Procesamiento Digital de Señales Sistemas Discretos, Transformada Z y Aplicaciones en Sistemas LTI

Procesamiento Digital de Senales

Laboratorio 3 Sistemas Discretos, Transformada

Z y Aplicaciones en Sistemas LTI

Jose Quintanilla, Sebastian Tobar, Pedro Torres

[email protected], [email protected], [email protected]

Resumen

El proposito de este laboratorio es aplicar conceptos basicos de sistemas en tiempo discreto, incluyendo aspectos

asociados a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), y su division en sistemas FIR (Finite-Duration Impulse

Response) e IIR (Infinite-Duration Impulse Response), la transformada Z y sus aplicaciones al analisis de sistemas LTI.

1. INTRODUCCION

Para este laboratorio ya se han visto los temas sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), y su division en

sistemas FIR (Finite-Duration Impulse Response) e IIR (Infinite-Duration Impulse Response), la transformada Z y sus

aplicaciones al analisis de sistemas LTI. Cada uno de estos topicos se centran en gran medida en el area de senales de

caracter discreta, en este laboratorio se abordaran reconocimiento de propiedades de los sistemas discretos, utilizacion

de la transformada Z y tambien la creacion de sistemas con los cuales se pueden manipular senales tan complejas

como un sonido.

2. DESARROLLO

2-A. EVALUACION DE PROPIEDADES DE SISTEMAS

A los dispositivos que operan sobre senales de variable discreta (o tiempo discreto) se les denomina sistemas discretos.

En general, reciben una senal de entrada x(n) para producir una senal de salida y(n). Se dice que el sistema transforma

x(n) en y(n), lo que se expresa como:

y(n) = [x(n)]

donde [x(n)] representa al operador de transformacion o procesamiento realizado por el sistema sobre x(n) para

producir y(n). Una descripcion de entrada-salida define la relacion entre x(n) y y(n). La estructura interna del sistema

es desconocida o ignorada, es decir, el sistema se considera como una caja negra cuyo funcionamiento interno no

interesa, sino el comportamiento especfico ante cierta entrada, tal como se vera a continuacion.

1. Se han entregado tres archivos de MATLAB pre-compilados , los cuales representan tres sistemas desconocidos.

Los archivos funcionan como funciones de MATLAB de modo que y = bboxN (x), donde x e y son las entradas

y salidas de cada sistema con N = 1, 2, 3. se sabe que solo uno de estos sistemas es no-lineal y solo uno es

variante en el tiempo. El trabajo es evaluar las propiedades de los tres sistemas e identificar los sistemas no-lineal

y variante en el tiempo.

a) Linealidad:

Un sistema es lineal si satisface el teorema de superposicion, es decir, para cualesquiera dos constantes a1, a2 y

para toda senal x1(n) y x2(n) se cumple:

[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1 [x1(n)] + a2 [x2(n)]

Un esquema de verificacion de linealidad se muestra a continuacion, donde el sistema es lineal si y solo si para

todo par de entradas x1(n) y x2(n) y para cualesquiera dos constantes a1, a2 siempre la salida d(n) es cero.

Figura 1. Verificacion de linealidad.

Este mismo procedimiento se hara para cada uno de los 3 sistemas, pero no con 2 senales, sino con 5 y todas

de distinto tipo, para forzar aun mas el descubrimiento de las propiedades de los sistemas, en este caso la

propiedad de linealidad, las senales seran del tipo sinusoidal, constante y de ruido, las cuales seran ponderadas

con distintas constantes para comprobar su propiedad multiplicativa, tambien seran todas estas senales sumadas

para as comprobar tambien la propiedad de suma. El procedimiento se llevara a cabo en MATLAB y de manera

grafica, basandose en que si se grafican las distintas respuestas que se generan en el metodo de verificacion

mostrado de cada sistema, una encima de la otra, estas deberan aparecer montadas por lo cual se vera una sola

grafica comun, lo que no ocurrira con un sistema no lineal.

A continuacion se muestra el codigo generado para descubrir el sistema buscado y para luego mostrar los graficos.

1 clear all;

2 clc;

3 ts=1/1000; %tiempo muestreo

4 fs=1000;

5 t=[ts:ts:2];

6 min=0; %amplitud min senal 4

7 max=1; %amplitud max senal 4

8 x1=sin(2*pi*5*t); %senal 1

9 x2=0*t+5; %senal 2

10 x3=sin(2*pi*3*t); %senal 3

11 x4=min+(max-min).*rand(1,2000);%senal 4

12 x5=square(2*pi*50*t);%senal 5

13

14 a1=0.5;

15 a2=2;

16 a3=1;

17 a4=13;

18 a5=1;

19 suma=a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4+a5*x5; %suma completa

20

21 %% linealidad sistema 1

22 Ssuma1=bbox1(suma);

23 Sx11=a1*bbox1(x1);

24 Sx21=a2*bbox1(x2);

25 Sx31=a3*bbox1(x3);

26 Sx41=a4*bbox1(x4);

27 Sx51=a5*bbox1(x5);

28 descomp1=Sx11+Sx21+Sx31+Sx41+Sx51;

29 subplot 311

30 plot(t,Ssuma1,'r','linewidth',3);

31 xlabel('Tiempo [s]');

32 ylabel('amplitud');

33 title('Linealidad sistema bbox1');

34 hold on

35 subplot 311

36 plot(t,descomp1,'linewidth',3);

37

38 %% linealidad sistema 2


40 subplot 312

41 plot(t,Ssuma2,'r','linewidth',3);



44 title('Linealidad sistema bbox2');

45 hold on

46 Sx12=a1*bbox2(x1);

47 Sx22=a2*bbox2(x2);

48 Sx32=a3*bbox2(x3);

49 Sx42=a4*bbox2(x4);

50 Sx52=a5*bbox2(x5);


52 plot(t,descomp2,'linewidth',3);

53

54 %% linealidad sistema 3 (no lineal, ver pintas rojas)


56 subplot 313

57 plot(t,Ssuma3,'b','linewidth',3);



60 title('Linealidad sistema bbox3 (no lineal)');

61 hold on

62 Sx13=a1*bbox3(x1);

63 Sx23=a2*bbox3(x2);

64 Sx33=a3*bbox3(x3);

65 Sx43=a4*bbox3(x4);

66 Sx53=a5*bbox3(x5);


68 plot(t,descomp3,'r','linewidth',3);

En donde a simple vista en la figura 2 (siguiente pagina), no se pueden apreciar grandes diferencias, pero si se

mira con mas atencion, los sistemas bbox1 y bbox2 tienen una misma grafica en comun por lo que se puede

afirmar que son lineales, ya que que solo el sistema bbox3 se comporta como no lineal, y el grafico presentado es

el contra ejemplo buscado para afirmarlo, ya que en la tercera casilla de la figura se deben apreciar los pequenos

resaltos de una senal por sobre la que se encuentra encima, lo cual no sucede con los primeros dos sistemas

sometidos a la prueba, por lo cual se puede decir que el sistema no lineal buscado, el es sistema bbox3.

00.

20.

40.

60.

81

1.2

1.4

1.6

1.8

2050100

150

Tiem

po [s

]

amplitud

Line

alid

ad s

istem

a bb

ox1

00.

20.

40.

60.

81

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2024x

104

Tiem

po [s

]

amplitud

Line

alid

ad s

istem

a bb

ox2

00.

20.

40.

60.

81

1.2

1.4

1.6

1.8

20102030

Tiem

po [s

]

amplitud

Line

alid

ad s

istem

a bb

ox3

(no lin

eal)

Figu

ra2.

Com

prob

acio

nlin

ealid

adde

sist

emas

.

b) Sistemas variantes e invariantes en el tiempo

Un sistema en reposo es invariante en el tiempo o invariante al desplazamiento si y solo si:

x(n) y(n) x(n k) y(n k)

En el diagrama de bloques de la figura 3, el sistema es invariante en el tiempo si y solo si la salida d(n) es

cero para todas las entradas x(n) y para todos los valores de retardo k.

Figura 3. Comprobacion de invariabilidad en el tiempo.

Al igual que en la propiedad anterior esta se comprobara graficamente con el mismo principio de comparacion,

esta vez se debe incluir retardos en el tiempo por lo cual habra que modificar los vectores de tiempo en conjunto

con los de valores de senales, para que, por medio de ceros en los vectores, hacer un efecto de retraso en la

senal. Esta vez se utilizo una sola senal para buscar el unico sistema variante en el tiempo, esta senal es un

impulso definido con amplitud 1 en el instante 0 seguido de muchos ceros a medida que el tiempo avanza. El

codigo fue hecho en base al diagrama de bloques anteriormente mostrado pero asumiendo que la ultima resta es

la comparacion visual de cada grafico y sus dos senales, en donde a la primera respuesta se le agrega un efecto de

retardo para as poder comparar de manera equitativa las dos senales, que de ser invariantes en el tiempo debieran

coincidir. Codigo y graficos que se muestran a continuacion:

1 %% senal impulso

2 prueba=[ts:ts:3];

3 tx=[ts:ts:2.3];

4 delta =[ones(1,1),zeros(1,2299)];

5 deltadesp =[zeros(1,700),ones(1,1),zeros(1,2299)];

6 resp1=bbox1(delta);



9

10 figure();

11 subplot 311

12 plot(tx,resp1,'linewidth',3);

13 subplot 312


15 subplot 313


17

18 resp12=bbox1(deltadesp);



21

22 normaldesplazada1=[zeros(1,700),resp1];



25

26 figure();

27 subplot 311

28 plot(prueba,resp12,'r','linewidth',3);

29 hold on

30 subplot 311

31 plot(prueba,normaldesplazada1,'b','linewidth',2);

32

33 subplot 312

34 plot(prueba,resp22,'r','linewidth',0.1);

35 axis([0,3,-1,1.5]);

36 hold on

37 subplot 312

38 plot(prueba,normaldesplazada2,'linewidth',2);

39

40 subplot 313

41 plot(prueba,resp32,'rx','linewidth',2);

42 hold on

43 subplot 313

44 plot(prueba,normaldesplazada3);

Como se puede a preciar en la figura 4 en el sistema bbox1 se produce una respuesta en el tiempo 0 muy parecida

a la misma entrada impulso, en el sistema bbox2 se produce una salida tipo escalon de amplitud 1, mientras

que en el sistema bbox3 la respuesta es igual a 0. Lo que se comprobara ahora es que estas mismas entradas,

pero desplazadas en el tiempo, deberan dar la misma respuesta, pero desplazadas tambien en el tiempo, lo cual

se puede ver en la figura 5.

0 0.5 1 1.5 20

1

2

Tiempo [s]

am

plitu

d

respuesta impulso sistema bbox1

0 0.5 1 1.5 20

1

2

Tiempo [s]

am

plitu

d


0 0.5 1 1.5 21

0

1

Tiempo [s]

am

plitu

d


Figura 4. Respuestas a impulso sin retardo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

Tiempo [s]

am

plitu

d

variabilidad sistema bbox1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0

1

Tiempo [s]

am

plitu

d


0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0

1

Tiempo [s]

am

plitu

d


Figura 5. Comprobacion de invariabilidad en el tiempo.

Se puede apreciar a simple vista que la respuesta del sistema bbox2 no se corresponde con el de la respuesta

desplazada que esta en la misma casilla, por lo cual este es es sistema variante en el tiempo buscado, por

ende de todos los demas, se podra decir, que son invariantes en el tiempo. En el primer y tercer sistema, el

impulso normal y el desplazado tuvieron la misma respuesta en amplitud y sacando los efectos del retraso las dos

respuestas se igualaban, cosa que no sucedio en el sistema bbox2 ya que el impulso sin retardo genero una salida

correspondiente a una senal oscilatoria, mientras que la senal desplazada, produjo una senal escalon retrasada,

por lo cual en este sistema si afectan los efectos de retardo y por ende con este contra ejemplo es suficiente para

determinar que el sistema bbox2 en variante en el tiempo.

b) Estabilidad y causalidad de los sistemas

Un sistema es estable en el sentido BIBO (bounded input, bounded output), siempre que se cumpla:

n=

|h(n)|

9 delta(i)= 1;

10 end

11 end

12 stem(tiempo,delta); %creacion de impulso discreto

13

14

15 x1=bbox1(delta);

16 x2=bbox2(delta);

17 x3=bbox3(delta);

18

19 subplot 311

20 plot(tiempo,x1,'linewidth',2);

21 xlim([-na nb]);

22 grid on



25 title('causalidad sistema bbox1');

26

27 subplot 312


29 xlim([-na nb]);

30 grid on




34

35 subplot 313


37 xlim([-na nb]);

38 grid on




20 15 10 5 0 5 10 15 200

1

2

muestras [n]

am

plitu

d

causalidad sistema bbox1

20 15 10 5 0 5 10 15 201

0

1

muestras [n]

am

plitu

d


20 15 10 5 0 5 10 15 201

0

1

muestras [n]

am

plitu

d


Figura 6. Comprobacion de causalidad.

Como se observa en los graficos los sistemas bbox1 y bbox2 no se cumple con la condicion de causalidad

mencionada anteriormente, ya que la salida no es 0 o nula antes del instante 0, por lo tanto estos sistemas son

no causales, mientras que el sistema bbox3 si cumple con la propiedad, ya que antes del instante 0 su salida es

nula.

En un analisis mas extenso se puede decir que un sistema causal solo depende de las entradas presentes y pasadas

como tambien de salidas pasadas, cosa que no se cumple al ver el comportamiento del sistema bbox2, ya que

como se observa en la figura 5, la naturaleza de su respuesta cambia dependiendo del lugar en el tiempo en donde

se representa el impulso, ya que por una parte se obtiene una respuesta tipo escalon y por otra, una senal mas

cercana a una senal sinusoidal o de ruido, distinto es en el caso de bbox1 ya que para descubrir su no causalidad,

hubo que definir un tiempo negativo cosa que no se observo en los analisis anteriores.

2-B. INVERSION DE SISTEMAS

Considere el sistema y = SA(x) dado por y[n] = 12y[n 1] x[n].1) Obtenga una expresion para el sistema inverso y = SB(x) de modo que = SB(SA()), donde representa

una funcion impulso en tiempo discreto. Ya que los sistemas son lineales, para cualquier entrada x[n] se obtiene

x = SB(SA(x)). Estos sistemas se llaman inversos ya que cancelan sus efectos mutuamente.

Para encontrar la expresion y = SB(x) se hara uso de una propiedad que relaciona los sistemas inversos y la

convolucion, esta dice que:

h(n) hi(n) = (n)

donde h(n) corresponde a la respuesta impulso del sistema y = SA(x) y hi(n) es la respuesta impulso del sistema

y = SB(x).

Esta propiedad permite encontrar hi(n) para una respuesta h(n) determinada. Pero en el dominio del tiempo

se hace bastante complicado, por tanto se hace uso de la transformada Z para encontrar mas facilmente esta

expresion, quedando la propiedad de la forma:

h(z)hi(z) = 1

Donde se despeja hi(z)

hi(z) =1

h(z)

Dicho lo anterior, a la expresion y = SA(x), se le aplicara la transformada Z, para obtener su respuesta impulso

de manera mas rapida.

y(z) =1

2y(z)z1 x(z)

y(z)(1 12z1) = x(z)

h(z) =y(z)

x(z)=

112z1 1

Tomando en cuenta las expresiones anteriores:

hi(z) =1

2z1 1

Donde la respuesta impulso del sistema inverso en el tiempo sera:

hi(n) =1

2(n 1) (n)

De la expresion anterior es posible saber cual es la funcion que representa al sistema y = SB(x), este vendra a

ser el siguiente:

y = SB(x) =1

2x(n 1) x(n)

2) Escriba una funcion en Matlab que implemente el sistema y = SB(x) y obtenga la respuesta de impulso de

SB y SB(SA).

1 t =0:10; %definicion de un vector tiempo.

2

3 figure

4 imp = zeros(1,11);%definicion de un vector para representar un impulso.

5 imp(1)=1; %se define el primer valor del vector impulso como 1.

6 stem(t,imp); %grafica del impulso.

7 title('Funcion Impulso','FontWeight','Bold','Fontsize',10,'Color','k') % Titulo

8 xlabel('n','FontWeight','Bold','Fontsize',8,'Color','k') % Etiqueta el eje x

9 ylabel('Y = Impulso','FontWeight','Bold','Fontsize',8,'Color','k') % Etiqueta el eje y

10

11

12 x=imp; %se define la entrada 'x' como un impulso.

13

14 figure

15 y = [1,11]; %se define la funcion 'y' como un vector

16 y(1) = 0.5*(0)-x(1); %funcion que define a 'y'; en este caso el primer valor.

17 n=1; %definicion de 'n' como 1; deberia ser 0

18 for i=1:10 %inicio de un ciclo for para generar la funcion 'y'.

19 n=n+1; %se va aumentando el valor de 'n'.

20 y(n)=0.5*(y(n-1))-x(n); %la funcion 'y'; este caso los valores siguientes.

21 end

22 stem(t,y); %grafica de la funcion 'y'; especificamente su respuesta impulso de y=SA(x).

23 title('Funcion Y=SA(Impulso)','FontWeight','Bold','Fontsize',10,'Color','k') % Titulo


25 ylabel('Y=SA(Impulso)','FontWeight','Bold','Fontsize',8,'Color','k') % Etiqueta el eje y

26

27 figure

28 h_2 = [1,11]; %se define la funcion 'h_2' como un vector

29 h_2(1) = -(x(1)-0.5*0); %funcion que define a 'h_2'; en este caso el primer valor.


31 for i=1:10 %inicio de un ciclo for para generar la funcion 'h_2'.

32 n=n+1 %se va aumentando el valor de 'n'.

33 h_2(n) = -(x(n)-0.5*x(n-1)); %la funcion 'h_2'; este caso los valores siguientes.

34 end

35 stem(t,h_2); %grafica de la funcion 'h_2'; que es la respuesta impulso de y = SB(x).

36 title('Funcion Y=SB(Impulso)','FontWeight','Bold','Fontsize',10,'Color','k') % Titulo


38 ylabel('Y=SB(Impulso)','FontWeight','Bold','Fontsize',8,'Color','k') % Etiqueta el eje y

39

40 figure

41 y_2 = [1,11]; %se define la funcion 'y_2' como un vector

42 y_2(1) = -(y(1)-0.5*(0)); %funcion que define a 'y_2'; en este caso el primer valor.


44 for i=1:10 %inicio de un ciclo for para generar la funcion 'y_2'.

45 n=n+1 %se va aumentando el valor de 'n'.

46 y_2(n) = -(y(n)-0.5*y(n-1)); %la funcion 'y_2'; este caso los valores siguientes.

47 end

48 stem(t,y_2); %grafica de la funcion 'y_2'; que es la respuesta impulso de y_2 = SB(SA(x)).

49 title('Funcion Y=SB(SA(Impulso))','FontWeight','Bold','Fontsize',10,'Color','k') % Titulo


51 ylabel('Y=SB(SA(Impulso))','FontWeight','Bold','Fontsize',8,'Color','k') % Etiqueta el eje y

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Funcin Impulso

n

Y =

Impu

lso

Figura 7. Funcion impulso.

0 2 4 6 8 101

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0Funcin Y=SA(Impulso)

n

Y=SA

(Impu

lso)

Figura 8. Respuesta a impulso SA.

0 2 4 6 8 101

0.5

0

0.5Funcin Y=SB(Impulso)

n

Y=SB

(Impu

lso)

Figura 9. Respuesta a impulso SB .

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Funcin Y=SB(SA(Impulso))

n

Y=SB

(SA(

Impu

lso))

Figura 10. Respuesta SB(SA(Impulso)).

3) Exprese el sistema y = SB(x) utilizando una ecuacion de diferencias no recurrente (la salida depende solo

de las componentes de la entrada) y una ecuacion de diferencias recurrente (la salida depende tanto de las

componentes de la entrada como de la componentes previas de la salida). Dibuje los diagramas en bloque de estas

dos implementaciones Es la respuesta a impulso igual en estos casos? Justifique.

Para la ecuacion de diferencias de tipo no recurrente basta con usar la definida en el punto 1. Esta es:

y = SB(x) =1

2x(n 1) x(n)

El diagrama de bloques de esta expresion sera:

Figura 11. Diagrama de bloques no recurrente.

Ahora para la ecuacion de caracter recurrente, es necesario implementar de alguna forma los valores de la salida

previos. Para ello se hace uso de una propiedad matematica, basada en encontrar la media acumulada de la funcionx en el intervalo 0 k n, y tambien en el intervalo 0 k n 1.

y(n) =1

n+ 1(

nn=0

x(k) +

n1n=0

1

2x(k))

y(n) =1

n+ 1(

n1n=0

x(k) x(k) + 12x(n 1))

y(n) =1

n+ 1(ny(n 1) x(n) + 1

2(n 1)y(n 2) + 1

2x(n 1))

y(n) = nn+ 1

y(n 1) 1n+ 1

x(n) +(n 12(n+ 1)

)y(n 2) + 12(n+ 1)

x(n 1)

El diagrama de bloques de esta expresion sera:

Figura 12. Diagrama de bloques recurrente.

Para el caso de aplicar una entrada impulso a cada expresion las respuestas no son iguales, esto debido al hecho

de que la segunda ecuacion es recursiva. Para la primera funcion su salida depende netamente del impulso como

entrada, esto quiere decir que la funcion y(n) no recursiva solo tendra un valor distinto de 0 cuando el argumento

de la entrada sea 0. En cambio, en la funcion recursiva el valor de y(n) como toma en cuenta las salidas previas,

su respuesta variara dependiendo de los valores que vaya emitiendo la senal. Cabe mencionar el hecho de cuando

n = 0 la respuesta de la senal recursiva como la de la senal no recursiva son iguales, y cuando n < 0, las senales

ya no emiten los mismos valores, esto ya que las salidas previas de y(n) son 0 porque la senal impulso de entrada

en esos puntos es nula.

2-C. INTEGRALES Y DERIVADAS EN TIEMPO DISCRETO

Considere los siguientes sistemas en tiempo continuo:

La derivada esta dada por el sistema y = S1(x) donde y(t) = ddtx(t).

La integral esta dada por el sistema y = S2(x) donde y(t) = tx() d.

1) Formule sistemas en tiempo discreto que aproximen los sistemas continuos S1 y S2, Son estas aproximaciones

unicas?.

Luego de discretizar la funcion, es decir representar la senal en un plano discreto, o sea, proceso por el cual

las respuestas al sistema seran solo un muestreo de la respuesta del mismo sistema. Para el sistema S1(x), su

respuesta discretizada sera la derivada de la senal de entrada x(t), sabiendo que la derivacion numerica se da

como:d y(t)

dx=y(x+ h) y(x)

h

Figura 13. Derivacion numerica.

En la figura 13, h sera el espacio entre cada muestra, es decir el tiempo de muestreo ts. Aplicando la notacion

acorde a los contenidos, la aproximacion al sistema S1(x) es la siguiente:

d x(t)

dx=x(n+ ts) x(n)

ts

Para el sistema integrador se utilizo el metodo del trapecio de integracion numerica, en el cual: ba

f(x)dx = (b a2

) (f(a) + f(b))

En donde a equivale en este caso a un tiempo de muestro, y b al siguiente tiempo de muestreo, la idea es calcular

el area entre tiempos de muestreo y graficar ese valor para un tiempo de muestreo, la sumatoria total de esas

areas es 0 pero no se graficara la sumatoria. A continuacion el codigo propuesto:

1 clc

2 clear

3 fs=50*100; %frecuencia de muestreo

4 ts=1/fs; %tiempo de muestreo

5 t=ts:ts:0.05; %corrimientos

6 x = sin(2*pi*100*t); %senal de entrada

7 y1=((sin(2*pi*100*(t+ts)))-(sin(2*pi*100*t)))/ts; %funcion derivada

8 y2=(ts/2)*(sin(2*pi*100*t) + sin(2*pi*100*(t+ts)));

9 suma=sum(y2);

10

11

12 subplot 411

13 grid on

14 stem(t,x)

15 grid on

16 title('Senal Original')

17 xlabel('Tiempo[S]')

18 ylabel('Amplitud')

19

20 subplot 412

21 grid on

22 stem(t,y1)

23 grid on

24 title('Senal Derivada')

25 xlabel('Tiempo[S]')


27

28 subplot 413

29 grid on

30 plot(t,y2)

31 grid on

32 title('Senal integrada')

33 xlabel('Tiempo [S]')


35

36 subplot 414

37 grid on

38 plot(t,suma,'r')

39 grid on

40 title('Sumatoria integral')

41 xlabel('Tiempo [S]')


Como se puede apreciar, la derivada cambia de amplitud respecto a la senal original, esto dado que la funcion

cambia de valor para cada punto derivado, y es logico ya que matematicamente la derivada de sen(t) es cos(wt).

Para el caso de la integral, se ve que la amplitud en cada punto corresponde al area entre tiempos de muestreo,

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.051

0

1Seal Original

Tiempo[S]

Ampl

itud

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.051000

0

1000Seal Derivada

Tiempo[S]

Ampl

itud

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.052

0

2x 104 Seal integrada

Tiempo [S]

Ampl

itud

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.051

0

1Sumatoria integral

Tiempo [S]

Ampl

itud

Figura 14. Derivada e Integral de la funcion.

y si calculamos la sumatoria de estas areas, su resultado es 0.

Si se resuelve analticamente se puede ver que el resultado efectivamente es 0: 0,050

sen(2pi100t)dx = 0

Se puede acotar que para calcular las integrales o derivadas existen muchos otros metodos numericos disponibles,

para la derivada por ejemplo existe el metodo de Euler, para la integral existe el metodo del punto medio y la

regla de simpson.

2) Escriba las ecuaciones de diferencias que describan a los sistemas representados en el punto anterior. Las

ecuaciones de diferencias deben ser compactas, es decir sin sumatorias.

Para el sistema S1(x):

1

tsx(x0 + ts) 1

tsx(x0)

Y para el Sistema S2(x) :ts

2x(x0) +

ts

2x(x0 + ts)

3) Dibuje el diagrama en bloque de ambos sistemas anteriores.

A partir de las ecuaciones en diferencias para cada sistema, se obtiene el diagrama de bloques para cada uno,

teniendo en cuenta que n = tfs, entonces x0 corresponde a n, Es importante tambien destacar que X[n] es la

entrada discretizada.

Para el sistema S1(x) :

Para el sistema S2(x) :

Figura 15. diagrama de bloques S1.

Figura 16. diagrama de bloques S2.

5) Considere la senal de entrada a los sistemas S1 y S2 dada por x[n] = [n] [n 5] entre las muestras10 n 20. Grafique la senal original, su derivada e integral para el mismo intervalo de tiempo en cuadrosdistintos utilizando subplot.

1 clear all

2 close all

3 clc

4 na=10;

5 nb=20;

6 n=-na:nb;

7 n1=-10:20

8 n2=-10:20

9 delta_1=[zeros(1,10),ones(1,1),zeros(1,4),(-1),zeros(1,15)];

10

11

12 figure

13 subplot 311

14 stem(n1,delta_1,'b','fill','linewidth',2);

15 grid on

16 title('Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]-d[n-5]')

17 xlabel('n','FontWeight','Bold','Fontsize',8,'Color','k')

18 ylabel('y','FontWeight','Bold','Fontsize',8,'Color','k')

19 set(gca,'FontWeight','Bold','Fontsize',8);

20 %%derivada

21 for i=2:31

22 der(i)=(delta_1(i)-delta_1(i-1));;

23 end

24 subplot 312

25 stem(n2,der);

26 grid on

27 title('Derivada Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]-d[n-5]')




31

32 %%integral

33 for i=2:31

34 int(i)=delta_1(i-1)+((delta_1(i)));

35 end

36 subplot 313

37 stem(n2,int);

38 title('Integral Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]-d[n-5]')




10 5 0 5 10 15 201

0

1Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]d[n5]

n

y

10 5 0 5 10 15 201

0

1Derivada Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]d[n5]

n

y

10 5 0 5 10 15 201

0

1Integral Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]d[n5]

n

y

Figura 17. Derivada e Integral de senal impulso compuesta.

Cabe mencionar que una senal discreta es una senal de muestras, es decir se compone de sumatoria de datos. Es

por ello que al derivar o integrar una senal de este de tipo de la misma forma que las de tipos continua, no es

un metodo correcto. Es por lo anterior que en el ambito discreto la derivada de una senal se transforma en una

diferencia, y la integral en una sumatoria. En ambos casos lo que se hace es agregar un adelanto o un retraso; en

el caso de esta resolucion se uso un retraso. Al agregar un retraso a la funcion original, genera un desplazo en la

senal que se aprecia en la grafica; tanto para el caso de la derivada como de la integral. 6) Considere la senal de

entrada a los sistemas anteriores x[n] = u[n] u[n (N +1)], con N = 10 y entre las muestras 10 n 20.Grafique la senal original, su derivada e integral para el mismo intervalo de tiempo en cuadros distintos utilizando

subplot

1 clear all

2 close all

3 clc

4

5 n=-10:20;

6 x=[zeros(1,10),ones(1,10),zeros(1,11)];

7

8 figure

9 subplot 311

10 stem(n,x,'b','fill','linewidth',2);

11 grid on

12 title('Funcion Compuesta: y[n]=u[n]-u[n-11]')




16

17 %%

18 for i=2:31

19 der(i)=(x(i)-x(i-1));

20 end

21 subplot 312

22 stem(n,der);

23 grid on

24 title('Derivada Funcion Compuesta: y[n]=u[n]-u[n-11]')




28

29 %%

30 for i=2:31

31 int(i)=x(i-1)+x(i);

32 end

33 subplot 313

34 stem(n,int);

35 title('Integral Funcion Compuesta: y[n]=u[n]-u[n-11]')




10 5 0 5 10 15 200

0.5

1Funcion Compuesta: y[n]=u[n]u[n11]

n

y

10 5 0 5 10 15 201

0

1Derivada Funcion Compuesta: y[n]=u[n]u[n11]

n

y

10 5 0 5 10 15 200

1

2Integral Funcion Compuesta: y[n]=u[n]u[n11]

n

y

Figura 18. Derivada e Integral de senal escalon compuesta.

Para este caso de senal discreta, si existe una derivada y una integral. En el caso de la senal escalon, su derivada

corresponde a un impulso y su integral a una rampa. Para su implementacion, es recomendable usar el mismo

metodo que en el punto anterior; donde se ve la derivada como una diferencia y la integral como una sumatoria.

Se ve en la grafica de la derivada un comportamiento tipo impulso, y en la de la integral un comportamiento tipo

rampa.

7) Descargue los archivos de audio music.wav y speech.wav de la pagina web del laboratorio (archivo

adjunto en el e-mail). Utilice estas senales como entrada a los sistemas anteriores y comente como los sistemas

alteran la calidad del sonido. Grafique la senal original, su derivada e integral en cuadros distintos utilizando

subplot.

1 clear all

2 close all

3 clc

4 fs=8000;

5

6 tono='music.wav';%%cambia el nombre de archivo

7 siz=wavread(tono,'size');

8 [x,fs]=wavread(tono);

9

10

11 figure

12 subplot 311

13 sound(x,fs);

14 plot(x);

15 grid on

16 title('Funcion Compuesta: y[n]=u[n]-u[n-11]')




20

21 %%

22 for i=2:65001

23 der(i)=(x(i)-x(i-1));

24 end

25 subplot 312

26 sound(der,fs);

27 stem(der);

28 grid on

29 title('Derivada music.wav')




33

34 %%

35 for i=2:65001

36 int(i)=x(i-1)+x(i);

37 end

38 subplot 313

39 sound(int,fs);

40 stem(int);

41 title('Integral music.wav ')




0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

1

0

1Funcion sonido music.wav

n

y

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

0.5

0

0.5Derivada sonido music.wav

n

y

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

2

0

2Integral sonido music.wav

n

y

Figura 19. Derivada e Integral de music wav.

0 2 4 6 8 10 12 14

x 104

1

0

1Funcion sonido speech.wav

n

y

0 2 4 6 8 10 12 14

x 104

0.5

0

0.5Derivada sonido speech.wav

n

y

0 2 4 6 8 10 12 14

x 104

2

0

2Integral sonido speech.wav

n

y

Figura 20. Derivada e Integral de speech wav.

Para este caso tambien se aplica el cambio de caso continuo a discreto. Es decir, la derivada es una diferencia y

la integral una sumatoria. En el uso de sonido este proceso si bien se ve cierta diferencia en las amplitudes de

las graficas, es mas perceptible el cambio al escucharlos. En el sonido de la derivada, se siente una baja en el

volumen. Y para la integral, el volumen crece.

8) En funcion de las aproximaciones previas de los sistemas S1 y S2, escriba las ecuaciones de diferencias para

una doble derivada y = S1(S1(x)), doble integral y = S2(S2(x)), y la integral de la derivada y = S2(S : 1(x)),

y la derivada de la integral y = S1(S2(x)).

1 clear all

2 close all

3 clc

4 na=10;

5 nb=20;

6 n=-na:nb;

7 n1=-10:20

8 n2=-10:20

9 delta_1=[zeros(1,10),ones(1,1),zeros(1,4),(-1),zeros(1,15)];

10

11

12 %%

13 for i=2:31

14 der(i)=(delta_1(i)-delta_1(i-1));

15 end

16 for i=2:31

17 der_2(i)=(der(i)-der(i-1));

18 end

19 subplot 411

20 stem(n2,der_2);

21 grid on

22 title('Derivada Segunda Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]-d[n-5]')




26

27 %%

28 for i=2:31


30 end

31 for i=2:31

32 int_2(i)=int(i-1)+((int(i)));

33 end

34 subplot 412

35 stem(n2,int_2);

36 title('Integral Segunda Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]-d[n-5]')




40 %%

41 for i=2:31

42 der(i)=(delta_1(i)-delta_1(i-1));

43 end

44 for i=2:31

45 int_3(i)=(der(i)+der(i-1));

46 end

47 subplot 413

48 stem(n2,int_3);

49 grid on

50 title('Int. de Der. Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]-d[n-5]')




54

55 %%

56 for i=2:31


58 end

59 for i=2:31

60 der_3(i)=int(i-1)-((int(i)));

61 end

62 subplot 414

63 stem(n2,der_3);

64 title('Der. de Int. Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]-d[n-5]')




En el punto 5, se definio la derivada e integral en el plano discreto, y para este caso es el mismo metodo. Hay

10 5 0 5 10 15 202

0

2Derivada Segunda Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]d[n5]

n

y

10 5 0 5 10 15 202

0

2Integral Segunda Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]d[n5]

n

y

10 5 0 5 10 15 201

0

1Int. de Der. Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]d[n5]

n

y

10 5 0 5 10 15 201

0

1Der. de Int. Funcion Impulso Compuesta: x[n]=d[n]d[n5]

n

y

Figura 21. graficos enunciado 8.

que decir que para el caso de la integral de la derivada y la derivada de la integral el valor original del muestreo

en relacion a la senal original crece; de 1 a 2, y ademas se genera un nuevo retraso en el muestreo. Para el caso

de la derivada e integral de segundo orden, se vuelve a repetir el caso de las de primer orden, es decir se enfatiza

aun mas su aplicacion.

9) Dibuje el diagrama en bloque de los sistemas del punto anterior.

Figura 22. Diagrama de bloques derivada de derivada.

Figura 23. Diagrama de bloques integral de integral.

Figura 24. Diagrama de bloques integral de derivada.

Figura 25. Diagrama de bloques derivada de integral.

CONCLUSIONES

Queda de manifiesto que las senales de tipo discreto son de principal uso para su procesamiento. Se vio que si bien,

su uso es mas complejo que las de tipo continua, su aplicacion parece ser mas amplia, como es el caso de los sonidos.

Recalcar la importancia de las senales de prueba como el impulso, escalon y rampa, donde con su uso se puede

determinar propiedades de los sistemas de manera sencilla.

Mencionar tambien que la transformada Z viene a ser una herramienta de gran utilidad para el procesamiento de

senales, esto porque su importancia radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas

con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales dando as una facilidad a la hora de realizar un analisis.

Procesamiento Digital de Señales Sistemas Discretos, Transformada Z y Aplicaciones en Sistemas LTI

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