RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razón: Es comparar dos magnitudes que tienen la misma unidad.

Razón aritmética: comparación mediante una resta.

a-b=d

Razón geométrica: es la comparación mediante un cociente.

a÷ b= r

En trigonometría nos referimos a una razón geométrica.

TRIANGULO RECTÁNGULO

-Es la mitad de un rectángulo teniendo en cuenta la diagonal.

-Es un trianguló que tiene que tiene un ángulo interior recto y dos lados que lo generan estos se llaman catetos y el que se opone hipotenusa.

-Catetos=a; b

-Hipotenusa=c

-Ángulos agudos=A; B

-Angulo recto= 900

Triángulos notables notables.

B

θ

θ αA CD

a

bc

Ctgθ= c+b tgα = a

Cot α = c

Cot α = cscα + ctg α tgθ = a (c- b)

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Un ángulo esta en posición normal cuando está ubicado en un sistema de referencia.

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

a

2 a

2

(a + c)

a2

Tg α = csc α- ctgα2

x yy

x

Senα= y

Cosα = x

Tangα=y

Ctgα =x

Secα=r

Cscα=r

r

r

x

x

y

y

α

B

Senα=cosβ

Tanα=ctgβ

Secα=cscβ

Razones trigonométricas reciprocas

Senα=y

Cosα=x

Tan=y

Ctgα=x

Secα=r

Cscα=r

Senα. Cosα= 1

Senα= 1

Tanα. Ctgα= 1

Tanα=1

Ejercicios Propuestos:

β

αAC

α+β=900

r

r

x

Y

x

y

Cscα

Ctgα

B

A

D

C

α

1.- Del gráfico hallar: E = 3 (Tgθ−Tgβ ) Ctgα2

m

2m

β θ α

a a a

Hallamos las Tangentes y la Cotangente que nos pide para resolver el problema:

E = 3 ( 3m2a

−3ma )(

3m22 )

Resolviendo nos resulta:

E = 3√( 9m2a )( 3a

4m ) = 3√ 27ma8am

= 32=1.5

Ejercicio 1 Propuesto por: Anco Flores Geovanni

2.- DE LA FIGURA. CALCULA BD; SI: senα+cos β=1 ; AB=1Y BC=4

B

A

D

C

α

1

4

RESOLUCION

En el triangulo DAB : senα= ABDB

= 1DB

senα=¿ 1DB

¿………(1)

En el triangulo CDB: cos β=¿ BDBC

=BD4

¿

cos β=¿ BD4

¿………(2)

(1) y (2), los reemplazamos en la expresión :

senα+cos β=1→1

BD+ BD4

=1…resolvemosla ecuacion

4+( BD )2=4 BD

( BD )2−4 BD+4=0; factorizamos utilizando el

metodo deaspa simple

Donde : ( BD−2 ) (BD−2 )=0 (BD -2) =0 BD-2=√0

BD-2=0 BD=2……………Rpta

BDBD -2

-2

2

Ejercicio 2 Propuesto por: Amaya Vega Kattia

3.- Encuentra m, la longitud del lado AB en el triangulo ABC acutángulo.

Usa la Ley de los cosenos y resuelve para m.

c2=a2+b2−2ab . cosc La Ley de los cosenos

m2=962+842−2 (96 ) (84 )(cos77 º) Sustituye c por m, a por 96, b por 84, y C

por 77°.

m = √962+842−2 (96 ) (84 )(cos77 º ) Toma la raíz cuadrada positiva de

ambos lados

m = 112.45

La longitud del lado AB es aproximadamente 112 cm.

Ejercicio 3 Propuesto por: Calderón Gamarra Kevin

4.- Un estudiante curioso, cierto día, se percató de que al observar la cima del “edificio inteligente” de la UNCP con un ángulo de elevación de 53o y a un distancia de 24 m de la puerta de ingreso; se podría hallar la altura del mencionado edificio. Sabiendo que el ojo del estudiante se encuentra a la altura de la base de la puerta de ingreso al edificio, calcular:

a) La altura del edificio inteligente de la UNCP.b) La distancia que debe haber entre el estudiante y la puerta de ingreso al

edificio, si el ángulo de elevación de la observación de reduce a la mitad.

SOLUCIÓN:

BC

A

96cmm

84cm

77º

m

53o

24 m

Si 3k = 24 entonces, k = 8Por lo tanto 4k = 4(8) = 32m

h

53o

C

P O1

4k

3k

5k

24 m

53o

C

P O1

32

24

40

26.5o

26.5o

O240

D

i. Primero esbozamos el problema respecto a la realidad:

ii. Luego convertimos la gráfica convenientemente:

Respuesta a: La altura del edificio es de 32 m.

iii. Graficamos en el caso de que el ángulo de elevación se reduce a la mitad:

Como el CO1O2 es isósceles: CO1 = CO2

Por lo tanto la distancia que deberá haber entre el estudiante y la puerta de ingreso al edificio será:

D = 24 + 40 = 64 m.

Respuesta b: La distancia que debe haber entre el estudiante y la puerta de ingreso al edificio es 64 m.

Ejercicio 4 Propuesto por: Córdova Landa Coco

5.- Hallar el valor de :

R = sen37° + csc30°.tg45° + sen53° / cos60°

a) 4.0b) 4.1c) 4.2d) 4.3e) 4.4

R = sen37 °+csc 30° . tg 45°+sen53 /cos 60°

R = 35

+ 2.1 + 45

/ 12

R= 35

+ 2 + 85

R = 115

+ 2 = 215

= 4,2

Rpta: c

Ejercicio 5 Propuesto por: Moscoso Bravo Dick

6.- Halle la hipotenusa del triángulo en función a α:

α

m

Resolución:

Utilizando conceptos de seno y coseno hallo los lados del triangulo

mtgα msecα

37°

DE

C

A

B

m

Obtengo como resultado:= msecα

7.-Halle el valor de la tgα en el siguiente triangulo:

m

2α

Resolución:

Prolongo la base

α

msenα m

2α α

mcosα m

Obtengo el resultado de la tgα

=msenα

mcosα+m

=senα

cosα+1

Ejercicios 6 y 7 propuestos por: Cárdenas Gonzales Gabriela

8.- En el parque de diversiones de la UNCP, en la resbaladera un universitario empieza a jugar y se moviliza desde el el punto B(inicio), C y termina en D (letrero).Tenemos que tomar en cuenta lo siguiente:

Los segmentos ED=CE, sen37°=48/80 y sen16°=14/50.

37°48

14

37°

DE

C

A

B

B

B

80

50

74

14 50 14

Calcular el valor del segmento AD.

a)34 b)20 c)95 d)72 e)78

SOLUCION:

Primero utilizamos los datos siguientes:

ED=CE, sen37°=48/80 y sen16°=14/50.

Como los lados ED=CE entonces la suma de los ángulos internos nos da: 74°, con este dato podemos encontrar su ángulo complementario que es: 16°.

Sen16°=14/50.

Y listo ya está lo que debemos de hacer es solamente sumar el segmento

AB + BE + ED = AD

14 + 14 + 50 = 78

LA RESPUESTA ES LA LETRA: E= 78

Ejercicio 8 Propuesto por: Barrientos Chávez Gerson

9.- Un niño ve la cabeza de su padre con un ángulo de elevación α y los pies son un ángulo de depresión β, hallar la altura del hijo “h” en términos de α y β, si la altura del padre es “H”.

α

H β

h

Del gráfico tenemos:

A α B

H β

h

En el segmento AB se tiene que:

Hcot α−hcot α=hcot β

H cotα=¿hcot β+hcotα ¿

Hcot α

h (cot β+cotα )=h

Ejercicio 9 Propuesto por: Paitán Rivera Jharvy

10.- Si:

sen5x × csc150°=1; Además se sabe que “x” es un ángulo que se encuentra en un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 60 hallar el área de dicho triángulo.

SOLUCIÓN:

Como las funciones seno y cosecante son recíprocas decimos que

5 x=150°

x=30°

Dibujamos un triángulo rectángulo , ubicamos el ángulo y desarrollamos el triángulo:

C

B

A

DM

P

hβ

β

A

P

ββ Q

h.Ctgβ.Cscβ

2h.Ctgβ.Secβ

n=30m

n√3=30√3

Después de haber obtenido los lados del triángulo los sumamos para así hallar el perímetro:

2 P=30+60+30√32 P=90+30√32 P=141.9m

El perímetro de el triángulo es: 141.9 m

Ejercicio 10 Propuesto por: Cuadrado Arce Josselin

11.- Un estudiante de la UNCP suelta un globo inflado con hidrogeno, por efecto del viento el globo se eleva hacia la izquierda de Jaimito como se muestra en la figura; el globo ya ubicado en un punto “P” avanzó con respecto al suelo la misma distancia que hay entre el globo y el edificio; AP//BC.

Hallar la distancia que hay entre la posición inicial y la posición final del globo (CP); sobre; la distancia que hay entre la cima del edificio y la posición final del globo (AP).

SOLUCION:

Si AP es paralelo a BC entonces la medida del ángulo QAP es igual al valor de “β”, y los segmentos BM y MD son iguales por dato; entonces los segmentos MD y CR son iguales, y el segmento BD=2MD

Resolvemos las distancias entre los segmentos en función de “β” y “h”; si APQ; CPR y BCM son triángulos rectángulos.

60m=2n n=30m

30

10 m.

60º45º

Entonces:

CPAP

=hCtgβ .Cscβ2hCtgβ .Secβ

=Cscβ2Secβ

=

1Senβ2

Cosβ

=Cosβ2Senβ

=12

Ctgβ….Rpta.

Ejercicio 11 Propuesto por: Machaga Gómez Kevin

12.- Desde la orilla de un río, un gusanito observa la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si retrocede 10 m. con respecto a la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura del río.

Resolución:

Diagrama:

H: la altura del árbol: H cot 45º - H cot 60º = 10 m

Por triángulos notables:

H (1) - H (√33

) = 10m H = 30m

√3+3 = 6.34 m aprox.

β α5k

12k 24m

7m

H (√33

) = ancho del rio =3.65 m

La altura del árbol es de 6.34 m aproximadamente y el ancho del rio es de 3.65m.Ejercicio 12 Propuesto por: Huamaní Espinoza Luis

13.- Sobre un plano horizontal, un poste está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan en lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son β, y α. Sil a distancia entre las cuñas es de 17m ¿cuánto cable se ha gastado?

Considere tan β =125

y cot α= 724

.

a) 48m b)51m c)52m d)51m e)62mSolución:

Elaboramos un gráfico de apoyo para la resolución del problema.

Trabajando con los datos del problema:

tan β =125

, buscamos equivalencias para que sea igual la distancia del poste con el otro

dato.

tan β =125

=2410

=3615

cot α= 724

= 1448

= 2172

β α

a

10

24

7

b

Se escoge para tan β= 2410

y cot α= 724

y así se obtiene que la distancia del poste es

24m.

Por medio del Teorema de Pitágoras, hallamos en las hipotenusas que será igual al total de cable que nos pide.

Teorema de Pitágoras:

Cateto opuesto2 + Cateto Adyacente2 = Hipotenusa2

Hallando a:

242 +102 =a2

576 +100 =a2

676 =a2

a= 26

Hallando b:

242 + 72 = b2

576 + 49 = b2

625 = b2

b= 25

Sumando a + b:

26+ 25 =51

Ejercicio13 Propuesto por: Ospino Ricaldi Pamela

14.- En la figura, calcular R = Ctg α – Tg β; si AB = DC

B

b

D

a

a

β α

A C

Si AB = CD:

Ctg α= b+a

a y Tg β =

ba

Haciendo la resta correspondiente:

b+aa

– ba

= aa

= 1

R = Ctg α – Tg β = 1

Ejercicio 14 Propuesto por: Quispe Yábar Álvaro

15.- Del grafico hallar la tanx:

M

Por el triangulo de 30 y 60 tenemos que:

2 M

Trazamos la altura MN :

2 M

Por lo tanto tanx = =

RESPUESTA

Ejercicio 15 Propuesto por: Munive Rosado Frank

16.- En el grafico hallar la suma de las medidas de los arcos de los sectores circulares, sabiendo que los tres ángulos tiene la misma medida.

5cm

3cm 8cm

200

16cm

RESOLUCION:

Convertimos 200 al sistema radian:

200

1800=R

π

1π9

=R

Teniendo la medida del ángulo en radianes podemos hallar la medida de los arcos:

l=θr

A)π9

rad ×3cm=π3

cm

B)π9

rad ×8cm=8 π9

cm

C)π9

rad ×16cm=16 π9

cm

Entonces como nos pide la suma de los tres arcos seria:

π3

cm+ 8π9

cm+ 16 π9

cm

¿ 27π9

cm

¿3 π cm

Ejercicio 16 Propuesto por: Reyes Yance Angela

17.- Si: cos x=√0,8 y cot θ=( tan x )tan x

Calcular: K= [ senθ . csc x ]cot x

SOLUCIÓN:

Le damos forma conveniente, para empezar, al dato más notable, o sea:

cos x=√0,8

cos x=√ 810cos x=√ 45cos x=2√ 15cos x=2 1

√5cos x= 2

√5

Ahora graficamos nuestro triángulo que genera el cos x= 2

√5:

Por medio del teorema de Pitágoras podemos determinar el valor del lado incompleto al cual llamaremos L:

L2+22=(√5 )2

L2=(√5 )2−22

L=√(√5 )2−22

L=√5−4L=√1L=1

Nuestro triángulo entonces quedaría así:

También vemos que cot θ=( tan x )tan x, si por el gráfico anterior conocemos el valor

de tan x=12

, entonces:

cot θ=( tan x )tan x

cot θ=( 12 )12

cot θ=√ 12cot θ=√1

√2cot θ= 1

√2

De igual modo graficamos otro triángulo que refleje el valor de cot θ= 1

√2:

Utilizando otra vez el teorema de Pitágoras determinaremos el valor de nuestra hipotenusa H :

H 2=12+(√2 )2

H=√12+(√2 )2

H=√1+2H=√3

Completando nuestro triángulo, tendríamos:

Ya tenemos los datos necesarios para determinar el valor de K con los siguientes triángulos:

Entonces K es:

K= [ senθ . csc x ]cot x

K=[(√2√3 ) (√5 )]2

K=(√2√3 )2

(√5 )2

K=(√22

√32 )(√5 )2

K=( 23 ) (5 )

K=2.53

K=103

Ejercicio17 Propuesto por: Ricaldi Huata Henrry