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Razones trigonometricas de un angulo agudo
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RAZONES RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO ÁNGULO AGUDO
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RAZONES RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO AGUDOUN ÁNGULO AGUDO
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INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
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• NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
NOCIONES PREVIAS
1.1. a.a. Proporcionalidad de segmentos y Proporcionalidad de segmentos y semejanzasemejanza
b.b.TEOREMA DE TALESTEOREMA DE TALES
2.2. TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE PITÁGORAS
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1.a. Proporcionalidad de 1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanzasegmentos y semejanza
Sombra del árbol grande (S)
S. árbol pequeño (s)
H
h
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas
H
h
Ss
OA’
A
B’
B
)alidadproporcionderazón(k'AA'BB
'OA'OB
Hh
Ss
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
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Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.
O
A’A
B’
B
'OB'B'A
OBABtambieno
'OB'OA
OBOA
1.b. TEOREMA DE TALES1.b. TEOREMA DE TALES
O
A’
A
B’
B
C’
D’E’
EDC
B’’
C’’
D’’
E’’
r
r’
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Medida de ángulosMedida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo completo
Ángulo llano
Ángulo recto
Un grado
Un minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2 /2
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Ángulos en los tres sistemas de medida
S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º
S. centesimal 66g 66m
66s 50g 133g 33m
33s 60g 233g 33m
33s 100g 166g 66m
66s
Radianes
S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14”
S. centesimal 155g 55m
55s 350g 175g 90g 266g 66m
66s 25g 190g 98m
59s
Radianes 3
3
4
103
67
2
32
65
87
1814
47
209
34
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
CsenC"B
"B"AC'B
'B'ABCAB
Cgcot"B"A
C"A'B'A
C'AABAC
Ceccos"B"A
C"B'B'A
C'BABBC
CcosC"BC"A
C'BC'A
BCAC
CtgC"A"B"A
C'A'B'A
ACAB
CsecC"AC"B
C'AC'B
ACBC
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
CA”
B”
A
B
A`
B` semejantes
porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO
ac
hipotenusaopuestocatetoCsen
ab
hipotenusaadyacentecatetoCcos
ca
opuestocatetohipotenusaCeccos
ba
adyacentecatetohipotenusaCsec
bc
adyacentecatetoopuestocatetoCtg
cb
opuestocatetoadyacentecatetoCgcot
Ccos1Csec
Csen1Ceccos
Ctg1Cgcot
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
Se definen seis razones trigonométricas
CA
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Cat
e to
opu e
sto
de C
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RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
acCsen
abCcos
Csen1
acaa
caCeccos
Ccos1
abaa
baCsec
CcosCsen
abac
bcCtg
CsenCcos
acab
cbCgcot
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
CA
B
a
b
c
Cateto adyacente o contiguo a C
Cat
e to
opu e
sto
de C
Ccos1Csec
Csen1Ceccos
Ctg1Cgcot
CcosCsenCtg
CsenCcosCgcot
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VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
B
CA
a
b
C
1acCsen0
1abCcos0 1
caCeccos
1baCsec
bcCtg0
cbCgcot0
En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa.
Es decir: 0 < c < a 0 < b < a
En consecuencia:
