F de Fisher, Ji Cuadrado y Gráficas de Control de la Calidad

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LA RAZÓN F A diferencia de otras pruebas de medias que se basan en la diferencia existente entre dos valores, el análisis de varianza emplea la razón de las estimaciones, dividiendo la estimación intermediante entre la estimación interna ó = 2 2 = 2 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + 2 ¿ / Determinación de los grados de libertad k - 1 es el número de grados de libertad para el numerador. Los grados de libertad para el denominador son entonce s, k(n - l). Hipótesis Nula y Alternativa H 0: Todas las proporciones de la población son iguales. H 1 : No todas las proporciones de la población son iguales.

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Prueba de hipótesis y gráficas de control de la calidad

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LA RAZÓN F

A diferencia de otras pruebas de medias que se basan en la diferencia existente entre dos valores, el análisis de varianza emplea la razón de las estimaciones, dividiendo la estimación intermediante entre la estimación interna

𝑹𝒂𝒛 ó𝒏𝑭=𝒔 𝒙

2

𝒔𝒘2 =

𝒏𝒔 𝒙2

(𝒔12+𝒔2

2+𝒔32+… 𝒔𝒌

2 ¿ /𝒌

Determinación de los grados de libertad

k - 1 es el número de grados de libertad para el numerador.

Los grados de libertad para el denominador son entonces, k(n -l).

Hipótesis Nula y Alternativa

H0: Todas las proporciones de la población son iguales. H1: No todas las proporciones de la población son iguales.

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TAREA:

Los pesos en kg por 1,7 m de estatura se ilustran en la siguiente tabla. La finalidad es determinar si existen diferencias reales entre las cuatro muestras. Emplear un nivel de significación de 0,05

 Observación

Muestra1 2 3 4

1 70 74 68 75

2 75 77 70 70

3 74 70 65 73

4 72 80 60 72

5 68 72 72 71

6 59 76 73 72

Decisión: Como es menor que , se aprueba, por lo tanto no existen diferencias reales en los pesos de las 4 muestras

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PRUEBA DE PROPORCIONES DE k MUESTRASPrueba Chi Cuadrado

La finalidad de una prueba de k muestras es evaluar la aseveración que establece que todas las k muestras independientes provienen de poblaciones que presentan la misma proporción de algún elemento. De acuerdo con esto, las hipótesis nula y alternativa son:Todas las proporciones de la población son iguales. No todas las proporciones de la población son iguales.

La estimación combinada de la proporción muestral “p” se calcula de la siguiente manera:

𝒑=𝒙1+𝒙 2+𝒙 3+…𝒙𝒏

𝒏1+𝒏2+𝒏3+…𝒏𝒏

En una muestra se puede dar un conjunto de sucesos, los cuales ocurren con frecuencias observadas “o” (las que se observa directamente) y frecuencias esperadas o teóricas “e” (las que se calculan de acuerdo a las leyes de probabilidad). La frecuencia esperada “e” se calcula así:

Donde: = proporción muestral = frecuencia total observada

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El estadístico de prueba es

 Donde: es la letra griega ji ; se lee ji cuadrado

Grados de libertad:

r = fila ; k = columna

Decisión de aceptar o rechazar Ho

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TAREA:En un estudio para determinar la preferencia por determinados sabores de helados en diferentes regiones del país, se recopilaron los siguientes datos:

Sabor del helado

Frecuencias observadas por región

Costa Sierra Oriente

Vainilla 86 44 70

Chocolate 45 30 50

Fresa 34 6 10

Otros 85 20 20

Total 250 100 150Calcule la proporción muestral “p” de cada sabor del helado

pv = 0,4 ; pch = 0,25 ; pf = 0,10 ; po = 0,25

Calcule las frecuencias esperadas de cada sabor del helado en cada región

Sabor del helado Frecuencias esperadas por región

Costa Sierra OrienteVainilla 100 40 60Chocolate 62,5 25 37,5Fresa 25 10 15Otros 62,5 25 37,5

𝒆=𝒑 ∙𝒐𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

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Determine si la preferencia por cierto sabor es independiente de la región (es la misma en cada región), utilizando el nivel de significación 0,05

H0 se rechaza, ya que (37,87) es mayor que (12,592), por lo tanto, se concluye que la preferencia por cierto sabor depende de la región.

En Excel

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GRÁFICAS DE CONTROL

Las gráficas de control permiten monitorear la variación en una característica del producto o servicio a lo largo del tiempo. Las gráficas de control se utilizan para estudiar el desempeño pasado, para evaluar las condiciones presentes, o para predecir los resultados futuros

La información obtenida al analizar una gráfica de control constituye la base para el proceso de mejoramiento

GRÁFICAS DE CONTROL PARA VARIABLES

La Gráfica R

Límite superior de control para el rango

Límite inferior de control para el rango

La Gráfica

Límite superior de control para las medias

Límite inferior de control para las medias

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TABLAFactores críticos de las gráficas o cartas de control

Gráfica para medias

Gráfica para rangos

n

Factor para el límite de control

A2 = 3/( d2)

Factor para la recta central

d2

Factores de los límites de controlD3 = 1-3(d3/ d2) D4 = 1+3(d3/ d2) d3

2 1,881 1,128 -1,267=0 3,267 0,85253 1,023 1,693 -0,574=0 2,574 0,88844 0,729 2,059 -0,282=0 2,282 0,87985 0,577 2,326 -0,114=0 2,114 0,86416 0,483 2,534 -0,004=0 2,004 0,84807 0,419 2,704 0,076 1,924 0,83308 0,373 2,847 0,136 1,864 0,82009 0,337 2,970 0,184 1,816 0,8080

10 0,308 3,078 0,223 1,777 0,797011 0,285 3,173 0,256 1,744 0,787012 0,266 3,258 0,284 1,716 0,778013 0,249 3,336 0,308 1,692 0,770014 0,235 3,407 0,329 1,671 0,762015 0,223 3,472 0,348 1,652 0,755016 0,212 3,532 0,364 1,636 0,749017 0,203 3,588 0,379 1,621 0,743018 0,194 3,640 0,392 1,608 0,738019 0,187 3,689 0,404 1,596 0,733020 0,180 3,735 0,414 1,586 0,729021 0,173 3,778 0,425 1,575 0,724022 0,167 3,819 0,434 1,566 0,720023 0,162 3,858 0,443 1,557 0,716024 0,157 3,895 0,452 1,548 0,712025 0,153 3,931 0,459 1,541 0,7090

Fuente: WEBSTER, Allen, (2000), Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía, Ed. McGraw Hill.

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Una fábrica elabora planchas de madera para tapas de mesas, las cuales deben cumplir ciertas especificaciones de tamaño. Para garantizar que se cumplan estos estándares de calidad, se recolecta K= 24 muestras (subgrupos) de tamaño n = 6, y mide su largo. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:

Nº de muestra Medias muestrales

1 14,5 15,9 15,7 16,3 14,5 16,2

2 15,4 15,2 15,9 15,2 14,5 14,5

3 16,5 15,9 14,8 16,2 16,5 16,2

4 14,8 16,8 15,5 15,2 15,2 14,2

5 15,7 14,5 16,9 14,2 14,5 15,2

6 15,9 15,4 17,1 14,8 16,8 14,8

7 15,2 14,2 18,5 15,8 15,9 15,7

8 14,5 14,8 17,2 16,2 15,0 16,8

9 15,6 15,7 19,2 16,1 16,8 15,9

10 16,5 16,8 18,4 14,8 18,9 16,1

11 14,5 15,8 14,2 14,5 18,7 16,3

12 17,1 15,8 16,2 15,4 15,7 16,2

13 18,5 15,9 17,2 14,2 15,9 14,7

14 17,2 15,7 16,8 14,8 14,8 14,9

15 19,2 15,7 15,9 15,7 15,5 14,8

16 18,4 16,8 15,0 16,8 16,9 14,7

17 14,2 16,9 16,8 15,8 17,1 15,4

18 16,2 17,2 18,9 15,8 18,5 18,9

19 17,2 17,6 18,7 15,9 17,2 16,0

20 16,8 14,5 19,8 15,7 18,2 18,7

21 15,9 17,9 18,7 15,7 18,4 17,5

22 15,0 18,0 18,2 16,8 14,2 17,8

23 16,8 18,9 20,0 16,9 16,2 18,5

24 18,9 17,9 17,4 17,5 17,2 16,5

a) Calcular el rango promediob) Calcular el límite superior de control para el rangoc) Calcular el límite inferior de control para el rangod) Elaborar la gráfica R. e) Calcular f) Calcular el límite superior de control para las mediasg) Calcular el límite inferior de control para las mediash) Elaborar la gráfica .

Interpretación: Observando la gráfica R se concluye que la misma está bajo control, ya que no existen variaciones de causa asignable, es decir, no existe ningún punto que se salga de los límites de control.

Interpretación: Observando la gráfica se concluye que la misma está fuera de control, ya que, la muestra 23 representa una variación de causa asignable, es decir, la muestra 23 se sale del límite superior de control.

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GRÁFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

Gráfica de control para la proporción de artículos disconformes: la gráfica p

Los límites de control para la gráfica p son:

𝑛=∑ 𝑛𝑖

𝑘𝑦 𝑝=

∑ 𝑋 𝑖

∑𝑛𝑖

k = número de subgrupos seleccionados= tamaño promedio del subgrupo= proporción estimada de elementos disconformes

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Se recolectaron los datos de las disconformidades diariamente de una muestra de 200 habitantes de un hotel. La siguiente tabla lista el número y proporción de habitaciones disconformes para cada día durante un periodo de 4 semanas

Día (k) Habitaciones estudiadas (n)

Habitaciones no preparadas (X)

Proporción

(X/n)

1 200 16 0,082 200 7 0,0353 200 21 0,1054 200 17 0,0855 200 25 0,1256 200 19 0,0957 200 16 0,088 200 15 0,0759 200 11 0,05510 200 12 0,0611 200 22 0,1112 200 20 0,113 200 17 0,08514 200 26 0,1315 200 18 0,0916 200 13 0,06517 200 15 0,07518 200 10 0,0519 200 14 0,0720 200 25 0,12521 200 19 0,09522 200 12 0,0623 200 6 0,0324 200 12 0,0625 200 18 0,0926 200 15 0,07527 200 20 0,128 200 22 0,11

Total 5600 463 2,315

Elaborar la gráfica p Para estos datos,

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La Gráfica c

Estas gráficas están diseñadas para detectar el número de defectos en una sola unidad. Al desarrollar la gráficas p una unidad completa se consideraba defectuosa o no defectuosa

Desviación estándar para el número de defectos

Los límites de control están a tres desviaciones estándar por encima y por debajo de  Límite superior de control para el número de defectos

Límite inferior de control para el número de defectos

Nota: Si , se considera que

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Una empresa dedicada a la elaboración de papel para computador inspeccionó 20 hojas de un nuevo tipo de papel para buscar defectos. Los resultados se observan en la siguiente tabla

Hoja Número de defectos

1 5

2 4

3 3

4 5

5 16

6 1

7 8

8 9

9 9

10 4

11 3

12 15

13 10

14 8

15 4

16 2

17 10

18 12

19 7

20 17

Elaborar la gráfica c