INDICE

Definicin de razones trigonomtricas--------------------------------------6Razones trigonomtricas de ngulos agudos notables -----------------7

Propiedades de las razones trigonomtricas------------------------------8 Razones trigonomtricas reciprocas Razones trigonomtricas de ngulos complementariosIdentidades trigonomtricas----------------------------------------9 Identidades fundamentales Suma y diferencia de ngulos ngulo doble Transformaciones de sumas en productos Transformaciones de productos en sumasRelaciones de tringulos oblicungulos ----------------------------------11 Teorema del seno Teorema de cosenos Teorema de tangentesFunciones trigonomtricas inversas----------------------------------------13

Funcin arcoseno Funcin arcocoseno Funcin arcotangente Funcin arcocotangente Funcin arcosecante Funcin arcocosecante

DEDICATORIA

Quiero dedicarle este trabajo A Dios que me ha dado la vida y fortaleza para terminar este proyecto de investigacin, A mis Padres por estar ah cuando ms los necesit; en especial a mi madre por su ayuda y constante cooperacin

Ao de la Diversificacin Productiva y del Fortalecimiento de la Educacin

RAZONES TRIGONOMETRICAS E INVERSASCURSO:Calculo IDOCENTE:Lic. Julio Roberto ngeles VsquezSEMESTRE: PrimeroALUMNO: QUISPE HUARACALLO Juan Mximo

HUANCAYO PER 2015

Introduccin

En la construccin de carreteras, puentes, canales y edificaciones, observamos que los topgrafos manipulan instrumentos como el teodolito, el metro y las reglas graduadas con el objeto de medir ngulos y distancias generalmente en tringulos, ya que la triangulacin es muy empleada para trabajos.

En el presente captulo analizaremos los tringulos rectngulos. Las propiedades que se exponen tendrn su utilidad en ejercicios en ngulos verticales y horizontales. Como una de las aplicaciones, podemos indicar el clculo del dimetro de la tierra y la distancia del sol a la tierra. Adems se sabe que, en sus inicios, la trigonometra se basa en la astronoma que en la antigedad desarrolla Hiparco y que, posteriormente, Galileo Galilei utiliza para analizar el desplazamiento de los planetas.

Al calcular la media del dimetro de la tierra desde un satlite se observa que la bisectriz del ngulo as detger6minada seala al centro de la tierra.

El uso de las razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo generado nos permite obtener aquella distancia

Objetivos:

Introduccin al concepto de razn trigonomtrica y sus definiciones Clculo de razones trigonomtricas de ngulos agudos Aproximacin a las relaciones entre razones trigonomtricas Introduccin a la resolucin de tringulos rectngulos

DEFINICION DE RAZONES TRIGONOMETRICAS

Las Razones trigonomtricas se definen comnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectangulo asociado a sus ngulos.Existen seis funciones trigonomtricas bsicas.

Para definir las razones trigonomtricas del ngulo:, del vrticeA, se parte de untringulo rectnguloarbitrario que contiene a este ngulo. El nombre de los lados de este tringulo rectngulo que se usar en los sucesivo ser:

Lahipotenusa(h) es el lado opuesto al ngulo recto, o lado de mayor longitud del tringulo rectngulo. Elcateto opuesto(a) es el lado opuesto al ngulo que queremos determinar. Elcateto adyacente(b) es el lado adyacente al ngulo del que queremos determinar.Todos los tringulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ngulos internos es igual a radianes(o 180). En consecuencia, en cualquier tringulo rectngulo los ngulos no rectos se encuentran entre 0 y /2 radianes. Las definiciones que se dan a continuacin definen estrictamente las funciones trigonomtricas para angulos de este rango

1) Elsenode un ngulo es la relacin entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relacin no depende del tamao del tringulo rectngulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ngulo, en cuyo caso se trata de tringulos semejantes.

2) Elcosenode un ngulo la relacin entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) Latangentede un es la relacin entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) Lacotangentede un ngulo es la relacin entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) Lasecantede un ngulo es la relacin entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) Lacosecantede un ngulo es la relacin entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

Razones trigonomtricas de angulos agudos notables

Propiedades de las razones trigonomtricas

a) Razones trigonomtricas reciprocas Las razones seno, coseno y tangente son las razones trigonomtricas fundamentales; sin embargo, tambin se definen los valores recprocos de ellas como las razones trigonomtricas recprocas.Estas son:Cosecante de Secante de Cotangente de

b) Razones trigonomtricas de ngulos complementarios

Se dice que dos ngulos son complementarios cuando su suma es 90.Dados A y B tales que A+B=90. Es decir, B=90 - A se cumple:senA = cos B, es decir,sen A = cos(90-A)cosA = sen B, es decir,cosA=sen(90-A)de las dos igualdades anteriores se deduce quetgA = cotgB

Identidades trigonomtricas

a) Identidades fundamentales

cos + sen = 1sec = 1 + tg cosec = 1 + cotg

b) Suma y diferencia de ngulos

c) ngulo doble

d) ngulo mitad

e) Transformaciones de sumas en productos

f) Transformaciones de productos en sumas

Relaciones de tringulos oblicungulos

Un problema de resolucin de tringulos oblicungulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ngulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado).(*) Oblicungulo se contrapone a rectngulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de tringulos oblicungulos no se pretende excluir al tringulo rectngulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante cuando el tringulo es rectngulo, porque se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las tcnicas generales de resolucin que vamos a ver seguidamente.

Teoremas trigonomtricos

1. Teorema del seno

En un tringulo cada lado es directamente proporcional al seno del ngulo opuesto.

2. Teorema de cosenos

En un tringulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ngulo que forman.

3. Teorema de tangentes

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

Son funciones necesarias para calcular los ngulos de un tringulo a partir de la medicin de sus lados, aparecen con frecuencia en la solucin de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, ninguna de las 6 funciones trigonomtricas bsicas tiene inversa debido a que son funciones peridicas y por lo tanto no son inyectivas, pero restringiendo su dominio se puede hallar la inversa.

a) Funcin arcoseno

Elarcosenoes la funcin inversa o reciproca delseno. y = arcsen xx = sen yy es el arco cuyo seno es el nmero x. Como elarcosenoy elsenoson funciones inversas, su composicin es la funcin identidad. arcsen (sen x) = x.Elarcosenotambin se puede expresar como:sen-1osin-1en las calculadoras.f(x) = arcsen x

Dominio: [-1, 1]Recorrido:Continua: (-1, 1)Decreciente: (-1, 1)

b) Funcin arcocoseno

Elarcocosenoes la funcin inversa o reciproca delcoseno. y = arccos xx = cos yy es el arco cuyo coseno es el nmero x. Como elarcocosenoy elcosenoson funciones inversas, su composicin es la funcin identidad. arccos (cos x) = x.Elarcocosenotambin se puede expresar como:cos-1.f(x) = arccosen x

Dominio: [-1, 1]Recorrido:Continua: (-1, 1)Decreciente: (-1, 1)

c) Funcin arcotangente

Elarcotangentees la funcin inversa o reciproca de la tangente. y = arctg xx = tg yy es el arco cuya tangente es el nmero x. Como elarcotangentey latangenteson funciones inversas, su composicin es la funcin identidad.arctg (tg x) = x. Elarcotangentetambin se puede expresar como:tg-1otan-1en las calculadoras.f(x) = arctg x

Dominio:Recorrido:Continuaen:Crecienteen :

d) Funcin arcocotangente

Es lafuncin inversade lacotangentede unngulodentro de un intervalo. Se simbolizaoy su significado geomtrico es el ngulo cuya cotangente es alfa.

Y, teniendo en cuenta la relacin entre la cotangente y latangente, podemos establecer que:

Por tanto, por la propia definicin de la funcin, su valor prctico ms inmediato es el de despejar la longitud de un ngulo cuando conocemos la cotangente de ste.

e) Funcin arcosecanteEs lafuncin inversade lasecantede unngulo. Se simbolizay su significado geomtrico es el ngulo cuya secante es alfa.

De esta definicin, por tanto, podemos deducir expresiones equivalentes:

Eldominio de definicinde la funcin arcosecante est comprendido entreyo entrey. La funcin presenta unaasntotahorizontal en, tal y como se deduce de la expresin:

f) Funcin arcocosecanteEs lafuncin inversade lacosecantede unngulo. Se simbolizay su significado geomtrico es el ngulo cuya cosecante es alfa.

De esta definicin, por tanto, podemos deducir expresiones equivalentes:

Eldominio de definicinde la funcin arcocosecante est comprendido entreyo entrey.