Control de Sistemas Discretos EXCELENTE

CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS

CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOSOsear ReinosoUniversidad Miguel Hemndez

Jos Mara Sebastin y Ziga Rafael Aracil SantojaUniversidad Politcnica de Madrid

Fernando Torres MedinaUniversidad de Alicante

MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MXICO NUEVA YORK PANAM SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTIAGO. SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI PARs SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR STo LOUIS TOKIO TORONTO

,

PROLOGOEl control automtico de sistemas es actualmente una tecnologa imprescindible en una amplia variedad de procesos cotidianos, con especial importancia en el mundo industrial. Si inicialmente dicho control se realizaba mediante los ya clsicos bucles de control analgicos, el espectacular desarrollo de los computadores y dems sistemas digitales basados en ficroprocesadores, acaecido durante los ltimos treinta aos, ha propiciado su masiva utilizacin en tareas de controL Dichos computadores penniten no slo resolver satisfactoriamente los problemas especficos de regulacin, en algunas ocasiones con un alto grado de complejidad, sino que posibilitan adems una amplia gama de funciones de supervisin y tratamiento de datos con un reducido coste adicional. Por tales motivos, los sistemas discretos de control fonnan parte fundamental del plan de estudios de numerosas escuelas de ingeniera de primer y segundo ciclo, as como de las facultades de ciencias. Normalmente, se estructura como un segundo curso de control, en el que se parte de los conocimientos previos aportados por el estudio de la teora de sistemas y seales, as como del control de sistemas continuos. Este libro est escrito de acuerdo con el contenido de dicho segundo curso y recoge una amplia variedad de problemas de complejidad creciente. Se ha procurado que los enunciados recojan un extenso abanico de situaciones que incluye tanto modelos tericos como sistemas reales, habiendo sido validada su resolucin mediante un software de simulacin. Desde el punto de vista educativo, es necesario destacar el primordial papel que ocupa la resolucin de problemas en la enseanza de materias cientficas y tcnicas. A lo largo de su resolucin, el alumno contrasta no slo el resultado final, sino tambin los conceptos y metodologa empleada. De aqu la importancia de la existencia de un texto con problemas resueltos que pennite, en una primera etapa de] aprendizaje, comprender y afianzar Jos conceptos tericos aprendidos para, posteriormente, realizar los problemas propuestos y contrastar Jos resultados finales. Ambos aspectos han sido tenidos en cuenta a la hora de elaborar este texto por parte de los autores. Existen en la actualidad, en el campo del control de sistemas discretos, varios textos de prestigio enfocados fundamentalmente al desarrollo exhaustivo y preciso de toda la fundamentacin terica con sus consiguientes demostraciones. Por ello, se ha considerado interesante introducir solamente en cada uno de los temas un resumen terico que sin nimo de ser un encuentro exhaustivo del lector con los contenidos puramente tericos y sus demostraciones, s que supone una gua que permite recordar los aspectos fundamentales para abordar con xito la resolucin de los problemas. El texto se ha dividido en trece captulos. Los tres primeros estn fundamentalmente orientados a recordar los conceptos matemticos en los que posterionnente se cimentarn los siguientes captulos. Es en el captulo primero el que aborda los conceptos de secuencias y sistemas discretos, permitiendo afianzar conceptos tales como respuesta de un sistema ante una secuencia de entrada, estabilidad de un sistema discreto y transformadas de Fourier y Laplace de una secuencia. La transfonnada Z es de especial importancia en Jos sistemas discretos, por lo que el segundo captulo se dedica a el1a, transfonnada Z de secuencias tipo, inversa, clculo, propiedades, etc. Ya en el captulo tres se plantean los conceptos de muestreo y reconstruccin de seales, planteando problemas en tomo al teorema de muestreo y al concepto de bloqueador y sus tipos.

v

VI

PRLOGO

A continuacin, los captulos cuatro y cinco se dedican a los sistemas muestreados y la estabilidad de los sistemas discretos. Por primera vez aparece el concepto de realimentacin en el captulo cuarto, que versa tambin sobre sistema discreto equivalente y transfonnada Z modificada. La definicin y condiciones de estabilidad de sistemas discretos son tratadas en el quinto captulo a travs del criterio de Jury. Los siguientes captulos estn dedicados al anlisis. En el seis se repasan las respuestas temporales ante secuencias impulso y escaln, as como el concepto de sistema reducido equivalente. Es el sptimo captulo e] destinado a estudiar e] comportamiento esttico de los sistemas realimentados ante realimentacin unitaria y no unitaria, errores y tipo de un sistema. El captulo ocho abarca el comportamiento dinmico de los sistemas realimentados a travs de la tcnica del lugar de las races. Ya en el captulo noveno, se realiza el anlisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia, haciendo uso del criterio de Nyquist. Los cuatro ltimos captulos estn destinados al diseo de reguladores. En el dcimo a travs de la discretizacin de reguladores continuos~ por mtodos basados en la aproximacin de la evolucin temporal o la discretizacin de reguladores, considerando aspectos tales como la saturacin en el actuador o la correcta eleccin del perodo de muestreo. En el siguiente captulo, el onceavo, se estudia la fonna de aadir polos y ceros a la funcin de transferencia en bucle abierto para modificar los de bucle cerrado. Para ello, se emplea en este captulo como herramienta de diseo el lugar de las races. Ya en el captulo doce se aborda el diseo de reguladores algebraicos por el mtodo de asignacin de polos o por sntesis directa basada en el mtodo de Truxal. Finalmente, el ltimo captulo est destinado al diseo de reguladores de tiempo de mnimo. Los autores desean mostrar su agradecimiento a todas las personas que de alguna u otra fonna han colaborado en que este libro salga publicado. Sin el apoyo y las observaciones de otros profesores pertenecientes a la Universidad Miguel Hemndez de Elche, la Universidad Politcnica de Madrid y la Universidad de Alicante este libro no tendra el rigor y ]a amplitud actual. Adems, muchos de los problemas seleccionados han sido puestos en comn con alumnos pertenecientes a dichas universidades, lo que sin duda ha permitido valorar cules de los problemas propuestos resultan ms clarificadores para afianzar los conceptos del control de sistemas discretos. Confiamos en que los problemas seleccionados e incluidos en este libro sean de utilidad para los lectores que se embarcan en el estudio de los sistemas discretos. Asimismo, esperamos que, tras los procesos de revisin llevados a cabo, los inevitables errores que siempre aparecen se hayan visto reducidos al mnimo.

Los autores

~

Indice general@SECUENCIAS y SISTEMAS DISCRETOS 1. 1. Respuesta de un sistema discreto ante una secuencia de entrada 1.2. Estabilidad de un sistema discreto (1) . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Estabilidad de un sistema discreto (I1) . . . . . . . . . . . . . 1.4. Convolucin discreta. Transfonnada de Fourier y de Lap]ace 1.5. Respuesta de un sistema discreto ante cualquier secuencia de entrada a partir de la secuencia de ponderacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Sistemas discretos: estudh? comparativo de la estabiJdad, ]a respuesta y ]a energa 1.7. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Problema propuesto . . . . . . ..... " .... 1.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Problema propuesto 1.11. Problema propuesto 1.12. Problema propuesto1 5 7 8

910 11 15 15 15 1616

17

() TRANSFORMADA Z2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Transfonnada Z de secuencias tipo . . . . . . . . . . . . . . . Transfonnada Z inversa de una secuencia . . . . . Funcin de transferencia de un sistema discreto ... . Anlisis de una fundicin . . . . . . . . . . . .. . Evolucin de la poblacin de ballenas . . ........ . Explotacin de la madera en un bosque. . ... , ... . ...... . .... .. . . Evaluacin del stock en un almacn . . .. Evolucin de la poblacin en funcin de la industrializacin y de la tasa de natalidad Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema propuesto . . . . . . Problema propuesto . . . . Problema propuesto . . . . . . . . . . Problema propuesto . . . . . . . . . Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto

19 2124

25

2832

2.5.2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.1 ]. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2. ] 6.

3538 4] 48 48 49 49 50 51 51 52VII

VIII

NDICE GENERAL

3. MUESTREO Y RECONSTRUCCIN DE SEALESDiversas configuraciones de sistemas . . . .. ...... . . 3.2. Bloqueador, sistema continuo y muestreador . . ., . . . . . 3.3. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (1) .. 3.5. Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (ll) . . . . . 3.6. Existencia de funcin de transferencia 3.7. Problema propuesto 3.8. Problema propuesto 3.9. Problema propuesto 3.10. Problema propuesto 3.1.

5359 60

6265 69

70 7374

7576

4. SISTEMAS MUESTREADOSFuncin de transferencia de un sistema muestreado con realimentacin (1) 4.2. Funcin de transferencia de un sistema muestreado con realimentacin (ll) . . 4.3. Funcin de transferencia en Z modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Sistema depsito-computador Influencia del captador en la funcin de transferencia de un sistema realimentado 4.5. 4.6. .......... . Problema propuesto 4.7. Problema propuesto . . . . . ..... . 4.8. Problema propuesto . . . . . ... . 4.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Problema propuesto .....

7780

4.1.

8284

8791

93 94 94 94 9597

5. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS5.1. 5.2. 5.3. Criterio de Jury (1) . . . . . . . . . . . . Criterio de Jury Estabilidad en sistemas muestreados . . . . 5.4. Estabilidad en funcin del tiempo de clculo Proceso de fabricacin . 5.5. 5.6. Problema propuesto 5.7. Problema propuesto . . . . . Problema propuesto . . . . . 5.8. Problema propuesto 5.9. 5.10. Problema propuesto . . . . .

en) . . . . . . . . . . . . .

99 101102

105 107109110 110

111

111113119 121

6. ANLISIS DINMICO DE SISTEMAS6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. Respuesta temporal de sistemas discretos .. Sistema reducido equivalente (1) . . . . Sistema reducido equivalente (ll) . . . . . Criterio de Jury y respuesta temporal . . . . Identificacin de sistemas conociendo su respuesta. . Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123125 129 131

NDICE GENERAL

IX

6.7. 6.8.

Problema propuesto Problema propuesto 6.9. Problema propuesto 6.10. Problema propuesto

132 133 133134

7. COMPORTAMIENTO ESTTICO DE SISTEMAS REALIMENTADOSError de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Sistemas con dinmica en la realimentacin .. 7.3. Estabilidad y errores en rgimen pennanente . . 7.4. Sistema de control de un barco . . . . . . . . . 7.5. Comportamiento esttico en sistemas con realimentacin constante . 7.6. Errores y sistemas equivalentes de orden reducido 7.7. Errores en un sistema multivariable. 7.8. Problema propuesto . . . . 7.9. Problema propuesto 7.10. Problema propuesto 8. COMPORTAMIENTO DINMICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS 8.1. Comportamiento esttico y dinmico al variar un polo . . . . . . . . . . 8.2. Diferencia de comportamiento entre control continuo y discreto de un sistema continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Comportamiento de un sistema muestreado en funcin de la ganancia y del perodo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Comportamiento de un sistema muestreado en funcin del regulador y del perodo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. . .... . Control de velocidad de un sistema fsico. . 8.6. Problema propuesto . . . . . ...... . 8.7. Prob1ema propuesto . . . . . . . . 8.8. Problema propuesto .................... . 8.9. Problema propuesto 9. CRITERIO DE NYQUIST 9.1. Criterio de estabilidad de Nyquist en un sistema discreto .. 9.2. Criterio de Nyquist con un polo en el camino. . . . . ... 9.3. Criterio de Nyquist con dos polos en el camino. . . . . . . 9.4. Criterio de Nyquist en sistema multivariable (1) . . . . . . . . . 9.5. Criterio de Nyquist en sistema multivariable (11) ... . 9.6. Problema propuesto . . . . .,. . 9.7. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . '" . . . . .. . 9.8. Problema propuesto . . . . . . 9.9. Problema propuesto . . . . . ...... . 9.10. Problema propuesto . . . . . . . .. . 7.1.

137140141 144

146 149 151 155 158]59

159

163166 169173 177 179 184 184 186 186

189191 193 195 199 201 206 207207 208 210

x@DlSCRETIZACIN DE REGULADORES CONTINUOS

NDICE GENERAL 213

10.1. Discretizacin de un regulador por diversos mtodos . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Comparacin de la estabilidad de un sistema en cadena cerrada utilizando un regulador continuo y su equivalente discretizado . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Comparacin entre un regulador continuo y el equivalente discretizado 10.4. Comparacin mtodos de discretizacin y perodos de muestreo .. 10.5. Regulador I-PD . . . . . . . . . . . . . . ........ . 10.6. Saturaciones de la accin de control . . . . . 10.7. Problema propuesto . . . . . ......... . 10.8. Problema propuesto . . . . . . . . . . . ... . 10.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . .......... .

220222

226 231234 238 242 243 244

V

~DlSEO DE REGUL~DORES DISCRETOS MEDIANTELUGAR DE LAS RAICES11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9. 11.10. Clculo de un regulador discreto para obtener un error de posicin nulo. Diseo de un regulador discreto mediante lugar de las races. . . . . . Diseo de un regulador discreto en un sistema con seales retardadas . . . . . . . Regulador discreto con captador variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Control de un servomecanismo Problema propuesto . . . . . . . . . Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . Problema propuesto . . . . . . .......... . Problema propuesto Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . 247 251 254 257 266 269 275

276276

277 278281

(2:, DISEO DE REGULADORES ALGEBRAICOS \ / ,-.r 12.1. Diseo por asignacin de polos . . . 12.2. Diseo por sntesis directa (1) . . . . 12.3. Influencia de una falsa cancelacin . . . . . . . . . . 12.4. Diseo por sntesis directa (11) . . . . 12.5. Sntesis directa con seal de salida conocida . . . . . 12.6. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 12.7. Problema propuesto . . . . . . . . . .. 12.8. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . 12.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . ...

284 287 289292 295

297298 299 300 303 306 309

~ISEO DE REGULADORES DE TIEMPO MNIMO13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. Anulacin del error ante entrada escaln . . . . . . Reguladores discretos . . . . . . . . . . . Anlisis regulador tiempo mnimo . . . . . . . . . . . . Regulador discreto con captador variable . . Reguladores discretos segn especificaciones .. Regulador de tiempo mnimo con dinmica en la realimentacin

313315

319 322

NDICE GENERAL 13.7. 13.8. 13.9. 13.10. 13.11. 13.12. 13.13. Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto Problema propuesto

XI

324

325325

326 327328 329331

BIBLIOGRAFA

,

Indice de figuras( 1.1. ) 1.2. \1.3.Sistema discreto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema discreto representado por su secuencia de ponderacin. . Respuesta impulsional del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . Secuencia de ponderacin {9k} del sistema y entrada considerada Secuencia de ponderacin {9k} y entrada del sistema {Uk}. . Sistema discreto.. . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . 2 4

(

I!:~:1.6. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

{Uk}. . .....

9 916 1725

Mtodo de la divisin larga. . . Funcionamiento de una fundicin. . . . . . . Diagrama de bloques de la fundicin. . . . . . . . . . Evolucin de la poblacin de ballenas alrededor del punto de equilibrio. Toneladas de madera ante una disminucin de un 10 % en la cantidad talada: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Toneladas de madera ante un incremento de un 4 % en el nmero de toneladas: (a) ...... . . . . . toneladas totales; (b) respecto al equilibrio. . . . . . . . . .. Diagrama de bloques stock/ventas. . . . . . . . . . . . . . . . . .. Evolucin del stock tras la variacin de las ventas. . . . . . . . . . . . . Diagrama de bloques general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Diagrama de bloques P(z)/TN N(z). . . . . . . . . . . . . . . .. Diagrama de bloques P(z) / I(z). . . . . . . . . . . . . . . . . .. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerando nicamente la accin de la industrializacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerando nicamente la accin de T N N. . . . . . . . . . . . . . . . Evolucin de la poblacin relativa ante las dos acciones .. Seal de salida. . . . . . . . . . . . ...... . Muestreador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mdulo de la transfonnada de Fourier de una seal continua. . . . . Mdulo de la transfonnada de Fourier de una secuencia. . . . . . . Sistema hbrido. . . . . . . . . . . . . . . o. Bloqueador............. Conjunto muestreador-bloqueador.

2930 34 37 38 40 41 44 44 44 46 47 47 48 53 54 54 55 56 56XIII

XIV

NDICE DE FIGURAS Bloqueador ideal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. . .. Bloqueador de orden cero.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Bloqueador de orden cero en el dominio del tiempo yen el dominio de la frecuencia IHo(w)l, (T == 71"). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bloqueador de orden uno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opciones de interconectar en serie los tres bloques. . . . . . . . . . Seales de los sistemas vlidos: caso 1 (a), caso 4 (b) Y caso 5 (e). Sistema propuesto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de Fourier de la seal de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . Transfonnada de Fourier a la salida del muestreador. . . . . . . . . .. . .. . Transfonnada de Fourier de la seal de entrada UB(W) al sistema continuo G(w). Respuesta en frecuencia de G(w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mdu]o de ]a respuesta en frecuencia a la salida del sistema continuo. . . . . . . Salida del sistema ante la entrada propuesta. . .. . Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . . . Seal x(t) en funcin del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . Muestreo de la seal x(t) con perodo T = 1,5 segundos. Representacin grfica de y(t). . .... . Muestreo de la seal u( t). . . . ... . Diagrama de bloques inicial. . . . . . . . . . . Sistema propuesto. . . . . . . . . Sistema muestreador-sistema continuo-bloqueador. Sistema muestreado. . . . . . . . . . . . . . . . . . Estudio de sistemas muestreados con las tcnicas de los sistemas discretos .. Transfonnada Z modificada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema realimentado. . . . . . . . . Diagrama de bloques entrada/salida. Elemento a aadir a la salida. . . . . . Diagrama de bloques correspondiente a la ecuacin 4.19. Esquema tradicional de un diagrama de bloques realimentado. Esquema de realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Control de caudal de un depsito mediante un computador. Diagrama simplificado del sistema propuesto. Diagrama de bloques de la parte continua. . . . . . Esquema de realimentacin .. Sistema propuesto.. . . . . . . Sistema propuesto ... Sistema propuesto .. Sistema propuesto.. . . Diagrama de bloques considerado. 57 57

3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24. 3.25. 3.26. 3.27. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4. l l. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 4. 16. 4.17. 5.1.

5858 6162

63 6364 64 64

65 66 66

67 6768

6971 74 75

77 78 7980 81 81 83 84

85 8890 90

9294 94 95 95

99

NDICE DE FIGURAS 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. Diagrama de bloques considerado. Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seal de salida w(t) tras el bloqueador y el bloque constante de ganancia 3. Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . . Diagrama de bloques de una empresa de fabricacin. 5.7. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . . . . . . . Sistema propuesto... . 5.8. 5.9. Sistema propuesto... . 5.10. Sistema propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. 6.2. Respuesta impulsional de un sistema de pnmer orden para diferentes valores de la posicin del polo (O < a < 1; a> l;a < -1; -1 < a < O) . . . . . . . . . . . . Respuesta ante escaln unitario de un sistema estable de primer orden (O < a < 1; -1 < a < O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Parmetros en un sistema de segundo orden. . . . . . . . . . . . Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden. . . . . . Respuesta de un sistema de segundo orden ante entrada escaln. Respuesta de un sistema de primer orden estable ante seal de entrada escaln cuando a > O y cuando a < O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta ante entrada escaln para los sistemas de primer orden G 1 (z) y G 2 (z ). Respuesta ante entrada escaln para los sistemas de segundo orden G 3 {z), G 4 {z) y G 5 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Respuesta ante entrada escaln para el sistema G (z) y para Gred (z). . Respuesta ante escaln para el sistema G(z) y para el sistema Gred{z). . . . . Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Respuesta ante escaln del sistema equivalente de orden reducido Mred (z). . Respuesta ante escaln para el sistema M{z) y para el sistema Mred (z). . . . . . Diagrama de bloques considerado. Seales de salida {Xk} e {Yk}. Sistema propuesto.. . . Sistema propuesto.. . Sistema propuesto.. . . Sistema propuesto. . . . Sistema discreto realimentado unitariamente .. . Diagrama de bloques. . . . . . ...... . Diagrama de bloques. . . . . . . . . Diagrama de bloques. . . . . . . . . Diagrama de bloques modificado. . . Diagrama de bloques. . . . . . . . . Sistema de control de rumbo de un barco.

xv101 102 104 106 107 108 110 l lO 111 JII

116 117 117 118 119 121 122 122 124 125 125 128 129 129 130 132

6.3. 6.4. 6.5. 6.6.6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.1 ] . 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

133133

134137 139 140

141142 144 146

7.5.7.6.

7.7.

XVI

NDICE DE FIGURAS 146 147

7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15. 7.16.

Relacin rumbo-ngulo de1 motor. . . . . . . Actuador del timn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Actuador del timn para pequeas amplitudes.. ... . Diagrama de bloques para pequeas amplitudes. . . . . . Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . Parmetros de un sistema discreto de segundo orden. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . Respuesta ante escaln unitario de G(z) . . . . . 7.17. Homogeneizador de chocolate. . . . . 7.18. Diagrama de bloques. . . . . . . .

147148 150 154 156 158

158160

161163

8.1. 8.2.8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

8.7.\

8.8.8.9. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13. 8.14.

f~

1I

l

~

8.15.8.16. 8.17. 8.18.

Diagrama de bloques. Diagrama de bloques. Lugar de las races del sistema. Diagrama de bloques. . . . . . . Lugar de las races para el control continuo. Lugar de las races para el control continuo. Diagrama de bloques. . . . . . . Lugar de las races del sistema. Diagrama de bloques . . . . . . Lugar de las races del sistema. Sistema a estudiar. . . . . . . . . Diagrama de bloques del sistema. . . Diagrama de bloques simplificado. Lugar de las races del sistema. . . . Lugar de las races del sistema. . . Diagrama de bloques del sistema. . . . Diagrama de bloques del sistema. . . . Diagrama de bloques del sistema. .

166167 170 171 172

174175

177178 180 181 182 183 185 185

186186

9.1. Sistema muestreado realimentado. . .... 9.2. Camino de Nyquist para sistemas discretos. 9.3. Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . " ., ~ . . . . . 9.4. Camino de Nyquist para el sistema de la Figura 9.3. . . . . 9.5. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O Y para K < O. 9.6. Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Camino de Nyquist elegido para el sistema de la Figura 9.6. . . . 9.8. Fonna vectorial de e j8 - l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O.. 9.10. Diagrama de bloques del sistema. . 9.11. Camino de Nyquist seleccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . .

189190 191 192 193 194 194

195196

196197

NDICE DE FIGURAS 9.12. 9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17. 9.18. 9.19. 9.20. 9.21. 9.22. 9.23. 9.24. 9.25. 9.26. 9.27. 9.28. 9.29. 9.30.,

XVII

Detalle de los tramos II y IV. Diagrama de Nyquist para el sistema.. . Camino de Nyquist elegido. . . . . . . . Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema multivariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Respuesta en frecuencia (mdulo y fase) de Xl! (a), X 12 (b), X 21 (c) Y X 22 (d).. Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando KI > 0,5 Y K 2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando KI = 1 Y K 2 > 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Nyquist cuando se recorre el punto z = 1 por la izquierda. . . . . . Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de Nyquist para el sistema propuesto. . . . . . . . Respuesta en frecuencia del sistema (mdulo y argumento) .. Respuesta en frecuencia en el diagrama polar. Diagrama de bloques. . . . . . . . . Camino de Nyquist para r 1 . . . . ... Camino de Nyquist r 2. . . . . . . . . . . Camino de Nyquist r 4. . . . . . . . . . . . . . Diagrama polar. . . . . . Sistema discreto de control. . . . . . . . . Sistema continuo de control. . . . .. .... . . . Controlador discreto de un sistema continuo. . . ..... Aproximacin de la evolucin temporal de ambos sistemas. Regulador PID continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regulador I-PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta de ante entrada escaln del regulador continuo (a) y del regulador discretizado con la aproximacin del operador derivada T = 0,5 (b) Y con T = 0,033 seg. (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta ante entrada escaln del regulador discretizado mediante la aproximacin trapezoidal (b) T = 0,5 Y(e) T = 0,033 seg. . . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta ante entrada escaln del regu]ador discretizado obtenido mediante la equivalencia ante entrada escaln (b) T = 0,5 Y (c) T = 0,033 seg. Regulador continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regulador discreto del sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lugar de las races del sistema en bucle abierto con regu]ador continuo: (a) cuando < a < 1 Y (b) cuando a > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lugar de ]as races del sistema diseretizado con aproximacin del operador derivada cuando: (a) a < e- l y (b) a > e-l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197 199 200 201 201 202 204 205 206 206 207 207 208 209 209 210 210 211 211 213 213 214 214 217 218

~

{ \ \ ,

10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

\ 10.5.I0.6. J 10.7.

/ \ \ 10.8.J

221 221 222 223 223 224 225

i

10.9.t

" 10.10. i 10.11. J I 10.12.! t

\

,\

~

10.13.

XVIII

NDICE DE FIGURAS

l 10.14. Lugar de las races del sistema discreto con aproximacin trapezoidal cuando: (a)" 2-a 2+a

> e-1 y (b)

2-a 2+a

< e -1 . . . . . . . . .

10.15. 10.16. 10.17. 10.18. 10.19. 10.20. 10.21. 10.22. 10.23. 10.24. 10.25. 10.26. 10.27. 10.28. 10.29. 10.30. 10.31. 10.32. 10.33. 10.34. 10.35. 11.1. 11.2. I 11.3. 11.4. 11.5. . 11.6. , 11.7. J 11.8. I 11.9. 11.10. 11.11. 11.12. 11.13. 11.14. 11.15. 11.16. 11.17.I

Sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . Lugar de las races para el sistema continuo. Criterio del argumento. . . . . . . . . . Respuesta ante escaln unitano con regulador PIDo Respuesta ante escaln unitario con regulador discretizado. Diagrama de bloques propuesto. . . . Seal de salida continua con el regulador R(s). . ... Secuencia de salida con T == 0,2 sega . . . . . . . . . . . . . Secuencia de salida con T == 0,05 sega . . . . . . . . . . Diagrama de bloques con la estructura I-PO. . . . . . . . . . . . . . . . . . Secuencia de salida con la estructura I-PD y T == 0,2 sega .. Secuencia de salida con la estructura I-PD y T == 0,05 sega Sistema discreto de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Secuencia de salida (superior) y secuencia de control (inferior) ante escaln. Secuencia de salida (superior), secuencia de control antes de saturacin (centro) y secuencia de control despus de saturacin (inferior) ante entrada escaln. . . .. Secuencia de salida (superior), secuencia de control (inferior) ante entrada escaln. Secuencias de salida ante entrada escaln. . . . . . . . . . Diagrama de bloques propuesto. . . . . . . . . . Diagrama de bloques propuesto. . . . . . . . . . . . . . . Variacin de la seal de salida ante perturbacin. . Diagrama de bloques con el computador. . . . . .o o o o o

................. . . . . .

226 227 227 228 229 231 234 235 236 236 237 237 237 238 239 240 241 242 243 244

245 245 248251 252

Polo dominante del sistema. . . . . . . . Diagrama de bloques entrada/salida. .. Lugar de las races del sistema con regulador proporcional. Criterio del argumento con el regulador. . . . . . . . . . . . Lugar de las races del sistema con regulador po. . ... . Respuesta ante escaln unitario con el regulador PO diseado. Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . . . . ......... . Lugar de las races para el sistema de la Figura 11.7. . . . . . . . . . . . . . Criterio del argumento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seal de salida ante entrada escaln unitario con el regulador diseado. . . Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . . . . . . . . . Lugar de las races para M 2 (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lugar de las races para M3 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... Respuesta del sistema con R( z) == 4, H 3 (s). ... . . . Respuesta del sistema con R(z) == 4, H 2 (s). . . ...... . Posicin de polos y ceros en bucle abierto. Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . .

253253

254 255255

256257 258 260

261262 263 264

266

NDICE DE FIGURAS 11.18. 11.19. 11.20. 11.21. 11.22. 11.23. 11.24. 11.25. 1] .26. 11.27. 11.28. 11.29. 11.30. 11.31. 11.32. 11.33. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8. 12.9. 12.10. 12.11. 12.12. 12.13. 12.14. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10. Diagrama de bloques entrada/salida. Diagrama del servomecanismo a controlar. . Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . Lugar de las races del sistema. . . . . . . . Respuesta ante entrada escaln con el regulador proporcionaL. Principio del argumento para el clculo del cero del regulador. Secuencia de salida con regulador PO. . . . . . . Sistema a controlar. . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta ante escaln con el regulador P D(z). Control continuo. Control discreto. . . Sistema discreto.. . Sistema discreto. . . Respuesta ante entrada escaln . . . Diagrama de bloques propuesto. . . . . Secuencia de salida ante entrada escaln con el regulador propuesto. Sistema discreto en bucle cerrado. Sistema discreto.. . . . . . . . Sistema discreto. . . Sistema discreto .. Sistema discreto. . . . Sistema discreto.. . Seal de salida deseada ante escaln unitario. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . Secuencia de salida ante entrada escaln con regulador proporcionaL . . . . . . . Secuencia de salida ante entrada escaln con regulador por asignacin de polos. . Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema propuesto.. . Sistema propuesto.. . Secuencia de salida.. Sistema discreto en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . Diagrama de bloques de un sistema hbrido. . . . . Diagrama de bloques de un sistema hbrido. . . . . Seal de salida del sistema ante entrada escaln con el regulador calculado. Seal de error ante el regulador calculado en la primera etapa. . . Seal de error y accin de control ante el regulador calculado. . . . . . . . . . Sistema discreto con regulador discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Seal de salida ante entrada escaln con el regulador de tiempo mnimo calculado. Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . . .,. . . Lugar de las races del sistema de la Figura 13.9. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

XIX

267 269 271 272 273 273 274

275 275 276276 277 277 278 278 279 281 284 287

289292

296296 297

298299 299 300 300 301 303 305 307 308 311 313 313 315 315 3] 6

xx13.11. 13.12. 13.13. 13.14. 13.15. 13.16. 13.17. 13.18. 13.19. 13.20. 13.21. 13.22. 13.23. Sistema propuesto. . . . . . . . Lugar de las races del sistema. Criterio del argumento. . ....... . Sistema propuesto. . . . . . . . Diagrama de bloques. . . . . . Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . Sistema en bucle cerrado. . ... . Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . Valores para T == 1 seg .. . Valores para T == 0,5 seg . . . . . . . . Sistema en bucle cerrado. Sistema en bucle cerrado. Sistema en bucle cerrado.

NDICE DE FIGURAS 319 320 321 323 324 325 326 326 327 327 328 328 329

,

Indice de Tablas1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. . 2.1. : 2.2. 2.3.?

Respuesta ante entrada impulso .. Respuesta ante entrada escaln .. Secuencia de salida ante escaln Secuencia de salida ante entrada impulso .. Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderacin) Secuencia de saJida del sistema . . . . . . Transformadas Z de secuencias bsicas. . Propiedades de la transfonnada Z . . . . . Nivel de hierro en los cinco primeros das tras una reduccin de 10 kg. en el suministro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variacin en la caza de ballenas . . . . . . Variacin en la caza de ballenas . . . . . Variacin de la poblacin entre 80 y 85 .. Variacin de la poblacin entre 80 y 85. Variables absolutas y relativas Tabla de coeficientes de Jury . . . . . . . . . . . Criterio de Jury para el sistema de la Figura 5.1 Criterio de Jury para el sistema Criterio de Jury para el sistema . . . . . . . . . . . Intervalo de pico y sobreosciJacin de los sistemas. Intervalo de subida y de establecimiento para los tres sistemas de segundo orden. eri terio de J ury para el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... Errores en estado pennanente en respuesta a diferentes entradas. Criterio de Jury . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . eriteno de Jury para el sistema . . . . . Tabla de Jury para el sistema . . . . . . Tabla de Juey para el sistema.. Respuesta ante entrada impulso ...... . Mdulos y argumentos para el tramo I

67

8 812 12 19 20 31 34 3542

2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 6.1. 6.2. 6.3. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 9.1. 9.2.

45 98 100 102 109 121 121 126 139 144 145 151 155

]95198XXI

XXII

NDICE DE TABLAS Mdulos y argumentos para el tramo TII ..... 198317

9.3.

13.1. Criterio de Jury para el polinomio caracterstico

CAPTULO 1

SECUENCIAS y SISTEMAS DISCRETOS.,

DEFINICION DE SECUENCIAUna secuencia se puede definir como cualquier conjunto ordenado de elementos. La forma general de representar una secuencia es {Xk}, siendo k el ndice que indica el orden del elemento dentro de la secuencia: (1.1 ) Secuencia impulso:

{8k} Secuencia escaln unitario:

= {l, 0, 0, 0, ... }

(1.2)

{Uk} = {l,l,l,l,l, ... } Secuencia rampa:

(1.3)

{rk} = {0,1,2,3,4,5, ... }

(1.4)

PROPIEDADES DE LAS SECUENCIASAlgunas propiedades caractersticas de las secuencias son las siguientes: Una secuencia {Yk} es la secuencia retrasada n posiciones de otra {Uk} si entre ellas se verifica que para todo k (1.5) Yk = Uk-n Una secuencia {Yk} es la secuencia adelantada n posiciones de otra {Uk} si entre ellas se verifica que para todo k (1.6) Una secuencia {Yk} es suma de otras dos {Xk} {Vk} si(1.7)

1

2

Control de sistemas discretos Una secuencia es {Yk} producto de otra {Xk} por una constante m si se cumple(1.8)

Se dice que una secuencia {Xk} es acotada si existe un valor cumple IXkl

X(w)

= n-+-oo lm

~ xke-jwkT = L...,.k=-n

~ xke-jwkT L...,.k=-oo

( 1.15)

donde T representa la diferencia de tiempos para cada elemento de la secuencia temporizada. La transfonnada inversa de Fourier se define como:Xk == -

T J1r/T

27r -1r/T

X(w)e iwkT dJJJ

(1.16)

Una condicin suficiente para la convergencia de la transformada de Fourier es que la secuencia {Xk} sea absolutamente sumable:00

( 1.17)

{yJ

..

Figura 1.2. Sistema discreto representado por su secuencia de ponderacin.

Relacin fundamental de los sistemas discretos. En un sistema discreto (Figura 1.2), la transformada de Founer de la secuencia de salida y (w) es igual al producto de la respuesta en frecuencia del sistema 9 (w) por la transformada de Fourier de la secuencia de entrada U (w ):

Y(w) == Q(w)U(w)

( 1.18)

Frmula de ParsevaI. Pennite calcular la energa de una secuencia a partir de la transfonnada de Fourier de ]a misma: ( 1.19)

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA SECUENCIALa transformada de Lap]ace de una secuencia {Xk} tal que Xk == O para kex:>

< O se define como:(1.20)

X(s)

= LXke-skTk=O

Secuencias y sistemas discretos

5

siendo s == a + JW una variable compleja. Para que la transformada de Laplace converja (condicin suficiente) debe cumplir (depende de a):

Lk=O

(X)

IXke-ukTI

Residuo en a = (m - 1)'2.

[d

m

-

dz m- I

1/ (Z)]z=a

(2.4)

Si las secuencias tienen nicamente tnninos de ndice positivo (dominio de convergencia Izl > 1/p), se puede usar el mtodo de la divisin larga. Para obtenerla, se expresa la transfonnada Z como el cociente de los polinomios en Z-l y se dividen:

N(z-1) X(z) = D(Z-l) =

~XkZ

00

-k

(2.5)

Transfonnada Z 3. Descomposicin en fracciones simples:

21

(2.6)

FUNCIN DE TRANSFERENCIA EN ZLa funcin de transferencia en Z de un sistema definido por la ecuacin en diferencias:(2.7)

es:

G(z) = Y(z) = bo + b1z-

U(z)

+ ... + bmz- m 1 + alz- 1 + ... + anz- n

1

(2.8)

2.1 Transformada Z de secuencias tipoEncontrar la transfonnada Z de las siguientes secuencias: l.2.

Secuencia impulso {k} = {1; O; O; O; ... }. Secuencia escaln {Uk} Secuencia rampa {Tk}a) b)

= {1; 1; 1; 1; ... }.

3.

= {O; 1; 2; 3; ... }.

Directamente.A partir de la anterior.

4.

Secuencia parablica {Pk}a) b)

= {O; 1; 4; 9; ... }:

Directamente. A partir de la anterior.

5.

Secuencia exponencial { ek}

= {O; O; O; O; e; 2e 2 ; 3e3 ; .. . }.

22

Control de sistemas discretos

Solucin 2.1Se tiene: l. Para la secuencia impulso se tiene:

6(z) ==

2:n=-(X)

00

8n z- n == 1z- o + OZ-l

+ OZ-2 + ... == 1

(2.9)

2.

Para la secuencia escaln:00

U(z) == "'" ~n=-oo

UnZ

-n

== 1 + z -1 + z -2 + ... == 1 _ 1z-l

z z-l

(2.10)

siempre y cuando se cumpla 3.

Iz- 1 1< 1.

Para la secuencia rampa se tienen dos posibilidades:a)

Directamente:

R(z) ==Fonnando:

2:n=-(X)

ex)

rnz- n == 0+ z-l

+ 2z- 2 + 3z- 3 + ...

(2.11)

zR(z) - R(z)

2 Z 1+2Z -1+3-

1+siempre y cuando se cumpla

Z-l

+ ... -z -1 - 2z 2 - 3-3 z ... == + Z-2 + z-3 + ... == z (2.12)z-l1. Por tanto: (2.13)

Iz- 1 1 l. Y como en el caso anterior (ecuacin 2.45):Yo Yoo

0,16z- 2z-2

6,25

(2.55)

Por el mtodo de la divisin larga:Z-2

Y(z)

~-----_._-

1-

z-1

+

z z -1

1 - 2z- 1 + 1,16z- 2 - 0,16z- 3 Z-2 + 2z- 3 + 2,84z- 4 + 3,52z- 5

+ ...

(2.56)

Permite calcular cmodamente el valor iniciaJ, pero no as el valor final.

2.4 Anlisis de una fundicinSe desea analizar la produccin de hierro de una fundicin. El esquema de funcionamiento de la misma se muestra en la Figura 2.2. La fundicin tiene como caractersticas: El proceso de fundicin tiene un rendimiento del 80 %. Los residuos pueden tratarse para reconvertirse en materia prima. Existe un suministro diario de materia prima (hierro). Cada da se deteriora un 25 % de la materia prima por corrosin. Cada da se tratan los residuos producidos el da anterior. Admitiendo como vanables las siguientes:

fk Hierro fundido el da k (medido en kg.)Pk Piezas fabricadas el da k (medido en kg.)tk Residuos tratados el da k (producidos el da k - 1)

Transfonnada Z

29

800/0 piezas

-------~ ~UNDICION JMateria Prima

200/0 residuosTRATAMIENTOl RESIDUOS

_J

Figura 2.2. FuncionamIento de una fundicin

hk Kg. de materia prima (hierro) aJ final del da kSk

Suministro de hierro el da k (medido en kg.)

Se pide: ]. Hallar las ecuaciones en diferencias que marcan ]a produccin de hierro en la fundicin. Linealizar dichas ecuaciones en tomo a un punto de equilibno dado por un suministro de 500 kg. de hierro al da y una fabricacin de 300 kg. de piezas al da. Representar el diagrama de bloques teniendo como entradas e] suministro de material y la demanda de piezas fabricadas y como saJida ]a materia en stock. Calcular la funcin de transferencia entre el stock de hierro y el suministro diario de material. Calcular el valor que tomar en rgimen permanente el nivel de hierro en stock si el suministro diario aumenta en 20 kg. Calcular la secuencia de valores que tomar el nivel de hierro en stock durante los cinco primeros das despus de que el suministro de hierro se reduzca en 10 kg.

2.

3.

4. 5.

6.

Solucin 2.4Se tiene:

30 l.

Control de sistemas discretos Las ecuaciones en diferencias del sistema que se deducen a partir de las condiciones del problema son las siguientes:

hk

hk Pk

1 -

0, 25h k +

Sk -

fk

+ tk(2.57)

O,81ko,2fk-l2.

En primer lugar, es necesario calcular el punto de equilibrio del sistema. En equilibrio, los valores en el instante k - 1 sern iguales a los valores en el instante k. Por tanto:

ho

ho - 0,25h o + So Po

lo + to(2.58)

0,8/0 0,2/0AS, en equilibrio, se tiene:

-

to

ho

800 kg. 375 kg. 75 kg. (2.59)

loto3.

Puesto que las ecuaciones que definen el comportamiento del sistema son ya lineales, la transformada Z de estas ecuaciones ser:

H(z)O,8F(z)0,2z- 1 F(z)

Z-1

H(z) - 0,25H(z) + 8(z) - F(z) + T(z)

P(z) T(z)

El diagrama de bloques se muestra en la Figura 2.3.

S(z)

+

R(z)

+:

z1,25z-1 T(z)

Vez)

....

pez)

..

1,25

F(z)

.1 O~21

Figura 2.3. Diagrama de bloques de la fundicin.

4.

Para el clculo de la funcin de transferencia entre el stock y el suministro de material se considerar constante la cantidad de piezas fabricadas diariamente; por tanto, su valor incremental (con respecto al punto de equilibrio) ser nulo. En estas condiciones, la funcin de transferencia solicitada es: H(z) 1 (2.61) 1

8(z)

1,25-z-

Transformada Z 5. En estas condiciones, la variable de entrada ser un escaln de 20 unidades:

31

8(z) _Por tanto:

- 1-

20Z-1

(2.62)

H(z) =

20 1- z-1

1 1,25 - z-1

(2.63)

Para obtener el vaJor en rgimen permanente aplicaremos el teorema del valor final (dado que el sistema es estable): lm hk

== lm [(1 - Z-1) . H(z)]z-+1

= 80

(2.64)

k-HX)

Dado que la secuencia est representada respecto a su punto de equilibrio, que es de 800 kg., la cantidad de hierro en stock ser:

hec

== 800 + 80 == 880

(2.65)

6.

En este caso, la variable de entrada se corresponder con un escaln de -10 unidades. Por tanto: 1 H(z) = -10 (2.66) 1- Z-1 1,25 - Z-1 Para obtener la secuencia de valores, se calcula la transfonnada Z inversa:

h - Z-1 [k -

-10 ] (1 - z-1 )(1,25 - z-l)

(2.67)

Calculando la transfonnada Z inversa por reduccin a fracciones simples, se obtiene:

h k == 32 . O,8 k

-

40

(2.68)

Por tanto, en los cinco primeros das se obtienen los valores representados en la Tabla 2.3.

Da

hk respecto equilibrio

I h k global I792 kg. 785,6 kg. 780,5 kg. 776,4 kg. 773,1 kg. 770,5 kg.

o12

-8-14,4 -195 , -23,5 -26,9 -295 ,

3 4 5

Tabla 2.3. Nivel de hierro en los cinco pnmeros das tras una reduccin de 10 kg. en el suministro

32


2.5 Evolucin de la poblacin de ballenasSe supone que el nmero de ballenas que nacen a lo largo de un ao depende nicamente de la poblacin existente a principios de dicho ao, P, segn la ecuacin: (2.69) Asimismo, el nmero de fallecimientos naturales durante un ao depende de la poblacin existente a principios de ese ao segn la ecuacin: (2.70) La caza de ballenas ocasiona a ]0 largo del ao un nmero de fallecimientos directamente proporcional a la poblacin existente a primeros de ao y al nmero de balleneros, B, existente:

JSe pide:1.

== 10- 4 P B

(2.71)

Hallar las ecuaciones en diferencias que marcan ]a evolucin de la poblacin de las ballenas de un ao a otro. Linealizar dichas ecuaciones y hallar un modelo lineal sabiendo que la poblacin actual es de 10.000 ballenas. Hallar la funcin de transferencia en Z que relaciona el nmero de ballenas con el nmero de balleneros. Obtener la evolucin de la poblacin de ballenas si se prohibiese bruscamente ]a caza de ballenas cuando la poblacin es de 10.000.

2.

3.

4.

Datos: Al == -8.000; A 2 10- 2 ; B 2 == 1,7 .10- 6

== 4.000; a = 0,69 . 10- 4 ; b == 1,38 . 10- 4 ; e == 4.000; B 1 == 0,875 .

Solucin 2.5Se tiene: ]. Para establecer las ecuaciones en diferencias se denominar Pk a la poblacin de ballenas existente a comienzos de un ao. Al ao siguiente, existir una poblacin de ballenas igual a la de] ao anterior ms los nacimientos producidos a 10 largo del ao menos el nmero de fallecimientos naturales y menos el nmero de ballenas cazadas, es decir: (2.72) donde:

A 1 e- aPk + A 2 e- bPk + eB1Pk

+ B2Pf(2.73)

10- 4 Pk B k

Transformada Z 2. Se Jinealizan las anteriores ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, definido por Po 10.000. En este punto de equilibrio, las ecuaciones se expresan como:

33

Po

Po

No MoJo

+ No - Mo - Jo Ale- aPo + A 2 e- bPo + e B 1 PO + B2P~10- 4PoBo(2.74)

Al resolver este sistema, se obtienen unos valores de las variables en equilibrio:

No Mo

-8000e- O,69

10-

4

10

4

+ 4000e-1.38 10-

4

10

4

+ 4000 == 993,7

0,875 . 10- 2 104

+ 1,7 . 10- 6 . 108 == 257,5(2.75)

Jo Bo

No - Mo == 993,7 - 257,5 == 736,2 Jo 10- 4 Po == 736,2

Si se linealizan las ecuaciones en torno a este punto de equilibrio (ecuacin 2.75), empleando variables incrementales, se tiene:

Pk

+ Nk

-

Mk

-

Jk

[Al (-a)e- aPk[BI4

+ A 2 ( -b)e- bPk ] Pk=Po . Pk == 0, 138Pk.

+ 2B2 Pk ]Pk=PO

Pk == 4,275 . 10- 2 P k4

[10- B k ] Bk=Bo . Pk + [10- Pk ]Pk =Po . Bk =

Bk + 7,362 10- 2 PkAl agrupar estas ecuaciones incrementales y Iinealizadas, resulta:

(2.76)

(2.77) 3. Para el clculo de la funcin de transferencia en Z se pasan las ecuaciones incrementales linealizadas al dOlTIlnio z.

pez) == 1,0216P(z)z-1 pez) B(z)

Z-l

B(z)

(2.78) (2.79)

1 - 1,0216z- 1

1 1,0216 - z

sta es la funcin de transferencia entre el nmero de ballenas y el nmero de balleneros para un modelo lineal que sea equivalente al dado, es decir, que presente pequeas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio que se ha tomado para linealizar las ecuaciones iniciales que eran no lineales. Por tanto, fuera de este entorno de] punto de equilibrio, esta funcin de transferencia deja de ser vlida.

34

Control de sistemas discretos Caza de ballenas Valor absoluto Valor relativo o incremental

I Antes I Despus736,2 O

O -736,2

Tabla 2.4. Variacin en la caza de ballenas

4.

Si se prolube la caza de ballenas, se pasara (en el punto de equilibrio) de 736,2 a O ballenas cazadas. Esto se puede estudiar como si el comportamiento fuera un escaln de ganancia -736,2 unidades (Tabla 2.4).z

B(z) == z _ 1 (-736,2)con lo que la salida del sistema o nmero de ballenas sera:

(2.80)

P( )

z

== 1,0216 -

1

. z (-736 2) z z- 1 '

(2.81 )

El sistema es inestable (presenta un polo fuera del crculo unidad). Ante una variacin brusca de B(z), la salida P(z) crecer desmesuradamente. Por tanto, segn el modelo lineal, el nmero de ballenas crecera hasta el infinito. En la realidad, lo que ocurre es que al aumentar el nmero de ballenas, el sistema deja de encontrarse alrededor del punto de equilibrio y el sistema ya no es equivalente. El sistema probablemente se mueve hacia otro punto de equilibrio.3,5X

10

4

--.-,-----,..----.-----

-~--~--~

32,5

2

1,5

1

_

0,5

o~--~---~--~---~---~-~

o

.-.-

5

. .10

. .1520 25

-

30

Figura 2.4. Evolucin de la poblacin de ballenas alrededor del punto de equilibno

Transformada Z

35

AoValores relativos o incrementales Valores absolutos

oO10.000

J

21.488 11.488

32.256 12.256

43.041 13.041

736 10.736

Tabla 2.5. Variacin en la caza de ballenas

Si se partiera de otro punto de equilibrio, como por ejemplo Po

== 15.000, se tendra:

No

1.662,9 513,751.149,2 766,12 (2.82)

MoJo

Roy la ecuacin incremental:

(2.83) con 10 que:

P(z) B(z)

-15z, 11O 9901z- 1

1,50,9901 - z

,

(2.84)

Alrededor de este punto de equilibrio, el sistema ya sera estable.

2.6 Explotacin de la madera en un bosqueSe desea analizar el sistema de explotacin de la madera en un bosque. Para ello, se conoce la cantidad de toneladas de madera disponibles en el bosque al principio de cada ao, as como de las toneladas de madera taladas a lo largo de cada ao. Admitiendo que el bosque aumenta su cantidad de madera un 5 % respecto al valor que tuviera a finales del ao antenor, se pide: 1. 2. Hallar la ecuacin en diferencias del sistema. Determinar el punto de equilibrio para que el bosque se mantenga en 5.000 toneladas de madera. Hallar la funcin de transferencia en Z que relaciona el nmero de toneladas taladas durante un ao y la cantidad de toneladas de madera disponible en el bosque a finales de ese mismo ao. Calcular el tiempo que tardara en duplicarse la cantidad de madera disponible en el bosque si se disminuyen bruscamente las taJas en un 10 % a partir del punto de equilibrio.

3.

4.

36 5.

Control de sistemas discretos Analizar la evolucin en la cantidad de madera disponible en el bosque si se incrementa el nmero de toneladas taladas un 4 % durante los tres primeros aos.

Solucin 2.6Se tiene: l. Denominando:mk

Toneladas de madera en el bosque a finales del ao k

tk Toneladas de madera taladas durante el ao k

La ecuacin en diferencias del sistema queda: (2.85) que se interpreta de la siguiente forma. El nmero de toneladas de madera en el bosque al finalizar el ao k es igual al que haba a finales del ao anterior ms lo que ha crecido durante ese ao y menos las toneladas de madera taladas durante ese ao. 2. Para calcular el punto de equilibrio, se tiene:

mo

= 1,05mo -

to

(2.86)

de esta forma, se obtiene como punto de equilibrio aquel en el que el nmero de toneladas taladas a lo largo de un ao es:

to == O,05mo == 0,05 . 5.000 == 250 toneladas/ao3.Dada la ecuacin en diferencias 2.85, la transformada Z quedara:

(2.87)

M(z) ==

Z-l

M(z)

+ 0,05z- 1 M(z) - T(z)-

(2.88) (2.89)

M(z) T(z)4.

1 1,05z- 1

1

-

1 1,05 - z

Expresin vlida para variables incrementales o relativas. Si bruscamente las talas se disminuyen un 10 %, pasaran de talarse 250 toneladas/ao a talarse 225 toneladas/ao. Respecto al punto de equilibrio, este hecho se admite como un escaln de amplitud -25. De esta forma: -25 (2.90) T(z) == 1 _ Z-l

M(z) ==

1 1,05z- 1

-

-25 1 . 1 - z-1

(2.91)

Para calcular la evolucin temporal de esta seal de salida es necesario calcular la transfonnada inversa Z. Utilizando el mtodo de las fracciones simples: 1

M(z) == 1,05z- 1

-

1

-25 1 - Z-1

A-1-O-5z-----1 1 ,

+

B1z-1

(2.92)

Transfonnada Z Resolviendo, se obtiene A = -525; B = -500. As:

37

(2.93) Partiendo del punto de equilibrio para calcular el tiempo que se tarda en duplicar la cantidad de madera disponible en el bosque, se tendra (25.000-5.000 == 5.000), con lo que mk = 5.000. 5.000 = 525 . (I,05)k - 500k

(2.94) (2.95)

=

log

log 1,05

5.500 525

= 48

'

1

Por tanto, el bosque tardara en duplicar su cantidad de madera un total de cuarenta y nueve aos. En la Figura 2.5 se observa la evolucin temporal de la madera de] bosque.

:j-'90006Q()()O..L..--

,.-----,- --,...------, -1 -1

6000

5000 4000

j tI' -

3000

.'o15

2000

1000

20

25

,30

-----'---

35

40

45

50

o o

10

20

30 k

40

50

60

(O)

(b)

Figura 2.5. Toneladas de madera ante una disminucin de un 10% en la cantidad talada: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio.

5.

Si se incrementa un 4 % el nmero de toneladas de madera talada los tres primeros aos, se tiene la siguiente secuencia de talado:

{tk}

= {260;260;260;250;250;250;}

(2.96)

La evolucin respecto al punto de equilibrio resulta: {tk} forma, se tiene:

== {lO; 10; 10; O; O; O; ... }. De esta(2.97)

T(z) = 10 + lOZ-l

+1 + 10z- 2 = 10 Z2 + z 2Z -

1 M( z )- 1,05z- 1

1.

O z2 + z + 1 1---z2

(2.98)

38

Control de sistemas discretos obteniendo por el mtodo de la di vi sin larga:

{mk} == {-lO; -20,5; -31,5; -33,1; -34,8;}Respecto al punto de equilibrio, sera:

(2.99)

{mk} == {4990; 4979; 4968; 4966; 4965; ... }Esta evolucin se representa en la Figura 2.6 .

(2.100)

....,o51015 20 25

e.e.

e.

....,45

j

,35

,40

.1

T20

30

se

50

30k

40

60

(a)

(b)

Figura 2.6. Toneladas de madera ante un incremento de un 4 % en el nmero de toneladas: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio.

2.7 Evaluacin del stock en un almacnEn un almacn se hace inventario semanalmente. Para mantener el nivel de stock 1 se realizan las siguientes operaciones: Cuando el stock desciende del nivel deseado, ID, se realizan pedidos al distribuidor con el fin de mantener dicho nivel. Si el stock es superior al nivel deseado, se devuelven pedidos al distribuidor. Es decir, que la cantidad de pedidos, P S, realizados a principios de semana es:

PS == K(ID - 1)siendo 1 el nivel de stock a principios de dicha semana .

(2.101)

La recepcin de productos, RS, durante la semana es proporcional al volumen total de pedidos no servidos, P, al principio de dicha semana con una constante de proporcionalidad, K 2.

Transfonnada Z

39

Las ventas semanales, V S, son independientes del inventario y las recepciones cancelan los pedidos. Se pide:

l.2.

Ecuaciones en diferencia. Evolucin del inventario cuando las ventas semanales que se haban estabilizado en 100 unidades pasan bruscamente a 120 unidades.

Siendo ID == 1.000 unidades, K 1

= 0,3 y K 2 = 0,8.

Solucin 2.7Se tiene: 1. Denominando las siguientes variables como:

Ik Nivel de stock a principios de la semana k1 D Nivel de stock deseado PSk Pedidos realizados a comienzos de la semana k

RSk Recepcin de productos durante la semana k

Pk Volumen de pedidos no servidos durante la semana kV Sk Ventas realizadas durante la semana kse tienen las siguientes ecuaciones en diferencia:

PSk

K 1 (ID - I k )K2 P k

RSkIk+l

Ik +RSk - VS kPSk-1 - RSk - 1(2.102)

Pk2.

El punto de equilibrio vendr dado por V So = 100. Las dems variables en el punto de equilibrio sern:

PSo RSo lo

K 1 (ID - lo)K 2 PO lo +RSo - VSo PSo - RSo(2.103)

Po

con lo que se obtienen los siguientes valores en el punto de equilibrio:

VSo

100 100 916,6

RSo lo -

Po PSo -

12525 (2.104)

40

Control de sistemas discretos Linealizando las ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, se tiene:PSk RSk

-Kl1k K 2 PkIk

1k+l

+ RSk1 -

-

VSk1

Pk

PSk -

RSk -

(2.105)

Hallando la transfonnada Z y reagrupando, finalmente se obtiene:PS(z) l(z) RS(z)

-

-K 1 1(z) 1 1 _ z [VS(z) - RS(z)]

K 2 PS(z) Z+K2

(2.106)

que se puede representar en el diagrama de bloques de la Figura 2.7, teniendo en cuenta que las ventas semanales configuran la seal de entrada y el inventario se toma como seal de salida.

VS(z)

+

- _ _.0=1_ __~

I(z)

.-~2-~K z+K2I

Figura 2 7. Diagrama de bloques stock/ventas

La funcin de transferencia entre la salida (stock semanal) y la entrada (ventas semanales) es la siguiente: l(z) (2.107) VS(z) Expresin vlida solamente para variables incrementales o relativas. Si las ventas se encuentran estabilizadas en 100 unidades (punto de equilibrio) y pasan a 120 unidades, se puede simular el efecto producido como si se efectuase un escaln de amplitud 20 unidades sobre el punto de equilibrio de las ventas semanales, con lo que la vanable de stock se modificara:

l(z)

=

z_ .20_ -z2 + (1 - 0,8)z + 0,56 z- 1 z

+ 0,8

(2.108)

El valor final de esta variable relativa en el infinito, si el sistema es estable, ser:loo

=

lm(1 - z-l)z---?l_Z2

+ (1 -

Z + 0,8

0,8)z

+ 0,56

. 20

z - 1

z

= -150

(2.109)

Transfonnada Z

41

De esta manera, el valor final de la variable relativa del stock ser lo == -150, que en variables absolutas ser 916,6 - 150 == 766,66. Los valores iniciales de la variable stock se pueden examinar mediante el mtodo de la divisin larga:

I( -1)Z

20 -1 + 16 -2 Z Z 1 == -1 + 1,2z- + O,36z- 2 - O,56z- 3

(2.110)

quedando unos valores para el nivel de stock 1 alrededor del punto de equilibrio:

Ik == {O', -20', -40', -55 "2 -69 "4, -150}Sobre e] valor inicial lo ==916~6,

(2.111 )

se tiene una evolucin:(2.112)

Ik

= {916,6; 896,6; 876,6; 861,4; 847,1; .. ; 766,6}

Esta evolucin se observa en ]a Figura 2.8.W!O.tDD

10

11

2D

1

Figura 2.8. Evolucin del stock tras la vanacin de las ventas.

2.8 Evolucin de la poblacin en funcin de la industrializacin y de la tasa de natalidadSe trata de obtener un modelo parcial que describa ]a influencia que ejercen la industrializacin y la tasa de natalidad sobre la poblacin de una regin. Para ello, se supondr: La tasa de natalidad real (T N R) de un ao es igual a ]a tasa de natalidad natural (T N N) de dicho ao menos a veces e] incremento de la poblacin (P) entre dicho ao y el anterior.

42

Control de sistemas discretos La tasa de mortalidad real (T M R) de un ao es igual a b veces el grado de contaminacin (GC) de dicho ao ms e veces el grado de contaminacin del ao anterior ms una constante d. El grado de contaminacin anual es e veces el producto de la industrializacin (1) y la poblacin de dicho ao.

Se pide: l. 2. Ecuaciones en diferencia del modelo. Transformada en Z y diagrama de bloques del modelo lineal, as como las funciones de transferencia si se supone que existe un equilibrio para lo = 2 Y T N No == 0,02. Valor de la poblacin desde el ao 80 al 85 si 1 y T N N toman los valores de la Tabla 2.6.Ao

3.

1/ I TNN I2 3 4 3 22

80 81 82 83

84Siguientes

0,02 0,015 0,015 0,015 0,02 0,02

Tabla 2.6. Variacin de la poblacin entre 80 y 85

Datos: a

== 4 . 10- 6 ; b == 3 . 10- 3 ; e = 2 . 10- 3 ; d == 0,01; e == 10- 3

Solucin 2.8Se tiene: l. nicamente existe una ecuacin en diferencias adicional a las dadas en el enunciado y es la que expresa el incremento de la poblacin de un ao al siguiente. En conjunto, las ecuaciones en diferencias son: Pk

+ T N Rk . Pk -

T M Rk . Pk

T N Nk b . GCk

a[Pk - Pk-l](2.113)

+ e . GCk - 1 + d== 2 Y T N No= 0,02.

elk Pk2. Es necesario determinar el punto de equilibrio, que viene dado por lo En el punto de equilibrio se produce P k == P k + 1 == Po:

TNRo Po

== TMRo Po

Transformada Z

43

TNRo = TNNoTM

Ro

=

(b + e) . Geo + d10P o

Geo = econ lo que se obtiene un punto de equilibrio:

(2.114)

TNRo0,022

TNNo = TMRo == 0,02(3 . 10- 3

+ 2 . 10- 3 ) Geo + 0,01 ~ GCo =

2(2.115)

10- 3 . 2Po :::::} Po = 1000

Linealizando las ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, se tiene:

+ T N Ro . P k + Po . T N Rk T N N k - a . Pk + a . P k - 1Pkb . GCk

T M Ro . Pk

-

Po . T M Rk

+ e . GCk - 1 e . lo . Pk + e . Ik . Po

(2.116)

que sustituyendo con los valores en el punto de equilibrio, se tiene, finalmente,PIG~l

Pk-

+ 1.000 TNR k

-

1.000 TMR k1

TNRk

TNNk - 4 10~6. P k + 4.10- 6 . Pk -

3.10- 3 . GCk 2 . 10- 3 . PkLa transformada en Z quedar de la forma:

+ 2.10- 3 . GCk- 1(2.117)

+ lk

(z - l)P(z)TNR(z)

1.OOOTNR(z) -l.OOOTMR(z) z-l TNN(z) - 4.10- 6 . pez) z10- 3 . CG(z) . 3z + 2

TMR(z)GC(z)

z

2.10-

3

.

pez)

+ fez)

(2.118)

Con las ecuaciones anteriores se puede representar el diagrama de bloques tomando corno entradas T N N(z) e fez) y corno salida P(z) (Figura 2.9). Para hallar la funcin de transferencia P(z)jT N N(z), se supondr nula la entrada I(z), con lo que se establece el diagrama de bloques siguiente de la Figura 2.10. Siendo la funcin de transferencia en Z

pez) TNN(z)

1+

1000z z2-0,994z+0,004 1000z . 410- 6 (z-1) z2-0,994z+0,004 z

1.000 z - 0,99

(2.119)

44


GC(z)

0,0013z+2z

~

I(z)

0,002

TMR(z) TNN(z

1000

pez)

z-lz-l4 1o-{i ~-----

....

z

Figura 2.9 Diagrama de bloques general.

TNN(z)

+

TNR(z)

lOOOzZ2 -O,994z+0,004

P(z)

z-lz

4 10-6 ~_---.J

Figura 2.10. Diagrama de bloques P(z)jTN N(z).

I(z)

+

P(z)-,," ~l Z2-0,996z~~---""'"

I

-3z+c=]

1--------

-0,002

~41-------'

Figura 2.11. Diagrama de bloques P(z)/ fez).

Para el clculo de la funcin de transferencia P( z) / 1(z ), de igual fonna, se supone nula la entrada T N N(z), resultando el diagrama de bloques representado en la Figura 2.11.

Transfonnada Z La funcin de transferencia adopta la expresin siguiente:

45

P(z) !(z) - 1 +

-3z-2 z2-0,996z-0,006Z2-0 9~~;~O 004 .

,

,

-2 .10- 3

-

-3z - 2 z2 - 0,99z

(2.120)

Estas funciones de transferencia son vlidas para variables relativas o incrementales. 3. Los valores reflejados en la Tabla 2.6 representan la evolucin de las variables absolutas, por lo que ser necesario obtener los valores relativos o incrementales, teniendo en cuenta que: Variables absolutas

= Variables punto equiJibrio + Variables relativas,TNN T N Nrelativa

(2.]21)

De esta manera, se podra construir la Tab]a 2.7.

Ao

Iabsoluta

1relativa

absoluta

80 81

2

O1 2 1 O O

34

8283 84Siguientes

0,02 0,015 0,015

O-0,005

32

0,0150,02 0,02

-0,005 -0,005O O

2

Tabla 2.7. Variacin de la poblacin entre 80 y 85. Vanables absolutas y relativas

Para obtener los valores relativos de la poblacin (P) cuando ]a industrializacin (1) y la tasa natural de natalidad (T N N) varan segn la Tabla 2.7, se puede aplicar superposicin: hallar la poblacin ante entrada nula en la industrializacin y sumarla a la poblacin obtenida con entrada nula en la tasa natural de natalidad. AS:

Slo industrializacin Se cumple:

{1k} = {O', l', 2', l', O, O, O, ... }{TNNk }cuya transfonnada Z resulta:

= {O;O;O;O;O;}

(2.] 22)

I() z =z

-1

+ 2z + 1 + 2z -2 +z -3 =z2 ----z3 + 2z + 1z3

(2.] 23)

La poblacin en variables incrementales y ante esta entrada ser:

P(z) = P(z) I(z) = -3z - 2 z2 I(z) z2 - 0,99zObtenindose una secuencia de salida:{Pk}relativa-s610 indust

(2.124)

= {O; O; -3; -10,97; -17,86; -19,68; -19,48; ... }

(2J 25)

En la Figura 2.12 se detalla esta evolucin.

46


~2

-4

-10

-12-14 . ...16;-

_.. ----

....,1

..18 r

-20

o

5

10

15

20

25

30

35

40

Figura 2.12. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerando nicamente la accin de la industrializacin.

Slo tasa natural de natalidadSe cumple:

{ Ik} == {O, O, O, O, O, o, O, ... }{T N N k } == {O; -0,005; -0,005; -0,005; O; O; O; ... }cuya transfonnada Z resulta: (2.126)

TNN(z)

= -0,005z- 1 _

0,005z- 2 _ 0,005z- 3

=

-0,005(Z: + z + 1)z

(2.127)

La poblacin en variables incrementales y ante esta entrada ser:

P(z)=

pez) TNN(z)= 1000 -0,005(z2+ z +1) TNN(z) z-0,99 z3

(2.128)

Obtenindose una secuencia de salida:{Pk}relativa-sloTNN

== {O; O; -5; -9,95; -14,85; -14,70; -14,55;}

(2.129)

En la Figura 2.13 se detalla esta evolucin.

Accin conjuntaPor la linealidad del modelo se puede aplicar superposicin, siendo la salida conjunta debida a las dos entradas la suma de cada una de eIJas:

{Pk }relativa == {Pk } relatIva-slo indust. + {Pk }relativa-slo TNN ==

== {O; O; -8; -20,92; -32,71; -34,38; -34,03; ... }

(2.130)

Transfonnada Z0 ..... -.. . . ---- ---

47

-10 ...

-15 O

5 10

J _

..L

15

20

25

30

35

40

Figura 2.13. Evolucin de la poblacin relativa alrededor del punto de equilibrio considerando nicamente la accin de TN N.

En la Figura 2.14 se detalla esta evolucin. La evolucin de la poblacin absoluta debida a las dos entradas se obtendr sumando a la relativa la posicin de equilibrio:

{Pk }

= {1.000; 1.000; 992; 979; 967,29; 965,62; 965,97;}

(2.131)

0 . . --5

L

-10

-15 ~

-20

-25

-30 ___ _

10

..15

___

.....

~I

-35'

________

.,J... _ _

o

5

20

25

30

35

40

Figura 2.14. Evolucin de la poblacin relativa ante las dos acciones.

48


2.9 Problema propuestoObtener la expresin de la energa de una secuencia a partir de la transformada Z de la misma.

Solucin 2.9La energa de una secuencia es:

E=

~ 1 X(z)X 21[J Je

(!) ~dzZ Z

(2.132)

2.10 Problema propuestoUn sistema responde ante una secuencia de entrada en fonna de rampa de pendiente 1, con la secuencia representada en la Figura 2.15. Determinar su funcin de transferencia.7. . - - - - - , - . - - - - - r - -_ _

--.--------r---~---

6

5

4

3

2

o

o

_A_-----.L..-------'----.--L- _ _ . l . 4 1 2 3 5

------1... _ _--'

6

7

Figura 2.15. Seal de salida.

Solucin 2.10La funcin de transferencia es:

Transformada Z

49

G( )z

=== Z5 _ 2z4

z3

+z -

+ z3

1

(2.133)

2.11 Problema propuestoDado un sistema discreto con secuencia de ponderacin:

{9k}Se pide: 1. 2.

= {O; 1; -2; 4; -8; 16; -32; ... }

(2.134)

Obtener la funcin de transferencia del sistema. Hallar el valor inicial y el valor final de la respuesta del sistema ante entrada escaln.

Solucin 2.111.

G(z) =2.Yo

4

z+

2

(2.135)

Ycx:>

=O = 00

(2.136)

(2.137)

2.12 Problema propuestoDado el sistema discreto definido por la siguiente ecuacin en diferencias:

(2.138)Se pide: l. 2. Calcular su funcin de transferencia. Calcular el valor inicial y final de su respuesta ante un escaln:a)b)

Aplicando las propiedades de la transfonnada en Z. Calculando la antitransfonnada.

50


Solucin 2.12l.

Jr(z) U(z)

1 z2-z+0,5

(2.139)

2.Yo

=O

(2.140) (2.141)

Yoo = 2

2.13 Problema propuestoEn cierta regin coexisten dos especies animales, una de insectos y otra de gusanos. Los nmeros de individuos se designan por x e y, respectivamente. Los insectos se comen a los gusanos, los cuales se alimentan de la hierba que existe en cantidad constante. La tasa de natalidad de los insectos es A = 0,8 insectos/insectos-da (80 % diario). Su tasa de mortalidad es de la forma

(B + C~), siendo B= 0,2 insectos/insectos-da la mortalidad natural y= 0,1 gusanos/gusanos-da la mortalidad natural, F = 0,2

1,2 insectos-gusano/insectos 2 -da la debida a la dificultad para conseguir gusanos. La tasa de natalidad de los gusanos es D = 0,3 gusanos/gusanos-da. Su tasa de mortalidad es dela forma (E + F~

e=

+ GY), siendo E

gusanos/insectos-da la debida a los ataques de los insectos y G = 10- 3 gusanos/gusanos 2 -da la debida a la dificultad para conseguir hierba. Se pide: l. 2. 3. 4. Plantear las ecuaciones en diferencias del sistema. Calcular el punto de equilibrio. Linealizar las ecuaciones en dicho punto. Calcular la funcin de transferencia en Z entre los gusanos e insectos. Cmo variar la poblacin de gusanos si se produce una plaga con un aumento de la poblacin de insectos del lO %?

5.

Solucin 2.13l.X

2

Xk+l

= 1,6xk - 1,2-.k

(2.142) (2.143)

YkYk+l

= 1,2Yk - 0,2Xk - 10-3y~

Transfonnada Z

SI

2.Xo Yo

= 50== 100

(2.144) (2.145)

3.Xk+l

== O, 4X k + O,3Yk== Yk - O, 2X k

(2.146) (2.147)

Yk+l

4.

Y(z) X(z)5.

O,2z- 1 1- Z-l

0,2

z-1

(2.148)

Con el modelo 1ineal, la poblacin de gllsanos disminuira hasta desaparecer.

2.14 Problema propuestoUsando el mtodo de la divisin larga, calcular los cuatro primeros valores de la secuencia {Xk} cuya transfonnada Z es la siguiente:

xSolucin 2.14Los primeros valores son:

_

10z

+5

(z) - (z - l)(z - 0,2)

(2.149)

{Xk} == {O; 10; 17; 18,4; ... }

(2.150)

2.15 Problema propuestoDetenninar los cuatro primeros valores de la secuencia de salida {y k} del sistema discreto G (z) ante entrada escaln unitario utilizando el mtodo de la divisin larga.

2 G(z) == 2z - 1

(2.151)

Solucin 2.15Los primeros valores son:

{Yk} == {O; 1; 1,5; 1,75; ... }

(2.152)

52


2.16 Problema propuestoDeterminar el valor final al que tiende la secuencia {Xk} cuya transformada Z es la siguiente:

X(z)

= 1_

1Z-l

1 1 - e- 2 z- 1

(2.153)

Solucin 2.16El valor final de la secuencia es 1.

CAPTULO 3

MUESTREO Y , RECONSTRUCCION DE SENALES,.",

,

DEFINICION DE MUESTREOPor muestreo se entiende el proceso de obtencin de una secuencia temporizada a partir de una seal continua. Los elementos de la secuencia se corresponden con los valores de la seal en determinados instantes de tiempo.

Muestreo peridico. Los instantes de tomas de muestras se encuentran igualmente espaciados. El intervalo de tiempo entre dos muestras sucesivas se denomina perodo de muestreo T. Muestreo aperidico. Los instantes de tomas de muestras no estn igualmente espaciados.El dispositivo que realiza el proceso de muestreo recibe el nombre de muestreador (Figura 3.1).

Figura 3.1. Muestreador.

Xk

== x( t) It==kT

(3.1)

ESTUDIO FRECUENCIAL DEL MUESTREOLa relacin entre la transformada de Fourier X (w) de una seal continua x (t) Y la transformada de Fourier X (w) de una secuencia temporizada {x k}, que proviene del muestreo con perodo T de la seal continua previa, viene dada por:

X(w) == T ~ X(w+ T)r==-oo

1 ~

21fT

(3.2)

53

54


As, si la transformada de Fourier de una seal continua X(w) viene representada (mdulo) por la Figura 3.2, la transformada de Fourier de la secuencia X(w) muestreada con perodo T vendr determinada en la Figura 3.3 siempre que se cumpla las condiciones dadas por el teorema de muestreo (expuesto ms adelante).............

J~ IX(ro)1

1

roFigura 3.2. Mdulo de la transformada de Fourier de una seal continua.

~~

l2l(ro)1lIT

I

n

I

I

...

~

-31t/T

-1t/T

1t/T

ro

Figura 3.3. Mdulo de la transformada de Fourier de una secuencia.

La relacin existente entre la transformada de Laplace X (s) de una seal continua x (t) Y la transformada de Laplace X (s) de la secuencia procedente del muestreo con perodo Tes:

1 ~ 27rT X(s) == T ~ X(s + jT)r=-CX)

(3.3)

TEOREMA DE MUESTREOSi una seal continua x(t) tiene transformada de Fourier X(w), cumpliendo que X(w) == O para valores Iwl > wo, entonces dicha seal estar completamente determinada por la secuencia {Xk} obtenida por muestreo de la misma con perodo T == 7r / Wo.

Muestreo y reconstruccin de seales

55

En general, las seales muestreadas son las salidas de sistemas fsicos, cuyas transformadas de Fourier tendern a cero segn aumenta la frecuencia (aunque estrictamente sean distintas de cero). Por tal motivo, ser necesario llegar a un compromiso entre un perodo muy estricto (con un mayor coste) o un perodo menos exigente (con una prdida de informacin). Un criterio aproximado para la eleccin de este perodo de muestreo consiste en elegir el mismo como: 1 (3.4) WT == - == 10B T siendo B el ancho de banda de la seal.

,

,

ECUACION FUNDAMENTAL DE LOS SISTEMAS HIBRIDOSSe denomina sistema hbrido a aquel cuya entrada es una secuencia y cuya salida es una seal continua (Figura 3.4).{X k } SH'b-d y(t) ---1'-.1 1St. 1 r1 O ~

Figura 3.4. Sistema hbrido.

Respuesta impulsional de un sistema hbrido: Salida h(t) cuando la entrada es una secuencia impulso. Convolucin hbrida: La respuesta impulsional de un sistema hbrido caracteriza el comportamiento de este sistema. Para cualquier entrada {x k}, la salida del mismo y ( t) ser:

y(t) ==

Ln=-CX)

00

xnh(t - nT)

(3.5)

siendo h(t) su respuesta impulsional. Esta expresin se conoce como convolucin hbrida. Respuesta en frecuencia del sistema hbrido H (w ): Es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional. Si se denomina X (w) a la transformada de Fourier de la secuencia de entrada e Y (w) a la transformada de Fourier de la seal de salida, se cumple:

Y(w) == H(w)X(w)siendo Y (w) y H (w) funciones no peridicas y X (w) peridica.

(3.6)

El operador H ( s) se denomina funcin de transferencia del sistema hbrido. Igualmente, se cumple

Y(s)

==

H(s)X(s).

56


,

DEFINICION DE BLOQUEADOREl bloqueador es el dispositivo que permite reconstruir una seal continua a partir de los valores discretos de una secuencia (Figura 3.5).

Figura 3.5. Bloqueador.

El objetivo del diseo de un bloqueador es obtener un sistema hbrido que, teniendo como entrada una secuencia {x k} obtenida por muestreo con perodo T de una seal x (t), presente en la salida una seal xr(t) que sea idntica o tenga el mayor parecido posible a la seal x(t). Se cumplir:

Xr(w) == H(w)X(w) Xr(s) == H(s)X(s)

(3.7) (3.8)

siendo H (w) y H (s) la respuesta en frecuencia y la funcin de transferencia, respectivamente, del bloqueador como sistema hbrido.

x

(t).1 ~_1T

{X k

... _ }

X (ro)

BloqueadorL - -_ _ _ _ _~

X(ro)

Figura 3.6. Conjunto muestreador-bloqueador.

(3.9)

BLOQUEADOR IDEALA fin de obtener una reconstruccin ideal, y siempre que se cumpla el teorema de muestreo, se define el bloqueador ideal como aquel cuya transformada de Fourier es:(3.10)

siendo T el perodo de muestreo de la secuencia.

Muestreo y reconstruccin de seales La respuesta impulsional del bloqueador ideal es:

57

(3.11 ) con Wo = 1f /T. La representacin grfica de estos bloqueadores se observa en la Figura 3.7.

0,8 0,6 0,4 0,2

0,8 0,6 0,4 0,2

o~,2

o~,2

~'~10

-8

-6

-4

-2

o

2

4

6

8

10

~,4

-10

-8

-6

-4

-2

o

2

4

6

8

10

Figura 3.7. Bloqueador ideal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

Este bloqueador no cumple la condicin de causalidad, ya que h(t) no es nulo para tiempos negativos.

BLOQUEADOR DE ORDEN CEROEste bloqueador slo utiliza el ltimo valor de la secuencia de entrada mantenindolo hasta una nueva muestra xr(t) = x(kT) = Xk en el intervalo [kT, (k + l)T], siendo T el perodo de muestreo.

Figura 3.8. Bloqueador de orden cero.

Su respuesta impulsional es: O t z - 1,5 + K z

,

+ 1,5K == O => (1 + K)z + 1,5K - 1,5 == O

Para que sea estable se ha de cumplir:

P(l) > O ~ 1 + K

P(-l) 1 5K - 1 5 , K + l' < 1 -----> 1,51K - 11 < KEstas condiciones se satisfacen si 0,2

+ 1,5K - 1,5 > O ~ K > 0,2 < O ~ -1- K + 1,5K -1,5 < O ~ K < 5 +1

(5.42) (5.43)

(5.44)

< K < 5, que son los lmites de estabilidad del sistema.

Si el tiempo de clculo es de 0,1 seg., se produce un retraso de z -1 :

BGH(z) =El polinomio caracterstico ser:

Z-l BG(z)

= ~ z + 1,5

z z - 1,5

(5.45)

l+KBGH(z) == O => z(z-1,5)+K(z+1,5) == O ~ z2+(K -1,5)z+1,5K == O (5.46)Para que el sistema sea estable se ha de cumplir:

P(l) > O ~ -0,5 + 2,5K > O ~ K > 0,2 P( -1) > O ~ 1 - K

(5.47) (5.48) (5.49)

+ 1,5 + 1,5K > O ~ K > -5

1,5K < 1 ~ K < 1/5 == 0,6666

Por tanto, el rango de valores de K que hace estable el sistema es 0,2 < K < 1/5. Se observa cmo si aumenta el tiempo de clculo (aumenta el retraso en la llegada de informacin de la realimentacin sobre el sistema), disminuye el intervalo de estabilidad del sistema.

Estabilidad de sistemas discretos1 semana Dpto. Reparac. Pedido + Dpto. Control Dpto.

107

20%

+Dpto. Calidad Dpto.

Fabric.1 semana

80 o

0

80%preVis~:%1 semana Almacn

t+I

Producido Embalaje I--~ 1 semana

Figura 5.6. Diagrama de bloques de una empresa de fabricacin.

5.5 Proceso de fabricacinEl diagrama de bloques de la Figura 5.6 representa de forma simplificada el proceso seguido en una empresa de fabricacin. Su funcionamiento sera el siguiente: El departamento de control genera sin retraso una ley de control, proporcional K (K segn la diferencia entre lo pedido y lo producido. El departamento de fabricacin tarda una semana en reparar los productos defectuosos. Los fabricados y los reparados van al departamento de calidad, que, sin retraso, detecta los defectuosos (20 % segn la experiencia). El 20 % de los productos vlidos es almacenado durante una semana a fin de evitar posibles prdidas de clientes ante fallos en el proceso de fabricacin. El 80 % de los productos vlidos es sumado a los almacenados la semana anterior e introducidos en el departamento de embalaje, que tarda una semana en llevar a cabo su cometido. El balance de todas las variables se realiza al final de cada semana. Se pide: 1. 2. Funcin de transferencia en Z entre lo producido y lo pedido. Determinar el rango de K para que el sistema sea estable.

> O),

Solucin 5.5Se tiene: 1. Se emplea la siguiente nomenclatura:Pk Material pedido en el perodo k.

108


Vk Material producido en el perodo k.Ck

Material ordenado al departamento de fabricacin en el perodo k.

fk Material que entra al departamento de calidad en el perodo k.bk Material que se embala en el perodo k.Las ecuaciones en diferencias que describen el comportamiento son:

K(pk - Vk)Ck-l

(5.50) (5.51) (5.52) (5.53)

+ 0,2fk-l

0,64fkbk 1

+ 0,16fk-l

Las ecuaciones son lineales. Se puede hallar directamente su transformada Z.

K(P(z) - V(z)) = C(z) F(z)(l - 0,2z- 1 ) = z-lC(z) B(z) = (0,64 + 0,16z- 1 )F(z) V(z) = z-l B(z)El diagrama de bloques en Z quedara como el representado en la Figura 5.7.~

(5.54) (5.55) (5.56) (5.57)

P(z) +

--E]C(Z) ~I F(z) B(Z)0 K ~ - - 1 ~ O.64+0.16z 1 ZI 1-O.2z

Vez)

Figura 5.7. Diagrama de bloques del sistema.

La funcin de transferencia sera:

P(z) V(z)2.

1+

K z-2(O,64+0,16z- 1 ) 1-O,2z- 1 Kz-2(O,64+0,16z- 1 ) 1-O,2z- 1

=K

0,64z + 0,16 z3 - 0,2z 2 + 0,64Kz + 0,16K

(5.58)

Para comprobar el rango de estabilidad de K se aplica el criterio de Jury, siendo:

P(z) = z3 - 0,2z 2 + 0,64Kz + 0,16Las condiciones a cumplir son:

(5.59)

P(l)

=1-

0,2 + 0,64K + 0,16K >

~ 0,8

+ 0,8K >

~

K,> -1

(5.60)

Estabilidad de sistemas discretos Por otro lado,

109

P( -1) == -1 - 0,2 - 0,64K + 0,16K 0,672Ko 10 que es 10 mismo,

(5.63)

0,0256K

2

+ 0,672K -

1l'g

n 2 (se encuentran fuera del crculo unidad). Sin embargo, se puede hallar el sistema reducido equivalente, pues puede existir alguna entrada acotada para la cual la salida del sistema sea tambin acotada. En primer lugar, se va a intentar cancelar el par polo-cero zz~OO~45 sustituyendo por \~OO~45. Se estudiar su contribucin en los otros polos. Para los polos situados en 0,7 0, 75j, se tiene:75 0 0,7+0, 1+ ,35 0,7+0.) 75j+O,4 1+0,30 964 1+0,4 '

==

== 969 + 02j }' ,

Bastante similar

(6.36)

Para el polo en 0,1, se tiene:0,1+0,35 == 9 1+04' 1+0,35 _ 964 1+0,4 ,

}

Bastante snrular

.

.

(6.37)

Por tanto, se puede asumir como vlida la cancelacin de ese par polo-cero. Para cancelar el polo cercano al origen (0,1), sustituyendo por Z(l~O,l)' se tiene: o,7+0 ,1 0,661 - 0,815j , 1 (0,7+0,75 j)(1-0,1) 0,749 - 0,792j1

i5 -o

==

==

} Bastante similar

(6.38)

Por lo que se puede cancelar este polo cercano al origen. De esta forma, el sistema equivalente de orden reducido resulta:

0,5357

Gred(z) = z(2z 2

-

2,8z + 2,1)

(6.39)

Anlisis dinmico de sistemas

125

Como el sistema tiene un polo fuera del crculo unidad, ante entrada escaln, el sistema ser inestable. Por tanto, no tiene sentido hablar de Mp y np. La respuesta ante escaln del sistema G(z) resulta O,25z- 3 + O,612z- 4 + O,863z- 5 + ... , mientras que la respuesta ante escaln del sistema reducido equivalente Gred(Z) resulta O,267z- 3 + 0,642z- 4 + O,886z- 5 + .... En la Figura 6.10 se representa la respuesta de ambos sistemas ante entrada escaln unitario.

Respuesta ante escaln de G(z)

Respuesta ante escaln de Gred(z)

0806 04

0806 04

-

02

.-

02

-06

10~--------~---------~10~------~15

1 ' - - _ _ _ _ _ _ _ _- ' - - -_ _ _ _ _ _ _ _- - ' -_ _ _ _ _ _ _ _- - - J

o

10

15

Figura 6.10. Respuesta ante escaln para el sistema G(z) y para el sistema Gred(z).

6.4 Criterio de Jury y respuesta temporalDado el sistema representado en la Figura 6.11, calcular: 1. 2. 3. 4. Valores de K que hacen estable el sistema. Sistema equivalente reducido cuando K

= K max /l,25.

Valores de n p , n r , Mp y ns del sistema de orden reducido. Estimar si la aproximacin es vlida y calcular np y Mp del sistema total.

+

K

z(z-1 )(z2-z +0.5)

Figura 6.11. Diagrama de bloques.

126


Solucin 6.4Los apartados solicitados son: 1. La funcin de transferencia global del sistema ser:

M(z) = 1

K

(Z-l)(Z2: Z+0 ,5)

z

Kz (z - 1)(z2 Z

+ (z-1)(z2- z +0,5)

+ 0,5) + Kz

(6.40)

De esta forma, se tiene como polinomio caracterstico:

P(z) == (z - 1)(z2 -

Z

+ 0,5) + Kz

==

z3 - 2z 2 + (1,5 + K)z - 0,5

(6.41)

Para hallar los valores de K que hacen estable el sistema se puede aplicar el criterio de Jury. Imponiendo las primeras condiciones, se extraen valores para K:

P(l) == 1 - 2 + 1,5 + K - 0,5 == K > P( -1) == -1 - 2 - 1,5 - K - 0,5 == -5 - K K > -5~~

(6.42)

> O). A partir de los coeficientes

1 -0,5 -05-K ,

-21,5 + K 1,25 - 0,5K

1,5+K

-o ,51

-2

-o ,75

Tabla 6.3. Criterio de Jury para el sistema

Imponiendo la restriccin a3

> 1ao 1, se tiene:1>

1- 0,51

(6.43)

que siempre es cierto. Imponiendo la restriccin IboI > Ib2 1, se tiene:

1-0,751> I-O,5-KIAnalicemos el segundo trmino de la desigualdad. Al ser K

(6.44)

> O:

Si K > -0,5 Si K < -0,5

~

0,75 > 0,5 + K(6.45)

~

0,75 > -0,5 - K

El primer intervalo se cumple cuando O < K < 0,25. El segundo intervalo se llega a satisfacer si se cumple -1,25 < K < -0,5. Dado que K > O, por tanto, el sistema es estable cuando:

1- 0,051

155

P(1) == 1 - 1,1 + 1,6 - 0,05 == 1,45 >P( -1)

== -1 - 1,1 - 1,6 - 0,05 == -3,75 1 - 1,5451

(7.111)

Dado que esta condicin no se cumple, se puede deducir que no es estable el sistema. Por este motivo no se puede hablar de error de posicin. Para el sistema reducido:z2-z+0,5 M 3== 1 + 1,1111,111

z2- z +0,5Z

Z2 -

1,111 Z + 1,611

P(z) ==

Z2 -

+ 1,611

(7.112)

Como se observa, 1,611 > 1; por tanto, el sistema no es estable. No se puede hablar, por tanto, de error de posicin.

7.7 Errores en un sistema multivariablePara el sistema multivariable de la Figura 7.14, se pide: 1. 2. 3. Calcular el polinomio caracterstico del sistema en cadena cerrada. Obtener los valores de K 1 y K 2 que hacen estable al sistema en cadena cerrada. Calcular la matriz de error en rgimen permanente del sistema en cadena cerrada cuando las entradas son escalones unitarios.

Solucin 7.7Se tiene:

156


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1U2 (z4~A~_

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..,

1

5 z-O.5 O

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Control de Sistemas Discretos EXCELENTE

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