INDICE:

I. INTRODUCCIÓN..............................................................................................................1

II. OBJETIVOS...................................................................................................................2

III. MARCO TEORICO.......................................................................................................3

1. VARIABLE ALEATORIA............................................................................................3

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.................................................................3

3. DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA()..........................................................................4

3.1. PROPIEDADES.....................................................................................................5

1. Función de densidad...............................................................................................5

2. Función de distribución acumulada......................................................................5

3. Relación con otras distribuciones..........................................................................5

4. CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION JI-CUADRADO....................6

IV. CONCLUSIONES..........................................................................................................7

V. ANEXOS.............................................................................................................................8

VI. BIBLIOGRAFÍA..........................................................................................................10

I. INTRODUCCIÓN

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Dada una variable aleatoria  , su función de distribución,  , es

Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice   y se escribe, simplemente  . Donde en la fórmula anterior:

, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral.

 Es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.

 Es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.

 Es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definida sobre el espacio muestral a los números reales.

En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) (χ²), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria.

Donde   son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria   tenga ésta distribución se representa

habitualmente así: 

II. OBJETIVOS

Estudio de la distribución utilizando ji-cuadrado

Propiedades de la distribución ji-cuadrado

Aplicaciones de la misma.

Usar tablas correctamente para esta distribución.

III. MARCO TEORICO

1. VARIABLE ALEATORIA

Un experimento estadístico, es aquel que se utiliza para describir cualquier proceso mediante el cual se generan varias observaciones aleatorias. Frecuentemente es muy importante asignarle a los diferentes resultados del experimento un valor numérico.

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una distribución de probabilidad, no es más que el conjunto de todos los valores que puede tomar una variable aleatoria, distribuidos de acuerdo a la teoría de la probabilidad. Es decir, que si se asignan valores de probabilidad a todos los posibles valores x de una variable aleatoria X, con esto obtenemos una distribución de probabilidad.

Una distribución de probabilidad puede ser expresada en una tabla similar a la tabla de frecuencia. En la primera columna se relacionan todos los posibles valores que puede tomar la variable, es decir, todos los valores del espacio muestral y en una segunda columna los valores de probabilidad correspondientes, cuya suma es la unidad.

Una distribución de probabilidad puede ser discreta o continua, según se refiera a una variable discreta o continua respectivamente. Frecuentemente, es necesario representar mediante una fórmula, la probabilidad que le corresponde a cada uno de los valores que puede tomar una variable aleatoria X.

3. DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA()

Con alguna frecuencia, podemos estar interesados en investigar sobre la variabilidad de un conjunto poblacional, como por ejemplo, conocer la variabilidad del peso de un gran lote de ganado vacuno. La costumbre estadística, es medir la variabilidad a través de la varianza o la desviación estándar. En consecuencia, el estimador utilizado para propósitos inferenciales es la varianza muestral, que se definió:

Si conocemos a S2, es posible utilizar ésta medida, para estimar a la varianza poblacional

Sin entrar en demostraciones matemáticas que se salen del propósito de éste texto, podemos afirmar que si S2 es la varianza muestral de una muestra aleatoria de tamaño “n”, tomada de una población normal, cuya varianza es 2 , entonces 2 es una variable aleatoria, que tiene distribución Ji-cuadrada, con parámetro v = n-1 grados de libertad y que podemos expresar así:

El símbolo 2 se escribe ji-cuadrada y se lee chi cuadrada.

Al igual que para “Z” en la distribución normal, para la variable 2 también existen unas tablas, que nos permiten buscar valores de Ji-cuadrada según los grados de libertad (n-1) y de acuerdo con todo el área bajo la curva que se encuentra a la derecha del valor que se está buscando.

Así pues, según la gráfica anterior al valor 6.262 le corresponde el símbolo χ1−α /22 o sea

χ0.9752 puesto que el área a la derecha de dicho valor es precisamente 0.975, mientras

que al valor 27.488según la gráfica, le corresponde el símbolo χα /22 o sea χ0.025

2 puesto

que el área a la derecha de éste valor es justamente 0.025. Recordemos que cuando hablamos del área bajo la curva, nos estamos refiriendo a probabilidad.

La curva que genera la variable aleatoria χ2, es asimétrica a la derecha, como se puede ver en la gráfica precedente.

3.1. PROPIEDADES

1. Función de densidad

Su función de densidad es:

Donde   es la función gamma.

2. Función de distribución acumulada

Su función de distribución es:

Donde   es la función gamma incompleta.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

3. Relación con otras distribuciones

La distribución χ² es un caso especial de la distribución gamma. De hecho,

Como consecuencia, cuando , la distribución χ² es una distribución exponencial de media.

Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema central del límite, puede aproximarse por una distribución normal:

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

4. CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION JI-CUADRADO

Parámetros  grados de libertad

Dominio

Función de densidad

Función de distribución

Media

Mediana aproximadamente 

Moda  if 

Varianza

Coeficiente de simetría

Curtosis

Entropía

Función generadora de

momentos for 

Función característica

IV. CONCLUSIONES

Estudio de las propiedades de la distribución ji-cuadrado.

Identificación de sus aplicaciones.

Desarrollo de los usos de la distribución

Uso de las tablas de la distribución.

V. ANEXOS

VI. BIBLIOGRAFÍA

Giraldo, H. G. (2009). Estadística. México.

es.wikipedia.org/wiki/Distribución_χ²

Métodos Estadísticos Para La Ingeniería Ambiental Y La Ciencia

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribuci%C3%B3n_chi-

cuadrada_no_central&action=edit&redlink=1