Razones trigonométricas

POR : YASSER DAVID SALAZAR . C

GRADO: 10-02

COLEGIO FRANCISCO ANTONIO DE ULLOAAREA DE TRIGONOMETRIA

POPAYAN, CAUCA2011

RAZONES TRIGONOMETRICASPOR: YASSER DAVID SALAZAR . C

PRESENTADO A : LUZ ENEIDA DAZA

GRADO: 10-02

COLEGIO FRANCISCO ANTONIO DE ULLOAAREA DE TRIGONOMETRIA

POPAYAN, CAUCA2011

INTRODUCCION En el presente trabajo tratare de realizar un análisis mas

concreto sobre los temas mas representativos de la trigonometría como lo son: las razones trigonométricas , las funciones trigonométricas y sus aplicaciones en triángulos

rectángulos y solución de problemas comunes para mostrar como se ha enriquecido también con otros temas referentes e importancia en la ciencia y la tecnología ,

además como la trigonometría nos ha ayudado en el desempeño y búsqueda de soluciones reales en nuestra vida diaria y en la cotidianidad y progreso en el campo de

la ingeniería y todos los cálculos de precisión.

Desarrollo del trabajoTAREA 1: RAZONES TRIGONOMETRICASA) Investiga la definición de las razones trigonométricas que

se establecen entre los lados de un triangulo rectángulo.La base de la trigonometría esta en las razones

trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las mas importantes son : seno, coseno, y tangente , que se definen a continuación .

Antes existía tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones trigonométricas de un ángulo en la actualidad, con una calculadora científica se obtienen con toda precisión cualquier ángulo.

En un ángulo de un triangulo rectángulo, ABC, se llama seno , y se escribe sen , al cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

Análogamente se define el coseno(cos) :como cociente entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.

La tangente(tan): como el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

B) Determina las razones trigonométricas reciprocas.

Se define la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones reciprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

La cosecante(cosec): es la razón reciproca de seno, como la longitud de la hipotenusa entre la longitud del cateto opuesto.

La secante(sec): es la razón reciproca de coseno, como la longitud de la hipotenusa entre la longitud del cateto adyacente.

La cotangente(cot): es la razón reciproca de la tangente, como la longitud del cateto adyacente entre la longitud del cateto opuesto.

Normalmente se emplea las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente y salvo que haya un interés especifico se utilizan.

TAREA 2: APLICACIONES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES

A) plantea y resuelve 5 problemas de aplicación de funciones trigonométricas(elabora gráficos que expliquen el problema).

El objetivo prioritario de esta rama de las matemáticas es el estudio de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la tierra y la luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ingenierías.

Las aplicaciones mas destacadas son en el estudio de fenómenos periódicos y como se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x, las ondas sonoras, entre otros. En la astronomía al calcular el radio de la tierra, distancia de la tierra a la luna, distancia de la tierra al sol, predicción de eclipses, confección de calendarios, artillería, cartografía, y en la elaboración de un mapa de un lugar del que se conoce algunas distancias y algunos ángulos. Construcciones.

Además en la construcción de cartas marinas y edificios para que cumplan ciertas exigencias de orientación o construyendo un teodolito casero.

En este tema hay que tener muy en cuenta la llamada: línea de visión ala recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando este esta situado arriba del observador. Cuando el observador esta mas alto lo llamaremos ángulo de depresión.

Uno de los problemas mas comunes en este tema para una solución son:

1-Cual es la longitud de una persona que observa un edificio de 125 mtrs de altura, cuando presenta un ángulo de elevación de 48º desde la azotea del edificio?

rta: tan 48º = 125 mtrs S S= 125 mtrs tan 48º S= 112.55

mtrs

Cual es la distancia del observador a la azotea del edificio medida horizontal ?

Rta: h= 90º - 48º= 42º d= 125mtrs . Tan 42º tan 42º = distancia d= 112.56 mtrs 125 mtrs2- Una escalera de 6 mtrs de largo se apoya en un muro

vertical con un ángulo de inclinación 38º . ¿ A que distancia se ubica la base de la escalera con respecto al muro?

Rta: en el triangulo rectángulo de la figura conocemos , la hipotenusa, y deseamos calcular el cateto adyacente a . Utilizando la razón trigonométrica cos , tenemos:

por lo tanto, la distancia que hay entre la base de la escalera y el muro es 6 . Cos 38º = 4.72 mtrs

♪ ¿ A que altura toca la pared, la

escalera? Sen 38º= altura 6mtrs h = 6 mtrs . Sen

38º h= 3.693 mtrs 3- Un poste vertical al suelo y de altura h esta sujeto por

una de longitud l con un ángulo de inclinación . ¿cual es la altura

del poste?

Rta : en el triangulo rectángulo se conoce la hipotenusa y se requiere calcular el cateto opuesto, por lo tanto ocupamos la razón trigonométrica Sen :

Esta expresión nos permite calcular la altura del poste, una vez conocidos y l.h = 15 mtrs . Sen 35º h = 8.60 mtrs

4- si el ángulo de elevación del sol a cierta hora es de 42º, calcula hasta la unidad mas cercana en mtrs la altura de un hombre cuya sombra mide 82 cm de longitud.

Rta: tan 42º = Altura 82 cm 82 cm . Tan 42º = h 82 cm . 73. 8331 cm =

h 6054.314 cm

5- Desde un punto que esta a 12 mtrs. Del suelo, se observa un objeto con un ángulo de depresión de 53º¿ cual es la distancia del objeto observado desde el punto en medida horizontal?

h = 90º - 53º= 37º Tan 37º = distancia 12 mtrs

d = 12 mtrs . Tan 37º d = 9, 042 mtrs

6- El cordel de una cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48º con la horizontal. ¿Encuentre la altura de la cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 mtrs?Sen 48º = altura 87 mtrs

d = 87 mtrs . Tan 37º d = 65.559 mtrs

7- Un turista observa la torre EiffelDe 300 mtrs de altura, cuando presenta un ángulo de elevación de 52º desde la calle mas relevante de parís¿ cual es la longitud de dicho turista?Rta : Tan 52º = 300 mtrs LL= 300 mtrs L= 234.385 mtrs Tan 52º

♪También se le puede calcular la altura si el turista mide 1.50 cm y presenta un Angulo de elevación de 21º. A una distancia de 2.000 cm ¿ cual es la altura?

Rta : Tan 21º = altura (h) H= h + altura del teodolito 2.000 cm H= 767.72 cm + 1.50 cm2.000 cm . Tan 21º = h H= 917.72 cm 2.000 cm . 0.38386 = h H= 9,1772 mtrs = 9.2

mtrs 767.72 cm = h 8- Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar

es de 128 pies, el ángulo de una embarcación cercana es de 20º. ¿ A que distancia del faro esta la embarcación?

Rta: h = 90º - 20º = 70ºTan 70º = distancia 128 piesd= 128 pies . Tan 70ºd= 351.67 pies

♪ también se le puede calcular la altura si nos situamos en un punto del suelo y veras el punto mas alto de la torre bajo un ángulo de 63º. El turista se acerca 8 mtrs en la línea recta y el ángulo es de 82º . Hallar la altura?

Tan 82º = altura h = x . Tan 82º hallamos la altura:

x h= 3.0470 . Tan 82º

Tan 63º = altura tan 63º ( x+8) = h h = 21.68 mtrs x + 8Igualamos 1 y 2 :X tan 83º= tan 63º(x+8)X tan 82º= tan 63º+ 8 . Tan 63ºx tan 82º- x tan 63º= 8 . Tan 63ºX( tan 82º- tan 63º) = 8 . Tan 63ºX= 8 . Tan 63º = 3.047 ( tan 82º - tan 63º)

TAREA3: APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN SOLUCION DE PROBLEMAS COMUNES

La base de la trigonometría esta en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las mas importantes son : seno, coseno, y tangente , que se definen a continuación .

Antes existía tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones trigonométricas de un ángulo en la actualidad, con una calculadora científica se obtienen con toda precisión cualquier ángulo.

Las aplicaciones mas destacadas son en el estudio de fenómenos periódicos y como se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x, las ondas sonoras, entre otros.

En la astronomía al calcular el radio de la tierra, distancia de la tierra a la luna, distancia de la tierra al sol, predicción de eclipses, confección de calendarios, artillería, cartografía, y en la elaboración de un mapa de un lugar del que se conoce algunas distancias y algunos ángulos. Construcciones.

Además en la construcción de cartas marinas y edificios para que cumplan ciertas exigencias de orientación o construyendo un teodolito casero.

A) Investiga: ♪ Cuales son las características de los triángulos oblicuángulos y como los

resolvemos.Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos,

por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

En general, se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier tipo de triángulo, siendo el triángulo rectángulo un caso particular de esta denominación. Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos importantes propiedades:       1ª.- En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º.        2ª.- En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercero.

La solución de todo triángulo se origina en la aplicación de cualquiera de los siguientes teoremas:

1.- Teorema del seno.En todo triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es el mismo.

2.- Teorema del coseno.En todo triángulo cualquiera de lados a, b, c y ángulos A, B, C, se cumple    Análogamente, para los otros lados.

♪Además se puede resolver dependiendo del caso de resolución los cuales son los siguientes con su respectiva solución:

Caso I.- Conocidos los tres lados.Aplicamos tres veces el teorema del coseno

Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.En primer lugar calculamos a aplicando el teorema del coseno.

Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.Seguidamente, aplicando el teorema del seno, calculamos los ángulos B

Caso II.- Conocidos dos lados y el ángulo comprendido.Seguidamente, aplicando el teorema del seno, calculamos los ángulos B y C.

Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.En primer lugar, se calcula fácilmente el ángulo C.

Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.A continuación,  se aplica el teorema de los senos y se calculan los lados b y a

Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.A continuación,  se aplica el teorema de los senos y se calculan los lados a

Caso III.- Conocidos un lado y dos ángulos.A continuación,  se aplica el teorema de los senos y se calculan los lados y b

Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.Supongamos conocidos los lados a y c y el ángulo A; quedarían como incógnitas el lado b y los ángulos B y C.  En primer lugar se aplica el teorema del seno.

Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.Ya estamos en condiciones de conocer el ángulo que falta, B.Por último volvemos a aplicar el teorema del seno y calculamos el lado b.

Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Pues bien, se nos pueden dar, en este último caso, las siguientes posibilidades: A) < c · senA, con lo cual el triángulo no existe.

Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. B) a = c · senA, con lo cual el triángulo es rectángulo.

Caso IV.- Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. A) &gta.; c · senA  y  a ; c, en cuyo caso existen dos triángulos: ABC y ABC´.

♪Como resolvemos los casos del triangulo oblicuángulo. Con un ejemplo muy sencillo dependiendo de las leyes de senos y de cosenos:

La ley o teorema de los Senos es una relación de tres  igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o de 90°.

La ley de los Senos dice así:“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales

a los senos de los ángulos opuestos”.Su fórmula es la siguiente:

Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo.

Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).

No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver.

En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, se usa la ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno.

Por ejemplo: resolver el triángulo siguiente:Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a

al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que se tiene entonces es lo siguiente:

A = 5 B = ?a = 43° C = ?b = 27° c = ?El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los

ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. Es decir: c = 180° - a - b. Se sustituye en esta expresión los ángulos:

c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°c= 110° Con esto, se cuenta ya con los tres ángulos a, b y c. Para

encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:

Sustituyendo queda:Se fija la atención en los dos primeros términos:En este momento se ignorará el tercer término. De la igualdad

que se encuentra en el recuadro se puede despejar B, (como el sen 27°) y, debido a que está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:

Entonces se calcula la siguiente expresión:

2.26995 = BSen (43º)Solamente queda por calcular C. Para ello, se volverá a

usar la ley de los Senos, pero ahora si tomaremos en cuenta la igualdad que contenga a la C:

5__ = 3.32838 = __C___ Sen (43º) Sen(27º) Sen(110º)Se sustituye el valor de la B en la igualdad.Se despeja la C, por lo tanto, como sen 110° está

dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba:

Se realiza la operación correspondiente y resulta:

3.12765_ = CSen (27º)Con este última dato queda resuelto todo el triángulo. Obsérvese que si en lugar de haber usado la igualdad

de la derecha se hubiera usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:

__5___ = 3.32838 = __C____Sen (43º) Sen(27º) Sen(110º)Escrito ya sin el término de en medio:__5___ = __ C___Sen (43º) Sen(110º)

Se despeja la C :5. Sen(110º) = CSen(43º)Se realizan las operaciones, y el resultado obtenido es igual

que el anterior:C= 6.88925

La ley o teorema del coseno: es un término que permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer.  La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°.

La ley del Coseno dice así:“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma

de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman”

A, B y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo:

Las letras minúsculas y mayúsculas del mismo tipo no se encuentran juntas, es decir, la a está en el ángulo opuesto de A, la b está en el ángulo opuesto de B y la c está en el ángulo opuesto de C. Esto siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá erróneo.

Observa que la ley del coseno sólo será cuando tienes los dos lados y el ángulo que hacen los lados, porque si no te dan el ángulo que hacen los lados, tendrás que usar la ley de senos.

Arriba se muestran las características que tiene que tener el triángulo para resolverlo por la ley de cosenos, es decir, los tres datos necesarios.

Recuerda que para sacar el ángulo interno la suma de los tres ángulos internos dará 180° y te quedara la formula de la manera siguiente:

C= 180º - a – bUn ejemplo basándonos en el primer caso: conocidos los tres

lados.Ejemplo. Resolver el triángulo cuyos datos son:a = 34, b = 40, c = 28.Se aplica la ley de coseno.

Cálculo de A. a2 = b2 + c² - 2bc cos A.Despejando cos A: cos A = b² + c² - a² . 2bc

Cos A = 40² + 28² - 40² = 1600 + 784 - 1156 = 307 = 0.54821.

(2) x(40) x (28) 2240 560 A = 56° 45'.Cálculo de B. Análogamente: a² + c² - b² . 2acCos B = 34² + 28² 40² = 1156 + 784 1600 = 340 =

0.17857.

(2) (34) (28) 1904 1904

B = 79° 43‘Cálculo de C.Análogamente: Cos C = a² + b² - c² . 2ab Cos C = 34² + 40² 28² = 1156 + 1600 784 = 1972 = 0.725 (2) (34) (40) 2720 2720

C = 43° 32´Es decir: A = 56° 45" B = 79° 43'C = 43° 32'A + B + C = 180º 0' 0’’ = 180°.

B) Plantea y resuelve 5 problemas de aplicación de los teoremas del seno y coseno a situaciones de la vida diaria( elabora gráficos que expliquen el problema).

1- Un estudiante debe hacer una pirámide para su proyectoDe ciencia. El realizara la pirámide de kefren como modelo a escala. De tal forma que un lado mida 75 cm,otro 70 cm y el ángulo opuesto al primer lado debe serde 50º. ¿lo conseguirá? Rta: Sen 50º = Sen B = Sen C_ 75 cm b 70 cm Sen 50º = Sen C 75 cm 70 cm

Sen = 70 cm . Sen 50º B = 75 cm . Sen 84º 21’ 32’’

75 cm Sen 50º c = 45º 38’ 28’’ B= 97.43 cmHallamos el ángulo B: 180º - 45º 38’ 28’’ – 50º b= 84º 21’ 32’’ Sen 50º = Sen B75 cm b2-La torre inclinada de pisa se encuentra inclinada 4º en

dirección opuesta al sol . Cuando el ángulo de elevación es de 65º y muestra una sombra de 20,5 de largo sobre el nivel del piso . Calcular la longitud de la torre de pisa?

Rta : Sen A = Sen B = Sen C a b cSen 50º = Sen 65º a 20.5 mSen 50º . 20.5 m = a . Sen 65ºa= Sen 50º . 20.5 m = 17 m Sen 65º Sen 50º = Sen 65º 17 m C

Sen 65º . 17 m = c . Sen 50º C= Sen 65º . 17 m C= 20, 11 cm Sen 50º

3- Un carpintero debe hacer un marco para un reloj de cuerda de forma triangular de tal forma que un lado mida : 35 cm, otro 28 cm y el ángulo opuesto al primer lado debe ser de 55º ¿ lo conseguirá ?.

Rta: Sen 55º = Sen B = Sen C Sen 55º = Sen C_ 28 cm 35 cm Sen C = 35 cm . Sen 55º 28 cm C= 1º 1’ 26’’ 180º - 1º 1’ 26’’ – 55º B = 123º 58’ 34’’ Sen 55º = Sen B b = 28,34 cm 28 cm b

4- Un ingeniero manifiesta que la obra de un puente tiene las siguientes dimensiones : 780 m y 835 m con un ángulo de 52º . Calcular la longitud del puente? .

Rta: a² = a²+ b²- 2ab . Cos 52º a² =(780m)² +( 835m)² - 2(780m).(835m). Cos 52º a² = 608.400 + 697.225 – 1302.600 . 0.61

a²= 1305.625 - 1302.600 . 0.61 a²= 1305.625 - 794.586 a²= 511.039 a² = 22,60

Los puentes mas representativos para la solución del teorema del seno:

5- Un artesano ruso quiere rediseñar un instrumento de cuerda muy tradicional llamado: la balalaica. Pero tiene un problema le dieron los siguientes lados: a = 17 ; b= 18; y c = 9 y para acabar la finalidad del instrumento debe hallar los tres ángulos?

Rta: utilizamos el teorema del coseno a² = b²+ c²- 2bc . Cos A Cos A= b² + c²- a² 2 bc Cos A= (18)² + (9)²- (17)² (2) .(18) .( 9) Cos A = 116 A= Cos- 1 ( 116 ) 324 324 A= 69º 1’ 15’’

b²= a²+ c²- 2ac . Cos B2ac .Cos B= a²+ c²-b² Cos B= a²+ c²-b² 2acCos B= ( 17)²+(9)²-(18)² (2) .(17).(9)Cos B= 46 306B= Cos -1 ( 46 ) 306B= 81º 21’ 14’’C= 180º- 69º 1’ 15’’- 81º 21’14’’ C= 29º 37’ 31’’.

6- Un panadero quiere realizar un postre pero no tiene el molde adecuado pero lo dieron las siguientes lados: a= 18; b= 19; c= 10. para que su postre sea especial debe adecuarlo y hallar los tres ángulos para entregarlos en la fiesta.

♪Utilizamos el teorema del coseno:

a² = b²+ c²- 2bc . Cos A 2bc.Cos A= b²+ c²-a² Cos A= b²+ c²-a² 2ac Cos A= (19)²+(10)²-( 18)² (2).(19).(10)

Cos A= 137 180

A= Cos-1( 137 ) = A= 40º 26’ 15’’ 180 b²= a²+ c²- 2ac . Cos B= a²+ c²- b² Cos B= a²+ c²- b² 2acCos B= (18) ²+(10)²- (19)² (2) . (18). (10)Cos B= Cos -1 (63 ) 360B= 79º 55’ 16’’C= 180º- 40º 26’ 15’’- 79º 55’ 16’’ C= 59º 38’ 29’’.

TAREA 4: APORTE INDIVIDUAL A LA CONSTRUCCION DE UN MARCO TEORICO QUE PERMITA MEJORAR EL DESEMPEÑO Y LA BUSQUEDA DE SOLUCIONES REALES EN EL AREA DE MATEMATICAS.

Mi aporte individual sobre un marco teórico que nos ayude a manifestar soluciones claras y concisas del área de matemáticas es argumentos y ejemplos claros y concretos con demostraciones visuales y dinámicas fuera del aula para que tenga una mayor comprensión en el área y volverla mas dinámica y interactiva y no tan estática y manual. Además este trabajo nos ayudo de manera satisfactoria en el aprendizaje sobre como la trigonometría no es tan aburrida y nos muestra una nueva cara de la matemática especifica en resultados y como podemos interactuar por medio de dibujos, problemas comunes y como nos facilita por medio del trabajo en equipo o individual de forma tecnológica.

El área de matemáticas y todas sus ramas( geometría-calculo-estadística-probabilidad-algebra-aritmética trigonometría) la resaltaría de manera dinámica analizando como en nuestra vida diaria utilizamos la matemática y como es necesaria para nuestra vida y los acontecimientos del campo social, cultural, y político en la actualidad y en la antigüedad de cualquier sociedad o civilización que ha existido atraves del tiempo les formaría grupos los cuales por medio de casos reales y de manera dinámica(videos, dibujos, juegos, etc.) nos aclararían temas muy concurrentes y difíciles para algunos o muchos y utilizaríamos como una herramienta fundamental la tecnología y los medios de telecomunicación-radial). Además de manifestar la matemática por medio de las humanidades como por ejemplo: teatro-cuentos-narración-poemas-anécdotas que nos manifiesta cada vez mas como la matemática ha sido uno de los descubrimientos mas destacados e importantes en una sociedad consciente y de modales éticos y políticos y como hay muchas cosas que la matemática no tiene al descubierto y nos pueden facilitar cada vez mas la compresión de forma analítica hasta alcanzar un grado imponente y congruente en el cual cualquier sociedad podrá manifestar de forma equitativa la necesidad de un estado y como las matemáticas han influido para tener de a qui a un futuro un mundo mejor y satisfactorio para todos…..

Post: profesora de luz Eneida daza manifiesto que le envié el trabajo de cónicas del cuarto periodo para que me de su visto bueno sobre el manejo de la tecnología y como por demasiadas circunstancias no pudo entregarse el dia indicado, solo es para que manifieste la calidad de trabajo que se había realizado.

Gracias por su tiempo y enseñanza en este año lectivo…Ate: grado 10-02 .