4ºESO OP B.Tema 7. Razones trigonometricas

TEMA 7RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

índice1.Razones trigonométricas en un ángulo rectángulo-El radián-Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo2.Relación entre las razones trigonométricas-Primera relación fundamental-Segunda relación fundamental3.Ampliación del concepto de ángulo-Ángulos mayores de 360º-Ángulos negativos-Circunferencia goniométrica4.Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera-Razones tigonométricas de un ángulo agudo-Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera5.Razones trigonométricas de ángulos relacionados- Ángulos opuestos-Ángulos que se diferencian en 180º-Ángulos suplementarios


INTRODUCCIONLa Trigonometría nace con la observación de

los fenómenos astronómicos

.


INTRODUCCIONEn el conjunto megalítico de Stonehenge (Gran Bretaña), construido entre 2200 y 1600 a.C., la alineación de dos grandes piedras indica el día más largo del año.


INTRODUCCION

El primer antecedente escrito de la trigonometría lo encontramos en el problema 56 del papiro de

Rhind. Escrito por Ahmés alrededor del 1800 a.C. transcribiendo otro del 500 a.C.


INTRODUCCION

En la antigua Babilonia se introdujo la medida del ángulo en grados. La división de la circunferencia en360º, probablemente va unida a la del año en 360 días.

Así, como el sol recorre una circunferencia en un año, un grado sería el recorrido en un día.


INTRODUCCIONCon la cultura griega la trigonometría

experimentó un nuevo y definitivo impulso. Aristarco de Samos (s. III a.C.) halló la

distancia al sol y a la luna utilizando triángulos.


INTRODUCCION

Hiparco de Nicea (s. II a.C.) es considerado como el “inventor” de la trigonometría.

Hiparco fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego. Entre sus aportaciones cabe destacar:


INTRODUCCION● El primer

catálogo de estrellas

● La división del día en 24 horas de igual duración

● El descubrimiento de la precesión de los equinoccios

● Los conceptos de longitud y latitud geográficas.

● Mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica

● La distinción entre año sidéreo y año trópico


INTRODUCCIONPtolomeo, en el siglo II, escribió el “Almagesto”

que influyó a lo largo de toda la Edad Media.


INTRODUCCIONEl desarrollo de la trigonometría debe mucho a la obra de los árabes, quienes transmitieron a Occidente el legado griego.

Fueron los primeros en utilizar la tangente.

Hacia el año 833, Al-Kwuarizmi construyó la primera tabla de senos.


INTRODUCCIONEn Europa se publica en 1533, el primer tratado

de trigonometría: “De trianguli omnia modi, libri V”.

Escrito en 1464 en Köningsberg, por Johann Müller, conocido

como el Regiomontano.


INTRODUCCION

Newton utiliza en 1671 las coordenadas polares.

La física de los fenómenos ondulatorios, como el producido por una cuerda que vibra, llevó a Euler (1707-1783) al estudio de las funciones trigonométricas.


INTRODUCCION


INTRODUCCION

Hoy, en nuestros días, las utilidades de la trigonometría abarcan los más diversos campos:

de la topografía a la acústica, la óptica y la electrónica


INTRODUCCIONRECUERDA


INTRODUCCIONRECUERDA

● Sistema Centesimal

El grado es la medida que se obtiene de dividirdividir un ángulo rectoángulo recto en 9090 partes iguales. La circunferencia mide 360º360º

● Sistema sexagesimal

En el sistema sexagesimal, los ángulos se miden en gradosgrados, minutosminutos y segundossegundos

1º=60´

1´=60´´


1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

1.1.-El Radián

definición radián

Entender el radián

http://www.geogebratube.org/material/show/id/66363



1.1.-El Radián

Grados y radianes

http://www.geogebratube.org/student/m39404



1.2.-Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Razones trigonométricas



1.2.-Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo


2. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Si se aplican la semejanza y el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos “básicos”, es decir, con hipotenusa=1 o con cateto adyacente=1, se obtienen las relaciones fundamentales de la trigonometría:



2.1.-Primera relación fundamental



2.2.-Segunda relación fundamental



Partiendo del valor de una razón trigonométrica calculamos el resto utilizando las relaciones entre ellas:



Dada una igualdad trigonométrica nos piden su demostración. Para ello se parte de uno de sus miembros y, aplicando las fórmulas y relaciones conocidas, se trata de llegar al otro miembro:


3. AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO

3.1.-Ángulos mayores de 360º

Los ángulos mayores de 360 grados se consideran como la suma de un número entero de vueltas más un ángulo menor de 360 grados.

Si α es un ángulo mayor que 360º significa que es un ángulo que sobrepasa una vuelta entera a la circunferencia. Por lo tanto hay que reducirlo en primer lugar a un ángulo menor que 360º.

Para ello, dividimos el valor del ángulo entre 360º, el cociente será el número de vueltas, y el resto de la división el ángulo de la circunferencia al que equivale.

desplazamiento angular





3.2.-Ángulos negativos

Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es contrario al de las agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo.




3.3.-Circunferencia Goniométrica

Se llama circunferencia goniométrica a una circunferencia de radio 1(la hipotenusa del triángulo mide 1 unidad) y con centro en el origen de un sistema de ejes coordenados.




3.3.-Circunferencia Goniométrica

Todo ángulo se puede situar en la circunferencia goniométrica situando el vértice del ángulo en el centro de la circunferencia y fijando un lado del ángulo el radio que va hasta el punto (1,0). De esta manera, el punto donde el otro lado del ángulo corta a la circunferencia determina unívocamente un ángulo. Del mismo modo, un ángulo determina un único punto en la circunferencia.

Circunferencia Goniométrica




3. AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO3.3.-Circunferencia Goniométrica

Llamamos cuadrante a cada uno de los cuartos en que los ejes dividen la circunferencia:Si el ángulo es agudo, el punto está en el 1º cuadrante si el ángulo es obtuso estará en el 2º cuadrante si el ángulo está entre 180 º y 270 º en el 3º cuadrante y si el ángulo está entre 270º y 360º, el punto estará en el 4º cuadrante.



4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

4.1.-Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Si consideramos el ángulo α que determina un punto P con coordenadas (x, y) del primer cuadrante de la circunferencia goniométrica, las razones trigonométricas del ángulo agudo α coinciden con las coordenadas del punto P de la siguiente forma:

razones





4.2.-Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Cuando el punto P (x, y) de la circunferencia goniométrica determina un ángulo α mayor de 90º, las razones trigonométricas varían de la siguiente forma:

razones





4.2.-Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Signo de las razones trigonométricas de un ángulo

razones

razones





5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS RELACIONADOS

5.1.-Ángulos opuestos α Y -α

Observa en la figura los puntos de la circunferencia goniométrica que determinan los dos ángulos opuestos α y -α. Sus coordenadas cumplen que tienen la misma abscisa y sus ordenadas son opuestas. Por tanto coincidirán los cosenos de los dos ángulos y sus senos serán opuestos.

Las razones trigonométricas de dos ángulos opuestos α y -α cumplen que:

angulos opuestos





5.2.-Ángulos que se diferencian en 180º

Observa en la figura las coordenadas de los puntos que determinan los ángulos α y β (β es α+180º) . En este caso, tanto las abscisas como las ordenadas son opuestas, por lo que los senos y los cosenos de estos ángulos también lo son.

razones





5.3.-Ángulos suplementarios

Observa la figura. Para estos dos ángulos coincide la ordenada y es opuesta la abscisa, por lo que coincidirán sus senos y serán opuestos sus cosenos. Las razones trigonométricas de dos ángulos suplementarios cumplen que:

razones





5.4.-Razones trigonométricas de ángulos importantes


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