SEMANA 11

Pruebas de Ji Cuadrada

Objetivos

Al trmino de este captulo podr usted:

Explicar la diferencia entre la prueba de independencia y la prueba de bondad de ajuste.

Calcular las frecuencias esperadas y el estadstico Ji Cuadrada.

Aplicar tablas de contingencia a un problema de toma de decisiones.

Aplicar la prueba de bondad de ajuste a un problema de toma de decisiones.

Introduccin

En los captulos anteriores, se construyeron pruebas de

hiptesis sobre medias o proporciones de una poblacin

para una o dos muestras. Se supuso para estas pruebas

que la poblacin que se muestrea sigue una distribucin

normal. Las pruebas manejaron datos de escalas de

intervalo, como alturas, edades e ingresos.

Existen algunas situaciones en las que los datos no se

miden en escalas de intervalos o de razn, sino son

nominales u ordinales. En estos casos, no se pueden

hacer suposiciones sobre la forma de la poblacin. Este

captulo introducir las pruebas de Ji Cuadrada que

cubren algunas de estas situaciones.

La prueba con tablas de contingencia est diseada para

determinar si dos variables categricas estn relacionadas. En

ocasiones se la denomina prueba de independencia, ya que la

hiptesis nula que se prueba establece que dos variables

categricas son independientes. Esta prueba es bastante til

porque con frecuencia el analista est interesado en averiguar si

una variable categrica se relaciona con otra.

Pruebas con Tablas de Contingencia

La prueba con tablas de contingencia

determina si dos variables categricas se

relacionan entre s.

Los datos necesarios para la prueba con tablas de

contingencia consisten en medidas muestrales sobre

dos variables categricas (con escala nominal u

ordinal). Estos datos se arreglan en una tabla, que

permite al analista ver una exposicin de los datos

recogidos. Algunas veces se hace referencia a este

tipo de tabla como una tabla de clasificacin

cruzada o simplemente tabla cruzada.

H1: las variables en las filas y las columnas son dependientes

Las hiptesis nula y alternativa entre las que el analista debe

elegir despus de examinar los datos de la muestra son:

H0: las variables en las filas y las columnas son

independientes

La prueba con tablas de contingencia se usa

frecuentemente para analizar aspectos

importantes de los datos investigados. En

general, las encuestas contienen preguntas

diseadas para medir cierto tipo de

caractersticas demogrficas de la muestra (por

ejemplo, categora de edad, sexo, nivel de

ingreso, estado civil y nivel educativo).

Otro tipo de pregunta que muchas veces se

encuentra en un instrumento de investigacin

resalta las actitudes y opiniones de los

encuestados.

Muchas pruebas con tablas de contingencia

comparan una variable demogrfica con una variable

de actitud. Por ejemplo, la variable hombre/mujer

puede ponerse en una tabla cruzada con la

jerarquizacin de los precios en algunas tiendas, o

bien, las categoras de edades se pueden tabular con

la respuesta a una afirmacin sobre un candidato

presidencial.

El propsito de tales pruebas es determinar si

distintos tipos poblaciones, definidos por las

preguntas demogrficas, tienen diferentes actitudes

respecto a los temas investigados.

Ejemplo

Un artculo publicado en una revista especializada acerca de

encuestas afirm: En temas sensibles, las personas tienden a

dar respuestas aceptables en lugar de respuestas honestas; sus

respuestas pueden depender del gnero o la raza del entrevistador.

Para sustentar dicha aseveracin una empresa

encuestadora proporcion los datos de una encuesta

en la cual se pregunt a hombres si estaban de

acuerdo con esta afirmacin: El aborto es un asunto

privado que la mujer debe decidir, sin intervencin

gubernamental. Analizaremos el efecto del gnero

slo en hombres que se encuestaron y la tabla que se

muestra a continuacin se basa en tales datos:

Gnero del entrevistador

Hombre Mujer Total

Hombres que estn de acuerdo 560 308 868

Hombres que estn en desacuerdo 240 92 332

Total 800 400 1200

Suponga que la encuesta se dise de manera que los

entrevistadores hombres recibieron instrucciones

para obtener 800 respuestas de sujetos hombres; en

tanto que las entrevistadoras mujeres recibieron

instrucciones para obtener 400 respuestas de sujetos

hombres. Utilice un nivel de significancia de 0.05 y

prueba la aseveracin de que las proporciones de las

respuestas de acuerdo/desacuerdo son las mismas

para los sujetos que entrevistaron hombres y los

sujetos que entrevistaron mujeres.

Solucin

H1: Las proporciones son diferentes.

Puesto que tenemos dos poblaciones separadas (sujetos que

entrevistaron hombres y sujetos que entrevistaron mujeres),

probamos la homogeneidad con estas hiptesis:

H0: Las proporciones de las respuestas acuerdo/desacuerdo son

iguales para los sujetos que entrevistaron hombres y los sujetos

que entrevistaron mujeres.

Hombres Mujeres Total

1 560 308 868

*578,67 289,33

0,602 1,204

2 240 92 332

221,33 110,67

1,574 3,149

Total 800 400 1200

Chi-Sq = 6,529. DF = 1. P-Value = 0,011

Valor crtico: = 3.84146

Por tanto rechazamos la hiptesis nula de proporciones

iguales (homogneas); puesto que el estadstico de prueba

(6.5239) es mayor que el punto crtico (3.84146). Hay

suficiente evidencia para sustentar el rechazo de la

aseveracin de que las proporciones son las mismas. Parece

que la respuesta y el gnero del entrevistador son

dependientes. Aunque tal anlisis estadstico no puede

utilizarse para justificar ninguna afirmacin acerca de la

causalidad, quiz a los hombres los influy el gnero del

entrevistador.

Clculo de las frecuencias esperadas

Para calcular las frecuencias esperadas para una celda en particular, se multiplica el total

de la fila por el total de la columna y luego se divide este producto entre el tamao total

de la muestra. Por ejemplo, para la celda con *:

Una regla muy comn que se usa

ampliamente para esta prueba establece que

cada frecuencia esperada en una tabla de

contingencia debe ser 5 o ms para que la

exactitud de la prueba sea buena.

Ahora se necesita un estadstico de prueba que

compare las frecuencias observadas con las

esperadas para cada celda de la tabla. Si las

frecuencias observadas son bastante cercanas a las

frecuencias esperadas, el estadstico debe indicar que

no se rechaza la hiptesis nula de independencia.

Esta es la conclusin apropiada, ya que las

frecuencias esperadas se calculan bajo la suposicin

de que las dos variables categricas son

independientes. Si las frecuencias esperadas y las

observadas son diferentes, el estadstico de prueba

conducir al rechazo de la hiptesis nula.

Si la hiptesis nula es cierta, la distribucin de

este valor calculado se aproxima a la distribucin

ji cuadrada. De hecho, la ji cuadrada es una

familia de distribuciones de probabilidad.

Estadstico Ji Cuadrada

Igual que en el caso de la distribucin t, la

distribucin de probabilidad ji cuadrada se

caracteriza por un solo parmetro, los grados de

libertad. La distribucin tiene sesgo positivo, pero

conforme los grados de libertad crecen, se acerca

a la forma de la distribucin normal. Se calcula

mediante la siguiente frmula:

donde:

f0 = frecuencia observada

fe = frecuencia esperada

Observe que la comparacin entre las

frecuencias esperadas y observadas para cada

celda se hace en el numerador. Si existe una

diferencia grande de una celda a otra, se obtiene

un estadstico grande; las diferencias pequeas

producen un estadstico pequeo. Entonces la

prueba de hiptesis con tablas de contingencia es

una prueba de una cola hacia la derecha.

Los grados de libertad, se obtiene utilizando la siguiente

frmula:

gl = (r 1) (c 1)

donde:

r = nmero de filas

c = nmero de columnas

Clculo de los grados de libertad

La tabla de contingencia mide el ajuste de las

frecuencias observadas a aquellas frecuencias

esperadas bajo la suposicin de que la hiptesis

nula es cierta.

Prueba de Bondad de Ajuste

Una aplicacin ms general de este procedimiento

es la prueba de bondad de ajuste, que determina si

las frecuencias observadas para alguna variable

categrica pudieron haber sido obtenidas de una

distribucin poblacional hipottica.

H1: la muestra no procede de la poblacin

especificada

Las hiptesis nula y alternativa entre las que debe

elegir el analista despus de examinar los datos

muestrales son:

H0: la muestra procede de la poblacin especificada

La prueba de bondad de ajuste determina

la probabilidad de que las frecuencias

observadas para una variable categrica

pudieran haberse obtenido de una

poblacin hipottica.

Al usar la tabla de ji cuadrada para encontrar el

valor crtico, deben determinarse los grados de

libertad. Para la prueba de bondad de ajuste, este

nmero se calcula mediante la siguiente ecuacin:

gl = k 1 c

donde:

k = nmero de categoras

c = nmero de parmetros poblacionales

desconocidos estimados por estadsticos

muestrales.

Observe que siempre se pierde un grado de libertad

debido a que las frecuencias esperadas deben sumar

el nmero total de frecuencias observadas. Otros

grados de libertad se pierden siempre que se usan

estadsticos muestrales para estimar parmetros.

El estadstico de prueba usado para comparar los tamaos

relativos de las frecuencias esperadas y observadas tiene una

distribucin aproximada a la ji cuadrada. La distribucin de

este estadstico de prueba es en realidad discreta, pero puede

aproximarse usando una distribucin ji cuadrada continua

cuando el tamao de la muestra n es grande. La distribucin

discreta del estadstico de prueba X2 se aproxima usando una

distribucin ji cuadrada continua.

Regla del Cinco

Para asegurar que n es suficientemente grande, la

regla conservadora es requerir que la frecuencia

esperada para cada celda sea al menos 5. Si la

frecuencia esperada de una celda es menor que 5, las

celdas deben combinarse de manera que resulten

categoras con mayores frecuencias esperadas.

Ejemplo

A un nivel de significancia de 0.01, es razonable suponer que la demanda horaria de un

servicio de cierto tipo en un gran banco est adecuadamente descrito por una

distribucin de Poisson con = 1, si en una muestra aleatoria de 1,000 horas hubo 355, 362, 190, 65, 22 y 6 horas con 0, 1, 2, 3, 4 y al menos 5 de estas demandas,

respectivamente?

Mediante la tabla de distribucin de Poisson, anotamos las

probabilidades correspondientes a cada clase y luego

calculamos las frecuencias esperadas:

Solucin

Demanda fo (horas) Probabilidad de

Poisson

fe

0 355 0.3679 0.3679*1000 = 367.9

1 362 0.3679 0.3679*1000 = 367.9

2 190 0.1839 0.1839*1000 = 183.9

3 65 0.0613 0.0613*1000 = 61.3

4 22 0.0153 0.0153*1000 = 15.3

5 a ms 6 1 - 0.9963 = 0.0037 0.0037*1000 = 3.7

n = 1000

Combinamos las dos ltimas clases que estn en la

tabla de modo que todas las frecuencias esperadas

sean mayores a 5, entonces reorganizando obtenemos

las siguientes categoras:

Categora fo (horas) fe

0 355 367.9

1 362 367.9

2 190 183.9

3 65 61.3

4 a ms 28 19.0

Grados de libertad: 5-1= 4

Planteamos las hiptesis:

H0: La poblacin sigue una distribucin de Poisson.

H1: La poblacin no sigue una distribucin de

Poisson.

El valor crtico de la prueba de ji cuadrada es:

X2=13.277

Regla de rechazo: rechazar H0 si X2 > 13.277

Entonces mediante la formula calculamos el valor de X2:

236.5

19

1928

3.61

3.6165

9.183

9.183190

9.367

9.367362

9.367

9.36735522222

2

2

2

X

f

ffX

e

eo

Por tanto no se puede rechazar H0, es decir los datos de la poblacin siguen una

distribucin de Poisson..