Expocicion JI CUADRADO

7/23/2019 Expocicion JI CUADRADO

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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA

DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECANICA

ESCUELA DE INGENIERIA

INDUSTRIAL

TEMA: DISTRIBUCION JI CUADRADO



JI CUADRADO

Es una de la distribución mas empleadas en todos los campos.

Su uso mas común es cuando se quiere probar si unas mediciones

que se haan e!ectuado si"uen una distribución esperada.

Caracter#sticas$

Es una distribución asim%trica.

Solo toma &alores positi&os es asintótica con

respecto al e'e de las ( positi&as )* + + ,-.

Est caracteri/ada por un único parmetro

llamado$ "rados de libertad )".l.-

El rea comprendida entre la cur&a el e'e de las (

es 0 o 0**1.



2a !orma de una distribución Chi cuadrado depende

de los "rados de libertad3

por tanto ha un número in!inito de distribuciones



Gráfico de la distribución Ji Cuadrado



4ara calcular el chi cuadrado se utili/a esta !ormula$

4odemos calcular cada !recuencia esperada )teórica-

multiplicando el número total de pruebas 5 por

la probabilidad de ocurrencia asociada3 es decir$

Ei 6 57 pi i 6 03 ...3 8



De una in&esti"ación demo"r!ica se conoce que los

habitantes de ciertos pa#ses se distribuen en la !ormasi"uiente$ *9 :* a;os3 :<1= :0 > ?* a;os3 @<1= ?0 90

a;os3 :<1= 0 9B* a;os3 0*1= B0 > 0** a;os3 <1.

Despu%s de transcurridos &arios a;os se quiso probar

que la distribución poblacional de las edades no hacambiado para lo que se selecciono una muestra

respecti&a de 0*** personas se obser&o que las

!recuencias de las < cate"or#as !ueron$ *9 :* a;os3 :**=

:0 > ?* a;os3 @**= ?0 90 a;os3 @**= 0 9B* a;os3 0**=

B0 > 0** a;os3 0**.



la distribución actual por edades es i"ual a la del a;o

de e'ecución del censo

2a distribución actual por edades no es i"ual a la del

a;o de e'ecución

5i&el de si"ni!icación a6 *.0*



E(isten 86 < celdas3 tenemos "l 6 890 6 <906? "rados de

libertad a 6 *.0* en la tabla de CI > CUADRADOobtenemos



2as !recuencias obser&adas nos las proporcionan con la muestraaleatoria de los 0.*** habitantes.

CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS

= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 5% = 50

= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 10% = 100

= 1.000 X 5% = 50



CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO

= !

= 10!".1#!10!0!50

= "".1#



emos que el estad#stico calculado CI > CUADRADO

).0?- es maor que el &alor critico encontrado en la

tabla ).F- &emos que .0? cae en la re"ión de

recha/o por lo tanto recha/amos aceptamos 3 es decir ladistribución actual por edades no es i"ual a la de la

in&esti"ación demo"r!ica.



O En un estudio realizado en el departamento de

investigación del ESAN acerca del perjuicio étnico

acia el negro! En los universitarios de lima se aplicó!

"na encuesta a los universitarios seg#n su lugar de

procedencia$ obteniendo los resultados %ue presenta la

siguiente tabla!

Lugar de residenciaGrado De

Perjuicio

Barriadas Barrios

Populares

Intermedios

Barrios

Residenciales

Total

Alto 32 225 50 307

Bajo 2 2!0 7! 3!7

Total "0 5#5 #2! 70$



&o' el perjuicio étnico ( el lugar de

procedencia son independientes

&)' e*iste dependencia entre las variables!

+a prueba es unilateral

Asumimos el nivel de significación de , -!-.

O



2a distribución 'i9cuadrada es conocida tambien

como la distribución muestral de s:. O sea que si se

e(traen todas las muestras posibles de una

población normal a cada muestra se le calcula su

&arian/a3 se obtendr la distribución maestral de

&arian/as. Se denota con la si"uiente !ormula$ n6 tama;o de la muestra

El estad#stico 'i9cuadrada tambi%n se puede dar con

la si"uiente e(presión$



Clculo de 4robabilidad

El clculo de probabilidad en una distribución muestral

de &arian/as nos sir&e para saber como se &a a

comportar la &arian/a o des&iación estndar en una

muestra que pro&iene de una distribución normal.

Supon"a que los tiempos requeridos por un cierto

autobús para alcan/ar un de sus destinos en una ciudad

"rande !orman una distribución normal con una

des&iación estndar 60 minuto6*3*0. Si se eli"e al a/ar

una muestra de 0 tiempos3 encuentre la probabilidad deque la &arian/a muestral sea maor que :.



= 2



Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria

de :< obser&aciones3 de una población normal con&arian/a 3 ten"a una &arian/a muestral$

Gaor que F.0

Entre @.?: 0*.?<

Al buscar este número en el ren"lón de :? "rados de

libertad nos da un rea a la derecha de *.*<. 4or lo que

la 4)s: HF.0- 6 *.*<

Se calcularn dos &alores de 'i9cuadrada$



Aqu# se tienen que buscar los dos &alores en el ren"lón

de :? "rados de libertad. Al buscar el &alor de [email protected]? seencuentra un rea a la derecha de *.F<. El &alor de

?:.FB da un rea a la derecha de *.*0. Como se est

pidiendo la probabilidad entre dos &alores se resta el

rea de *.F< menos *.*0 quedando *.F?.4or lo tanto la 4)@.?: s: 0*.?<- 6 *.F?



El 'i cuadrado tambien es utili/ado para hacer la

estimacion de la &arian/a$

Despe'ando la &arian/a$



2os &alores de : dependern de ni&el de con!ian/a que

se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la"r!ica se tiene$



2os si"uientes son los pesos3 en deca"ramos3 de 0*

paquetes de semillas de pasto distribuidas por ciertacompa;#a$ ?.?3 ?.03 ?<.B3 ?.*3 ?.03 ?<.F3 ?<.B3 ?.F3

?<.: ?. Encuentre un inter&alo de con!ian/a de F<1

para la &arian/a de todos los paquetes de semillas de

pasto que distribue esta compa;#a3 supon"a una población normal.

Calculo de la des&iación estndar$



s:6 *.:B

4ara obtener un inter&alo de con!ian/a de F<1 se eli"e un6 *.*<. Despu%s con el uso de la tabla con F "rados de

libertad se obtienen los &alores de :.

Se puede obser&ar en la "r!ica anterior que el &alor de

:

corre en !orma normal3 esto es de i/quierda a derecha.4or lo tanto3 el inter&alo de con!ian/a de F<1 para la

&arian/a es$



ra!icamente$



Se obser&a que la &arian/a corre en sentido contrario3 pero esto es sólo

en la "r!ica. 2a interpretación quedar#a similar a nuestros temasanteriores re!erentes a estimación. Con un ni&el de con!ian/a del F<1

se sabe que la &arian/a de la población de los pesos de los paquetes de

semillas de pasto esta entre *.0@< *.F@< deca"ramos al cuadrado.



En traba'o de laboratorio se desea lle&ar a cabo comprobaciones

cuidadosas de la &ariabilidad de los resultados que producen muestras

estndar. En un estudio de la cantidad de calcio en el a"ua potable3 el cual

se e!ectúa como parte del control de calidad3 se anali/ó seis &eces la

misma muestra en el laboratorio en inter&alos aleatorios. 2os seis

resultados en partes por millón !ueron F.<?3 F.03 F.@:3 F.?B3 F.* F.:.

Estimar la &arian/a de los resultados de la población para este estndar3

usando un ni&el de con!ian/a del F*1.

Al calcular la &arian/a de la muestra se obtiene un &alor de s:6 *.*:B<.

Se busca en la tabla los &alores correspondientes con < "rados de libertad3

obteni%ndose dos resultados. 4ara :)*.F<3<-6 0.0?< para :

)*.*3<-6 00.*.

Entonces el inter&alo de con!ian/a esta dado por$

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