EJERCICIO RESUELTOS TEOREMA DE PITÁGORAS Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Calcular el lado que le falta al triangulo

1)

5 cm ʔ

12 cm

H2 = a²+b²

H²=(5cm )2+(12cm )2

H²=25cm² + 144 cm²

H²= 169 cm²=

H=√169cm2

H=13 cm

2) 24cm

7cm ʔ

H²= a²+b²

H²¿ (7cm )2+(24cm )2

H²= 49 cm² + 576 cm²

H² = 625 cm²

H =√625cm ²

H =25 cm

3) 8 cm

ʔ 15 cm

H²= a²+b²

H²¿ (8cm )2+(15cm )2

H²= 64 cm² + 225 cm²

H² = 289 cm²

H =√289cm ²

H = 17 cm

4)

12cm ʔ

35 cm

H²= a²+b²

H²¿ (12cm )2+ (35cm )2

H²= 144 cm² + 1225 cm²

H²= 1369 cm²

H=√1369cm2

H=37 cm

5)

11cm 61cm

ʔ

H²= a²+b²

(61cm )2=(11cm )2+b ²

3721 cm² = 121cm² + b²

3721c m2−121c m2=b2

3600c m2=b2

b=√3600cm2

b=60cm

6)

21cm 29 cm

ʔ

H²= a²+b²

(29cm )2=(21cm )2+b ²

841c m2−441cm2=b2

400 cm2=b2

b=√400c m2

b=20cm

7. Formula x = √r2− y2

9 cm

41cm

X = √(41cm)2−(9cm)2 = x = √1681cm2−81cm2 = x = √1600cm2 = 40 cm

8.

6 cm

8 cm

A2 + B2 = H2

(6 cm)2 + (8cm)2 = H2

36 cm2 + 64 cm2 = H2

100 cm2 = H2

√100cm2 = 10 cm = H

El valor de la Hipotenusa es 10 cm

9.

53 cm 28 cm

Formula: x = √r2− y2

X = √ (53cm )2 – (28cm )2

X = √2809cm2−784cm2

X = √2025cm2 = x = 45 cm

10. En un rectángulo de 35mm ×120mm se traza una diagonal ¿Cuánto mide esta diagonal?

35 mm ?

120mm

h²= a²+b²

h²¿ (35mm )2+(120mm )2

h²= 1225 mm² + 14400 mm²

h= 15625 mm²

h=√15625mm2=125mm

h= 125 mm

R/ La diagonal mide 125 mm

11.En un rectángulo de 55 mm de base se traza su diagonal. La diagonal trazada mide 305 mm. ¿Cuánto mide la altura del rectángulo?

? 305 mm

55mm

h²= a²+b²

(305mm )2= (55mm )2+b ²

93025 mm² - 3025 mm² =b²

90000 mm² =b²

b=√90000mm2=300mm

La altura del rectángulo mide 300mm.

12.Desde la punta de un faro, una persona ata una cuerda de 91m de largo y la ubica a 35 m de distancia del faro. Calcular la altura del faro.

91 m

35m

h²= a²+b²

(91m )2=(35m )2+b ²

8281 m² - 1225 m² =b²

7056 m² = b²

b=√7056m2

¿84 m

La altura del faro es de 84m.

13. Mario apoya una escalera de 8,2 metros en una pared, separada a 1,8 metros de la misma ¿a qué altura del piso estará el escalafón más alto de la escalera?

8,2m

1,8m

h²= a²+b²

(8,2m )2=(1,8m )2+b ²

67,24 m² - 3,24 m² = b²

64 m² = b²

b=√64m2

b=8m

R/ El escalón más alto de la escalera estará a 8 m de altura del piso.

En los siguientes triángulos rectángulos hallar A y B.

1)

A B

B sena =coh

Sen 600= 12cm

h ipotenusa

600

Sen 600 × 12 cm= hipotenusa0,866 .12cm=hipotenusa

10,392cm=hipotenusa

B=10,392cm

A

Cos a = c ah

cos60 °=cah

cos60 °=cateto adyacente10,392cm

cos60 ° .10,392cm=catetoadyacente

0,5 .10,392cm=catetody

5,196=catetoayacente

A=5,196

2)

A

3cm B

sen a = catetoopuestohipotenusa

sen36 °= catetoopuesto3cm

sen36 ° .3cm=catetoopesto

0,587 .3cm=cateto opuesto

1,763=catetoopuesto

B=1,763cm

cos a= cateto adyacentehipotenusa

36°

cos36 °= catetoadyacente3cm

cos36 ° .3cm=cateto adyacente

0,819 .3cm=cateto adyacente

2,457cm=catetoadyacente

A=2,457cm

3)

A 29 cm

B

sen40 °cateto opuesto

hipotenusa

sen40 °= cateto opuesto29cm

sen40 ° .29cm=catetoopesto

sen40 ° .29cm=catetoopuesto

18,640cm=catetoopuesto

A=18,640cm

cos a= cateto adyacentehipotenusa

cos 40 °= catetoadyacente29cm

cos 40 ° .29cm=catetoadyacente

0,766 .29cm=cateto adyacente

22,215cm=catetoadyacente

B=22,215cm

4)

40°

10 cm B

A

senacatetoopuestohipotenusa

sen45 °= 10cmhipotenusa

sen45 ° .10cm=hipotenusa

7,071=hipotenusa

B=7,07 cm

cos a= cateto adyacentehipotenusa

cos 45 °= catetoadyacente7,07 cm

cos 45 ° .7,07cm=catetoadyacente

4,999 cm=catetoadyacente

A=4,999cm

15.

15.9m

8.4mt

15.9mt 2−8.4 mt 2=c t2

45°

42 cm

252.81mt−70.56 mt=c t2

182.25mt 2=c t 2

√182.25mt 2=ct13.52mt=ct

152+362

225 fos + 1296 fos = 1521 fósforos√1521 = 39 fos

Rta 17) = ¿= 5476cm−144 cm=5332cm2

= √5332=73.02cm

Rta 18) = ¿= 3364 cm−1764cm=1600c m2

= √1600=40cm

Rta 19) = 4 c m2+7.5c m2

= 16cm+56.25cm=72.25c m2

36 Fósforos

15 Fósforos ?

24 cm

74 cm

?

58 cm

?

?

7,5cm

4cm

= √72.25=8.5 cm

A=h (BM+bm )

2 A2+B2=H 2

352=212+b2

1225−441=b2

√784=b

28=b

h^2 = a^2+b^2 √64 = b(17)^2 = (15)^2+b^2 8 = b289 = 225 +b^2 h = b+b289-225 = b^2 h = 8+8 = 16Sen60° = 12/BCos60° = A/13,95B = 12/sen60° A = Cos60*13,95B = 13,95 A = 6,975

Sen50° = 24/A Tg50° = 24/B000000000000000000000000000000000000000000000000A = 24/Sen50° B = 24/Tg50°A = 31.32 cm B = 20.13 cm

100cm

142cm

35cm

17cm

15cm

?

A = P*a/2 Tg54° = CO/CA = a

Tg54° = a/6cm6*Tg54° = a8.25 cm = a

Sen24° = X/9.56cm Cos24° = A/9.56 Tg24° = Y/Base9.56cm*Sen24° = X 9.56*Cos24° = A 10.2*Tg24° = Y3.8 = X 8.7 = A 4.54 = YA+B = Base 8.7 + 1.5 = 10.2 cm

h^2 = C^2+C^2 ht = 2x(5)^2 = (2.5)^2+C^2 ht = 2(4.3)25-6.25 = C^2 ht = 8.66 cm√18.75 = C4.3 = C(x)

Dado el siguiente triángulo. Hallar los lados y/o ángulos que faltan.

C B

A

a

b c

a

6cm

c

54°

55

5

5

2.5

X

1)

A = 3m

B = 2m

B = 400

Asen (a)

= Bsen (b)

= Csen (c)

Angulo “a”

Asen ( a )

= Bsen (b )

= 3msen (a )

= 2msen (40 ° )

3m .sen (40 ° )=2m .sen (a)

1,92m=2m.sen (a )

sen (a )=1,92m2m

=0,96msen (a )=0,96

a=Arco sen (0,96 )=73° 44 �̍ 23

Angulo “c”

a=73 ° 44' b=40 ° c?

a+b+c=180 °

73 ° 44'+40°+c=180°

c=180 °−73° 44 '−40 °=66 °16 '

c=66° 16

Lado C=

Asen ( a )

= Csen (c )

3m

sen (73 ° 44 ' )= c

sen (66 ° 16' )=¿

sen (66 °16 ' ). 3m

sen (73 ° 44 ' )=c

c=2,86 m

2) A=12m

B=10m

C=30 °

Lado C

C2=A2+B2−2. A .B .cos (c )

c2=(12m )2+ (10m)2−2.12m.10m.cos30 °

c2=144 m2+100m2−240m2 .cos30 °

c2=144 m2+100m2−240m2 .0,866

c2=144 m2+100m2−207,84 m2

c2=36,16m2 c=√36,16m2=6,013m❑

Angulo “a”

A2=B2+C2−2.B .C .cos ( a )

(12m )2+(10m )2+(6 ,O13m )2−2 .10m.6,013. cos (a )

144m2=100m2+36,156m ²−60,13m2 .cos (a )

cos (a )=144m2−100m2−36,156m2

−60,13m2

cos (a )=−0,130

a=Arc cos (−0,130 )=a=97 °28 ' 10,56

Angulo “b”

a+b+c=180 °

97 ° 28' 10,56 +b+30°=180

b=180 °−97 ° 28' 10,56 -30

b=52° 31' ,44

3) A=15m

c=10m

b=60 °

Lado “B”

B2=A2+C2−2. A .C .cos (b )

B2=(15m )2+ (10m )2−2.15m.10m .cos (60° )

B2=225m2+100m2−300m2 .cos (60 ° )

B2=225m2+100m2−300m2 .0,5

B2=225m2+100m2−150m2

B2=175m2

B2=√175m2=13,22m

Angulo a

A2=B2+C2−2.B .C .cos ( a )

(15m )2=(13,22m )2+(10m )2−2 .13,22m .10m.cos (a )

225m2=174,7684m2+100m2−264,4m2 .cos (a )

cos (a )=225m2=174,7684m2−100m2

−264,4m2 =0,0188

cos (a )=0,0188

a=Arcocos (0,0188 )=88 ° 55' 21,99

Angulo “b”

a+b+c=180 °

88 ° 55' 21,99 +60°+c=180

c=180 °−88° 55 ' 21,99 -60

c=31 ° 4 ' 38,01

4) A=18m

C=16m

c=58 °

Angulo “a”

Asen ( a )

= Csen (c )

= 18msen (a )

= 16msen (58 ° )

18m. sen (58 ° )=16m .sen (a )

15,26m=16m .sen ( a )

sen (a )=15,26m16m

=0,95msen ( a )=0,95

a=Arcoseno ( 0,95 )=71 ° 48' 18,46

Angulo “b”

a+b+c=180 °

71 ° 48' 18,46 +b+58°=180

b=180 °−71 ° 48' 18,46 -58°=50° 11’ 41,54

Lado “B”

Asen ( a )

= Bsen (b )

= 18msen¿¿

B=(50 ° 11’41,54″ ) . 18msen ¿¿

B=14,55m

5) A=21cm

B=20Cm

b=70 °

Angulo “a”

Asen ( a )

= Bsen (b )

= 21cmsen (a )

= 20cmsen (70° )

21cm . sen (70 ° )=20 ° cm. sen (a )

19,7cm=20cm. sen (a )

sen (a )=19,7cm20cm

=0,98 cm sen (a )=0,98

a=Arcoseno ( 0,98 )=78 °31 ’17,97″

a=78 °31 ’17,97″

Angulo “b”

a+b+c=180 °

78 °31 ’17,97″+70 °+c=180 °

c=180 °−78° 31’ 17,97″−70 °=31 °28 ’ 42,03″

c=31 ° 28’ 42,03″

Lado “C”

Asen ( a )

= Csen (c )

= 21cm

sen ( 78° 31’ 17,97″ )= C

sen (31 °28 ’ 42,03″ )

C=sen (31° 28 ’ 42,03″ ) . 21cm

sen (78 ° 31’ 17,97″ )

C=11,18cm

6) B=51m

C=45 m

b=65 °

Angulo “c”

Bsen (b )

= Csen (c )

= 51msen (65 ° )

= 45msen (c )

45 m.sen (65 ° )=51m (sen c )

40,7 m=51msen (c )

sen= 40,7m51m

=0,79m

sen=0,79m

c=Arcoseno (0,79m )=52 °11’7″

c=52 ° 11’ 7″

Angulo “a”

a+b+c=180 °

a+65°+52 °11’ 7″=180 °

a=180 °−52 °11’7″−65 °

a=62 ° 48’ 53″

Lado A

Asen ( a )

= Bsen (b )

= A

sen (62 ° 48 ’53″ )= 51m

sen (65 ° )

A=sen ( 62° 48 ’53″ ) . 51msen (65 ° )

=50,05m

A=50,05m

7) A=5m

C=2m

b=45 °

Lado B

B2=A2+C2−2 . A .C .Coseno (b )

B2=(5m )2+ (2m)2−2 .5m.2m.cos ( 45 ° )

B2=25m2+4 m2−20m.0,7

B2=25m2+4 m2−14 m

B2=15m2

B=√15m2=3,87m

B=3,87m

Angulo “a”

A2=B2+C2−2 .B .C .cos (a )

(5m )2=(3,87m )2+(2m)2−2 (3,87m ) . (2m ) .cos (a )

25m2=14,97m2+4 m2−2 (3,87m ) . (2m ) .cos (a )

25m2=14,97m2+4 m2−15,48m .cos (a )

cos (a )=25m2−14,97m2−4 m2

−15,48m=−0,38

cos (a )=−0,389

a=Arc cos (−0,389 )=¿

a=112°53 ' 32″

Angulo “c”

a+b+c=180 °

112° 53' 32″+45 °+c=180 °

c=180 °−112° 53' 32″−45 °

c=22 ° 6' 28″

8) C=14cm

a=30 °

b=96 °

Angulo “c”

a+b+c=180 °

30 °+96 °+c=180 °

c=180 °−30°−96 °

c=54 °

Lado “A”

Asen ( a )

= Csen (c )

= Asen (30 ° )

= 14 cmsen (54 ° )

A=sen (30 ° ) . 14cmsen (54 ° )

=8,65cm

A=8,65cm

Lado “B”

Bsen (b )

= Csen (c )

= Bsen ( 96 ° )

= 14cmsen (54 ° )

B=sen (96 ° ) . 14cmsen (54 ° )

=17,2cm

9) A=3m

B=2m

C=4 m

Angulo “a”

A2=B2+C2−2 .B .C .cos (a )

(3m )2=(2m )2+ (4m )2−2 .2m.4m .cos (a )

9m2=4m2+16m2−16m2 .cos (a )

cos (a )=9m2−4m2−16m2

−16 m2 =0,68m2

cos (a )=0,68 m2

a=Arcocos (0,68 )=47 °9 ' 22,89″

a=47 ° 9' 22,89″

Angulo “b”

B2=A2+C2−2 . A .C .cos (b )

(2m )2=(3m )2+ (4m )2−2 .3m.4 m.cos (b )

4 m2=9m2+16m2−24m2 .cos ( b )

cos (b )=4 m2−9m2−16m2

−24 m2 =0,875m

b=Arccos (¿0,875)=28° 57' 18,09″ ¿

b=28 °57 ' 18,09 ″

Angulo “c”

a+b+c=180 °

47 °+9' 22,89″+28 °57 ' 18,09″+c=180 °

c=180 °−47 9' 22 ,89″−28° 57' 18 ,09 ″

c=103 ° 53 ' 19″

10) A=3m

B=5m

c=120 °

Lado C =

C2=A2+B2−2 . A . B .cos (c )

C2=(3m )2+ (5m )2−2 .3m2 .5m2 .cos (120 ° )

C2=9m2+25m2−30m2 .cos (120 ° )

C2=9m2+25m2−30m2 .−0,5

C2=9m2+25m2+15m ²

c2=√49m2=7 m

C2=7m

Angulo “a”

A2=B2+C2−2 .B .C .cos (a )

(3m )2=(5m )2+ (7m )2−2.5m .7m .cos (a )

9m2=25m2+49m2−70m2 .cos (a )

cos (a )=9m2−25m2−49m2

−70m=0,92m2

cos (a )=0,92m2

a=Arcocos (0,92 )=23 ° 4' 26,11″

a=23 ° 4' 26,11″

Angulo “b”

a+b+c=180 °

23 ° 4' 26,11″+b+120 °=180 °

b=180 °−23 ° 4' 26,11″−120=36 °55' 33,89″

b=36 °55 ' 33,89″

11) A=9cm

B=12cm

C=15cm

Angulo “a”

A2=B2+C2−2 .B .C .cos (a )

(9cm )2=(12cm )2+(15cm )2−2 .12cm .15 cm.cos (a )

81c m2=144cm2+225cm2−360cm .cos (a )

cos (a )=81c m2−144 cm2−225c m2

−360 cm2 =0,8cm2

cos (a )=0,8

a=Arcocos (0,8 )=36 ° 52' 11,63″

a=36 °52' 11,63″

Angulo “b”

B2=A2+C2−2 . A .C .cos (b )

(12cm )2=(9cm )2+(15cm )2−2 .9cm.15cm .cos (b )

144c m2=81c m2+225c m2−270c m2 .cos (b )

cos (b )=144c m2−81cm2−225 cm2

−270cm2 =0,875m=0,6

cos (b )=0,6

b=Arccos (¿0,6)=53° 7' 48,37 ″ ¿

b=53 °7 ' 48,37 ″

Angulo “c”

a+b+c=180 °

36 °+52' 11,63″+53 ° 7' 48,37 ″+c=180 °

c=180 °−36°+52' 11,63″−53 ° 7' 48,37″

c=90°

12)

C2=A2+B2−2 ∙ A ∙B ∙cos (c)

C2=(7 m)2+(6m)2−2 ∙7m ∙6 m∙cos300

C2=49m2+36m2−84 m2 ∙0,866

C2=49m2+36m2−72,24m2

C2=77,73m2

C=√77,73m2

C=8,81m

A2=B2+C2−2 ∙B ∙C ∙cos (a)

(7m)2=(6 m)2+(8 ,81m)2−2∙6m∙8,81m∙cos (a)

49m2=12m2+77,61m2−105,72m2 ∙cos (a)

49m2−12m2+77,61m2

−105,72m2 =cos(a)

cos (a )=−0,384

a=Arc cos(−0,38) = a=112° 34 ´51´ ´

a=112° 34 ´51° y C= 30°

a+b+c=180°

112° 34 ´51´ ´+b+30°=180°

b=180°−112° 34´ 51´ ´−30°

b=98° 2´ 24´ ´

13)

sen30°= 2mAC

AC= 2m

sen30°=4 = c

cos30°= AB4

AB=4 ∙cos 30°=AB=3,46=b

Para hallar la medida del ángulo faltante hacemos lo siguiente:

m∡A+m∡B+m∡C=180°

30°+m∡B+60°=180°

180°−90°=90°

REFERENCIAS

Ediciones Lógicamente, Libro de Matemática a Media, Tema 52: Trigonometría nivel I. Recuperado de

http://www.logikamente.com.ar/?page=Recursos::Los_84_temas  

Ediciones Lógicamente, Libro de Matemática a Media, Tema 53: Trigonometría nivel II. Recuperado de

http://www.logikamente.com.ar/?page=Recursos::Los_84_temas