PROPORCIONALIDAD .EJERCICIOS (página) ... MAGNITUDES PROPORCIONALES 1 - REGLA DE TRES SIMPLE 2 6

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  • PROPORCIONALIDAD MAT2

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    de 19 Dpto de Matemticas colegio NUESTRA SEORA DEL PILAR - Madrid

    En este documento se puede encontrar:

    NDICE

    TEMA TEORA

    (pgina)

    EJERCICIOS

    (pgina)

    PROPORCIONALIDAD /

    MAGNITUDES PROPORCIONALES 1 -

    REGLA DE TRES SIMPLE 2 6

    REGLA DE TRES COMPUESTA 3 10

    REPARTOS PROPORCIONALES 5 19

    PORCENTAJES 5

  • PROPORCIONALIDAD MAT2

    Pgina 2

    de 19 Dpto de Matemticas colegio NUESTRA SEORA DEL PILAR - Madrid

    PROPORCIONALIDAD

    RAZN: razn de dos nmeros es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razn de

    los dos nmeros a y b es a:b, o lo que es lo mismo, la fraccin b

    a.

    PROPORCIN: es la igualdad de dos razones. As, por ejemplo: b

    a= d

    c. Ejemplo:

    10

    6

    5

    3 .

    La proporcin se compone de 4 trminos, a, b, c y d, de los cuales a y d se llaman

    extremos, mientras que b y c se llaman medios.

    En una proporcin, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:

    cbda . En el ejemplo anterior: 310 = 56

    Como puedes comprobar, esta propiedad nos permitira escribir la proporcin de

    diferentes modos, permutando los medios o los extremos entre s:

    10

    6

    5

    3

    10

    5

    6

    3

    3

    6

    5

    10

    MAGNITUDES PROPORCIONALES

    Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

    a) A una cantidad determinada de la primera, le corresponde una cantidad determinada de

    la segunda.

    b) Al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero, la otra queda multiplicada o dividida

    por el mismo nmero.

    Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando:

    a) A una cantidad determinada de la primera, le corresponde una cantidad determinada de

    la segunda.

    b) Al multiplicar o dividir una de ellas por un nmero, la otra queda dividida o multiplicada

    por el mismo nmero.

    Son magnitudes directamente proporcionales, por ejemplo, el espacio recorrido por un

    coche y el tiempo empleado (justo en el doble de tiempo habr recorrido el doble de

    espacio); el dinero que tengo y la cantidad de un producto que puedo comprar

    (exactamente con el triple de euros puedo comprar el triple de bombones); etc.

    Mientras que como ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales, podramos

    encontrar el nmero de obreros y el tiempo necesario para realizar un trabajo (el doble

    de obreros tardarn justo la mitad de tiempo); la velocidad de una coche y el tiempo que

    tarda en hacer un trayecto (si reduce su velocidad a la mitad, tardar el doble de

    tiempo); etc.

    REGLA DE TRES: DIRECTA E INVERSA

    Consiste en aplicar de un modo prctico la proporcionalidad, de forma que podamos

    hallar cualquiera de los trminos de una proporcin, conociendo los otros tres. Vamos a

    verlo con ejemplos:

    1. Problema. Sabiendo que 5Kg de naranjas cuesta 3.50, calcular el precio de 12kg.

  • PROPORCIONALIDAD MAT2

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    de 19 Dpto de Matemticas colegio NUESTRA SEORA DEL PILAR - Madrid

    Primero de todo: Es una proporcin directa o inversa? Es directa, ya que 2Kg costarn

    exactamente el doble que 1kg; ms kilos, ms dinero cuesta. Entonces:

    5kg 3.50

    12kg x multiplicamos en cruz1: 5 x = 12 3.5 5 x = 42 Sabemos cunto vale 5 x, que es 42; pero queremos saber cunto vale x, es decir, los

    euros que me cuestan 12kg de naranjas. 5 x = 42 es una igualdad, o lo que es lo

    mismo, tenemos un signo igual ( = ) entre dos trminos, uno a la izquierda (5 x ), y

    otro a la derecha, que es 42. Queremos que la x quede sola a un lado del igual, en otras

    palabras, pasar el 5 al otro lado del igual. Dado que 5 est multiplicando (a la x), el 5

    que nos queremos quitar pasa al otro lado del igual dividiendo, y lo expresamos como

    una fraccin. Tendremos:

    5 x = 42 x = 5

    42 = 8.4

    Significa que 12kg de naranjas cuestan 8.4, 8 euros y 40 cntimos.

    Cuidado con algo muy MUY importante: las magnitudes han de ser siempre

    homogneas. Si en vez de preguntarnos cunto costaban 12kg hubiese sido el coste de

    800 gramos, no podramos poner 800 debajo de los 5 en la proporcin, ya que los 5 son

    kilos y los 800, gramos. Habra que poner todo en lo uno o lo otro, es decir, o arriba

    ponemos 5000 gramos, o abajo 0.8kg. Quedara as:

    5kg 3.50 o bien 5000 gramos 3.50

    0.8kg x 800 gramos x

    El resultado de hacerlo de una u otra manera es indiferente, es decir, el resultado

    final es el mismo (puedes comprobarlo como ejercicio). Este cuidado con las

    magnitudes es fundamental, por eso estate siempre atento a no mezclar litros con

    metros cbicos, euros con cntimos, Km. con metros, das con horas o con minutos

    2. Otro problema: si un coche circula a una velocidad de 90Km/hora y tarda 8 horas

    en ir de Madrid a Cdiz, cunto tardar si aumenta su velocidad a 120 km/h.

    Para empezar, es inversa, porque a ms velocidad, tardar menos horas. Lo

    planteamos:

    90 km/h 8 horas

    120 km/h x horas multiplicamos en paralelo2: 90 8 = 120 x; 720 = 120 x

    Igual que antes, queremos tener sola a la x, y no multiplicando por 110; entonces

    pasamos el 100 al otro lado del igual, dividiendo, en forma de fraccin:

    X = 120

    720 =

    12

    72 = 6 horas.

    PROBLEMAS PROPUESTOS, CON LOS RESULTADOS 3:

    a) Por un grifo salen 6m3 cada 10 horas. Qu cantidad de agua saldr en una

    semana? (Resultado: 100.8 m3). (Atencin horas semana).

    1 Porque es una regla de tres directa. Como veremos en el siguiente ejercicio, se multiplica en

    paralelo en la regla de tres inversa. 2 Porque es una regla de tres inversa. 3 Lo primero de todo, comprueba si son directas (a ms, mas; a menos, menos) o inversas (a

    ms, menos; a menos, ms).

  • PROPORCIONALIDAD MAT2

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    b) Si por 19kg de azcar nos dan 2kg de caf, cunto nos dan por 1 tonelada de

    azcar? (Resultado: 105.26kg). (1Tm = 1000kg).

    c) Tres obreros han realizado una obra en 4 horas y 40 minutos. Cunto habran

    tardado 8 obreros? (Resultado: 1hora y 45 minutos) (Cuidado con los tiempos: 1h 100 minutos)

    d) Una motocicleta a 36km/h tarda 7horas y 30 minutos en hacer un recorrido. A qu

    velocidad debera ir para hacerlo en 1 hora y 30 minutos. (Resultado: 180km/h). (De

    nuevo, cuidado al pasar las horas a minutos, o los minutos a horas).

    e) Un coche recorre 315km en 5 horas y 15 minutos. Cunto recorre en 17 horas.

    (Resultado: 1020km). (Cuidado, una vez ms, con los minutos!).

    f) Cunto cuesta imprimir un texto de 196 pginas, si imprimir 16 pginas cuesta

    12. (Resultado: 147)

    REGLA DE TRES COMPUESTA

    La regla de 3 compuesta permite resolver cualquier tipo de problema de

    proporcionalidad compuesta. Seguimos para ello estos pasos:

    1. Se ponen los datos en bloques, igual que con la Regla de 3 simple, colocando

    siempre la incgnita en el ltimo bloque.

    2. Se estudia la relacin de todos y cada uno de los bloques con el ltimo, el de la

    incgnita.

    3. Se transforman los bloques en producto de fracciones, y se iguala a la fraccin

    resultante del ltimo bloque, siempre en ste con la incgnita en el denominador.

    4. En cada bloque del primer trmino, si la relacin es directa numerador y

    denominador se quedan deja como estn; si es inversa, el numerador pasa a

    denominador, y viceversa.

    5. Se calcula la proporcin: producto de medios es igual a producto de extremos.

    Veamos un ejemplo:

    Si 18 mquinas mueven 1200 m3 de tierra en 12 das, cuntos das necesitarn 24

    mquinas para mover 1600 m3 de tierra?

    18 mquinas 1200 m3 12 das

    24 mquinas 1600 m3 x

    I

    D

    Si 18 mquinas tardan 12 das, 24 mquinas (ms mquinas) tardarn menos das

    inversa

    Si para 1200 m3 se necesitan 12 das, para ms m3 (1600), se necesitarn ms das

    directa

    Entonces:

    simplificamos

    das

    tambin

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    REPARTOS PROPORCIONALES

    Los problemas de repartos proporcionales son aqullos en que de una determinada

    cantidad debe repartirse de forma proporcional a otras cantidades; este reparto puede

    ser directo o inverso.

    Si, por ejemplo, queremos repartir una determinada cantidad x entre 3

    personas, en funcin directa de A, B y C, las cantidades que le corresponde a cada uno

    seran a, b y c, respectivamente, calculadas como sigue:

    Y se calculan separadamente las 3 cantidades.

    Con el ejemplo anterior, si se quisiera repartir la cantidad x inversamente

    proporcional a A, B y C, sera:

    Y se vuelve a calcular separadamente cada cantidad.

    AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES ENCADENADAS

    El nmero por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad

    final se llama ndice de variacin.

    a. En aumentos porcentuales, el ndice de variacin es 1 ms el aumento porcentual

    expresado en forma decimal.

    b. En una disminucin porcentual, el ndice de variacin es 1 menos la disminucin

    porcentual puesta en forma decimal.

    c. Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplica la cantidad

    inicial por los ndic