada en un papel a una escala de 1:20 ocupará un área de 400cm2 en dicho papel. ¿Cuál es la longitud real de uno de los lados de dicho terreno?a) 22m b) 20m c) 28m d) 26m e) 4m4.- Se tiene un terreno rectangular cuyas dimensiones son 80m por 40m. Si se dibuja a una escala de 1:250. ¿Cuál será el área del dibujo que representa el terreno rectangular?a) 618cm2 b) 512cm2 c) 496cm2 d) 480cm2 e) 720cm25.- Un terreno de forma cuadrangular debe ser vendido en S/ 15,00 el metro cuadrado. Si tal terreno está dibujado en un papela una escala de 1:850 y en este dibujo cada lado mide 4cm. ¿Cuál es el valor del terreno?a) S/ 1340,00 b) S/ 12340,00 c) S/10563,00 d) S/ 17340,00 e) S/ 10463,006.- Si en un mapa 0,4cm representa 6m. ¿Cuántos metros estarán representados por 5,6cm?.a) 80m b) 84m c) 88m d) 92m e) 96m7.- En un dibujo a escala 1/3 cm representa a 2,5km. Si se tiene dibujado un cuadrado de 4cm de lado, ¿Cuántos km2 de superficie real representa tal dibujo?a) 700km2 b) 550km2 c) 620km2 d) 900km2 e) 800km28.- Cierto dibujo tiene gráficos hechos a escala donde cada centímetro representa 4m de longitud real. Uno de tales gráficos es un cuadrado de 2,5cm de lado en el papel. ¿A cuántos m2 estará representando dicho cuadrado?a) 100m2 b) 120m2 c) 110m2 d) 90m2 e) 160m2

9.- Un barco es construido bajo una escala de 1:720. Siendo el barco en miniatura de una longitud de 13,4cm; se nos pide calcular la longitud real de dicho barco.a) 9648cm b) 96,48m c) 964,8dm d) 96480mm e) Todas Anteriores10.- Al construir un edificio, el ingeniero encargado elaboró un plano a escala, tal que 1/3cm representa una longitud de 2m. Si el largo de una de las oficinas en el plano mide 5cm. ¿Cuál es el largo de la misma?a) 6m b) 15m c) 60m d) 30m e) todas11.- El cuadrado ABCD esta dibujado a una escala de 1:250. Si cada cuadradito tiene 2cm2 de área. ¿Cuál es el área real del cuadrado ABCD?a) 58m2 b) 50m2 c) 40m2 d) 500000cm2 e) NA.

12.- La figura mostrada está construida a una escala de 1/50. Calcular el área real de ABCD, sabiendo que cada cuadradito tiene 3cm2 de área.a) 32m2 b) 36m2 c) 54m2 d) 40m2 e) 22m2


1cm4m = 1cm

400cm = 1400

Escala:1

400

1cm2km = 1cm

2(100000cm )=1

200000

Escala:1

200000

10cm1mm =10 (10mm )

1mm = 1001

Escala: 1001

EL MÉTODO DEL ESPEJO PARA MEDIR LAS ALTURAS

Se coloca un espejo con la cara hacia arriba a una distancia conocida del edificio, montaña o árbol que se intenta medir como es nuestro caso, y la persona que esa siendo la medición se mueve hasta que ve reflejado en el espejo el punto más alto del árbol.

En ese momento, se mide la distancia que la separa del espejo y se obtiene dos triángulos semejantes.

En el dibujo, los datos conocidos son: Distancia del espejo a la persona que hace la medición (3 m), su altura (1,80 m), distancia del espejo al árbol (30 m) y con dichos datos se calcula la altura del árbol.



13.- El área real de la figura sombreada es de 25.92m2. Si el dibujo esta hecho en una escala de 1:120. ¿Cuál es el área de cada cuadradito de tal dibujo?a) 2cm2 b) 1,5cm2 c) 1cm2 d) 3cm2 e) 0,5cm2 14.- Al tomarle foto a una persona de 1,80m de estatura,

aparece con una altura de 12cm. ¿En que escala está?a) 1:18 b) 1:15 c) 1:12 d) 1:20 e) 1:3015.- Cuando un escultor hizo el Vaticano en miniatura, obtuvo una altura de 25cm; si la altura real es de 60m. ¿Con qué escala trabajó el escultor?a) 1:60 b) 1: 100 c) 1: 240 d) 1:200 e) 1:250

Las abejas ... , en virtud de una cierta intuición geométrica ... , saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo,

y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.Papus de Alejandría


SEMEJANZA



SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

El concepto de semejanza en matemática

está muy ligado al concepto de proporcionalidad.

Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.

Un geógrafo utiliza un mapa y lo diseña a una escala de 1:5000, es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.

Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas.

En consecuencia dos pares de figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero diferente tamaño, esto es cuando sus medidas aumentan o disminuyen en forma proporcional.

Triángulos Semejantes: Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de sus lados homólogos correspondientes están en una relación de ampliación o reducción en forma proporcional al triángulo inicial manteniendo constante los ángulos.

El ABC es semejante al DEF, si:

i)

ii) ABC DEF.

Lados homólogos: Son los lados que en triángulos semejantes se oponen a los ángulos congruentes.


FIGURAS SEMEJANTES


1. Ángulo – Ángulo (AA)

Dos triángulos son semejantes, si tienen dos ángulos respectivamente, congruentes.

2. Lado – Ángulo – Lado (LAL)

Dos triángulos son semejantes, si tienen un par de ángulos congruentes y los lados que forman dicho par de ángulos son proporcionales.

3. Lado – Lado – Lado (LLL)

Dos triángulos son semejantes, si sus tres pares de lados respectivamente proporcionales.

Teorema de Thales en un Triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento B’C’ paralelo a BC, se obtiene otro triángulo AB’C’ , cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

CASO

S D

E S

EMEJ

ANZA

DE

TRI

ÁNG

ULO

S

C D

A B


La figura muestra un jardín de forma triangular de un parque y una vereda sobre uno de sus lados (parte sombreada).Los lados del jardín miden 10 m, 14 m y 8 m, y la vereda ya construida mide 15 m en su parte exterior. ¿Cuánto medirán, en su parte exterior, las dos veredas que faltan construir, si sus lados son paralelos?Para resolver problemas como el propuesto, es necesario conocer y aplicar el concepto de triángulos semejantes que estudiaremos en este tema.

Observa cada pareja de figuras.

Cada pareja de figura tienen la misma ………….. y tamaños diferentes.Para expresar que dos figuras son semejantes utilizamos el símbolo “ ” que se lee “… es semejante a…”

A B Se lee A es semejante a BSi dos figuras tienen la misma forma y tamaño se dice que son congruentes y se denota por “ ” que se lee “es congruente a”

La figura A es semejante con B.La figura C es congruente con D.

Ojo: ¿Dos figuras congruentes son semejantes? En efecto, son semejantes porque tienen la misma forma.

APLIQUEMOS:1. En el siguiente conjunto de figuras identifica aquellas

que son semejantes entre sí.

…..~….. …..~….. …..~…..

…..~….. …..~….. …..~…..

2. ¿Es posible que dos triángulos sean semejantes, si el primero contiene ángulos que miden 50◦ y 79◦, y el segundo uno de 79◦ y otro de 51◦? ¿Por qué?

3. ¿Es posible que dos triángulos rectángulos sean semejantes, si el primero contiene un ángulo que mide 26◦, y el segundo uno de 64◦. ¿Por qué?

4. En las figuras siguientes, empléese la información dada para determinar si las parejas de triángulos son o no, semejantes. En caso positivo establecer cual criterio lo confirma.


AB

CD

E FG H

I J K

A

B CD

122

8

E

A

B C

P Q R

x

415

30 1,8

1,5

h

A

B

C

7

68

x

P

Q


5. Un triángulo tiene dos lados de longitud 10cm y 6cm y el ángulo comprendido entre ellos de 100◦. Otro triángulo tiene lados de 5cm y 3cm y el ángulo entre ellos dos es de 100◦. ¿Cuál es la razón de semejanza si existe?

6. Un triángulo tiene como medidas de sus lados 27 metros, 32 metros y 40 metros y un dibujo a escala de lados 135mm, 160mm y 200mm. ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Cuál es la razón de semejanza?

7. Un triángulo tiene como medidas de sus lados 8m, 6m y 12m y otro triángulo tiene medidas 6m, 4m y 3m. ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Cuál es la razón de semejanza?

8. Para medir la anchura de un río, sin tener que atravesarlo, se clavaron 4 estacas BCDE, tal como muestra la figura. Teniendo en cuenta las medidas signadas en el gráfico, determinar la anchura del río.

9. En la figura adjunta, hallar AP, Si PQ = RC.

10. Para determinar la altura h de un árbol, en un día soleado, se ha realizado lo siguiente:a) Se ha plantado una estaca vertical, a un lado del

árbol, que alcanzó una altura de 1,5 m del suelo.b) Se midió la longitud de la sombra de la estaca

que resultó 1,8 m.c) Se midió la longitud de la sombra proyectada por

el árbol, 30 m. ¿Cómo utilizar estos datos para obtener la altura h del árbol?

11. En la figura mostrada determinar PQ.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dado los triángulos ABC DBE, , con B-D-A y B-E-C, como se muestra en la figura. Dibuje ambos triángulos separados y establezca la correspondencia entre los ángulos y sus respectivos lados.



2. Un triángulo tiene como medidas de sus lados 8m, 24m y 15m y otro triángulo tiene medidas 5m, 4m y 8m. ¿Son semejantes estos triángulos? ¿Cuál es la razón de semejanza?

3. Las medidas respectivas de los lados de un triángulo son 3cm, 5cm y 6cm. Si el más corto de los lados de otro triángulo semejante mide 4cm, encontrar la medida de cada uno de los otros dos lados. Sugerencia: Haga el dibujo de los triángulos en la posición normal y asigne sus medidas.

4. Las medidas respectivas de los lados de un triángulo son 12cm, 14cm y 9cm. Si el más largo de los lados de otro triángulo semejante mide 350cm, encontrar la medida de los otros dos lados.

5. Las medidas respectivas de los lados de un triángulo son 21cm, 18cm y 36cm. Si un lado mide 7cm y no es el más largo ni el más corto de los lados de un triángulo semejante, encontrar la medida de los otros dos lados.

6. Un triángulo tiene dos lados de longitud 2cm y 4cm y el ángulo comprendido entre ellos de 70º. Otro triángulo tiene lados de 8cm y 3cm y el ángulo entre ellos dos es de 70º. ¿Cuál es la razón de semejanza si existe?

7. Un triángulo tiene dos lados de longitud 125cm y 130cm y el ángulo comprendido entre ellos de 45º. Otro triángulo tiene lados de 26cm y 25cm y el ángulo entre ellos dos es de 45º. ¿Cuál es la razón de semejanza si existe?

8. Si un hombre de 1.75m de altura proyecta una sombra de 3.50m, ¿qué sombra proyectará un poste de 8.25m ?

9. Si un árbol de 20 metros proyecta una sombra de 45 metros, ¿qué sombra proyectará un árbol de 30 metros?

10. Un edificio de 95 metros de altura proyecta una sombra de 650 metros, un hombre quiere aprovechar esta situación para calcular su estatura, si su sombra es de 11.60 metros.

11. Sean los ABC DEF, pero el perímetro del DEF es 3/4 del perímetro del ABC.

(a) ¿Qué longitud tiene cada uno de los lados del DEF?

(b) ¿Qué razón hay entre las longitudes de dos lados correspondientes cualesquiera?

(c) ¿Cuál es la razón de semejanza de las áreas? ¿Qué relación tiene con la de los perímetros y los lados?

12. En la figura se pide EF si ABCD es un cuadrado de lado 12 y BM = MC.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 8,5

13. Hallar el lado del cuadrado PQRS si AP=4 y SC=9.

A) 4B) 5C) 6

D) 7E) 8

14. Hallar “BC” si AF = 16 y FB = 2.A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9

15. En la figura, hallar “x” si a=12 y b=4. A) 1B) 2C) 3D) 2,5E) 3,5

16. Calcular el lado del cuadrado PQRS sabiendo que: b = 6 y h = 4.

A) 4B) 4,8C) 5D) 5,2E) 2,4

17. En la fig.: Hallar AD si = 25 cm.A) 5B) 20C) 15D) 12

18. Los lados de un triangulo miden 10 cm., 12 cm., y 15 cm., cuánto mide el lado menor de otro triangulo semejante si la razón de semejanza es 2/5.A) 15c B) 24cm C) 25cm D) 20cm

19. La sombra que proyecta un árbol es de 3,60 m si una varilla de 1,40 m de altura proyecta en ese instante una sombra de 0,84 m cual es la altura del árbol.A) 2m B) 5m C) 6m D) 4m

20. La foto de frente de un edificio tiene 4,6 cm. por 6,9 cm., si el largo del edificio tiene 20 m cual es su altura.

A) 30m B) 24m C) 28m D) 22m



¿PODEMOS ADIVINAR LA EDAD DE UNA PERSONA?

En un espectáculo el MAGO realiza el siguiente truco: A los años que tienes tú … Súmale 15 años … Multiplica por 3 al resultado Al resultado obtenido réstale 9 años .... Divídelo entre 3 ... Luego réstale 8 años .... Dime cuál es el resultado obtenido y te diré cuántos años tienes. El espectador dice: 32

Instantáneamente El mago afirma con solvencia: La edad que tienes es 28 años

¿Cómo lo hizo?

LENGUAJE COLOQUIAL Y LENGUAJE MATEMÁTICO

La mayoría de las personas tiene en general la siguiente opinión de las matemáticas: las imagina como un instrumento muy práctico para hacer cuentas y/o para medir o en muy pocos casos una garantía de certeza, generalidad y calidad científica. Pero se le escapa una característica esencial, básica, de las matemáticas: la lingüística.

LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE MATEMÁTICO

Yo tengo S/. 40 más que tú

El exceso de mi sueldo sobre tu sueldo es 120 soles

En una reunión hay tantos hombres como el triple del número

de mujeres

7 menos cuatro veces un número

La suma de dos números consecutivos es 56


SESIÓN N° 3: LENGUAJE COLOQUIAL Y ALGEBRAICO-ECUACIONES


El doble de un número aumentado en 7

El doble de un número, aumentado en 7

A es dos veces más que B

En un aula el número de alumnos es al número de alumnas

como 3 es a 4

El número de carpetas excede en 10 al número de sillas

El cuádruplo de lo que tengo aumentado en 30

El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 30

Lo que gana Abdías es dos veces más de lo que gana Jenny

El número de tizas excede al número de motas

Lo que falta a m para ser igual a N es 60

Lo que sobra a M para ser igual a N es 60

La suma de tres número enteros consecutivos

La suma de tres números pares consecutivos

Tres números estás en la relación a 4; 5 y 6

“x” excede a “y” en 9 unidades

Tu edad aumentado en su quinta parte

Un número

El duplo, el doble de un número

La mitad de un número

El opuesto de un número

Números consecutivos

Un número par

Números pares consecutivos

Un número impar

Números impares consecutivos

El triple de un número

El cuádruplo de un número

La tercera parte, el tercio de un número

La cuarta parte de un número

El cuadrado de un número

El cubo de un número

El cuadrado del siguiente de un número

El cubo del siguiente de un número

La razón entre dos números : división



El producto entre dos números: multiplicación

La diferencia entre dos números: sustracción

La suma de dos números : adición

El triple de un número, aumentado en su mitadEl triple , de un número aumentado en su mitadEl cuadrado de un número, aumentado en cincoEl cuadrado, de un número aumentado en cincoLa suma de los cubos de dos númerosEl cubo de la suma de dos númerosLa suma de dos números consecutivosLa suma de tres números pares consecutivosEl triple de un número excede en 5 a su mitad El doble del exceso de un número sobre 27 es 21 El producto de 3 números consecutivos es 60

Ahora inténtalo al revés: Lenguaje matemático: Enunciados:

7x-5 ………………………………..………………………………………………………………………………

4(x-3) ………………………………………… ……………………………………………………………………

6-2x=4 ………………………..……………………………………………………………………………………

a-b=9 …………….. …………………………………………………………………………………………………

x+(x+2)+(x+2) ………………………………………………………………………………………………………………

x(x+2)(x+4) ……………………………………………………………………………………………………………

x3+y3 ……………… ………………………………………………………………………………………………

mn=5

4 ……………………….…………………………………………………………………………………………

4 x+ x

2 …………………………………………………………………………………………………….……………

x2+ y2……………………………………………………………………………………………………………..…………

( x+ y )2…………………………………………………………………………………………………………….………….

40 – x = x – 10 …………………………………………………………………………………………………………………………

ab=5

7 ………………………………………………………………………………………………………………………….

(x-1)+x+(x+1)=36 ………………………………………………………………………..…………………………………….………….

m – n = 12 ……………………………………………………..………………………………………………………………….

(2x−3)2……………………………………………………………………………………………………………………….


1 2 3

4

5 6

7 89

10

11

12 13

14

15

16


(2x )2−3 ………………………………………………………………………………………………………………………….

2 x2−3 …………………………………………………………………………………………………………………….ECUACIONESCRUCIGRAMA

Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendrás que resolver 17 ecuaciones de primer grado.

¡Anímate!

Verticales1)

2)

3)

5)

8)

9)

13)

15)

Horizontales3)

4)

6)

7)

10)

11)

12)

14)

16)

¿Qué tal, resultó divertido?

1. IGUALDAD

Una igualdad es una relación de comparación entre dos expresiones el cual nos indica que tienen el mismo valor.

Las igualdades pueden ser a) Absolutas Incondicionales.b) Relativas Condicionales

2. ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad condicional que queda sólo satisfecha sólo para algunos valores asignados a sus variables. Ejemplo:La ecuación:

Su variable o incógnita es “x”.Queda satisfecha sólo para: x=6



SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN.

Aquellos valores que asumen las incógnitas o variables las cuales verifican o satisfacen una ecuación.Ejemplo.En la ecuación: 3x+4=x+10Su raíz o solución es: x=3

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuación. Se denota con: C.S.

Ejemplo:1)En la ecuación: x2+3x=-4Son sus soluciones: -1 y -4, luego se escribe:

C.S.=-1; -4 tiene 2 soluciones.

Existen diferentes tipos de ecuaciones, pero en esta oportunidad sólo estudiaremos las ecuaciones de primer grado con un incógnita y los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Llamadas también ecuaciones lineales, son aquellas que se reducen a la forma:

Donde : A, B : coeficientes; “x” : incógnita.

La solución es: x=

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN.

De la igualdad: Ax=B, analizamos que:

CASOS EJEMPLOS

I)Si: B y A0la ecuación es compatible determinada.

1.Resolver la ecuación:4x17 =3x 24

II)Si: B=0 y A=0 la ecuación es incompatible indeterminada. 2.Resolver la ecuación:2(x-5)+2x=4(x-3)+2

III)Si: B0 y A=0 la ecuación es incompatible.

3.Resolver la ecuación:4(x-5)+3x=7x-15



RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DEPRIMER GRADO

Para resolver ecuaciones lineales se sugiere utilizar el método de transposición de términos, que consiste en llevar al primer miembro los términos que tienen la incógnita y al segundo miembro los términos independientes de la incógnita, considerando que:

1)Si un término o expresión en un miembro está sumando pasa al otro miembro restando y viceversa.2)Si un término o expresión en un miembro está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa.

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 9(13x)4x = 5(212x)9x 2. 3 4x(252x) = 8x2 x 300

3. 4.

5. 6.

EJERCICIOS PROPUESTOS:1. 2(9x49) = 15x 10

4. 120 = 2x (15 7x)

7. 15(x 1) 20(x1) = 75

12. 3 4x(252x) = 8x2 x 300

2. 5[2x4(3x1)] = 10x 20

5. 5(3x2)= 8(92x)

8. x13=4[3x4(x2)]

3.

9.

10.

12.

11.



13.

1.SISTEMA LINEAL DE DOS INCÓGNITAS.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es aquella que se reduce a la forma:

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales los más utilizados son:

1. MÉTODO DE ELIMINACIÓN.Con un ejemplo:Resolver:

Solución.Eliminamos la variable “y”, para ellos multiplicamos a la ecuación (1) por 3.

Sumamos las ecuaciones (3) y (2) y obtenemos:

7x=28

x=4En la ecuación (1), sustituimos el valor de “x” y obtenemos el valor de “y”2(4)y=6 8y=6. De donde: y=2Luego: CS={(4,2)}

2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.Con un ejemplo:Resolver:

Solución.Despejamos en una de las ecuaciones una de las variables, despejaremos en (2) la variable “x”x3y=23x=233y…..(3)Sustituimos en (1)3(233y)2y=369-9y2y=311y=369Luego: y=6Para hallar x sustituimos y=6 en (3)x=233(6) x=5CS={(5,6)}

3. MÉTODO DE IGUALACIÓN.Con un ejemplo:Resolver:

Solución:Despejamos una de las variables en ambas ecuaciones, en este caso despejaremos x:

Igualamos ambas ecuaciones y hallamos “y”

Finalmente hallamos “x”:X=7-2(3)=1CS={(1,3)}

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:


SESIÓN N° 4: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DIVISIBILIDAD


1. 2.

3. 4.

5. 6.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1. 2.

3.

4. 5.6.

7.8.

9.



10. 11. 12.

SESIÓN N°4: PLANTEO DE ECUACIONESPara resolver un problema utilizando ecuaciones, es necesario saber traducir al lenguaje matemático, expresiones que están en el lenguaje literal.Se sugiere seguir los siguientes pasos en el proceso de resolución de problemas:

1. Leer y releer detenidamente el problema.2. Determinar las incógnitas y representarlas con variables.3. Relacionar los datos con la incógnita, construyendo expresiones donde figuren las variables.4. Igualar expresiones obteniendo ecuaciones.5. Resolver las ecuaciones.6. Comprobar los resultados. Una de las dificultades que encuentran los estudiantes en la resolución de problemas, es expresar algebraicamente, frases matemáticas literales, por ello sugiero que practique con los siguientes ejercicios para iniciarse en el planteo de ecuaciones:

1.La suma de tres números impares consecutivos es 195. Hallar el término intermedio.

SOLUCIÓN

2. Hallar dos números, si sabemos que su suma es 730 y que cuando se divide el mayor entre el menor el cociente es 4 y el residuo es 80. El mayor es:

SOLUCIÓN

3. Jaime tiene 200 soles más que Marcela. La razón entre las cantidades que tienen es como 1 es a 9. ¿Cuánto tiene Marcela?.

SOLUCIÓN

4. El número de hombres es cinco veces el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay?

SOLUCIÓN

5. A Gildder le preguntan la hora y responde: "Quedan del día nueve horas menos que las ya transcurridas". ¿Qué hora es?

SOLUCIÓN

6.Por cada 2 monedas de S/.5 tengo 3 monedas de S/.2. Si gastara S/.30 tendría S/.50. ¿Cuántas monedas tengo en total?.

SOLUCIÓN

7.Carla tiene S/.120 y su hermana no tiene nada. ¿Dentro de 8.Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores



cuántos días tendrán lo mismo si Carla deposita S/.3 por día y su hermana empieza a S/5 por día?

SOLUCIÓN

S/.250. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno S/.300. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente?.

SOLUCIÓN

9.En un campeonato de ajedrez, donde intervienen 120 jugadores, compitiendo cada uno de ellos una sola vez, se observo igual número de ganadores que de empatadores, ¿Cuántas partidas terminaron empatadas?

SOLUCIÓN

10.Melissa recibió 4 soles y tuvo entonces 5 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 4 soles. ¿Cuánto tenía al principio?

SOLUCIÓN

11.Un grupo de personas gastarán 120 soles, como 4 de ellas no pagan, cada una de las tres restantes deben abonar 5 soles más. ¿Cuál era el total de personas?

SOLUCIÓN

12.Un hombre compró un reloj y una cadena a igual precio. Pasado algún tiempo, volvió a comprar otro reloj y otra cadena, ésta 90 soles más barata que la primera y aquél 60 soles más caro que el primero, resultando el precio del reloj el doble que el de la cadena. ¿Cuánto costó la segunda cadena?

SOLUCIÓN

EDADESEn esta parte se debe tener en cuenta que en los problemas intervendrán: sujetos, tiempos y edades.

SUJETOSSon los protagonistas que generalmente son las personas y en algunos casos los animales, los árboles, etc.

TIEMPOSEs uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado se complicará la resolución del problema.

PRESENTE PASADO FUTUROTengo, tienes, tenemos, mi edad es, tú

tienes, la suma de nuestras edades es, ...

Tenía, tenías, hace 20 años, cuando él tenía, ...

Tendré, dentro de 5 años, cuando tú tengas, tendremos, ...

EDAD Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Se da generalmente en años, pero puede darse en días o meses.Podemos clasificar a los problemas en dos tipos:

TIPO EJEMPLOCUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLO SUJETO:

Hace 5 años tenía la mitad de los años que tendré dentro de 4 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 10 años?

SOLUCIÓN



CUANDO INTERVIENEN LAS EDADES DE 2 Ó MÁS SUJETOS

Las edades actuales de Lady y Sebastián están en la relación de 5 a 4 respectivamente. La edad que tendrá Sebastián dentro de 5 años es igual a la edad que tenía Lady hace 4 años. ¿Cuántos años tenía Lady cuando nació Sebastián?

SOLUCIÓN

1.Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años?

SOLUCIÓN

2.¿Qué edad tengo, si la edad que tenía hace 10 años es a la edad que tendré dentro de 50 años como 1 es a 4?

SOLUCIÓN

3.Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuántos años tengo hoy?.

4.Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. ¿Cuántos años tengo, si la suma de nuestras edades actuales es 42 años?

SOLUCIÓN

5.Lucy tiene 30 años, su edad es el quíntuplo de la edad que tenía Gina, cuando Lucy tenía la tercera parte de la edad actual de Gina. ¿Cuál es la edad actual de Gina?

6.Cuando tengas mi edad, yo tendré lo que tú tendrás cuando yo tenga 35 años. Si cuando naciste, yo tenía 10 años, ¿qué edad tengo?

SOLUCIÓN

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas, en relación con un número “x”?

I. El doble del cuadrado del número es 2x2 II. El cuadrado del doble del número es 4x2

III. 2 veces más que el cuadrado del número es 2x2



a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas

2. ¿Cuál es el número que restado de 6 deja un número que excede en 4 a la mitad de 10?.a) 7 b) 8 c) 15 d) 9 e) 16

3. Dos números son proporcionales a 7 y 9 respectivamente. Si al mayor se le disminuye 36 y al mayor se le aumenta 64. Se obtendrían números iguales. El número mayor es: a) 360 b) 50 c) 450d) 180 e) 270

4. ¿Cuál es el número par, tal que agregado a los tres impares que le prenden da un total de 111?. Dar como respuesta la suma de sus cifras.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Por cada 2 monedas de S/.5 tengo 3 monedas de S/.2. Si gastara S/.30 tendría S/.50. ¿Cuántas monedas tengo en total?.a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

6. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número sobre 8?a) 10 b) 13 c) 15d) 31 e) 51

7. Los contenidos de vino de dos recipientes son proporcionales a 3 y 5. Si el segundo tuviera 24 litros más de vino, su contenido triplicaría al primero. ¿Cuántos litros contiene el segundo?.a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

8. Se pagó 107 soles por un libro, un lapicero y una billetera. La billetera costo 10 soles más que el libro y 43 soles menos que el lapicero. ¿Cuánto costo el libro?a) S/.25 b) S/.15 c) S/.38d) S/.40 e) S/.68

9. El médico cirujano gana el triple que el ayudante, que gana el doble de la enfermera. El médico cirujano gana el doble que el anestesista. Si en total ganan 12 000. ¿Cuánto gana el anestesista?

a) S/.1 000 b) S/.2 000 c) S/.3 000d) S/.1 500 e) S/.4 000

10. Carla tiene S/.120 y su hermana no tiene nada. ¿Dentro de cuántos días tendrán lo mismo si Carla deposita S/.3 por día y su hermana empieza a S/5 por día?a) 20 b) 60 c) 40d) 120 e) 10

11. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores S/.250. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno S/.300. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente?.a) 4 b) 5 c) 10d) 6 e) 7

12. En un vuelo de aves se observan tantas alas de gorriones, como cabezas de gaviotas. Una vez posadas se observan 90 patas. ¿Cuántas aves quedan al volar nuevamente 2 docenas de aves?a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

13. Un alumno que ha de multiplicar un número por 50, se olvida de poner el cero a la derecha del producto. Ha

obtenido un producto que se diferencia del verdadero en 11610. Determinar dicho número.a) 528 b) 825 c) 258d) 256 e) 324

14. ¿Qué hora es?, si la mitad del tiempo transcurrido desde las 09:00 hrs es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 19:00 hrs.?a) 11:00 h b) 12:00 h c) 13 : 00 hd) 14 : 00 h e) 15 : 00 h

15. ¿Qué hora es?, si la mitad del tiempo transcurrido desde las 8:00 horas es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 22:00 h.

a) 11:15 b) 1:36 c) 10:25d) 9:30 e) 11:30

16. En un terreno de forma rectangular el largo excede en 6 metros al ancho, si el ancho se duplica y el largo disminuye en 8 metros el área del terreno no varía. ¿Cuál es el perímetro del terreno?

a) 50 m b)51 c) 52d) 54 e)55EDADES1.Si al triple de la edad que tengo le quito mi edad

aumentado en 8 años, tendría 16 años. ¿Qué edad tengo.?a)10 b)11 c)14d)12 e)132.Jaime tendrá dentro de 9 años, el triple de la edad que

tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene Jaime?a)10 b)16 c)30d)15 e)173.La edad de Juana es el triple de la edad de Pedro, pero

hace 10 años era el cuádruplo. Halle la suma de sus edades.

a)160 b)120 c)100d)110 e)1404.Si Raúl tiene 3 años más que Richard, si el duplo de la

edad de Raúl menos los 5/6 de la edad de Richard da 20 años. ¿Qué edad tiene Richard?

a)10 b)12 c)13d)14 e)155.La edad de Juan es los 4/5 de la edad de Raúl, si hace 3

años, los 3/4 de la edad de Raúl era igual a la edad de Juan. ¿Cuántos años tiene actualmente Juan?

a)10 b)12 c)13d)14 e)156.La edad de Pedro dentro de 30 años será el quíntuplo de la

edad que tuvo hace 10 años. ¿Cuál es su edad actual?. a)10 b)20 c)30d)40 50e)7.A Leo le preguntaron por su edad, éste aficionado a los

números, respondió: “Si el triple de la edad que tendré dentro de tres años, le restan el triple de la edad que tuve hace tres años, obtendrán mi edad”. ¿Cuántos años tiene Leo?

a) 12 b) 6 c) 18d) 9 e) 108.Cuando a Paola se le pregunta por la edad de su

Hamstercito, responde: “Hace 2 meses tenía la tercera parte de los meses que tendrá dentro de 4 meses”.


¡¡¡Problemas para recordar!!!

1 2

3 4 5 6 7

8 9 105 11 12 13 14



¿Dentro de cuántos meses cumplirá el quíntuplo de los meses que tiene?

a) 25 b) 5 c) 20d) 15 e) 109.Dentro de 12 años Lucia tendrá el doble de la edad que

tenía hace 3 años. ¿Hace cuántos años tenía la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 6 años?

a) 13 b) 15 c) 10

d) 12 e) 1110.Hace 3 años las edades de dos hermanas estaban en la

relación de 4 es a 5. Actualmente sus edades suman 42 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 8 es a 9?

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

El diagrama de la figura es un árbol genealógico de los descendientes de su familia (desde sus abuelos).

1 y 2 son sus abuelos (abuela y abuelo), y en la segunda línea están los hijos (su papá y sus tíos), y en la tercera línea ustedes (los hijos, sus primos). Además los números pares son mujeres y los impares, varones.

1. ¿Cuántos elementos tendrá la relación R = ___es padre de ___ ?a) 10 b) 11 c) 12 d) 9

2. ¿Cuál de los pares no cumplen con la relación S = ___es sobrina de ___?a) (8; 4) b) (10; 7) c) (14; 6) d) (11; 4)

3. ¿Cuántos pares ordenados tendrá la relación V: “es nieta de”?a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

4. ¿Cuántos pares ordenados tendrá la relación W: “es primo de”?a) 22 b) 20 c) 18 d) 16 e) 15

Tenemos que comenzar conociendo la ubicación de un punto llamado par

ordenado en un plano (Plano Cartesiano).

Par Ordenado:


SESIÓN N° 6: PLANO CARTESIANO Y PRODUCTO CARTESIANO


Es un conjunto de dos números a y b que se escriben así: (a ; b)Donde:

a se llama primera componente yb se llama segunda componente.

En esta notación el orden es muy importante; es decir: (a ; b) (b ; a)Ejemplo: En una situación la bolsa D tiene 20 kg y cuesta S/. 32, entonces tenemos la pareja (20; 32); que es diferente a la pareja (32; 20) que significa que la bolsa tiene 32 kg y cuesta S/. 20.Pares Ordenados Iguales: El par ordenado (a ; b) es igual al par ordenado (c ; d) sólo si: a = c y b = d; es decir: dos pares ordenados son iguales sólo si los primeros componentes son iguales y los segundos también.

A continuación te presentamos el sistema de coordenadas Cartesianas donde ubicamos puntos utilizando pares ordenados, Así:

EJE DE ORDENADAS.

ORIGEN DE COOR DENADAS

EJE DE ABSCISAS

Donde: I ; II ; III y IV se llam ancuadrantes, estos se ordenanen sentido antihorario

4321

0

-1234

---

1 2 3 412345 -----

+y

-y

I II

III IV

+x-x

Ubicación de un Punto en el Sistema de Coordenadas Cartesianas:Ubicamos el punto P en el sistema de Coordenadas Cartesianas o simplemente en el plano cartesiano, a través de un par ordenado.Los elementos de dicho par, se llaman también: Coordenadas del Punto, esto se escribe así: P (a; b)

Abscisas Ordenada

1. Ubiquemos los puntos R(6,4) y S(10,8) en el plano cartesiano, al unirlos obtenemos una línea recta.

4. Ubica en un plano cartesiano los puntos(3,2) ; (5,4) ; (3,6) ; (1,4) ; (1,5 ; 4 - ) ; (4,5 ; 4 );

Establecer a qué lugar geométrico podría pertenecer.

A) Parábola

B) Elipse

C) Circunferencia

D) Hipérbola

2. Ubiquemos los puntos (1; 1); (-3/2; 2); (-4; -4); (3/2; -3/2). 5. ¿Cuál es el valor de (x + y) si se sabe que el par ordenado (7x + 1 ; 5) es igual al par ordenado (15 ; y + 2)?.




3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A (-3,-1); B (0,3); C (3,4) y D (4,-1).

6. En el restaurant “El sabor de Gaston”, para el menú se ofrece de entradas: causa, rocoto relleno, ocopa, y solterito y de plato fuerte: tallarines, frejoles con seco y lomo saltado.¿Cuántos menús se pueden ofrecer a los comensales?

Plato Fuerte

Entrada

Tallarines (t)

Frejoles con seco

( f )

Lomo saltado

( l)Causa (c) (c; t)Rocoto relleno (r)Ocopa ( o)Solterito (s)

Al cumpleaños de Anita asisten Germán, Juan, María, y Cathy. ¿Cuántas parejas de hombre y mujer se pueden formar para bailar.SoluciónSea A, el conjunto de los hombresA = {Germán, Juan}Sea B, el conjunto de mujeresB = {Anita, María y Cathy}Entonces, las parejas que se podrían formar se podrían representar como sigue:A x B = {(Germán; Anita), (Germán; María), (Germán; Cathy), (Juan; Anita), (Juan; María), (Juan; Cathy) Al contar, podemos notar que se forman 6 parejas. Para resolver el problema también podemos utilizar otras formas de representación:Formas de representación El producto cartesiano A x B, se puede representar de diferentes maneras:


PRODUCTO CARTESIANO


1.2. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}.

A X B =

3. Robertito desea elaborar

placas para sus 5 bicicletas. Se sabe que el cuenta con las plantillas de impresión de los números 1, 3, 5, 6 y de las letras M, N, P. ¿Cuántas placas elaboradas, comenzando con una letra, no se utilizaran?


Se denomina producto cartesiano de los conjuntos A y B, y se representa A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados, donde el primer elemento del par ordenado pertenece a A y el segundo a B.

A x B = {(a, b)/ a ε A y b ε B}

Dado 2

Dado 11 2 3 4 5 6

123456


4. Alberto tiene 4 camisas de diferentes colores y 6 pantalones diferentes. Si Alberto recibe una invitación para ir a una fiesta. ¿De cuántas formas diferentes puede vestir (camisa y pantalón) Alberto, si se le pierde una camisa y dos pantalones?A) 7 B) 10 C) 12 D) 15

5. Se tiene 18 combinaciones de bloques con la siguiente estructura:VARIABLES VALORESForma Triángulo- cuadrado- círculoColor Rojo - amarillo - azulTamaño Grande – pequeño¿Cuántas combinaciones corresponden a bloques que son grandes pero no son cuadrados ni rojos?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Se lanzan dos dados, Determinar el número de casos en el cual:a) Los puntos del primer dado y segundo dado son

diferentes.b) La suma sea 7

7. Con los números 2, 5 y 7, incluyendo los números con cifras repetidas, ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar?

8. En la celebración del día del maestro se consideró premiar a los docentes más destacados, a la fecha en el PRONAFCAP 2010 Para ello se contó con tres regalos: un celular, un reloj de pared y un estuche de lapiceros. Si se selecciona un docente del nivel inicial, uno de primaria y uno de secundaria. ¿De cuántas maneras se pueden asignar los regalos?

9. Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con reemplazo de una baraja de 52 cartas.

10. Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas.

11. Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de: A x B y B x A.

12. Sea S = {100, 101,..., 999} así que S = 900. ¿Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es un 3 o un 7? Ejemplos: 300, 707, 736, 103, 997.

13. Sea S = {100, 101,..., 999} así que S = 900. ¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es 3 y al menos uno que es 7? Ejemplos: 736, 377.

14. Sea T = {1000, 1001, ..., 9999} ¿ Cuántos enteros en T tienen al menos un dígito que sea 0, al menos uno que sea 1 y al menos uno que sea 2? Ejemplo: 1072, 2101.

PROBLEMAS PROPUESTOS1. En una pastelería de los supermercados Metro,

preparan tortas de lúcuma, vainilla y chocolate. Las cubren y adornan con chocolate, merengue, mermelada, crema chantilly y envasan en recipientes de plástico o papel. ¿De cuantas formas se puede comprar una torta?a) 6 b) 12 c) 14

d) 242. Carlos y su esposa, docentes de una institución

educativa del distrito de Los Olivos desean comprar un obsequio que se sorteará el día del aniversario de su institución. Para ello se proponen ir a Mega Plaza, Plaza San Miguel o Jockey Plaza y pueden ir en bus o taxi. Carlos advierte que se está haciendo tarde y pregunta que movilidad toman. La esposa, contesta: primero decidamos en qué centro comercial vamos a comprar. Él responde: bueno, pues veamos… ¿Cuántas posibilidades de elección tenemos?a) 5 b) 6 c)

12 d) 133. Un cuadrado tiene centro en el origen y tiene un vértice

en A (4; 4). Halla las coordenadas de los otros tres vértices.

4. Sábado 27 de setiembre de 2009, 14:30 horas, una docente del nivel primaria termina su jornada de capacitación PRONAFCAP 2010 y se dirige a un restaurante para almorzar. En el restaurante “Buen gusto” pregunta por el menú del día y le dicen que en la pizarra esta la lista, ella observa y lee: papa a la huancaína, sopa de casa, salpicón y papa rellena como “ENTRADAS”. Lomo saltado, tallarines rojos, arroz con pollo y bistec a lo pobre como “SEGUNDOS”. ¿De cuántas formas podría elegir su almuerzo?a) 4 b) 8 c) 12 d) 16



5. ¿Cuántas combinaciones se pueden obtener al lanzar un dado y una moneda?1

a) 2 b) 3 c) 6 d)12

1


Regla de Tres y Otros

Documents

Transcript of Regla de Tres y Otros